Trygonometria do matury podstawowej

Witam Was bardzo serdecznie w kolejnej części kursu do matury podstawowej z matematyki. W tej części omówimy sobie najważniejsze zagadnienia z trygonometrii. Wśród wytycznych CKE mamy powiedziane, że uczeń musi umieć wykorzystywać definicję i wyznaczać wartości funkcji sinus, kosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180 stopni. Poza tą wytyczną są jeszcze cztery kolejne, które sobie omówimy w kolejnych częściach kursu, aczkolwiek nie będę się z tym zainteresował. aczkolwiek w tym filmiku chciałbym omówić wszystkie najważniejsze zagadnienia, które również są zawarte w tych następnych wytycznych, także w kolejnych częściach tylko je sobie powtórzymy i może dokładniej nieco omówimy, ale już w tym nagraniu wszystkie zostaną poruszone, żebyśmy z tego nagrania już byli dobrze przygotowani do wszystkich zadań z trygonometrii, jakie mogą pojawić się na maturze na poziomie podstawowym. Zaczniemy od tego, co najważniejsze, czyli od definicji. Zacznijmy od najprostszej. w najnowszej możliwej sytuacji, czyli dla kątów ostrych. Jeżeli mamy kąt alfa mniejszy od 90 stopni, to jest kąt ostry, to wtedy możemy go sobie zaznaczyć w trójkącie prostokątnym. Narysuję trójkąt prostokątny. Zaznaczmy sobie nasz kąt ostry alfa albo tu, albo tu. Wszystko jedno. Zaznaczmy na przykład go w tym miejscu. Tutaj mamy kąt prosty. Oznaczmy sobie nasze boki. naszego trójkąta jakimiś literkami, np. a, b oraz c, to są przyprostokątne, to jest przeciwprostokątna, ona jest naprzeciwko kąta prostego, to jest najdłuższy bok naszego trójkąta. No i teraz napiszemy sobie definicję na sinus, kosinus i tangens tego kąta alfa. Zacznijmy może od sinusa. Sinus alfa to się równa, no i żeby napisać, ile jest równe sinus alfa, to musimy z kąta alfa popatrzeć, jaki bok leży naprzeciwko tego kąta alfa. To jest bok A, czyli sinus alfa to się równa A w liczniku podzielić na przeciwprostokątną, czyli na C w mianowniku. Tak obliczamy sinus alfa. Patrzymy na przeciwprostokątną naprzeciwko kąta alfa, a potem na najdłuższy bok naszego trójkąta naprzeciwprostokątną. I dzielimy długość tego odcinka. przez długość tego odcinka i mamy sinus. Teraz wyprowadźmy sobie wzór na kosinus kąta alfa. Tutaj postępujemy bardzo podobnie, tylko najpierw patrzymy na przyprostokątną, która leży przy kącie alfa, a dopiero potem na przeciwprostokątną. Czyli kosinus alfa to będzie B przez C, no a tangens kąta alfa to jest tak jakby połączenie trochę sinusa i kosinusa. ponieważ patrzymy najpierw na to, co się dzieje naprzeciwko naszego kąta alfa, czyli na przyprostokątną A w tym przypadku, a potem na drugą przyprostokątną, czyli na B. W tangensie w ogóle nie odgrywa roli przeciwprostokątna. Jeżeli mamy dane dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego, to od razu możemy napisać, ile tangens jest równy. Najpierw patrzymy na to, co jest naprzeciwko kąta alfa, a potem na drugą przyprostokątną. Czyli w tym przypadku to będzie... to będzie A przez B. No i to są trzy bardzo ważne definicje tych trzech funkcji trygonometrycznych, które musimy znać. No i jeżeli je będziemy znali, to w zasadzie ze wszystkimi zadaniami z trygonometrii na maturze powinniśmy sobie poradzić. Oczywiście są jeszcze kąty rozwarte i za chwilę pokażemy sobie, jak sobie z nimi radzić w układzie współrzędnych. No i są jeszcze wzory trygonometryczne, jedynka trygonometryczna i wzór na tangens. Tak jak tu sobie powiedzieliśmy, że tangens to jest takie połączenie sinusa i kosinusa, to może tak trochę na wyrost napiszę, że tangens kąta alfa możemy również obliczyć właśnie z sinusa i z kosinusa w taki sposób, że dzielimy sinus alfa przez kosinus alfa. Ten wzór mamy dany w tablicach maturalnych. No to może jak już sobie wypisaliśmy te wzory, to jeszcze wypiszę ten bardzo ważny wzór na jedynkę trygonometryczną. Sinus kwadrat alfa plus kosinus kwadrat. kwadrat alfa równa się 1. Dla dowolnego kąta alfa mamy taką własność. Czyli jeżeli na przykład mamy dany sinus alfa, że jest równy 1 druga, to możemy sobie do tego wzoru podstawić pod sinus alfa 1 drugą, czyli tu będzie 1 druga do kwadratu 1 czwarta plus kosinus kwadrat alfa równa się 1. Mielibyśmy jedno równanie z jedną niewiadomą kosinus alfa i z takiego równania tego kosinusa można wyliczyć. No ale powoli na spokojnie. Tutaj tak trochę... w bie Za chwilę sobie jeszcze raz dokładnie omówimy te wzory i przećwiczymy na konkretnym przykładzie. Tu chciałem przede wszystkim, żebyśmy zapamiętali definicję funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, czyli dla kątów ostrych, mniejszych od 90 stopni. Spróbujmy sobie przećwiczyć tę wiedzę na konkretnym przykładzie. Narysujmy sobie jakiś trójkąt prostokątny. Może ja go narysuję tak. w trochę innej pozycji niż się zazwyczaj rysuje. Kąt prosty damy sobie tutaj. No i obliczymy funkcje trygonometryczne tego kąta alfa. No i jeszcze może sobie oznaczymy jakość długości boków. Niech ten bok ma długość 4, a ten ma długość 3. No i w takiej sytuacji na pewno musimy umieć obliczyć wszystkie funkcje trygonometryczne kąta alfa. No to zobaczmy, jak się to robi z definicji. Sinus. Tego kąta alfa to się równa, co robimy? Tak jak tu sobie omówiliśmy, czerwony wzór, patrzymy na przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa. W tym przypadku to przyprostokątna długości 4 i potem patrzymy na przeciwprostokątną, czyli tutaj tej przeciwprostokątnej nie znamy, oznaczmy ją sobie literką x. No i żeby móc wyliczyć sin alfa, to będzie 4 podzielić na x, to tego x sobie wyliczymy. Jak go wyliczyć? No oczywiście z twierdzenia Pitagorasa. Przeciwprostokątna podniesiona do kwadratu w trójkącie prostokątnym to jest suma kwadratów przyprostokątnych, czyli 3 kwadrat plus 4 kwadrat, czyli mamy x kwadrat to się równa 9 plus 16, czyli 25, czyli x to się równa 5. Tutaj mieliśmy równanie kwadratowe, czyli formalnie mógłbym napisać jeszcze lub x równa się... minus 5, żebyśmy się nie przyzwyczaili do tego, że z równania kwadratowego wychodzi jedno rozwiązanie. No ale oczywiście to rozwiązanie tutaj nie należy do dziedziny, nie spełnia naszych założeń, bo długość odcinka musi być dodatnia. Nie może być ujemna, czyli bierzemy tylko tego x, tyle jest równa nasza przeciwprostokątna, czyli sinus alfa jest równe 4 piąte. No i to również tutaj bardzo ważna taka uwaga, obserwacja, która... Dobrze byłoby, żebyście zapamiętali, mianowicie, że funkcje trygonometryczne sinus i kosinus zawsze są ułamkami. To jest zawsze liczba z przedziału minus 1,1. Dla kątów ostrych, czyli tych mniejszych od 90 stopni, to jest taki już klasyczny ułamek dodatni, czyli od zera do jedynki. Jeżeli wyszłoby Wam, że sinus alfa albo kosinus alfa jest równy 2,5, 1,5, to to jest na pewno zła odpowiedź. tyle sinus nie może być równy. Kosinus też nie. Tangens już może być większą liczbą, ale te dwie funkcje trygonometryczne muszą być ułamkami. Obliczmy sobie zatem teraz kosinus kąta alfa. Kosinus alfa to się równa. No i teraz bierzemy stosunek przyprostokątnej przy kącie alfa, czyli trójki do przeciwprostokątnej. Czyli kosinus alfa jest równe 3 piąte. No i tangens kąta alfa to się równa Znowu, tak jak sobie tu powiedzieliśmy, stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do drugiej przyprostokątnej, czyli tu będzie 4 do 3, czyli 4 trzecie. I jak widzicie, tangens już wyszedł większy od 1. 4 trzecie jest większy od 1, tangens taki może być, ale sinus i kosinus zawsze muszą być mniejsze od 1. Gdybyśmy chcieli tutaj tangensa obliczyć z tego wzoru, to również moglibyśmy. Napiszmy sobie, że tangens alfa to się równa sinus podzielić na kosinus, czyli 4 piąte podzielić na kosinus był równy 3 piąte, czyli podzielić na 3 piąte, to się równa 4 piąte, to dzielenie zamieniam na mnożenie, czyli mnożę przez odwrotność, 5 trzecich, piątki się skracają, wychodzi 4 trzecie, tak samo jak tutaj odczytaliśmy z rysunku. Także jak widzicie z tego wzoru można korzystać również znając sinus i kosinus do obliczenia tangensa, albo jak mamy trójkąt prostokątny, to z definicji z obrazka również bardzo dobrze się odczytuje. Możemy sobie jeszcze na tym naszym obrazku, może zaznaczyć tutaj drugi kąt, kąt beta, no i tak w ramach treningu może szybko napiszmy ile jest równy sinus, kosinus i tangens kąta beta. Sinus beta jest równy. Przy prostokątna naprzeciwko, czyli 3, do przeciwprostokątnej, czyli do x, czyli do 5. Tyle jest równy sinus. Kosinus beta to się równa przy prostokątna przy kącie beta, czyli 4, do przeciwprostokątnej, czyli do 5. No i jeszcze tangens kąta beta, to się równa przyprostokątna naprzeciwko kąta beta, czyli 3, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na 4. No ja tu oczywiście tak w uproszczeniu mówię, podzielić na przyprostokątną, oczywiście chodzi o długości tych odcinków. Zróbmy sobie teraz kolejny przykład i również jeszcze rozważymy kąt ostry, ale tym razem w układzie współrzędnych. Narysujmy sobie układ współrzędnych i w tym układzie zaznaczmy sobie jakiś punkt w pierwszej ćwiartce. Nazwijmy go na przykład literką A, to będą nasze osie X oraz Y, tu mamy 0. No i niech punkt A ma współrzędną X-ową, powiedzmy równą 2, Y-ową niech ma równą 5, czyli moglibyśmy napisać, że A ma współrzędne 2, 5. No i polecenie będzie takie, żeby... obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta alfa zaznaczonego w układzie współrzędnych pomiędzy osią x-ów a tym odcinkiem łączącym początek układu współrzędnych i punkt A. Ile jest równy sinus alfa? Żeby to obliczyć, no to również jak w przykładzie drugim moglibyśmy skorzystać tutaj z takiego trójkąta prostokątnego no i skorzystać z definicji. Wiemy, że długość tego odcinka jest równa 5. Skąd my to wiemy? Ano stąd, że a ma współrzędną y równą 5. Ten odcinek jest równy 5, to i ten jest równy 5. Tak samo ten odcinek ma długość 2, jeżeli tutaj jest współrzędna x równa 2. Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc długość przeciwprostokątnej też możemy policzyć. Oznaczmy ją sobie literką r. Tak się często oznacza takim symbolem. ten odcinek od początku układów współrzędnych do jakiegoś punktu w tym układzie. No i policzmy, ile to r jest równe. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że r kwadrat równa się 5 do kwadratu plus 2 do kwadratu, czyli r kwadrat to się równa 25 plus 4, czyli 29, czyli r to jest pierwiastek z 29. No, wyszła brzydka liczba, no ale nic na to nie poradzimy. Sinusa, kosinusa i tangensa i tak damy radę zapisać. Napiszmy sobie zatem, że sinus kąta alfa to się równa, no i z definicji stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta alfa, to jest przyprostokątna długości 5, podzielić na przeciwprostokątną, czyli na nasze r, czyli na pierwiastek z 29. Możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika i napisać, że to jest 5 pierwiastków z 29 podzielić na 29. No i mamy sinusa, no to napiszmy teraz cosinusa. Tu nic trudnego nie ma, mamy wszystkie boki trójkąta prostokątnego, więc znając definicję funkcji trygonometrycznych, bez problemu piszemy, jakie są wartości tych funkcji. Cosinus, stosunek przyprostokątnej przy kącie, czyli 2 do przeciwprostokątnej, czyli do pierwiastka z 29. No i jeszcze tangę z kąta alfa, to się równa stosunek przyprostokątnej na przeciwko kąta. czyli 5, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na 2. Tyle jest równe tangens alfa, 5 drugich. Gdybyśmy podzielili sinus przez kosinus, to też tyle by nam wyszło. Te pierwiastki z 29 by się poskracały i jak widzimy, by wyszło 5 drugich. Także ze wzoru tangensa też tutaj moglibyśmy obliczyć. Spróbujmy sobie teraz zrobić bardzo podobny przykład, tylko tym razem punkt A. Osadzimy sobie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i konsekwencja tego będzie taka, że nasz kąt alfa będzie rozwarty. Taki duży, powyżej 90 stopni. Załóżmy, że punkt A będzie miał współrzędną x-2, a y-5, czyli to będzie takie symetryczne odbicie tego punktu A na drugą stronę. No i teraz jak obliczyć sinus, kosinus i tangens? tego kąta alfa. Możemy to zrobić przez analogię do przykładu trzeciego. Zauważmy, że jak liczyliśmy tutaj sinus alfa, to wzięliśmy tak naprawdę współrzędną y punktu A, tutaj była ta współrzędna y i podzieliliśmy na pierwiastek z 29, czyli na naszego R, tutaj było R. Czyli mogliśmy sobie zapisać, że wzór na sinus alfa w układzie współrzędnych to jest współrzędna y punktu a podzielić na nasze r. Tak samo cos alfa. Tutaj mamy współrzędną x-ową punktu A, czyli mogliśmy napisać, że cosα to się równa x przez, no i tak samo, tutaj pierwiastek z 29, czyli r, no i na końcu tangens α to się równa 5 na 2, czyli y-owa punktu A przez x-ową punktu A. y przez x, no i mielibyśmy wzór ogólny na tangens. Te wzory też są stosunkowo ważne w sytuacji, gdy mamy właśnie akcję osadzoną w układzie współrzędnych. Jakiś punkt, ten odcinek, kąt zaznaczony między tym odcinkiem a osią x i musimy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta. O ile dla kąta ostrego, czyli jeżeli punkt znajduje się w pierwszej ćwiartce jest łatwo, bo możemy sobie dorysować trójkąt prostokątny i z trójkąta prostokątnego to zrobić, to jak A jest w drugiej ćwiartce albo w którejś z następnych, to już jest gorzej dla kątów rozwartych, tutaj już nie stworzymy sobie tak łatwo trójkąta prostokątnego, no i możemy sobie poradzić wtedy tymi wzorami. Napiszmy sobie zatem, że skoro ten nasz punkt A, może tak napiszę w drugą stronę, bo tutaj nie mam miejsca, ma współrzędną x-ową minus 2 y5, to znając te współrzędne jesteśmy w stanie obliczyć. Sinus alfa jest równy y przez r. Nasze r tu już mamy obliczone. Będzie ono takie samo jak w przykładzie trzecim, ponieważ tutaj mamy odcinek długości 5, odcinek długości 2, czyli przeciwprostokątna w tym trójkącie prostokątnym. Jest równa pierwiastek z 29. Nie będę powtarzał już tego rachunku. Zatem sinus alfa... który jest równy y przez r, będzie równy. Tutaj jest nasz y, czyli 5 podzielić na r, czyli na pierwiastek z 29. Teraz kosinus. Kosinus kąta alfa to się równa x przez r, czyli minus 2 podzielić na r, czyli na pierwiastek z 29. Już nie usuwam tutaj tych niewymierności z mianownika. No bo w końcu tutaj nie mamy trenować wykonywania działań algebraicznych, ale przede wszystkim zrozumieć, o co chodzi w trygonometrii. No i tangens alfa y przez x, y czyli 5, podzielić na x, czyli na minus 2. Moglibyśmy ładniej napisać minus 5 drugich. Jak widzicie, sytuacja z rozwartym kątem alfa już nie jest taka oczywista. Te wzory, które tu sobie wyprowadziliśmy już nie są aż takie proste. Być może samodzielnie, tak jak my to teraz zrobiliśmy, wyprowadzić ich na maturze byłoby trochę trudniej, aczkolwiek jak widzicie, jeżeli sobie zrobicie przykład z punktem A w pierwszej ćwiartce, wypiszecie z trójkąta prostokątnego, ile jest równy sinus i kosinus, no to z tych wypisanych wartości tych funkcji trygonometrycznych możecie odgadnąć te wzory. Tak jak ja to zrobiłem w tym momencie. Inaczej sobie z tym nie umiem poradzić. Tak jest bardzo szybko i łatwo. Poprzez obserwację, jakie tu liczby wpisaliśmy z trójkąta prostokątnego, odczytujemy, jakie są wzory. Tak oczywiście można sobie poradzić, ale jest prostszy sposób, ponieważ w tablicach maturalnych te wzory mamy dane. Na stronie 14 zaczyna się rozdział 12 z trygonometrią. Na początku mamy wzory. funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. To sobie na początku pokazaliśmy, ale chwilę dalej, na następnej stronie mamy definicję funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych, już w układzie współrzędnych i tutaj mamy te wzory, które ja Wam przed chwilą wyprowadziłem. Właśnie ze współrzędnymi punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych. Tu również mamy tą przeciwprostokątną, ten odcinek oznaczony literką R. No i tutaj mamy te wzory. Także spokojnie możecie z nich skorzystać na maturze. Jak pojawi się taka sytuacja w układzie współrzędnych, z nich od razu odczytujemy, ile jest równy sinus, kosinus i tangens. Także też nie powinno to być trudne i skomplikowane. W zbiorku zadań, które przygotowałem do tej części kursu, znajdziecie wiele zadań właśnie z trygonometrii, m.in. zadania tego typu, także tam jeszcze będziecie mogli sobie przećwiczyć tę umiejętność. Dalej w tablicach maturalnych mamy wykresy funkcji trygonometrycznych. To na podstawie się nie przydaje, dopiero na rozszerzeniu, aczkolwiek jak ktoś zna wykresy sinusa, cosinusa i tamgensa, to na pewno nie zaszkodzi. Może się czasem też przydać do odczytania, do szybszego przypomnienia sobie, ile jest równy sinus 30 stopni. 45 i 60, aczkolwiek te wszystkie wartości tych typowych kątów mamy tutaj w tabelce zebrane. Na przykład sinus 30 stopni to jest jedna druga, sinus 60 stopni pierwiastek z 3 przez 2, tak samo kosinus i tangens dla zera 45, 60 i 90 stopni. Bardzo szybko możemy sobie konkretne wartości odczytać tutaj z tablic maturalnych. No i mam jeszcze podane te wzory. na jedynkę trygonometryczną, co Wam podałem na początku i wzór na tangę, że to jest sinus przez kosinus. Tu jest oczywiście podane pewne założenie, które wyklucza takie kąty alfa, dla których kosinus byłby równy 0, no bo jak wiemy, nie można dzielić przez 0. Na kolejnej stronie tablic mamy funkcję sumy i różnicy kątów. To również jest dla rozszerzenia. Funkcje podwojonego kąta także dla rozszerzenia, sumy i różnice to też jest rozszerzenie, ale wybrane wzory redukcyjne mogą się nam przydać i za chwilę sobie pokażemy na konkretnym przykładzie jak i gdzie to można zastosować. Dalej już mamy kombinatorykę, także część trygonometryczna się kończy. No to wróćmy sobie do naszych przykładów i może zróbmy sobie teraz kolejny przykład. To będzie przykład. Piąty. No i może tu zróbmy sobie właśnie coś z kątem rozwartym. Dla odmiany może poza układem współrzędnych. Załóżmy, że ktoś nam narysuje taki trójkąt rozwartokątny. Zaznaczy nam ten rozwarty kąt. Powiedzmy, niech on ma miarę 150 stopni. No i podpisze nam, że na przykład te dwa odcinki będą miały długość 3 oraz 7. i powie, żebyśmy obliczyli pole tego trójkąta. No, zadanie nie takie bardzo łatwe, ponieważ nie mamy takiego typowego trójkąta, nie mamy wysokości, mamy tylko długości dwóch boków. Trójkąt jest taki bardzo nieforemny. Mamy zaznaczony w dodatku ten rozwarty kąt 150 stopni. No i żeby policzyć pole takiego trójkąta, To możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta, który również jest w tablicach maturalnych. Możemy sobie go nawet za chwilę pokazać, w dziale z planimetrią jest. Mianowicie, że pole trójkąta można obliczyć ze wzoru 1, 2 razy iloczyn boków przy kącie, czyli a razy b, jeżeli to byłoby nasze a, to byłoby nasze b, i razy jeszcze sinus kąta między tymi bokami, sinus alfa. jeżeli ten kąt to byłoby nasze alfa. Zatem A znamy, B znamy, no i żeby obliczyć pole trójkąta z tego wzoru, no to wystarczyłoby umieć obliczyć sinusa. 150 stopni, no i właśnie do tego zadania przydają się nam te oto wzory redukcyjne. Musimy umieć sobie z któregoś z tych napisów z sinusem tu w nawiasie wygenerować 150 stopni. Na przykład. 180 minus 30 to będzie 150 stopni, czyli my możemy sobie u nas zapisać, że sinus 150 stopni to oczywiście jest to samo, co sinus 180 stopni minus 30 stopni. Na razie nic mądrego nie napisałem, ale teraz dzięki wzorom redukcyjnym, mianowicie konkretnie dzięki temu wzorowi, wiemy, że sinus 180 stopni minus jakiś kąt alfa To jest po prostu sinus tego kąta alfa. Czyli w naszym przypadku to będzie po prostu sinus 30 stopni. No a ile to jest sinus 30 stopni? No to wiemy z tabelki, która jest tutaj nieco wyżej. O, w tym miejscu. Sinus alfa, alfa 30 stopni, sinus 30 stopni, jedna druga. Także wiemy, że to jest jedna druga. No i znając sinus 150 stopni, teraz to pole trójkąta, Liczymy bez trudu, że to jest 1 druga razy a razy b, czyli razy 3 razy 7 razy 1 druga. To się równa 21 przez 4. Także bardzo szybko rozwiązaliśmy zadanie, które na pierwszy rzut oka wydaje się skomplikowane. No a wszystko dzięki znajomości funkcji trygonometrycznych, no i tych wzorów redukcyjnych, które pozwoliły nam szybko uporać się z kątem 150 stopni. Możemy sobie już teraz, bez takiego kontekstu praktycznego, geometrycznego, jeszcze przyćwiczyć wzory redukcyjne. Na przykład spróbujmy obliczyć, ile to jest kosinus. Załóżmy 100 stopni. Znowu bierzemy sobie jakiś kąt rozwarty. No i popatrzmy, co mamy we wzorach redukcyjnych. Zjadę sobie znowu... Do wzorów redukcyjnych namierzamy kosinusa. O i na przykład z tego napisu moglibyśmy uzyskać 100 stopni, 90 plus 10 to będzie 100. No to ja napiszę, że kosinus 100 stopni to jest to samo co kosinus 90 stopni plus 10 stopni. To się równa. No i popatrzmy co nam mówi ten wzór redukcyjny. Że kosinus 90 plus alfa to jest to samo co... minus sinus alfa, czyli ja tu mogę napisać, że to jest to samo co minus sinus i to jest ten mój kąt alfa, czyli minus sinus dziesięciu stopni. No i jeżeli polecenie byłoby na maturze, żeby podać dokładną wartość albo możliwie dokładną, przybliżoną wartość tego wyniku, no to wtedy znowu sięgamy do tablic i tym razem... już ta tabelka, która była tutaj nam nie pomoże. Tu nie mamy 10 stopni, więc musimy polecieć na sam koniec minąc kolejne rozdziały. I na samym końcu na 20 stronie mamy tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Znajdujemy sobie kąt alfa albo beta. Tutaj nie ma znaczenia, w zależności co nam jest potrzebne do obliczenia. Czy kosinus czy sinus. Jeżeli kosinus to patrzymy na kąty beta, bo tu mamy kosinus beta. A jeżeli sinus albo tangens, to na alfę, ponieważ i sinus i tangens jest tu wzięte od alfy. My chcemy obliczyć sinus 10 stopni, tu jest sinus alfa, więc patrzymy na alfę, gdzie jest 10. Tu mamy 10 stopni, czyli sinus alfa jest równe tyle. 0,1736, oczywiście to jest wartość przybliżona, czyli ja to powinienem jakoś o tak zapisać. 0,1736. 1,736 w przybliżeniu tyle. Tyle jest równy sinus 10 stopni. O, tu był jeszcze minus. Bym zapomniał. Oczywiście to jest wartość ujemna. Minus 0,1736, bo tu mieliśmy minus przed sinusem. No i taka była odpowiedź do zadania. Także jak widzicie, wzory redukcyjne się przydają, w szczególności, gdy mamy te kąty większe od 90 stopni. Pozwalają one po prostu zamienić sobie te duże stopnie. kątów rozwartych z powrotem na kąty ostre. No i jeżeli się trafi, tak jak tutaj, sinus, kosinus jakiegoś takiego miłego kąta 30, 45, 60 stopni, to wtedy mamy konkretną, ładną liczbę. A jak inny kąt się trafi, no to z tych tablic na końcu też możemy odczytać, ile taka funkcja trygonometryczna jest równa. W kolejnych częściach kursu jeszcze sobie przećwiczymy dokładno... odczytywanie z tej tabelki wartości funkcji trygonometrycznych, także jeszcze ten temat tak na chwilę powróci w ramach przypomnienia, no ale mam nadzieję, że już teraz jest to dla Was jasne, jak z tego korzystać, jak odczytywać, ile są równe te funkcje trygonometryczne różnych kątów z tej tabelki na końcu. Teraz chciałbym, żebyśmy sobie zrobili inne zadanie z trygonometrii, jakie również może pojawić się na maturze. Narysujmy sobie może jakiś trójkąt prostokątny, czyli znowu wracamy do kątów. ostrych. Tu będzie kąt prosty, powiedzmy alfa niech będzie tutaj, jedna przeciwprostokątna niech ma długość pierwiastek z dwóch, a przeciwprostokątna niech będzie równa pierwiastek z trzech. No i polecenie jest takie, żeby obliczyć miarę kąta alfa. Ile stopni? jak sobie poradzić z takim zadaniem? Patrzymy, co mamy dane. W tym zadaniu mamy daną przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa i przeciwprostokątną. No to możemy od ręki napisać, ile jest równy sinus. Sinus alfa to się równa pierwiastek z dwóch podzielić na pierwiastek z trzech. No i mając dokładną wartość sinusa, moglibyśmy teraz skorzystać z tych tablic na końcu znaleźć miejsce, gdzie sinus alfa jest równy właśnie tyle. Tu mamy zapis dziesiętny, 0, i jakiś ciąg cyfr, zatem z tego napisu również musimy sobie zrobić taki napis 0, coś tam, coś tam. Żeby to zrobić w miarę dokładniej, to nie będę liczył, ile jest równy pierwiastek z dwóch i pierwiastek z trzech i potem dzielił, no bo to mogłyby dwa błędy się nałożyć na siebie i dostałbym mało dokładny wynik. Usunę niewymierność z mianownika, czyli mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z trzech. Na górze otrzymujemy pierwiastek z dwóch razy pierwiastek z trzech, czyli pierwiastek z sześciu. Na dole trzy. No i teraz na kalkulatorze liczymy, ile to jest pierwiastek z sześciu. Dzielimy przez trzy. I wychodzi coś w przybliżeniu. Napiszę takiego 0,8164. Mamy przybliżoną wartość sinusa alfa, no to teraz z tablic trygonometrycznych odczytamy, ile może być równy kąt alfa. Może oddalę sobie trochę, żebyśmy widzieli więcej tej tabelki na raz. 08, tu mamy 07, to jeszcze za mało, to przechodzimy do drugiej kolumny 07, 07, 08, 1, 9, 2. To jest chyba najbliższa wartość tego, cośmy otrzymali. o tutaj, w tym miejscu, 0,8192, my otrzymaliśmy 0,8164, czyli tutaj mamy ciutkę więcej, dobrze mówię, tak, trochę więcej, czyli kąt alfa jest trochę mniejszy od 55 stopni. Czyli możemy sobie zapisać tutaj, że z tego wynika, że kąt alfa jest równy około 55 stopni. No i to byłaby odpowiedź do zadania. Jeżeli mielibyśmy zadanie zamknięte ABCD, no to tam właśnie może byłyby odpowiedzi w stylu kąt alfa mniejsze od 55 stopni, równy dokładnie 55 stopni, albo większy od 55 stopni, no to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź alfa mniejsze od 55 stopni, no bo odczytaliśmy z tablic, że dla 55 stopni już mamy trochę więcej niż my otrzymaliśmy. Czyli nasz kąt alfa jest jakąś wartością między 54 a 55 stopni. Ja tu w przybliżeniu napisałem taki wynik, bo bliżej mu do 55 niż 54 stopni, ale jest mniejszy. Także w zależności od tego, jakie mielibyśmy odpowiedzi ABCD, taką odpowiedź byśmy wskazali. Najważniejsze jest to, żebyśmy wiedzieli, że możemy obliczyć wartość jakiejś funkcji trygonometrycznej, nawet tak w przybliżeniu i potem z takiej wartości odczytać, ile jest równy kąt alfa. Oczywiście, jeżeli by nam wyszło, zrobię taki króciutki przykład ósmy, że na przykład sinus alfa to się równa pierwiastek z trzech przez dwa. No to my nie pamiętamy, jaki to był kąt alfa, ale wiemy, że możemy sobie zerknąć do tablic. Tutaj odszukam tą naszą tabelkę. O, jest. Sinus alfa, pierwiastek z 3 przez 2 dla 60 stopni. To tutaj mamy już bardzo precyzyjną odpowiedź. Stąd wynika, że alfa jest równe dokładnie 60 stopni. Bardzo szybka sprawa. Tutaj natychmiast możemy wyznaczyć miarę dokładną kąta alfa. Jeżeli tak nie jest, jeżeli jest taka bardziej popaprana sytuacja jak w tym przykładzie, no to z tej tabelki na końcu w przybliżeniu odczytujemy, ile jest równe kąta alfa. Zróbmy sobie teraz na koniec jeszcze takie bardzo ważne zadanie. To będzie nasz przykład dziewiąty. Mianowicie coś takiego. Niech kąt alfa to będzie kąt ostry. I ponadto jeszcze nam podają w treści zadania, że dodatkowo wiemy, że sinus alfa jest równy 1 trzecia. No i polecenie jest takie, żeby obliczyć. Kosinus alfa, ile to jest? I jeszcze ile to jest tangens alfa. Bardzo typowe zadanie maturalne bardzo często się pojawia, że mamy podaną wartość jednej funkcji trygonometrycznej i musimy obliczyć którąś z pozostałych. W takich zadaniach zazwyczaj mamy podane, że kąt alfa jest ostry. Na maturze podstawowej zawsze tak jest podane. No i wtedy możemy skorzystać, najprościej jest, z trójkąta prostokątnego. Skoro kąt alfa jest ostry, to możemy go zaznaczyć w trójkącie prostokątnym na przykład tutaj. I skoro wiemy, że w tym zadaniu akurat sinus alfa to 1 trzecia, to możemy sobie napisać, że przykładowy trójkąt prostokątny, w którym sinus alfa jest równy 1 trzecia, ma boki 1 oraz 3, ponieważ bierzemy na początku, tak jak sobie powiedzieliśmy i pamiętamy z definicji, przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa do przeciwprostokątnej. Gdy... Gdy już tak sobie podpiszemy trójkąt prostokątny, oczywiście to nie jest jedyny trójkąt prostokątny, który ma taki sinus kąta alfa. Gdybym tu napisał 2 oraz 6, to również byłoby dobrze. 2 szóste to to samo co 1 trzecia, a trójkąt byłby zupełnie inny. Byłby podobny do tego, ale dwa razy większy. Także nie możemy założyć, że ten konkretny trójkąt ma sinus alfa równy 1 trzecia i o niego chodzi w tym zadaniu. ale może on nam pomóc wyliczyć kosinus i tangens, także możemy sobie zrobić taki rysunek pomocniczy i moglibyśmy... Przyjąć, że te boki mają długość 2,6 albo np. 10,30, no ale najprościej jest przyjąć, że mają 1,3, tak jak nam wskazuje sinus. No i teraz policzmy już dla tego konkretnego trójkąta prostokątnego długość tego boku. Stwierdzenia Pitagorasa, x kwadrat to się równa przeciwprostokątna, czyli 3 do kwadratu minus długość drugiej przyprostokątnej do kwadratu, czyli minus 1 kwadrat. czyli x kwadrat to się równa 9 minus 1, czyli 8, czyli x to się równa pierwiastek z 8, czyli pierwiastek z 4 razy 2, to się równa pierwiastek z 4 to 2, czyli dwa pierwiastki z dwóch. Takie samo rozwiązanie ujemne odrzucamy, bo odcinek musi mieć długość dodatnią. No i jak znamy już x, to cos teraz bez trudu liczymy, cos alfa to się równa. Przyprostokątna przy kącie alfa, czyli nasz x, czyli dwa pierwiastki z dwóch, podzielić na przeciwprostokątną, czyli na trzy. No i jeszcze tangens alfa, to się równa z definicji. Przyprostokątna naprzeciwko kąta alfa, czyli jeden, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na x, czyli na dwa pierwiastki z dwóch. No i gdybyśmy chcieli, to również moglibyśmy tangę z alfa policzyć z naszego wzoru sinus przez kosinus. Sinus to jest 1 trzecia, kosinus 2 pierwiastki z 2 przez 3, to się równa 1 trzecia. To dzielenie zamieniamy na mnożenie, czyli odwracamy ułamek. 3 podzielić na 2 pierwiastki z 2, trójki się skracają, zostaje 1 przez 2 pierwiastki z 2. Czyli to samo, co otrzymaliśmy tutaj. Oczywiście na maturze prawdopodobnie wypadałoby, abyśmy pozbyli się niewymierności z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z dwóch i otrzymujemy pierwiastek z dwóch podzielić na 2 razy 2, czyli na 4. Czyli tak powinniśmy ostatecznie zapisać tangens alfa, no ale obliczyliśmy ile jest równy kosinus, ile tangens, czyli zadanie zrobione. Moglibyśmy mieć do takiego zadania bardziej zagmatwaną treść. Na przykład oblicz, ile to jest sin alfa minus cos kwadrat alfa podzielić na 1 plus tangens alfa. Taki kosmiczny zapis, bardzo skomplikowany, ale tak naprawdę nic trudnego tu nie ma. Jak znamy sin, cos i tangens. a jej już sobie przed chwilą wyliczyliśmy, to wystarczy, że tu podstawimy i policzymy. Sinus alfa, 1 trzecia minus cosinus alfa mamy tutaj, czyli 2 pierwiastki z 2 przez 3, jeszcze do kwadratu podzielić na 1 plus tangę z alfa, czyli pierwiastek z 2 przez 4. No już teraz nie będę tego rachunkowo dalej ciągnął. Chodziło mi tylko o to, abyśmy pokazali sobie, że nawet jak na maturze dadzą nam taki skomplikowany zapis z funkcjami trygonometrycznymi, to mając daną jedną funkcję trygonometryczną, pozostałe z trójkąta prostokątnego sobie bardzo szybko wyznaczamy i potem podstawiamy konkretne wartości do takiego skomplikowanego napisu. Liczymy ile to jest i mamy zrobione zadanie. Także nie przestraszcie się, jak coś takiego Wam przygotują w formie zadania otwartego albo zamkniętego, no ale to raczej bym się spodziewał na otwartym obliczenia czegoś takiego. No spokojnie policzcie wszystkie funkcje trygonometryczne, a potem podstawcie do wzoru i będzie zadanie zrobione. Gdyby chcieli Was jeszcze bardziej przestraszyć, to mogliby oczywiście gdzieś w taki napis wpleść na przykład wyrażenie postaci. Sinus kwadrat. Minus cosinus, oczywiście alfa zjadłem. No i tu napiszę jeszcze plus cosinus kwadrat podzielić na 3. Jak z czymś takim sobie poradzić? Wystarczy, że zamienimy sobie miejscami te dwa wyrażenia i napiszemy sin2 alfa plus cos2 alfa i dopiero potem minus cosinus alfa. I wszystko podzielić na 3, ponieważ to, co tutaj mamy, to jest jedynka trygonometryczna. Jedynka trygonometryczna również znajduje się w tablicach maturalnych. Tu w tym miejscu mamy, że dla dowolnego kąta alfa suma takich kwadratów jest równa 1. Czyli my możemy z tego skorzystać i w tym miejscu podstawić jedynkę minus cos alfa. policzyliśmy, tu już trochę za dużo przewinałem i nie widać, jest równe dwa pierwiastki z dwóch przez trzy, czyli podstawiamy to, co już wyliczyliśmy, podzielić na trzy, znowu upraszczamy wyrażenie liczbowe, ileś tam wychodzi, mamy rozwiązane zadanie. Chodziło mi tu o to, aby pokazać Wam przede wszystkim, że jak pojawiają się kwadraty w takim bardziej skomplikowanym wyrażeniu trygonometrycznym, to warto szukać wtedy jedynki trygonometrycznej. Ona dużo upraszcza, jeżeli znajdziemy taki napis, zamieniamy go jedynką i sytuacja bardzo się upraszcza. Tak samo z jedynki trygonometrycznej, tak jak powiedziałem, można skorzystać do obliczenia pozostałych funkcji trygonometrycznych. Może zróbmy sobie przykład dziesiąty i na nim to sobie właśnie pokażemy. Załóżmy, że cosinus alfa jest równy 1 czwarta. Gdybyśmy chcieli obliczyć sinus, to moglibyśmy zrobić dokładnie tak samo jak w przykładzie poprzednim, ale tu pokażę inny sposób właśnie z jedynki trygonometrycznej. On jest taki może bardziej profesjonalny. Mianowicie możemy napisać sinus kwadrat alfa plus kosinus kwadrat alfa równa się 1, czyli przepisujemy z tablic nasz wzór na jedynkę trygonometryczną i teraz podstawiamy do niego to, co mamy. Tu akurat kosinus, czyli podkosinusa alfa. Podstawimy 1 czwartą, czyli będzie plus 1 czwarta do kwadratu równa się 1, czyli wychodzi, że sinus kwadrat alfa równa się 1 minus 1 szesnasta, czyli sinus kwadrat alfa równa się 15 szesnastych, czyli jeżeli spierwiastkujemy to równanie, to otrzymamy, że sinus alfa równa się Pierwiastek z 15 podzielić na pierwiastek z 16, czyli na 4 lub ewentualnie sinus alfa równa się minus pierwiastek z 15 podzielić na 4. Jeżeli wiemy, że kąt alfa jest ostry, to stąd wynika, że tylko ta odpowiedź jest dobra. Wtedy byśmy napisali, że to rozwiązanie nie należy do dziedziny. Jeżeli kąt alfa mógłby być rozwarty, to wtedy to również jest dobra odpowiedź. Żeby sinus był ujemny, to musi być kąt rozwarty. Jeżeli mamy powiedziane, że kąt alfa jest ostry, to tylko dodatni może być sinus. Także z takiego rachunku z jedynki trygonometrycznej również mogliśmy wyliczyć i wyliczyliśmy, ile jest równy sinus, ale jak wolelibyście trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa, to również można, może nawet zrobię taki mały rysunek, poglądowy do tego zadania. Zaznaczmy sobie kąt alfa. Kosinus równy 1,4. To bierzemy przyprostokątną przy kącie alfa 1 do przeciwprostokątnej 4. Z Pitagorasa wyliczamy x. No i jak już będziemy mieli wszystkie trzy boki, to sinus i tangens z definicji wyliczymy. Także to już chyba byłoby na tyle, co chciałem Wam przekazać w tym nagraniu. Myślę, że omówiliśmy sobie wszystkie najważniejsze zagadnienia, jakie mogą się pojawić w kontekście trygonometrii. Nauczyliśmy się wyliczać wartości funkcji trygonometrycznych, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych przy założeniu, że kąt alfa jest ostry. Z twierdzenia Pitagorasa i trójkąta prostokątnego nauczyliśmy się obliczać miary kątów, gdy znamy jakąś funkcję trygonometryczną z tablic, z tej tabelki na końcu. Tak samo tutaj, w przybliżeniu jak obliczyliśmy ile jest równy sinus, to również z tabelki na końcu odczytaliśmy miarę kąta alfa. Nauczyliśmy się stosować wzory redukcyjne, tutaj w piątym i szóstym przykładzie, one są bardzo przydatne dla radzenia sobie z kątami rozwartymi. Poznaliśmy sytuację w układzie współrzędnych, jak tutaj sobie radzić z kątami nieostrymi, z kątami rozwartymi. Te wzory, które są w tablicach maturalnych, takie może mniej intuicyjne, a również się przydają właśnie w takich zadaniach. Także pamiętajcie o tym. No i to co najważniejsze, to definicje funkcji trygonometrycznych. To co sobie na samym początku omówiliśmy. Jak to będziecie pamiętali, to większość zadań z trygonometrii dacie radę zrobić. Jeszcze jedynka trygonometryczna, wzór na tangens też się czasem przydają. Ale to wszystko macie w tablicach. Jak zapomnicie, to tam zaglądajcie i będziecie mieli taką ściągawkę zawsze pod ręką. Możecie jeszcze przerobić zadanka ze zbiorku do tej części kursu. Tam jest bardzo dużo różnych zadań z trygonometrii, również osadzonych w kontekście praktycznym. Najróżniejsze sytuacje, także możecie potrenować stosowanie wzorów trygonometrycznych i definicji trygonometrycznych w różnych wariantach. Gorąco Was do tego zachęcam. No a w tym nagraniu to już byłoby na tyle. W kolejnych częściach kursu jeszcze również będziemy sobie powtarzali to, co tu sobie powiedzieliśmy, żeby się nam utrwaliło. A dzisiaj dziękuję Wam już bardzo za uwagę i pozdrawiam serdecznie.

Poza tą wytyczną są jeszcze cztery kolejne, które sobie omówimy w kolejnych częściach kursu, aczkolwiek nie będę się z tym zainteresował. aczkolwiek w tym filmiku chciałbym omówić wszystkie najważniejsze zagadnienia, które również są zawarte w tych następnych wytycznych, także w kolejnych częściach tylko je sobie powtórzymy i może dokładniej nieco omówimy, ale już w tym nagraniu wszystkie zostaną poruszone, żebyśmy z tego nagrania już byli dobrze przygotowani do wszystkich zadań z trygonometrii, jakie mogą pojawić się na maturze na poziomie podstawowym. Zaczniemy od tego, co najważniejsze, czyli od definicji.

Zacznijmy od najprostszej. w najnowszej możliwej sytuacji, czyli dla kątów ostrych. Jeżeli mamy kąt alfa mniejszy od 90 stopni, to jest kąt ostry, to wtedy możemy go sobie zaznaczyć w trójkącie prostokątnym.

Narysuję trójkąt prostokątny. Zaznaczmy sobie nasz kąt ostry alfa albo tu, albo tu. Wszystko jedno. Zaznaczmy na przykład go w tym miejscu. Tutaj mamy kąt prosty.

Oznaczmy sobie nasze boki. naszego trójkąta jakimiś literkami, np. a, b oraz c, to są przyprostokątne, to jest przeciwprostokątna, ona jest naprzeciwko kąta prostego, to jest najdłuższy bok naszego trójkąta. No i teraz napiszemy sobie definicję na sinus, kosinus i tangens tego kąta alfa.

Zacznijmy może od sinusa. Sinus alfa to się równa, no i żeby napisać, ile jest równe sinus alfa, to musimy z kąta alfa popatrzeć, jaki bok leży naprzeciwko tego kąta alfa. To jest bok A, czyli sinus alfa to się równa A w liczniku podzielić na przeciwprostokątną, czyli na C w mianowniku.

Tak obliczamy sinus alfa. Patrzymy na przeciwprostokątną naprzeciwko kąta alfa, a potem na najdłuższy bok naszego trójkąta naprzeciwprostokątną. I dzielimy długość tego odcinka.

przez długość tego odcinka i mamy sinus. Teraz wyprowadźmy sobie wzór na kosinus kąta alfa. Tutaj postępujemy bardzo podobnie, tylko najpierw patrzymy na przyprostokątną, która leży przy kącie alfa, a dopiero potem na przeciwprostokątną.

Czyli kosinus alfa to będzie B przez C, no a tangens kąta alfa to jest tak jakby połączenie trochę sinusa i kosinusa. ponieważ patrzymy najpierw na to, co się dzieje naprzeciwko naszego kąta alfa, czyli na przyprostokątną A w tym przypadku, a potem na drugą przyprostokątną, czyli na B. W tangensie w ogóle nie odgrywa roli przeciwprostokątna.

Jeżeli mamy dane dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego, to od razu możemy napisać, ile tangens jest równy. Najpierw patrzymy na to, co jest naprzeciwko kąta alfa, a potem na drugą przyprostokątną. Czyli w tym przypadku to będzie...

to będzie A przez B. No i to są trzy bardzo ważne definicje tych trzech funkcji trygonometrycznych, które musimy znać. No i jeżeli je będziemy znali, to w zasadzie ze wszystkimi zadaniami z trygonometrii na maturze powinniśmy sobie poradzić.

Oczywiście są jeszcze kąty rozwarte i za chwilę pokażemy sobie, jak sobie z nimi radzić w układzie współrzędnych. No i są jeszcze wzory trygonometryczne, jedynka trygonometryczna i wzór na tangens. Tak jak tu sobie powiedzieliśmy, że tangens to jest takie połączenie sinusa i kosinusa, to może tak trochę na wyrost napiszę, że tangens kąta alfa możemy również obliczyć właśnie z sinusa i z kosinusa w taki sposób, że dzielimy sinus alfa przez kosinus alfa. Ten wzór mamy dany w tablicach maturalnych.

No to może jak już sobie wypisaliśmy te wzory, to jeszcze wypiszę ten bardzo ważny wzór na jedynkę trygonometryczną. Sinus kwadrat alfa plus kosinus kwadrat. kwadrat alfa równa się 1. Dla dowolnego kąta alfa mamy taką własność. Czyli jeżeli na przykład mamy dany sinus alfa, że jest równy 1 druga, to możemy sobie do tego wzoru podstawić pod sinus alfa 1 drugą, czyli tu będzie 1 druga do kwadratu 1 czwarta plus kosinus kwadrat alfa równa się 1. Mielibyśmy jedno równanie z jedną niewiadomą kosinus alfa i z takiego równania tego kosinusa można wyliczyć.

No ale powoli na spokojnie. Tutaj tak trochę... w bie Za chwilę sobie jeszcze raz dokładnie omówimy te wzory i przećwiczymy na konkretnym przykładzie.

Tu chciałem przede wszystkim, żebyśmy zapamiętali definicję funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, czyli dla kątów ostrych, mniejszych od 90 stopni. Spróbujmy sobie przećwiczyć tę wiedzę na konkretnym przykładzie. Narysujmy sobie jakiś trójkąt prostokątny. Może ja go narysuję tak. w trochę innej pozycji niż się zazwyczaj rysuje.

Kąt prosty damy sobie tutaj. No i obliczymy funkcje trygonometryczne tego kąta alfa. No i jeszcze może sobie oznaczymy jakość długości boków.

Niech ten bok ma długość 4, a ten ma długość 3. No i w takiej sytuacji na pewno musimy umieć obliczyć wszystkie funkcje trygonometryczne kąta alfa. No to zobaczmy, jak się to robi z definicji. Sinus.

Tego kąta alfa to się równa, co robimy? Tak jak tu sobie omówiliśmy, czerwony wzór, patrzymy na przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa. W tym przypadku to przyprostokątna długości 4 i potem patrzymy na przeciwprostokątną, czyli tutaj tej przeciwprostokątnej nie znamy, oznaczmy ją sobie literką x.

No i żeby móc wyliczyć sin alfa, to będzie 4 podzielić na x, to tego x sobie wyliczymy. Jak go wyliczyć? No oczywiście z twierdzenia Pitagorasa.

Przeciwprostokątna podniesiona do kwadratu w trójkącie prostokątnym to jest suma kwadratów przyprostokątnych, czyli 3 kwadrat plus 4 kwadrat, czyli mamy x kwadrat to się równa 9 plus 16, czyli 25, czyli x to się równa 5. Tutaj mieliśmy równanie kwadratowe, czyli formalnie mógłbym napisać jeszcze lub x równa się... minus 5, żebyśmy się nie przyzwyczaili do tego, że z równania kwadratowego wychodzi jedno rozwiązanie. No ale oczywiście to rozwiązanie tutaj nie należy do dziedziny, nie spełnia naszych założeń, bo długość odcinka musi być dodatnia.

Nie może być ujemna, czyli bierzemy tylko tego x, tyle jest równa nasza przeciwprostokątna, czyli sinus alfa jest równe 4 piąte. No i to również tutaj bardzo ważna taka uwaga, obserwacja, która... Dobrze byłoby, żebyście zapamiętali, mianowicie, że funkcje trygonometryczne sinus i kosinus zawsze są ułamkami.

To jest zawsze liczba z przedziału minus 1,1. Dla kątów ostrych, czyli tych mniejszych od 90 stopni, to jest taki już klasyczny ułamek dodatni, czyli od zera do jedynki. Jeżeli wyszłoby Wam, że sinus alfa albo kosinus alfa jest równy 2,5, 1,5, to to jest na pewno zła odpowiedź.

tyle sinus nie może być równy. Kosinus też nie. Tangens już może być większą liczbą, ale te dwie funkcje trygonometryczne muszą być ułamkami. Obliczmy sobie zatem teraz kosinus kąta alfa. Kosinus alfa to się równa.

No i teraz bierzemy stosunek przyprostokątnej przy kącie alfa, czyli trójki do przeciwprostokątnej. Czyli kosinus alfa jest równe 3 piąte. No i tangens kąta alfa to się równa Znowu, tak jak sobie tu powiedzieliśmy, stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do drugiej przyprostokątnej, czyli tu będzie 4 do 3, czyli 4 trzecie.

I jak widzicie, tangens już wyszedł większy od 1. 4 trzecie jest większy od 1, tangens taki może być, ale sinus i kosinus zawsze muszą być mniejsze od 1. Gdybyśmy chcieli tutaj tangensa obliczyć z tego wzoru, to również moglibyśmy. Napiszmy sobie, że tangens alfa to się równa sinus podzielić na kosinus, czyli 4 piąte podzielić na kosinus był równy 3 piąte, czyli podzielić na 3 piąte, to się równa 4 piąte, to dzielenie zamieniam na mnożenie, czyli mnożę przez odwrotność, 5 trzecich, piątki się skracają, wychodzi 4 trzecie, tak samo jak tutaj odczytaliśmy z rysunku. Także jak widzicie z tego wzoru można korzystać również znając sinus i kosinus do obliczenia tangensa, albo jak mamy trójkąt prostokątny, to z definicji z obrazka również bardzo dobrze się odczytuje.

Możemy sobie jeszcze na tym naszym obrazku, może zaznaczyć tutaj drugi kąt, kąt beta, no i tak w ramach treningu może szybko napiszmy ile jest równy sinus, kosinus i tangens kąta beta. Sinus beta jest równy. Przy prostokątna naprzeciwko, czyli 3, do przeciwprostokątnej, czyli do x, czyli do 5. Tyle jest równy sinus. Kosinus beta to się równa przy prostokątna przy kącie beta, czyli 4, do przeciwprostokątnej, czyli do 5. No i jeszcze tangens kąta beta, to się równa przyprostokątna naprzeciwko kąta beta, czyli 3, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na 4. No ja tu oczywiście tak w uproszczeniu mówię, podzielić na przyprostokątną, oczywiście chodzi o długości tych odcinków. Zróbmy sobie teraz kolejny przykład i również jeszcze rozważymy kąt ostry, ale tym razem w układzie współrzędnych.

Narysujmy sobie układ współrzędnych i w tym układzie zaznaczmy sobie jakiś punkt w pierwszej ćwiartce. Nazwijmy go na przykład literką A, to będą nasze osie X oraz Y, tu mamy 0. No i niech punkt A ma współrzędną X-ową, powiedzmy równą 2, Y-ową niech ma równą 5, czyli moglibyśmy napisać, że A ma współrzędne 2, 5. No i polecenie będzie takie, żeby... obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta alfa zaznaczonego w układzie współrzędnych pomiędzy osią x-ów a tym odcinkiem łączącym początek układu współrzędnych i punkt A.

Ile jest równy sinus alfa? Żeby to obliczyć, no to również jak w przykładzie drugim moglibyśmy skorzystać tutaj z takiego trójkąta prostokątnego no i skorzystać z definicji. Wiemy, że długość tego odcinka jest równa 5. Skąd my to wiemy? Ano stąd, że a ma współrzędną y równą 5. Ten odcinek jest równy 5, to i ten jest równy 5. Tak samo ten odcinek ma długość 2, jeżeli tutaj jest współrzędna x równa 2. Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc długość przeciwprostokątnej też możemy policzyć.

Oznaczmy ją sobie literką r. Tak się często oznacza takim symbolem. ten odcinek od początku układów współrzędnych do jakiegoś punktu w tym układzie.

No i policzmy, ile to r jest równe. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że r kwadrat równa się 5 do kwadratu plus 2 do kwadratu, czyli r kwadrat to się równa 25 plus 4, czyli 29, czyli r to jest pierwiastek z 29. No, wyszła brzydka liczba, no ale nic na to nie poradzimy. Sinusa, kosinusa i tangensa i tak damy radę zapisać. Napiszmy sobie zatem, że sinus kąta alfa to się równa, no i z definicji stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta alfa, to jest przyprostokątna długości 5, podzielić na przeciwprostokątną, czyli na nasze r, czyli na pierwiastek z 29. Możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika i napisać, że to jest 5 pierwiastków z 29 podzielić na 29. No i mamy sinusa, no to napiszmy teraz cosinusa.

Tu nic trudnego nie ma, mamy wszystkie boki trójkąta prostokątnego, więc znając definicję funkcji trygonometrycznych, bez problemu piszemy, jakie są wartości tych funkcji. Cosinus, stosunek przyprostokątnej przy kącie, czyli 2 do przeciwprostokątnej, czyli do pierwiastka z 29. No i jeszcze tangę z kąta alfa, to się równa stosunek przyprostokątnej na przeciwko kąta. czyli 5, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na 2. Tyle jest równe tangens alfa, 5 drugich. Gdybyśmy podzielili sinus przez kosinus, to też tyle by nam wyszło. Te pierwiastki z 29 by się poskracały i jak widzimy, by wyszło 5 drugich.

Także ze wzoru tangensa też tutaj moglibyśmy obliczyć. Spróbujmy sobie teraz zrobić bardzo podobny przykład, tylko tym razem punkt A. Osadzimy sobie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i konsekwencja tego będzie taka, że nasz kąt alfa będzie rozwarty.

Taki duży, powyżej 90 stopni. Załóżmy, że punkt A będzie miał współrzędną x-2, a y-5, czyli to będzie takie symetryczne odbicie tego punktu A na drugą stronę. No i teraz jak obliczyć sinus, kosinus i tangens?

tego kąta alfa. Możemy to zrobić przez analogię do przykładu trzeciego. Zauważmy, że jak liczyliśmy tutaj sinus alfa, to wzięliśmy tak naprawdę współrzędną y punktu A, tutaj była ta współrzędna y i podzieliliśmy na pierwiastek z 29, czyli na naszego R, tutaj było R.

Czyli mogliśmy sobie zapisać, że wzór na sinus alfa w układzie współrzędnych to jest współrzędna y punktu a podzielić na nasze r. Tak samo cos alfa. Tutaj mamy współrzędną x-ową punktu A, czyli mogliśmy napisać, że cosα to się równa x przez, no i tak samo, tutaj pierwiastek z 29, czyli r, no i na końcu tangens α to się równa 5 na 2, czyli y-owa punktu A przez x-ową punktu A.

y przez x, no i mielibyśmy wzór ogólny na tangens. Te wzory też są stosunkowo ważne w sytuacji, gdy mamy właśnie akcję osadzoną w układzie współrzędnych. Jakiś punkt, ten odcinek, kąt zaznaczony między tym odcinkiem a osią x i musimy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

O ile dla kąta ostrego, czyli jeżeli punkt znajduje się w pierwszej ćwiartce jest łatwo, bo możemy sobie dorysować trójkąt prostokątny i z trójkąta prostokątnego to zrobić, to jak A jest w drugiej ćwiartce albo w którejś z następnych, to już jest gorzej dla kątów rozwartych, tutaj już nie stworzymy sobie tak łatwo trójkąta prostokątnego, no i możemy sobie poradzić wtedy tymi wzorami. Napiszmy sobie zatem, że skoro ten nasz punkt A, może tak napiszę w drugą stronę, bo tutaj nie mam miejsca, ma współrzędną x-ową minus 2 y5, to znając te współrzędne jesteśmy w stanie obliczyć. Sinus alfa jest równy y przez r.

Nasze r tu już mamy obliczone. Będzie ono takie samo jak w przykładzie trzecim, ponieważ tutaj mamy odcinek długości 5, odcinek długości 2, czyli przeciwprostokątna w tym trójkącie prostokątnym. Jest równa pierwiastek z 29. Nie będę powtarzał już tego rachunku.

Zatem sinus alfa... który jest równy y przez r, będzie równy. Tutaj jest nasz y, czyli 5 podzielić na r, czyli na pierwiastek z 29. Teraz kosinus.

Kosinus kąta alfa to się równa x przez r, czyli minus 2 podzielić na r, czyli na pierwiastek z 29. Już nie usuwam tutaj tych niewymierności z mianownika. No bo w końcu tutaj nie mamy trenować wykonywania działań algebraicznych, ale przede wszystkim zrozumieć, o co chodzi w trygonometrii. No i tangens alfa y przez x, y czyli 5, podzielić na x, czyli na minus 2. Moglibyśmy ładniej napisać minus 5 drugich. Jak widzicie, sytuacja z rozwartym kątem alfa już nie jest taka oczywista. Te wzory, które tu sobie wyprowadziliśmy już nie są aż takie proste.

Być może samodzielnie, tak jak my to teraz zrobiliśmy, wyprowadzić ich na maturze byłoby trochę trudniej, aczkolwiek jak widzicie, jeżeli sobie zrobicie przykład z punktem A w pierwszej ćwiartce, wypiszecie z trójkąta prostokątnego, ile jest równy sinus i kosinus, no to z tych wypisanych wartości tych funkcji trygonometrycznych możecie odgadnąć te wzory. Tak jak ja to zrobiłem w tym momencie. Inaczej sobie z tym nie umiem poradzić. Tak jest bardzo szybko i łatwo. Poprzez obserwację, jakie tu liczby wpisaliśmy z trójkąta prostokątnego, odczytujemy, jakie są wzory.

Tak oczywiście można sobie poradzić, ale jest prostszy sposób, ponieważ w tablicach maturalnych te wzory mamy dane. Na stronie 14 zaczyna się rozdział 12 z trygonometrią. Na początku mamy wzory.

funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. To sobie na początku pokazaliśmy, ale chwilę dalej, na następnej stronie mamy definicję funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych, już w układzie współrzędnych i tutaj mamy te wzory, które ja Wam przed chwilą wyprowadziłem. Właśnie ze współrzędnymi punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych.

Tu również mamy tą przeciwprostokątną, ten odcinek oznaczony literką R. No i tutaj mamy te wzory. Także spokojnie możecie z nich skorzystać na maturze. Jak pojawi się taka sytuacja w układzie współrzędnych, z nich od razu odczytujemy, ile jest równy sinus, kosinus i tangens.

Także też nie powinno to być trudne i skomplikowane. W zbiorku zadań, które przygotowałem do tej części kursu, znajdziecie wiele zadań właśnie z trygonometrii, m.in. zadania tego typu, także tam jeszcze będziecie mogli sobie przećwiczyć tę umiejętność.

Dalej w tablicach maturalnych mamy wykresy funkcji trygonometrycznych. To na podstawie się nie przydaje, dopiero na rozszerzeniu, aczkolwiek jak ktoś zna wykresy sinusa, cosinusa i tamgensa, to na pewno nie zaszkodzi. Może się czasem też przydać do odczytania, do szybszego przypomnienia sobie, ile jest równy sinus 30 stopni.

45 i 60, aczkolwiek te wszystkie wartości tych typowych kątów mamy tutaj w tabelce zebrane. Na przykład sinus 30 stopni to jest jedna druga, sinus 60 stopni pierwiastek z 3 przez 2, tak samo kosinus i tangens dla zera 45, 60 i 90 stopni. Bardzo szybko możemy sobie konkretne wartości odczytać tutaj z tablic maturalnych. No i mam jeszcze podane te wzory.

na jedynkę trygonometryczną, co Wam podałem na początku i wzór na tangę, że to jest sinus przez kosinus. Tu jest oczywiście podane pewne założenie, które wyklucza takie kąty alfa, dla których kosinus byłby równy 0, no bo jak wiemy, nie można dzielić przez 0. Na kolejnej stronie tablic mamy funkcję sumy i różnicy kątów. To również jest dla rozszerzenia.

Funkcje podwojonego kąta także dla rozszerzenia, sumy i różnice to też jest rozszerzenie, ale wybrane wzory redukcyjne mogą się nam przydać i za chwilę sobie pokażemy na konkretnym przykładzie jak i gdzie to można zastosować. Dalej już mamy kombinatorykę, także część trygonometryczna się kończy. No to wróćmy sobie do naszych przykładów i może zróbmy sobie teraz kolejny przykład.

To będzie przykład. Piąty. No i może tu zróbmy sobie właśnie coś z kątem rozwartym. Dla odmiany może poza układem współrzędnych.

Załóżmy, że ktoś nam narysuje taki trójkąt rozwartokątny. Zaznaczy nam ten rozwarty kąt. Powiedzmy, niech on ma miarę 150 stopni.

No i podpisze nam, że na przykład te dwa odcinki będą miały długość 3 oraz 7. i powie, żebyśmy obliczyli pole tego trójkąta. No, zadanie nie takie bardzo łatwe, ponieważ nie mamy takiego typowego trójkąta, nie mamy wysokości, mamy tylko długości dwóch boków. Trójkąt jest taki bardzo nieforemny. Mamy zaznaczony w dodatku ten rozwarty kąt 150 stopni. No i żeby policzyć pole takiego trójkąta, To możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta, który również jest w tablicach maturalnych.

Możemy sobie go nawet za chwilę pokazać, w dziale z planimetrią jest. Mianowicie, że pole trójkąta można obliczyć ze wzoru 1, 2 razy iloczyn boków przy kącie, czyli a razy b, jeżeli to byłoby nasze a, to byłoby nasze b, i razy jeszcze sinus kąta między tymi bokami, sinus alfa. jeżeli ten kąt to byłoby nasze alfa.

Zatem A znamy, B znamy, no i żeby obliczyć pole trójkąta z tego wzoru, no to wystarczyłoby umieć obliczyć sinusa. 150 stopni, no i właśnie do tego zadania przydają się nam te oto wzory redukcyjne. Musimy umieć sobie z któregoś z tych napisów z sinusem tu w nawiasie wygenerować 150 stopni. Na przykład.

180 minus 30 to będzie 150 stopni, czyli my możemy sobie u nas zapisać, że sinus 150 stopni to oczywiście jest to samo, co sinus 180 stopni minus 30 stopni. Na razie nic mądrego nie napisałem, ale teraz dzięki wzorom redukcyjnym, mianowicie konkretnie dzięki temu wzorowi, wiemy, że sinus 180 stopni minus jakiś kąt alfa To jest po prostu sinus tego kąta alfa. Czyli w naszym przypadku to będzie po prostu sinus 30 stopni.

No a ile to jest sinus 30 stopni? No to wiemy z tabelki, która jest tutaj nieco wyżej. O, w tym miejscu.

Sinus alfa, alfa 30 stopni, sinus 30 stopni, jedna druga. Także wiemy, że to jest jedna druga. No i znając sinus 150 stopni, teraz to pole trójkąta, Liczymy bez trudu, że to jest 1 druga razy a razy b, czyli razy 3 razy 7 razy 1 druga. To się równa 21 przez 4. Także bardzo szybko rozwiązaliśmy zadanie, które na pierwszy rzut oka wydaje się skomplikowane.

No a wszystko dzięki znajomości funkcji trygonometrycznych, no i tych wzorów redukcyjnych, które pozwoliły nam szybko uporać się z kątem 150 stopni. Możemy sobie już teraz, bez takiego kontekstu praktycznego, geometrycznego, jeszcze przyćwiczyć wzory redukcyjne. Na przykład spróbujmy obliczyć, ile to jest kosinus.

Załóżmy 100 stopni. Znowu bierzemy sobie jakiś kąt rozwarty. No i popatrzmy, co mamy we wzorach redukcyjnych.

Zjadę sobie znowu... Do wzorów redukcyjnych namierzamy kosinusa. O i na przykład z tego napisu moglibyśmy uzyskać 100 stopni, 90 plus 10 to będzie 100. No to ja napiszę, że kosinus 100 stopni to jest to samo co kosinus 90 stopni plus 10 stopni. To się równa.

No i popatrzmy co nam mówi ten wzór redukcyjny. Że kosinus 90 plus alfa to jest to samo co... minus sinus alfa, czyli ja tu mogę napisać, że to jest to samo co minus sinus i to jest ten mój kąt alfa, czyli minus sinus dziesięciu stopni.

No i jeżeli polecenie byłoby na maturze, żeby podać dokładną wartość albo możliwie dokładną, przybliżoną wartość tego wyniku, no to wtedy znowu sięgamy do tablic i tym razem... już ta tabelka, która była tutaj nam nie pomoże. Tu nie mamy 10 stopni, więc musimy polecieć na sam koniec minąc kolejne rozdziały. I na samym końcu na 20 stronie mamy tablicę wartości funkcji trygonometrycznych.

Znajdujemy sobie kąt alfa albo beta. Tutaj nie ma znaczenia, w zależności co nam jest potrzebne do obliczenia. Czy kosinus czy sinus. Jeżeli kosinus to patrzymy na kąty beta, bo tu mamy kosinus beta.

A jeżeli sinus albo tangens, to na alfę, ponieważ i sinus i tangens jest tu wzięte od alfy. My chcemy obliczyć sinus 10 stopni, tu jest sinus alfa, więc patrzymy na alfę, gdzie jest 10. Tu mamy 10 stopni, czyli sinus alfa jest równe tyle. 0,1736, oczywiście to jest wartość przybliżona, czyli ja to powinienem jakoś o tak zapisać. 0,1736. 1,736 w przybliżeniu tyle.

Tyle jest równy sinus 10 stopni. O, tu był jeszcze minus. Bym zapomniał. Oczywiście to jest wartość ujemna.

Minus 0,1736, bo tu mieliśmy minus przed sinusem. No i taka była odpowiedź do zadania. Także jak widzicie, wzory redukcyjne się przydają, w szczególności, gdy mamy te kąty większe od 90 stopni. Pozwalają one po prostu zamienić sobie te duże stopnie.

kątów rozwartych z powrotem na kąty ostre. No i jeżeli się trafi, tak jak tutaj, sinus, kosinus jakiegoś takiego miłego kąta 30, 45, 60 stopni, to wtedy mamy konkretną, ładną liczbę. A jak inny kąt się trafi, no to z tych tablic na końcu też możemy odczytać, ile taka funkcja trygonometryczna jest równa. W kolejnych częściach kursu jeszcze sobie przećwiczymy dokładno... odczytywanie z tej tabelki wartości funkcji trygonometrycznych, także jeszcze ten temat tak na chwilę powróci w ramach przypomnienia, no ale mam nadzieję, że już teraz jest to dla Was jasne, jak z tego korzystać, jak odczytywać, ile są równe te funkcje trygonometryczne różnych kątów z tej tabelki na końcu.

Teraz chciałbym, żebyśmy sobie zrobili inne zadanie z trygonometrii, jakie również może pojawić się na maturze. Narysujmy sobie może jakiś trójkąt prostokątny, czyli znowu wracamy do kątów. ostrych.

Tu będzie kąt prosty, powiedzmy alfa niech będzie tutaj, jedna przeciwprostokątna niech ma długość pierwiastek z dwóch, a przeciwprostokątna niech będzie równa pierwiastek z trzech. No i polecenie jest takie, żeby obliczyć miarę kąta alfa. Ile stopni? jak sobie poradzić z takim zadaniem? Patrzymy, co mamy dane.

W tym zadaniu mamy daną przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa i przeciwprostokątną. No to możemy od ręki napisać, ile jest równy sinus. Sinus alfa to się równa pierwiastek z dwóch podzielić na pierwiastek z trzech. No i mając dokładną wartość sinusa, moglibyśmy teraz skorzystać z tych tablic na końcu znaleźć miejsce, gdzie sinus alfa jest równy właśnie tyle. Tu mamy zapis dziesiętny, 0, i jakiś ciąg cyfr, zatem z tego napisu również musimy sobie zrobić taki napis 0, coś tam, coś tam.

Żeby to zrobić w miarę dokładniej, to nie będę liczył, ile jest równy pierwiastek z dwóch i pierwiastek z trzech i potem dzielił, no bo to mogłyby dwa błędy się nałożyć na siebie i dostałbym mało dokładny wynik. Usunę niewymierność z mianownika, czyli mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z trzech. Na górze otrzymujemy pierwiastek z dwóch razy pierwiastek z trzech, czyli pierwiastek z sześciu. Na dole trzy. No i teraz na kalkulatorze liczymy, ile to jest pierwiastek z sześciu.

Dzielimy przez trzy. I wychodzi coś w przybliżeniu. Napiszę takiego 0,8164. Mamy przybliżoną wartość sinusa alfa, no to teraz z tablic trygonometrycznych odczytamy, ile może być równy kąt alfa.

Może oddalę sobie trochę, żebyśmy widzieli więcej tej tabelki na raz. 08, tu mamy 07, to jeszcze za mało, to przechodzimy do drugiej kolumny 07, 07, 08, 1, 9, 2. To jest chyba najbliższa wartość tego, cośmy otrzymali. o tutaj, w tym miejscu, 0,8192, my otrzymaliśmy 0,8164, czyli tutaj mamy ciutkę więcej, dobrze mówię, tak, trochę więcej, czyli kąt alfa jest trochę mniejszy od 55 stopni. Czyli możemy sobie zapisać tutaj, że z tego wynika, że kąt alfa jest równy około 55 stopni. No i to byłaby odpowiedź do zadania.

Jeżeli mielibyśmy zadanie zamknięte ABCD, no to tam właśnie może byłyby odpowiedzi w stylu kąt alfa mniejsze od 55 stopni, równy dokładnie 55 stopni, albo większy od 55 stopni, no to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź alfa mniejsze od 55 stopni, no bo odczytaliśmy z tablic, że dla 55 stopni już mamy trochę więcej niż my otrzymaliśmy. Czyli nasz kąt alfa jest jakąś wartością między 54 a 55 stopni. Ja tu w przybliżeniu napisałem taki wynik, bo bliżej mu do 55 niż 54 stopni, ale jest mniejszy. Także w zależności od tego, jakie mielibyśmy odpowiedzi ABCD, taką odpowiedź byśmy wskazali.

Najważniejsze jest to, żebyśmy wiedzieli, że możemy obliczyć wartość jakiejś funkcji trygonometrycznej, nawet tak w przybliżeniu i potem z takiej wartości odczytać, ile jest równy kąt alfa. Oczywiście, jeżeli by nam wyszło, zrobię taki króciutki przykład ósmy, że na przykład sinus alfa to się równa pierwiastek z trzech przez dwa. No to my nie pamiętamy, jaki to był kąt alfa, ale wiemy, że możemy sobie zerknąć do tablic. Tutaj odszukam tą naszą tabelkę.

O, jest. Sinus alfa, pierwiastek z 3 przez 2 dla 60 stopni. To tutaj mamy już bardzo precyzyjną odpowiedź. Stąd wynika, że alfa jest równe dokładnie 60 stopni. Bardzo szybka sprawa.

Tutaj natychmiast możemy wyznaczyć miarę dokładną kąta alfa. Jeżeli tak nie jest, jeżeli jest taka bardziej popaprana sytuacja jak w tym przykładzie, no to z tej tabelki na końcu w przybliżeniu odczytujemy, ile jest równe kąta alfa. Zróbmy sobie teraz na koniec jeszcze takie bardzo ważne zadanie.

To będzie nasz przykład dziewiąty. Mianowicie coś takiego. Niech kąt alfa to będzie kąt ostry. I ponadto jeszcze nam podają w treści zadania, że dodatkowo wiemy, że sinus alfa jest równy 1 trzecia.

No i polecenie jest takie, żeby obliczyć. Kosinus alfa, ile to jest? I jeszcze ile to jest tangens alfa.

Bardzo typowe zadanie maturalne bardzo często się pojawia, że mamy podaną wartość jednej funkcji trygonometrycznej i musimy obliczyć którąś z pozostałych. W takich zadaniach zazwyczaj mamy podane, że kąt alfa jest ostry. Na maturze podstawowej zawsze tak jest podane.

No i wtedy możemy skorzystać, najprościej jest, z trójkąta prostokątnego. Skoro kąt alfa jest ostry, to możemy go zaznaczyć w trójkącie prostokątnym na przykład tutaj. I skoro wiemy, że w tym zadaniu akurat sinus alfa to 1 trzecia, to możemy sobie napisać, że przykładowy trójkąt prostokątny, w którym sinus alfa jest równy 1 trzecia, ma boki 1 oraz 3, ponieważ bierzemy na początku, tak jak sobie powiedzieliśmy i pamiętamy z definicji, przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa do przeciwprostokątnej. Gdy... Gdy już tak sobie podpiszemy trójkąt prostokątny, oczywiście to nie jest jedyny trójkąt prostokątny, który ma taki sinus kąta alfa.

Gdybym tu napisał 2 oraz 6, to również byłoby dobrze. 2 szóste to to samo co 1 trzecia, a trójkąt byłby zupełnie inny. Byłby podobny do tego, ale dwa razy większy. Także nie możemy założyć, że ten konkretny trójkąt ma sinus alfa równy 1 trzecia i o niego chodzi w tym zadaniu. ale może on nam pomóc wyliczyć kosinus i tangens, także możemy sobie zrobić taki rysunek pomocniczy i moglibyśmy...

Przyjąć, że te boki mają długość 2,6 albo np. 10,30, no ale najprościej jest przyjąć, że mają 1,3, tak jak nam wskazuje sinus. No i teraz policzmy już dla tego konkretnego trójkąta prostokątnego długość tego boku.

Stwierdzenia Pitagorasa, x kwadrat to się równa przeciwprostokątna, czyli 3 do kwadratu minus długość drugiej przyprostokątnej do kwadratu, czyli minus 1 kwadrat. czyli x kwadrat to się równa 9 minus 1, czyli 8, czyli x to się równa pierwiastek z 8, czyli pierwiastek z 4 razy 2, to się równa pierwiastek z 4 to 2, czyli dwa pierwiastki z dwóch. Takie samo rozwiązanie ujemne odrzucamy, bo odcinek musi mieć długość dodatnią. No i jak znamy już x, to cos teraz bez trudu liczymy, cos alfa to się równa.

Przyprostokątna przy kącie alfa, czyli nasz x, czyli dwa pierwiastki z dwóch, podzielić na przeciwprostokątną, czyli na trzy. No i jeszcze tangens alfa, to się równa z definicji. Przyprostokątna naprzeciwko kąta alfa, czyli jeden, podzielić na drugą przyprostokątną, czyli na x, czyli na dwa pierwiastki z dwóch. No i gdybyśmy chcieli, to również moglibyśmy tangę z alfa policzyć z naszego wzoru sinus przez kosinus.

Sinus to jest 1 trzecia, kosinus 2 pierwiastki z 2 przez 3, to się równa 1 trzecia. To dzielenie zamieniamy na mnożenie, czyli odwracamy ułamek. 3 podzielić na 2 pierwiastki z 2, trójki się skracają, zostaje 1 przez 2 pierwiastki z 2. Czyli to samo, co otrzymaliśmy tutaj.

Oczywiście na maturze prawdopodobnie wypadałoby, abyśmy pozbyli się niewymierności z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z dwóch i otrzymujemy pierwiastek z dwóch podzielić na 2 razy 2, czyli na 4. Czyli tak powinniśmy ostatecznie zapisać tangens alfa, no ale obliczyliśmy ile jest równy kosinus, ile tangens, czyli zadanie zrobione. Moglibyśmy mieć do takiego zadania bardziej zagmatwaną treść. Na przykład oblicz, ile to jest sin alfa minus cos kwadrat alfa podzielić na 1 plus tangens alfa.

Taki kosmiczny zapis, bardzo skomplikowany, ale tak naprawdę nic trudnego tu nie ma. Jak znamy sin, cos i tangens. a jej już sobie przed chwilą wyliczyliśmy, to wystarczy, że tu podstawimy i policzymy. Sinus alfa, 1 trzecia minus cosinus alfa mamy tutaj, czyli 2 pierwiastki z 2 przez 3, jeszcze do kwadratu podzielić na 1 plus tangę z alfa, czyli pierwiastek z 2 przez 4. No już teraz nie będę tego rachunkowo dalej ciągnął.

Chodziło mi tylko o to, abyśmy pokazali sobie, że nawet jak na maturze dadzą nam taki skomplikowany zapis z funkcjami trygonometrycznymi, to mając daną jedną funkcję trygonometryczną, pozostałe z trójkąta prostokątnego sobie bardzo szybko wyznaczamy i potem podstawiamy konkretne wartości do takiego skomplikowanego napisu. Liczymy ile to jest i mamy zrobione zadanie. Także nie przestraszcie się, jak coś takiego Wam przygotują w formie zadania otwartego albo zamkniętego, no ale to raczej bym się spodziewał na otwartym obliczenia czegoś takiego.

No spokojnie policzcie wszystkie funkcje trygonometryczne, a potem podstawcie do wzoru i będzie zadanie zrobione. Gdyby chcieli Was jeszcze bardziej przestraszyć, to mogliby oczywiście gdzieś w taki napis wpleść na przykład wyrażenie postaci. Sinus kwadrat.

Minus cosinus, oczywiście alfa zjadłem. No i tu napiszę jeszcze plus cosinus kwadrat podzielić na 3. Jak z czymś takim sobie poradzić? Wystarczy, że zamienimy sobie miejscami te dwa wyrażenia i napiszemy sin2 alfa plus cos2 alfa i dopiero potem minus cosinus alfa. I wszystko podzielić na 3, ponieważ to, co tutaj mamy, to jest jedynka trygonometryczna. Jedynka trygonometryczna również znajduje się w tablicach maturalnych.

Tu w tym miejscu mamy, że dla dowolnego kąta alfa suma takich kwadratów jest równa 1. Czyli my możemy z tego skorzystać i w tym miejscu podstawić jedynkę minus cos alfa. policzyliśmy, tu już trochę za dużo przewinałem i nie widać, jest równe dwa pierwiastki z dwóch przez trzy, czyli podstawiamy to, co już wyliczyliśmy, podzielić na trzy, znowu upraszczamy wyrażenie liczbowe, ileś tam wychodzi, mamy rozwiązane zadanie. Chodziło mi tu o to, aby pokazać Wam przede wszystkim, że jak pojawiają się kwadraty w takim bardziej skomplikowanym wyrażeniu trygonometrycznym, to warto szukać wtedy jedynki trygonometrycznej.

Ona dużo upraszcza, jeżeli znajdziemy taki napis, zamieniamy go jedynką i sytuacja bardzo się upraszcza. Tak samo z jedynki trygonometrycznej, tak jak powiedziałem, można skorzystać do obliczenia pozostałych funkcji trygonometrycznych. Może zróbmy sobie przykład dziesiąty i na nim to sobie właśnie pokażemy. Załóżmy, że cosinus alfa jest równy 1 czwarta. Gdybyśmy chcieli obliczyć sinus, to moglibyśmy zrobić dokładnie tak samo jak w przykładzie poprzednim, ale tu pokażę inny sposób właśnie z jedynki trygonometrycznej.

On jest taki może bardziej profesjonalny. Mianowicie możemy napisać sinus kwadrat alfa plus kosinus kwadrat alfa równa się 1, czyli przepisujemy z tablic nasz wzór na jedynkę trygonometryczną i teraz podstawiamy do niego to, co mamy. Tu akurat kosinus, czyli podkosinusa alfa.

Podstawimy 1 czwartą, czyli będzie plus 1 czwarta do kwadratu równa się 1, czyli wychodzi, że sinus kwadrat alfa równa się 1 minus 1 szesnasta, czyli sinus kwadrat alfa równa się 15 szesnastych, czyli jeżeli spierwiastkujemy to równanie, to otrzymamy, że sinus alfa równa się Pierwiastek z 15 podzielić na pierwiastek z 16, czyli na 4 lub ewentualnie sinus alfa równa się minus pierwiastek z 15 podzielić na 4. Jeżeli wiemy, że kąt alfa jest ostry, to stąd wynika, że tylko ta odpowiedź jest dobra. Wtedy byśmy napisali, że to rozwiązanie nie należy do dziedziny. Jeżeli kąt alfa mógłby być rozwarty, to wtedy to również jest dobra odpowiedź. Żeby sinus był ujemny, to musi być kąt rozwarty.

Jeżeli mamy powiedziane, że kąt alfa jest ostry, to tylko dodatni może być sinus. Także z takiego rachunku z jedynki trygonometrycznej również mogliśmy wyliczyć i wyliczyliśmy, ile jest równy sinus, ale jak wolelibyście trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa, to również można, może nawet zrobię taki mały rysunek, poglądowy do tego zadania. Zaznaczmy sobie kąt alfa. Kosinus równy 1,4. To bierzemy przyprostokątną przy kącie alfa 1 do przeciwprostokątnej 4. Z Pitagorasa wyliczamy x.

No i jak już będziemy mieli wszystkie trzy boki, to sinus i tangens z definicji wyliczymy. Także to już chyba byłoby na tyle, co chciałem Wam przekazać w tym nagraniu. Myślę, że omówiliśmy sobie wszystkie najważniejsze zagadnienia, jakie mogą się pojawić w kontekście trygonometrii.

Nauczyliśmy się wyliczać wartości funkcji trygonometrycznych, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych przy założeniu, że kąt alfa jest ostry. Z twierdzenia Pitagorasa i trójkąta prostokątnego nauczyliśmy się obliczać miary kątów, gdy znamy jakąś funkcję trygonometryczną z tablic, z tej tabelki na końcu. Tak samo tutaj, w przybliżeniu jak obliczyliśmy ile jest równy sinus, to również z tabelki na końcu odczytaliśmy miarę kąta alfa. Nauczyliśmy się stosować wzory redukcyjne, tutaj w piątym i szóstym przykładzie, one są bardzo przydatne dla radzenia sobie z kątami rozwartymi. Poznaliśmy sytuację w układzie współrzędnych, jak tutaj sobie radzić z kątami nieostrymi, z kątami rozwartymi.

Te wzory, które są w tablicach maturalnych, takie może mniej intuicyjne, a również się przydają właśnie w takich zadaniach. Także pamiętajcie o tym. No i to co najważniejsze, to definicje funkcji trygonometrycznych. To co sobie na samym początku omówiliśmy.

Jak to będziecie pamiętali, to większość zadań z trygonometrii dacie radę zrobić. Jeszcze jedynka trygonometryczna, wzór na tangens też się czasem przydają. Ale to wszystko macie w tablicach.

Jak zapomnicie, to tam zaglądajcie i będziecie mieli taką ściągawkę zawsze pod ręką. Możecie jeszcze przerobić zadanka ze zbiorku do tej części kursu. Tam jest bardzo dużo różnych zadań z trygonometrii, również osadzonych w kontekście praktycznym. Najróżniejsze sytuacje, także możecie potrenować stosowanie wzorów trygonometrycznych i definicji trygonometrycznych w różnych wariantach. Gorąco Was do tego zachęcam.

No a w tym nagraniu to już byłoby na tyle. W kolejnych częściach kursu jeszcze również będziemy sobie powtarzali to, co tu sobie powiedzieliśmy, żeby się nam utrwaliło. A dzisiaj dziękuję Wam już bardzo za uwagę i pozdrawiam serdecznie.

Transcript for:Trygonometria do matury podstawowej

Transcript for:
Trygonometria do matury podstawowej