Arkadaşlar merhaba, Linear Cebir konu anlatımına hoş geldiniz. Kanalımızda bir tane video var Linear Cebir konu anlatımıyla ilgili. Fakat o video birazcık böyle lisevari kalıyor yani. çok alçak düzeyde kalıyor arkadaşlar.
Üniversite düzeyine gidercek bir linear matriz. Linear matriz ne demek? Linearca bir konu anlatımı değil. O yüzden bu videoyu çekme ihtiyacı hissettim. Çünkü talep var belli ki videoya.
Birkaç tane de mesajlar üzerinden istek geldiği için kaydını yapıyorum. Arkadaşlar şunu bir kesinleştirelim. Aslına bakarsanız fen fakülteler için bir linearca bir konu anlatımı çekmek istiyorum. Yani nedir?
Aslında eğitim ve fen fakültesi. Yani hem öğretmenler üretmenlik hem de bir matematik bölümü, fizik bölümü için bir lineerce bir çekmek istiyorum. Ne olacak oradan farkı? Mesela şimdi biz mühendisler için anlatırken bir cisim tanımlamayacağız.
Yani mesela tanımda diyoruz ya neyin tanımından? Matrisin tanımından mesela F cisim olsun F üzerinde tanımlı M çarpı N tipinden bir A matrisi. İşte nokta nokta olsun tanımlıyoruz işte o İ'sini C'sini.
Buradan F'ye bir fonksiyondur şeklinde ifade ediyoruz. bu cisim ne demek? Cismin özellikleri var arkadaşlar. Grup olması, toplamaya göre çarpmaya göre grup olması diye. Muhtemelen bunlar tam bir bilgim yok ama mühendislere verilmiyor.
Yanlış bilmiyorsam. O yüzden mühendis linearce biri anlatacağım. Yani ne demek o? İspatlar olacak ama böyle aşırı yoğun ispatlara girmeyeceğiz.
Onun üzerine uygulama ağırlıklı linearce bir konu anlatımı olacaktır. Hedefim bir determinatlara kadar gelmek. En azından bu sınav haftası muhtemelen.
Hem size 1.5 saatlik hızlı bir video olsun. Hem de çalışabileceğiniz bir doküman tarzı bir şey hazırlayalım diye düşündüm. Herhangi bir not yok.
Belli bir not yok. Kendim şimdi sunum yaparken oluşturacağım. Dilerseniz pdf alırsınız zaten bırakırım.
Onun dışında diyeceğim bir şey. Yoğun ispatlara girmeyeceğiz arkadaşlar. Ama yine de bazı önemli yerleri belirteceğiz. Şimdi. Cisim halka tanımlamıyoruz.
Matris üzerinden başlıyoruz. F cismi olsun F üzerinde tanımlı M çarpı net bilinen bir A matrisi. İ'ler birden N'ye kadar.
J'ler birden M'ye kadar. N'ye kadar neyse işte. Ne olacak?
F'ye bir fonksiyon olacak. Yani biz A'yı nasıl tanımlayalım? Mesela şöyle olsun.
Mesela diyelim ki biz A1 2 3'den oluşsun. Ondan sonra kartezden çarpım diyelim. 1 2. Ve bu bizi alsın gene R'ye götürsün. İşte bu şekilde ifade edebiliyoruz.
Mesela A1 1. Nasıl yazacağız arkadaşlar biz bunu? Atıyorum. Ne diyelim? Tanımımızı daha bir güzel yapabilir miyiz ya? İçime sinmedi çünkü.
Şurayı bir temizleyelim. Şimdi bakın bizim bir A matrisimiz olacak ve M çarpı N türünden. Burada da arkadaşlar İJ'lerden oluşacak bu matrisimiz tabii ki. Ne diyeceğiz? Öyle ki İ'lerimiz eşittir birden M'ye kadar.
İ dediğimiz. satırlarımız ve jilerimiz de birden n'ye kadar olacaktır. Arkadaşlar a madresini biz oluştururken işte şu şekilde tanımlıyoruz. Bu şekilde gösterebiliyoruz.
Bu şekilde gösterebiliyoruz. Şimdilik böyle göstereyim. A11.
Bakın birinci satır. Birinci sat ır. Birinci nedir?
Sütun. Anlaştık mı? Burası ne olacak?
Birinci satır. İkinci sütun. Birinci satır. Üçüncü sütun.
Gidiyoruz. Bu şekilde. Nereye kadar?
M'ye kadar. Kapattım. Şimdi nereye geldim? 2. satır 1. sütun.
Devam ettik. Devam ediyoruz artık arkadaşlar. N.
satır 1. sütun. Devam ediyorum. N. satır M. sütun.
İşte bakın arkadaşlar bu şekilde oluşan şan. yapılara fonksiyonlara yani bir fonksiyondur dikkat matri istiyoruz tamam mı dikkat etmeniz gereken tek yer şurası ben orayı fosforlu sarı ile gösteriyorum satırlarımız burası diğerini yeşille gösterelim gözümüze çarpsın sütunlarımız burası bunu bildiğiniz takdirde herhangi bir arıza çıkacağını düşünmüyorum en azından tanımla edelim şimdi devam edelim tanımımız bu şekilde Ne diyeceğiz başka biz? Satırı sütunu tanımladık. Peki bu şekilde de gösterebiliyoruz arkadaşlar matrisleri.
Mesela şöyle bir matris gösterelim. A1 1, A1 2. A2 1, A2 2. Bu nedir arkadaşlar? Bakın 1, 2, 1, 2 sütunu var. 1, 2, 1, 2 satırı var.
1, 2 sütunu var. Yani 2 çarpı 2 şeklinde bir matristir. Ve birazdan da 2 çarpı 2 şeklindeki matrislere bunlar birbirine eşit olduğu için arkadaşlar ne diyeceğiz? Biz işte bunlara...
Biz bunlara kare matris diyeceğiz arkadaşlar. Gördüğünüz gibi şekli kare şeklindedir. Yani 2x2 olmuştur. Şunları siliyorum. Kafamız karışmasın.
Anlaştık. Kare matris diye de bunu tanımlayacağız. Arkadaşlar yine dediğim gibi bakın bu bir fonksiyon olduğu için tanımlar üzerinde çok iyi durmamız gerekiyor. Yani bir tanımlarını bildiğimiz takdirde rahatlıkla işlemlerimizi yapabiliriz.
Şimdi eşitlik kavramıyla ilgili konuşalım. Mesela iki matrisin eşitliği. eşitliği determinal navallı ağzım bir de ve temel de temel sadece bunları konuşurken de mesela a matrisi b matrisine eşit ise arkadaşlar Bunlarla ne olacak biliyor musunuz Şimdi ben bir ifade yazacağım.
Böyle resmen aydınlanmış olacaksınız. Bakın o ifade nedir? Ancak ve ancak.
Bu koşulları lütfen iyi bilelim. Her ne diyelim? Nasıl tanımlayalım biz onu şimdi? Her ic'si hatta her a'yı evet öyle diyelim değil mi?
A, İ, J'ler diyelim. A, İ, J'ler eşittir. Ne olmak zorunda?
B, İ, J'e şöyle yazalım. Her İ ve J için koşul sağlansın. Onu da kenara biraz sıkıştırsam. Her İ, J. Yani ne demek istiyorum?
A ve B maddesleri birbirine eşit ise... A, İ, C'ler B, İ, C'lere eşit olacak. Ve yazdığım her A, İ, C için. Anlaştık mı? Yani ne demek istiyorum?
Bakın şimdi örnek verelim. A seçtim. 1, 1, 2, 2 olsun. Ve B maddesi A'ya eşit ise ne olmak zorunda arkadaşlar?
İ ve J yerine ne yazdık? 1 1. Yani ne demek? A 1 1 kaçı eşit? Burada 1'e eşit.
Biraz örnek yapmış olalım hem de tanımı üzerinden. A 1 2 1. satır 2. sütun 1'e eşit. A 2 1 2 eşit.
A 2 2 buradan da 2 eşit oldu. Şimdi bakın. A B'ye eşit olacaksa seçtiğimiz her İ ve J için A'yı J, B'yi J'ye eşit ise A 1 1 1'e eşit.
O zaman B 1 1'de 1'e eşit olacak. Aynı şekilde gösterdiğimiz takdirde işte bunlar birbirine eşit olmuş olacaktır arkadaşlar. Anlaştık.
Eşitlik olmuş. Bu şekilde önemli bir ifade daha var. Nedir? Sıfır matriz. Sıfır matrizde de tahmin edebileceğiniz gibi her birleşiğin sıfır olan matrizi sıfır matriz denir.
Örnek verelim. Sıfır bir çarpı bir matrizi mesela ya da nedir? Sıfır sıfır sıfır sıfır iki çarpı iki matrizi.
Bunlar sıfır matrizi örnek olarak. verilebilir. Şimdi artık önemli yerlere gelelim. Şöyle bir alayım.
Matriz toplamı diyelim arkadaşlar. Buralar önemli yerler. Dikkatli dinleyin. Şimdi tabi ki teoremler var. O teoremlere çok girmeyeceğiz.
Birazcık daha yüzeysel anlatmamız lazım. Şimdi nasıl ifade edelim biz? A matrisini alalım arkadaşlar. İ ve J bileşeni ile. Ve B matrisini de alalım.
İ ve J bileşeni. Bunların toplamını A artı B şeklinde yazıp İ J satır sütüne gene entegre edelim. Ama bakın burada dikkat etmeniz gereken şey Şudur.
Buradaki İ ve J bileşeni ile IJ'lerin birbirine eşit olması. Yani şimdi bir kare matrizle örnek veriyorum. Çok hızlı bir örnek. Mesela şunları toplayamayız.
Çünkü birbirlerine yani bunların ne şeklinde olması lazım? M çarpı N şeklinde birbirine eşit matrizler olması lazım. Yani boyut olarak. Anlaştık mı? Yani şunu Şunu demek istiyorum.
Mesela 3 tane terimin var ya burada. Mesela burada 2 tane terimin alırsanız toplamayı planlıyorsun. Toplayamazsın. İşte bu bir yanlış ifade.
Anlaştık mı? O yüzden bakın buradaki önemli olan noktamızda ben buraya bir şöyle bir renkte gösterirsem iyi olacak. M çarpı ne derim? İyi seçilmesi. Peki.
Ne yapalım o zaman? Bir örnek yapalım hemen. A'yı tanımlıyorum arkadaşlar.
3 çarpı 3 olsun bu sefer. Birazcık büyütelim. Ufkumuzu aşalım. 1, 2, 3, 3, 2, 1 0, 1, 2 Ve B matrisimizde ne olsun?
Bakın B matrisimizde 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0 olsun. Şimdi biz A ve B'nin toplamını yaparken ne yapacağız? Ve kontrol ediyorum bu nedir? 3 çarpı 3 matris, 3 çarpı 3 matris. O zaman toplam eşlemi tanımlayabilirim.
Bakın arkadaşlar A 1, 1 ve B 1, 1. O zaman bu toplama biz ne yazacağız? Aslında biz bunu şöyle ifade edebiliriz. O zaman A, I, J yani 1, 1 oldu artık. A11 artı B11.
Anlaştık mı? Sonra A12 artı B12. A13 artı B13 şeklinde tanımlayacağız.
Ve buradan da aynı şekilde gelecek. Son olarak şu terimleri yazalım o zaman. Şu ikisini mesela A31 artı B31. A33 artı B33. Bu şekilde olacaktır.
Şimdi artık işlemlerimizi yapalım. Birle birle topladık 2 arkadaşlar. 2 ile 0. 3 ile 0 yazıyorum.
3 ile 0 2 ile 1 topladık yine 3 ve 1 ile 1 topladık 2. 0 geldi, 2 geldi, 2 geldi. Ve bu da gördüğünüz gibi yine 3 çarpı 3 matriz ve A artı B matrizi olarak karşımıza çıktı. Tamam. Önemli olan şey burada dediğim gibi boyutlarına dikkat ediyorsunuz arkadaşlar matrizlerin.
Şimdi geldik. Biz buna bir 1 diyelim mi? 1 diyelim.
Nasıl yapalım ya da matrizlerin toplamı. Skaler ile çarpma. O zaman direkt başlık üzerinden gidelim.
Skaler ile çarpma. Çarpma. Şimdi bakın bu skalerle biraz düzgün yazarsak belki notu alan arkadaşlar olur.
Şimdi skalerle çarpma işleminde de arkadaşlar herhangi bir c sayımız olacak. Bu c sayısı bir skaler sayı. Ve bu c sayısını bir a matrisi ile çarptığımız takdirde yani şöyle yapalım c elemandır r.
A matrisimizde m çarpı n elemandır. Aslında işte f demem lazım yani. Cisim yapısına girmek istemiyorum. Tamam orayı karıştırıyorum arkadaşlar uygulama üzerine olsun. Havunun iğneye.
dinlemek zorundayım. Çünkü cisime girdiğimiz takdirde belli başlı şeyler tanımlamamız lazım. Emin olun yarım saatlik video bir buçuk saate çıkar.
Oralara girmeyelim. Mühendis dinlerce bir konu anlatımı olsun bu. Şimdi skalerle çarpma işleminde arkadaşlar biz ne dedik? Tamam. Bu şekilde tanımladık.
Yani C, A, I, J olacak. Değil mi? C herhangi bir skaler.
Biz bunu A maddesiyle çarpıyoruz. Bakın siz bu C'yi arkadaşlar dışarı alabilirsiniz. Yani C çarpı A, I, J diyebilirsiniz. Ne demek istiyorum? Şimdi bakalım nedir?
CAİJ maddesine bakalım. Bu ne demek? Bizim mesela bir A maddesimiz vardı.
Deme C çarpı A11 oldu. CA12 oldu. CA13 oldu. CA21 CA22 CA33 Tamamını yazalım.
Dursun bir seferlik. CA23 CA31 CA24 Buradan da CA CA3 2 gelecek. Şimdi arkadaşlar bakın burada biz C ile çarptığımız takdirde ne oldu? Bizim bütün elemanlarımızda C'yi çarpım olarak almış oldu.
İşte ben size diyorum ki bunu şu şekilde yazabiliriz. Eşittir C ve buraya nedir? A matrisimiz. Şöyle yapalım.
A matrisi. Tamam. İşte yani bunun C'yi başa alabiliyoruz. Benim demek istediğim olay buydu.
C'yi başa aldığımızda da yeri dağıtırken nedir? Hepsiyle ortak bir şekilde gene çarpacağız. Tamam.
C çarpı A'yı C'de bu şekilde şu C dışarı çıkabiliyor. Sıkaya ile çarpma işlemimiz de bu kadardır. Bakalım başka ne var?
Maddes toplamı sıkaya ile çarpma. Şu özelliği de söyleyelim arkadaşlar. Bu da önemlidir.
Özellik mi diyelim biz buraya? Özellik. Şimdi bir C maddesini yapalım. bakın. Bu arada toplamanın arkadaşlar toplamanın özellik 1 diyelim.
Şimdi bakın A artı B'yi tanımlarken biz ne dedik? A artı B IJ'leri tanımlarken A IJ artı B IJ dedik. Değil mi arkadaşlar?
Yani buranın sonucunda ne oluyordu? İşte A 1 1 2 çarpı 2 maddesi olsun. A 1 2. A 2 1 A 2 2. Ve biz bunu toplarken ne yapıyorduk? B 1 1 B 1 2. Bunları mutlaka yazın. Önemli çünkü.
Bu şekilde yazıyorduk. Bakın Bakın arkadaşlar burada ben şu B'yi başa alsam. A'yı da buraya getirsem.
Yani ne olacak? B artı A desem. Sonucumuzda herhangi bir değişme olur mu?
Yani A11 artı B11 eşittir nedir? B11 artı A11 değil mi? Yani sonucumuzda herhangi bir değişme olacak.
O zaman A artı B matriz toplamlarında B artı A'ya eşittir arkadaşlar. Tamam. Buraya dikkat ediyoruz.
Yıldız. Geldik ikinci özellik. Bakın yıldız.
Bir skalerle çarpmada. C eleman R olsun. Onu yazmıyorum.
A. A artı B dediğimiz şey. Ne olacak?
C çarpı A İJ tabi buralar İJ'lerden artı C çarpı B İJ. Şimdi arkadaşlar hayal edin biz A'yı az önce bir skenelle çarpıp yazdığımızda içeriye hep C alıyoruz değil mi? Yani şu şekildeydi.
C çarpı ne diyelim? Ben buraya A demeyeyim yanlış anlaşılacak. C çarpı şöyle yazalım o zaman.
A diyelim. Artı bu nedir? C çarpı B'dir.
Peki biz bunu C parantezine aldığımızda ne olacak? Şöyle bir şey olacak ve burası da A artı B olacak. Peki ben A artı B'nin ne olduğunu biliyorum. B artı A'ya eşit olduğunu biliyorum değil mi? Ne geliyor o zaman arkadaşlar buradan?
Bunlar neye eşittir? C B artı A eşittir. C şuradan yazmışız zaten A artı B.
Bu özellikle gördüğünüz gibi buradan soruyor. sağlanıyor. Tamam mı?
Mutlaka dikkat ediyoruz. Bakın çarpma işlemini sağdan soldan dağıtıp tek bir toplam şeklinde de ifade edebiliyorum. Peki şuna bakalım. Şuna bakalım.
Bunlar tabii türetilebilir. Daha fazla aklıma geldikçe yazıyorum. C1 artı C2'nin A maddesi üzerine dağılması var mıdır? Yani şu sağlanıyor mu? C1 A artı C2 A. Bakın dikkat ederseniz biz yine burada bir açılım yaparsak.
C1 artı C2 dedik. Şimdi C1 ve C2 herhangi bir skaler olduğu için atıyorum biz buranın toplamına C3 diyelim. C3 çarpı A olsun. Yani şunlar toplamı C3 eşit olsun. Ve buradan biz işlem yaptığımızda ne olacak?
C1 A işte A11 diyorum artık. Ondan sonra artı dedik. C2 A11 Genel nokta nokta işlem devam ediyor.
Bakın burada yaptığınızda bu A1'ler ortak olduğu için sonuç madresimizde şöyle bir şey yapabiliyoruz. A11 parantezinde C1 artı C2 Bu da neye eşit olacak? A11, C1 artı C2'yi biz neye eşit demiştik? C3'e. Peki C3'ü başa çıkartırsak C3, A11.
Nokta nokta nokta artık işte onları yazmıyorum. Tamam mı? Gördüğünüz gibi bakın bu da en son ne ifade elde ettik? C3 çarpı A'yı elde ettik. Bu mavi biraz göze batacak.
Başka bir renge geçeyim ben. Bakın C3 çarpı A'ydı. Evet yine C3 çarpı A'ydı. Tamam. C3 çarpı şu matrisimize neye eşit zaten?
A'yı eşit. A'yı elde ettik. Yani bu dağılımda 3. özelliğimiz de mevcuttur arkadaşlar. Buna da dikkat ediyoruz.
Son olarak şunu da son olarak demeyelim. Gene ekleme yapabiliriz. 4. olarak şunu da gösterelim. C1 C2 A neye eşittir arkadaşlar?
C1, C2, A. Yani şu C2'yi içeri alabilirim. Çünkü bir skaderle çarparken örnek olarak vereyim. Şöyle düşünün. 2 çarpı 3, A matrisimiz var.
İşte buradan. Şöyle bir A matrisimiz var. Bu ne eşittir?
3 çarpı A matrisimiz var. çarpı 2 de olabilir değil mi arkadaşlar? Çünkü çarpma dağılmalıdır.
Yani bunları bu şekilde ifade edebiliyoruz. Şunları gösterip kalabalık etmek istemiyorum. Sildim. Bu özelliğin sağlanacağını eminim görüyoruz. Şunun 5. bir çarpı a, a'yı eşittir.
Yani herhangi bir a matrisini birleştirdiğimiz taktirde biz yine a'yı buluruz. Zaten bu gayet açık değil mi? Bunu göstermeye gerekli de duymuyorum.
Şimdi şöyle ufak bir örnek yazmak istiyorum arkadaşlar. Bu örnekte ne verelim mesela? Şöyle yazabiliriz. A eşittir.
Ne diyelim biz buraya? 2, 3, 4 olsun. Kapatalım. 1, 3, 1 olsun.
Bu kaç çarpı kaç bir maddestir arkadaşlar? 2 satır 3 satından oluştuğu için 2 çarpı 3. Peki biz 2A'yı yazarken ne yazacağız? Evet iki katını alıyorum.
Dağıtıyorduk biz. 4 6 8 geldi ve buradan 2 6 2 elde ettik. Şimdi şuna bakalım. Eksi a nedir peki arkadaşlar?
Eksi a da eksi 1 ile çarpılmış. Eksi 2 eksi 3 eksi 4. Buradan nedir? Eksi 1 eksi 3 eksi 1. şeklinde. Eksi A'da ifade edilebilir. Onun dışında şöyle işlemlerimiz de tabii ki de mevcut.
Onu da göstermekte yarar var. Peki 1 bölü 2 A nedir? Evet. İlla böyle bölünmesi gerekmiyor. Mesela şöyle 3 bölü 2 şeklinde bırakabilirsiniz.
2 geldiği 1 bölü 2 3 bölü 2 ve 1 bölü 2. Bunu da tanımlayabiliyoruz. Evet. Sonuç olarak 1 bölü 3, 1 bölü R.
Hepsini tanımlayabilirsiniz. Tabi paydanı sıfır olmayacak. Şimdi arkadaşlar artık önemli olan kısmı var. ben gelmek istiyorum ama yerim yok.
Başka bir örneğim var mı? Onu da yazayım. Öyle geçelim.
Çarpmaya geçelim artık. Bakayım size söylemediğimiz maddeslerin eşitliğinden bahsettik. Herhangi bir şey kalmamış. Son olarak şu ifadeyi şu şekilde belirtebiliyoruz.
Onu yazabilirim. A artı B İJ. Diğer hepsi için geçerli. A İJ artı B İJ.
Bu format hepsi için geçerlidir. Tamam çarpmaya geçebiliriz artık. Çok önemli bir kısımdır. Mutlaka dikkat edin.
Matrisler, matrislerin çarpımı mı diyelim. bu maddeslerin çarpımı Tamam arkadaşlar maddeslerin çarpımında gene bir iyice diye toplam toplam formülü yani şöyle bir ispat var bunu biz gene vermeyelim tanım üzerinden ilerleme yapıp çıkarımda bulundum şimdi bizim a gibi bir maddesi miz olsun m çarpı ne şeklinde ve B gibi bir maddesi miz olsun bakın arkadaşlar burada son kısımda Şu indis, beynin ilk başında gelmek zorunda. Yani nedir? Mesela n çarpı, ne olsun burası da m diyelim. Gözlemleyelim bunu, bir kare matriz vereceğini.
Neden oluyor? Bakın mesela biz bir a matrizini şöyle ifade edersek. Ben a matriz seçiyorum.
2 çarpı 2 olsun. Veya 3 çarpı 2 olsun. A11, A12, A21, A31, A22, A32.
Bakın görünüz gibi bu nedir? 3 çarpı 2. Şimdi bir B B matrisi tanımlıyoruz ki buranın da ne ile başlamasını istiyorum ben? Buraya A diyelim.
Biraz uzağına yazalım. B diyelim. 2 çarpı 3 olmasını istiyorum.
O zaman B 1 1 B 1 B 2 1 diyeceğiz. B 1 2 B 1 3 yazdık. B 2 2 B 2 3 yazdık.
Bakın burada biz çarpma işlemi yapmak istiyorsak genel söylüyorum şunların birbirine eşit olması lazım arkadaşlar. Niye? Şimdi çarpma işlemini bakın çok güzel bir şey.
şekilde size şuradan tanımlayacağım. Bu gördüğünüz kısmı şu an bu kare için aldığım kısmı işte şu kısımla çarpıyoruz arkadaşlar ve biz bunu götürüp birinci sütun olarak yazıyoruz. Bakın.
Ne geldi? A11 A1 A11 çarpı B11 Artı B. Tabii ki dağılacak işte burası. Yani nasıl oluyor? Biz bunu örnek üzerinden gösterelim.
O kadar uzun yazmayayım. Şu şekilde olsun mesela. A'ya ne diyelim?
1, 2, 4 diyelim. 2, 6, 0 olsun. B'ye de biraz zor bir şey diyelim.
Uğraşalım. Ya da kısa tutalım şimdilik. 2 çarpı 3'tü burası.
Buranın da ne olması lazım? 1, 1, 1. 2, 0. 1, 0. 0 0 olsun. Bu da nedir arkadaşlar?
3 çarpı 3 bin matristir. Sonuç olarak elde edeceğimiz matrizine bakın bunlar eşit olduğu için siz bu çarpımı yapabiliyorsunuz. Yani ise diyelim ya da şöyle diyelim. A çarpı B ancak ve ancak nedir? Şuradaki indislerin yani M çarpı ne?
N çarpı M mesela. A'nın IJ'siyle nedir? Çarpı B'nin IJ'si yani A'nın J'siyle ne olacak arkadaşlar?
B'nin I'si birbirine eşit. Eşit olursa j eşittir. J eşittir. İ ise vardır bu koşul. Şimdi bakın şurada gördüğünüz ifadeyle yani şurasıyla ben sileceğim merak etmeyin.
Şurasını çarpıp yazıyoruz. Yani ne olacak? A çarpı B dedik.
Bakın çarpıyorum. 1 çarpı 1 2. Artı 2 çarpı 1 artı 4 çarpı 1 olacaktır. Burası. Anladınız mı?
Yazıyoruz. Devam ediyorum sonra. Bakın biz ne elde edeceğiz?
Bu arada bizim elde edeceğimiz madde 2 çarpı 3 olacak. Ona göre arkadaşlar. Burayı aldık, burayı aldık. Şimdi bir daha alıyoruz. Bakın.
Nasıl yazalım şimdi? Şuraya alacağız. Artık hatta burayı direkt toplayıp yazalım uğraşmadan. 1, 2, 4 daha 7 geldi. Tamam.
Şurayı şuraya aldık. Şimdi bir daha yapıyorum arkadaşlar. Bakın. Ben bunu da kapatayım.
Ne elde edeceğiz? 2 çarpı 3 bir matriz elde edeceğiz. Şimdi bakın. Burayı 1, 2, 4'ü aldım.
Bir daha burayla çarpıyorum. 1, 2 daha 2 geldi. 2, 1 daha 2 geldi.
4 sıfır daha sıfır geldi. O zaman toplamda 4 olduk. Yani şimdi burayla burayı çarptım.
Şimdi ne yapacağız arkadaşlar? Bakın burayla burayı çarpacağız. Anlaştık mı?
Burayla burayı çarpmanızda zaten herhalde kâr da sıfır gelecektir. Şimdi bakın 2... 6 0. Şurayla buraya çarpıyorum. Nedir?
2 2 kere 1 2. 6 kere 1 6. Diğerinden 0 geldi. 8. Şunları silelim. Şimdi ne yapıyoruz? Burayla evet.
Buraya çarpıyoruz. 2 kere 2 4. 6 daha 10 geldi. Diğer kısım zaten 0 olduğu için buraya da direkt 0 diye yazıyorum.
İşte A çarpı B bu şekilde ifade edilir. Ve yeni elde ettiğimiz matrizde bakın nedir? Şuradan gelmiştir.
İşte 2 çarpı 3 eşittir. Biz onu nasıl gösterelim? şurası yani.
Aslında ben bunu böyle gösterirsem daha güzel olacak. Burası olur. Tamam çarpma işlemi bu şekilde. Dediğim gibi i ve j ile gösterebiliriz ama biraz uzun sürüyor ifadesi.
O yüzden gerek yok. Şimdi bir örnek daha yapalım. İyice oturtması açısından. Bu örnekte de 2x2 şeklinde olsun. Mesela a matrisimi sıfır vermeyelim bu sefer.
Birazcık uğraşalım. 1, 2, 3, 4 olsun. B matrisimiz de 4, 3, 2, 1 olsun. Bakalım. bakalım neler elde edeceğiz şimdi A çarpı be aldığımda orada A çarpı be var mı ilk başta ona bakıyoruz arkadaşlar iki çarpı iki iki çarpı iki bakıyorum Burası iki Burası iki güzel Peki sonuç olarak kaç çarpı kaç bir maddesi elde edeceğim Evet sonuç olarak da 2x21 matriz elde edeceğim Tamam yazalım 1234 Peki 4, 3, 2, 1 Bakıyoruz.
1, 2 ile şurayı alıyorum ve buraya yazıyorum. Değil mi? Hop. 1 kere 4, 4. 2 kere 2, 4. 8 geldi. Şimdi 1 kere 3, 3. 2 kere 1, 2. Ne geldi?
5 geldi. Aynı şekilde yazıyorum. 3 kere 4, 12. 2 kere 4, 8. 20 geldi. 3 kere 3, 9. 4. Daha 10. 3. Buradan da 13 geldi.
İşte A çarpı ve buna eşitmiş. Arkadaşlar peki merak ediyor musunuz? B çarpı A'da A çarpı B'ye eşit mi?
Gelin dilerseniz ona da biz bakalım. 4, 3, 2, 1. Yani 1, 2, 3, 4. Ne düşünüyorsunuz? Acaba eşitken gelecek mi? Bakıyoruz. Bununla bunu alıyorum.
Dikkat edin. 4, 9 daha 13. Sonra bununla yanındakini alıyorum. 2 kere 4, 8. 3 kere 4, 12, 20. 2 kere 1, 2. 1 kere 3, 7. Doğru yapıyoruz herhalde değil mi? 7 değil. Atıyorum.
Eşit midir? 5. Çarpı A'ya. Buradan gördüğünüz gibi eşit değildir.
Yani çarpmanın değişme gibi bir özelliği mevcut değildir. Ben onu söylemek istiyorum. Buna dikkat ediyoruz.
Tamam mı? A çarpı B çarpı A'ya eşit değil. O zaman şunu konuşalım biz.
Bir özellik daha diyelim. Özellik. Bakalım böyle bir şey mevcut mu? Mesela A artı B çarpı C olsun.
Ben bunu şöyle yazabilir miyim? A C artı B C. Bakın burada toplamayı dağıtabiliriz. Herhangi bir soru. sorun yoktur. Gelin hemen bir örnekle gözlemleyelim.
1, 2, 2, 1. Hızlıca bir örnek vermek istiyorum. 1, 3, 3, 1. C'ye de 1, 4, 4, 1 diyelim. 1, 4, 4, 1. Ya da şunlar da 0, 0 olsun. İşlemlerimiz kolay olsun.
Hızlıca yapalım. Şimdi bakın. A artı B çarpı C'ye gösterim.
A artı B çarpı C. Ne eşittir? A artı B'nin toplamından hızlıca toplama işlemi yapıyorum. 2 geldi.
5 geldi. 5 geldi ve 2 geldi. Şimdi ne yapıyoruz? C'ye ile çarpıyoruz. 1 0 0 1 Bu çarpmamız tanımlıdır.
Çünkü 2 çarpı 2 matrisler. Ne geldi? 2 geldi.
Buradan 5 geldi. 5 geldi. 2 geldi.
Artık çarpma işlemini hızlı yapıyorum. Bakalım AC artı BC'ye eşit mi? Şimdi A çarpı C'ye bakacağız. 1 2 2 1 çarpı 1 0 0 1 artı ne diyeceğiz?
1 3 3 1 çarpı 1 0 0 1 İnceleyelim bakalım ne gelecek. Buradan 1 geldi. Şurayı alıyorum.
Bakın şu kısmı şurayla çarpıyorum. Alttakinden 0 geldiği için bakmadık zaten. Buraya çarptım.
2 geldi. Buradan 2 geldi. Buradan 1 geldi.
Artı. Buradan 1 geldi. Buradan 3 geldi. Buradan 3 geldi. Buradan 1. Peki topladık.
Ne elde ediyoruz? Bakalım. Buradan 2. Buradan 5. Buradan 5. Buradan 2. Yine elde ettik. Yani ne oldu?
A, C artı B, C. A artı B çarpı C eşittir. A C artı B C şeklinde karşımıza çıktı. Yani böyle bir özellik kullanabiliyoruz.
Arkadaşlar bakın burada önemli olan nedir biliyor musunuz? Çarpmayı hangi yönden yaptığınızı yani sağından veya solundan çarpma diye kavramlar işin içine girecek. Yani ne dedik?
A çarpı B. Yani A'nın B ile sağdan çarpımı A'nın B ile soldan çarpımına eşit değildi. Değil mi?
Bunun gibi sağ ve sol çarpımlar diyeceğiz. Yani sağ. sol çarpımlar Biz şimdi bir bilim matriz tanımı yapmadık arkadaşlar. O bilim matriz tanımını da hemen verelim.
Şimdi bilim matriz dedi arkadaşlar. Bilim matriz Arkadaşlar bunun tanımı nedir biliyor musunuz? Her ij ij için şunu şöyle parantezde yazayım. Her ij için i ve c birbirine eşit ise biz ne diyeceğiz?
1 diyeceğiz arkadaşlar. i, c'den farklı ise biz buna ne diyeceğiz? 0 diyeceğiz. Şimdi bakın öyle bir matriz ki burası a11 mesela a21 gidiyor diyelim. a, n, a1, n diyelim.
Yani şöyle oldu o zaman a matrizimiz tanımlansın. a nereden nereye gidecek? n çarpı n'e gitsin.
Şimdi burada aşağı indiğimizde ne geldi? a, n, 1 devam ediyorum. a, n, n. Şimdi bakın biz ne dedik? İ'ler J'lere eşit ise biz burada 1 kullanıyoruz.
Bakın 1 1 birbirine eşit oldu. 2 1 de eşit değil 0. Yani bundan sonrakilerin hepsinde 0 gelecek arkadaşlar. Çünkü eşit olmayacak.
Değil mi? Ondan sonra 2 2 birbirine eşit olduğu için 1. Diğerlerinin hepsi 0 olacak. Şuraya 0. Ve en sonunda burada 1 olacaktır. İşte bakın burada gördüğünüz bir birim matrizdir arkadaşlar. Tamam.
Örnek verelim. Nokta nokta koysak daha iyi anlaşılacak. Herhalde.
Mesela I diyoruz biz bu birim matrisleri. I ile gösteriyoruz. 1 0 0 1. Gördüğünüz gibi bir birim matristir. Peki 2 dediğimiz nedir? İşte 2 0 0 2. Biz de buna ne diyeceğiz arkadaşlar?
Köşegen matris. diyeceğiz. Anlaştık mı? Köşeken matriz.
Peki gelin şunu gözlemleyelim. Bakalım ne oluyor? Bu çok önemli bir kuraldır. Çok dikkatli olalım. Ben yıldız atmak istiyorum.
Çok muazzam önemli bir kuraldır. Hepinizi bilmesi gerekiyor. Şimdi şöyle düşünün. A çarpı I olsun mesela. A çarpı hatta biz bunu arkadaşlar 2 çarpı 2 de direkt şöyle birimlerle gösterelim.
I'yi biz nasıl tanımlamıştık? 1 0 0 1 2 çarpı 2 olduğu için. Bu çarpma tanımlıdır. Çünkü 2 çarpı 2 2 çarpı 2. Sonucumuzda da ne olacak? Bir matriz 2 çarpı 2 çıkacaktır.
Peki işlemlerimizi yapalım. Bakın burayla şu kısımla şuraya çarptığımızda ne olacak? A1 1 gelecek değil mi arkadaşlar sadece?
A11 geldi. Bakın burayla şu kısmı çarptığımızda A11'in 0 ile çarpımdan 0 A21'in 1 ile çarpımdan A21 gelecek arkadaşlar. Anlaştık.
Aynı şekilde aşağıya yaptığımızda gene A21 gelecek. Aşağıya yaptığımızda A22 gelecek. Yani bu da neye eşittir? A'ya eşittir.
Sonuç olarak nedir biliyor musunuz arkadaşlar? Bakın A çarpı I eşittir. I çarpı A. Bu da A'ya eşittir.
Yani I'nın sağdan A ve B çarpma özelliği var. Ve bu yine çarptığımız bize matrisi veriyor. Anlaştık değil mi?
Peki şöyle bir şey yapabilir miyiz? A çarpı B çarpı I olsa mesela. Bu nedir? A I çarpı B'dir. Bunları yazabiliriz değil mi?
Bu nedir? I çarpı A B'dir. Bunları yazabiliriz.
Bununla herhangi bir değişme olmuyor. Dilerseniz bunu da herhangi bir örnek üzerinden gözlemleyebilirsiniz. Ben şu sondakini yazıp kafanızı karıştırmak istemiyorum.
Bunu bu şekilde gösterebiliyoruz. Şimdi bakalım elimizde neler var? Artık çarpmanın sağdan ve soldan dağılımında önemli olduğunu biliyoruz. Şunları söyleyebilirim.
Yani nedir? A B C. Ne eşittir arkadaşlar? A B C. Ne eşittir? özellik olarak yazayım. biz buraya yazmayalım.
özellik diyelim özellikleri nasıl tanımlayalım abc dedik abc olacaktır. yani bu çarpmada bakın yönümüz değişmediği için sağdan soldan c ile çarpıp yani c'nin hep B'nin sağ çarpımı. A nedir?
B'nin sol çarpımı. Burada değişmediği için yönlerimiz şöyle gösterelim oklarla. Bu parantezleri değiştirdiğimiz hakkında cevabımız değişmiyor arkadaşlar. Herhangi bir sorun teşkil etmiyor yani.
Onu demek istiyorum. Tamam mı? Bu şekilde yapabiliyoruz.
İlerleyelim bakalım. Başka ne var? Matriz çarpımda sıralamanın önemli olduğunu söylemiştik. Evet. Şimdi biz sıfır matrizimiz varmış.
Evet. Özelliğe devam edelim. O zaman bir demiş olalım şuna. Bir.
Başka bir renkle göstereyim ben. 1, 2 diyelim. Bakın bu ikinci özelliğimiz de çok önemli.
A artı 0. 0 artı A'ya eşit midir? Ve bu neye eşittir? Çok hızlı bir örnek.
A1, 1, A1, 2. Alıştınız zaten artık. A2, 1, A2, 2. Şimdi bunu biz sıfırla topladığımızda sıfır matrizde ne olacak? Karelemeli sıfır gene neye eşittir?
A11, A12, A21, A22 bu da neye eşittir? Gene A'ya eşittir. Yani A'ya her koşulda eşit olacaktır arkadaşlar bunu biliyoruz. Ondan sonra sıfır matriz hakkında konuştuk.
Bakıyorum başka diyeceğimiz bir şey var mı? Evet şunu söyleyelim. Bu da çok önemli.
Yani aşırı önemli bir kısım. Buraya bir yıldız atabiliriz hatta. Arkadaşlar şimdi şöyle bir sağdan soldan sadeleştireyim diye bir kafa yok. Anlaştık mı? Yani AB eşittir AC ise A'lar gitti.
B eşittir C falan demiyoruz. Tamam siliyorum. Gösterelim. Şimdi bakın ben örnek üzerinden göstereceğim bunu. A'yı şöyle seçelim mesela.
0 1 0 2 B'yi nasıl seçelim? 1 1 3 4 ve C'yi de arkadaşlar biz buradan 2 5 3 4 şeklinde seçelim. Bakın A çarp A çarpı B.
Neye eşit olacak? Hızlıca yapıyorum. A çarpı B.
3 geldi buradan. Buradan 4 geldi. Kapattık. 6 geldi.
8 geldi. B çarpı A çarpı C'ye bakalım. Hızlıca 2. Niye 2 geldi? Şurayı kapattık. 3. Hop kapattık.
AB'nin AC'ye eşit olduğunu bulduk. Peki ise B eşittir C diyorum. Yani sadece eşit bir eşittir.
işte mi? Varmış gibi düşünüyorum. Böyle bir şey var mı? B, C'yi eşit mi? B eşit değildir.
C değil mi? Tepede görmüştük. Ben şunu okla göstereyim hatta. Hop.
Karışmasına işte şu şekilde B'nin C'ye eşit olmadığını biliyoruz. O zaman sadeleştirme kuralı sadeleştirme kuralı Yoktur diyelim. Tamam bu tarzda bir şey yapmıyorsunuz.
Sakın sağdan soldan götüreyim falan gibi bir şey yok. B ise B eşit değildir C. Böyle yazabiliriz.
Yani tabii B, C eşit olduğu durumlar da vardır. Yani her zaman diyelim. Onu karıştırmıyorum.
Her zaman eşit değil. Tamam sadece eşitme kuralı yok diyelim. Şimdi başka ne yapabiliriz? Şu özellik de önemli arkadaşlar.
Biz bunu da ekleyelim. Çünkü çok karışıklığa sebep oluyor. 4 dedik mesela buna da yıldız atalım. Şimdi bakın şöyle bir şey desem ben size acaba ne dersiniz?
A çarpı B eşittir 0 ise A eşittir 0 veya B eşittir 0. Yani A ve B'nin çarpımı 0 ise A ya da B'den biri 0'dır. Doğal olarak 0 maddesiyle bir şeyin çarpımı 0 olacağı için ki biz onu gösterdik mi hemen olmadı onu da gösterelim. Ya da bunun üzerinden görelim ondan.
İkisinden biri 0 olacaktır diyorum. İçime sinmedi gösterdik mi biz onu? O zaman ilk başta onun üzerinde konuşalım. Yıldızımı sildim. Sıfır matrisle çarpın.
Şimdi A çarpı sıfır. Arkadaşlar A çarpı sıfır. Ne olacaktır? Sıfır çarpı A yeşil olacaktır.
Şimdi nasıl bakıyorum? Bakın sıfır sıfır. 0 0. Burada nedir? 2 çarpı 2 şeklinde. O zaman A matrizimizde 2 çarpı bir şey olmak zorunda.
A 1 1, A 1 2 Gene ben 2 2 seçiyorum. A 2 1, A 2 2. N çarpı N. Bakın burada gördüğünüz her elemanı 0 ile çarptığınızda 0'ya elde edeceksiniz. O zaman buradan biz gene ne elde ettik? 0 matriz elde ettik.
Değil mi? Yani demeyelim artık 2 çarpı 2 diyelim. Bakın burada gördüğünüz gibi 0'a neyi çarparsanız siz gene bir 0 matriz elde ediyorsunuz. Yani sonuç olarak Sağdan da soldan da çarpsanız 0'ı 50 edeceksiniz. Bakın 5. özellik çok önemli.
Şimdi bunun üzerinden bir yanılgıya düşüyoruz biz burada. Yıldız. Biraz aşağıdan yazalım.
Çıktı alırsanız. Bakın ben burada şöyle bir şey desem acaba inanır mısınız bana? a çarpı b eşittir 0 ise a eşittir 0 veya b eşittir 0. Yani çarpımları 0 ise ikisinden biri 0'dır. Doğal olarak çarpımları 0'dır diyorum.
Bakın bunun böyle olmadığını şöyle bir örnek ile görelim. Yani böyle bir şey yok demek bu x attığım. Ters bir örnek veriyorum 0 1 0 2. 0102B ile ne seçelim?
Mesela 3700 alabiliyormuşuz. A eşit değildir. 0 matriz. Bu da B eşit değil. Yani A ve B 0 matriz eşit değil şu anda.
Değil mi? Biz şunu... Şöyle alabilir miyiz? Kenara birazcık da küçültelim.
Peki. Şimdi ne yapalım? A'la B'nin çarpımına bakalım. Kaç geliyor?
0, 1, 0, 2. Arkadaşlar umarım bunu neden böyle seçtiğimizi iyi görmüşsünüzdür. Bakın şu. Şuradakileri kullandığımda burayla burayı çarpıyorum yani.
Şöyle gösterin. Burayla bura, burayla bura. Bunların çarpımından bak.
Buradan sıfır, buradan da sıfır. Buradan sıfır, buradan da sıfır. Yani hepsinden sıfır gelecek. Doğal olarak A çarpı B sıfır eşit.
Ama A eşit değildir sıfır, B eşit değildir sıfır. Dolayısıyla böyle bir kural yoktur arkadaşlar. Sakın böyle bir şey vardır deyip atlamıyorsunuz.
Tamam mı? Böyle bir şey olabilir, olmayabilir. Bak vallahi heyecandan elim kolum titriyor.
Böyle bir şey olabilir, olmayabilir. ondan sonra başka ne diyeceğiz herhangi bir şey var mı daha bir gözden geçirmek istiyorum işlemler üzerinde kalmamış gibi bazı şeyleri bildiyseniz kendinize çıkarabilirsiniz şimdi üçgen matrisler hakkında konuşalım üçgen matrisler Arkadaşlar bu üçgen matrislerde de biz iki tane üçgen söyleyeceğiz. İşte bunlar nedir?
Upper Triangular yani üst üçgen ve lower yani alt üçgen olmak üzere iki tanesinden bahsedeceğiz. Şimdi ben bunları yine bir iyiceyle tanımlayacağım. tanım yerine şöyle göstermek istiyorum.
Mesela biz A'yı tanımlayalım. Ne olsun? 2 1 0 diyelim.
Atıyorum. 0 0 1 diyelim. 0 0 1 diyelim.
Bakın siz şurayı gözden geçirdiğinizde şuradan baktığınız takdirde ne oluyor? Sol tarafın hep bir sıfır. Ya yeşille göstermeyim önemli bir şeymiş. Önemli de yani formül belirtiyor gibi olmasın. Sol taraf.
bu tarafın hep bir sıfır elemanına sahip olduğunu görüyorsunuz değil mi? Şuralar hep sıfır. Bakın işte biz bundan dolayı tamamen de boyayalım şöyle. Buna ne diyeceğiz biliyor musunuz? Biz buna üst üçgen diyeceğiz arkadaşlar.
Biz buna üst üçgen diyeceğiz. Çünkü üst kısmında kalan kısımdaki sayılar verilmiş. Mesela B diyelim.
Biz burada da B'ye şöyle bir örnek verelim. 0 0 0 0 0 olsun mesela. Burası da 0 olsun.
Zaten gözlemlediniz şu anda. 1 eksi 1. 2 olsun. Bakın ben buradan bir doğru çektim gene. Ve üst tarafta kalan kısımlar hep 0 olduğu için doğal olarak altta kalan kısımlar 0 değil. Yani bu 1 nedir arkadaşlar?
E şunun zıttı olacağından bu bir alt üçgendir. Tanımında ne diyoruz biliyor musunuz? Bakın buranın i'leri nedir?
Yani satırları sütunlarından daha fazladır değil mi? Çünkü doğru mu diyorum? Hayır. Satırları sütunlarından daha küçüktür. Bak.
Birinci satır bilmem kaçıncı üstün. O zaman bu bir alt üçgen oluyor ve i küçük Küçüktür J iken biz bunları hep 0 seçiyoruz. Ve burada da şuradan gösterelim.
İ büyüktür J iken biz burada 0 seçiyoruz. Bak İ kaçıncı satır? 10. satır mesela.
Birinci satır 0. Gördün mü? Bunları da bu şekilde belirtiyoruz. Bu İ'ci J'ye çok girip kafanızı karıştırmak istemiyorum. Olay bundan ibaret.
İ'ler J'ler bu şekilde. Şimdi alt üçgen üst üçgen bu tamamdır. Başka ne var? Simetrik, ters simetrik matrisler var.
Bunu da söyleyelim. Bu video burada son olsun. Simetrik matrisler.
Arkadaşlar bu simetrik matrisler cidden çok önemli. Bu arada biz bu simetrik matris için öncelikle bir transpos tanımı vermek zorundayız. Şimdi matrisin...
Matrisin... Bu transpozu yani nedir aslında bu devri diye de geçer arkadaşlar matrisin devri bu tamam mı bir matrisin devri nedir arkadaşlar bir matrisin devrini alırken biz bunu t şeklinde gösteriyoruz tamam mı ama adresini Transpoz demek. Ve A, I, J'lerden oluşsun.
A'nın transpozisi ise nelerden oluşacak biliyor musunuz? Arkadaşlar bunlar bakın yer değiştirecek. Valla gösteremiyorum. Hop şöyle yapalım.
Hop şöyle yapalım. Yani A'nın transpozu. Jilerden olacak arkadaşlar.
Bu da ne demek biliyor musunuz? Yani sizin madresiniz yan yatacak demek. Gösterelim.
A eşittir diyelim. A11 A12 A21 A22 olsun. Bakın şimdi siz A'nın transpozunu alırken ne yapacaksınız?
Şimdi şu I ve J'ler yer değiştirse de şurası değişmeyecek değil mi arkadaşlar? Hep aynı kalacak. O zaman götürüp yazabilirsin.
A11 A22. Hiçbir değişme olmadı. Bak burada A A1-2 ne olacak? A2-1 yerine gidecek. Yani şunu şuraya deviriyorum.
Bak bunu arkadaşlar biz hop bu şekilde buraya devirmiş olduk. Gözlemleyebiliyoruz değil mi? A1-2 oldu. A2-1 yazdık. İşte budur arkadaşlar.
A'nın transpozu. Bir örnek. Hemen. 1-2-3 1-4-5-6 diyelim. A'nın transpozuna bakarken devirdik.
1-2-3 4-5-6. İşte bakın. Burada dikkat etmeniz gereken şey 2 çarpı 3 ne oldu? 3 çarpı 2 oldu.
Yani i çarpı j ne oldu? j çarpı i oldu. Gördünüz mü arkadaşlar?
Bakın burası değişiyor. İşte burası çok önemlidir. Fark etmeniz lazım. Bu şekilde değişimi gözlemliyoruz.
Ben burayı işaretledim. Transpozunu bu şekilde buluyoruz. Tamamdır.
Şimdi gelelim biz simetrik ve ters simetrik kavramlarına. Şimdi simetrik diyelim. Bunu da tanıdıktan sonra bu videoyu burada bitirebiliriz. Simetrik. Arkadaşlar simetrik olması için ne diyoruz biliyor musunuz?
A'nın transpozu eğer A'ya eşit ise simetriktir. Yani ne olacak mesela? Örnek verelim.
Örnekten ziyade şöyle düşünebilirsiniz. Burada bir matriz tanımladık diyelim. Şu orta kısmı hariç. Mesela ben buraya E dediysem şuraya E diyeceğim.
Buraya F dediysem buraya F diyeceğim. Bir örnekle gösterip sonra bunu söyleyeyim. Daha iyi otursun. Mesela A'yı ne seçelim? 1-1 2 ondan sonra 1-0 3 ve 2-3 0 seçelim.
Şimdi A'nın transpozu ne olacak arkadaşlar bu durumda? 1-1 2 bakın deviriyorum. 1-0 3 devirdik.
2-3 0 geldi. Bakın bu durumda ne elde ettik? Görebiliyor musunuz? A'nın transpozu A'nın nesine eşit oldu? Eksi halısına eşit oldu.
O zaman bu nedir? Simetrik değildir arkadaşlar değil mi? İşte biz burada da ne diyoruz biliyor musunuz?
Eğer A'nın transpozu, bakın hemen başlığını atalım. İkisini bir arada göstermiş olacağız. Ters simetrik.
Şöyle çizdik. Eğer arkadaşlar bakın A'nın transpozu eşittir eksi A ise biz de buna ne diyoruz biliyor musunuz? Ters simetrik.
Bunun İngilizcesini şu şekilde belirtebiliriz. Scale simetrik. Bu da buradan geliyor. Hay Allah'ım bir yazarsam inşallah arkadaşlar. Bakın burada gördüğünüz şu bizim neyimiz oldu aslında?
Ters simetriğimiz oldu. Değil mi? Ana transpozu eksi a'ya eşit oldu. Bakın ben burada bir hızlıca göstermek istiyorum şunu.
Siyahla gösterebilirim. Şimdi a'yı şu şekilde seçersek. a, d, e Ondan sonra D, B, F diyelim. D, B, F. B ne gelecek? E, F, A. E, F, A gelecek.
Bakın buraya baktığınızda şurayı görmüyoruz. Tamam mı? Daha düzgün çizebilir miyim bilmiyorum.
Buranın şimdi karşı kıyılarına bakarsak. Bakın D, D gelmiş. B'yi görmedik.
E'ye gittik. E'ye gittik. F'yi görmedik.
Pardon çizgiyi görmedik. F'den gene burada hop hop F'ye gittik. Yani bu nedir arkadaşlar?
İşte bakın bu simetriktir. Tamam. Şu şekilde gördüğünüz simetrik olacaktır.
Yani nedir burada? A'nın transpozu A'yı eşit. Peki bir tane daha bir A matriz. Bu sefer de B matriz tanımlayalım. Bakın bu B matrizini gördüğünüzde Görünce böyle bir aydınlanma yaşayacaksınız.
Bu araları da 0 0 0 seçtik. Bakın bu bizim için çok büyük bir koşul. Ben şimdi bunun altına yazarız o zaman. D diyorum. Eksi D diyorum.
E diyorum. Ondan sonra buraya eksi E diyorum. Şöyle genişletelim. Eksi E diyorum.
Siz neden herhalde eksi F ve eksi E dediğiniz anınız. Bakın arkadaşlar burada da karşı kıyılarımız nedir? D'den eksi D'ye.
E'den eksi E'ye. F'den eksi F'ye. Bak burada B orta elemandı.
A'dan A'ya gitmiştik değil mi? Yani ne olmuştu? Aslında şuralarda keşke gösterme şansım olsa size. Bakın şurası da ne olmuştu? Böyle yer değiştirmiş değil mi?
Eğer bakın siz burada bir eleman yazmış olsaydınız. Yani şuralar bir eleman olsaydı. Durun bir dakika daha güzel gösterelim.
Eğer bakın buralarda bir eleman olsaydı atıyorum B gibi bir eleman. Yani siz bunun simetriğini aldığınızda ters simetrikse ne olacak? A'nın transpozu eksi A eşit olacağından B'yi eksi B'yi eşit bulacaktınız değil mi?
Ters simetrik olsaydı. Yani burada ne olacaktı arkadaşlar? Bir sayının eksi A'nın transpozu eksi A'nın eksi B'yi eşit bulacaktınız. Eksilisi ve pozitifi kendisine eşitse bu sayı 0'dır. İşte arkadaşlar o yüzden sağ ve sol keşelerin tepelerine biz 0 yazdık.
Tamam mı? Onun sebebi budur. Artık orayı anladığınızı umut ediyorum. F eksi F'ye döndü.
Bakın burada da nedir? Ters simetriktir. Yani buradaki bulduğumuz şey nedir? A'nın transpozu.
Şunu koymayalım. A'nın transpozu eşittir. Eksi A. Ve ne olacak?
Ben buraya bir koşul yazmak istiyorum. Neyle yazayım? Köşegenler sıfır. Tamam mı? Bak bunu unutursan valla yandın.
Köşegenler arkadaşlar sıfır olacaktır. Bunu unutmuyoruz. Ben bunu pembe ile işaretliyorum.
Hop köşegenlerimiz sıfır olacaktır. Yani A'nın transpozunun eksi A'ya eşit olduğu durumlar neymiş? Ters simetrikmiş.
A'nın transpozunun A'ya eşit olduğu durumlar da simetrikmiş. Arkadaşlar bundan sonra bir saniye satır indirgenmiş hal. Onun başlığını atalım. Burada bırakalım.
Satır indirgenmiş sıralı matriz. Bir matrizin tersi. Onları konuşacağız. Ne diyelim?
Satır indirgenmiş Satır indirgemiş matriz diyelim. Diğer dersimizde bunlardan bahsedeceğiz. Bundan sonra da teknik yani bir matrizin tersi, bir matrizin tersinin tekli kavramlar üzerine konuşacağız. Hepinize başarılar diliyorum.
PDF'e bu kısma kadar olan PDF açıklama kısmından ulaşabilirsiniz.