हेलो हेलो एवरीवन कैसे हैं आप सभी चलिए स्टार्ट हो जाए हमारा कमेंट सेक्शन कि मैं पर कमेंट सेक्शन ऑन कर लेता हूं हेलो एवरीवन कैसे हैं आप सभी आज हम पढ़ने वाले हैं Algebra of Subspace Algebra of Subspace मतलब क्या है? दो Subspace को जोड़ते हैं, घटाते हैं Union करते हैं, Intersection करते हैं In that case किस तरह का Subspace बनेगा? ठीक है न?
अब हम आज वो सीखें Algebra of Subspace ठीक है ना so let b over f be a vector space over एक फिल्ड है ठीक है नंबर वन सबसे पहले इसमें आता है जीरो वैक्टर स्पेस देखो जीरो वैक्टर स्पेस की इसमें जीरो वैक्टर स्पेस में क्या होता है सिर्फ एक वैक्टर होगा वह होता है जीरो एंड वी ओवर ऐप आर always sub space ठीक है देखो zero vector और vector space itself ये हमेशा sub space होते ही होते हैं बाकि इनके अलावा जितने ही मिलेंगे वो आपको ढूढ़ने पड़ते हैं ठीक है ना और इनको बोलते हैं that is called trivial sub space कि ट्रीवियल सबस्पेश एंड अधर सबस्पेश को एंड अधर सविस्पेस इस कॉल्ड नोन ट्रिवियल सविस्पेस ठीक है ना तो यह याद रखना देखो, zero vector space और vector space itself, यह हमेशा तो sub space है, यह तो exist करेंगे, करेंगे, हमेशा कोई और करें ना करें, यह ज़रूर एक्जिस्ट करते हैं, इसलिए इनको बोलते हैं trivial sub space, जिनके existence पर कोई उंगली नहीं उठाई जा सकती है, that is called trivial, ठीक है ना, and other sub space is called non-trivial sub space, वाकि इनके लावा other और कोई मिलता है, that is called non-trivial, ठीक है, नेक्स्ट सबोस करो अब देखो यहाँ पे कि let v1 अब देखो let v1 and v2 over f इसलिए ले रहा हूँ ताकि कोई बच्चा इसे vector space ना समझ ले vector ना समझ ले, इस सब इस space है V1 and V2, they both are contained in V over R. B, sub-space. तीके न?
ये दोनों क्या sub-space है? Then, V1. इंटरसेक्शन जी तू तो दोनों की दोनों सब इस पेस का जो इंटरसेक्शन है इस दा largest subspace, largest subspace in V1 and V2 अब देखो यहाँ पे दो चीज़ें समझने वाली हैं पहली चीज़ तो यह है कि दो subspace का intersection लोगे तो हमेशा subspace बनेगा ठीक है पहली चीज दूसरी चीज कि मतलब आपके पास कोई वेक्टर स्पेस वी था आपने इसके अंदर कोई दो सब स्पेस एजूम कर लिए अगर दोनों सब स्पेस कोई भी सब स्पेस हो सकते हैं वी ओवर एफ के कोई भी दो सब स्पेस हो सकते हैं इन दोनों का इंटरसेक V1 and V2 मतलब V1 और V2 में combinedly देखा जाए सबसे large सब space मिलेगा इसको ऐसे समझो example के थूँ सबोस करो आपके पास है R2 over R ठीक है न?
vector space के नाम पे आपके पास क्या है? R2 over R अब एक सबस्पेस तो आ मालो आपने ले लिया x-axis और दूसरा सबस्पेस क्या ले लिया आपने पूरा x-y plane x-y plane का मतलब हो गया r2 over r2 itself ठीक है बटना चाहता तुम y-axis भी ले सकता था अब मुझे अच्छे से पता है कि दोनों का intersection लोगा वी वन इंटरसेक्शन आपको कुछ यहाँ पर realize करवाने के लिए अब next statement लिख रहा है intersection is the largest subspace in V1 and V2 मतलब यह आपका V1 है और यह आपका V2 है समझना यह आपका V1 है और यह आपका V2 है अगर दोनों में at the same time largest common subspace देखा जाए तो वो इनका obvious intersection party तो मिलेगा इनका जो intersection वाला part है, ये क्या है? largest common subspace in V1 and V2 clarity है यहाँ तक इसका proof करवाएंगे, लेकिन proof से पहले थोड़ा सा feel ले लो एक बर इसका, कि ये लिखा क्या है, तो वही लिखा है कि intersection जो part है, is the largest subspace, ये largest subspace, largest, देख रहे हो largest part है इन दोनों में एक time of common, in V1 and V2, इसी तरीके से अगर कोई चानना चाहता है, कि V1 और V2 में, intersection में क्या है, x-axis largest subspace मतलब एक ऐसा subspace जो कि इन दोनों में common हो समझो अब कोई V1, V2 में जो common subspace है वो तो zero vector space भी है समझो इन दोनों में जो common है वो तो zero vector space भी है लेकिन मैं क्या ढूंढ रहा हूँ मैं ढूंढ रहा हूँ largest subspace इन V1 and V2 वो क्या बनेगा वो बनेगा x-axis x-axis से बड़ा subspace इन दोनों के लिए common नहीं मिल सकता इसलिए यह word लिखा है यहाँ पर largest subspace ठीक है यह understanding वाली चीज थी अब जरा proof भी देख लेते हैं वरना कई बच्चे कहेंगे सर जी proof तो बताया नहीं इतना कुछ आपने feel करवा दिया बस चलो proof देख लो कॉमा वी टू वी वन वी टू वेक्टर नहीं है वेक्टर याद रहें मैं वो मिटा देता हूँ ना मैंने उपर एक गलती कर दिया है म V1 और V2 क्या हैं ये दो? सबस्पेस हैं ठीक है? इसी तरीके से मैं यहाँ जो V1, V2 हैं सबस्पेस हैं ओके?
और सबस्पेस किसके हैं? V और F के अब इनका लेंगे, इंटरसेक्शन दिखाना मुझे तो चलो तो इन non-empty set बनेगा v1 intersection v2 is the largest subspace in v1 and v2 अच्छा ठीक है सुलेट मैं दो वैक्टर एजूम कि यह और भी कहां से बिलॉक कर रही है कि देव लॉन्ग्स टू वीवन इंटरसेक्शन वीडियो ठीक है ना देट इंप्लाई इस एक कमा बी बिलॉंग टू वीडियो एंड एक कॉमा वी विलॉंग्स टू वी टू बताई यहां तक किसी को कोई दिक्कार परेशानी तकलीव ठीक है न? ओके प्लीज जस्ट वेट अब जस दूटर में जस ट्विटर तो लेट अ a,b belongs to v1 intersection v2, that implies a,b belongs to v1 and a,b belongs to v2 at the same time, अब मुझे पता है कि जो v1 है और v2 है तो अपने अपने सब space है, अगर ये अपने अपने सब space है, तो lambda a plus b, ये भी belong करेगा v1 से, because ये सब space की property है, vector addition है, scalar multiplication, ये दोनों की दोना operation मैंने एक use में दिखा दिये, and यहाँ पर भी same, lambda a plus b कहां से belong कर रहा है, v2 से belong करेगा, because ये, यहां से inspired है अब जब यह v1 और v2 दोनों से belong कर रहा है तो मैं क्या बोल सकता हूँ कि lambda a plus lambda b belongs to v1 intersection v2 for all a,v belongs to v1 intersection v2 and lambda belongs to field इससे क्या साबित हो गया कि वीवन इंटरसेक्शन वीडियो इज सब्सक्राइब आपको लार्ज सब्सक्राइब जानना चाहता है तो आप खुद सोचो कि वीवन और वीडियो के पास जो एलेमेंट्स है वह वीवन के पास भी और वीडियो के पास भी समझ रहे हो इसका मतलब वीवन और वीडियो वीवन इंटरसेक्शन वीडियो के पास है तो अब्यासी बात है largest common sub space क्या होगा वीवन वीडियो हो जाएगा इसलिए इसका मतलब भी लिखा है largest common sub space वीवन वीडियो का क्या होगा उनका इंटरसेक्शन ही that implies यह तो first part था इसका that was the first part अब इसी में second thing, अब आप खुद सोचो, इसका मतलब क्या है, V1 intersection V2, किस से contained करेगा, V1 के अंदर से भी contained करेगा, और V1 intersection V2, V2 से भी contained करेगा, अब अगर आप यह सोच पारे हो, देखो, different different आप, कोई भी 2, कोई भी vector space ले सकते हो, कोई R3 ओपर R लेना चाहता है, R3 ओपर R ल 2 over r, तो उसके r 2 over r के कोई भी 2 actor space माल लो, और यहाँ fit करके देख लो, बराबर fit होंगे, ठीक है जैसे वो x axis और x y plane वाला जो था न, आप यहाँ पर implement करके देख लो आपको बिल्कुल idea, exact idea हो जाएगा next third ठीक है न?
let w with a sub space sub w comma ठीक है न? sorry just just wait a minute let let w be the subspace such that W contained in V1 and W contained in V2 that implies W contained in V1 intersection V2 आप मुझे आप खुद सोचिए देखो आप कोई भी सबी space लेते हैं जो कि V1 में भी और V2 में भी है तो आफकॉस वो कहा से बिलॉंग करेगा वो V1, V2 का भी मतलब आफकॉस है ये contained होगा किसके अंदर? V1, V2 के अंदर तो आप मुझे बताइए अब इससे आपको क्या समझ में आ रहा है?
आप कोई भी सबस्क्राइब उठा रहे हो जो V1, V2 के अंदर है तो आफकॉस वो इनके intersection को या नहीं common part में भी contained करना चाहिए इसका मतलब जो पूरा-पूरा largest common part है वो क्या V1, intersection, V2 है that implies V1, intersection, V2 इस दा लारजेस्ट सर्विस्पेसेस लारजेस्ट सर्विस्पेस इस तरीके से arbitrary intersection of अगर आप दो अपने प्रश्न पर देखते हैं, तो आप दो अपने प्रश्न पर देखते हैं. यह अपने प्रश्न पर देखते हैं या अपने प्रश्न पर देखते हैं. यह अपने प्रश्न पर देखते हैं या अपने प्रश्न पर देखते हैं. यह अपने प आपके पास बहुत सारे sub-space हैं, लेकिन याद रहे, finite sub-spaces, मतलब number of sub-spaces should be finite, मतलब n sub-space होने चीज़ है, पहला sub-space, दूसरा sub-space, तीसरा, चोथा, पाँचवा, इस तरहीए से n sub-space, उन सब का intersection लो, बनने वाला नया sub-space जो होगा, sorry, बनने वाला जो होगा, वो भी sub-space होगा, कहने का मतलब, arbitrary intersection of sub-spaces, मतलब n sub-spaces का intersection लेने पर, जो बनने वाली चीज़ होगी, वो भी सबस्पेस की प्रॉपर्टी को सैटिसफाइड करेंगे, बस इतना ही मतलब है, तो इंटरसेक्शन पर तो मुझे लगता है कि यहां तो कोई दिक्कत परिशानी नहीं हुई होगी, ठीक है न, अब यहां से आगे बढ़ते हैं जरा, नमबर 4, अब आते हैं जरा Union पे और V2 विशेष विशेष है, लेकिन V1 Union V2 विशेष विशेष नहीं है फार्ट उगणार अब जैसे की अब आप फिर आपको असी बात है वे इतनी बड़ी बात लिख दी तो आपको फिर एक्जांपल भी चाहिए होगा है तो देखो जैसे की मैंने मान लिया x एक्स मतलब वीवन सबस्क्राइब और आठिक न और वीडियो के नाम पर मान लिया वाई एक्सेस ठीक अब इनका यूनियल लिया गया है सोच कर दो मैं ले लूं वीवन यूनियल वीडियो ने कि एक्स एक्सेस यूनियल वाई एक्सेस इन दोनों का यूनियल इन देट कीस जैसे कि ये देख लो आपने x-axis के element उठा लिये आपने y-axis के element उठा लिये अब x-axis पर तो यहाँ भी कोई element हो सकता है समझे ना xx है तो यहाँ भी कोई element हो सकता, मालो यहाँ पर element आ रहा है 0,1, यहाँ पर element आ रहा है 2,0, दोनों का sum करोगे, vector addition की property लगाओगे, तो यहाँ पर क्या मिल जाएगा, यहाँ पर मिलेगा इस तरह का element, 2,1, अब 2,1 तो ना तो xx पर आता है, ना yx पर आता है, इसका मतलब क्य नॉट एस सबस्पेस इट इस नॉट एस सबस्पेस वह कितने लोगों क्लेरिटी बताइए बताइए कोई दिखत परे� तो इसका मतलब क्या है कि दो सबस्पेस का यूनियन हमेशा सबस्पेस नहीं बनेगा अब समझने वाली बात यह है तो सबस्पेस बनेगा तो बनेगा क� नहीं बनने वाली, अब रैंडमली दो सबस्पेस उठा लिये जाएंगे, दोनों का यूनियन कभी सबस्पेस नहीं बनेगा, मतलब दोनों का यूनियन हो सकता है सबस्पेस ना बनेगा, अब ऐसी कौन सी परिस्थितियां होंगी जहांपे इस बात को गैरंटीड बोला जाए इफ एन ओल इफ, V1 contained in V2 और V2 contained inside V1, ठीक है न?
देखो, दो सबस्पेश का union सबस्पेश तब बन सकता है, जब उनमें से कोई एक सबस्पेश दूसरे वाले को contain कर रहा हो. देखो इस question को देखो, question से समझ में आएगा आपको यहाँ दिक्कत का बाई, दिक्कत का बाई vector addition की property fail हो गई मैंने देखा मैंने दो sub space ले लिये दोनों में इसे एक दूसरे को कोई भी contain नहीं कर रहा था ठीक है, तो दिक्कत का यह दिक्कत आई कि भाई साहब यहाँ पे vector addition की property fail हो गई तो अब खुद सोचो, इस property को preserve कब किया जा सकता है सोचो इस प्रॉपर्टी को प्रेजर्व कव किया जा सकता है? इस प्रॉपर्टी को प्रेजर्व तभी किया जा सकता है, जब मैं इस वाले पार्ट को भी इसी पूरे, मतलब इसको सबस्पेश के अंदर ले लूँ, और ऐसा कभी हो सकता है?
ऐसा तभी हो सकता है, कि जब कोई एक स� आप जैसे अगर माल लो V1 contained हो रहा है, contained inside V2, एक V1 contained inside V2, और मेरे से कोई कहे, वाई साब मैं V1 union V2 ले रहा हूँ, तो मैं कहूँगा जो V1 है कुछ अलग नहीं है, वो V2 कोई part है, अगर आप V1 union V2 ले रहे हो, तो of course ही बात है वो V2 के बाराबर हो जाएगा, समझ रहे हो, औ कि अगर आप V2 union V1 लेते हो, तो वो automatically, एक तरीके से V1 के equal ही हो जाएगा, कोई दिक्कत परिशानी नहीं होगी, तो इसलिए कहते हैं कि अगर दो, if union of two subspaces is subspace, if and only if, one subspace should contain another, वालाब कोई एक subspace दूसरी value को contain करना ही चाहिए, ठीक है, चुटनी मस्ट का वन सबस्पेज मस्ट कंटेंड अनदर वन तो इन दिन में समझ लो इसको कि एक सबस्पेज दूसरे वाले को कंटेंड किये बैठा होगा तबी दोनों का यूनियन आख बंद करके सबस्पेज की प्रॉपर्टी को सैटिस्फाई कर सकता है ठीक है यहां तक है ओके नेक्स्ट आज बढ़ते ठीक है कि लेट दूस आपको इसी बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बाते इतना बा तो अगर इस condition को ध्यान दू, तो V1 union V2 किस के बराबर हो जाएगा बताइए? V2 के बराबर, और V1 union V2 इसके बराबर हो जाएगा V1 के बराबर ठीक है? That implies कि दोनों ही cases में है जो union है वो sub space बन रहा है क्योंकि V1 और V2 तो पहले ही sub space लिए चल रहा है हम V1 union V2 is a sub space बताइए, यहाँ तो कोई दिक्कत, यह तो बहुत आसान था, अब if and only if है तो converse part भी true करना, converse part भी proof करना पड़ेगा न, अब मैं क्या लेके चलूँगा, कि V1 union V2 is a subspace, ठीक है भी, चलो, converse part देखते हैं, conversely, let वी वन यूनियन वी टू इस अ सविस्पेस ठीक है न? अब मान लो वी वन यूनियन वी टू सविस्पेस है ठीक है? लेट अब दिखो मैं मान के जल रहा हूँ कि ना तो वी वन कंटेंड कर रहा है वी टू के अंदर लेट अस अपोज रुख जाओ भोड़ा अंग्रेजी में अच्छे से लिखने दो ताकि समझ में आने लग जाई है लेट अस अपोज और ये लेट नहीं करना ये गिवन है कि इस बार यह स्टेटमेंट गिवन है प्रूफ तो मुझे यह करना है मतलब पहले वाले में क्या था पहले वाले में यह गिवन था इस पार्ट इस गिवन प्रूफ तो यह किया और इस बाले में वीवन यूनियन वीडियो इस अब स्पेस यह गिवन है और प्रूफ करना प्रूफ करना है कंटेनमेंट वाला ओके नेक्स्ट कि लेट अ सपोस अ V1 contained inside V2 V2 contained inside V1 तो रिपीट द तो देखो अब यहां पर अथवा नहीं यहां पर और लगाए मतलब मैं करूं वीवन वीटू के अंदर कंटेन नहीं हो और वीटू वीवन के अंदर कंटेन मतलब कोई किसी के अंदर कंटेन नहीं हो रहा है कोई भी किसी के अंदर कंटेन हो वे वरल बात मुद्दे की है अब नेक्स्ट कि मैंने मान लिया वेक्टर वीवन आने के जल रहा हूं वेक्टर वीवन देखो और vector space है sub space को पूरा V समझ रहे हो?
अगर ऐसे number डाल के चल रहा हूँ, इसका मतलब sub space में चल रहा है और ये बिना number के काम चल रहा है, तो vector space और जो vectors होते हैं, vectors को क्या? छोटा V, small V बना जाता है, small V में ऐसे push निकाल देते हैं इसकी ठीक है? अगर ये अंग्रेजी medium वाले जाना था, तो वी वन vector बलोंग जाता है वी वन space such that v1 such that वी वन does not contain inside v2 and there exist वी टू विलोंग्स टू सज देट वी टू डॉजन ऑट कंटेंड इन वी वन देखो इस बात को समझो ठीक है ना अगर दिखो वी वन वी टू ना वी वन ना वी वन देखो दोनों सब स्पेस मेंसे कोई किसी को कंटेंड नहीं कर रहा है ठी कोई किसी को जरा सा भी contain नहीं कर रहा है तो यानि कि अगर कोई vector v1 v1 के अंदर है तो वो v2 के अंदर नहीं होगा और अगर कोई vector v2 ठीक है ना वीडियो के अ बट वी वन एंड वी टू ये दोनों की दोनों वेक्टर किसके अंदर कंटेंड करेंगे वी वन इंटरसेक्शन वी टू इन देट केस वो उसमें V1 भी आ जाएगा, V2 भी आ जाएगा यहाँ ते किसी को कोई तकलीफ, परेशानी हो तो बताओ बताइये और अगर ऐसा है तो vector space की property कहती है कि V1 प्लस V2 करने पर ये V1 Union V2 से मिलना चाहिए सही बात है न आप बताएं ये दो Vector हैं दोनों के Union से Belong कर रहे हैं In that case V1 प्लस V2 इन दोनों के Union से Belong करना चाहिए अगर ये सब Space बन रहा है तो ठीक है न बताएं यहां तो कोई दिक्कत परिशानी है अब देखो अगर V1 प्लस V2 V1 Union V2 से Belong कर रहा है ठीक है न, that implies, एक मिनट बोले, that implies, अजय को यहां से नेक्स्ट टेप आपको कैसे एक्सप्लेन करूं मुझे तो पता है एक्चुल नेक्स्ट टेप क्या है आपके लिए कैसे एक्सप्लेन करूंगे आपको ए अच्छा आप खोच सोचो V1 प्लस V2 अगर belong कर रहा है ठीक है ना V1 union V2 से तो इसका विशेष है, आपका V1 प्लस V2 विशेष से भी बना चाहिए सोचकर देखो यह सबस्पेस की प्रॉपर्टी है अब हम थोड़ी देर पहले ही देखा था थोड़ी देर पहले ही देखा था यह कब पॉसिबल है अगर V1 Union V2 आपका अगर एक V1 Union V2 जो सबस्पेस ठीक है ना इन दोनों में से कोई एक property तो satisfy होनी ही चाहिए मानते हो ना कि V1 प्लस V2 को इन दोनों के union में मुझे दिख रहा है तो या तो V1 में या V2 में ये दोनों का union दोनों का addition दिखना थे बट अब V1 के पास क्या था V1 के पास small V1 था तो of course minus V1 भी होगा बताइये ना अब V1 के पास small V1 था तो minus V1 भी होगा पाक्टर स्पेस की प्रापर्टी है उस minus V1 को जब मैं यहाँ add करूँगा तो यह पता है क्या दिखेगा मुझे दिखेगा V2 belongs to V1 जो की गलत है मैं starting में ही वे कहके चला था के V2 मतलब V1 के पास V2 नहीं है that is contradiction सेम इसी तरह अगर मान लो वीटू के पास स्मॉल वीटू है, that implies, यहाँ लिख लो, चाओ तो, that implies, माइनस वीटू भी होगा, वैक्टर स्पेस वीटू के पास, इसे पकड़ो कर दूसरा इसे पकड़ो गए पता है क्या मिल जाएगा दोनों को addition करोगे तो simple v1 मिल जाएगा v1 belongs to v2 अब मैं यहाँ पर यह लेके चला हूँ starting में देखा contradiction that implies our supposition is wrong that implies our Supposition is wrong मतलब हम जो starting से suppose करके चले थे वो supposition ही गलत हो गया मैं starting से क्या suppose करके चला था?
कि v1 v2 के अंदर contain नहीं करेगा और v2 v1 के अंदर contain नहीं करेगा अब मुझे बताइए अच्छा v1 प्लस v2 visualize नहीं हुआ ऐसा है क्या? अब ही करवाते हैं visualize आब ही बात मताओ सिर्फ V1, V2, सिर्फ इतने इतने कोई विजुलाइज करना, सिर्फ इतने इतने कोई विजुलाइज करना, समझे ना आप, आप सिर्फ इतने इतने कोई विजुलाइज करना, सिर्फ इतने इतने कोई, आपने क्या लिया, मान लो, आपने V1 Union V2 ले लिया, V1 Union V2, ठीक है, अ� समझाते हैं, समझाते हैं एक मार टुक्टा बदलाओ ठीक है, समझाओ अब V1 के नाम पे X-Axis और V2 के नाम पे क्या ले ली? मैंने Y-Axis ले ली, समझे ना यहाँ पे मैंने X-Axis और Y-Axis लेके चल रहा हूँ ठीक है, अब दोना का union लेने पर मुझे दो vector मिले यहाँ पे, एक vector यह ले लिया मैंने 1,1, ठीक है न, दूसरा vector मैंने यह ले लिया है, मतलब कहने का मतलब एक vector उठाया मैंने यह, दूसरा vector उठाया मैंने यह, समझ रहा है, मैंने अब यह उठाया एक vector, पहला vector उठाया 1,0, ठीक है? अब दोनों के दोनों वेक्टर कहां से बिलोंग कर रहे हैं आपके? X-axis union Y-axis से, मानते हो?
That is 0,1, बताओ भाई, यहां तक किसी को दिक्कात, परेशानी, तकलीफ, दुख, दर्द, तकलीफ, बता दो कुछ भी होता, मानते हो न? अगर आप इनका sum, अब देखो, of course ही बात है, अगर ये दोनों x-axis और y-axis के union से belong करें, तो इनका जो sum होगा, वो भी कहां से belong करेगा? 1,1, कहां से belong करेगा? 1,1 x-axis union, y-axis से, रुप जाओ लेकिन, सोच न दो, एक उंट रुप, आ रुक रुक रुक, अब देखो, अब जैसी मैंने अब देखो अब यहाँ पर क्या है यहाँ पर मैंने सबस्पेस की प्रॉपर्टी लगाने की स्टार्ट कर लिया है अब देखो यहाँ पर मैंने सबस्पेस की प्रॉपर्टी लगाने का स्टार्ट किया है मैंने क्या लगा दिया वैक्टर एडिशन यूज किया है मैंने यहाँ पर वैक्टर एडिशन इस्तमाल किया है मैंने यहाँ पर कि मुझे पता है सबस्पेस की प्रॉपर्टी होती है मै यह property फिल कर देगा, लेकिन मैं तो sub space मान के चल रहा हूँ इसे, अभी आगे चल के contradiction आना है, तो अगर यह sub space की property satisfy करता है तो of course vector addition लगना चाहिए vector addition लगेगा तो क्या हो जाएगा v1 प्लस v2 भी belong करना चाहिए बिल्कुल लिख दिया मैंने, अब जब आप तरफ पता दिख जाएगा, कि 1,1 does not belongs to x-axis union y-axis, समझो यहां तो आपको direct दिख गया है, कि 1,1 does not belong to x-axis union y-axis, ठीक है ना, लेकिन अभी भी मैं मान के चल रहा हूँ, बद theorem में इतना आसानी से नहीं दिखता है, अगर example ले रहे होते हो, तो यहीं समझ में आ जाता है आपको, तो मैंने यह रह लिया, तो v1 प्लस v2, बताओ, कि वीवन और वीटू दोनों की दोनों सब स्पेज हैं मैं यह मान के चल रहा हूँ कि भाई V1 प्लस V2 यहाँ तो V1 के पास मिलना चाहिए, V2 के पास मिलना चाहिए अब यहाँ पर मुझे देखना को मिल रहा है कि V1 प्लस V2 मतलब यह समझ लो कि 1,1 यहाँ तो XXS के पास होना चाहिए, YXS के पास होना चाहिए मैं यह मान के चल रहा हूँ, तो मैंने अगर V1 प्लस V2 को यहाँ पर लेकर आया तो V1 प्लस V2 वीवन से बिलोंग करा दिया और फिर देखो ध्यान से कि V1 बिलोंग कर रहा है capital V1 से, इसका मतलब Y scalar Multiplication यह तो सब space है ही, यह तो given चीज है, तो minus v1 भी तो belong करना चाहिए, v1 से, और अगर माल लो vector addition लगाओ, इस पे और इस पे, इसमें minus v1 add कर दू, because मुझे पता है कि minus v1 belongs to capital v1, वैक्टर, बताब scalar multiplication की property हो गई न, तो अगर मैं इनको add करूँगा, कि v2 does not belongs to v1, and v1 does not belongs to v2, इस दिस द कंट्राडिक्शन अब लग लेकिन इस द लग मुझे तो यह मिला है कि कंटेनमेंट मुझे कंटेनमेंट मिल गई है समझो मुझे मिली कंटेनमेंट है लेकिन मुझे स्टार्टिंग से पता है कि यह चीज अब गलत आ गई है तो यह हैं तभी आते हैं मारे सपोस जो करके चलते हो गलत होता है तो हमने क्या सपोस किया था इस अपोजिशन इस अ अब बताइएगा, वही तो मैं बताना चाहूँ प्रेम का, आप खुद देखे ना यहाँ पे क्या दे रखा, यहाँ पे दे रखा कि V1 कंटेंड नहीं करना चाहिए, V2 को और V2 कंटेंड नहीं करना चाहिए, V1 को, अफकॉस, X-axis Y-axis को कंटेंड नहीं करती है, Y-axis X-axis को कं� बताइए, यहाँ तो कोई दिक्कत, प ठीक है ना?
अब इसका मतलब कि our assumption is wrong. That implies either v1 contained inside v2 or v2 contained inside v. Is that thing clear? कि यह अब यह यह बस दिखाना था यहां पर कंवर्स प्रूव करके थोड़ा सा अजीव है लेकिन समझ में दीरे-दीरे करके आएगा तो कंट्रडक्शन के लिए आपने विवांट विडियो बिलॉंग्स टू आइएडर विवन लिया क्या कंट्रडक्शन लेने के लिए कोई एक possibility भी सही हो जाती है तो चलो माल लेते हैं लेकिन दोनों को दोनों possibility गलत हो गई है दोनों को दोनों possibility गलत हो गई है इसका मतलब क्या हम जो उपर लेके चले थे हमारा supposition is wrong ठीक है न इसलिए आएदर V1 contained inside V2 और V2 contained inside V2 कि इन दोनों में से कोई एक बात तो पक्का सच होगी या तो V1 contained होगा inside V2 या V2 contained inside V2 एक को दूसरे में कहा बिल्कुल तो यही यही तो मैं समझा रहा हूं दोनों में से अगर कोई एक कंटेंट हो रहा है दूसरे के अंदर तो उनका Union 100% सबस्पेज मनेगा अब आते हैं पॉइंट नमबर 6 पे पॉइंट नमबर 6 है आप सबस्पेसेज इस अगेन ए सबस्पेस अगर उनकी उन्यों को एक इस सवेश्पेस के लिए बचाता है, तो उनकी उनकी उन्यों क कहने का मतलब यह है, मान लो अगर आपके पास कोई बहुत सारे सबस्पेस हैं, ठीक है न, और आपसे कोई कहे कि उनका यूनियन करने पर, वो सबस्पेस, उनका यूनियन करने पर, मतलब उनका जो यूनियन है, वो एक सबस्पेस बन रहा है, तो ऐसा सिर्फ अस्तेरिक्ष ए मतलब, अगर मालो V1, V2, V3 आपके पास एन सब स्पेसेज हैं, आपने उन सब का union करने पर आप चाहते हो सब स्पेस बन जाएगा, तो ऐसा तभी मुमकेन है, जब उन एन सब स्पेसेज में सिर्फ कोई एक ऐसा सब स्पेस होगा, जो उन सब को अपने अंदर contain किये पहले बठ ठीक है यूनियन इसके वी आई यूनियन और आई की वैल्यू मान लो आपकी जा रही है वन से लेकर एन तक ठीक है तो इन सब का यूनियन जो बनेगा सबस्पेश बनेगा वो पक्का कोई ना कोई एक वी आई ही होगा और जो आई की वैल्यू है जो i की value है वो पक्का 1 से लेकर n के बीच में ���ोई होगा मतलब v1, v2, v3, v1 को लेकर मतलब कोई ना कोई एक ऐसा सब space जरूर होगा जो की उन सब को अपने अंदर contain किया बैठा होगा इसको i नहीं इसको vj लेकर दो यहाँ पे जो j की value है वो पक्का 1 से लेकर n के बीच में होगा ठीक है यहां तक दिक्कत परिशानी तकलीफ तो बताओ बताइए यहां तक किसी वह दिक्कत परिशानी तकलीफ तो बताओ ठीक है ना नहीं जो दिवन 1111 बिलॉक नहीं कर रहा है आप समझिए गडबड़ तो यही हो गई थी कि यह इस एक्जांपल लेकर बताया ना मैंने एक्जांपल लेकर इसीलिए बताया ताकि आपको यह समझा सकूं कि गड़बड़ तो यही हो गई थी यह वैक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी काई से सैटिसफाई होने चाहिए लेकिन अगर आप तो एक्जांपल में दिखाने तो तो आपको कि मैंने एक एलिमेंट लिया वीवन से दूसरे में लिया वीडियो से दोनों का सम किया तो उनकी यूनियन में बिलॉम मैं मान के चल रहा हूँ कि इतना करने के बाद भी कि डब मतलब V1 Union V2 अगर सबस्पेस है तो उनका सम भी सबस्पेस होगा और जैसी मैंने प्रॉपरी लगना स्टार्ट करी तो मुझे जिस बात को पहले से ही मैं नकार के चल रहा था कि आपका जो V1 है वो V2 के अंदर से जैस इसे एक बार खुद से देखोगे न, ठंडे दिमाग से आपको समझ में आयेगा ये, ठीक है न, अब देखो, मालो आपके पास ये 4-5 Union है, जैसे ये 4-5 Union है, ठीक है न, जैसे आब Example देता हूँ, मालो एक है X-axis, Example दे रहे हैं, ठीक है न, Union, Y-axis, Union, एक्स वाइप लें अब हमसे कोई कहें कि भाई सामने तीनों का यूनियन करने पर क्या यह सबस्क्राइब बनेगा तीनों का सबस्क्राइब तीनों का यूनियन करने में सबस्क्राइब बन रहा है कि नहीं बन रहा है तो पहले मुझे देखना पड़ेगा कि क्या इन तीनों में कोई ऐसा सब स्पेस है तो बाकी योगों को कवर कर रहा हूं अब एक्स एक्स के अंदर यह दोनों नहीं होते वह एक्स के अंदर यह दोनों कंटेन नहीं होंगे लेकिन एक्स वाइफ लेन के अंदर एक्स एक्स और वह एक्स दोनों के दोनों कंटेंड होते हैं तो इसलिए तीनों का union क्या आ जाएगा? क्यों? क्योंकि यहाँ पे एक sub space ऐसा बैठा हुआ था न, जो कि बाकी sub spaces को अपने अंदर contained के हुए बैठा हुआ.
So, यही आ गया सामने निकल के, तो यही लिखने का मतलब था यहाँ पे. आपकी i-g value वो i1 से लेकर n तक जा रही है, अच्छी बात है. तो इन सब का जब आप union करते हो, तो सामने v1, v2, v3, up to vn, इनी के बीच का कोई ना कोई sub space निकल कर आएगा इनके बीच में.
जो जे की वेल्यू है न वन से लेकर एन तक की बीच में तो और ये जो सबस्पेस बनेगा वो कोई ऐसा सबस्पेस होगा जो की अलड़ी इन में दिख रहा होगा आपको यूनियन में और बाल लेकिन बाकी अदर सबस्पेस को अपने अंदर कंटेंट किये बैठा होगा उसी क प्रूफ में काफी चीज़ें होते हैं जिनका significance बहुत clearly दिख रहा होता है, but still you have to write on paper, otherwise marks नहीं मिलते हैं, और कई लोगों को, कई बार क्या होता है न, आपको दिख गया कि वो बहुत obvious था significance दिख रहा है, but still काफी बच्चों को दिखत होती है, उसको visualize करने में, इसलिए मेरा या फिर आप परेशान हो और आपका processor थोड़ा slow चल रहा है उस condition में भी आप पीछे ना पिछड़ जाओ अब बताओ मुझे यहाँ तक किसी बच्चों को दिक्कत, परेशानी, तकलीफ हो तो बताओ बाकी चीज़ें सॉर्ट कर लेंगे अब यहाँ तक किस करें ठोड़ा-ठोड़ा करवाएंगे कि अभी इकदम से स्पीड पड़ना खतर ना कि आप लोगों कि अगर वह इकदम से स्पीड पड़ें तो कबी बच्चे पीछे रह जाएंगे कि लिनियर कॉम्बिनेशंस की तरफ आएंगे वहां तो लिनियर कॉम्बिनेशंस तो इकदम कैलकुलेशन वाला काम रहेग चलिए फिर मिलते हैं आप लोगों से ठीक हैं आपको बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत बह कि गुड़नाइट यू टेक केर मिलते हैं आपसे कर दो थैंक य�