Temel olarak x ve y inputlarımızı düşünürsek, iki tane input olduğu için toplamda dört tane farklı kombinasyon var. Yani iki üzeri n. Burada n input sayısı. 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1 olarak düşünebiliriz.
End de... 0 0 olduğu zaman 0, 0 1 olduğu zaman 0, 1 0 olduğu zaman 0, 1 1 olduğu zaman 1 oluyor. Diğer temel operatörümüz de OR.
Bu da yine aynı şekilde 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 şeklinde inputlar verdiğimizde 0 0'da 0 veriyor. Geri kalan her durum için output 1 oluyor. Boolean algebra'da aslında çok fazla pastçılıt ve tören var. Ama bunların her birisini ben liste şeklinde vermek istemiyorum açıkçası.
Bunların çoğusu zaten mantıksal olarak çıkartılabiliyor soruları falan çözerken. Bunlardan sadece dikkatimi çeken bir iki tanesini yazacağım. Burada geri kalanları da zaten soruları çözerken işleyeceğiz. Mesela bizim zaten normalde bildiğimiz çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği var.
Burada da boolean algebra da and'in or üzerine dağılma özelliği olarak düşünebiliriz. Bunu bu şekilde dağıttığımız zaman x'ye artı x'ye oluyor. Bunlar birbirine... Eşit.
Mesela bunu şuradaki farklı k'ler için deneyelim. Buradaki inputlar için. Mesela x birken, y sıfırken, z birken denediğimiz zaman. Burası ne oluyor? Sıfır, bir.
Bunları orladığımız zaman burası bir olur. Bunu da bir ile entlediğimiz zaman bir olur. Acaba burada da aynı sonucu alabilecek miyiz?
Bir ve sıfırı entlediğimiz zaman sıfır elde ederiz. Birinci durum için. X ve z'yi yani bir ve biri entlediğimiz zaman da bir elde ederiz. 0 ve 1'i ordadığımız zaman da 1 olur. Geri kalan bu iki inputlar için de siz kendiniz deneyebilirsiniz.
Bunun buna eşit olduğunu göreceksiniz. Burada dikkat çekici olan bana göre toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği. Yani or'un end üzerine dağılma özelliği. Bu ilginç.
Yani ilk başta normal sayısal operasyonlara benzemiyor. Bu yine alcaverada bu özellik. Onun için bunu yazmak istedim.
Buradaki artının çarpma üzerine dağılma özelliğini uygularsak bunu dağıtıyoruz içeriye. X artı Y çarpı X artı Z oluyor. Bu da yine aynı şekilde. Buradaki inputlar denendiği zaman aynı sonucu vereceğini görebiliriz.
Mesela 1 0 1 deneyelim yine. Burada 0 1 burayı 0 yaptı. 1 ile orladığımız zaman sonuç 1 oldu.
Bu input kombinasyonu için. Aynısını burada da deneyelim. Yine aynı şey olduğunu göreceğiz. 1 ile 0'ı orladığımız zaman 1 oldu. 1 ile 1'i orladığımız zaman yine 1 oldu.
1 and 1 yine 1 oluyor. Yani yine aynı sonucu bulmuş olduk. Bir diğer özellik de demorgan kuralı. Demorgan kuralı bu şekildeki bir boolean...
expression'ın prime'ını aldığımız zaman ya da complement ya da daily diyebiliriz. Aldığımız zaman şu şekilde alıyoruz. Buradaki her bir input'un prime'ını alıyoruz. Ve aradaki operatörü eğer orsa end yapıyoruz.
End ise de or yapacağız. Yine burada da aynı şey. X prime. Bu sefer AND or oluyor. Ve Y prime oluyor.
Yine denediğimiz zaman görebiliriz. 0, 1 bunların oru normalde 1'dir. Tersini aldığımız zaman 0 elde ederiz. Burada da yine aynı şekilde 1, 1'in tersi 0. Bunları AND dediğimiz zaman 0 elde ederiz. Yani her iki durumda da 0 elde ettik.
Yine burada da 0, 1. AND dediğimiz zaman 0. Onun tersini aldığımız zaman 1 elde ediyoruz. Aynısını bir de burada deneyelim. 0 koyduğumuz zaman 1, 1 koyduğumuz zaman 0, sonuç yine 1 oluyor. Bir diğer önemli kural duality. Herhangi bir fonksiyonun dualını bulmak için yaptığımız işlem orları and, and'leri or yapıyoruz.
Ve 1 varsa 0, 0 varsa da 1 yapıyoruz. Mesela buradaki x artı 0 eşittir x. Bu arada bunun doğruluğunu da düşünelim. Herhangi bir... Input ile 0'ı orladığımız zaman kendisini elde ederiz.
Çünkü burada x 1 de olsa 0 da olsa sonuç yine x'in kendisidir. Yani 1 olsa sonuç 1'dir. 0 olsa sonuç 0'dır. Bunun doğalını bulurken x aynen yazılıyor.
Or. End oluyor. 0, 1 oluyor.
Ve bunun doğruluğu da yine doğrudur. Çünkü herhangi bir inputla 1'i end dediğimiz zaman mesela x 0 olsa burası 1 olsa sonuç 0 olur. Yani x'in kendisi olur.
x 1 olsa burası yine 1 zaten. End dediğimiz zaman sonuç 1 olur. Yine x'in kendisi olur.
Yani bu da doğru olmuş oluyor. Herhangi bir fonksiyonun doğruluğunu bulmak bize komplement işlemini yaparken yardımcı olacak ilerleyen bölümlerde. X artı 1. Bu da yine her durumda doğrudur.
X'e 0 verdiğim zaman 0 ile 1'i orladığım zaman sonuç 1 olur. X'e 1 verdiğim zaman 1 ile 1'i orladığım zaman sonuç yine 1 olur. 0 ile de 1 olması sonucu değiştirmiyor. Bunun doğulu X çarpı 0 eşittir 0. 1'leri 0 yapıyoruz çünkü.
Burada X 0 olsa burada sonuç 0'dır. X 1 olsa yine buradaki sonuç 0'dır. Boolean işlemlerde operatörlerin öncelik sırası var.
İlk önce parantez yapılıyor. Daha sonra not operation yani tersini alma, prime'ini alma. Sonra end ve daha sonra da or geliyor. Boolean function'larda mesela böyle bir Boolean function'ı düşünelim. x artı y prime z.
Yani burada bir x input'u var, y input'u var ve z input'u var. Yani bu fonksiyonu nasıl gerçek devrede okuyabiliriz aslında onu göstermek istiyorum. X input'umuz burada bu şekilde. Y input'umuz ve Z input'umuz.
Y'nin değiliyle yani Y'nin tersiyle Z endlenmiş. Yani Y'nin tersi burada alınıyor ve Z buraya geliyor ve bunlar endleniyor. Yani buradaki end gate, bu da end gate zaten.
Bunun çıkışı Y prime Z oluyor. Ve bu da doğrudan X input'uyla orlanmış oluyor. Ve output da burada.
x artı y prime z oluyor. Yani f1 fonksiyonunun kendisi olmuş oluyor. Herhangi bir boolean fonksiyonunu simplify ederek ya da simplify etmeyerek kullanabiliriz.
Burada bir önceki sayfada gördüğümüz f1 fonksiyonu buydu. Burada ikinci olarak bir de f2 fonksiyonumuz var. F2 fonksiyonu bu şekilde tanımlanmış.
3 tane inputu var. Ve x prime y prime z. x prime y z.
x y prime. Bunu çizdiğimiz zaman bu şekilde bir. devre elde ediyoruz. Simplification yapmadan.
Ama bunlarda eğer simplification yaparsak daha basit bir devre elde etme şansımız var. Şimdi burada simplification yapalım. Simplification yaparken de ortak parantezi alma ya da değişik boolean operasyonlar yaparak daha basit bir hale çevirmeye çalışıyoruz. Şimdi bu ifadeyi x prime z parantezine alırsam bunu ve bunu buradan elde edeceğim sonuç y prime artı y artı x y prime olur. Buraya dikkat edersek y prime artı y diyor.
Yani burada 0 1 ya da 1 0 olur her zaman. Yani y'ye 0 verirseniz 1 0 elde edersiniz. 1 verirseniz de 0 1 elde edersiniz.
Yani her iki durumda da buranın sonucu 1'dir. Ve herhangi bir ifadeyle 1'i entlerseniz o ifadenin kendisini elde edersiniz. 0 1 0'dır 1 1 1'dir.
O yüzden... Buradaki ifadeye yani sol taraftaki ifadeye direkt olarak x prime z diyebiliriz. x prime z diyebiliriz.
Diğer tarafta da x y prime var. Yani f2 fonksiyonunu x prime z artı x y prime şeklinde yazmak mümkün. Bu fonksiyonu bu şekilde yazdığımızda elde edeceğimiz devreyi şu şekilde çizebiliriz.
Yine x y z inputlarımız olacak. Dikkat edersek burada devre birazcık daha basitleşti ve daha az gate kullanmış olduk. Burada kullandığımız gate sayısı 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 iken burada 1, 2, 3, 4, 5, 5 gate kullanmış olduk. Yani devreyi biraz daha basit ve uygulanabilir hale çevirmiş olduk. Fonksiyonları simplify edelim.
Sadeleştirelim, basit hale çevirelim. Bunu içeriye dağıttığımız zaman... x çarpı x prime yani x and x prime çarpı derken onu söylüyorum aslında.
Artı x y oldu. Burada x ve x prime'ın andlenmesi her zaman bize sıfır sonucunu verir. Çünkü sıfır bir her zaman sıfırdır. Ve sıfırla herhangi bir sayıyı herhangi bir ifadeyi orlarsanız bu ifadenin kendisini elde edersiniz. Dolayısıyla buradaki işlemin sonucu x y olur.
Yine mesela belki siz pratik olarak şunu yapabilirsiniz. Bu devreyi çizersiniz. Ve daha sonra bu devreyi çizersiniz. Zaten bu devrenin bundan çok daha basit bir şekilde uygulanabilir olduğu çok belli. Yine aynı şekilde bunu simplify etmek için de buradaki or'u and üzerine dağıtmam gerekiyor.
Yani x artı x prime. çarpı x artı y oluyor. x artı x prime her zaman 1 verir.
0, 1 ya da 1, 0 olur çünkü. 1 ile de x artı y yendiğiniz zaman x artı y'nin kendisini elde edersiniz. Yine aynı şekilde burada tek gate kullanarak implementasyon yapabiliriz. Burada birden fazla gate kullanacağımız belli oluyor. Yine böyle bir fonksiyonda yine içeriye dağıtma yöntemini izleyebiliriz.
Buradan x x artı x y prime olur. Artı yine burada da y x artı y y prime olur. y y prime zaten herhangi bir input'un kendi not'ıyla entlenmesi her zaman bize sıfır sonucunu verir. Buradaki sıfırı artık ignore edebiliriz. Çünkü sıfırla geri kalan orlanıyor.
Dolayısıyla buradaki geri kalanın kendisi olacak. x ve x entleniyor. O zaman bu da x'in kendisi olur.
Bunu da x'in kendisi şekli. şeklinde yazabiliriz o zaman sonuç şu şekilde yazılabilir x artı x y prime artı x y şeklinde yazılabilir bunu da yine şu iki ifadeyi x parantezine alarak sadeleştirebiliriz x parantezinde artı y olur Artı x y prime zaten buradan geliyor. 1 artı y de her zaman 1'dir. Y ne olursa olsun. O zaman bu ifadede sonuç olarak x artı x y prime olur.
Buradan da birazcık daha sadeleştirmek mümkün. Bunu da x parantezine alırsak 1 artı y prime olur. Bu da... Yine 1 olacağı için buradan sonuç direkt x olarak gelir. Bunu sadeleştirebilmemiz için daha değişik bir yöntem izleyeceğiz.
Buradaki ifadede yz'yi x artı x prime ile çarpmamız gerekiyor. yz'yi x artı x prime ile çarpmak ne demek aslında? Burası 1'dir.
yz'yi 1 ile entlemek oluyor. Yani 1 ile entlediğiniz zaman sonuç zaten değişmeyecek. Ama bunu yaparak biz... x'li ve x'li terimler elde edeceğiz. Çünkü burada x'li ve x'li terimler var.
Belki bizim biraz daha basit halde yazmamıza yardımcı olabilir diye bu şekilde böyle çarpmayı deniyoruz. Bu çarpmayı yaptığımız zaman şunu elde edeceğiz. xyz artı x'yz elde ediyoruz. Şimdi burada xy artı x'z zaten elimizde var.
Bu ikisini xy parantezine alırsam eğer... 1 artı z elde ederim. Bu ikisini de x prime z parantezine alırsam 1 artı y elde ederim.
Bu ikisi toplam durumunda. Burada 1 artı z her zaman 1 olacağı için buraya 1 yazarız ve buradan x y gelir. Artı x prime z burası da her zaman 1 olacağı için x prime z'ye gelir.
Yani bu şekilde sadeleştirebiliriz. Bu fonksiyonda ise dualite özelliğini kullanarak sadeleştirme yapabiliriz. Bir fonksiyonun dual'ını aldığımız zaman buraları end yapıyoruz. x end y oldu. Buradaki çarpı artı olacak.
Buradaki x prime çarpı z artı y çarpı z. Dikkat edersek, dool'unu aldığımız zaman elde ettiğimiz ifade bir önceki çözdüğümüz sorunun aynısı. Dolayısıyla bundan sonraki simplification adımlarını tekrar yaparsak bunu da yine aynı şekilde sadeleştirmiş oluruz.
Bir fonksiyonun Komplementini alma yani değilini ya da prime'ını alma. Burada iki tane yöntemimiz var. Bunlardan bir tanesi demorgan kuralı, diğeri de duality yöntemi.
Bir örnek üzerinden bunu açıklayacağım. Demorgan kuralını kullanarak ve duality özelliğini kullanarak buradaki f1 ve f2 fonksiyonlarını tersine almaya çalışacağız. Şimdi birincisinden başlayacak olursak f1'e, f1'in değilini bulmak için buradaki ifadenin değilini bulalım.
X prime, Y, Z prime artı X prime, Y prime, Z ve bunun prime'ı. Bu da şuna eşit olacak. X prime, Y, Z prime'ın prime'ı çarpı X prime, Y prime, Z'nin prime'ı olacak. Buradaki her bir ifadeyi de kendi içerisinde komplementini alabiliriz.
O da X. Artı y prime artı z. Çarpı x artı y artı z prime şeklinde yazılabilir.
Bunu bu şekilde bırakabileceğimiz gibi parantez içerisine dağıtabiliriz. Ama bu şekilde bıraksak yeterli olacak. F2 için de yine aynı şekilde demorgan özelliğini kullanarak tersini alalım.
x x Y prime z prime artı y z'nin tamamının tersi. Bu da x'in tersi artı buradaki parantezli ifadenin tersi olacak. Burada artık yapabileceğim başka bir sadeleştirme yok ama sağ tarafta var. x prime artı y artı z çarpı y prime. Artı Z'şeklinde yazabilirim.
Bunu da sadeleştirebilirim daha fazla. Bunu içeriye dağıtarak devam edebilirim. Ondan sonraki artık sadeleştirme işlemleri olduğu için onu şimdilik yapmıyorum.
Siz belki pratik olsun diye yapabilirsiniz. Burada sadece komplementini almayı göstermek istiyorum. Şimdi bunların bir de doğal yeti yöntemini kullanarak komplementini alabiliriz. Doğal yeti yöntemini kullanarak komplementini almakta iki adım var. Bunlardan bir tanesi, birinci adım.
Fonksiyonun... dual'ını buluyoruz. İkinci adımda ise her bir input'u input'ları her bir input'un tersine alıyoruz. Yani şöyle göstereyim.
F1'in tersini alırken önce F1'in dual'ını buluyorum. x'prime artı y artı z'prime çarpı x prime artı y prime artı z. Daha sonra buradaki her bir input'un tersini alıyoruz. Yani x artı y prime artı z.
çarpı x artı y artı z prime. Yani f1'in tersi bu olmuş oldu. Dikkat edersek bu ifade ile burada bulduğumuz ifade aynı. f2'nin tersini de duality yöntemi ile bulmayı size bırakıyorum. Onu bulup buradaki bulduğumuz sonuçla karşılaştırabilirsiniz.
Boolean fonksiyonları ifade etmek için kullandığımız bazı ifade yöntemleri, expression type'lar var. Bunlardan... Bir tanesi canonical form, diğer de standard form.
Canonical form'da ya bir fonksiyon sum of min terms ya da product of max terms olarak ifade edilebiliyor. Standard form'u da ileride göreceğiz. Orada da sum of product ya da product of sum şeklinde ifade edilebiliyor. Burada x, y, z input'larını görüyoruz. X, y, z input'ları 3 tane input olduğu için 2 üzeri 3'ten 8 farklı input olabilir.
Burada bunların min termlerini ve max termlerini yazacağız. Minterm için şunu söyleyebiliriz. Minterm entli bir expression'dır ve sonucu 1'dir.
Max term or expression'dır. Sonucu 0'dır. Yani şunu söylemek istiyorum.
Minterm küçük m ile gösteriliyor ve 0 mesela burada. Minterm 0 şu olması gerekiyor. x'prime, y'prime, z'prime. Neden? Çünkü minterm 0. 0'ın binary olarak gösterilmesi Ben bu 0 0 0'ı burada yerine yazdığım zaman 1 elde etmem lazım.
0'ın değili 1. Yine 0'ın değili 1. Yine 0'ın değili 1. 1 and 1 and 1. Sonuçta 1 yaptığı için demek ki m0 minitör mü bu şekilde yazılması gerekiyor. Yine aynı şekilde m1 minitör mü and'li bir ifade olacak. Ve 0 0 1'i birlemesi gerekiyor. 1 yapması gerekiyor.
O zaman x prime, y prime ve z olması lazım. Yine aynı şekilde M2 ifadesi de X'Y'Z'M3 X'Y'Z M4 X'Y'Z'M5 X'Y'Z M6 X'Y'Z'M7 X'Y' Ve z oldu. Maksörmlere geldiğimiz zaman da maksörmler orlu bir ifadedir. Entli değildir. Orlu ifadeyi sıfırlayan ekspresyona bulmam lazım.
Yani m0 maksörm 0. 0 0 0 değerini sıfırlayan bir orlu ifade olması gerekiyor. Ve o da x artı y artı z'dir. Yine 0 0 1 ifadesi bir orlu ifade olması lazım. Ve bu orlu ifadeyi sıfırlaması gerekiyor.
O zaman x artı y artı z prime olması lazım. M2 yine benzer şekilde x artı y prime artı. Z.
M3. X artı Y prime artı Z prime. Prime olacak.
M4. X prime artı Y artı Z. M5.
X prime artı Y artı Z prime. M6. X prime artı Y prime artı Z.
Ve son olarak M7. X prime artı Y prime. Artı z prime.
Şuna dikkat edersek. Min termler ve max termler arasında şöyle bir ilişki var. Aynı değerin min terminin eğer complementini alırsanız. Aynı değerin max termini elde edersiniz.
Mesela m7 üzerinden örnek verecek olursak. x, y, z'nin eğer complementini alırsanız. Prime'ini alırsanız.
Elde ettiğiniz değer demorgandan. x prime artı y prime artı z prime. Yani aynı değerin. Max term olur.
Şimdi elimizde bir f fonksiyonu var ve bu f fonksiyonunu biz sum of min term şeklinde ifade etmek istiyoruz. Sum of min term şeklinde ifade etmek için her bir expression'ın, fonksiyondaki her bir expression'ın 3 input'u da içermesi lazım. Burada 3 tane input var.
A, B ve C. Ama mesela birinci expression'da sadece A var. İkinci expression'da da A eksik.
O zaman bunları bir şekilde bizim... Birleştirmemiz gerekiyor. Yani 3 tane input'u da içerecek şekilde birleştirmemiz gerekiyor. Bunun için de eksik olan terimleri ekleyeceğiz. Yani f eşittir a artı b prime c fonksiyonuna.
Şöyle bazı operasyonlar yaparak bunu sum of min term şeklinde ifade edebilecek hale getirebiliriz. Yani a'ya öncelikle b'yi eklemek için a'yı b'nin d'li ve b ile entleyebiliriz. Çünkü bu ifade birdir. Bir ile entlemek demek A'yı değiştirmemek demektir.
Yine A'dır. O zaman bunu dağıttığımız zaman AB'artı AB elde ederiz. Yine benzer bir mantıkla buradaki AB've AB ifadeni de C artı C'le çarparsak AB'çarpı C artı C'artı AB çarpı C artı C'yaparsak AB'C artı A A' B prime C prime.
Burada da A B C artı A B C prime elde etmiş olduk. Yani bu A ifadesini artık bu şekilde 3 tane terimi de içerecek şekilde ifade etmiş olduk. Şimdi bunun aynısını B prime C ifadesi içinde yapacağız. Bunu A artı A prime ile çarparsak B prime C'yi hem değiştirmemiş oluruz. Hem de 3. input'ı eklemiş oluruz.
a b prime c artı a prime b prime c yapmış oluruz. Şimdi bizim fonksiyonumuzun içerdiği elemanlar bunlar. Bu elemanlar acaba min term olarak neleri ifade ediyor?
Bu ifadeyi birleyen değer nedir? 1 0 1'dir ve bunun da değeri 5'tir. O zaman burası m5 olur.
Aynı şekilde buradaki ifadeyi birleyen değer 1, 0, 0. Burası da M4 olur. Burası 1, 1, 1 yani M7'dir. Burası 1, 1, 0 yani M6'dır. Buradaki ifade 1, 0, 1 yani M5'dir.
Buradaki ifade 0, 0, 1 yani M1'dir. İki tane M5 olduğu için bunlardan sadece bir tanesini yazsam yeterli. Ve şu şekilde fonksiyonumu yazabilirim.
m1 artı, m4 artı, m5 artı, m6 artı, m7. Şu şekilde de gösterilebilir. f fonksiyonu 3 tane input'tan oluşuyor. a, b ve c. Ve bu fonksiyon sum of min term şeklinde yazıldığında 1, 4, 5, 6 ve 7'yi içerir diye bu şekilde de yazabiliyoruz.
Bu soruda da bu f fonksiyonunu product of maximum şeklinde yazmamızı istiyor. Bunun için ilk önce buradaki oru buradaki end'e dağıtıyorum. Yani f eşittir.
xy artı x prime. çarpı xy artı z elde etmiş oluyorum. Daha sonra buradaki oraları da dağıttığım zaman x artı x prime çarpı x prime artı y Çarpı x artı z çarpı y artı z elde ediliyor. İlk terime dikkat edecek olursak bu terim her zaman birdir. Bir ile de başka bir terimi entlemek bu terimin kendisi olduğu için bunu direkt ignore edebilirim.
Diğerlerinde ise eksik olan terimler var. Bunları eklerken de şöyle bir metot izlemem gerekiyor. Mesela x prime artı y'de z eksik.
O zaman buraya artı z çarpı z prime diyorum. Çünkü bu sıfırdır. Sıfır eklemek değiştirmez. Bunu yaptığım zaman elde ettiğim sonuç şu oluyor.
Buradaki x prime artı y'yi z'ye ve z prime'a dağıtacağım yani. x prime artı y artı z çarpı x prime artı y artı z prime oluyor. Yine aynı şekilde burada da eksik olan ifade y olduğu için x artı z artı y çarpı y prime diyorum. Bunu yine içeriye dağıttığım zaman x artı z artı y çarpı x artı z artı y prime elde ediyorum.
Burada eksik olan ifade de x x çarpı x prime. Artı y artı z dersem. Buradan da x artı y artı z çarpı x prime artı y artı z elde etmiş olurum.
Şimdi bunların hepsini bir seferde yazayım. Bu şekilde bir seferde yazdık. Şimdi bunu sıfırlayan değerler bana max term değerlerini verecek.
Yani burası 1, 0, 0. Yani buradaki max term 4. Burası 1, 0, 1. Yani max term 5. Burası 0, 0, 0. Max term 0. Burası 0, 0, 1. Max term 1. Burası zaten şunun aynısı. Max term 0. Burası da yine aynı şekilde birincisinin aynısı. Yani max term 4 oluyor.
Dolayısıyla max term şeklinde yazarken şu şekilde yazabiliyoruz. f, x, y ve z impulslerinden oluşur. Ve eşittir.
P diyoruz. 0, 1, 4, 5. 0, 1, 4, 5. Ya da yine bir önceki soruda yaptığımız gibi şöyle yazabiliriz. f eşittir.
Büyükme 0 artı büyükme 1 artı büyükme 4 artı büyükme 5. Canonical formların birbirleri arasında geçişleri var. Yani uzun uzun işlemler yapmadan bazen kısa yoldan geçiş yapabiliriz. Bunlardan bir tanesi şu.
Mesela f fonksiyonu sum of min terms olarak 1, 2, 5 ise mesela f'in tersi fonksiyonu bunun haricinde kalan min terms'lerin toplamı şeklinde yazılabiliyor. Yani toplamda zaten... 8 tane minitör var.
0'dan 7'ye kadar. Burada 1, 2, 5 varsa geri kalanlar 0, 3, 4, 6, 7, f'in tersinin minitörleri olmuş oluyor. Yine aynı şekilde bu iki fonksiyon f'in tersi fonksiyonu, bu da f'in tersi fonksiyonu. Bu iki fonksiyon birbirinin aynısı. Burada sum of minitör şeklinde yazılmış.
Burada ise product of maximum şeklinde yazılmış. Yani bir fonksiyon mesela biz başka bir fonksiyon alalım. Diyelim ki bir fonksiyon bize şu şekilde tanımlandı. Product of maximum şeklinde.
Mesela 2, 3, 5, 7 dedi. Tabi burada 3 tane input olduğunu düşünelim. Biz bunu sum of min term şeklinde yazmak istiyoruz. Bunu uzun uzun tekrardan boolean equationlarla uğraşmaya gerek yok. Direkt otomatik olarak şöyle yazabiliriz.
Hangi sayılar boşta kaldıysa onları sum of min termize yazıyoruz. Yani 0, 1, 2 burada var, 3 var. 4, 5 var. 6, 7 zaten var.
Yani sum of min term şeklinde yazılımı da bu şekilde olabiliyor. Ya da bunun tersini sum of min term ya da product of max term şeklinde yazın dedi. O zaman bunun tersini yazarken product of max term şeklinde yazarken nasıl yazacağız?
Bunun yine olmayan değerleri yani 0, 1, 4, 6 olacak. Ama burada product var. Max termler çünkü. Bu şekilde kısa yoldan geçişler yapabiliriz.
Burada bir example var. Burada bize bir f fonksiyonu vermiş ve bu f fonksiyonunu sum of min term ya da product of max term şeklinde ifade edin ama bu sefer true table kullanın diyor. Bir diğer yöntem de bu.
Burada bu fonksiyonu true table'ın oluşturduğumuz zaman x'in 0 olduğu değerler 0 0 0 1 1 0 1 1 x'in 1 olduğu değerler 0 0 0 1 1 0 1 1. Bu şekilde yerine yazdığımız zaman ve true table oluşturduğumuz zaman elde ettiğimiz sonuçlar. Burada bu şekilde yazılmış. Kontrol edebilirsiniz. Bunların sıfır olan değerlerini Aldığımız zaman bize maximum'leri veriyor.
Yani bu f fonksiyonu 3 input'tan oluşur. Ve bunu product of maximum şeklinde yazmak istersem 0, 1, 2, 3, 4, 5. Bunları bu şekilde yazabilirim. Yine aynı şekilde bu fonksiyonu sum of minimum şeklinde yazmak istersem de 1'lerini alıyorum.
Yani f fonksiyonu yine. 3 input'a oluşuyor. Bu sefer sum of min terms. Zaten geriye kalan değerler olacak. Yani 1, 3, 6 ve 7. Bu şekilde yazılabilir.
Canonical formların dışında bir de standard formlar var. Standard formlarda ya product of sum ya da sum of product şeklinde yazılabiliyor. Burada bütün input'ları içermesine gerek yok elemanların.
Yani mesela şu şekildeki bir yazılım sum of product'ı örnektir. sum of product yani aslında end'li ifadelerin orlanması demek. Ya da product of sum yani orlu ifadelerin endlenmesi demek.
Bunu yapmamızın sebebi aslında two level implementation yapabilmek. Mesela burada gördüğünüz gibi her bir input buradaki ilgili yerlere bağlanmış. Burada two level implementation yani output'un verilebilmesi için buradaki her bir gate'in belli bir delay'i var, belli bir gecikme süresi var.
Burada sadece Bu ikisi için bir gecikme süresi bekliyoruz. Birinci step diyebiliriz. Ve buradaki or gate için bekliyoruz.
İkinci step diyebiliriz. Aynı şekilde burada da aynı benzer bir durum var. Bazen non-standard formda ifade edilir fonksiyonlar.
Yani ne product of sum ne de sum of product değildir. O zaman bu şekildeki bir fonksiyonu mesela biz standart forma çevirmek için. Mesela buradaki durum için. AB artı CD artı CE. şeklinde yazabiliriz.
Yani burada sum of product yapmış olduk. Bunu yapmamızın aslında bize faydası şu olacak. Burada gördüğünüz gibi bir önceki sayfadaki fonksiyon eğer standart forma çevrilmezse burada birinci step, ikinci step ve üçüncü step var. Yani output'un verilebilmesi için buradaki delay süreleri beklenecek. Daha sonra bu beklenecek.
Daha sonra bu beklenecek. Ama... 2 Level Implementation olursa, burada birinci bekleme daha sonra ikinci beklemede daha kısa sürede output'a elde etmiş olacağız.
Yani bu amaçlar için bu şekildeki farklı ifadeler de kullanılabiliyor. Burada en çok kullanılan operatörler var ve onların True Table'ları ve devrede gösterim şekilleri var. AND'i ve OR'u zaten biliyoruz. AND ve OR'un notlanmasıyla, tersinin alınmasıyla NAND ve NOR gate'ler oluşturuluyor. Burada bunların da true tab'ları zaten.
And'in tam tersi, burada da or'un tam tersi. Devredeki gösterimleri de output'ta sadece şöyle bir yuvarlak var, bir not var. Ve burada da yine or'un output'unda bir not var burada.
Bunların haricinde XOR, Exclusive OR ve XNOR var. XOR'un tersi XNOR oluyor zaten. XOR eğer input'lar birbirinin aynısıysa 0 verir, birbirinin farklısıysa 1 verir. Ve devrede bu şekilde gösterilir. Açılımı da şu şekildedir.
Burada yazıldığı şekilde. Bunun tersi alınırsa, natı alınırsa XNOR elde edilir. XNOR'da eğer iki input birbirinin aynısıysa 1 verir.
Eğer birbirinden farklıysa 0 verir. Ve devredeki gösterimi de bu şekildedir. Son olarak da kısaca bu Digital Logic Families'den bahsedip dersi bitireceğim.
Burada TTL, ECL, MOS ve CMOS var. TTL Transistor Logik, ECL Ammeter Coupled Logik, MOS zaten metal oksijen makondaktır, duymuşsunuzdur. CMOS da complementary MOS. Bunların farklı, birbirinden farklı avantajları ve dezavantajları var.
Burada hepsinin ortak özelliği, the basic circuit in each technology is NAND, NOR or inverter gate. En temel bunların yapı taşı diyebiliriz. NAND, NOR ya da inverter gate'ler oluyor.
Bunların çok kısaca özelliklerine değinecek olursak, TTL uzun süreleri kullanılan ve standartlaşmış bir aile. ECL'in avantajı yüksek hıza sahip olması. MOS'un avantajı daha çok... dense, daha high component density'ye ihtiyaç duyulan cihazlarda, devrelerde kullanılıyor.
CMOS ise complementary MOS. Burada da en önemli özellik low power consumption. Son yıllarda low power consumption yani az enerji harcaması önemli olduğu için CMOS piyasada daha dominant hale gelmiştir. Bunların da bazı parametreleri var. Bunları incelerken kullanılan.
Mesela fan out, load capacity yani kendi çalışma kondisyonunu bozmadan, değiştirmeden Taşıyabileceği en fazla load yani outputlar. Fan in, input kapasiti ne kadar input bağlanabildiği. Power dissipation zaten.
Ne kadar power harcadığı, ne kadar güç harcadığı. Propagation delay de işlemleri yaparken ne kadar bir gecikmeyle işlemleri yaptığının bir ölçüsü. Bunlar çok ayrıntılı işlenebilir ama bu dersin konusunda sadece bu kadar bilgi vermeniz yeterli.
Chapter 2'yi böylelikle bitirmiş oluyoruz. Chapter 2 ile ilgili Resistation dersinde görüşmek üzere.