Algebra of Subspace

परिचय

• आज हम Algebra of Subspace सीखेंगे।
• दो सबस्पेस को जोड़ने, घटाने, यूनियन और इंटरसेक्शन करने पर नया सबस्पेस कैसे बनेगा यह समझेंगे।

जीरो वैक्टर स्पेस

• जीरो वैक्टर स्पेस में केवल एक वैक्टर होता है, जो जीरो होता है।
• जीरो वैक्टर स्पेस और स्वयं वेक्टर स्पेस हमेशा सबस्पेस होते हैं।
• इन्हें Trivial Subspace कहा जाता है।
• अन्य सबस्पेस को Non-Trivial Subspace कहा जाता है।

सबस्पेस के गुण

1. यदि V1 और V2 दो सबस्पेस हैं, तो उनका इंटरसेक्शन V1 ∩ V2 भी सबस्पेस होगा।
2. इंटरसेक्शन V1 और V2 का सबसे बड़ा सबस्पेस होगा।
   • उदाहरण: R^2 में, यदि एक सबस्पेस X-Axis और दूसरा Y-Axis हो, तो उनका इंटरसेक्शन केवल जीरो वेक्टर होगा।

इंटरसेक्शन का सिद्धांत

• V1 ∩ V2 सबसे बड़ा सामान्य सबस्पेस है।
• यदि W एक सबस्पेस है जो V1 और V2 में है, तो W भी V1 ∩ V2 में होगा।

यूनियन का सिद्धांत

• V1 और V2 का यूनियन V1 ∪ V2 सबस्पेस नहीं है।
• यूनियन केवल तब सबस्पेस बनेगा जब V1 किसी भी तरीके से V2 को समाहित करता हो या इसके विपरीत।
  • उदाहरण: यदि V1 = X-Axis और V2 = Y-Axis हैं, तो V1 ∪ V2 सबस्पेस नहीं बनेगा।

यूनियन की शर्त

• यदि V1 ∪ V2 सबस्पेस है, तो एक सबस्पेस दूसरे को समाहित कर रहा होगा।
• V1 ⊆ V2 या V2 ⊆ V1 होना चाहिए।

n सबस्पेस का इंटरसेक्शन

• n सबस्पेस का इंटरसेक्शन भी सबस्पेस होगा।
• यह गुण तब भी लागू होता है जब n की संख्या सीमित हो।

निष्कर्ष

• यूनियन और इंटरसेक्शन के बीच संबंध समझना महत्वपूर्ण है।
• केवल तभी यूनियन सबस्पेस बनेगा जब उसमें से कोई एक सबस्पेस दूसरे को समाहित कर रहा हो।

अंत

• इस विषय पर और विस्तार से चर्चा करेंगे।
• कृपया ध्यान रखना कि यदि किसी को कोई दिक्कत है तो पूछ सकते हैं।
• अगले पाठ में लिनियर कॉम्बिनेशंस पर चर्चा करेंगे।