7 minutos básicos para cualquier curso de cálculo diferencial

Introducción

• Presentación de límites básicos necesarios para aprobar un curso de cálculo diferencial.
• Enfoque en resolver ejemplos específicos de límites.

Primer límite

• Ejemplo: Límites básicos que solo requieren evaluación directa.
  • Función: ( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 1) )
  • Solución: Evaluar directamente en el punto, resultado: ( -1 )_

Segundo límite

• Ejemplo: Límites que resultan en 0/0 y requieren factorización.
  • Función: ( \lim_{{x \to 3}} \frac{{x^2 - 9}}{{2x - 6}} )
  • Solución:
    • Factorizar tanto numerador como denominador.
    • ( x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) )
    • ( 2x - 6 = 2(x - 3) )
    • Cancelar términos comunes y evaluar, resultado: ( 3 )_

Tercer límite

• Ejemplo: Límites 0/0 que requieren multiplicación por el conjugado.
  • Función: ( \lim_{{x \to 4}} \frac{{x - 4}}{{\sqrt{x} - 2}} )
  • Solución:
    • Multiplicar por el conjugado: ( \sqrt{x} + 2 )
    • Resolver: ( \frac{{x-4}}{{\sqrt{x} - 2}} \cdot \frac{{\sqrt{x} + 2}}{{\sqrt{x} + 2}} )
    • Simplificar y evaluar, resultado: ( 4 )_

Cuarto límite

• Ejemplo: Límites 0/0 con factor común y conjugado combinados.
  • Función: ( \lim_{{x \to 1}} \frac{{x^2 + 3x - 4}}{{\sqrt{x+3} - 2}} )
  • Solución:
    • Multiplicar por el conjugado del denominador.
    • Factorizar el numerador y cancelar términos.
    • Evaluar el resultado simplificado._

Quinto límite

• Ejemplo: Límites con raíz cúbica.
  • Función: ( \lim_{{x \to 1}} \frac{{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 1}}{{(x-1)^2}} )
  • Solución:
    • Factorizar utilizando la diferencia de cubos.
    • Simplificar utilizando álgebra avanzada.
    • Evaluar el límite para resultar en ( \frac{1}{9} )._

Límites al infinito

• Ejemplo: Límites cuando ( x \to \infty ) o ( x \to -\infty ).
  • Función: ( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x^3 - 3x^2 + 4}}{{5x - x^2 - 7x^3}} )
  • Solución:
    • Dividir cada término por la mayor potencia de ( x ) en el denominador.
    • Evaluar utilizando la propiedad ( \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0 )
    • Resultado final: ( -\frac{2}{7} )

Conclusión

• Resolución de límites requiere de conocimientos avanzados de álgebra.
• Recomendación de revisar material grabado sobre álgebra para reforzar conceptos fundamentales.