Willkommen zu einem neuen Video, in dem ich heute mit euch diese inhomogene Differenzialgleichung lösen möchte. Inhomogen ist sie, da hier ein Teil drin steckt, der kein y enthält. Hier steht ja nur e hoch x und deswegen müssen wir in zwei getrennten Schritten vorgehen, nämlich das hier ist unser Plan.
Als allererstes suchen wir die homogene Lösung. Also wir stellen die zugehörige Hormone. homogene Differenzialgleichung auf und lösen diese. Und im zweiten Schritt kümmern wir uns dann um die Variation der Konstanten. Das sind zwei Schritte und die brauchen seine Zeit.
Also ich hoffe, ihr habt ein bisschen Zeit mitgebracht und seid bereit, diese Aufgabe hier zu lösen. Schauen wir uns die nochmal an. Gesagt haben wir, dass die Inhomogenität durch dieses e hoch x hier ausgelöst wird und damit wir die homogene Gleichung dazu finden, wird dieses e hoch x einfach zu 0 gesetzt. Also alle Teile, die... die kein y enthalten, fallen einfach weg bei der homogenen.
Das ist jetzt der erste Schritt, den wir machen und wir suchen die homogene Lösung. Jetzt steht hier y homogen, also yh' plus 2 mal yh gleich 0. Das ist die ganz normale Gleichung von eben, nur dass hier statt dem e hoch x Ebene 0 steht und statt den y schreibt man oft yh, damit man jetzt das ganz genau unterscheidet. Das hier ist die homogene Gleichung zu unserer. In homogenen Differenzialgleichungen.
So, und jetzt wird das Ding gelöst. Aber auch das dauert. Ich hoffe, ihr kennt das Prinzip der Trennung der Veränderlichen, wenn man eine homogene Differenzialgleichung lösen will.
Ich gehe es jetzt hier schon nochmal durch, aber jetzt nicht ganz so intensiv. Also falls euch das Ding noch gar nichts sagt, dann schaut euch lieber das Video an, das ich dazu gemacht habe. Das habe ich dann auch in der Videobeschreibung verlinkt.
So, man geht ja folgendermaßen vor. Dieses yh' schreibt man zu... dy h durch dx und hinten der Teil bleibt erstmal so stehen, gleich 0. Jetzt werden die Veränderlichen getrennt, alles mit y auf eine Seite, alles mit x auf eine Seite, aber ich bringe erstmal hier dieses minus 2y h auf die andere Seite, dann steht da nur noch dieses dy h durch dx gleich minus 2y h.
Jetzt multipliziere ich mit dem dx, damit wir die auf jeden Fall mal trennen können. Also die y und die x müssen ja auf jeden Fall getrennt werden. Also einmal mit dem dx multiplizieren muss ich auf jeden Fall.
Dann steht das dyh alleine und rechts steht eben dieser ganze Teil mit dem dx. So, fast haben wir die Veränderlichen getrennt. Nur noch dieses yh ist hier auf der dx-Seite, das Muster weg. Also teilen wir noch durch yh. Und dann steht auf der Seite hier, da stand ja eine 1 im Grunde, also 1 durch yh, dyh.
Dieses h als Index ist schon nervig, aber gut, damit man es halt ordentlich unterscheiden kann, habe ich ja gesagt. Macht man das? Ich würde es fast erstmal weglassen und am Schluss einfach nur noch hinschreiben. Aber wenn wir es ordentlich machen wollen, muss es mit dazu. Und auf der Seite steht dann dieses minus 2 dx alleine.
So, jetzt haben wir die Veränderlichen getrennt. Jetzt wird integriert, weil wir haben ja hier dieses y und das dx. Und wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, dann können wir dieses dx und dy halt eben wegkriegen. Was ist die Stammfunktion von 1 durch y? Das ist der ln vom Betrag von y.
Ich nenne das Ding jetzt einfach y statt yh. Also ich schreibe immer yh hin, aber sage nur noch y. Und auf der rechten Seite hätten wir minus 2x als Stammfunktion.
Und es kommt noch so eine Konstante, vom Integrieren kriegt man ja immer diese Integrationskonstanten noch mit dazu, die kommt noch mit dabei. Auf der anderen Seite natürlich auch eigentlich, aber ich habe es jetzt einfach schon mal so gemacht, man kann die ja dann auf die andere Seite bringen und in dieser anderen Konstanten zusammenfassen. Das mit den Konstanten, das habe ich wirklich ausführlich erklärt in dem anderen Video.
Von daher, falls es euch jetzt echt neu ist, schaut es euch an. So, dann sind wir schon relativ weit. Wir wollen aber nach YH auflösen. Wie schaffen wir das?
Wir wollen den LN wegbekommen. Deswegen machen wir E hoch die komplette Seite. Dadurch löst sich der LN hier auf.
Und nur noch Betrag von Y haben wir hier stehen. Und auf der anderen Seite müssen wir das ja leider auch noch machen. Also E hoch das ganze Ding da.
So. Dieses Plus C im Exponent stört uns ein bisschen. Ist nicht notwendig, dass wir das da so verschachtelt hinschreiben, deswegen würden wir das mal ein bisschen auflösen zu e hoch minus 2x mal e hoch c. Also man kann so ein Plus im Exponenten ja so auseinanderziehen. Und jetzt würde man dieses e hoch c nochmal als eine Konstante zusammenfassen.
Das ist das, was man dann sehr häufig macht. Ich schreibe statt dem e hoch c einfach nochmal c. Das ist... Ein ganz normaler Prozess, der immer wieder vorkommt.
Und dieses c schreibe ich dann auch vor die e-Funktion. So, das c, e hoch c ist ja was Positives. Also mein c ist auch was Positives aus den positiven reellen Zahlen.
Wenn ich jetzt aber hier sagen will, ich muss den Betrag auf jeden Fall noch wegmachen. Das y muss da alleine stehen. Das kann ich auch machen. Indem ich einfach sage, ich lasse jetzt einfach für c alle reellen Zahlen zu.
Dann haben wir nämlich hier auch die negativen Teile vom Betrag einfach mit dabei. Und als Lösung haben wir dann eben das da. Das hier ist die Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Wie gesagt, falls euch das jetzt zu schnell ging, das mit diesen ganzen Konstanten, erkläre ich in dem extra Video. Die haben wir jetzt aber und mit der arbeiten wir jetzt weiter.
Das war jetzt nämlich der erste Schritt. Also das habe ich jetzt auch nochmal auf die andere Seite geschrieben. Hier haben wir unsere homogene Lösung.
Die sah so aus mit dieser Konstanten c, die aus den reellen Zahlen ist. Und jetzt beginnt nämlich der zweite Schritt, nämlich die Variation dieser Konstanten. Und zwar wird die Lösung von unserer Ursprungs-DGL, also von hier, unserem Sternchen, das ist ja unsere... Ausgangsdifferenzialgleichung.
Die Lösung hiervon finden wir jetzt schon mit der Struktur hier, aber das c ist hier ja eine Konstante, die wird jetzt variiert. Also man sieht die jetzt nicht mehr als Konstante an, sondern als Funktion, also als c von x. Wir schreiben genau diese Lösung so ab, nur statt dem c, schreiben wir c von x. Und hinten dran eben dieses e hoch minus 2x.
Und das da wird unsere Lösung werden. Also ich nenne die mal 2 Stern. Diese Gleichung brauchen wir auch noch.
So wird unsere Lösung von unserer Differenzialgleichung aussehen. Letztendlich, das Problem ist nur, da steckt noch so ein c von x drin, das wir noch nicht kennen. Und das ist jetzt unsere Aufgabe, dieses c von x zu finden. Wenn wir es haben, dann haben wir die Lösung von unserer DGL.
Wie finden wir jetzt dieses c von x? Das ist jetzt eben der zweite Schritt. Und zwar, das hier war unsere Ausgangs-DGL.
Und da ersetzen wir jetzt für y den Teil, den wir hier haben. Und für y' setzen wir y' ein, den wir noch nicht haben, aber gleich. Wenn wir y' nämlich bilden, also das Ding da einmal ableiten, dann haben wir hier ein Produkt.
Produkt von zwei Funktionen, also hier ist irgendwas mit x drin, hier ist irgendwas mit x und die werden multipliziert. Das heißt, wir brauchen die Produktregel. Die sagt ja, nenn den einen Teil u, nenn den anderen Teil v und als Ableitung bekommen wir u' mal v plus u mal v'. Machen wir das mal. Was ist u'?
Wir kennen c von x nicht, aber als Ableitung können wir c' von x hinschreiben. Das ist ja erlaubt. Multipliziert wird es mit dem v, also mit dem zweiten Teil. Dann kommt ein Plus. Jetzt wird u so hingeschrieben, wie es ist.
Das heißt halt c von x. Und v leiten wir einmal ab. Die e-Funktion einmal abgeleitet ist ja wieder die e-Funktion selbst, aber noch multipliziert mit der inneren Ableitung.
Also dieses minus 2x einmal noch abgeleitet ist minus 2. Und wenn wir das dann ein bisschen schöner hinschreiben. Hätten wir hier vorne das ganze Teil und hier hätten wir dann minus 2 mal diesen Teil. Okay, das ist also y'. Hier oben der Teil ist y und die setzen wir jetzt hier, y' kommt hier rein. Das ist unser Plan.
Also das Teil da unten kommt für y' rein und der Teil hier kommt für y rein. Und dann sieht das Ganze folgendermaßen aus. Hier steht wieder unsere Gleichung, was wir vorhatten. Das hier, habe ich euch gesagt, ist y' das habe ich da reingepackt und 2 mal y gleich e hoch x. Einfach in die Gleichung reinpacken und jetzt schauen wir, wie wir das vereinfachen können.
Hier ist es immer super schön, hier steht minus 2 mal das ganze Ding plus 2 mal das ganze Ding. Das hebt sich einfach weg. Und die Gleichung sieht viel einfacher aus, nämlich nur noch c' mal e hoch minus 2x gleich e hoch x. So, und das lösen wir jetzt.
Also jetzt haben wir eine Gleichung, in dem c' von x drin ist. Die können wir durch Integration zu c von x auflösen. Das war ja unser Ziel. Wir wollten c von x finden.
Dazu bringen wir dieses e hoch minus 2x mal auf die andere Seite, also durch e hoch minus 2x. Dann steht das c' von x alleine da. Und hier hätten wir e hoch x durch e hoch minus 2x. Das schreibe ich mal ganz kurz hier. Was wird das?
Die Basis ist gleich, also e und die Exponenten werden einfach von einem abgezogen. 1x minus minus 2x sind dann 3x. Kleine Nebenrechnung.
Und jetzt wird integriert, damit das c' von x einfach zu einem c von x wird. Wenn wir also beide Seiten integrieren, wird hier draus das c von x. Und hier die E-Funktion integriert, ist ja auch wieder die E-Funktion, nur wir müssen noch diesen Korrektur-Term vorne dran schreiben, nämlich die Ableitung hiervon, die ist ja 3, also müssen wir 1 durch 3. Und hinten dran kommt nochmal eine Integrationskonstante, die nenne ich jetzt mal k, die wird auch immer c genannt, also die könnt ihr auch c nennen, wie ihr wollt, irgendein Buchstabe.
Und k ist eine reelle Zahl. So, schaut mal. Das ist eine Gleichung für c von x. Und genau das war ja, da waren wir ja auf der Suche danach.
Wenn wir das jetzt mal in unsere, also das ist unser c von x. Das hier war unsere 2-Sternchen-Gleichung. Da haben wir gesagt, das wird die Lösung von unserer DGL werden.
Und da können wir das c von x, was wir gerade gefunden haben, einfach einsetzen. Also die Lösung für unsere inhomogene Differenzialgleichung, wir haben es gleich, ist der. c von x, also dieses 1 Drittel e hoch 3x plus k multipliziert, also schöne Klammer drumherum, multipliziert mit e hoch minus 2x.
Und das war's. Also, man hat hier echt einiges vor, aber wenn wir uns die Schritte nochmal anschauen, ging's eigentlich, nachdem man es dann verstanden hat. Also so ist es ja oft, dass die Sachen im ersten Moment total chaotisch aussehen, aber wenn man es dann hat. Kann man es nachvollziehen. Wir haben als allererstes die homogene Lösung gesucht.
Das war hier dieser lange Weg. Und als wir die dann gefunden haben, sind wir zur Variation der Konstanten übergegangen, indem wir statt diesem c einfach c von x gesetzt haben. Dann haben wir diese beiden Sachen in unsere DGL eingesetzt, um das c von x zu finden. Und als wir das c von x dann hatten, dann konnten wir es nochmal in unsere... Zwei-Sternchen-Gleichung einsetzen, nämlich diese allgemeine Lösung für unsere inhomogene DGL.
So, fertig. Ich hoffe, dass ihr folgen konntet oder dass ihr euch das Video einfach nochmal anschaut und dann folgen könnt. Es ist wirklich nicht einfach, aber ihr kennt euch ja schon grob mit dem Thema aus, hoffe ich zumindest, wenn ihr das Thema gerade habt. Und dann hoffe ich, dass es nicht allzu schlimm war.
Lasst mir aber gerne einen Kommentar da, ob es euch geholfen hat und dann sehen wir uns bei einem meiner nächsten Videos. Macht's gut!