Einführung in die Thermodynamik und Entropie

Musik Guten Morgen, ich möchte die Vorlesung mit drei Fragen an Sie beginnen. Was versteht man unter einem abgeschlossenen System? Welche Aussage trifft der erste Hauptsatz der Thermodynamik über ein abgeschlossenes System? Und welche Aussage der zweite Hauptsatz? Sie sind dran. Was ist ein abgeschlossenes System? Vielen Dank. Ja, genau, also ein Türgefäß mit Deckel drauf. Welche Aussage trifft der erste Hauptsatz darüber? Die innere Energie ist konstant, was in dem Behälter drin ist, ist drin. Und welche Aussage trifft der zweite Hauptsatz? Das ist es, genau. Alles was da drin passiert, wird so sein, dass es einen Zustand erreicht wird, der mehr Entropie hat. Jeder irreversible Prozess mehrt die Entropie. Und damit sagt es das Hausüberrichtung spontaner Vorgänge. Es wurde sehr gut beantwortet. Ein abgeschlossenes System ist ein System aus starren Wänden und die Wände sind wärmeisolierend. Untertitelung des ZDF, 2020 Das heißt, es ist kein Stoffaustausch möglich, es ist keine Volumenarbeit möglich, es ist kein Energieaustausch möglich. Das ist das Modell eines abgeschlossenen Systems. Und dann gab es Aussagen, die wir treffen können. Der erste Hauptsatz hat die innere Energie als Zustandsgröße eingeführt. Wie muss der lauten, der erste Hauptsatz für dieses System? Die innere Energie in diesem Behälter, was drin ist, bleibt drin. Es verändert sich nicht. Die innere Energie ändert sich nicht. U ist gleich konstant. DU ist gleich 0. Vielen Das ist der erste Hauptsatz und das ist die Aussage. Das heißt, hier drinnen können Zustandsänderungen passieren, aber nur Zustandsänderungen, die die innere Energie unverändert lassen. Dank. Das ist die Randbedingung. Im Prinzip hat der die Rolle eines Buchhalters. Ein Buchhalter der inneren Energie. Welche Aussage trifft der zweite Hauptsatz über dieses System? Der zweite Hauptsatz sagt aus, die innere Energie lasse ich konstant. Der zweite Hauptsatz sagt aus, es gibt eine Zustandsgröße Entropie. Und alle Änderungen, die in dem Behälter passieren, werden die Entropie wachsen lassen. Der Hauptsatz sagt aus... Die S ist größer 0. Jeder irreversible Prozess wird die Entropie vermehren. Ein Gleichnull ist auch möglich. Gleichnull werden reversible Zustandsänderungen, die vollständig umkehrbar sind. Reversible Zustandsänderungen... Lassen die Entropie unverändert irreversible Zustandsänderungen. Mehr in die Entropie. Die Entropie wächst. Welche Aussage kann ich jetzt treffen, wenn das Gleichgewicht eingestellt ist? Hier drin habe ich was reingefüllt und es wird der Gleichgewichtszustand erreicht. Vielen Welchen Wert nimmt dann die Entropie an? Dank. Sie sind dran. Welchen Wert nehmen wir an? Die Entropie. Das ist das Maximum. Also schon verblüffend. Auch da war das verdaut. Die Entropie nimmt den Maximalwert an im Gleichgewicht. Vielen Das heißt, in einem System, bei dem die innere Energie und das Volumen konstant sind, ein abgeschlossenes System, streben alle Prozesse ein Mehren der Entropie. Dank. Und im Gleichgewicht wird der Zustand angenommen, der die Entropie ihren Maximalwert annimmt. Das heißt, es kommt auch eine Zeitachse rein. Wir wissen, ds nach dt und die Zeit ist immer größer gleich 0. Und wenn Sie einen irreversiblen Prozess angucken, wie die Expansion eines Gases ins Vakuum. dann ist das ein irreversibler Prozess, der spontan passiert. Dieser Ausgangszustand, bei dem alles hier in dem Behälter sind, verändert sich zu diesem Zustand. Dieser Endzustand hat eine höhere Entropie als der Ausgangszustand. Das ist die Triebkraft dafür. Und wenn Sie ein molekulares Bildchen einer MD-Simulation anschauen würden und würden die MD-Simulation rückwärts laufen lassen, dann wäre das sehr befremdend für Sie. Wenn Sie sagen, die Teilchen, die hier sind, Vielen Dank. wandern alle durch Zufallsbewegungen in den Ausgangszustand. Das würde Sie befremden. Also die Entopie schafft diese Richtung. Und damit ist die Rolle eigentlich, die die Entopie einnimmt, die eines Chefs. Der sagt, wo es lang geht. Also die Rolle vom ersten Hauptsatz wäre die eines Buchhalters. Es dürfen nur Prozesse passieren, die die innere Energie unverändert lassen. Welcher von allen denkbaren Prozessen passiert, das entscheidet der zweite Hauptsatz. Es wird der Prozess passieren, Untertitelung des ZDF, bei dem die Entropie maximal wird. Wir haben auch das letzte Mal gesehen, wie man sowas berechnen würde. Wie würde ich die Entropieänderung berechnen? Sie sind dran. 2020 Bei dem Prozess Expansion eines Gases ins Vakuum. Untertitelung des ZDF, 2020 Also das erste was Sie machen müssen, ist Sie beide Zustände anschauen und charakterisieren durch Zustandsgrößen. Vielen Dieser Zustand hat Pi0, V0, Ti0. Dieser Zustand hier hat einen veränderten Druck, das doppelte Volumen und die Temperatur blieb gleich, da es ein ideales Gas war, Dank. was wir betrachtet hatten. Das heißt, Sie suchen jetzt einen Prozess. Der Gedachte ist ein fiktiver Prozess, bei dem Sie diesen Ausgangszustand in den Endzustand überführen, das Gas, und Sie sollen dabei Q-reversibel bestimmen und durch die Temperatur teilen. Das gibt Ihnen die Entropieänderung in diesem Prozess an. Das heißt, der Ersatzprozess, den wir hier haben, war dann nichts anderes als die reversible Isothermexpansion eines Gases. Also Ausgangszustand, Endzustand, die Zustandsgrößen. Der Ersatzprozess ist die reversible isotherme Expansion eines Gases, Vielen Dank. die wir auch intensiv bei Cano besprochen haben. Wir halten da die Wärmemenge. Wenn wir die durch die Temperatur teilen, haben wir die Entropieänderung ausgerechnet. Und es kam raus, R mal ln V2 durch V1. Wir haben die Größe innerer Energie interpretiert molekular. Wie würden Sie innere Energie molekular interpretieren? Sie sind nochmal dran. Vielen Dank. Vielen Dank Ich glaube, die meisten sind auch klar, innere Energie ist ein sehr suggestives Begriff. Vielen Dank. Er sagt aus, welche Energie steckt in meinem Behälter drin? Es muss in den Molekülen drin stecken. Die Moleküle haben kinetische Energie, sie haben Wechselwirkung, potenzielle Energie. Sie haben vielleicht Energie deponiert in innere Freiheitsgrade, Rotation, Schwingung, elektronische Anregungen. Und das heißt, die innere Energie ist nichts weiter als die Summe über alle Moleküle. Und wir summieren eben auf E-Kin plus E-Pod plus Vielen Dank. E-innere Freiheitsgrade. Was wir heute machen wollen, ist die Entropie auch statistisch interpretieren. Ein Verständnis für diese unanschauliche Größe Entropie zu bekommen. Und irgendwo ist uns schon klar, das hat was mit Wahrscheinlichkeiten zu tun. Denn schauen Sie diesen Prozess an. Dieser Endzustand und dieser Anfangszustand haben die gleiche innere Energie. Wir haben hier wechselwirkungsfreie Teilchen. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Expansion dieser Zustand... angenommen ist, ist verschwindend klein. Die Wahrscheinlichkeit war nichts anderes als 1,5 hoch n und n ist 10 hoch 23. Das heißt, Entropie oder diese Richtung muss etwas auch mit den Wahrscheinlichkeiten zu tun haben und das wollen wir heute klar machen. Vielen Dank. Um statistische Thermodynamik zu verstehen, brauchen Sie ein paar Begriffe. Der erste Begriff ist der des Mikrozustand. Makrozustand. Und der nächste wäre der Begriff der Verteilungsfunktion. Vielen Wir haben in der letzten Stunde schon ein paar Beispiele diskutiert. Machen wir es nochmal mit Powerpoint. Ein Gas explodiert ins Vakuum. Wie bilden wir das ab auf die statistische Thermodynamik? Dank. Erste Frage. Was mache ich? Was ist die Idee? Sie sind dran. Wie fangen wir an? Was ist der erste Schritt? Wir wollen was abzählen. Vielen Dank. Der erste Schritt, Vielen wenn wir etwas abzählen, das heißt wir unterteilen den Raum in kleine Kästchen. Dank. Die Kästchen sind groß genug, gerade ein Molekül Heliumatom aufzunehmen. Das heißt, wir reden eigentlich beim realen System von einer großen Anzahl an Kästchen. 10 hoch 30 Kästchen. Und da sind 10 hoch 20 Moleküle zu verteilen. Das heißt, wir fangen so ein Gitter an und wir müssen die Begriffe Makro- und Mikrozustand definieren. Wie würden Sie die tun für das Problem, das wir gerade betrachten? Wie würden Sie es sortieren? Makrozustand heißt, ich gucke so von weit draußen auf mein System und versuche mein System durch wenige Größen zu charakterisieren. Mikrozustand spezifiziert mein System sehr genau. Sie sind dran. Was ist Makro, was ist Mikro? Vielen Dank. Zum Makrozustand könnte zum Beispiel sagen, wie viele Teilchen sitzen in der linken Kammer. Das wäre eine gute Aussage. Dann weise ich genau alle Zustände, die da möglich sind, zu diesem Makrozustand. Wenn ich die Teilchen in der linken Kammer kenne, kenne ich die auch in der rechten Kammer. Das wäre eine andere Größe, die ich nehmen kann. Und Mikrozustand wäre natürlich wieder spezifiziert so genau wie möglich. Wo sitzt jedes Teilchen? Machen Sie es für das Lotto-Problem 6 aus 49. Wir machen jetzt kein thermodynamisches System, sondern sechs Teilchen, 49 Kästchen. Vielen Versuchen Sie da auch den Begriff Verteilungsfunktion zu definieren. Dank. Also beginnen wir mit 6 Teiche. Ein Marko-Zustand wäre doch 6 Teiche in der linken Kammer, 0 in der rechten. Wie viele Möglichkeiten habe ich für diesen Zustand? Wie viele Anordnungsmöglichkeiten? Das Lotto-Problem. Der Zustand hat 49 Fakultät durch 6 Fakultät durch 43 Fakultät. Das ist das Lotto-Problem. Und das Ergebnis ist eine große Zahl, 14 Millionen. Und das ist das Erste, was man bei der Verteilungsfunktion hier aufträgt. Bei der Verteilungsfunktion trägt man auf, Zahl der Mikrozustände. für eine Größe, die die Makrozustände charakterisiert. Und hier werden unsere Makrozustände nur 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Wir haben hier 14 Millionen Möglichkeiten. Vielen Dank. Wie sieht es aus für den Zustand 5? Die Verteilung in der linken Kammer und der rechten Kammer sind voneinander unabhängig. Das heißt, es ist multiplikativ. Und es kommt raus 93 Millionen Möglichkeiten. Machen Sie bitte vier Teilchen in der linken Kammer, zwei in der rechten. Was kommt da raus? Da ist dann 49 Fakultät durch 4 Fakultät durch 45 Fakultät mal 49 Fakultät durch 2 Fakultät durch mal 47 Fakultät. Es kommt eine größere Zahl heraus. Und die größte Zahl kommt dann raus, Vielen Dank. wenn drei Teilchen in der linken Kammer sind und drei Teilchen in der rechten Kammer. Nämlich 339 Millionen Möglichkeiten. Und diese Verteilungsfunktion, die ist symmetrisch hier für unser Beispiel. Das heißt, wenn ich das System sich selbst überlasse, wird der Zustand mit mehr Realisierungsmöglichkeiten häufiger beobachtet. Vielen Ich beobachte am häufigsten den gleichverteilten Zustand 3-3. Wie verändert sich jetzt das Systemverhalten, wenn ich zu thermodynamischen Systemen übergehe? Dank. 10 hoch 20 Teilchen auf 10 hoch 30 Kästchen. Wie verändert sich die Verteilungsfunktion? Malst es ein. Völlig richtig beantwortet. Die Verteilungsfunktion wird sehr eng. Das heißt, die Verteilungsfunktion bei vielen Teilchen wird so aussehen. Vielen dass ein Zustand ein so viel höheres statistisches Gewicht hat, dass ich nur diesen Zustand beobachte. Das ist Omega Max. Dank. Und eine Idee wäre, Die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des wahrscheinlichsten Zustandes ist ungefähr gleich der Zahl aller Mikrozustände in meinem System. Vielen Die Verteilungsfunktion wird so eng und der wahrscheinlichste Zustand hat ein so höheres statistisches Gewicht, Dank. dass ich eigentlich alle anderen neben ihm vergessen kann. Das Systemverhalten wird deterministisch, vorhersagbar. Noch ein Beispiel, Vielen auch von der letzten Stunde. Spiel mit zwei Würfeln, Makrozustand, Mikrozustand. Dank. Wie können die sortieren? Vielen Dank. Eine Möglichkeit wäre, Makrozustand ist die Gesamtaugenzahl, die Summe der Augenzahlen. Zahlen von beiden Würfeln oder von n Würfeln, wenn ich mit n Würfeln spiele. Und der Mikrozustand wäre genau, spezifisiere das System so genau wie möglich, welche Zahl trägt jeder Würfel. Wie wird da die Verteilungsfunktion aussehen für zwei Würfel? Welches ist der Zustand, den ich häufiger beobachten werde? Welchen werde ich selten beobachten? Für die 2 gibt es nur eine Möglichkeit. Beide Würfel müssen die 1 tragen. Für die 12 gibt es auch nur eine Möglichkeit. Beide müssen die 6 tragen. Dagegen hat der Zustand 7 mehr Realisierungsmöglichkeiten. 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, Vielen Dank. 2, 5, 1, 6. Was können Sie aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Mikrozustandes? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen gegebenen Mikrozustand bei dem Beispiel? Ein Mikrozustand wäre eine Würfelkombination. Der eine trägt eins, der andere sechs. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand? Jeder Mikrozustand ist gleich wahrscheinlich. Und hier in dem Beispiel wäre es einfach 1,36. Es gibt keinen Mikrozustand, der irgendwo präferiert wäre. Und das ist eine Prämisse, die wir haben bei diesem ganzen Spiel. Wie verändert sich jetzt diese Verteilungsfunktion, wenn ich zu großen Anzahl an Würfeln gehe? Was passiert? Drei Würfel, hundert Würfel, zehn Milliarden Würfel, thermodynamische Größen. Die Verteilungsfunktion wird enger. Das ist genau das Verhalten. Je mehr Würfel involviert sind, umso vorhersagbarer wird das Ergebnis. Wenn ich thermodynamische Systeme habe, dann kann man ausrechnen. Mit hoher Wahrscheinlichkeit wird diese Zahl beobachtet. Und es gibt kaum mehr Variation dazu. Das ist genau die Aussage, wenn ich sehr viele Würfel habe, ist Omega Max hat so viel mehr Realisierungsmöglichkeiten, dass ich alle anderen vergessen kann gegenüber Omega Max. Das Ergebnis des Systems ist vorhersehbar. Und das sind wichtige Kenngröße. Und die wird mit Entropie verknüpft sein. Und Makrozustand war ein von wenigen Variablen. Also im Grunde genommen unser Kochrezept ist später, stelle eine Verteilungsfunktion auf und suche das Maximum der Verteilungsfunktion und ich weiß, wie mein System sich verhält. Das ist das, was wir auch in der nächsten Stunde machen werden, mit einem sehr wichtigen Problem. Vielen Ich würde gerne nochmal, dass Sie jetzt versuchen, selber Begriffe zu erfinden. Dank. Makrozustand, Mikrozustand für ein Brot. Problem, Polymer in Lösung. Polymer ist so ein langes Fadenmolekül. Polyethylen, eine Wiederholeinheit, aber ganz oft wird die wiederholt. Es entsteht so ein langes Fadenmolekül. So was wie ein Spaghetti. Und es ist klar, wenn Sie... So ein Spaghetti-Polyethylen lösen oder Polystyrol in Tolerol lösen, das Molekül wird eine bestimmte Konformation einnehmen. Wenn Sie ein Polymer nehmen und in einer Schmelze die Konformation analysieren, wird es auch irgendwo gekneult sein. Und ich würde gerne den Prozess beschreiben. Finden Sie mal Größen, die Makrozustand und Mikrozustand für ein Polymer beschreiben. Und wenn Sie Polymer nicht vorstellen wollen, stellen Sie Ihnen Spaghetti vor. Sie nehmen Spaghetti aus der Tüte raus und schmeißen sie in Wasser rein und Sie analysieren die Form. Und Sie versuchen jetzt, Größen zu finden, Makrozustand, Mikrozustand für dieses System. Wie würde die Konformation von einem Spaghetti im Wasser sein? irgendwie geknallt und jetzt müssen wir eine größe finden mit der man vielleicht das sortieren kann wie kann ich jetzt so eine konformation und sagen das da schaut genauso aus wie die da das will die alle zum gleichen zuordnen das heißt wir brauchen jetzt größen die irgendwie das sortieren erlaubt und würden auch sagen das links aus der packung raus ist irgendwas anders da brauchen wir eine sortierungsgröße Die Frage ist dann klar, oder? Ja, das ist gut. Ja, die Bewegung führt sich immer um in den einen oder anderen. Man bräuchte einen strukturellen Parameter. Man würde sich ständig umsortieren, aber wenn man gemisse Konformationen, würde man einen Zustand zuordnen. Jetzt sehen wir die Enden der beiden Polymere. Wäre das eine gute Größe? Stellen Sie sich mal vor, wenn Sie das Spagetti rausnehmen. Ein Zustand. Welche Konformation können Sie finden, wenn ich den Abstand kleiner mache? Wenn Sie sagen, da geht die Konformation dazu, aber auch die und die. Das wäre eine Möglichkeit, das zu sortieren. Also wir müssen Dinge unterscheiden. Wir nehmen die Spaghetti aus der Packung, so was hier, und schmeißen sie in kochendes Wasser rein. Das wird nicht mehr so bleiben, sondern sich verändern. Welche Größe könnte man finden? Es gibt natürlich viele, die sehr viel Größe haben. finden können. Eine, die sich vielleicht anbietet, ist der End-zu-End-Vektor. Das wäre zum Beispiel etwas, nach dem ich sortieren kann. Ich könnte sagen, ein Polymer aus der Packung raus hat einen End-zu-End-Vektor. Und der ist recht groß. Da gibt es auch nur einen Mikrozustand hier, der diesen End-zu-End-Vektor realisiert. Wenn ich den Abstand kleiner mache, verändert es sich. Bei einem vorgegebenen Abstand... Wenn ich den End-zu-End-Vektor kleiner mache, zum Beispiel diesen Wert gebe, dann können Sie ganz viele Konfigurationen reinmalen, die halt die Enden verbinden. Also wäre das erlaubt. Oder das wäre eine Konformation. Sie können also all die Zustände reinpacken, die eben einen vorgegebenen End-zu-End-Vektor haben. Was ist die Aussage der statistischen Thermodynamik über unser Systemverhalten? Malen Sie die Verteilungsfunktion auf. Wie wird die aussehen? Vielen Dank. Das ist natürlich genau das gleiche Spiel wie immer. Das heißt, wenn die Kettenlänge nicht so groß ist, habe ich eine breite Verteilung. Je größer der Polymerisationsgrad meines Polymers ist, je länger das Fadenmolekül ist, umso enger wird die Verteilung. Und Sie können Vorhersagen ausrechnen und die Struktur von dem Ding analysieren. Das machen wir in einem Übungsblatt. von diesem Knäuel. Das ist Random Coil, heißt es, oder auch Gaussknäuel. Und es sieht halt so aus und hat gewisse Eigenschaften, die Sie vorhersagen können. Es sieht so aus. Das ist das Gaussknäuel. Und es hat gewisse Eigenschaften, die Sie direkt vorhersehen können aus der statistischen Analyse. Das ist ein Teilaspekt des Qualitativ im nächsten Übungsblatt von diesem Problem. Vielen Dank. Vielen Dank. Wir wollen... Eine Flüssigkeitsmischung abbilden auf unseren Formalismus statistische Thermodynamik. Das heißt, wir nehmen zum Beispiel zwei Substanzen, die volumenbeliebig mischbar sind. Methanol und Wasser mischen sich im beliebigen Verhältnis. Benzol-Tolo-Ol mischt sich im beliebigen Verhältnis. Verhältnis. Was versteht man unter einer idealen Mischung? Was ist eine reale Mischung? Sie sind dran, kennen die Begriffe wahrscheinlich aus der Allgemeinchemie. Vielen Durch welche einfachen makroskopischen Experimente würden Sie nachprüfen, ob etwas ideal ist bei der Flüssigkeitsmischung? Dank. Vielen Sie nehmen einen Liter der einen Substanz und einen Liter der anderen Substanz und geben die zusammen. Dank. Das Ganze ist ideal, wenn zwei Liter rauskommen und die Temperatur sich dabei nicht verändert hat. Sie messen hier T1, Sie messen hier T1 und Sie messen hier T1. Vielen Dank. Also eine ideale Lösung ist einfach, wo die Volumina additiv sind und keine Wärmetötung auftritt durch das Mischen. Das heißt, es gilt für die Oberen vielleicht bedingt. Für das wahrscheinlich schon ganz gut. auch etwas ein wärme effekt wo es keinen geben würde was völlig schön in die jahr wäre wäre vielleicht eine mischung wo ich mit isotropen spiel wasser und die 2o ist man auch wichtig sie begreifen ideal hat nicht wie ideales gas keine wechselwirkung zu tun das ist nicht der begriff ideal ideal heißt nur Vielen Dank. Die Wechselwirkungen sind gleich. Das heißt, wenn ich sage, die Wechselwirkungen zwischen AA und die Wechselenergie zwischen AB und die Wechselwirkungen zwischen BB sind ungefähr gleich. Das würde ideal bedeuten. Dann habe ich keinen kalorischen Effekt, wenn ich die zusammengebe. Ich kann der Mischphase eins gegen das andere austauschen. Das heißt ideal. Wir betrachten etwas, was beliebig mischbar ist und wir gehen mit einer 1 zu 1 Mischung aus. Ich gebe die zusammen und dann habe ich in meinem Behälter eine 1 zu 1 Mischung dieser Substanzen. Eine Flüssigkeit wäre so, dass die Teilchen alle statistisch homogen verteilt wären. Das wäre eine Mischphase. Da gibt es kein Clustern. homogen gemischt. So eine Flüssigkeit ist auch inkompressibel, das heißt, man muss sehr starke Drücke applizieren, um das Volumen zu verändern, das heißt, es ist kaum Platz zwischen den Teichen. Der ganze Raum ist eingenommen von A und B. Das ist auch ein Charakteristikum. So und jetzt möchte ich ein kleines Teilvolumen beschreiben. Ich greife dieses Teilvolumen heraus und möchte das abbilden auf den Rahmen der statistischen Thermodynamik. Das heißt, diesen blauen Bereich würde ich natürlich hier raus projizieren. Und dann beschreiben, damit es abziehbar ist. Muss ich Vereinfachung machen. Was werde ich wohl machen? Ich teile das auf in kleine Kästchen. Das gibt die Möglichkeit, es abzuziehen. Der Raum ist eingeteilt in Kästchen. Und jedes Kästchen kann jetzt besetzt sein mit A oder B. Und A oder B sind eine der beiden Komponenten. Sie sind wieder dran. Was ist ein Makrozustand? Was ist ein Mikrozustand in diesem System? Vielen Dank. Also Makrozustand wäre doch etwas so die Zusammensetzung, die Sie hier in dem kleinen Teilvolumen anschauen. Wie viele A-Teilchen sind drin oder wie viele B-Teilchen? Die Zusammensetzung. Das wäre der Makrozustand. Und Mikrozustand wäre natürlich wieder sehr genau zu bespitzigen. Kästchen Nummer 1, A, A, B, A, A, B und so weiter. Welche Aussage kann ich, ich habe hier N Gitterplätze, wenn ich die Flüssigkeit abbilde, wie kann ich die N Gitterplätze durch N A und N B ausdrücken? Gibt es da eine Beziehung zwischen N A, N B und der Gesamtzahl der Gitterplätze? Wenn Sie Flüssigkeit anschauen, sowas da oben, inkompressibel. Was haben Sie gesagt? Genau, das ist eine wichtige Erkenntnis. Völlig richtig, alle Gitterplätze sind besetzt. Ich kann sagen, n ist gleich na plus nb. Das drückt sich aus, Flüssigkeiten sind inkompressibel. Alle Plätze sind besetzt. Also uns sind die Begriffe klar, was der Makrozustand, was der Mikrozustand ist. Das sind diese Verteilungen dran. Jetzt wäre die Frage, wie viele Mikrozustände gibt es überhaupt in dem System? Wie viele Mikrozustände wären denkbar? Die Gesamtzahl aller Mikrozustände möchte ich von Ihnen hören. Denken Sie einfach, nicht kompliziert. Können Sie es sofort, jeder von Ihnen kann das. Denken Sie einfach, hier ist das Kästchen. Vielen Dank. Was kann da drin sitzen? Ein A oder B. Was kann hier drin sitzen? Ein A oder B. Was kann hier drin sitzen? Ein A oder B. Wir haben eine ideale Mischphase. Das heißt, die Zusammensetzung hier beeinflusst nicht das Ergebnis hier und nicht hier. Damit wirst du es haben. Was kommt raus? 2 hoch N. 2 hoch N. Zwei Möglichkeiten mal zwei Möglichkeiten mal zwei Möglichkeiten mal zwei. Die Gesamtzahl aller Mikrozustände ist 2 hoch N. Wie viele Makrozustände gibt es in diesem System? Vielen Dank. Makrozustand war die Zusammensetzung. Wie viele Zusammensetzungen sind denkbar? Für die Zusammensetzung zu angeben, brauchen Sie die Kenntnis, wie viele A's haben Sie in den Kästchen drin. N-A, wenn ich kenne, kenne ich auch N-B. Und die jetzt schon ganz schnell sagen, ich habe es, denken sie nochmal nach und holen sie den einen Pluspunkt vielleicht noch für die Klausur. Das ist nicht das, was sie als erstes denken, sondern sie müssen noch ein bisschen nachdenken, eine Möglichkeit mehr finden, als die, die ich hier gesehen habe. Ich würde sagen, wie viele Makrozustände gibt es? N Zusammensetzungen und dann noch eine dazu, weil alles mit B auch besetzt sein kann. Die Anzahl der Makrozustände wäre N Gitterplätze. Vielen Das sind alle möglichen Zusammensetzungen und eigentlich müssen wir noch ein Plus 1 dazu addieren. Warum das Plus 1? Weil alles auch mit B besetzt sein könnte. Dank. Was ist der wahrscheinlichste? Makrozustand, den ich beobachten werde. Wir haben begonnen, ideale Mischphase mit einer 1 zu 1 Mischung und schauen uns an ein kleines Teilvolumen. Welche Zusammensetzung wird da vorliegen? Was ist der wahrscheinlichste Makrozustand? Vielen Dank. Vielen Dank ist natürlich die makroskopische Zusammensetzung. Na ist gleich Nb. Wie viele Realisierungsmöglichkeiten hat ein Makrozustand mit N-A und N-B? Die Frage hier. Vielen Dank. Eigentlich beim Gas intensiv besprochen, schauen Sie es einfach an. Ich habe hier eine Zusammensetzung und frage, welche Anordnungsmöglichkeiten gibt es denn in Gitterplätze und da in A und in B drauf. Die Vertauschung von A bringt nichts Neues, die Vertauschung von B bringt nichts Neues, also ist das Ergebnis ein Lotto-Problem. Omega ist nichts anderes als Omega ist nichts anderes als N-Fakultät, die Zahl der Gitterplätze, durch N-A-Fakultät, durch N-B-Fakultät. N-Gitterplätze, Vermutation von N-A bringt nichts, Vermutation von N-B bringt nichts, also ist das dieser Ausdruck. Die Zahlen werden sehr groß. Wenn ich Omega Max angehen komme, kommt eine riesen Zahl raus. Für die statistische Behandlung ist es oft vorteilhafter, den Logarithmus zu verwenden. Der Logarithmus macht aus diesen großen Zahlen kleine Zahlen. Wenn ich anschaue, ln Omega Max. Dann war das nichts weiter als N-Fakultät durch N-Halbe-Fakultät mal N-Halbe-Fakultät. Dafür kann ich auch schreiben ln Omega Max ist gleich, natürlich fehlt hier der ln, ln n Fakultät minus 2 mal ln n halbe Fakultät. Und dafür gibt es eine Näherungsformel, die in der Statistik häufig gebraucht ist, die Stirling-Formel. Und die Stirling-Formel sagt aus, ln n-Fakultät kann ich in guter Näherung beschreiben durch n mal ln, n minus n. Also statt mit Omega zu rechnen, rechnen wir mit ln Omega. Und dann haben wir einen Ausdruck, da steht ln n Fakultät minus 2 mal ln n Fakultät. halbe Fakultät. Und jetzt können wir die Stirling-Formel anwenden. Und dann steht da ln Omega Max ist gleich. ln n Fakultät ist also gleich n mal ln n minus n. Minus 2 in halbe Fakultät. Also n halbe mal ln n halbe minus n halbe. Ist gleich n mal ln n minus n minus, minus 2 multipliziert sich rein, n mal ln n halbe minus minus plus n. Ah, n fällt weg, wunderbar. Weg damit. Und dafür kann ich auch schreiben, dass es dasselbe wie n mal ln n minus n mal ln n minus n mal ln 1 halb. Ich benutze nur ln a mal b ist dasselbe wie ln a plus ln b. Ist also gleich, geht nochmal aufs Weg. Ich finde eine wichtige Beziehung. ln Omega Max ist gleich n mal ln 2. Auf der Tafel stand eine wichtige Erkenntnis. Wir haben behauptet, dass der wahrscheinlichste Zustand so viel mehr Realisierungsmöglichkeiten hat, dass seine Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten ungefähr dem aller möglichen im System entspricht. Zeigen Sie das doch mal. Stimmt das für unser System, was wir gerade analysieren? Vielen Dank. Es steht ja alles an der Tafel schon da. Wir haben gesagt, wie viele Mikrozustände gibt es überhaupt in dem System? Und haben gesagt, jedes Kästen ist entweder mit A oder B besetzt. Es gibt 2 hoch N Mikrozustände überhaupt. Das heißt, die Summe aller Omega I ist gleich 2 hoch N. Der Logarithmus der Summe von allen Mikrozuständen im System ist dann n mal ln2. Und das ist genau das gleiche wie die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des wahrscheinlichsten Zustandes. Ist gleich ln Omega Max. Der Logarithmus ist eine kontinuierlich wachsende Funktion. Wenn lnmax, das ist eine eindeutige Beziehung hier, das heißt ich kann auch schreiben, Omega max ist gleich Summe aller Omega i. Vielen Dank. Dann haben wir für ein System die obige Behauptung bewiesen. Bevor ich wegwäsche, vielleicht nochmal den Gesamtgedankengang. Das reale System, was ich abbilden möchte auf den Formalismus, war eine Flüssigkeitsmischung von Substanzen, die ähnlich sind. Und gesagt, ideale Mischung wäre eine Mischung, wo die Volumina additiv sind und die Temperatur sich beimischen. Mischvorgang nicht ändert. Das heißt, die Moleküle sind sehr ähnlich und die Wechselwirkungsenergie der Teilchen A entspricht der Wechselwirkungsenergie zwischen A und B, Vielen entspricht der zwischen zwei B-Molekülen. Das wäre das, was eigentlich hier ideal ausmacht. Den geringsten Wärmeeffekt würde ich haben, Dank. wenn ich die beiden Substanzen nehmen würde, D2O und H2O. Und ich mische die beiden jetzt im Verhältnis von 1 zu 1. Dann würde ich sagen, in jedem Teil... Teilbereich würde ich erwarten eine 1 zu 1 Mischung. Vielen Dank. Das heißt, wir haben einfach gesagt, wir haben eine Mischphase von den beiden. Die Moleküle werden zufällig gemischt sein und wir betrachten jetzt ein kleines Teilvolumen. diese Systemgrenzen werden eigentlich offen. Und jeder Gitterplatz, den ich hier künstlich eingeführt habe, ist dann entweder durch ein A-Teilchen oder ein B-Teilchen besetzt. Wir haben gesagt, wenn ich diese Flüssigkeit abbilde, die ist inkompressibel. Das heißt, jeder Gitterplatz ist besetzt. Wir haben gesagt, die Gesamtzahl der Gitterplätze ist in A plus in B. Auch hier haben wir wieder unser Spiel formuliert. Mikrozustand. Und mir ist es natürlich... Genau die Erkenntnis, Vielen wo sitzt jedes Teilchen. Ist es mit A oder B besetzt? Makrozustand ist die Gesamtzusammensetzung. Wie viele As sind besetzt? Dank. Da jedes Kästchen mit A oder B besetzt sein kann und die Besetzung eines Kästchens vom Nachbarkästchen unabhängig ist, Gibt es insgesamt zwei hoch n Mikrozustände in meinem System? Jedes Gäste ist mit A oder B besetzt. A oder B, A oder B, A oder B. Die Besetzung ist ein, Vielen hat nichts mit dem anderen zu tun, es ist multiplikativ. Zwei hoch n Möglichkeiten, n waren die Anzahl der Gitterplätze. Die Summe aller Omega I, alle denkbaren Mikrozustände ist zwei hoch n. Dank. Ein Makrozustand gibt die Gesamtzusammensetzung an. Na genügt als Kenntnis. Dann weiß sie, wie die Gesamtzusammensetzung ist. Die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten für irgendeinen Makrozustand ist dann N-Fakultät durch Na-Fakultät durch N-Na-Fakultät. Und der wahrscheinlichste Zustand ist natürlich der Zustand, der die gleiche Konzentrationsverhältnis wie das Gesamtvolumen hat. Und dieser Zustand ist eben gegeben durch Na ist gleich Nb ist gleich N halbe. Das heißt wir können Omega Max hinschreiben. Omega Max ist dann N Fakultät durch N halbe Fakultät. halbe Fakultät. Ist also gleich n Fakultät durch n halbe zum Quadrat Fakultät. Da die Zahlen sehr groß werden, Vielen Dank. ist es zweckmäßig auch nur aus anderen Gründen, die mit intensiven und extensiven Gründen Größen zu tun hat, kommt später. Hier den Logarithmus zu verwenden. Wir haben keine Einschränkungen, auch bei diesen ganzen Analysen. Logarithmus ist eine kontinuierlich wachsende Funktion. Wenn Omega sein Maximum hat, hat auch ln Omega ein Maximum. Das heißt, wir können ln Omega max auch analysieren und finden, das ist ln n Fakultät minus 2 mal ln n halbe Fakultät. Das heißt, L&N-Fakultät gibt es eine Beziehung von Mathematik. ...hergeleitet, das ist die Stirling-Formel. Und die sagt, LNN-Fakultät kann in guter Näherung ausgedrückt werden durch N mal LNN minus N. Vielen Dank. Und das setze ich hier ein. Und da habe ich da, stehen N mal LNN minus N, minus 2 mal... und so ein bisschen rumschungelt. Und Sie benutzen hier, Sie müssen sich an Logarithmen gewöhnen, deswegen mache ich es hier ausführlich. Das heißt, hier bestehen ln n halbe, dafür könnte ich auch schreiben, ist gleich ln n plus ln von 1 halb. Und das habe ich hier gemacht. Was übrig bleibt, und n mal ln 1 halb ist dasselbe wie plus ln von 2. Wer Schwierigkeiten mit Logarithmen hat, es gibt ein sehr schönes Buch in der Bibliothek. Klaus Weltner ist der Autor, Mathematik für Physiker. Das ist sehr schnell zu lesen, ist ganz einfach geschrieben, ist ungefähr das Niveau vom alten Leistungskurs. Kommen Sie ganz schnell durch. Wer Schwierigkeiten hat mit Logarithmen, möge sich das bitte angucken. Wir finden, ln Omega Max ist n mal ln2. Vielen Und die Ausgangsbehauptung der statistischen Thermodynamik war, Der Omega-Max ist ungefähr gleich groß wie die Summe aller Möglichkeiten, die Summe aller Omega-i. Und genau das haben wir gezeigt. Wir haben gefunden, Dank. ln Omega-Max ist n mal ln2. Wir haben gefunden, es gibt zwei hoch n Mikrozustände in unserem System. Der Logarithmus davon ist n mal ln2. Wir haben gefunden, Omega-Max ist Summe aller Omega-i. Vielen Dank. Wir haben den Vorgang behandelt, Expansion eines Gases ins Vakuum mit den Hilfsmitteln der phänomenologischen Thermodynamik. Ich möchte das jetzt mit der statistischen Thermodynamik diskutieren. Was würden Sie sagen, was ist die Triebkraft für das Gas vom statistischen Vielen Dank. Blickpunkt? Warum expandiert das Gas ins Vakuum? Die Triebgas-Einweisung ist viel wahrscheinlicher. Vielen Dank. Ist eigentlich der Gewinn an Mikro... Das ist der Grund. Das heißt, wir werden immer dazu übergehen, dass wir anfangen, unseren Raum aufzuteilen in kleine Kästchen, damit wir abzählen können. Die Kästchen sind groß genug, um so ein Heliumatom aufzunehmen. Vielen Wir haben eine riesige Anzahl an Kästchen. Wenn ich etwas expandiere ins Vakuum, habe ich noch mehr Kästchen und noch mehr Möglichkeiten, die anzuordnen. Dank. Das heißt, wir haben Q-Zellen und N-Teilchen. Was ist dann Omega für dieses Beispiel? Q-Zellen, N-Teilchen, was ist Omega? Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten, die ich in diesem Fall habe. Sie sehen, das ist nichts weiter als das Lotto-Problem, wie so häufig. Das ist nichts weiter als Q-Fakultät durch N-Fakultät durch Q-N-Fakultät. Die Zahlen sind sehr groß, die rauskommen. Es ist sinnvoll, auch aus pragmatischen Gründen einfach ln Omega zu verwenden. ln Omega wäre dann ln Q-Fakultät minus ln N-Fakultät minus ln Q-N-Fakultät. Und wie vorher kann ich die Stirling-Formel nutzen. Das Ziel ist jetzt, einen einfachen Ausdruck für ln Omega zu bekommen. Wenn die Stirling-Formel an, dann steht da q mal ln q minus q minus n mal ln n plus n minus n plus n minus q minus n ln q minus n minus gibt plus q minus n. Fällt was weg, sind wir froh. Weg mit dem q, weg mit dem n. Ich multipliziere den Ausdruck hier aus. Dann steht da, ist gleich Q mal ln Q minus Q mal ln Q minus N plus n ln Q minus N. Und ich klammere jetzt aus, das ist auch so eine typische Technik, wie ich es schon mehrfach hier vorgeführt habe, minus q klammere ich aus. Was steht dann da? ln q minus n minus ln q. Und das kann ich auch schreiben, Vielen Dank. das ist ln q minus n durch q. Plus und dasselbe Spiel auf der Seite, n ausgeklammert, dann steht da ln q minus n durch n. Weil ich hier was vergessen habe, nehme ich das minus n mal ln n, habe ich vergessen hinzuschreiben. So, das heißt wir finden für ln Omega, kann ich auch ausdrücken durch minus q. Ellen! 1 minus n durch q plus n ln q durch n minus 1. q durch n. ist groß gegenüber 1. Ich vernachlässige hier die 1 im zweiten Term. Und ich benutze ferner das ln 1 minus x ist ungefähr gleich minus x. Taylor-Reihenentwicklung, Matheformelsammlung nachgeguckt. Dann steht da ln Omega ist gleich Minus Q minus N durch Q mal plus N mal LN Q durch N. Und damit bin ich bei der Beziehung angekommen. Die ln Q Näherungsweise, ln Omega kann ich näherungsweise ausdrücken durch n plus n mal ln Q durch n. Also für die Leute, die... Das Wesentliche kurz haben wollen, das Wesentliche war, wir wollen diesen Prozess Expansion des Gases statistisch beschreiben. Das heißt, wir überlegen uns, es hat was zu tun mit Gewinn an Mikrozuständen. Die Zahl der Mikrozustände kann ich ausrechnen in Q-Fakultät durch N-Fakultät durch Q-N-Fakultät. Es ist sinnvoll, statt mit Omega zu rechnen, mit L in Omega. Wir schränken nichts ein. wird einfacher. Was jetzt kommt ist einfach anwenden der Stirling-Formel und ein bisschen rum jonglieren, einfach, so dass ich ln Omega möglichst einfach ausdrücken kann. Hier habe ich ln Omega für unser System hier näherungsweise ausgedrückt durch die Zahl der Teilchen im System plus n mal ln Q durch n, Q Zellen durch n. Also jetzt hier haben wir einen einfachen Ausdruck gewonnen, der uns hilft das Problem zu analysieren. Das ist alles. Musik ... Betrachten wir doch mal den Zustand vor der Expansion und vergleichen dies mit dem Zustand nach der Expansion. Vor der Expansion ist mein Gas eingeschränkt auf einem Volumen V. Eins. Nach der Expansion ist es... Volumen vergrößert worden. V2 ist gleich A mal V1 um einen Faktor A. Der Faktor A wäre das Verhältnis der beiden Volumina. Welche Aussage kann ich dann treffen über Omega? über Q habe ich es genannt, wenn ich Q1 Zellen habe vor der Expansion, wie viele Zellen habe ich dann nach der Expansion? Vielen Wie viele Zellen habe ich? Dank. A mal Q, ganz genau. Wenn V mit A skaliert, wird das auch mit A skalieren und ich habe Q1. Aber ich habe bei beiden mal die gleiche Anzahl an Teilchen. Das ist das Szenario. Wir haben hier eine einfache Formel gewonnen. ln Omega lässt sich darstellen als n plus n mal ln Q durch n. Das heißt, was ich jetzt ausrechnen möchte, ist die Gewinn an Mikrozuständen in meinem System. Vielen Dank. Wir haben das Volumen vergrößert und wir gewinnen Mikrozustände. Das heißt, wir schreiben uns auf ln Omega 2 minus ln Omega 1. Und können Sie einfach hinschreiben. Wir benutzen die Formel, die hier oben steht. Wir haben n Teilchen. n mal n plus n mal ln. Und q ist nach der Expansion größer geworden. Ich habe mehr Zellen. a mal q durch n. Minus. Der Logarithmus der Zahl der Mikrozustände vor der Expansion. Ich habe genauso viele Teilchen, Minus, und habe ln q durch n. Was bleibt übrig? n ist verschwunden. Hier kann ich wieder schreiben, das ist dasselbe wie n mal ln q durch n plus n mal ln a minus Vielen Dank. ln q durch n. Auch das geht raus. Es bleibt also zurück N mal ln A. Und A war nichts weiter als das Verhältnis der Volumina. N mal ln V2 durch V1 ist gleich der Gewinn an Mikrozuständen als Logarithmus ausgedrückt. Jetzt sind wir an einem ganz spannenden Punkt angekommen. Wir sind da, wo ich hinkommen möchte. Wir haben einen und denselben Prozess, die Expansion eines Gases ins Vakuum, auf zwei verschiedene Techniken beschrieben. Ein Gas wird spontan ins Vakuum expandieren. Letzte Stunde haben wir es behandelt mit den Mitteln der phänomenologischen Thermodynamik. Vielen Dank. Heute haben wir es behandelt mit den Hilfsmitteln der statistischen Thermodynamik. In der phänomenologischen Thermodynamik haben wir gesagt, zweiter Hauptsatz, Vielen Dank. es gibt eine Größe Entropie. Und diese Entropie wird wachsen. Im Gleichgewicht wird ein Zustand angenommen werden, der die maximale Entropie hat. Es wird maximal UV. In der statistischen Thermodynamik hat man gesagt, wir gewinnen Mikrozustände. Eine Rechenanweisung gehabt im zweiten Hauptsatz. Wie rechne ich die Entopieänderung aus? Wir suchen uns einen Ersatzprozess. Pi gegen V. Und dieser Ersatzprozess war ein Prozess, der das Gasvolumen auf das Endvolumen überführt. Vielen Dank. Die isothermoreversible Expansion. Und wir haben diese Wärmemenge ausgerechnet. Dazu hat uns auch der zweite Hauptsatz ausgeführt und haben gesagt, S2 minus S1 ist gleich Q durch T. Und zwar Q-reversibel. Dieses Q-reversibel haben wir wie folgt ausgerechnet. Wir haben die Kenndaten ermittelt, vor und nach der Expansion und haben die Wärmemenge ausgerechnet, die in meinen Isotime- und Reversible-Prozess ausgetauscht wird. Und haben gefunden, Q-Reversible. entspricht RT ln V2 durch V1. Und damit war S2 minus S1 gleich R mal ln V2 durch V1. Und unsere Betrachtungen haben wir auf ein Mol bezogen. Für ein Mol. Wir haben hier ausgerechnet den Gewinn der Mikrozustände, die ich habe. Und habe hier festgestellt, dass die Gewinn der Mikrozustände ln, Omega 2 minus ln, Omega 1, vor und nach der Expansion, ist nichts weiter als n mal Wenn ich die gleiche Anzahl der Teilchen betrachte, n mal ln V2 durch V1. Wenn ich in beiden Prozessen die gleiche Anzahl an Teilchen betrachte, müsste ich das so schreiben. Und jetzt vergleichen wir uns mal diese beiden Ausdrücke, was fällt Ihnen da auf? Völlig unterschiedliche Wege dahin zu führen und sehr ähnliche Ausdrücke. Wir können ein Bindeglied einführen. R war 8,314 Joule Kelvin Mol. Die Boltzmann-Konstante ist nichts weiter als die Gaskonstante durch die Avogadro-Zahl. Das heißt, wenn ich die beiden vermische, lande ich bei einer fundamentalen Beziehung an, die das Ziel dieser Stunde war. wir können beide Welten verheiraten wenn wir definieren S, die Entropie ist gleich K Boltzmann mal Ln Omega Also Entropie hat nichts mit Ordnung und Unordnung zu tun. Entropie hat mit der Zahl der Mikrozustände zu tun, die dem System zur Verfügung stehen. Und wir sehen an einigen Beispielen heute, dass wir eine Interpretation für das Ganze finden, dass wir damit rechnen können, dass klar ist. Und dass es vielleicht nichts mit Ordnung und Unordnung zu tun hat, möchte ich an dem Beispiel noch zeigen. Welcher der beiden Zustände hat die größere Entropie? Eis bei 0°C, Wasser bei 0°C. Wenn Sie Ihr Konzept Ordnung-Unordnung anwenden, was würden Sie da sagen? Also ich glaube, es ist eindrucksvoll, dass es eben die flüssige Faser hat, die viel größere Entropie. Man kann das auch verstehen daran. Und es ist nicht das, was dieses Bildchen hier suggeriert. Wenn wir das weiter vertiefen, das nächste Mal gibt es einen ganz wichtigen Satz, für mich einen der wichtigsten der physikalischen Chemie, der Boltzmannschei-Satz. Danke. Bis zum nächsten Mal.

Und welche Aussage der zweite Hauptsatz? Sie sind dran. Was ist ein abgeschlossenes System?

Vielen Dank. Ja, genau, also ein Türgefäß mit Deckel drauf. Welche Aussage trifft der erste Hauptsatz darüber? Die innere Energie ist konstant, was in dem Behälter drin ist, ist drin.

Und welche Aussage trifft der zweite Hauptsatz? Das ist es, genau. Alles was da drin passiert, wird so sein, dass es einen Zustand erreicht wird, der mehr Entropie hat.

Jeder irreversible Prozess mehrt die Entropie. Und damit sagt es das Hausüberrichtung spontaner Vorgänge. Es wurde sehr gut beantwortet.

Ein abgeschlossenes System ist ein System aus starren Wänden und die Wände sind wärmeisolierend. Untertitelung des ZDF, 2020 Das heißt, es ist kein Stoffaustausch möglich, es ist keine Volumenarbeit möglich, es ist kein Energieaustausch möglich. Das ist das Modell eines abgeschlossenen Systems.

Und dann gab es Aussagen, die wir treffen können. Der erste Hauptsatz hat die innere Energie als Zustandsgröße eingeführt. Wie muss der lauten, der erste Hauptsatz für dieses System? Die innere Energie in diesem Behälter, was drin ist, bleibt drin. Es verändert sich nicht.

Die innere Energie ändert sich nicht. U ist gleich konstant. DU ist gleich 0. Vielen Das ist der erste Hauptsatz und das ist die Aussage.

Das heißt, hier drinnen können Zustandsänderungen passieren, aber nur Zustandsänderungen, die die innere Energie unverändert lassen. Dank. Das ist die Randbedingung.

Im Prinzip hat der die Rolle eines Buchhalters. Ein Buchhalter der inneren Energie. Welche Aussage trifft der zweite Hauptsatz über dieses System? Der zweite Hauptsatz sagt aus, die innere Energie lasse ich konstant.

Der zweite Hauptsatz sagt aus, es gibt eine Zustandsgröße Entropie. Und alle Änderungen, die in dem Behälter passieren, werden die Entropie wachsen lassen. Der Hauptsatz sagt aus...

Die S ist größer 0. Jeder irreversible Prozess wird die Entropie vermehren. Ein Gleichnull ist auch möglich. Gleichnull werden reversible Zustandsänderungen, die vollständig umkehrbar sind. Reversible Zustandsänderungen... Lassen die Entropie unverändert irreversible Zustandsänderungen.

Mehr in die Entropie. Die Entropie wächst. Welche Aussage kann ich jetzt treffen, wenn das Gleichgewicht eingestellt ist? Hier drin habe ich was reingefüllt und es wird der Gleichgewichtszustand erreicht.

Vielen Welchen Wert nimmt dann die Entropie an? Dank. Sie sind dran. Welchen Wert nehmen wir an?

Die Entropie. Das ist das Maximum. Also schon verblüffend.

Auch da war das verdaut. Die Entropie nimmt den Maximalwert an im Gleichgewicht. Vielen Das heißt, in einem System, bei dem die innere Energie und das Volumen konstant sind, ein abgeschlossenes System, streben alle Prozesse ein Mehren der Entropie.

Dank. Und im Gleichgewicht wird der Zustand angenommen, der die Entropie ihren Maximalwert annimmt. Das heißt, es kommt auch eine Zeitachse rein.

Wir wissen, ds nach dt und die Zeit ist immer größer gleich 0. Und wenn Sie einen irreversiblen Prozess angucken, wie die Expansion eines Gases ins Vakuum. dann ist das ein irreversibler Prozess, der spontan passiert. Dieser Ausgangszustand, bei dem alles hier in dem Behälter sind, verändert sich zu diesem Zustand. Dieser Endzustand hat eine höhere Entropie als der Ausgangszustand. Das ist die Triebkraft dafür.

Und wenn Sie ein molekulares Bildchen einer MD-Simulation anschauen würden und würden die MD-Simulation rückwärts laufen lassen, dann wäre das sehr befremdend für Sie. Wenn Sie sagen, die Teilchen, die hier sind, Vielen Dank. wandern alle durch Zufallsbewegungen in den Ausgangszustand. Das würde Sie befremden.

Also die Entopie schafft diese Richtung. Und damit ist die Rolle eigentlich, die die Entopie einnimmt, die eines Chefs. Der sagt, wo es lang geht. Also die Rolle vom ersten Hauptsatz wäre die eines Buchhalters.

Es dürfen nur Prozesse passieren, die die innere Energie unverändert lassen. Welcher von allen denkbaren Prozessen passiert, das entscheidet der zweite Hauptsatz. Es wird der Prozess passieren, Untertitelung des ZDF, bei dem die Entropie maximal wird.

Wir haben auch das letzte Mal gesehen, wie man sowas berechnen würde. Wie würde ich die Entropieänderung berechnen? Sie sind dran. 2020 Bei dem Prozess Expansion eines Gases ins Vakuum.

Untertitelung des ZDF, 2020 Also das erste was Sie machen müssen, ist Sie beide Zustände anschauen und charakterisieren durch Zustandsgrößen. Vielen Dieser Zustand hat Pi0, V0, Ti0. Dieser Zustand hier hat einen veränderten Druck, das doppelte Volumen und die Temperatur blieb gleich, da es ein ideales Gas war, Dank. was wir betrachtet hatten. Das heißt, Sie suchen jetzt einen Prozess.

Der Gedachte ist ein fiktiver Prozess, bei dem Sie diesen Ausgangszustand in den Endzustand überführen, das Gas, und Sie sollen dabei Q-reversibel bestimmen und durch die Temperatur teilen. Das gibt Ihnen die Entropieänderung in diesem Prozess an. Das heißt, der Ersatzprozess, den wir hier haben, war dann nichts anderes als die reversible Isothermexpansion eines Gases. Also Ausgangszustand, Endzustand, die Zustandsgrößen.

Der Ersatzprozess ist die reversible isotherme Expansion eines Gases, Vielen Dank. die wir auch intensiv bei Cano besprochen haben. Wir halten da die Wärmemenge.

Wenn wir die durch die Temperatur teilen, haben wir die Entropieänderung ausgerechnet. Und es kam raus, R mal ln V2 durch V1. Wir haben die Größe innerer Energie interpretiert molekular.

Wie würden Sie innere Energie molekular interpretieren? Sie sind nochmal dran. Vielen Dank.

Vielen Dank Ich glaube, die meisten sind auch klar, innere Energie ist ein sehr suggestives Begriff. Vielen Dank. Er sagt aus, welche Energie steckt in meinem Behälter drin?

Es muss in den Molekülen drin stecken. Die Moleküle haben kinetische Energie, sie haben Wechselwirkung, potenzielle Energie. Sie haben vielleicht Energie deponiert in innere Freiheitsgrade, Rotation, Schwingung, elektronische Anregungen. Und das heißt, die innere Energie ist nichts weiter als die Summe über alle Moleküle.

Und wir summieren eben auf E-Kin plus E-Pod plus Vielen Dank. E-innere Freiheitsgrade. Was wir heute machen wollen, ist die Entropie auch statistisch interpretieren. Ein Verständnis für diese unanschauliche Größe Entropie zu bekommen.

Und irgendwo ist uns schon klar, das hat was mit Wahrscheinlichkeiten zu tun. Denn schauen Sie diesen Prozess an. Dieser Endzustand und dieser Anfangszustand haben die gleiche innere Energie. Wir haben hier wechselwirkungsfreie Teilchen. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Expansion dieser Zustand...

angenommen ist, ist verschwindend klein. Die Wahrscheinlichkeit war nichts anderes als 1,5 hoch n und n ist 10 hoch 23. Das heißt, Entropie oder diese Richtung muss etwas auch mit den Wahrscheinlichkeiten zu tun haben und das wollen wir heute klar machen. Vielen Dank. Um statistische Thermodynamik zu verstehen, brauchen Sie ein paar Begriffe. Der erste Begriff ist der des Mikrozustand.

Makrozustand. Und der nächste wäre der Begriff der Verteilungsfunktion. Vielen Wir haben in der letzten Stunde schon ein paar Beispiele diskutiert. Machen wir es nochmal mit Powerpoint.

Ein Gas explodiert ins Vakuum. Wie bilden wir das ab auf die statistische Thermodynamik? Dank.

Erste Frage. Was mache ich? Was ist die Idee?

Sie sind dran. Wie fangen wir an? Was ist der erste Schritt? Wir wollen was abzählen. Vielen Dank.

Der erste Schritt, Vielen wenn wir etwas abzählen, das heißt wir unterteilen den Raum in kleine Kästchen. Dank. Die Kästchen sind groß genug, gerade ein Molekül Heliumatom aufzunehmen. Das heißt, wir reden eigentlich beim realen System von einer großen Anzahl an Kästchen. 10 hoch 30 Kästchen.

Und da sind 10 hoch 20 Moleküle zu verteilen. Das heißt, wir fangen so ein Gitter an und wir müssen die Begriffe Makro- und Mikrozustand definieren. Wie würden Sie die tun für das Problem, das wir gerade betrachten?

Wie würden Sie es sortieren? Makrozustand heißt, ich gucke so von weit draußen auf mein System und versuche mein System durch wenige Größen zu charakterisieren. Mikrozustand spezifiziert mein System sehr genau.

Sie sind dran. Was ist Makro, was ist Mikro? Vielen Dank. Zum Makrozustand könnte zum Beispiel sagen, wie viele Teilchen sitzen in der linken Kammer. Das wäre eine gute Aussage.

Dann weise ich genau alle Zustände, die da möglich sind, zu diesem Makrozustand. Wenn ich die Teilchen in der linken Kammer kenne, kenne ich die auch in der rechten Kammer. Das wäre eine andere Größe, die ich nehmen kann.

Und Mikrozustand wäre natürlich wieder spezifiziert so genau wie möglich. Wo sitzt jedes Teilchen? Machen Sie es für das Lotto-Problem 6 aus 49. Wir machen jetzt kein thermodynamisches System, sondern sechs Teilchen, 49 Kästchen. Vielen Versuchen Sie da auch den Begriff Verteilungsfunktion zu definieren.

Dank. Also beginnen wir mit 6 Teiche. Ein Marko-Zustand wäre doch 6 Teiche in der linken Kammer, 0 in der rechten. Wie viele Möglichkeiten habe ich für diesen Zustand?

Wie viele Anordnungsmöglichkeiten? Das Lotto-Problem. Der Zustand hat 49 Fakultät durch 6 Fakultät durch 43 Fakultät. Das ist das Lotto-Problem. Und das Ergebnis ist eine große Zahl, 14 Millionen.

Und das ist das Erste, was man bei der Verteilungsfunktion hier aufträgt. Bei der Verteilungsfunktion trägt man auf, Zahl der Mikrozustände. für eine Größe, die die Makrozustände charakterisiert.

Und hier werden unsere Makrozustände nur 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Wir haben hier 14 Millionen Möglichkeiten. Vielen Dank. Wie sieht es aus für den Zustand 5?

Die Verteilung in der linken Kammer und der rechten Kammer sind voneinander unabhängig. Das heißt, es ist multiplikativ. Und es kommt raus 93 Millionen Möglichkeiten.

Machen Sie bitte vier Teilchen in der linken Kammer, zwei in der rechten. Was kommt da raus? Da ist dann 49 Fakultät durch 4 Fakultät durch 45 Fakultät mal 49 Fakultät durch 2 Fakultät durch mal 47 Fakultät. Es kommt eine größere Zahl heraus. Und die größte Zahl kommt dann raus, Vielen Dank.

wenn drei Teilchen in der linken Kammer sind und drei Teilchen in der rechten Kammer. Nämlich 339 Millionen Möglichkeiten. Und diese Verteilungsfunktion, die ist symmetrisch hier für unser Beispiel.

Das heißt, wenn ich das System sich selbst überlasse, wird der Zustand mit mehr Realisierungsmöglichkeiten häufiger beobachtet. Vielen Ich beobachte am häufigsten den gleichverteilten Zustand 3-3. Wie verändert sich jetzt das Systemverhalten, wenn ich zu thermodynamischen Systemen übergehe?

Dank. 10 hoch 20 Teilchen auf 10 hoch 30 Kästchen. Wie verändert sich die Verteilungsfunktion?

Malst es ein. Völlig richtig beantwortet. Die Verteilungsfunktion wird sehr eng.

Das heißt, die Verteilungsfunktion bei vielen Teilchen wird so aussehen. Vielen dass ein Zustand ein so viel höheres statistisches Gewicht hat, dass ich nur diesen Zustand beobachte. Das ist Omega Max. Dank.

Und eine Idee wäre, Die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des wahrscheinlichsten Zustandes ist ungefähr gleich der Zahl aller Mikrozustände in meinem System. Vielen Die Verteilungsfunktion wird so eng und der wahrscheinlichste Zustand hat ein so höheres statistisches Gewicht, Dank. dass ich eigentlich alle anderen neben ihm vergessen kann. Das Systemverhalten wird deterministisch, vorhersagbar. Noch ein Beispiel, Vielen auch von der letzten Stunde.

Spiel mit zwei Würfeln, Makrozustand, Mikrozustand. Dank. Wie können die sortieren?

Vielen Dank. Eine Möglichkeit wäre, Makrozustand ist die Gesamtaugenzahl, die Summe der Augenzahlen. Zahlen von beiden Würfeln oder von n Würfeln, wenn ich mit n Würfeln spiele.

Und der Mikrozustand wäre genau, spezifisiere das System so genau wie möglich, welche Zahl trägt jeder Würfel. Wie wird da die Verteilungsfunktion aussehen für zwei Würfel? Welches ist der Zustand, den ich häufiger beobachten werde?

Welchen werde ich selten beobachten? Für die 2 gibt es nur eine Möglichkeit. Beide Würfel müssen die 1 tragen. Für die 12 gibt es auch nur eine Möglichkeit.

Beide müssen die 6 tragen. Dagegen hat der Zustand 7 mehr Realisierungsmöglichkeiten. 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, Vielen Dank.

2, 5, 1, 6. Was können Sie aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Mikrozustandes? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen gegebenen Mikrozustand bei dem Beispiel? Ein Mikrozustand wäre eine Würfelkombination.

Der eine trägt eins, der andere sechs. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand? Jeder Mikrozustand ist gleich wahrscheinlich.

Und hier in dem Beispiel wäre es einfach 1,36. Es gibt keinen Mikrozustand, der irgendwo präferiert wäre. Und das ist eine Prämisse, die wir haben bei diesem ganzen Spiel. Wie verändert sich jetzt diese Verteilungsfunktion, wenn ich zu großen Anzahl an Würfeln gehe? Was passiert?

Drei Würfel, hundert Würfel, zehn Milliarden Würfel, thermodynamische Größen. Die Verteilungsfunktion wird enger. Das ist genau das Verhalten. Je mehr Würfel involviert sind, umso vorhersagbarer wird das Ergebnis.

Wenn ich thermodynamische Systeme habe, dann kann man ausrechnen. Mit hoher Wahrscheinlichkeit wird diese Zahl beobachtet. Und es gibt kaum mehr Variation dazu. Das ist genau die Aussage, wenn ich sehr viele Würfel habe, ist Omega Max hat so viel mehr Realisierungsmöglichkeiten, dass ich alle anderen vergessen kann gegenüber Omega Max.

Das Ergebnis des Systems ist vorhersehbar. Und das sind wichtige Kenngröße. Und die wird mit Entropie verknüpft sein.

Und Makrozustand war ein von wenigen Variablen. Also im Grunde genommen unser Kochrezept ist später, stelle eine Verteilungsfunktion auf und suche das Maximum der Verteilungsfunktion und ich weiß, wie mein System sich verhält. Das ist das, was wir auch in der nächsten Stunde machen werden, mit einem sehr wichtigen Problem. Vielen Ich würde gerne nochmal, dass Sie jetzt versuchen, selber Begriffe zu erfinden. Dank.

Makrozustand, Mikrozustand für ein Brot. Problem, Polymer in Lösung. Polymer ist so ein langes Fadenmolekül. Polyethylen, eine Wiederholeinheit, aber ganz oft wird die wiederholt. Es entsteht so ein langes Fadenmolekül.

So was wie ein Spaghetti. Und es ist klar, wenn Sie... So ein Spaghetti-Polyethylen lösen oder Polystyrol in Tolerol lösen, das Molekül wird eine bestimmte Konformation einnehmen. Wenn Sie ein Polymer nehmen und in einer Schmelze die Konformation analysieren, wird es auch irgendwo gekneult sein.

Und ich würde gerne den Prozess beschreiben. Finden Sie mal Größen, die Makrozustand und Mikrozustand für ein Polymer beschreiben. Und wenn Sie Polymer nicht vorstellen wollen, stellen Sie Ihnen Spaghetti vor. Sie nehmen Spaghetti aus der Tüte raus und schmeißen sie in Wasser rein und Sie analysieren die Form.

Und Sie versuchen jetzt, Größen zu finden, Makrozustand, Mikrozustand für dieses System. Wie würde die Konformation von einem Spaghetti im Wasser sein? irgendwie geknallt und jetzt müssen wir eine größe finden mit der man vielleicht das sortieren kann wie kann ich jetzt so eine konformation und sagen das da schaut genauso aus wie die da das will die alle zum gleichen zuordnen das heißt wir brauchen jetzt größen die irgendwie das sortieren erlaubt und würden auch sagen das links aus der packung raus ist irgendwas anders da brauchen wir eine sortierungsgröße Die Frage ist dann klar, oder?

Ja, das ist gut. Ja, die Bewegung führt sich immer um in den einen oder anderen. Man bräuchte einen strukturellen Parameter.

Man würde sich ständig umsortieren, aber wenn man gemisse Konformationen, würde man einen Zustand zuordnen. Jetzt sehen wir die Enden der beiden Polymere. Wäre das eine gute Größe?

Stellen Sie sich mal vor, wenn Sie das Spagetti rausnehmen. Ein Zustand. Welche Konformation können Sie finden, wenn ich den Abstand kleiner mache? Wenn Sie sagen, da geht die Konformation dazu, aber auch die und die.

Das wäre eine Möglichkeit, das zu sortieren. Also wir müssen Dinge unterscheiden. Wir nehmen die Spaghetti aus der Packung, so was hier, und schmeißen sie in kochendes Wasser rein.

Das wird nicht mehr so bleiben, sondern sich verändern. Welche Größe könnte man finden? Es gibt natürlich viele, die sehr viel Größe haben. finden können.

Eine, die sich vielleicht anbietet, ist der End-zu-End-Vektor. Das wäre zum Beispiel etwas, nach dem ich sortieren kann. Ich könnte sagen, ein Polymer aus der Packung raus hat einen End-zu-End-Vektor.

Und der ist recht groß. Da gibt es auch nur einen Mikrozustand hier, der diesen End-zu-End-Vektor realisiert. Wenn ich den Abstand kleiner mache, verändert es sich. Bei einem vorgegebenen Abstand...

Wenn ich den End-zu-End-Vektor kleiner mache, zum Beispiel diesen Wert gebe, dann können Sie ganz viele Konfigurationen reinmalen, die halt die Enden verbinden. Also wäre das erlaubt. Oder das wäre eine Konformation.

Sie können also all die Zustände reinpacken, die eben einen vorgegebenen End-zu-End-Vektor haben. Was ist die Aussage der statistischen Thermodynamik über unser Systemverhalten? Malen Sie die Verteilungsfunktion auf. Wie wird die aussehen? Vielen Dank.

Das ist natürlich genau das gleiche Spiel wie immer. Das heißt, wenn die Kettenlänge nicht so groß ist, habe ich eine breite Verteilung. Je größer der Polymerisationsgrad meines Polymers ist, je länger das Fadenmolekül ist, umso enger wird die Verteilung. Und Sie können Vorhersagen ausrechnen und die Struktur von dem Ding analysieren. Das machen wir in einem Übungsblatt.

von diesem Knäuel. Das ist Random Coil, heißt es, oder auch Gaussknäuel. Und es sieht halt so aus und hat gewisse Eigenschaften, die Sie vorhersagen können. Es sieht so aus.

Das ist das Gaussknäuel. Und es hat gewisse Eigenschaften, die Sie direkt vorhersehen können aus der statistischen Analyse. Das ist ein Teilaspekt des Qualitativ im nächsten Übungsblatt von diesem Problem.

Vielen Dank. Vielen Dank. Wir wollen... Eine Flüssigkeitsmischung abbilden auf unseren Formalismus statistische Thermodynamik.

Das heißt, wir nehmen zum Beispiel zwei Substanzen, die volumenbeliebig mischbar sind. Methanol und Wasser mischen sich im beliebigen Verhältnis. Benzol-Tolo-Ol mischt sich im beliebigen Verhältnis.

Verhältnis. Was versteht man unter einer idealen Mischung? Was ist eine reale Mischung?

Sie sind dran, kennen die Begriffe wahrscheinlich aus der Allgemeinchemie. Vielen Durch welche einfachen makroskopischen Experimente würden Sie nachprüfen, ob etwas ideal ist bei der Flüssigkeitsmischung? Dank.

Vielen Sie nehmen einen Liter der einen Substanz und einen Liter der anderen Substanz und geben die zusammen. Dank. Das Ganze ist ideal, wenn zwei Liter rauskommen und die Temperatur sich dabei nicht verändert hat.

Sie messen hier T1, Sie messen hier T1 und Sie messen hier T1. Vielen Dank. Also eine ideale Lösung ist einfach, wo die Volumina additiv sind und keine Wärmetötung auftritt durch das Mischen. Das heißt, es gilt für die Oberen vielleicht bedingt.

Für das wahrscheinlich schon ganz gut. auch etwas ein wärme effekt wo es keinen geben würde was völlig schön in die jahr wäre wäre vielleicht eine mischung wo ich mit isotropen spiel wasser und die 2o ist man auch wichtig sie begreifen ideal hat nicht wie ideales gas keine wechselwirkung zu tun das ist nicht der begriff ideal ideal heißt nur Vielen Dank. Die Wechselwirkungen sind gleich. Das heißt, wenn ich sage, die Wechselwirkungen zwischen AA und die Wechselenergie zwischen AB und die Wechselwirkungen zwischen BB sind ungefähr gleich.

Das würde ideal bedeuten. Dann habe ich keinen kalorischen Effekt, wenn ich die zusammengebe. Ich kann der Mischphase eins gegen das andere austauschen.

Das heißt ideal. Wir betrachten etwas, was beliebig mischbar ist und wir gehen mit einer 1 zu 1 Mischung aus. Ich gebe die zusammen und dann habe ich in meinem Behälter eine 1 zu 1 Mischung dieser Substanzen. Eine Flüssigkeit wäre so, dass die Teilchen alle statistisch homogen verteilt wären. Das wäre eine Mischphase.

Da gibt es kein Clustern. homogen gemischt. So eine Flüssigkeit ist auch inkompressibel, das heißt, man muss sehr starke Drücke applizieren, um das Volumen zu verändern, das heißt, es ist kaum Platz zwischen den Teichen.

Der ganze Raum ist eingenommen von A und B. Das ist auch ein Charakteristikum. So und jetzt möchte ich ein kleines Teilvolumen beschreiben.

Ich greife dieses Teilvolumen heraus und möchte das abbilden auf den Rahmen der statistischen Thermodynamik. Das heißt, diesen blauen Bereich würde ich natürlich hier raus projizieren. Und dann beschreiben, damit es abziehbar ist.

Muss ich Vereinfachung machen. Was werde ich wohl machen? Ich teile das auf in kleine Kästchen. Das gibt die Möglichkeit, es abzuziehen. Der Raum ist eingeteilt in Kästchen.

Und jedes Kästchen kann jetzt besetzt sein mit A oder B. Und A oder B sind eine der beiden Komponenten. Sie sind wieder dran. Was ist ein Makrozustand?

Was ist ein Mikrozustand in diesem System? Vielen Dank. Also Makrozustand wäre doch etwas so die Zusammensetzung, die Sie hier in dem kleinen Teilvolumen anschauen. Wie viele A-Teilchen sind drin oder wie viele B-Teilchen? Die Zusammensetzung.

Das wäre der Makrozustand. Und Mikrozustand wäre natürlich wieder sehr genau zu bespitzigen. Kästchen Nummer 1, A, A, B, A, A, B und so weiter.

Welche Aussage kann ich, ich habe hier N Gitterplätze, wenn ich die Flüssigkeit abbilde, wie kann ich die N Gitterplätze durch N A und N B ausdrücken? Gibt es da eine Beziehung zwischen N A, N B und der Gesamtzahl der Gitterplätze? Wenn Sie Flüssigkeit anschauen, sowas da oben, inkompressibel.

Was haben Sie gesagt? Genau, das ist eine wichtige Erkenntnis. Völlig richtig, alle Gitterplätze sind besetzt. Ich kann sagen, n ist gleich na plus nb.

Das drückt sich aus, Flüssigkeiten sind inkompressibel. Alle Plätze sind besetzt. Also uns sind die Begriffe klar, was der Makrozustand, was der Mikrozustand ist.

Das sind diese Verteilungen dran. Jetzt wäre die Frage, wie viele Mikrozustände gibt es überhaupt in dem System? Wie viele Mikrozustände wären denkbar? Die Gesamtzahl aller Mikrozustände möchte ich von Ihnen hören. Denken Sie einfach, nicht kompliziert.

Können Sie es sofort, jeder von Ihnen kann das. Denken Sie einfach, hier ist das Kästchen. Vielen Dank.

Was kann da drin sitzen? Ein A oder B. Was kann hier drin sitzen?

Ein A oder B. Was kann hier drin sitzen? Ein A oder B. Wir haben eine ideale Mischphase. Das heißt, die Zusammensetzung hier beeinflusst nicht das Ergebnis hier und nicht hier.

Damit wirst du es haben. Was kommt raus? 2 hoch N. 2 hoch N.

Zwei Möglichkeiten mal zwei Möglichkeiten mal zwei Möglichkeiten mal zwei. Die Gesamtzahl aller Mikrozustände ist 2 hoch N. Wie viele Makrozustände gibt es in diesem System?

Vielen Dank. Makrozustand war die Zusammensetzung. Wie viele Zusammensetzungen sind denkbar?

Für die Zusammensetzung zu angeben, brauchen Sie die Kenntnis, wie viele A's haben Sie in den Kästchen drin. N-A, wenn ich kenne, kenne ich auch N-B. Und die jetzt schon ganz schnell sagen, ich habe es, denken sie nochmal nach und holen sie den einen Pluspunkt vielleicht noch für die Klausur. Das ist nicht das, was sie als erstes denken, sondern sie müssen noch ein bisschen nachdenken, eine Möglichkeit mehr finden, als die, die ich hier gesehen habe.

Ich würde sagen, wie viele Makrozustände gibt es? N Zusammensetzungen und dann noch eine dazu, weil alles mit B auch besetzt sein kann. Die Anzahl der Makrozustände wäre N Gitterplätze. Vielen Das sind alle möglichen Zusammensetzungen und eigentlich müssen wir noch ein Plus 1 dazu addieren.

Warum das Plus 1? Weil alles auch mit B besetzt sein könnte. Dank.

Was ist der wahrscheinlichste? Makrozustand, den ich beobachten werde. Wir haben begonnen, ideale Mischphase mit einer 1 zu 1 Mischung und schauen uns an ein kleines Teilvolumen. Welche Zusammensetzung wird da vorliegen? Was ist der wahrscheinlichste Makrozustand?

Vielen Dank. Vielen Dank ist natürlich die makroskopische Zusammensetzung. Na ist gleich Nb. Wie viele Realisierungsmöglichkeiten hat ein Makrozustand mit N-A und N-B?

Die Frage hier. Vielen Dank. Eigentlich beim Gas intensiv besprochen, schauen Sie es einfach an.

Ich habe hier eine Zusammensetzung und frage, welche Anordnungsmöglichkeiten gibt es denn in Gitterplätze und da in A und in B drauf. Die Vertauschung von A bringt nichts Neues, die Vertauschung von B bringt nichts Neues, also ist das Ergebnis ein Lotto-Problem. Omega ist nichts anderes als Omega ist nichts anderes als N-Fakultät, die Zahl der Gitterplätze, durch N-A-Fakultät, durch N-B-Fakultät.

N-Gitterplätze, Vermutation von N-A bringt nichts, Vermutation von N-B bringt nichts, also ist das dieser Ausdruck. Die Zahlen werden sehr groß. Wenn ich Omega Max angehen komme, kommt eine riesen Zahl raus. Für die statistische Behandlung ist es oft vorteilhafter, den Logarithmus zu verwenden. Der Logarithmus macht aus diesen großen Zahlen kleine Zahlen.

Wenn ich anschaue, ln Omega Max. Dann war das nichts weiter als N-Fakultät durch N-Halbe-Fakultät mal N-Halbe-Fakultät. Dafür kann ich auch schreiben ln Omega Max ist gleich, natürlich fehlt hier der ln, ln n Fakultät minus 2 mal ln n halbe Fakultät. Und dafür gibt es eine Näherungsformel, die in der Statistik häufig gebraucht ist, die Stirling-Formel. Und die Stirling-Formel sagt aus, ln n-Fakultät kann ich in guter Näherung beschreiben durch n mal ln, n minus n.

Also statt mit Omega zu rechnen, rechnen wir mit ln Omega. Und dann haben wir einen Ausdruck, da steht ln n Fakultät minus 2 mal ln n Fakultät. halbe Fakultät.

Und jetzt können wir die Stirling-Formel anwenden. Und dann steht da ln Omega Max ist gleich. ln n Fakultät ist also gleich n mal ln n minus n. Minus 2 in halbe Fakultät.

Also n halbe mal ln n halbe minus n halbe. Ist gleich n mal ln n minus n minus, minus 2 multipliziert sich rein, n mal ln n halbe minus minus plus n. Ah, n fällt weg, wunderbar.

Weg damit. Und dafür kann ich auch schreiben, dass es dasselbe wie n mal ln n minus n mal ln n minus n mal ln 1 halb. Ich benutze nur ln a mal b ist dasselbe wie ln a plus ln b.

Ist also gleich, geht nochmal aufs Weg. Ich finde eine wichtige Beziehung. ln Omega Max ist gleich n mal ln 2. Auf der Tafel stand eine wichtige Erkenntnis.

Wir haben behauptet, dass der wahrscheinlichste Zustand so viel mehr Realisierungsmöglichkeiten hat, dass seine Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten ungefähr dem aller möglichen im System entspricht. Zeigen Sie das doch mal. Stimmt das für unser System, was wir gerade analysieren? Vielen Dank.

Es steht ja alles an der Tafel schon da. Wir haben gesagt, wie viele Mikrozustände gibt es überhaupt in dem System? Und haben gesagt, jedes Kästen ist entweder mit A oder B besetzt.

Es gibt 2 hoch N Mikrozustände überhaupt. Das heißt, die Summe aller Omega I ist gleich 2 hoch N. Der Logarithmus der Summe von allen Mikrozuständen im System ist dann n mal ln2.

Und das ist genau das gleiche wie die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des wahrscheinlichsten Zustandes. Ist gleich ln Omega Max. Der Logarithmus ist eine kontinuierlich wachsende Funktion. Wenn lnmax, das ist eine eindeutige Beziehung hier, das heißt ich kann auch schreiben, Omega max ist gleich Summe aller Omega i. Vielen Dank.

Dann haben wir für ein System die obige Behauptung bewiesen. Bevor ich wegwäsche, vielleicht nochmal den Gesamtgedankengang. Das reale System, was ich abbilden möchte auf den Formalismus, war eine Flüssigkeitsmischung von Substanzen, die ähnlich sind. Und gesagt, ideale Mischung wäre eine Mischung, wo die Volumina additiv sind und die Temperatur sich beimischen. Mischvorgang nicht ändert.

Das heißt, die Moleküle sind sehr ähnlich und die Wechselwirkungsenergie der Teilchen A entspricht der Wechselwirkungsenergie zwischen A und B, Vielen entspricht der zwischen zwei B-Molekülen. Das wäre das, was eigentlich hier ideal ausmacht. Den geringsten Wärmeeffekt würde ich haben, Dank.

wenn ich die beiden Substanzen nehmen würde, D2O und H2O. Und ich mische die beiden jetzt im Verhältnis von 1 zu 1. Dann würde ich sagen, in jedem Teil... Teilbereich würde ich erwarten eine 1 zu 1 Mischung.

Vielen Dank. Das heißt, wir haben einfach gesagt, wir haben eine Mischphase von den beiden. Die Moleküle werden zufällig gemischt sein und wir betrachten jetzt ein kleines Teilvolumen. diese Systemgrenzen werden eigentlich offen. Und jeder Gitterplatz, den ich hier künstlich eingeführt habe, ist dann entweder durch ein A-Teilchen oder ein B-Teilchen besetzt.

Wir haben gesagt, wenn ich diese Flüssigkeit abbilde, die ist inkompressibel. Das heißt, jeder Gitterplatz ist besetzt. Wir haben gesagt, die Gesamtzahl der Gitterplätze ist in A plus in B.

Auch hier haben wir wieder unser Spiel formuliert. Mikrozustand. Und mir ist es natürlich...

Genau die Erkenntnis, Vielen wo sitzt jedes Teilchen. Ist es mit A oder B besetzt? Makrozustand ist die Gesamtzusammensetzung.

Wie viele As sind besetzt? Dank. Da jedes Kästchen mit A oder B besetzt sein kann und die Besetzung eines Kästchens vom Nachbarkästchen unabhängig ist, Gibt es insgesamt zwei hoch n Mikrozustände in meinem System? Jedes Gäste ist mit A oder B besetzt.

A oder B, A oder B, A oder B. Die Besetzung ist ein, Vielen hat nichts mit dem anderen zu tun, es ist multiplikativ. Zwei hoch n Möglichkeiten, n waren die Anzahl der Gitterplätze. Die Summe aller Omega I, alle denkbaren Mikrozustände ist zwei hoch n. Dank.

Ein Makrozustand gibt die Gesamtzusammensetzung an. Na genügt als Kenntnis. Dann weiß sie, wie die Gesamtzusammensetzung ist. Die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten für irgendeinen Makrozustand ist dann N-Fakultät durch Na-Fakultät durch N-Na-Fakultät. Und der wahrscheinlichste Zustand ist natürlich der Zustand, der die gleiche Konzentrationsverhältnis wie das Gesamtvolumen hat.

Und dieser Zustand ist eben gegeben durch Na ist gleich Nb ist gleich N halbe. Das heißt wir können Omega Max hinschreiben. Omega Max ist dann N Fakultät durch N halbe Fakultät.

halbe Fakultät. Ist also gleich n Fakultät durch n halbe zum Quadrat Fakultät. Da die Zahlen sehr groß werden, Vielen Dank. ist es zweckmäßig auch nur aus anderen Gründen, die mit intensiven und extensiven Gründen Größen zu tun hat, kommt später. Hier den Logarithmus zu verwenden.

Wir haben keine Einschränkungen, auch bei diesen ganzen Analysen. Logarithmus ist eine kontinuierlich wachsende Funktion. Wenn Omega sein Maximum hat, hat auch ln Omega ein Maximum.

Das heißt, wir können ln Omega max auch analysieren und finden, das ist ln n Fakultät minus 2 mal ln n halbe Fakultät. Das heißt, L&N-Fakultät gibt es eine Beziehung von Mathematik. ...hergeleitet, das ist die Stirling-Formel.

Und die sagt, LNN-Fakultät kann in guter Näherung ausgedrückt werden durch N mal LNN minus N. Vielen Dank. Und das setze ich hier ein. Und da habe ich da, stehen N mal LNN minus N, minus 2 mal... und so ein bisschen rumschungelt.

Und Sie benutzen hier, Sie müssen sich an Logarithmen gewöhnen, deswegen mache ich es hier ausführlich. Das heißt, hier bestehen ln n halbe, dafür könnte ich auch schreiben, ist gleich ln n plus ln von 1 halb. Und das habe ich hier gemacht.

Was übrig bleibt, und n mal ln 1 halb ist dasselbe wie plus ln von 2. Wer Schwierigkeiten mit Logarithmen hat, es gibt ein sehr schönes Buch in der Bibliothek. Klaus Weltner ist der Autor, Mathematik für Physiker. Das ist sehr schnell zu lesen, ist ganz einfach geschrieben, ist ungefähr das Niveau vom alten Leistungskurs. Kommen Sie ganz schnell durch. Wer Schwierigkeiten hat mit Logarithmen, möge sich das bitte angucken.

Wir finden, ln Omega Max ist n mal ln2. Vielen Und die Ausgangsbehauptung der statistischen Thermodynamik war, Der Omega-Max ist ungefähr gleich groß wie die Summe aller Möglichkeiten, die Summe aller Omega-i. Und genau das haben wir gezeigt.

Wir haben gefunden, Dank. ln Omega-Max ist n mal ln2. Wir haben gefunden, es gibt zwei hoch n Mikrozustände in unserem System. Der Logarithmus davon ist n mal ln2. Wir haben gefunden, Omega-Max ist Summe aller Omega-i.

Vielen Dank. Wir haben den Vorgang behandelt, Expansion eines Gases ins Vakuum mit den Hilfsmitteln der phänomenologischen Thermodynamik. Ich möchte das jetzt mit der statistischen Thermodynamik diskutieren.

Was würden Sie sagen, was ist die Triebkraft für das Gas vom statistischen Vielen Dank. Blickpunkt? Warum expandiert das Gas ins Vakuum? Die Triebgas-Einweisung ist viel wahrscheinlicher.

Vielen Dank. Ist eigentlich der Gewinn an Mikro... Das ist der Grund. Das heißt, wir werden immer dazu übergehen, dass wir anfangen, unseren Raum aufzuteilen in kleine Kästchen, damit wir abzählen können. Die Kästchen sind groß genug, um so ein Heliumatom aufzunehmen.

Vielen Wir haben eine riesige Anzahl an Kästchen. Wenn ich etwas expandiere ins Vakuum, habe ich noch mehr Kästchen und noch mehr Möglichkeiten, die anzuordnen. Dank. Das heißt, wir haben Q-Zellen und N-Teilchen. Was ist dann Omega für dieses Beispiel?

Q-Zellen, N-Teilchen, was ist Omega? Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten, die ich in diesem Fall habe. Sie sehen, das ist nichts weiter als das Lotto-Problem, wie so häufig.

Das ist nichts weiter als Q-Fakultät durch N-Fakultät durch Q-N-Fakultät. Die Zahlen sind sehr groß, die rauskommen. Es ist sinnvoll, auch aus pragmatischen Gründen einfach ln Omega zu verwenden.

ln Omega wäre dann ln Q-Fakultät minus ln N-Fakultät minus ln Q-N-Fakultät. Und wie vorher kann ich die Stirling-Formel nutzen. Das Ziel ist jetzt, einen einfachen Ausdruck für ln Omega zu bekommen. Wenn die Stirling-Formel an, dann steht da q mal ln q minus q minus n mal ln n plus n minus n plus n minus q minus n ln q minus n minus gibt plus q minus n.

Fällt was weg, sind wir froh. Weg mit dem q, weg mit dem n. Ich multipliziere den Ausdruck hier aus.

Dann steht da, ist gleich Q mal ln Q minus Q mal ln Q minus N plus n ln Q minus N. Und ich klammere jetzt aus, das ist auch so eine typische Technik, wie ich es schon mehrfach hier vorgeführt habe, minus q klammere ich aus. Was steht dann da? ln q minus n minus ln q. Und das kann ich auch schreiben, Vielen Dank.

das ist ln q minus n durch q. Plus und dasselbe Spiel auf der Seite, n ausgeklammert, dann steht da ln q minus n durch n. Weil ich hier was vergessen habe, nehme ich das minus n mal ln n, habe ich vergessen hinzuschreiben. So, das heißt wir finden für ln Omega, kann ich auch ausdrücken durch minus q. Ellen!

1 minus n durch q plus n ln q durch n minus 1. q durch n. ist groß gegenüber 1. Ich vernachlässige hier die 1 im zweiten Term. Und ich benutze ferner das ln 1 minus x ist ungefähr gleich minus x.

Taylor-Reihenentwicklung, Matheformelsammlung nachgeguckt. Dann steht da ln Omega ist gleich Minus Q minus N durch Q mal plus N mal LN Q durch N. Und damit bin ich bei der Beziehung angekommen. Die ln Q Näherungsweise, ln Omega kann ich näherungsweise ausdrücken durch n plus n mal ln Q durch n.

Also für die Leute, die... Das Wesentliche kurz haben wollen, das Wesentliche war, wir wollen diesen Prozess Expansion des Gases statistisch beschreiben. Das heißt, wir überlegen uns, es hat was zu tun mit Gewinn an Mikrozuständen.

Die Zahl der Mikrozustände kann ich ausrechnen in Q-Fakultät durch N-Fakultät durch Q-N-Fakultät. Es ist sinnvoll, statt mit Omega zu rechnen, mit L in Omega. Wir schränken nichts ein.

wird einfacher. Was jetzt kommt ist einfach anwenden der Stirling-Formel und ein bisschen rum jonglieren, einfach, so dass ich ln Omega möglichst einfach ausdrücken kann. Hier habe ich ln Omega für unser System hier näherungsweise ausgedrückt durch die Zahl der Teilchen im System plus n mal ln Q durch n, Q Zellen durch n.

Also jetzt hier haben wir einen einfachen Ausdruck gewonnen, der uns hilft das Problem zu analysieren. Das ist alles. Musik ... Betrachten wir doch mal den Zustand vor der Expansion und vergleichen dies mit dem Zustand nach der Expansion. Vor der Expansion ist mein Gas eingeschränkt auf einem Volumen V. Eins.

Nach der Expansion ist es... Volumen vergrößert worden. V2 ist gleich A mal V1 um einen Faktor A. Der Faktor A wäre das Verhältnis der beiden Volumina.

Welche Aussage kann ich dann treffen über Omega? über Q habe ich es genannt, wenn ich Q1 Zellen habe vor der Expansion, wie viele Zellen habe ich dann nach der Expansion? Vielen Wie viele Zellen habe ich?

Dank. A mal Q, ganz genau. Wenn V mit A skaliert, wird das auch mit A skalieren und ich habe Q1.

Aber ich habe bei beiden mal die gleiche Anzahl an Teilchen. Das ist das Szenario. Wir haben hier eine einfache Formel gewonnen. ln Omega lässt sich darstellen als n plus n mal ln Q durch n. Das heißt, was ich jetzt ausrechnen möchte, ist die Gewinn an Mikrozuständen in meinem System.

Vielen Dank. Wir haben das Volumen vergrößert und wir gewinnen Mikrozustände. Das heißt, wir schreiben uns auf ln Omega 2 minus ln Omega 1. Und können Sie einfach hinschreiben.

Wir benutzen die Formel, die hier oben steht. Wir haben n Teilchen. n mal n plus n mal ln. Und q ist nach der Expansion größer geworden.

Ich habe mehr Zellen. a mal q durch n. Minus. Der Logarithmus der Zahl der Mikrozustände vor der Expansion. Ich habe genauso viele Teilchen, Minus, und habe ln q durch n.

Was bleibt übrig? n ist verschwunden. Hier kann ich wieder schreiben, das ist dasselbe wie n mal ln q durch n plus n mal ln a minus Vielen Dank.

ln q durch n. Auch das geht raus. Es bleibt also zurück N mal ln A.

Und A war nichts weiter als das Verhältnis der Volumina. N mal ln V2 durch V1 ist gleich der Gewinn an Mikrozuständen als Logarithmus ausgedrückt. Jetzt sind wir an einem ganz spannenden Punkt angekommen.

Wir sind da, wo ich hinkommen möchte. Wir haben einen und denselben Prozess, die Expansion eines Gases ins Vakuum, auf zwei verschiedene Techniken beschrieben. Ein Gas wird spontan ins Vakuum expandieren.

Letzte Stunde haben wir es behandelt mit den Mitteln der phänomenologischen Thermodynamik. Vielen Dank. Heute haben wir es behandelt mit den Hilfsmitteln der statistischen Thermodynamik.

In der phänomenologischen Thermodynamik haben wir gesagt, zweiter Hauptsatz, Vielen Dank. es gibt eine Größe Entropie. Und diese Entropie wird wachsen. Im Gleichgewicht wird ein Zustand angenommen werden, der die maximale Entropie hat.

Es wird maximal UV. In der statistischen Thermodynamik hat man gesagt, wir gewinnen Mikrozustände. Eine Rechenanweisung gehabt im zweiten Hauptsatz.

Wie rechne ich die Entopieänderung aus? Wir suchen uns einen Ersatzprozess. Pi gegen V. Und dieser Ersatzprozess war ein Prozess, der das Gasvolumen auf das Endvolumen überführt. Vielen Dank.

Die isothermoreversible Expansion. Und wir haben diese Wärmemenge ausgerechnet. Dazu hat uns auch der zweite Hauptsatz ausgeführt und haben gesagt, S2 minus S1 ist gleich Q durch T. Und zwar Q-reversibel. Dieses Q-reversibel haben wir wie folgt ausgerechnet.

Wir haben die Kenndaten ermittelt, vor und nach der Expansion und haben die Wärmemenge ausgerechnet, die in meinen Isotime- und Reversible-Prozess ausgetauscht wird. Und haben gefunden, Q-Reversible. entspricht RT ln V2 durch V1. Und damit war S2 minus S1 gleich R mal ln V2 durch V1.

Und unsere Betrachtungen haben wir auf ein Mol bezogen. Für ein Mol. Wir haben hier ausgerechnet den Gewinn der Mikrozustände, die ich habe. Und habe hier festgestellt, dass die Gewinn der Mikrozustände ln, Omega 2 minus ln, Omega 1, vor und nach der Expansion, ist nichts weiter als n mal Wenn ich die gleiche Anzahl der Teilchen betrachte, n mal ln V2 durch V1. Wenn ich in beiden Prozessen die gleiche Anzahl an Teilchen betrachte, müsste ich das so schreiben.

Und jetzt vergleichen wir uns mal diese beiden Ausdrücke, was fällt Ihnen da auf? Völlig unterschiedliche Wege dahin zu führen und sehr ähnliche Ausdrücke. Wir können ein Bindeglied einführen. R war 8,314 Joule Kelvin Mol.

Die Boltzmann-Konstante ist nichts weiter als die Gaskonstante durch die Avogadro-Zahl. Das heißt, wenn ich die beiden vermische, lande ich bei einer fundamentalen Beziehung an, die das Ziel dieser Stunde war. wir können beide Welten verheiraten wenn wir definieren S, die Entropie ist gleich K Boltzmann mal Ln Omega Also Entropie hat nichts mit Ordnung und Unordnung zu tun. Entropie hat mit der Zahl der Mikrozustände zu tun, die dem System zur Verfügung stehen. Und wir sehen an einigen Beispielen heute, dass wir eine Interpretation für das Ganze finden, dass wir damit rechnen können, dass klar ist.

Und dass es vielleicht nichts mit Ordnung und Unordnung zu tun hat, möchte ich an dem Beispiel noch zeigen. Welcher der beiden Zustände hat die größere Entropie? Eis bei 0°C, Wasser bei 0°C. Wenn Sie Ihr Konzept Ordnung-Unordnung anwenden, was würden Sie da sagen? Also ich glaube, es ist eindrucksvoll, dass es eben die flüssige Faser hat, die viel größere Entropie.

Man kann das auch verstehen daran. Und es ist nicht das, was dieses Bildchen hier suggeriert. Wenn wir das weiter vertiefen, das nächste Mal gibt es einen ganz wichtigen Satz, für mich einen der wichtigsten der physikalischen Chemie, der Boltzmannschei-Satz. Danke.

Bis zum nächsten Mal.

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