Inhomogene Differenzialgleichungen lösen

Einleitung

• Ziel ist es, eine inhomogene Differenzialgleichung zu lösen.
• Inhomogenität durch Term ohne $y$ (z.B. $e^x$).

Vorgehensweise

1. Homogene Lösung finden

   • Aufstellen der homogenen Gleichung: $y_h' + 2y_h = 0$
   • Trennung der Veränderlichen: $\frac{dy_h}{dx} = -2y_h$
   • Integration:
     • $\int \frac{1}{y_h} dy_h = \int -2 dx$
     • Lösung: $\ln|y_h| = -2x + C$
     • Exponentialfunktion: $|y_h| = e^{-2x + C}$
     • Vereinfachung: $y_h = Ce^{-2x}$, wobei $C$ eine reelle Konstante ist.

2. Variation der Konstanten

   • Lösung der ursprünglichen DGL soll die Struktur $C(x)e^{-2x}$ haben, wobei $C$ von einer Konstante zu einer Funktion $C(x)$ wird.
   • Aufstellen der abgeleiteten Funktion $y'$ unter Verwendung der Produktregel:
     • $y' = C'(x)e^{-2x} + C(x)(-2)e^{-2x}$
   • Einsetzen in die inhomogene DGL:
     • Vereinfachung: $C'(x)e^{-2x} = e^x$
     • Lösung für $C'(x)$: $C'(x) = e^{3x}$
     • Integration:
       • $C(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + K$ (wobei $K$ eine Integrationskonstante ist)

Gesamtlösung

• Einsetzen von $C(x)$ in die allgemeine Lösung:
  • $y = (\frac{1}{3}e^{3x} + K)e^{-2x}$

Fazit

• Die Vorgehensweise umfasst zwei Hauptschritte: Finden der homogenen Lösung und Variation der Konstanten.
• Wichtig: Verständnis der Trennung der Veränderlichen und der Variation der Konstanten.
• Empfehlung, das Lehrvideo zur Vertiefung anzusehen.