السلام عليكم ورحمه الله وبركاته درس اليوم المتتابعات والمتسلسلات الحسابيه بناخذ في هذا الدرس ايجاد الحد النوني من متتابعه حسابيه كتابه صيغه للحد النوني من متتابعه حسابيه ايجاد الاوساط الحسابيه واخر شي استعمال صيغ المجموع في البدايه خلينا نتذكر يعني شنو متتابعه حسابيه هي متتابعه نحصل على كل حد فيها باضافه قيمه ثابته الى الحد الذي يسبقه مباشره بمعنى اخر هي المتتابعه زيد او تنقص بمقدار ثابت صيغه الحد النوني او الحد العام للمتتابعه الحسابيه بهاي الطريقه حيث اي ان هو الحد النوني اي 1 هو الحد الاول ان رتبه الحد ودي اساس المتتابعه خل نشوف المثال اوجد الحد التاسع من المتتابعه اطوني متتابعه بس ما قالوا لي شنو نوعها اول شي لازم اتاكد هل هي حسابيه او هندسيه او غير ذلك شلون اعرف اذا طرحت كل حدين متتاليين واعطاني عدد ثابت بالتالي نوع المتتابعه حسابيه خلنا نجرب الحد الثاني ناقص الحد الاول يعطيني سته الحد الثالث ناقص الحد الثاني اعطاني سته الحد الرابع ناقص الحد الثالث ايضا عطاني 6ه بما ان الفرق ثابت بينهم اذا المتتابعه حسابيه دي هو الفرق الثابت اللي هو اساس المتتابعه هذا الرقم 6 اي هو الحد الاول يعني سالب ا المطلوب الحد [موسيقى] التاسع حد التاسع معناتها ان ش تساوي ان تساوي ت قلنا صيغه الحد النوني للمتتابعه الحسابيه ان عباره عن اي زائد ان ماين نعوض اي 9 عباره عن اي 1 قلنا سالب ا زائد ان 9 ناقص واح في دي اللي هو 6 اذا اي 9 تساوي سالب ا زائد 9 ناص 1 يعني 8 ضرب 6 سالب ا ا 48 بيعطيني الناتج 44 اذا الحد التاسع في المتتابعه بيكون 44 حلو تدريب وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم السؤال يقول اوجد اي 20 في المتتابعه الحسابيه علما بان عطوني اي 1 15 ودي سالب 8 طريقه الحل بتكون طبعا ان 20 يعني رتبه الحد 20 وا 1 ودي نكتب الحد العام ونعوض فيه بالارقام اللي عندنا بيعطينا الجواب سال 137 حل بعد تدريب عندما يسقط جسم سقوطا حرا تحت تاثير الجاذبيه الارضيه فانه يقطع مسافه 16 في الثانيه الاولى و 48 اضافيه في الثانيه الثانيه و 80 اضافيه في الثانيه الثالثه ما المسافه التي يقطعها هذا الجسم في الثانيه التاسعه يعني اعطوني اي1 هاي اي 1 واعطوني اي2 واعطوني اي 3 وطالبين من عندنا اي 9 وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم طريقه الحل بتكون كالتالي ان طبعا رتبه الحد تسعه مطلوب الحد التاسع اي1 ندري عنها 16 دي شلون نطلعها نطرح اي 2 2 ناقص اي1 او اي 3 ناقص اي2 بيعطينا 32 نكتب صيغه الحد العام نعوض بالقيم اللي عندنا والناتج النهائي بيكون 272 معناتها في الثانيه التاسعه الجسم سيقطع مسافه 200 و72 قدم نشوف مثال ثاني اكتب صيغه الحد النوني من المتتابعه الحسابيه قالو لي ان المتتابعه الحسابيه الاحظ ان الحد الاول فيه خمسه اساس تابعه نطرح اي2 ناقص اي1 بيعطيني سالب 18 يبغون صيغه الحد النوني يعني بصوره عامه المتتابعه حدها شنو بيكون نكتب صيغه الحد النوني اي ان عباره عن اي 1 زائد ان ماينص 1 في دي نعوض عن اي 1 خ ان ما عندي اياها لان هم يبغونها بدلاله ان في دي اللي هو سالب 18 خمسه زائد شو اسوي هنا اوزع السالب 18 داخل القوس ف بيعطينا هذا بصير سالب 18 ان سالب واح في سالب 18 يعني موجب 18 نجمع الحدود المتشابهه ف 23 ناص 18 ان هاي صيغه الحد النوني للمتتابعه الحسابيه طبعا الحين اي حد يبغونه ممكن مباشره اعوض هن يعني لو طلبوا من عندي الحد العاشر بشيل الن وبعوض عنه بعشره طلبوا الحد 100 اشيل ال ان واعوض عنه ب 100 وهكذا حلو تدريب وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم طريقه الحل بتكون كالتالي اوجد اساس المتتابعه اللي هو دي بطرح 3 ناقص 12 بيعطيني سالب ت بالتالي دي سالب ت اي 1 12 احط صيغه الحد العام المتتابعه الحسابيه واعوض بدل اي 1 12 وبدل الدي سالب 9 اوزع السالب ت داخل القوس اجمع 12 مع الت في النهايه الصيغه بتكون 21 ناقص 9 ان نشوف مثال ثاني اكتب صيغه للحد النوني في المتتابعه الحسابيه اللي فيها اي 5 تساوي 19 ودي 6 عشان نكتب الحد النوني شنو نحتاج نحتاج اي 1 تج الدي دي عندنا اياها بس اي 1 مجهوله فش بسوي بطلع اي 1 من وين من الحد الخامس اي 5 عباره عن اي 1 زائد 5 رتبه الحد ناقص ح في دي اللي هو 6 اي 5 عندي اياها اي 5 قيمتها كم قيمتها 19 فاذا 19 تساوي اي 1 زئ 5 ناقص 1 4 4 في 6 بيعطيني 24 انقل ال 24 الى الجهه الثانيه صير 19 ناص 24 تساوي اي1 نطرح اي1 بتساوي سالب خ طلعنا اي1 الحين نعوض في صيغه الحد النوني خلينا ن نكتبه اي ان عباره عن اي1 زائد ماين في دي اي 1 طلعناها سالب خ ان ما نعوض عنها الحين لان نبغي حد النوني احنا في دي اللي هو 6 اوزع السته داخل القوس سالب 5 ئ 6 ان ناقص 6 نجمع المتشابهين بيعطيني سالب 11 ئد 6 ان او ممكن تكتبونها 6 ان ناقص 11 اذا هذه صيغه الحد النوني للمتتابعه اللي اعطوني اياها وحلوا تدريب اكتب صيغه الحد النوني للمتتابعه الحسابيه اللي فيها اي 6 تساوي 12 ودي تساوي 8 وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم طريقه الحل اول شي بوجد الحد الاول نعوض في الصيغه العامه او في الحد النوني للمتتابعه الحسابيه اي 6 يعني معناتها ان س ودي اعطوني اياها ثان اي س هذه اشيلها واعوض عنها 12 نضرب الخ في 8 وننقلها الجهه الثانيه في النهايه اي 1 بتساوي ماين 28 الحين نرد نكتب القاعده للحد النوني ونعوض بدل الاي 1 اللي طلعناه سالب 28 والان ما نعوض عنها لان احنا نبغي الحد النوني يعني فيها ان ونعوض بدل الدي 8 نوزع الثمانيه داخل القوس نجمع المتشابهين في النهايه هاي صيغه الحد النوني سال 36 ئ 8 حلوا تدريب ثاني وقفوا العرض وحلوه وارجعوا تاكدوا من اجابتكم نشوف طريقه الحل في متتابعه النقاط ادناه اعطوني اشكال قالوا لي اي مما ياتي يمثل صيغه الحد النوني للمتتابعه لو نلاحظ الشكل الاول كم فيه اربع نقاط الشكل الثاني سته والشكل الثالث ثمانيه بالتالي لو طرحت كل حدين من بعض بشوف ان هاي متتابعه حسابيه يعني دي فيها عباره عن 6 نا 4 اللي هو 2 او لو طرحنا 8 ناص 6 يعني 2 اي 1 الحد الاول 4 نكتب الصيغه العامه للحد النوني اعوض بدل اي 1 4 زائد ان ماين 1 في دي اللي هو ا اوزع الاثنين داخل القوس 4 ز 2 ان ناقص 2 في النهايه بيعطيني 2 ز 2 ان هذا الخيار مو موجود عندي لو لاحظ هنا في اين وفي ا فبحب ا عامل مشترك ظل عندي واحد ومن هنا بظل عندي ان بالتالي الخيار الصحيح هو دي عرفنا شلون نكتب صيغه للحد النوني في المتتابعه الحسابيه الحين ننتقل الى الاوساط الحسابيه سؤال يقول ادخل خمسه اوساط حسابيه بين العددين سالب و 36 لو اعتبرت ان اول حد سالب 18 يبغوني ادخل خمسه اوساط حسابيه بينهم 1 ا 3 4 5 وبعده بيكون العدد 36 بالتالي صار عندي متتابعه حسابيه اول حد فيها سالب 18 وهذا الحد الثاني وهاي الثالث الرابع الخامس السادس وهذا الحد السابع عشان اكتب الاوساط هذلين لازم اعرف الفرق الثابت بينهم كم يعني الدي كم محتاجه اطلع الدي عندي اي 1 وعندي اي س فاذا عرفت الدي بعرف الارقام اللي موجوده هناي شلون اطلع الدي بستخدم الحد السابع الحد السابع قالوي انه هو 36 الحد السابع ان قيمتها كم فيها ان فيها سب بنكتب الحد العام للمتتابعه الحسابيه بعوض ان اللي هو اي س اي س كم تساوي 36 بدل الا عندي اها سالب 18 زائد ان قنا هذ كم س ودي مجهوله 36 تساوي سالب 18 ز 7 ناص يعني 6 دي بنقل السالب 18 الى الجهه الثانيه نجمعهم بيعطيني 54 تساوي 6 دي اقسم الطرفين على 6 في النهايه دي بتساوي عندي 9 الحين اروح اكتب المتتابعه طبعا الحد الاول عندي سالب 18 ازيد عليها 9 سالب 18 ئ 9 فبص عندي سالب ت ازيد ت بصير صفر ازيد 9 ارد ازيد ت وازيد ت واخر شي لازم نوصل الى الحد الاخير اللي هو 36 فاذا هذه هي الاوساط [موسيقى] الحسابيه بين العددين سالب 18 و36 حلو تدريب واقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم نشوف طريقه الحل المطلوب ان ندخل اربعه اوساط حسابيه بين العددين سالب 8 و22 يعني 1 2 3 4 وبعدين 22 فاذا هاي اي 1 اي 2 3 4 5 وهذا اي 6 طبعا عدد الحدود 6ه نعوض في الحد العام عن اي 6 اللي هو 22 وبدل الاي 1 سالب 8 والان 6 ونوجد قيمه دي بيعطيني دي تساوي 6 الحين اروح هنا ازيد سالب 8 ئ 6 بيعطيني سالب ا ازيد 6 بيعطيني عه ازيد سته بيعطيني 10 واخر شيء بيعطيني 16 ولو زيدت سته بوصل للحد الاخير اللي عندي اللي هو 22 اذا الاوصط سالب ا ورب و10 و16 خلصنا من الاوساط الحسابيه ننتقل الى مجموع المتتابعه الحسابيه او المتسلسله الحسابيه المتسلسله الحسابيه يعني شنو يعني مجموع حدود متتابعه حسابيه المتتابعه الحسابيه اذا اعطوني اياها اذا بجمع حدودها هاي يسمونها متسلسله حسابيه عندي صيغ لمجموع المتسلسله الحسابيه الصيغه العامه اللي هو اس نرمز للمجموع باس ان عدد مجموع من الحدود عباره عن عدد الحدود على اين ضرب مجموع الحد الاول مع الاخير اذا ما كان عندي الحد الاخير ممكن نستعمل الصيغه البديله اللي هو ان على ا ا ضرب الحد الاول زائد ان ماين فيدي خلينا ناخذ مثال اوجد مجموع المتسلسله الحسابيه اعطوني تسلسله هذه الحد الاول فيها 12 الحد الاخير فيها 180 ان ما عندي اياها عدد الحدود ما عندي يعني صيغه المجموع عباره عن قنا ان على ا اي 1 زائد اي ان اي عندي ان عندي ان ما عندي عدد الحدود ما عندي شلون اطلع عدد الحدود بستخدم صيغه الحد العام للمتتابعه الحسابيه اي 1 زائد ان ماين 1 فيدي اي ان بستعمل اي ان هذه 108 اي1 عندي اياها الدي ممكن نطلعها شلون اطلع الدي بطرح الحدين من بعض يعطيني سبعه ومنها بوجد ال n نعوض بدل الاي ان 180 بدل الاي 1 12 ان مجهوله ودي س ننقل ال 12 لجهه الثانيه صير عندي 180 ناق 12 تساوي 7 في ان ماين 1 ممكن تخلون سب ورا و قدام نفس العمليه عمليه الضرب ابداليه نطرح يعطيني 168 تساوي 7 ان ماين 1 ممكن اوزع داخل وانقل وبعدين اقسم او ممكن مباشره اقسم على س يعطيني 24 تساوي ان ماينس 1 انقل السالب واحد الجهه الثانيه فاذا ان تساوي ا 2 ز 1 يعني 25 اذا مجموع 25 حد عباره عن 25 على 2 اي اللي هي 12 ان اللي هي 180 ندخل هذا كله في الاله بعطيني الناتج 2400 حلو تدريب وقف العرض وحل التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم طريقه الحل بتكون كالتالي اول شي بوجد ترتيب الحد الاخير عشان نعرف عدد الحدود بنعو بدل الاي ان 100 واي 1 عندي اياها اثنينه واساس المتتابعه دي اللي هو ل طرحنا 4 ناقص 2 بيعطيني 2 ممكن قلت لكم توزعون الاثنين وبعدين تحلون او ممكن تنقلون الاثنين هذه وتقسمو نفس الطريقه في النهايه بيعطيني قيمه ان تساوي 50 اروح اعوض في صيغه المجموع اللي هو بمعلوميه الحد الاول وال الحد الاخير وان طلعناها الناتج النهائي بيعطيني [موسيقى] 2550 نشوف مثال ثاني اوجد الحدود الثلاثه الاولى في المتتابعه الحسابيه اطوني اي 1 7 والحد الاخير 79 واعطوني مجموع الحدود 430 عشان اوجد الحدود الثلاثه الاولى عندي اول حد لازم اعرف قيمه دي عشان اعرف كم ازيد او كم انقص عشان اوجد اي2 وا 3 زين شلون اطلع الدي احنا عندنا المجموع المجموع قانونه قالوا لي ان على ا ايوا زائد اي ان عندي اي1 وعندي اي ان وعندي المجموع ممكن اعرف عدد الحدود خلونا نعوض 430 تساوي ان على 2 اي 1 س واي ان 79 430 تساوي ان على 2 في 7 79 يعطيني 886 بقسم 86 على 2 او بضربها في نص بيعطيني الناتج 43 [موسيقى] ان اقسم الطرفين على 400 على 43 فاذا قيمه ان بتساوي 10 اوجدنا ان احنا قلنا نحتاج الدي على شان نعرف كم نزيد نروح في صيغه الحد العام للمتتابعه الحسابيه حد النوني اي ان بعوض عنها ان اوجدتها اي 1 عندي اياها بالتالي اقدر اطلع الدي فاذا اي ان 79 اي 1 س ان قلنا ع في 79 تساوي 7 ز 9 دي ننقل السبعه الجهه الثانيه 79 ناقص 7 يعطيني 9 دي نطرح 72 بتساوي 9 دي نقسم الطرفين على ت9 اذا دي تساوي 8 معناتها الحد الاول عندي اه سب الحد الثاني كون 7 زائد 8 يعني 15 اي يعني 16 ئ 8 بيعطيني 23 اذا هاي الحدود الثلاثه الاولى للمتتابعه الحسابيه وحل تدريب اوجد الحدود الثلاثه الاولى في المتتابعه الحسابيه اطوني الحد الاول والحد الاخير ومجموع الحدود وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم بنفس الطريقه اللي حليت بها اول شي نكتب الصيغه العامه للمتتابعه لمجموع المتسلسله الحسابيه نعوض عن المجموع وعن الحد الاول والاخير نطلع قيمه ان تطلع لي 40 اروح في الحد العام واعوض بدل الاي ان واي 1 وبدل ال ان اللي طلعتها واطلع قيمه دي اللي هي بتعطيني ثمانيه اذا الحد الاول عندي سالب 24 ازيد عليها الثمانيه بتصير سالب 16 ازيد ثمانيه بتصير سالب ث انحل تدريب ثاني اوجد الحدود الثلاثه الاولى من المتتابعه الحسابيه هالمره اعطوني المجموع واعطوني ان واعطوني اي ان وقفوا العرض وحل تيب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم طريقه الحل بتكون كالتالي بكتب الصيغه العامه لمجموع متسلسله حسابيه بعوض عن المجموع بعوض عن ال ان وبعوض عن الاي ان وبوجدور للحد العام او الحد النوني في المتتابعه اعوض عن الاي ان واي 1 اوجدنا وان عندي اياها واطلع قيمه دي اللي هي 6ه بالتالي المتتابعه بتكون اول حد سالب س وثاني حد صفر اللي بعده سته نشوف بعد تدريب تبدا جائزه احدى المسابقات الثقافيه الاذاعيه بمبلغ 130 دينار بحريني ويضاف مبلغ 20 دينار بحريني للجائزه كل شهر اذا استمرت المسابقه لمده 15 شهرا فكم يكون مجموع قيم الجوائز طبعا هني عندي اي 1 اطوني اياها 130 يضيفون كل مره 20 يعني الدي 20 وعدد الاشهر ان 15 والمطلوب مجموع ال 15 حد اللي هو بدل ال هني 15 وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم نشوف طريقه الحل هناي استخدموا القاعده الثانيه اللي هو القانون البديل لمجموع متسلسله حسابيه اللي فيها دي لان عندي ان وعندي دي وعندي اي 1 فنكتب القانون ونعوض بدل ال ان 15 بدل الاي 1 130 وبدل الدي 20 في النهايه بيعطيني المجموع 4050 دي ممكن احل بطريقه ثانيه باستعمال القانون العام للمتسلسلة اي 1 اللي هو 130 ان يعني 15 ناقص 1 دي يعني 20 دخل هذا كله في الاله يعطيني الناتج 410 الحين بنقول المجموع عباره عن ان على 2 اي1 زائد اي ان فاذا 15 على 2 اي1 130 وا ان 410 دخلوا هذا كله في الاله يعطيني الناتج نفس اللي طلع لنا مساعه ننتقل الى اخر شغله في درس اليوم اللي هو استعمال رمز المجموع سيجما هذا الرمز يسمونه سيجما اللي هو يقصدون به مجموع ك من واحد الى ان يعني هاي اول قيمه في التعويض وهاي اخر قيمه في التعويض [موسيقى] وبيعطونك ك من واحد الى 12 وحطولي رمز المجموع واعطوني 4 كي زائد 2 يعني اول مره نعوض عن الكي بواحد بعدين نحط زائد اعوض عن الكي باثنين احط زائد الى حد ما اوصل الى ي 12 ونطلع النواتج وهذه المتسلسله الحسابيه بدل لا اروح اجمع الحين كل حد بروحه او بدل لا اعوض واطلع كل حد وبعدين اجمعهم ممكن استخدم صيغ المجموع شلون ممكن نستخدمهم خلينا نشوف مثال اوجد قيمه سيجما كي من 9 الى 21 الى 5 ك ئ 6 اول حد اللي هو اي 1 في المتسلسله شنو عندي بعوض عن الكي بتسعه يعني خمسه بتس 9 ئ 6 بيعطيني الناتج 51 نوجد اي ان اللي هو بعوض بال 21 5 في 21 + 6 بيعطيني 111 اوجد عدد الحدود عدد الحدود بيكون اللي فوق ناقص اللي تحت زائد واحد هاي القاعده دائما نطرح اللي فوق ناقص اللي تحت ونزيده واحد وبيعطي 13 الحين استخدم صيغه المجموع ان على ا اي 1 ئ اي ان معناتها 13 على 2 51 + 111 ندخل هاي كلها في الاله الناتج النهائي بيكون 10 5 3 حلوا تدريب وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم اجابه السؤال الاول 342 اللي هو الحد الاول تعوضوني الاخير تعوضوني اللي هو من واحد الى 12 بيكون 12 حد واجابه السؤال الثاني بيكون تسعه 175 كذ نكون خلصنا درس المتتابعات والمتسلسلات الحسابيه واذا حابين تحلون المزيد من التمارين ممكن ترجعون الى الكتاب المدرسي وشكرا لكم