עברים בוקר טוב, כאילו שאתם מרגישים טוב, יש הכל בסדר, המתענות קצת בטבעת המאחרים. בואו נגיד כמה דברים קצרים בפתח הסמסטר, ואני נוכל להתחיל ללמוד מתמטיקה. אין לי הרבה מה להגיד פה, זה תרגול, זה לא הרצאה שבה אני מחליט יותר, בטח שאני לא מרצה אחראי בקורס הזה. אני אזכיר אבל כמה דברים קצרים ברמה הטכנית, אולי חדש למי שפעם לא היה בשיעור בזום.
אני משתף אתכם מסך, זה עלול לקחת כמה שניות. הוא טוען עכשיו שזה קרה לכולם, אתם צופים יחד במסך שלי, אני כותב פה את זה כאילו מתמטיקה, אני צריך טיפה להקסים את הפונט, הקרנתי את זה אתמול על מסך, מי שמכיר מכיר, ועשיתי פונט די גדול, אז פה אני יכול להוריד אותו בהחלט, 20, זה מספר הקלאסי, תביאי לי לסדר יותר, אני חסר במסך אחד, אפשר לראות יותר טוב. אז פה אני כותב. ואחר מכן אני הופך את זה זה מרגיש לי קטן מדי בוא נעשה 25 אחר מכן אני הופך את זה לפי דיאט כמובן מנגיש לכם אותו אני פשוט שים אותו בדרייט ושכל שאר הדברים נמצאים ושוב בקבוצה שלחתי גם הבוקר את הכישור שבו רשת הכל בסודר טרחתי כדי שיהיה לכם את הכל נגיש, נהיר וברור זה הקבוצת זה שור היחיד שיש לי הסמסטר ב-HRT, סמסטר בלט אין לי כלום, סיבות כאלה לאחרות נאלצתי להפחית משמעותית, או לפחות חשב לי שנאלצתי להפחית משמעותית, את כמות השעות שלי במכון, אבל בכל מקרה, אני את השיעור הזה כן מלמד, אז דברים יהיו מוכנים, אני אנגיש לכם אותם, גם סיכום, גם הקלטה, שיעור מוקלט, נשלח לו ידעה דרך המודל היום, על איפה כל הדרכים, דברים יוצאים, ומכאן ואילך, שבוע לשבוע, אתם תמצאו אותם בכל שצריך. אני כמובן בכיף מאפשר לשאול פה שאלות, אני לא רוצה שאני קודם אמר איש לכם שאלות, יש לכם שאלות, אתם יכולים לשאול אותי, תשתלו בבקשה לשאול שאלות דרך המיקרופון, ולא דרך הצ'אט, בסדר, בתור כדי שתוק המסך אני פחות רואה את הצ'אט, לא אומר לא בכלל, פחות רואה את הצ'אט, יש גם קבוצת ווטסאפ, מי שמצא שם כבר יופי, יש שם לא יודע, 200 ומשהו אנשים ככל שראיתי, כרגיל זמין שם לשאלות בנושא הקורס, נע לקרוא את התיאור, בגדול לא תהגו אותי, זה הכלל העיקרי, אבל יש עברות דברים בתיאור שווה להסתכל עליהם, אני מאמין.
יש שם את הקישור לקבוצה, אם רוצים לשתף עם אחרים, איך זה יוצא בזה, תזמין לנו אנשים אחרים, בשמחה רבה. המייל כמובן, אני גם זמין בו לשאלות, היד עתי המייל בגוגל, תוצאו את המייל ישר, וכמובן מי שמרגיש שקלו כל הקיצים, או שעוד דקה הולך להיות אחמש בברגל קינג בקריון, או שחמש עשר דקות, עשרים דקות, יושב איתי שנייה על איזה משהו, ו... מפשם או גברת של הארגזים ב-ITX, אז אפשר לקבוע שעת קבלה, קחו את זה כרגיל כמוצא יחסית אחרון, מכיוון שיש לי הרבה סטודנטים, זה שבמכון יש לי מעט, לא אומר שאני אמכון אחרים, ובסך הכל יש 168 שעות בשבוע, אז אם הייתי בשקיע לכל אחת חמש דקות, לא היינו, לא הייתי יכול להצליח לאכול או משהו כזה, אז שוב, לא אומר שלא חסכי לה מישהי צריך, קחו את זה כמוצא אחרון. כרגיל שבוקה דברים למי שגרמת בשיעור שמעת מה שאני אומר פה שוב ושוב אני מתרגל את לובה אני שואל אותה יש לנו קבוצה בוואטסה ביניתם שואל אותה מה לתרגל והיא אומרת לי ואני מתרגל איזה דאפ איזה עניינים וכן הלאה אז ככה מישהו שמתקדם יותר מתקדם פחות תלוי מרצה כולם עוזרים בשמחה הכישור נגיש לכולם שם המודל שמנו את זה מלאכת אכילה את החומרים וכן הלאה הכישורים בקבוצה העיקרית של המודל כלומר שנה שעברה היה מודל כאילוין של אינפי 2 והיה שם איזה 3-4 מרצים לא יודע אחר מי הדוואה ספיבה, אקוואטבר ומודל של אינפי 2 בזום וכאילו היה נפרד כי המכון לא רצה שמי שנרשם לכיתה יגיע לזום וזה אבל בגלל המצב ביטחוני ורוצים לאפשר לכם ללמוד איך שנוח לכם אז המודל הוא בפועל משותף ככה שכל הכישורים, שוב אני אראה את המודל בהמשך היום אולי יותר טוב לשלח עוד דעה מסודרת דרכו הוואטסאפ, הכישור לזום, הסיכוי שני קודמות וחצה בזה, אז יהיו בכל מיני דברים.
ובכל מיני דברים, הוא בלחוץ יותר נגישים לכולם. אם הזכרתי את המצב, אז כפי שמחנתם מן הסתם, הסמסטר התחיל ביחור ניכר, והוא קצר יותר, וזה משפיע על כמה וכמה דברים. אומר לכם, את תאמין, את מודה ומתוודה, מכיוון שבמכון יש לי רק שוב את הקורס הזה, בסמסטר הזה, ואין לי אף קורס בסמסטר הבא, יש לי איזה משהו שניים בקיץ כרגע.
אז לא נכנסתי לעומק, לא נכנסתי לעומק לתאמות, לכלל לסטודנטים בכלל ולמשרתי המנועים בפרט. אין לי מושג אם יש בו, נגיד בוחן או מתי, ואם ירד חומר ואיך ומה רשום שם ללמידה עצמית, זה צריך להיבחן עליו או להיבחן עליו. שאלה שאתמול שאלו נראה לי בוואטסאפ, לא יודע. זה מתמטצל, הפעם באמת קצרה ידימי לרשיע בפרן הבירוקרטי.
אני לא זוכר שאני קיבלתי איזו תשובה, כאילו משהו מסודר ממישהו. אבל אם יש לכם שאלות כאלו, את כדאי לתכלל אותן מול הסגל המנהלי של המכון. יש לכם, כמו שאתם יודעים, רכזת של שנה א', אתם שנה ב', רכזת של שנה ב', מזכירה כזו או אחרת.
אם יש שאלות, לפנות אליה. כל הפעל הטכני, אני לא יכול להגיע לשיעורים, האם מגיע לי תגבורים, אני לא יכול להגיע לבוחן, לא יכול להגיש למחן, וכל כיוצא באלו. אבל מצד שני, תמצאו את זכויותכם. בסדר גם את מולה לי מלא מלא שיעורים ראשונים בבר אילן גם שם התחיל הסמסטר ואמרתי להם את זה שוב ושוב וואלה לא בקייד הסוף מה מגיע לכל אחד ואיך וכיצד זה פחות עובר דרך הסגל האקדמי מה לעשות אלא יותר דרך הסגל המנהלי אבל כל אחד ואחד מכם היה במילואים הגר בצפון או בדרום ובכן הלאה תבצעו את זכויותיכם תמבין את הלוסכורים עליהם תפנו תנסו להבין תנסו להבין מה מה מגיע לכם במהלוך, אבל שכאילו יגיע לכם משהו ולא תהיו מודעים אליו, קל וכוח מולש לא תהיו מודעים אליו וגם לא תנצלו אותו, יגיע לכם שוב איזשהו, תתגבור במהלך הסמסטר, יגיע לכם לבחור עובר באיזשהו קורס, לא יודע, אני שולח, סתם מנפיץ פה עטבות שאין, אבל זה דברים ששמעתי, עוד כמה הם נכונים או לא, אז תבדקו את הדברים ותראו שאתם סגורים על מה מגיע לכם ומה לא.
כל שאלה מתמטית, כל שאלה מתמטית, אני זמין בשמחה, כרגיל גם יש לנו קורסים מתמטיים אחרים, אני מניע שאתם עושים במקביל עכשיו חלקכם מסתברות, חלקכם אלגברה 2, אולי יש קורס מתמטי נוסף שלא יודע, חיצ'ו, פתחו, לא יודע, אני לא מכיר, יש כאלה מסמסט ערבי ואולי עושים לינארית אחד, את האלגבר המקורי כאילו עכשיו, אז בשמחה רבה, אבל בא, בא, מייל, אני זמין בשמחה לשאולות בכל דבר, פשוט מתמטיקה זה עבודה שלי, זה יכול לעזור לכם יותר, בוואטסאפ תשמרו אותו בגדול. לשאלות באינפי 2, זה, שוב, כל הדברים שמעתי פה, למטה, הערה על מצב ביטחוני וההשלכות שלו, כולם אנחנו כבר מכירים, עוד דבר שהוא מכירים, אנחנו לומדים עד 8.50, הפסקה 10 דקות, ולאחר מכן עד 9.50, שזה שיעור אחרון ביום, אפשר טיפה לסדר אחרת, אבל פה זה שיעור ראשון, נעשה את זה לפי הספר כמו שצריך, כמובן שאם נהיה באמצע המשפט, לא נחדול ב-8.50, נסיים מה שצריך, ננסה לאחר מכן ל-10 דקות נטו, נטו, או שאתם יודעים, עוד מקפידל זה. הפסקה היא הרבה יותר שלי משלכם אתם כל רגע נטוי אנחנו הולכת ביוחד בזור אנחנו הולכת לאשן לוריד כבדה ואף אחד לא יודע כלום אני נאלץ להיות פה 50 דקות רצוף אז 10 דקות האלה אני עוד אין מקפיד עליהן אבל שוב לא חבול להתחיל בדיוק ב-8.50 כמובן שב-9.50 אנחנו רוצים לסיים יש לכם מן הסתם שיעור גם ב-10 לא אפשר ככה להתלרלר פה יותר מדי אחרי זה כמובן ב-9.50 אני אשאר לכמה דקות יש לו שש שאלות כרגיל בסוף השיעור בשמחה רבה מן הסתם כרגלם של דברים אמרתי לי מה להגיד ובסוף שמונה דקות דבר נדבר כרגלם של דברים אני אזכר בעוד נקודה או שתיים נקודה או שתיים כאלה בירוקרטיות מנהלתיות טכניות וכן הלאה במהלך השיעור יש שאלות על הדברים שאמרתי פה בדקות האחרונות תשאולי שאלות דרך המיקרופון אוקיי מה כמו שמגם התקנתי דמות בחבוצה לובה ביקשה מאיתנו לעבור על דף מספר 2 בעצם על פונקציות של שני משתנים האמת היא שאני אסוח מדייק את ירק באמת כמו שחושבים על הדף ובכותרת למעלה פונקציות רבות משתנים זה המקום להעיר כרגלנו כמו בדומה לקורס סינפי 1 יש לנו פה בקורס סינפי 2 דפי תרגילים שבהם יש שאלות ובשאלות מסומנים סעיפים מסוימים הסעיפים המסוימים המודגשים קצת שוב אתם מכירים את הדריל הזה ומסגרו מודל כדאי במקביל ביחד איתי הם מסיפים כאילו שכדאי לפתור יחסית עם קטנים, יש מציאות של דפים לחוד מציאות של מבחן לחוד תרגולי מי שהיה באינפי אחד בסמס רבט האחרון אז עם כל הכבוד הדפים ויש כבוד, כן, התרגילים שם הטובים בסך הכל אבל יש כמה דברים שצריך באמת לפתור מתוך מבחנים מי שאין קודם, אבל בדרך כלל גם כדאי לעשות את זה אז גם פה, כבר היום אני הכנתי איזשהו משהו פה, איזו שאלונת למבחן לא שאלה מלאה, לא קבל מאה ואנחנו בעצם מחלקים את יש לנו שלושה דברים לעשות א' לא כזה חשוב לרשום את זה, לתאר תחום הגדרה של פונקציה של שני משתנים, לאחר מכן לצייר מה שנקרא אחד או שניים קווי גובה, ואז זה העיקר לחשב גבולות של פונקציה של שני משתנים. אלעד אפשר שאלה שנייה?
זה גם אפשר למלחם. כן. ראיתי שיש במודל השנה רק דפי תרגילים רגילים, זאת אומרת לא כמו שהיה באינפי אחד שהיה דף תרגילים כיתה ובית.
זה ככה כאילו שאמור להתפסף עוד. תראה, ככל שאני זוכר באינפי 1 היה דפי תרגילים ודפי תרגילים נוספים. לפחות כשאני מלמד אני לא עושה חלוקה בין בית וחוץ, בין בית וכיתה, אלא יש שם תרגילים שכדאי לעשות, והתרגילים הנוספים הם אקסטרה, אף אחד לא מספיק את כל התרגילים של דף הרגיל. אם יש מישהו שיפה איפה מספיק בשיעור את כל התרגילים של דף התרגיל, אז אני לא... אין לי מושג איך הוא עשה את זה, יש שם המיליונים הרי.
יש גם באינפי 2 דפי תרגילים נוספים. לא יודע אם הם... הגישים במודל, זה כבר מחלטה של מי שפותח מה שפותח שם, זה בטח לא עובד דרכי, המרצה אחראית נראה לי לפייך שהמודל נקרא זאת עדווה בסמסטר הזה, אז אפשר אולי לפנות אליה, לבקש לפתוח אותם, אבל גם דפי התרגלים הנוספים של בי-2, כמו שזוכרים, קצת פחות מסודרים משל אינפי, אינפי 1 זה כאילו ממש על כל דף תרגלים, 1 יש דף תרגלים נוסף, פה יש עוד דפי תרגלים נוספים, אבל אני לא חושב שבאמת יש כאילו נגיד 12 דפי תרגלים, משהו כזה, לא יודע אם יש 12 נוספים שהוא בפועל, אני לא יודע גם כמה דפי תרגלים יוסי מסתר הזה, כי הוא יותר מקוצר. שאלות נוספות חברים.
אוקיי, אז בואו נתחיל את העסק. הייתי רוצה לומר, תראו אנחנו נעשה את הדברים במקביל לתרגולים משנים קודמות, ואז ככה יהיה אפשר מי שרוצה לעקוב מרחוק, גם בלי להצטרף ל... לשיעור בפועל, אבל פה מכיוון שההתקדמות והסילובוסים קנה מעט אחרים, אז אנחנו נעשה את זה אולי מעט שונה שוב.
אנחנו היום מתחילים מדף תרגילים 2, זה נשאבה, התחלתי מדף תרגילים 1. זה הגיוני מאוד להתחיל מדף תרגילים 1. אבל פה אנחנו נתחיל כבר מדף תרגילים 2, וכמו שאמרתי, אנחנו בעצם עוסקים בפונקציות של שאני אחנת למוות, בפונקציות של שני משתנים, תכלס תכלס מה שחשוב באמת זה הגבולות של פונקציות שני משתנים, ועם כל הכבוד להתחלה שם של תחום הגדרה וקווי גובה, אז אני רוצה להתחיל דווקא מהגבולות של פונקציות שני משתנים, כמה שנספיק נספיק, ואם אני ארגיש באמת מצינו את העסק ככל הניתן, אז באמת נוכל לחזור סיפה אחורה ולדבר גם על תחום הגדרה, וגם על הסיפור הזה של קווי גובה, איך שזה נקרא שם. אז הכותרת שאני רושם היא גבולות של פונקציות בשני משתנים, הרעיון כאילו די פשוט, אבל שנייה עושה את זה, כן אז גיאומטרית או משהו כזה, אם רוצים לסרטט גרף של פונקציה של שני משתנים, x וy, אנו דורשים לשלושה ממדים. אחד לציר ה-x, אחד לציר ה-y, ואחד לציר ה-fxy. ואין לנו באמת יכולת לעשות זאת.
פונקציה שמשתנה אחד, אני יכול, זה טיפה שאני אהיה להבין איפה הקיצון, וזה, ולשרדת משהו טיוטה. ולהבין פחות איך היא נראית. פונקציה משתנים, אין לנו בדרך לעשות את זה.
לכן החישוב של גבולות, אנחנו חווים לתקוף אותו באופן מתמטי במרכאות לחלוטין, נטו המספרים והאותיות, ולא להסתכל על הדברים גיאומטרית. קל וכל, מרמתי פה שני משתנים, כי זה באמת רובו כחולו של הדף, אבל יש אולי קצת גם איזה תרגיל או שניים מדי פעם של שלושה משתנים, זה פחות או יותר אותו העסק. אז מה אנחנו כן רוצים?
מה אנחנו יודעים על גבול של משתנה אחד? אני מזכיר בקצר, ואז כמובן ניגשתי לפתרון תרגילים. מה אנחנו יודעים על...
אני אגיד לכם סתום את זה. כן, ככלל, כדי להבין אינטואיטיבית. מה אנחנו אמורים לעשות, תרגיל נאמר אמורים זה שמו של דגים, ולעשות את השם פועל, אבל להבין מה אמור לקרות, מה אני אמור לעשות, כדאי להשוות את, כדאי להיזכר, לא להשוות, להיזכר, במה שאנחנו מכירים, מפונקציות של משתנה אחד, מהקורס הקודם, היקף רצח. מה אנחנו מכירים על זה, על גבול של משתנה אחד?
אז אם כן, כדי שהגבול, x שולף לאיזושהי נקודה a של fx, פה אני יכול לעשות סוגריים יפים, אתם בזום אתם רואים אותי אותם ביחד, אין שגבול הזה יהיה קיים. מה צריך לקרות? אז הדברים שדוברים עליהם בקורס הקודם זה סיבות דף 5 מי שזוכר זוכר אולי יערה שיותר שייכת להרצאה ואני רוצה להגיד את זה גם פה וכך זה כבר אמרתי אינפי 1 מי שכבר היה בדידה 2 שמע את זה אצלי אולי מה קורה כשהקורס המספר שלו הוא 2?
כמה אני צריך לדעת את הקורס שמספר שלו הוא 1? אז בוודאי שאני לא מצווה מכם לקבל 100 עכשיו באינפי 1 אם אני בא פי ופתאום ונכנס לזום בוחן אתכם זה לו אבל כן להכיר את המושגים, זה בהחלט, את ההגדרות. משפטים לא צריך להכיר בעל פה, אבל אם אני אומר לכם, אה, המשפט הזה נגיד נהיה לו פיטל, אז תמיד הוא, אה, כן, לו פיטל. כלומר, יש פה ידע, ידע טוב שיהיה לכם בהגדרות ובמושגים מהקורס הקודם, מה זה גבול, מה זה רציפה, וכן הלאה.
ואת המשפטים שקשורים לזה, לא עכשיו לצטט בעל פה, אבל כשאני אומר אותם, להגיד, אה, כן, אני זוכר את המשפט הזה. לא צריך לדעת לפתור את הגילים מהקורס הקודם ברמת מבחן, אבל כן צריך לדעת פחות או יותר מה שאמרתי עכשיו. אז בקורס הקודם, מה צריך לקבוע את כדי שיהיה גבול?
הגבול מימין צריך להיות שווה לגבול משמאל. כן, בכתיב מתמטי, נדלנו לסמל את זה ככה, כמובן שזה יבח לי ויהיה בעברית, הכל יכול להשתבש איזו משתבש. x שואף ל-a פלוס של fx, אני התרגלתי אתמול. עכשיו אם עקרים על מסך, הסוגריים האלה לא רואים טוב. אני עושה סוגריים שמדמנים, אבל אם יוצאים אחרי זה את המפערים בפי דיאפ, פה אנחנו ביחד על הזלוב, ואפשר לראות הסוגריים האלה יחסית טוב.
אני נשמע סוגריים יפים, צריך לזכור לעשות את זה. הגבול מימין זה לא שווה לגבול משמאל. אני עוד לא מדבר על רציפות. שם אני רוצה שהגבול יהיה שווה לערך בנקודה הזה, אני לא עושה.
אם מספיק יורו אני לא זכיר, אבל זה כבר יותר שאנחנו מת לדף הבא כבר, לדף מספר שלוש. הדברים כל כך ממחשים באופן מיזואלי מהאפן כזה אני עובר ללוח הלבן אני אסרטן פה יעני סרטוט שתהיו אותה זו אתם לא רואים את זה נכון עם לוח הלבן ושתהיו אותה איך שהדברים פה עובדים הוא אדום, לא ארצה משחור, משהו מאוד גנרי אחי, שמעתי ומשמעים שאפשר אני רוצה אבל לקשקש, אף מקשקשים, אני לא מבין זה. צריך לשים פה את הכישפוש.
אה, כך, הראה לי. כן, יפה. אז פה יש איזושהי נקודה a, כל כבוד, הצלחתי. ומה אנחנו בעצם בודקים? יש סרטון שקדם כאן סרטאפ מבוקרוס הקודם.
אנחנו בודקים האם כשאנחנו מתקדמים אל a מהכיוון הזה, מה שנקרא x שואף ל-a פלוס, וכשאנחנו מתקדמים מהכיוון הזה, מה שנקרא x שואף ל-A-, כן, זה הכיוון של הציר כרגיל, הפונקציה, אותו פונקציה, מקבלת את אותו גבול, לא עושה קפיצות, לא עושה, או אפשר פה את שואפת לאנסוף, או זו שטות כזאת. אנחנו רוצים שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל. עכשיו, באופן טיפה מוגזם, אבל זה נוח לי כדי להגיד את זה, להכליל את זה לפונקציה של שני משתנים, אפשר לומר את זה באופן הבא. וכמה להגיד?
שהגבול מימין שווה לגבול משמאל, אפשר להגיד שלא משנה באיזו דרך אני מתקרב אל הנקודה A, לא משנה באיזו דרך אני מתקרב אל נקודה A, אני מקבל את אותו הגבול. יש פה רק שתיים, כן? אז להגיד לא משנה באיזו דרך, זה אולי טיפה מפריז במגזים בכמה זה נשמע חשוב. אבל אפשר לומר את זה ככה.
שים לב, let's put heart. אפשר לומר את זה גם באופן הבא. לא משנה באיזו דרך נתקרב, נתקדם או תגר, אלא נקודה a, הגבול של הפונקציה יהיה אותו גבול. כשיש רק שני מסלולים, זה לא כזה, כשיש רק שני כיוונים, זה לא כזה מרשים. אבל כבר נראה מה קורה כשעוברים לפונקציה עם שני משתנים, אז בואו נרשום את זה שנייה בצבע אחר.
הרבה זמן לא בחרתם אני מניח, מישהו עדפה לאיזשהו צבע. מגנטה. יש במירכאות רק שני כיוונים, מהם ניתן להתקדם אל הנקודה A, וניסוח לא כזה מרשים, וניסוח המרשים מסתיר מאחוריו מתמטיקה די משממת. מה קורה? פונקציה של שני משתנים, ספוילר גדול אני עושה, אז בואו נאמר את אותו הדבר, גם בשני משתנים, אנו אומרים את אותו הדבר, שוב, הפורמלית עד הסוף, וזה יותר שח להרצאה, הגבול של איזושהי פונקציה, של שני משתנים, ואותו דבר גם לשלושה, אני מנהיר על שניים, כי אמת הצמצום פה בעיקר לשניים, השלושה משתנים יותר באמת שייכים למאנדסים, לא יודע אם אתם את זה יודעים, אבל...
לפני סמה שנים, אז פורס היה מיוחד, למדעי המחשב ולמדסה, ואז הוכלית לשמלת, יש שם שיט של המדסה, שלא למד למדעי המחשב, ופיצלו אותו, ועשיף פה חומר אחר, אז לפעמים יש משקעים, כאלה שהריאות בקורס, של הקורס הקודם, אבל מתמטית באמת, נבדל בין 2 למיליון, זה כבר אותו עסק, הגבול, x פסיק y, כשני משתנים, שואפים לאיזושהי נקודה במישור, a פסיק b, כשני משתנים, של הפונקציה fxy, כשני משתנים, קיים, אם בכל דרך. שבה מתקרדים אל הנקודה A ו-B הגבול של הפונקציה יהיה אותו גבול עד לפה נשמע סבבה בואו אבל נחזור אל הלוח הלבן לטיפה נעשה Ctrl-Z עכשיו יש לי פה שתבח הבורד בכל העולמות נצירה ועכשיו בצורך הדוגמה בואו נתבנה לנקודה 0.0 נעשה פה את הציור קצת יותר למה 0.0? רוב מוחלט של השאלות אין 0.0 כמו שכבר אולי הבחנתי בדף התרגילים אנחנו גם נראה את זה עכשיו אולי נעשה דוגמה אחת שלא 0.0 כמובן להחזיק את הדברים בידיים אז ה...
אז הנקודה היא 0.0 בכמה דרכים אני יכול להתקרב לנקודה 0.0? מפתה יגיד בהתחלה 4. יש לי עכשיו גם עוד ציר, ואני יכול להתקדם אליו גם מלמעלה וגם מלמטה, כן? יכול לבוא כאילו מפה, ומפה, ומפה, ומפה.
אבל, התחום שלי עכשיו, לא שאני מסתכל, הנקודה XY, שבה אנחנו מתבוננים, המשתנים האלו, אולי הם שייכים. שייכים בכללי ל-4 ריבוע, כן? לכל המישור.
לא רק לשני הצירים. ולכן אני יכול להתקדם על הנקודה 0 ואל כל נקודה אחרת שהוא 0 כדוגמה אני יכול להתקדם עליה איך שבא לי במישור לאו דווקא על הציר קודם כל אני יכול להגיד לבוא מפה ואני יכול לבוא מפה ולאו דווקא לעשות קו ישר אני יכול ללכת לאורך איזושהי פרבולה עד שמגיע לנקודה ושם ירחם ללכת על המסלול y שווה סינוס x זה גם מגיע לכאן איכשהו כל מיני חרטות כאלה יש לי אינסוף, אינסוף מסלולים אינסוף דרכים שונות להתקרב אל הנקודה שלי ואנחנו רוצים שבכל דרך ודרך נקבל גבול זה שיהיה אותו גבול ואז ורק אז לפונקציה עצמה יש גבול הגבול כש-xy שואף ל-ab הוא ככה וככה שוב פה אני מדגים ab כ-0.0 כי זו מעת הדוגמה הקלאסית נמצאת ללמדים שאם אנחנו רוצים לתקוף את פחות בוא נוכח שיש גבול בדרך הזו זה יותר מסובך לכאורה כי אני צריך להסביר למה באינסוף דרכים למה באינסוף דרכים אני מגיע לאותו גבול אבל הצד השני של המטבע של המטבע של לכל אם רוצים להוכיח צריך להראות לכולם אנחנו גם נסביר איך עושים את זה היום אבל מזה נתחיל עוד מלחצי שעה כן מזה נתחיל מתמטיקה סוף סוף לפתור את הרגלים אם אנחנו רוצים להפריך זה פתאום הרבה יותר קל אם רציתי בגישה הזו של גבולות שונים בדרכים שונות התקרב לנקודה. להסביר למה אין גבול במשתנה אחד, הייתי בגדול צריך להגיד שמשמאל ומימין הם שונים.
לאה לי פה בחירה, לאה לי חופש. פה, כאשר אנחנו מסתכלים על שני משתנים, ויש לנו בעצם אינסוף מסלולים לנקודה, הרבה יותר קל, במרכאות, למצוא דוגמה נגדית. למצוא שני מסלולים שבהם הגבולות שונים.
או מסלול אחד שבו אין גבול בכלל, או משהו בסגנון. אני עכשיו רוצה לחזור אל הליקס, אחרי שככה המבוא הזה ללמה זה עובד, אבל לא נכנס לעומק כי זה לא הרצאה לתרגול, לומר ברמה הטכנית איך בפועל אני ניגש להפריך שאין גבולות, כלומר למצוא מסלולים שונים שבהם יש גבולות שונים, איך אני גם יודע מלכת תחילה באופן כמובן אינטואיטיבי, קודם לא פתעת אינטואיטיבי באמת, אבל באופן אינטואיטיבי מלכת תחילה, איך אני יודע אם יש או אין גבול, ואז לעשות כמה דוגמאות. אחרי שנסגור את הפינה הזאת, באמת שכבר תגיעה פחות או יותר הפסקה, נוכל לדבר על איך מוכיחים שיש גבוי.
שאלות על הדברים שקשקשתי פה לפני שאני חוזר לליקס חברים אוקיי אז יש לנו אינסוף דרכים להתקרב אל הנקודה ולכן לכאורה לא יותר קל להראות ש יותר לא הרבה הרבה הרבה הרבה יותר קל להראות שאין גבול מאשר שיש גבול. ולהראות שאין גבול, צריך למצוא שתי דרכים שונות להתקרב אל הנקודה, מה שאני קורא לו מסלול או מסלולים, שבהם נקבלים גבולות שונים. בואו שנייה נתמקד. או מוחלט של השאלות, או מוחלט של השאלות, נדבר על גבולות שבהן XY שואף ל-00. כשעושים מספיק את תרגילים כאלה, אז גם כשיש שאלה אחת שבה זה לא קורה, זה די אותו דבר.
בסדר, אני מסתכל עכשיו על דף תרגילים, מספר 2, בשאלה 3, שיש בה 12 שעיפים, מחשבים בגבולות, 11 מתוכם, סליחה, 10 מתוכם זה שאיפה ל-00. שני האחרים הם יותר אולי פשוטים. אבל לאט לאט, אלו אחר כך לא הוסיפים כפי מסומנים בגבולות כאלו אפשר אינטואיטיבית לשאר האם יש גבול או אין גבול לפי כלל האצבע הבא אם המעלה של המונה גבוהה יותר מזו של המבחנה, אז הגבול הוא 0. אם לא, אם המעלה שווה או אין בכלל, אז אין גבול. פה אני רוצה להוסיף לצבע אחר, בכל זאת מגנרת.
איך בדיוק מגדירים מעלה בשני משתנים? מה למשל המעלה של... x ברביעית ועוד y בריבוע 2 או 4 או של x בריבוע כפול y x כפול y בריבוע אז צריך לעבוד פה אינטואיטיבית אין פה כלל מוחלט כלל אצבע כזה, אלא עבור אינטואיטיבית עם מה שמרגיש לנו נכון פה התשובה אולי יותר ברורה x בחזקת 1 כפול y בחזקת 2 עכשיו כל זה בחזקת 3 אבל פה ארבע או שתיים לא כזה ברור לאט לאט פה גבולות נתחיל לתפוס את האינטואיציה זה יותר ויותר עוד דבר אחד אחרון שאני רוצה להעיר כמו תמיד צריך לראות תורו כללי ואז להתחיל דוגמאות כדי לנסות לקוות להבין אז מה אני רוצה לומר בדבר האחרון פה דבר האחרון אם יש לנסוף מסלולים איך נדע במילים פה אז גם ככלל אצבע ידעי לעבוד בסדר הבא. קודם כל להתבונן בשני הצירים. כבר במסלול x שווה 0 וy שווה 0. מה זה להתבונן במסלול?
שוב, עוד מעשה תרגיל ולאן להתחיל לעוד מה זה בדיוק אומר בפועל. כרגע כמים כללים, מה אנחנו מתתנים לעשות? אם בשניהם יש גבולות שונים, יופי.
מצאנו גבולות שונים, סגרנו פינה. אם לא, נעבור לישרים. משהו מהצורה y שווה k כפול x.
בסדר? אם מצאנו גבולות שונים בישרים שונים, יופי. אם לא, נעבור לפרבולו. y שווה k כפול x בריבוע.
ועל זו הדרך. תיאורטית אני יכול לנסה לכם תרגיל, שעד ל-y שווה k כפול x, זה x בחסקת מיליון, קבלים אותו גבול. ורק x כפול x בחזקת מיליון ואחת עוד אין גבול אחר.
אבל יש תיאורטית ויש בפועל תרגלים שאנחנו נשאלים, פה בתרגול אנחנו מדברים יותר עליו בפועל, ובהחלט רק תרגלים שישר לא הספיק ואפילו פרבולה לא הספיק, אבל עד צריך x בשלישית. אבל מעבר לזה אני לא זוכר משהו כזה מגעיל. ושוב, שפותרים כמה תרגלים ואתם עושים את האינטואיציה לפעמים אפילו מראש אילו מסלולים יעזרו ואיזה לא.
אז שוב. אנחנו, שישוי אולי לומר את זה, נתחיל, מנסה להראות שאין גבול, בסדר? נתחיל מכל התבקדות פה, מה שבא להגיד, לא יודע איך לכתוב את זה עכשיו, זה לא פותר את כל השאלה, זה רק חצי שלה. החצי של איך אני מראה שאני גבול. חצי שבו אני מראה שיש גבול, שאני מדבר עליו בהמשך היום כמובן.
אני רוצה לעשות אז תרגיל. בוא נראה שכמה גבולות שהן לא קיימים, אבל למרות שאנחנו יודעים מראש שהן לא קיימים, אני רוצה להסביר לעצמנו את הנקודה הזאת. הספור של המעלה מונה לעומת מחנה. לפני שאני אעשה את זה, שאלות על מה שאמרתי פה, חברים.
אוקיי. אז בואו נתבונן. שוב אני לקח גבולות מפה. מעדף ככל הניתן אבל גם במקומות אחרים זה לא תראה למישהו אז תרגיל תבואו את הגבולות הבאים או הופכחו שהם לא קיימים בפועל אף אחד לא קיים כבר תראו את העסק אז א' זה לקחתי מעדף שם הגבול x וy שהוא הפי מריאסי ספרס של x פחות y חלקי x בריבוע ועוד y בריבוע.
תשוב, תכנותים בראש, שמעתם בשאלה הזו שבאמת לא יהיה, לא יהיה פה גבול, אבל בואו נסביר לעצמנו, על סמך הכלל האינטואוטיבי שתיארנו. אז אני רושם את זה בצבע מגנטה, ואחרון לנו אותו היום. מה המעלה של המונה אינטואיטיבית לא אסור שאני אפשר לניסוחים מדויקים מה המעלה של המונה מה אתם אומרים מה המעלה של המחנה לכן לשביל מה שהסברנו פה לא יהיה גבול המעלה של המונה לא גבוהה יותר לא אמור להיות גבול כי המעלה של ימונה לא גבוהה יותר.
עכשיו אנחנו ניגשים למלאכה עצמה. בואו נתמונן קודם כל לשני הצירים. אני רק אוהב במסלול y שווה 0, מה שנקרא ציר ה-x.
למה צריך לצייר שווה הגבול שלנו? נמצא על ציר ה-x ומתקרב לנקודה 0,0. זה אומר שבפועל y הוא כבר 0. x הוא זה שנשאר להתקדם. מקום y אני מציב 0, ואני מקבל פה 1 חלקי x, תכל'ס כבר סגרתי את הפינה פה, כמו שאמרתי לי קודם בעל פה, הגבול הזה כבר לא קיים. אם יש מסלול דרך אל הנקודה, שבו הגבול לא קיים, אז גם הגבול עצמו לא קיים.
זה אפילו במערכות יותר טוב ממה שתיארנו פה בעריכות אנחנו יודעים שברגע שאחד מהגבולות החסדיים לא קיים, גם משתנה אחד זה נכון, אז הגבול עצמו לא קיים וזהו, פה זה היה אפילו יותר קצר מהצפוי, מצאנו מסלול שאין בו גבול אז הגבול לא קיים בכלל בוא נעשה דוגמה שבא כי אנחנו רואים את הביטוי הזה של השני מסלולים זה היה סעיף א' מבין כמה שאלות על מה שתיארנו פה אלעד אפשר עוד פעם לסבר למה הוא לא קיים? x שואלת ל-0, אחת חלקי x לאן הולך? לנסוף.
או למינוס נסוף, תלוי מפני בן, כן? אין לי בכלל... וזה כאילו לא מתכנס לאותו מקום משנה הצדדים, אז אין גבול? לא, אפילו פחות מזה.
אין פה גבול על הדפונקציה הזאת. זה לא מתכנס למספר כלשהו. ברגע שבאחד מהדרכים, מסלולים, אין גבול, כמו שבשתנה אחת, ברגע שאחד מהגבולות החסדיים לא קיים.
אז אין גבול בכלל שלום תודה שלום נוספות חברים אם היית מוצא גבול ב-Y שווה 0 אז היית בודק גם כאילו X שווה 0 אם עוד פעם? אם היית מוצא ב-Y שווה 0 את הגבול אז היית גם בודק ב... איקס שבל אפס כיף, זה היה אז משניהם היה אותו גבול, הייתי בודק את y שווה כx, בשניהם הם, כזה היה אותו גבול, y שווה כx בריבוע וכן הלאה.
אבל שוב, כשאני יודע אינטואיטיבית שאמור, לא אמור להיות גבול, זאת אומרת, מתישהו אני כן אצליח להפריק את זה. בואו נעשה דוגמה נוספת, אם תתפעה שניית הדוגמה הזאת, ואז היא ידגים את מה ששאלת עליו עכשיו. אם אני שם פה x בריבוע פחות y בריבוע. אז את המשפט, המגנטה, זה ניכול להעתיק, טיפה לשנות אותו, אבל המסקנה היא אותה מסקנה. המהלה עכשיו של המונה היא אינטואיטיבית 2, x בריבוע, y בריבוע, והמהלה של המחנה היא עדיין 2, אותו מחנה.
מה המסקנה? שאין גבול, כי המהלה של המונה לא גבוהה יותר. עכשיו בואו נעשה את המשחק של המסלולים.
עכשיו נדעת מסלול של y שווה 0, טיפה ירד שאתם יכולים לראות את זה טוב כמובן. קום זה יש לי פה בריבוע. אני לא אקבל שאין גבול בכלל, אני אקבל 1, נכון?
x בריבוע מצלמצל עם x בריבוע, זה פשוט 1. גבול של מספר קבוע זה מספר קבוע. מה קורה במסלול x שווה 0 מהצד בלעומתו במחברת, מה שנקרא? מינוס 1. אם אתם יכולים לראות בעיני רוחכם מה קורה, יפה מאוד, אני מתלמדת אם נעציק. זה אני אציק, זה אותו דבר, אבל אני לא יודע, אני אעצום קומפלטת.
אתה יודע, פונט גדול מרגיש יותר נוח בעין מה שתנו קודם מה20, אבל איך שהוא קופס יותר מקום, במקום מה צריך לרדת x שווה 0, אבל הוא הולי ציין מציר y y הוא זה שמסכן נשאר נשוף x הוא מציע במקומו 0 כמו שעברו פה ביוטיפולי, הגבול שלנו פה גבול של מינוס 1 ואנחנו יודעים שמספר קבוע, עכשיו מספר קבוע, קיבלנו גבולות שונים ומסלולים שונים, ולכן הגבול איננו קיים. שאלות על מה שאתם אומרים בדוגמה הזו חברים? כן, יש לי שאלה, אז כאילו מה שאתה עושה פה בעצם זה שאתה כאילו יודע שלא אמור להיות גבול, אז אתה פשוט חפש עד שאתה מפריך אותו, אתה מתחיל עם ה-Y לא הלך, או כן מתחיל עם ה-X לא הלך, אבל כאילו בסופו של דבר אני הולך להפריך את זה ככה או ככה.
לא, פה שום דבר לא הלך, הכל הלך פה, אני צריך שתי דוגמאות. במקרה, בדוגמה הקודמת גיברתי מסלול שאין בו גבול, ואני בדרך כלל לא אצפה שיקרה, אני כן אצפה למסלולים עם גבולות שונים. שגם באותו אופן מפריחים מתמטית את העובדה שיש גבול.
אם פה הייתי מקבל גם אחד, אז הייתי אומר, אה, זה עוד לא הלך, כי לא קיבלתי גבולות שונים. בואו ננסה, כמו שעשנתי למעלה, בואו ננסה y שווה x, 2x, 3x. קיבלתי בו עם גבול אחר, פיצוץ. לא?
ננסה פרבולה. y שווה x בריבוע, 2x בריבוע. שוב, אני לא אדבר פה מתמטית, אבל מתמטית אפשר גם גבול שיעבוד רק בx, זאת אומרת מיליון ואיכן.
או אפילו גבול שכל הפולינומים יעבדו אבל צריך אי בחזקת X או משהו אני מדבר על בפועל תרגילים שאתם נשאלים עד X בשלישית נראה לי זה גבול הקצה של הגבולות אם באמת אנחנו אינטואיטיבית יודעים שהם לא קיימים ולעזר צריך משחק של המעלות אז עד X בשלישית אמור להספיק לנו כדי להפריך שאלו נוספות חברים קטע של האינטואיטיבית זה ממש חלק מהפתרון במבחן? אני אומרת את זה ככה. לא, לא, זה חלק של צבע אחר. זה לא משהו מוקדם אתם יתהי. זה מרחב תכלס איך נופל לפתור תרגיל.
איך לדעת מראש האם יש או אין גבול. אז אני יכולה ככה להתחיל, ננסה להפריח בלי הסברים מוקדמים? אפילו בלי לנסות, תשמעים, זה השחור. זה הפתרון. אוקיי.
אני לא מדרושה 100% מהטקסט שצריכים לדרישו. אם גם בדרך כלל יותר. שעות שאלות חברים? אה אוקיי אז בואו נעשה דוגמה נוספת אני מבחיש לכם איזה שצריך טיפה לנסות לפעמים אני מפשט שאני לא מפסד את הדוגמה שלי אבל נראה לי שאני אפגע בואו נעשה x בריבוע כפול y עם חלקי x ברביעית ועוד y בריבוע אז פה האינטואיציה קצת חורקת, המעלה של המונה היא נגיד שלוש. מה אני אומר זה קודם אינטואיטיבי כי כאילו x הוא בחזקת 1 בריבוע הוא אהיה בחזקת 1 זה כאילו משהו בריבוע חול משהו בחזקת 1 אני משמע את זה ככה, רגע אני שצריכה להגנת את המשל עצמי להיות תכלסי במילים שלי ויותר חפרי אבל אני משמע שכאילו תחשבו איתי ביחד זה כאילו שלוש בערך לא יודע משהו בריבוע כמו שבחזקת מעלה של מחנה היא ארבע סוג של כן?
ולכן, לא עומדת גבול. אבל בוא נגיד שפה זה פחות חזק, כמו שאמרנו ב-א' וב'. אבל כתמיד הייתם יודעים.
אנחנו יכולים לצפות ולדעת לפתור הכל תרגיל מיד. ומנסים. בחלק הזה של השיעור אמרנו, אנחנו מראים שאין גבול, בחלק השני נסביר איך מראים שיש. אז בואו נמתקדם במה שפיארנו פה. מה אני אקבל במסלול y שווה 0?
עבול שלי, אני מציב לנקור 0 וואי 0, אומרים פה יפה, יש לך במונה 0 0 חלקי משהו ותמיד 0 בוא נשאר את זה שנייה נשאר לנו את x מסכן לשוט ל-0 x בריבוע אלה תמיד אתה תתיב 0? מה זה? תמיד אתה תתיב 0? או שזה לפי מה שרשום לך בשאלה? אז שוב, כמו שאמרתי ברוב מוחלט של השאלות, הן מדברות על הגבולות שבהן מיקס ווי שעושים ל-0.0.
ולכן, אני רוצה להתקדם לנקודה 0.0. הצירים מגיעים אליה. אם הנקודה הייתה, לא יודע, 1.1, אז ה-Y7.0 לא עובר בנקודה. הוא לא יעזור לי. אבל שוב, ברוב מוחלט של השאלות, עוברות ב-0.0, ואנחנו צריכים פה בתרגול, לדבר על התכלס.
אם חושב שבמבחן תצליחו, ובאייטקסט תעשו ארגזים. אז אני מתמקד, במה שלמת הכי נפוץ תשמע, זה לא רק שיש 60% מהתרגלים, זה 99.9% מהתרגלים פה כמו שאמרו יפה, אנחנו מקבלים מ-0 יש כאילו 0 למעלה, 0 חלקי x ברבי פוטס, נשכח לדלוחות אותו צלב עכשיו, מוריי ורבותיי קהל קדוש, מה יקרה אם אנחנו נעשה את המסלול x שווה 0 נקווה לך את הדבר נכון? ואני אתיק את זה בטיפה השני, במסלול x שווה 0 עדיין האדון, מה זה בעברי כל זה? האדון מונה, התאפס עכשיו y הולך ל-0 ויהיה לי פה בדיוק הפוך 0 ברבוע כפול y 0 ברביעית קום x ועוד y ברבוע אותו דבר, 0 חלקי y בריבוע ש-y הוא זה ששואף ל-0 וזה יהיה 0 אז זה לא עוזר אחרי זה אני גם אעשה את זה בפועל בצבע מגנטו או משהו כי לא צריך לשמוע את זה בפתרון תשמעו שני מסלולים שותים גבולות שונים אבל אתם פותרים בעצמכם אני פה רוצה להתחכות אחרי זה במורה מסוים יש ניסוי ותהיה כמו שאמרנו, מנסים y-x שווה 0 ו-x שווה 0 וואלה, קיבלנו אותו גבול ולכן זה לא עוזר להפריך בואו ננסה קו ישר למשל במסלול y שווה x קו ישר אחר כך בואו נראה אם זה עובד אז יש לי פה את הגבול ואני עכשיו במקום y צריך להציב x שוב x שואף ל0 כי הנקודה היא 0 אז במקום y אני מציב x תראו שהוא לא מרצי יש x בריבוע כפול x חלקי x ברביעית ועוד x בריבוע, מקום ה-a הצבתי x.
יש לנו פה את הגבול, x שואץ ל-0 של x בשלישית, x ברביעית ועוד x בריבוע. x אם אנחנו עודים לצמצם אחד מהשני, תראו שאני לא משקר את שאני עושה את זה. יש לנו x חלקי x בריבוע פלס 1. מה הגבול הזה?
מה זה שווה? 0. זה כמובן. אמרנו בנקר ברכב הקורס הקודם.
אם אפשר להציב מציבים. חנא לא מתאפס אני יכול להציב. לצערי המוני מתאפס אז קיבלתי פה 0. למה לצערי?
כי המשפט הזה שוב פעם רודף אותנו. קיבלנו אותו גבול. ולכן זה לא עוזר להפריך.
ולא מרנואש. קו ישר לא עובד. בואו ננסה פרבולה.
למשל במסלול y שווה x בריבוע אם זה יסתדר לנו why זה x בריבוע אז פה זה x בריבוע ושוב why זה x בריבוע ודניה x בריבוע בריבוע אנחנו ביותר יש לנו פה את הגבול במנה יש x ברביעית במחנה x ברביעית ועוד x ברביעית עכשיו מה קיבלנו? חצי וחצי מורה ורבותיי ולא אפס קיבלנו גבולות שונים במסלולים שונים ולכן הגבול לא קיים פה אנו צריכים קצת יותר לעמול ושוב כל זה לא צריך לטוב הפתרון, לא צריך לדעת שניסיתם וטעיתם או ניסיתם וזה לא עזר אין פה טעות מתמאית, כל מה שעשינו נכון זה לא עוזר כדי להפריך אנחנו... אני אעשה את זה בעצם במגנטה אנחנו צריכים לרשום רק לשני המסלומים שהפריחו סתגרנו פניי את כדי מעלה אנחנו לא יודעים מראש מה ההפריך כמו שהדגשתי תנסו קודם כל שני הצעירים לא עובד קו ישר לא עוזר מה זה לא עוזר?
נתון אותו גבול פרבולה לא עוזרת x בשלישית שוב אני לא רוצה להבטיח כי מתמטית כמו שמעתי כבר יכול לקרות אבל אחרי התכלס תרגילית מה שנשנים עליו בפועל לא זכור לי את גבול שבו היה צריך יותר מ-x בשלישית אפשר לשאול האם אני בדיעבד או כמובן לפלחת תחילה יודע מראש אילו מסולים מפה כלומר האם ידעתי מראש ש-y שווה x פה לא יעזור לא חושב שמשהו מאוד מוצלח לומר בהקשר הזה אז אין צורך לומר תנסו צעד שניים שלושה תסליחו להפריך בסוף שאלות על הגבול שרשמנו פה חברים אלעד אז אם גם זה לא יעובד את המהלט זה ל-X בשלישית משהו? נכון מאוד מה שלא עובד בכוח עובד באלימות שאלות נוספות חברים אוקיי אז בואו נצא להפסקה זה זמן טוב כמה שניות אנחנו לא נתווכח אני מפסיק את השיתוף להפסיק את ההקלטה אני כבר אחזור על השיתוף תשע נחזור ונדבר על איך מוציא מחמרים שיש גבול נפשתי מעט בואו נמשיך אחרי את המסך רגע קלטה הפעלתי אז אמרנו שבחלק השני אנחנו נעסוק ב-50 דקות 49 דקות נטו ברוטו בואו נדבר על איך אני מראה שיש גבול זה גבול ש... מוכיחים שזה לא... לא בדיוק מה שרוצים לעסוק, איך רוצים למצוא אותו, בסדר? אז איך, רואה מילה כן מוחקת?
איך מראים, זה העקודה שלנו, של פונקציה של שני משתנים יש גבול, ואיך מוצאים אותו? אז יש לנו כמה, יש כמה נקודות שצריך באמת להסתכל עליהן. זה לא שכל אחת מהדרכים עובדת לא כל כך הרבה דרכים עובדת בכל מצב אבל יש לנו כמה שיטות כל אחת מתאימה אז אחד זה שווה לומר קודם כל אם הוא כרגיל אם אפשר להציב פשוט בצבעים בדיוק כמו משתנה, אחד כמו שצלם לסתיבו על הפה, לפני הפסקה תוך איזשהו חישוב.
יכול להציב ואיפס, מציב. פה לא יכול להציב ואיפס, כי המחנה מתאפס, וכן הלאה. סתם שדוגמה, מה זה, זה תרגיל להציב, מה זה תרגיל?
כשנשאר פותרים משהו, זה די חרדש, אפשר להציב מציבים, לוקח משהו מהדף, ונמצא אותו. למשל, תשבו את הגבול הבא, x, y, אפשר להציל מלנקודה 1, שימו לי נקודה אילורית, אז איך זה, זה חדש, אבל, אתם רואים את הגבול שפוצים, נחשב, x בריבוע, פחות x, y, ועוד 1, חלקי x בריבוע, פחות y בריבוע. אם מציבים, כן אפשר להציב את הנקודה, xy שווה 1.0 מחנה לא מתאפס אם אפשר להציב אז פשוט מציבים הגבול שלנו שווה לבוא נציב איזשהו מספר מה הגבול הפחות קריטי 1 בריבוע פחות 1 פחות 0 חלקי 1 בריבוע פחות 0 במבואה בסך הכל זה תורש הממציא 2 אבל אם אפשר להציב זה בנקר ברכב פשוט מציבים שאלות על מה שרשמנו פה? יש לי שאלה זה לא בהכרח העניין עם החזקות, כאילו פה נגיד החזקה של המונה והמחנה זה אותו חזקה, והמונה לא גדול יותר מהמחנה. שוב, אנחנו יודעים, כמו שגם דיישנו בקורס הקודם, כל הדיון על גבולות, כל הרשיתות, הסנדוויץ', והלופיטה, והגבולות העדויים, כל הדברים האלה, אנחנו צריכים אותם רק כשאי אפשר להציב.
אם אפשר להציב, פשוט מציבים. כל מה שאנחנו יודעים על גבולות, בין אם זה משתנה אחד, בין אם זה משנה משתנים, כשמדובר על מקרה שבו אפשר להציב לפח, פשוט מציבים וזהו סבבה, תודה שאלות נוספות, חברים מה זה ה-1.0 הזה, הילד שנייה פספס? זה הנקודה של אנחנו שואפים בתרגיל הזה, זו הנקודה לא צריך לבדוק מימין, מסמון, כאילו נטו כלום, כלום, שום דבר זה חשוב, חשוב לזכור את זה, גם מהפרוס הקודם כל הדיונים על גבולות כל הבוא נגזור, מונה ומכנן עשה לו פיטל, נשמש גבול ידוע של סינוס לא רלוונטיים אם אפשר פשוט להציב כל הדיון מתחיל באוי אני לא יכול להציב, אז מה הגבול ואז כל הסיפור, בוא נעשה ככה, בוא נעשה אחרת אם אפשר להציב, פשוט מציבים אם אפשר להציב זה לא פשוט הערך של הפונקציה בנקודות האלה? המשמעית. אז למה זה גבול?
אז בעצם, הערך של הפונקציה בנקודה שווה לגבול בנקודה, הפונקציה רציפה. סבבה. שאלון נוספת?
אלעד, אז רק שאפשר להציב בעצם מתחילים עם כל השיטות שלנו בקורס הקודם? כן. קוראים לך דוד, זה מצריק אותי. אנחנו ביחד כאן, זה הייזה שלו.
עכשיו אתה שם. כן, אתמול סיפור לא קשור לכלום, היה לי עמד לך בעתיד בברילן, התחברתי גם לזום וזה, והרוב באו לכיתה, זה היה גם תרגול כזה בלבי, בלילה, אף אחד לא בא, לא יודע, בכיתה נגיד עשרה סודנטים, ועוד איזה חמישה, שישה בזום, בוטחת זום, יש שם שלושה סודנטים שנקראים תומר, ושניים שנקראים אדיר. מה הסיכוי?
מה ההסתברות? היי, תלווה אתי אם לקחת את האנדרדוג ולקרוא על עצמי אדיר בזו, או לקרוא על עצמי טוב, ולסוף נשארתי בסוף על הילדתי. פה אתם הרבה, אני לא אעשה שפסקר, מה השמות של כולם, איזה שם יש הכי הרבה. מה השחיכות, הייתי עשו בהסתברות אולי. טוב.
שאלות וספות חברים. אוקיי. אז דבר שני, שגם אפשר לומר, אם על ידי הצבא של ביטוי מסוים של x וy בתור t, אנחנו מקבלים, אנחנו, אנחנו מקבלים גבול של משתנה אחד, נעשה זאת, ואז את הגבול של משתנה אחד נחשב לפי כל השיטות. מה שלמדנו על משגור שמי שתנחה בוא נעשה את התרגיל אחד או שניים בוא נעשה אחד כזה. אני יכול לקחת מהדף, יש פה בדף מעניין שעוסק בזה, לא יודע אבל אפשר לקחת פה משהו, יש פה משהו מאיזשהו מבחן, זה כמובן לא שאלה מלאה, רק חדכה קטנה משאלה.
תרגיל, חדכה משאלה, שאל מועד א', ע' א'. תשפג, כלומר שנה שברה אם אני מסכה נכון על המבחן חשבו את הגבול לימיס של x פסיק y שווה איך ל-0.0 של x בריבוע ועוד y בריבוע כפול סינוס של אחד חלקי שורש x בריבוע ועוד y בריבוע אם הם מתעקשים לא באמת צריך את הצבא הזאת, אבל זו דוגמה נראה לי טובה. פתחתי אותה המקרה, הכנעתי מראש, נכנע בהפסקה, אז אני חושב שכדאי לעשות אותה. אז מה לדעתכם אני אציב בתור אותי חבר אמיתי? איזה ביטוי של x וy נורא?
את ה-x בריבוע ועוד y בריבוע. את ה-x בריבוע ועוד y בריבוע. תימו לב שבאמת כשאני מבצע את ההפסבה הזאת, x בריבוע ועוד y בריבוע אני קורא לו t, אני מקבל גבול של משתנה 1. לא נשארים לי לא x ולא y, כלום ושום דבר. אז בואו נשמע את זה בפתרון.
אם נציב t שווה x בריבוע ועוד y בריבוע, נקבל גבול של משתנה 1. יש שייר לי שם רק t. לאן t שואף? שואף גבול, צריך לדעת מאיפה תהיה הולך, נכון? הגבול זה לא רק הפונקציה, זה גם לאן המשתנה משתנה.
אז לאן T שואף? אנחנו יודעים ש-X ו-Y שואפים ל-0, ו-T הוא X בריבוע ועוד Y בריבוע. אז אם X ו-Y שואפים ל-0, לאן הביטוי הזה שואף? גם ל-0.
גם ל-0. רומט, עוצב פה, תכלס, אם אני אשאל את השאלה הזאת, לכאן, לכאן X ו-Y שואפים? לאן זה שואף? אתה יכול להציב.
בתהיה ספציפית, הביטוי שלו כ-yxy, אני בא להציב לצוות, לנה הוא הולך? אז אפשר, ולכן, t שואף ל-0, ורח לי פה העסק, מה נקבל? נקבל, את הגבול שלנו, מי יש לך מצלסם מהמסך? מה עצר המסך?
נראה איך זה נראה טוב, כרגיל. הגבול שלנו אדון גבול, T שואף ל-0 של X בריבוע ועוד עבר ריבוע זה T, ויש פה סינוס של 1 חלקי שורש T. טוב, משתנה 1, הכל פיצוץ, הכל שיט.
לאן, למה שווה הגבול הזה, מה אתם אומרים? הפיסה כבול חסומה. מצוי.
נוראים פה, ה-T שואפת ל-0, הפיסה, והוא עכשיו. הפונקציה סינוס 1 תלקש שורס C חסומה, ולכן הגבול של המכפלה הוא 0. כמו שאתם רואים, ברמה הטכנית יש פה איזושהי ציפייה מסוימת, של ידע מהקורס הקודם, זה לא הגבול הכי קשה מהקורס הקודם, כן? אז זאת אומרת, תגלימה מבחן מהקורס הקודם, אבל כן, דברים, כמו שמעתי בפני הפסקה, מדי פעם נצרכים.
שאלות על מה שרשמנו פה חברים אפשר לוותר על השטף של T? כאילו אפשר לראות את זה בעיניים? אז פה כמו שאמרתי בהחלט ההצבה לא הכרחית יכול להגיד, שמע, כיסא זה X בריבון דבר רבוע, חסומה זה סינוס שלום על ישראל, בהחלט יש מקומות שבהם ההצבה היא יותר חשובה אולי שווה לעשות דוגמה נוספת גם כזאת אבל זה, גם זה וגם הקודם זה לא המקרים העיקריים, אלא השלישי שאני רוצה להציג.
אבל בכל זאת אני אעשה כדובה נוספת. שאלות נוספות על מה שעשינו פה, חברים? אלעד, אתה יכול שנייה לתת עסקובת על העניין של החסומה, זה סינוס בכל סיטואציה או רק כשתהישף לאפס?
לא, סינוס תמיד חסומה. סינוס לא משנה מה יש בתוכו, תמיד בין מינוס אחד לאחד. סבבה.
עכשיו נתראה. אוקיי אז בואו. נתלבט אם בא לי דוגמה נוספת.
נגיע לחלק המעניין. בוא נעשה דוגמה נוספת אולי. בוא נקדם על החלק המעניין.
יציב יכולים לייציב. אז בואו לחג. אז זה השיטה השלישית. אנחנו מזהים.
בסדר לצבע אחר. ואנחנו מזהים שהמעלה של המונה גבוהה יותר, בסדר? אנו יודעים, כאילו אינטואיטיבית, אנו משערים שיש גבול, כמו שאמרנו. מה אפשר לעשות במצב כזה? במצב כזה כדאי לעשות מסמש בכלל הסנדוויץ'.
בסדר? מה אומר הסנדוויץ'? אם אנחנו עוברים שיש גבול, ושוב, ברוב מוקלט של התרגילים, כמו שאמרנו הגבול הוא 0 והשאיפה היא ל-0, אם יש גבול. אז פה כדאי להסתכל על סנדוויץ'. אנחנו שמים ערך מוחלטה לפונקציה, ואז היא גדולה שווה 0. צריך למצוא פונקציה גדולה יותר שגם היא שואפת ל-0.
איך? אז אני מרושם פה תיאור כללי. אין סיבה שנצפה להבין מה שאני רושם, אבל צריך להיות רשום כדי שנבין בדיעבד מה אני עושה בכל דוגמה ודוגמא.
איך אני מוצא פונקציה גדולה יותר? אנחנו בגדול לפרקים את השבר לחמש דברים שבכל אחד מהם אפשר להקטין את המחנה ולכן להגדיל את השבר, כך שהמונה והמחנה מצטמצמים. מצטעם צעירים ומקבלים ויתוי ששואף ל-0.
what? אז בוא נשמעו בדוגמאות. נכון? תרגיל.
תשבו את הגבולות הבאים. נדח פה מעזף. בוא נדע לא שם אותי דברי.
בוא נתחיל מ... אני בא לי פה, זה נגיד לזה, x ו-y תואפים ל-0,0, של x בשלישית ועוד y בשלישית, חלקי x בריבוע ועוד y בריבוע, נתחיל מזה. עשו במגנטה, שרתי את המשפט מלמר, עשות מה חדש, והם טויטיביים, המעלה של המונה היא שלוש, ושל המחנה שתיים.
מעלה של המונה גבוהה יותר, ולכן אמור להיות גבול. ואנחנו שורדים, אמור... זה אפשר לדאג ולהיות זה שהם פועל, כמו שאני תמיד אומר, אז אנחנו לא יודעים האם באמת יש גבול.
אז מה אנחנו עושים? אז אם כן, אני שם בערך מוחלט מה שנותן לי אוטומטי צד אחד של הסנדוויש. כיוון שהפונקציה בערך מוחלט בדיעבד של עוד שנייה נראה שאתה שואפת לאפס, אז גם הפונקציה עצמה שואפת לאפס.
כי מספר שואפ לאפס בערך מוחלט הוא שואפ אליו גם בלי. מספר, פונקציה, ביטוי, סדרה, לא משנה. עכשיו, מה אמרנו? מפרקים את השבר לכמה שברים. איך אני יכול לפרק את השבר הזה לכמה שברים?
אנחנו עובדים חוקי חיבור שברים. יכול לפרק את זה לפי המונה, נכון? אין עוד איופציה.
יש לי פה, x בשלישית, חלקי x בריבוע, ועוד y בריבוע, ועוד. y בשלישית, סליחה, חלקי x בוויבוואה ועוד y בוויבוואה. אנחנו יודעים, בקורס הקודם נקרא ערך, איך זה לא, איך זה לא, אי שוויון המשולש, אם יש לי ערך מוחלט של סכום, אז הוא קטן שווה מסכום הערכים המוחלטים.
כלומר אני יכול לרשום פה את ערך המוחלט של שבר א' ואת הערך המוחלט של שבר ב'. באמת ככה לעצם צריך לפרט אותו לשני שברים מפרדים. צריך פרפמיים פלוס כמובן.
האי שוויון הזה נובע משוב, אי שוויון המשולש. בעברית, תמיד אומרים לך תגידו בעברית את הדברים. ערך מוחלט של סכום קטן שווה מסכום הערכים המוחלטים. טוב אז פרקתי לכמה שברים.
עכשיו החדכה הזאת בכל אחד אפשר להקטין את המחנה כך שהמונה והמחנה מצטמצמים אז פה אתם אמרו לי אתם אוהב רבותיי איך אני אעשה את זה למשל בשבר הזה איך אני אקטין את המחנה כך שהמונה והמחנה יצטמצמו יש לכם רעיון? אולי יש שווה לאפס אולי לא יכול להציב משהו ספציפי אבל אני מה שאמרת בפועל זה אותו דבר, נהל גדל שוב זה יותר נכון, אני פשוט יכול להעיף את y. אני מעיף את y, המחנה נהיה קטן יותר, ולכן השבר גדול יותר, אבל למה עייבתי דווקא את y ולא את x?
כי עכשיו מה השבר שקיבלתי? סמצם, כנל פה, בשבר השנית, מי אני אבחר להעיף דווקא? אני אבחר להעיף את x, שוב, יכול להיות מי שאני רוצה להעיף אותו במחנה, ואז המחנה קטן והשבר גדול, לכן הישיביון פה. אבל אני צריך לעשות את זה באופן מסכר, לקטין את המכנה, כך שהמונה ומכנה מצטמצמים.
עכשיו באמת, x בשלישית חלקי x בריבוע זה x, זה השירתוייך המוחלט של הספורט. ו-y בשלישית חלקי y בריבוע זה ריח מוחלט של y. עכשיו אנחנו יודעים שדבר הזה שואץ ל-0, כאשר...
x ו-y שואפים ל-0-0, איך אנחנו יודעים? כי שוב, אפשר בזה פשוט להציב, 0-0 נותן לי 0, לכן, לפי סנדוויץ', גם הביטוי הזה שואף ל-0-0, לספר, x-y הם נפרדים, אבל כבר זה כבר ביטוי אחד, ולכן גם הביצוי שלנו עצמו, ללא ערך מוחלט, שואף ל-0, נזכיר בסוגריים, אם משהו בערך המופלן שואף לאפס, הוא שואף לאפס גם בלי הערך המופלן. שאלות על הדוגמה שרשמנו פה? אני רוצה כבר לעשות דוגמאות נוספות פה, רשמתי א', שאלות? אתה יכול רגע להסביר עוד פעם למה בעצם הגעת למסקנה הזאת?
הבנתי כאילו את כל השורה של החישוב למעלה, של ההגדלה של הביטוי, אבל משהו עם הסנדוויץ' שם לא הסתדר לי כל כך. הביטוי שלי, לא אני רוצה לחשב גבול, מצד אחד הוא גדול שווה אפס, לכן הגבול שלו גדול שווה אפס. מצד שני הוא קטן מהביטוי הזה, ששואף לאפס.
לכן הגבול שלו קטן שווה אפס. מה אומר סנדוויץ'? אני בין אפס לאפס, אני חייב להיות אפס. הגבול של הפיתוי שלי הוא גם אפס.
אפשר לדייק אם רוצים, כמו שאכן גם עשיתי, ולהגיד, רגע, אבל זה לא הביטוי המקורי שלך. שלך המקור היה בלי ערך מוחלט. אבל הכל צ'ילס.
בערך מוחלט. ברגע שמשהו שואף לאפס, הוא שואף לאפס גם בלעדיו. וזה לא משנה פה מאיפה הוא שואף, אם זה למעלה או מלמטה? הוא פשוט שואף לאפס? הגבול קיים.
זה הגבול. מכל מסלול שתלך, לא משנה מה תבחר, יש גבול. פה אמרנו, ויש אחזור מלחסק, אנחנו מדנים את הדיון מהצד השני שלו. איך אני מראה שיש גבול? נטואיטיבית אני יודע מראש שיש גבול, מכיוון שהמעלה של המונה גדולה מזו של המחנה.
פורמלית, מה אני צריך לעשות? זאת אומרת, במקרים האלו, הסנדוויץ' הוא הדרך המסודרת. אני אהיר בהמשך על הכותביות, אולי ראתם בהרצאה, יש בהם איזו בעיה בעיניי, אז מעדיף להזמין אותם רק בסוף.
שאלה נוספת חברים? אוקיי. בואו נעשה דוגמא נוספת, יש עוד עסק נראה לי את מור של חוטו בקבוצה, בואו שאני אסתכל עליו.
יכול להתיב להדביק אותו, זה די קטן אז אני מגיד לרשום. מה שהוא, מיקס בשלישי? זה קונה זוועות.
מור לרשום? ו... אני אברר בפט...
עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו עכשיו ע פחות ווייבר וייקס עכשיו שוב אינטואיטיבית יש במונה דברים עם מעלה שלוש דברים עם מעלה ארבע המעלה היא לא פחות משלוש במונה פה והמחנה שוב פעם שתיים אז זה אינטואיטיבית זה לא כללים מדויקים זה לא אפשר לשליט את זה בצבע מלא כאן גם אני לא רושם את זה כחלק מהפתרון אחרי זה בצבע מגנטה לעצמנו אמור להיות גבול ואמור זה כמו שאמרנו עכשיו של דג אז בואו נראה האם באמת יש לנו פה גבול? אפס קטן שווה ממה שתיארנו כאן. זה די אותו דבר, ארצותו מסריח. יש לי פה עכשיו ארבעה מחוברים, ולא שניים. אבל הרעיון של משחק שנשחק, הוא בהחלט אותו המשחק.
יש לי איזה פה, אני יכול לפרק את זה לתחום של ארבעה שברים, אחד מהם עם ה-X בשלישית. והשני עם השני x בריבוע y, והשלישי עם השלוש x בריבוע y, והרבעי עם המינוס y בריבוע. סכום, זה עכשיו זה פרישות מהמתחלה, ערך מוחלט של סכום קטן שווה מסכום הערכים המוחלטים.
זה לא נעים לא נורא אני עכשיו אשר שם את 4 אתם בערך מוחלט זה ועוד זה ועוד זה ועוד זה כפה נרד שזה טוב כרגיל עוד גדול לוח קצר מרובה וכן הלאה אנחנו אנחנו נרודים עוד ועוד הילד אמרת סכום המינוס לא משנה את הגדרה? לא המינוס, אנחנו עושים את המינוס תודה אנחנו עושים לך אותה פה כן סבבה איזה סלוח אתם רוצים ברגע שזה מוחלט זה יכול לתר על מינוס גם נכון אם אני עכשיו שם אותו ככה זה לא יכול להיות פחות יעלי אני חושב שאני יכול להישאר איתו לא מפריע לי. אז זה לפרק לסכום של כמה שברים ועכשיו בכל שבר ושבר מה אני רוצה לעשות. אלעד אפשר שנייה שאלה? כן אני מרשם.
רשמת שהמונה היא שלה סליחה מעלה של המונה זה שלוש. אז כאילו, אתה הולך רק לפי ה-x, כי בטח לזה יש לך את מועלים הרבילית גם. זהו, אז כמו שהדגשתי, אנחנו צריכים להיות בטוחים בעצמנו. המעלה של המונה היא 4 או 3? לא יודע.
מה יותר גרוע? 3, נכון, כי זה יותר נמוך. אז מה שהמעלה של המונה תהיה כמה שטוי גבוהה בשביל שיהיה לי גבול. אבל גם כשאני הולך אל המגרוע, ואני חושב על המעלה שלו כעל 3, עדיין זה יותר טוב.
עדיין המעלה של המכנה היא במערכאות רק 2. לכן, העבדס היא לרשום פה שלוש, למרות שלא יודע אם זה שלוש או ארבע. שוב, מה זה יודע? לא הגדרנו מה זה מעלה בכלל, כל הדיון פה אינטואיטיבי. סבבה.
ואלעד, ישר כשאתה רואה שהמעלה שלה מונעה כאילו גבוהה יותר, ישר אתה הולך לסנדוויץ'? לא. סתגנו פה שני דברים, לפני כן. אם אני מזהה צבא, אז זה צבא.
אם אני יכול להציב, כמובן אני יכול להציב, שאני לא אקרא בגבול של שאלה, אבל אז אני מציב. אחר מכן, אם זאת הסבינית הזאת של פולינוב עם פולינוב אני יכול לפרק, אז אני הולך לסנדוויץ'. אבל נהיום אני אעשה דוגמה מהדף שבה צריך לעשות אפילו עוד שלב לפני המשלש נשחק פה.
אבל הדברים בנויים אחד על גבי השני עם סופו של יום. בכל אחד מהשברים, כמו שאמרנו מקודם, אני צריך להקטין את המחנה, כך שהשבר החדש שאני אקבל יצטמצם. ואז זה יהיה לי ביטוי שאני יודע שהוא שואף. כלומר, זה לבחור בכל אחד מהשברים מי אני מעיף. אז פה אני איף את y כדי שהx יצטמצם, וכאן אני איף את y כדי שהx יצטמצם, ופה אני איף את x כדי שהy יצטמצם, ופה אני איף את x כדי שהy יצטמצם.
הכל מעט, שוב, דוגמא כנראה נתחיל לחזור על עצמו. כל אחד מהחמודיזים האלה אני יודע לרשום ללא מכנה וללא מצלופנים. זה עדיין שואף, יש כאן שני y, תראו שמצטמצם נכון. כמו שאתה רואה, מה 2, מה 3, מה מינוס, אוו, קבועים. מה מזיז, פה איזה שואף ל-0?
אם נסחר את סמצם בפון, כאן יהיה מינוס Y בליבוע. אותו משפט כמו פה. אז אנו יודעים ש...
לא לא לא, בואו רק נשנה את הטקסט באופן רלוונטי. אנחנו יודעים שכל המזרוב הזה שואף ל-0 כאשר x וy שואפים ל-0. לכן, לפי סנדוויץ' גם המחרבת הזה שואף ל-0.
ולכן גם המחרבת בלי ערך המוחלט שואף ל-0. כי מה שברחולת שואף ל-0 הוא גם שואף ל-0 בלי ערך המוחלט. שאלות נוספות על הדוגמה ששינו פה חברים למה כתבת שווה? זה לא צריך להיות כאילו שומעת של קטן? כאילו הקטנת את השווה?
מה עשית? כן נכון תיקונים, שאלות נוספות חברים אוקיי אז בואו נעשה איזושהי דוגמה נוספת מהדפטור שדורשת כאילו יותר עבודה אני מסתכל עכשיו על דוגמה כזאת נגיעים לחשב ועוד כאשר שואפים ל-0 אותו מכנה גם זה לא חייב להיות איקס בגרום איך שבתרגים פה זה מאוד מפוץ ה-F שאיפה ל-0 היא שאיפה באמת מפוצע מאוד, כשמאט מאוד תרגלים שבלא זה, בטח תרגלים שתורשים עבודה ולא רק להציץ, אבל נכנס, לא חייב להיות x בריבוע או y בריבוע, אם כי זה גם נפוץ. סינוס, x בשלישית ועוד y בשלישית.
עכשיו מה? בצד אחד, אני יודע מיכל מעלות מה זה טריגו, מה אני אעשה בטריגו. בצד שני, בצד שני, אנחנו מכירים, ופה, כמו שאמרתי, גבול... ידע מהקורס הקודם, אנחנו צריכים אנחנו צריכים לזכור את הדברים, ו פה ספציפית פה ספציפית, אנחנו צריכים צריך לצלם לנו בכל זאת מוכר הגבול הידוע, הגבול הידוע של סינוס T חלקי T, חבר אמיתי למה שזה יצלצלי? בוא נשמע את זה אינטואיטיבית, המגנטה ההסבר של אלעד, איך ידעת מה לעשות?
לא איך עשית, איך עשית אני מבין אז ככה אנחנו, אוי למה זה לא מגנטה? לא עושים לי מגנטה? אנחנו יודעים שאם היה X בשלישית ועוד Y בשלישית ב מונה בלי הסינוס המזרוד היינו יודעים לחשב את הגבול תכלס זה העול שעשינו ב-A. כן, זה הגבול שעשינו ב-A.
נכון? פה זה ה-A. כן.
בלי הסינוס זה גם הגבול שעשינו. אבל, יש שם סינוס. מה אנחנו יודעים? מה הקשר? כן, בשפת הגבולות, אנחנו עוסקים פה הרבה גבולות, מה אנחנו יודעים?
על הקשר שבין סינוס ובין משה בטחו, שנו כבול ידוע, ידוע עלימי. אז זה בהחלט נחפר בטורס הפודם. טוב, תודה מכם על הדעת אותו.
נתי חבר אמיתי שואף ל-0, הסינוס תהיה חלקתי שואף ל-1. לכן, מה אני אעשה ברמה האלגברית כדי להיפטר מהסינוס של מישהו רעיון? להכפיל בהכנת מחנה? לא במחנה, אלא במשהו בפנים, כדי שהוא יהפוך למחנה, והסינוס ייעלם.
אם כן, אנחנו רוצים שיופיע לנו ביטוי מהצורה במקרה שלנו, סינוס של x בתשישית ועוד y בשלישית, חלקי x בתשישית ועוד y בשלישית. כדי שמוכן לומר שהוא שואץ לאחד ולהתקדם הלאה אבל אין לי במחנה x בשלישית ועוד y בשלישית נעשה ככה שבורים בשקפיים מה נעשה? אין לי במחנה מה נעשה? זה דבר אחר שמייתכם, זה מה שלימדתי אתכם.
אם אין משהו, שמים אותו בפנים. כמובן לא מרמים, לא אפשר לחלק בזה. אם אני מחלק, אני מכפיל.
אם אני חסר, אני מוסיף. אבל אם אני רוצה שיופיע משהו, אני יכול לגרום לא להופיע. אני אחראי פה, אני מנהל את התרגיל ולא להפך.
אז מה אנחנו נעשה? אז אם כן, איף סו, פרול שלנו. כמובן נראה שנראה זה טוב.
שווה כמובן לגבול הבא כיפי לא כיפי לא יודע x בשלישית y בשלישית וחילקתי מכוון גם חיל x בשלישית ועוד y בשלישית חלקה x בריבוע ועוד y בריבוע יש לנו פה מחפלה גבול של מחפלה של שני ביטויים אנחנו יודעים בקורס הקודם זה נקרא אריתמטיקה, חשבון גבולות או משהו כזה, אם הגבול הזה של זה זה א', והגבול הזה של ב' זה ב', אז הגבול של המכפלה זה א' כפול ב'. גבול של מכפלה זה מכפלה של הגבולות, כמובן בהנחה שהגבולות קיימים, ופה הם אכן קיימים, כמו שכבר אמרנו, אז גבול של מכפלה הוא מכפלה של הגבולות, וגבול של סכום הוא סכום של הגבולות, וכן הלאה, כמובן בהנחה שהגבולות קיימים. אלעד, זה מה קפלת את המכנה?
מה זה? זה מה קפלת את המכנה שהוא נהיה בשלישית? קפלתי ב-X בשלישית ועוד אוהי בשלישית.
זה היה השבר המקורי, זה וזה. ואז קפלתי ב-X בשלישית ועוד אוהי בשלישית. אה, ב-X?
זה גם את המכנה. הוא החליף שם את המקומות שיש בצד נגיד. כן, כן, את המקומות, סבבה. אה, כן, בכפל אני יכול לעשות סבבה.
הדברים, כי אני רוצה להגיע לגבולות שאותן אני יודע לחשב הגבול הימני נתן שלנו את הגבול של הביטוי הימני כבר חישבנו בסעיף הקודם והוא 0, אתה מי שאולי יגיד מה זה 0, זה הכל זה 0 אולי זה שורף לאינסוף, הם מתכזזים סך ששני הגבולות תהיו קיימים כדי לומר בפה מלא, כן, הגבול של המכפלה הוא המכפלה של הגבולות אז אתם אני כבר חישבנו, הגבול השמאלי די אמרנו מה קורה פה, אבל בואו לגבי הביטוי השמאלי, בואו נעשה את זה, נעשה את זה בקצרה, נעשה את זה ככה על השווה, אחת הסימונים, כלומר בואו נעשה, על השווה, אה לא, שני שווה אחד, לא שוריך אותו, אני ארושם את הנימוק, אנחנו מציבים פה, כן פורמלית, T שווה. x בשלישית ועוד y בשלישית, פה הצבעה נראה לי הכרחית, אי אפשר להגיד כן, זה אותו דבר, שאין משתנה אחד, בקורס הקודם, אם משתנה אחד, ראינו את הדברים פורמלית, כאשר x וy שואפים ל0, אז x בשלישית ועוד y בשלישית, שזהו אדון t, גם שואף ל0, ולכן פה אני מקבל, תהינו של t, חמיר אמיתי, אוקיי, t חמיר אמיתי, אלעד למה זה הכי הכי פה העצבה כאילו זה לא פשוט ידוע שברגע שיש לנו במכנת אותו ביטוי שיש בתוך הסינוס זה זהו זה ידוע לנו מהקורוס הקודם נכון הוא הקורוס הקודם היה משתנה אחד ולא שניים הבנתי מה שבהגבול הזה באמת לאחת זה שוב גבול ידוע וסך הכל הגבול שלנו שווה ל-1 כפול 0, נספר את זה, זה 0. שאלות על מה שעשינו פה? אוקיי אני רוצה, מתלמיד לעשות דוגמה נוספת פה מעדף, משהו שנראה לי שווה להסתכל עליו, והדוגמה הבאה, נראה, נעשה הבאה, זה דלד, לימיט של x וy, אלעד, איך אתה בשורה האחרונה? כאילו לא הבנתי מה היה שם זה? כן הגבול שלנו שווה למכפלה של שני אלו עכשיו זה שווה לאחד הגבול שלו כאילו והגבול של זה, זה אפס בסך הכל הגבול שלנו זה 1 כפול אפס אוקיי שלום נוספות חברים אוקיי אז מה שאני רוצה לעשות גם ככה מהדף זה כמובן אין אינטואיטיבית, המעלה של המונה היא 2, כי זה כאילו משהו בחזקת 1, כפול משהו בחזקת 1, והמעלה של המחנה היא 1, כאילו יש לנו פה משהו בריבוע, אבל הוא בשורש.
ריבוע שורש זה כאילו חזקת אחד לכן בעניין לפחות אמור להיות גבול הבעיה אבל היא כזו מה הבעיה פה? אני רוצה לשנש מה שהסברנו בסנדוויץ' וכן הלאה הצבא תשווה משהו אני לא רואה להציב את המספרים ממש אני לא יכול אני נכנס להתאפס אבל גם בסנדוויץ' גם בסנדוויץ' אני רוצה שני ביטויים כן, ולא רק ביטוי אחד. אז, נשמע את זה לפחות שלוש שניה. לפעיל הסנדוויץ', אנחנו רוצים שני מחוברים.
לפחות, כן? ומונה, כדי שנוכל לפרק לשברים מפרדים וכו'. וכאן יש לנו רק אחד.
כן? XY. שימו לב, שבא כאילו לראות זה בעיני רוחנו, שנייה, אני לא יודע לדעת איזה נמחק, אם אני כאילו רושם ככה את הדברים, מקטין את המחנה, אז שורש של x בריבוע וx בסדר הכל מצטמצמים, וה-y שואף לו בשלביו השופי לאפס, זה באמת הולך לאפס. אז אם היה לי רק, אם היה לי שני ביטויים כאלה, של x בריבוע ו-y בריבוע, x-y סליחה במונה, הייתי יכול להתקדם הלאה, רגיל עם הסנדוויץ'. הבעיה שיש לי לכאורה רק ביטוי אחד, אני לא יכול...
להתחיל אפילו עם הדרך שבה אני נוהג לדרוך לפרק לסכום של כמה שברים ואז בכל אחד מיני צמצם ואז בכל אחד מיני שולט לאפס וכן הלאה אז השאלה היא כזו מה אני עושה? שלא יש לו רעיון? כותביות אז כותביות כמו שאמרתי אני רוצה להעיר עליהם ככה בסוף אני פחות אוהב אותה אני גם אהיר סביר למה אני רוצה שוב לשמש בסנדוויץ'.
אולי להוסיף, להכסיר משהו? מה אני אוסיף, אני אכסיר? לא יודע.
אז קודם כל אמרנו, אם הביטוי XY הוא טוב, הוא יצטמצם עם הדברים, אז אפשר לעשות את זה, להוסיף ולהכסיר XY, אם כי אפשר להגיד בפשטות, יש לי רק ביטוי אחד, אז מה הבעיה? אני יכול לבוא תיאשר ובפועל סיפק איתך משחק בפועל זה לא באמת בעיה אלא להפך להפיך אנחנו כבר מתחילים עם שבר אחד זאת אומר אני אקח את הביטוי שלנו לפי סנדוויץ' 0 קטן שווה מהערך המוחלט של מה שרשמנו פה עכשיו, לא כל כך משנה מי אני אהיף כי המכנה במונה יש גם איס וגם וי אז בוא נגיד שאני מאיף את איקס ונשאר עם וי או הפוך, מאיף את וי ונשאר עם איקס, לא כל כך נה יש לי פה ערך מוחלט של x, ערך מוחלט של y, מה זה שורש של x בריבוע, אם אנחנו רוצים להיות מדויקים? x?
מדויקים. x כמשפסקת חצי. זה ערך מוחלט של x. בגללך צריך טיפה להיזהר בזה, מעלה בריבוע ואז מוציא שורש, זה לא המספר המקורי, אלא זה ערך מוחלט שלו, אבל פה, הכל בערך מוחלט, זה מאוד לא רלוונטי.
ערך מוחלט אחת מהתכונות שלו בין היתר, זה שאפשר לשים ערך מוחלט על כל אחד מהמוכפלים בנפרד, ואנחנו רוצים לרשום את זה ככה כדי שנראה שבאמת הערך המוחלט של x מצלם, זה נותן לי ערך מוחלט של y, ואנחנו יודעים שהוא שואף ל-0, ויש לו משפט שלנו על סנדוויץ' מלמעלה, אני יכול להתיק אותו אם אתם רוצים רק טיפה לשנות. בואו נתחל נוכילו מנקודה. פשוטה יותר מה שחשבנו, ערך מוחלט של y שואף ל0 כאשר x,y שואפים ל0, לכן גם המזרוב הזה, לא מעשיתי, אם אני מזורב, שואף ל0 ולכן גם האדון עצמו, לא ערך, ערך המוחלט שואף ל0.
שאלות על מה שרשמנו פה חברים. אוקיי. אתם פותרים את זה, אז צריך לרשום גם את המשפט האחרון שרשמת?
כן, כן, מה שרשם בשחור, כדאי לרשום, זה חלק מהפתרון. אני רוצה לומר שהפונקציה עצמה שואפת לאפס. הייתי על חורה על פונקציה אחרת ששואפת לאפס אז לא, אנחנו יודעים שאם פונקציה בערך מוחלט שואפת לאפס גם הפונקציה עצמה, בלי הערך המוחלט, תשאף לאפס שאלות נוספות על מה שרשמנו פה חברים אוקיי אז אני רוצה להעיר בקצרה שאותו פני נראה לי על הסיפור של קואורדינטות כותביות. על הסיפור של קואורדינטות כותביות ולהסביר למה זה למה אני לא ממליץ בלישון המעטה.
פעמים זה טיפה. מבלבל, בסדר? אז, זה אם אתם רוצים, מספור שלה, מבחות 4, בסדר? יש שם 3 שיטות, פשוט להציב, להחליף למשתנה 1, סנדוויץ', ו, בקצרה, אם ידועה קורדינטות כותביות, במקום, x ו-y, להציב, x שווה, r, cos θ, ו-y שווה sin θ, r sin θ כמובן, כאשר x ו-y שואפים ל-0, אז r גם v שואפ ל-0, ואז בעצם נקבל גבול אחר.
אם הגבול שאנחנו מקבלים לא תלוי ב-θ, אלא הוא תמיד זה אז אלא תמיד אפס כפור אז עושה תמיד אפסים אז הגבול הוא אפס למשל תראו בדוגמה האחרונה אני רוצה לחשב את הגבול הזה ואני מציבו את ההצבה שאמרנו. כלומר, בגבול עכשיו, מי ששואץ ל-0 זה R, אחי, R. X הופך להיות R קוסינוס טטה. פה בו אחלה עם הסווית נוסחה. X ל-R קוסינוס טטה.
ו-y זה r סינוס θ, ואת הדבר פה, r בריבוע, cos, 4 בריבוע, cos בריבוע θ, ו-r בריבוע, sin בריבוע θ. עכשיו, אני יכול לסדר קצת את הגבול, גם למעלה וגם למטה כמובן. למעלה יש לי 4 ריבוע כפול המזרוע בזה, ולמטה 4 ריבוע כפול הסכום הזה, בסוגריים. עכשיו, מה אנחנו עוד עם על קוסמוס בריבוע ועוד סימוס בריבוע? אנחנו יודעים שזה אגנסי סוגריים יפות, כשמדתי שנפס היום, סוגריים יפים.
אנחנו עוד עם סתמיד אחד, אז יש לי כאן בפועל... נראית שורה שנראה איזה צלוב בולט את הגבול הבא פשוט R בריבוע בתוך שורש עכשיו R הוא תמיד חיובי זה פורמה עם תה רדיוס לא תחופיק הרגשה זה ברצה ראיתם יותר R הוא תמיד חיובי ולכן הערך המוחלט שלו בשורש זה באמת המספר עצמו ככה ש-R בריבוע מצטמצם עם מה שקרה למטה ונשאר לי למעלה R. נשאר לי למעלה R כפול קוסינוס וסינוס. ועכשיו לא משנה מה תטא.
קוסינוס וסינוס זה ביטוי חסום. R שואפת ל-0 אז זה פשוט 0. לא משנה מה תטא הגבול הוא 0. למה אני לא אוהב את השיטה הזו? להיכנס למתמטיקה מאחורה. הרבה פעמים. הרבה פעמים ברמה הפורמלית יש גבולות שאזו לא ברור האם הם תלויים בטטה כן או לא הזמן כבר טעם אבל יש גבולות שלא ברור האם הם תלויים בטטה או לא ומובילים אותנו להיפים למסקנות שגויות למשל, צריך לסיים כמו שאמרתי, אבל אם תיקחו נגיד את הגבול ששינו למעלה, זה, תגיד זה, או משהו בסגנון.
אם תעשו לו כותביות, אתם תקבלו את הגבול הבא, r שורף ל-0, של r בויבוע, cosinus בויבוע. שטה כפול r סימוס שטה, וכאן יהיה r ברביעית כוס סימוס ברביעית, r בריבוע כוס סימוס בריבוע, אה, סימוס בריבוע, סליחה. עכשיו, אני יכול לתמצם r בריבוע מהמונה ומהמחנה, ולהוריד עוד r אחד החוצה.
כלומר, לקבל מין סיטואציה כזאת. r כפול... פה יישארו לי הסינוס והקוסינוס, פה זה בריבוע הקוסינוס, כן, גם יפסתי את זה. למטה יישאר לי פה R בריבוע, וכאן R ייעלם לי גם עוד.
עכשיו, מה רונאה מיני להגיד באותו אופן, שמה, מה שיש פה זה חסום. אז קראו שה-R שואף ל-0, כן. מה שיש פה זה חסום לכאורה, לא?
וזה מוכפר, משהו שואף ל-0. מה, ממש ככה, תגידו לי, אולי המחנה מתאפס? ומתה המחנה מתאפס? לאיזה תתא זה קורה?
תלוי גם בעץ. זה בלגן. אמר לכם בעיניים שלי, עזבו סטודנטים.
לא, עלינו, לא משנה, אני מגיד שמות. ראיתי מתרגלים, פותרים, חשבים, יא, אני גבול, עם קורדינטות כותביות, יא, אני אומרים, יש גבול, יוצא 0, אבל בפועל אין גבול. לוקחים פרבולה או משהו כזה, והעסק מופרך.
ולכן אני אומר לא אסור, בסדר? אני חושב שלא כדאי. זה לא שזה הרבה יותר קל מלפרק לשני שברים ולצמצם אותם, כמו שעשינו בסנדוויץ'. לכן ההמלצה שלי, ככה גם אמרתי בסמסטרים קודמים, היא למעט יחסית בקורדיאנת הכותביות, להשתמש במקסימום רק במצב של אין ברירה. שוב, הראיתי לא סתם סומנת, אלא גם את התרגלים נופלים בבור הזה.
תודה רבה. אני משתמש בשאלות על הדברים שעשינו היום חברים. מתי זה יעלה? אני לא רוצה להבטיח זמנים, אבל אני מאמין ש... כמה שעות, שוב זה גם יעשה בכמה הזום מכין אותו, כן?
זה לא רק אני. והקובץ? אותו דבר, אני אשם אותו ביחד. סגור, תודה.
אם יש שאלות נוספות חברים, אוקיי, אם אין שאלות נוספות אנחנו יכולים לסיים. תרגיל אני מאחל שבור על צרכי תולי בריאים וכל הדברים האלו. לא знаю כמה זמן לא שואלתם את היכולים האלה. אלעד, בשאלה שתיים באותו דף כתבו קווי הרמה, מה זה אומר?
אז כמו שאמרתי, גם קווי הרמה וגם התחום הגדרה זה... פחות קריטי, אני לא זוכר את זה הפעם או פעם מבחן או משהו כזה אבל הגדול זה לרשום שהפונקס השווה לאיזשהו מספר כבחירתך 0, 1, 2, 3 ואז מקבלים איזשהו קו אפשר אותו לצייר, x בריבוע בו בריבוע שווה 1 זה מעגל עם רדיוס 1 x בריבוע בו בריבוע שווה 2 זה מעגל עם רדיוס 2 וכן הלאה שאולי לשאול את למישהו חברים תודה. ביי בריאות. בואו נסיים שוב, שמורת זכירים תעולים בריאים, כמה שאלות הדברים שהדברים נעלו, אני אשלח מודע מסודר דרך המודל, עם כל הקישורים לבנתי, כמו שמעתי בהתחלה, וכמובן, ישלח את זה גם בווטסאפ, שאלות כפי נזמין כרגיל, מייל וואטס, כמו שאמרנו, שתזדמנו את הכל הלאה לשאלות, בכל זאת יש למישהו, יאללה ביי.
תודה רבה. ביי.