जटिल संख्या और द्विघात समीकरण

हलो अवर्गो आज मैं आपके लिए लेकर आई हूँ class 11th maths complex numbers and quadratic equations मैं हूँ रोशनी from learner hub, the free education platform जहां पर आप कभी भी कहीं से भी कुछ भी पढ़ सकते हो absolutely for free at learnerhub.com हमेशा की तरह हम खतम करेंगे complex numbers के सारे concepts with examples with questions in one video उसे आपके लिए super duper simple तो अगर आप इस वीडियो को पूरा देखोगे तो उसके बाद आप अपने textbook के किसी भी question को खुद से attempt कर पाओगे ये मेरा वादा है तो are we all ready? So let's get started बहुत बच्पन से ही, class 5-6 से ही हम numbers के बारे में पढ़ते चले आ रहे हैं, कभी real numbers, कभी natural numbers, rational numbers, integers और पता नहीं क्या-क्या, इतने सारे तरह के numbers हमने already पढ़े हैं, but क्या क्या पढ़े हैं? कभी भी हमें ऐसा feel हुआ कि real numbers के आगे जाके भी हमें किसी और तरह की numbers की ज़रूरत है सोचो, सोच के देखो कि क्या कभी भी, जो भी आपने अब तक पढ़ा है, क्या कभी भी आप कोई ऐसे situation से गुजरे जहाँ पर आपको लगा कि यार ये जो situation है न, ये real numbers से solve नहीं हो पाएगा कोई और तरह का number चाहिए सोचो, सोचो, सोचो, सोचो याद नहीं आ रहा है? Let's go to the flashback पीछे जाते हैं आखरी बार जब हमने quadratic equations पढ़ा था जो कि आपने पढ़ा होगा 10th standard में तो हमने एक नया technique पढ़ा था quadratic equation को solve करने के लिए जिसे हम कहते थे quadratic formula याद है याद करो जो हमने पढ़ा था उसके अंदर हम क्या करते थे हम discriminant की value निकालते थे जो ह इससे हम तीन cases derive करते थे, हम कहते थे कि अगर D की value greater than 0 है, इसका मतलब इस quadratic equation के real and distinct roots होंगे, अगर D की value equals to 0 है, इसका मतलब इस quadratic equation के real and equal roots होंगे, और अगर D की value less than 0 है, तो इस equation के no real roots होंगे, यह तीन cases हमने already पढ़े थे, बट ताजू की बात ये है कि उस समय ये जो तीसरा case था ना इसको हमने completely ignore मार दिया था हमने एक भी ऐसा question solve नहीं किया था जहाँ पर d less than 0 था और फिर भी हमने उसके roots निकाले थे क्यों? क्योंकि d less than 0 के case में जो root है वो real number होगा ही नहीं right? हमने ये तो नहीं कहा था कि बट d less than 0 तो roots ही नहीं होगे हमने कहा था roots होगा but वो real roots नहीं होगा यानि कि roots जो है वो real number नहीं होंगे तो फिर कौन से नंबर्स होंगे इसका मतलब रियल नंबर्स के अलावा भी कुछ और तरह के नंबर्स होने चाहिए तभी तो वो वाली इक्वेशन सॉल्व हो पाएंगे तो बस इसीलिए उन इक्वेशन को सॉल्व करने के लिए आ गया है सारे नंबर्स का बाप जिसे हम कहेंगे कॉम्प्लेक्स नंबर्स तो सबसे पहले हम क्या देखेंगे कि किस तरह से कॉम्प्लेक्स नंबर्स आज तक हम जितने भी नंबर् इस तरीके से लिंक है तो देखते हैं कहाने की शुरुआत हुई थी नैचरल नंबर से जिसके अंदर थे 123 से लेकर कि इनफिनिटी तक सारे नंबर्स ठीक है फिर हमें लगा कि यार जीरो तो इसमें मिसिंग है तो जीरो भी रहना चाहिए तो इसे ही हमने जीरो को भी इनके साथ इंक्लूट कर दिया तो बन गया हमारा होल नंबर उसके बाद हमें लगा यार यह तो सिरुफ पॉजिटिव नंबर से तो negative numbers भी तो होने चाहिए, और जैसे ही हमने इन सब के साथ negative numbers को भी add कर दिया, जैसे कि minus 1, minus 2, minus 3, dot, dot, dot, dot, तो बन गए हमारे integers, अब जब integers आ गए, तब हमें लगा कि यार अभी भी काफी सारे ऐसे numbers हैं, जो included नहीं हैं, जैसे कि 2 by 3, 3 by 4, इस तरह के जो numbers हैं, ये तो हमने included नहीं किया है, right? तो यहां से बन गया हमारा rational numbers, rational numbers के अंदर सारे integers थो थे ही, in fact integers के अलावा भी काफी ऐसे numbers थे, in fact जो भी number P by Q form में था, जहांपे Q not equal to 0, वो सारे fall कर गए rational numbers पे, ठीक है, जब यहां तक पहुँच गए हमें लगा यार काफी numbers आ गए हैं अब हमारे पास, लेकिन इसके बाद भी हमने क्या notice किया, कि काफ़े सारे ऐसे numbers exist करते हैं, जो rational numbers नहीं हैं, जैसे कि root over 2, जैसे कि pi, ये जो values हैं, ये सारे, rational नहीं है, क्योंकि ये p by q, q not equal to 0 इस format में नहीं है, तो ऐसे numbers को हम कहते थे irrational numbers, तो rational और irrational numbers को साथ में मिला के हम कहते थे real numbers, तो ये था हमारा real number का system जो हम अब तक पढ़ते आ रहे थे, अब क्या हुआ? अब जो कि अभी मैंने बताया है कि जो quadratic equation पे जब हम फसे, कि यार real roots नहीं होगा, real roots नहीं होगा तो फिर कैसा roots होगा, real roots नहीं होगा तो फिर imaginary roots होगा, जैसे कि root over minus 1, root over minus 2, तो negative numbers के जो roots हैं ये कैसे होंगे, ये होंगे imaginary, यानि कि अब सिर्फ real numbers से काम नहीं चलेगा, अब imaginary numbers भी आ गए, तो real numbers और imaginary numbers इन सब को साथ में ले करके हम कहने लगे उन्हें complex numbers क्योंकि ये तो हमें समझ में आ गया था कि यार numbers simple नहीं है numbers में तो एक के बाद एक variety आते ही जा रही है तो इस तरह से आएं हम complex numbers तक की journey तक तो अब आपको समझ में आ गया होगा कि क्यों मैंने कहा था कि complex numbers जो है वो सारे numbers का बाप है तो अब अगर हम वापिस जाते हैं quadratic equation के उस वाले third scenario में जहांपर डिस्क्रिमिनांट की value less than 0 होती थी तो वहाँ भी अगर हम roots की value निकालने की कोशिश भी करते थे तो हम अटक क्यों जाते थे क्योंकि वहाँ पर हम कुछ ऐसे जगह पर फस जाते थे जिसमें हमें root over minus 4 निकालना पड़े या root over minus 5, root over minus 1 अब किसी negative number का square root हम कैसे निकाले इसका तो हमें idea नहीं था तो हम वहाँ पर अटक जाते थे और वहीं से कहानी शुरू हो रही है हमारे complex numbers की ठीक है तो हमने क्या बोला कि भाई root over minus 1 जो है actually हमने नहीं बोला मतलब mathematicians ने बोल रखा है कि जो root over minus 1 है ये है iota इसको हमने define कर दिया as iota जिसे हम denote करते है small letter के i से तो iota is equal to root over minus 1 अब जहां हमने इस चीज को define कर दिया अब पूरी की पूरी complex number की जो theory है ना वो चलेगी इस iota पे ठीक है तो अब चलिए हम define करते हैं complex numbers को mathematically कोई भी number in the form of a plus iota b जहांपर a और b are real numbers and iota is root over minus 1 कोई भी ऐसा number जो इस form में exist करें, A plus iota B, उसे हम कहेंगे complex number. अब चुकी मैंने अभी बताया ही था आपको, कि complex number जो है ना, बाकि सारे numbers का बाप है, यानि कि बाकि सारे numbers जो हैं, वो complex number के अंदर ही fall करते हैं. तो अगर आप complex number की इस general format को थोड़ा ध्यान से देखो, तो इसमें एक real component है, एक real part है, एक imaginary part है. तो real part कौन सा वाला है? A. ए जो है वो real part है और जिस part में iota है वो imaginary part है क्योंकि iota क्या है iota को हमने imagine किया है right कि root over minus 1 is iota हमने imagine कर रखा है तो ये हमारा imaginary part है तो अब कुछ examples सोचते हैं complex numbers के जैसे कि 2 plus 3 iota complex number है बिल्कुल है क्योंकि ये a plus iota b के form में है 4 plus root over 3 iota complex क्योंकि ये भी A प्लस आयोटा B के फॉर्म में है 5 क्या ये complex number है? आप बोलोगे नहीं यार ये complex number नहीं है ये तो real number है 5 real number तो है उसे साब से तो 5 natural number है 5 whole number भी है 5 integer भी है 5 rational number भी है 5 real number भी है but 5 complex number है number भी है, क्यों? क्योंकि 5 को हम complex number के general form में लिख सकते हैं, हम 5 को ऐसा लिख तो सकते हैं कि 5 plus iota into 0, क्योंकि iota into 0 तो 0 ही हो जाएगा, है की नहीं? तो 5 को भी हम A plus IOTA B के form में लिख सकते हैं और इसलिए 5 भी मेरा complex number है तो हम हर तरह के number को complex number के format में लिख सकते हैं तो यहां तक clear है कि complex number होता क्या है अब complex number के अंदर हम 3 cases की बात करते हैं और इस पे ज्यादा ध्यान देना engineering entrance exams होते हैं उनमें छोटे छोटे questions फ्रेंग फ्रेम हो जाते हैं इस कॉ तो मैंने क्या बताया कि complex number का format होता है a plus iota b, अगर कोई ऐसा number दिया हुआ हो such that b की value 0 है, तो वो number हमारा हो जाता है purely real, जैसे कि 5, अगर 5 को हम complex number की format में लिखना चाहें भी, तो हम क्या लिखेंगे, 5 plus iota into 0, यानि कि b की value 0 है, तो 5 क्या है, वो purely real number है, ठीक है? अगर कोई ऐसा complex number हो, जिसके अंदर एकी value 0 हो, तो वो हो जाएगा purely imaginary. जैसे कि, जैसे माल लेते हैं, root over 3 iota. ये वाला जो number है, इसको अगर हम complex number के format में लिखें, तो कैसे लिखेंगे? 0 plus iota root 3. तो यानि कि एकी value 0 है, तो इसमें real component है ही नहीं, इसमें सिर्फ imaginary component है. ठीक है और तीसरा case होता है imaginary प्यूर्ली word नहीं है इसमें तीसरा case है imaginary number imaginary number का मतलब होता है ना तो a equal to 0 होगा ना ही b equal to 0 होगा यानि कि जो भी numbers a plus iota b के form में है such that a is not equal to 0 b is not equal to 0 वो होता है मेरा imaginary numbers ठीक है but तो तीन केसेस आ गए एक होते हैं रियल नंबर्स जो कि कॉंप्लेक्स नंबर्स भी है एक होते हैं प्यूर्ली इमेजिनरी नंबर्स जिसके अंदर रियल वाला कॉंपोनेंट है ही नहीं और तीसरा होता है इमेजिनरी नंबर्स जिसके अंदर रियल कॉंपोनेंट भी है और क्या आप कोई ऐसा number सोच सकते हो जो purely real भी है और purely imaginary भी हो सकता है क्या कोई ऐसा number आपके दिमाग में आ रहा है For example अगर हम number 5 की बात करें तो वो purely real तो है बट वो purely imaginary नहीं है क्योंकि 5 को हम कभी भी iota के form में तो नहीं लिख सकते हैं लेकिन एक ऐसा number है और वो number है 0 0 को अगर मुझे purely real की तरह लिखना है तो हम लिख सकते हैं 0 plus iota 0 तो हम कहेंगे b is equal to 0, तो इसलिए ये purely real है, अगर मुझे इसे purely imaginary prove करना हो, हम वो भी prove कर सकते हैं, क्योंकि यहाँ पर जो real part है, वो 0 है, तो 0 plus iota 0 में हम कहे सकते हैं कि a is equal to 0, तो मैं कहे सकते हूँ कि 0 जो है, वो purely imaginary भी है, तो 0 is the only number which is purely real, which can also be considered as purely imaginary, हाला कि 0 cannot be considered as an imaginary number क्योंकि 0 के अंदर A और B दोनों ही 0 हैं और imaginary numbers होने के लिए A और B दोनों को ही non-zero होना पड़ता हैं. चलो तो एक और कदम आगे बढ़ते हैं. अगर हमारे पास दो complex numbers दिया हुआ हो और अगर हम कहते हैं कि ये दोनों complex numbers equal हैं, बराबर हैं, इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि उन दोनों complex numbers का जो real parts है वो बराबर है और उनके imaginary parts भी बराबर है जैसे कि अगर एक complex number है Z1 which is equal to A plus iota B और दूसरा complex number है Z2 which is equal to C plus iota D ठीक है तो अगर हम कहते हैं कि Z1 is equal to Z2 इसका मतलब है कि इन दोनों का जो real parts है वो आपस में बराबर है यानि कि A is equal to C और इन दोनों का जो imaginary parts हैं वो भी आपस मे यानि कि B is equal to D. अब चाहे कुछ भी हो, complex numbers भी हैं तो numbers ही. तो यह देखना ज़रूरी है कि complex numbers के साथ हम algebra कैसे करते हैं, यानि कि जोड, घटाओ, multiplication, division वगरा कैसे करते हैं. तो चलिए फटा फट देखते हैं कि किस तरह से हम complex numbers में करते हैं ये सारे operations. Addition, subtraction, multiplication and division. तो सबसे पहले देखते हैं कि दो complex numbers को हम add कैसे करते हैं. माल लेते हैं हमारे पास दो complex numbers हैं. पहला number है Z1. जिसे हम लिखते हैं A plus IB और दूसरा number है Z2 जिसे हम लिखते हैं C plus ID, यह हमारे पास दो complex numbers है, अगर हमें इन दोनों complex numbers को add करना हो, यानि कि Z1 plus Z2 करना हो, तो हम क्या करेंगे, हम कहेंगे कि यह दोनों add हो जाएंगे, यानि कि A plus IB plus C plus ID, तो इसे हम क्या लिख सकते हैं, जो real part है तिक उसी तरीके से जो imaginary part है उसे एक साइड कर लेते हैं, तो इस तरह से हम इन्हें add करेंगे, ठीक है, एक example लेते हैं, बिना example के तो कुछ नहीं समझ आता है भाई, तो example लेते हैं, माल लेते हैं, एक complex number है 2 plus i3, और दूसरा complex number है 4 plus i5, अगर इन दोनों को मुझे add करना है, मैं यानि कि iota और जो हमारा imaginary part है, यानि कि 3 plus 5, तो यह हो जाएगा 6 plus i8, तो यह हो जाएगा इन दोनों complex numbers का sum, simple है, बिल्कुल, सही है, अब देखते हैं कि जो addition है complex numbers का, इसके properties क्या-क्या होती है, जिस तरह से जब हम real numbers पढ़ते थे, तो हम बहुत सारे properties की बात करते थे, right, commutative property तो देखते हैं कि क्या वो सारी properties complex numbers के addition के लिए true होती है, तो शुरू करेंगे closure property से या फिर closure law से, जो कहता था कि sum of two real numbers is always a real number, ठीक उसी तरह से sum of two complex numbers is always a complex number, यानि कि ये दो complex number को अगर हमने जोड़ा, तो जो हमें मिला 6 plus i8, ये भी एक complex number है, अच्छा बच्चों एक disclaimer पहले ही दे देती हूँ कि मेरी यह आदत है कि मैं इस I को हमेशा I I करके ही पढ़ती हूँ ठीक है तो I जो है ideally इसे कहा जाता है IOTA तो आप इसे कैसे पढ़ेंगे 6 plus IOTA 8 ठीक है ना तो यह हो गया closure अगला आता है commutative law वो क्या कहता है कि Z1 plus Z2 is equal to Z2 करता है पहला number plus दूसरा number is equal to दूसरा number plus पहला number जैसे कि अगर हम इसी example में देखें तो हम कह सकते हैं कि 2 plus i3 plus 4 plus i5 ये जो है this will be equal to 4 plus i5 plus 2 plus i3 ये दोनों चीज़ें बराबर ही तो है क्योंकि जब हम इने जोडेंगे दोनों ही case में मुझे 6 plus i8 मिलेगा right तीसरा property associative law, जो की कहता है Z1 plus Z2 plus Z3 is equal to Z1 plus Z2 plus Z3, इसको भी अगर हम चाहें इसी example में use करके देख सकते हैं, और हम देखेंगे कि दोनों case में same result आएगा, मान लेते हैं हमारे पास 3 complex numbers हैं, एक तो है 2 plus iota 3, दूसरा है 4 plus iota 5, इनको पहले add कर लिया, फिर इनके साथ हमने add किया 1 plus iota, तो according to this property this should be equal to 2 plus iota 3 plus bracket के अंदर 4 plus iota 5 plus 1 plus iota ठीक है और यह भी true होता है अगर आप चाहे तो इसको आप खुद से solve करके देखिए left hand side is equal to right hand side आएगा ठीक है अगला property होता है additive identity additive identity मतलब कोई एक ऐसा number जिसे अगर हम complex number के साथ add करें तो हमें वापिस वही complex number मिल जाएगा, और ऐसा identity क्या है, zero, complex number के साथ अगर हम zero add करते हैं तो हमें वापिस zero ही मिल जाता है, zero क्या है, zero को अगर हम complex number के form में लिखें तो zero is basically zero plus iota zero, वही तो है, right, उसके बाद additive inverse यानि कि एक ऐसा number जिसे जब हम complex number के साथ add करते हैं तो उसका sum होता है 0, तो additive inverse हमेशा जो हमारा given complex number है उसके हम sign को अगर बदल दें, वो अगर plus है तो हम minus कर दें, वो अगर minus है तो plus कर दें, तो उस तरह से हमें उसका additive inverse मिलता है, ठीक है, मान लेते हैं कि हमारे एक complex number दिया हुआ है 2 plus iota 3 तो इसका additive inverse क्या होगा? तो additive inverse निकालने के लिए हम क्या करते हैं? जो इनका sign है उसे हम पलट देते हैं यानि कि हम 2 को क्या बना देंगे? minus 2, iota 3 को बना देंगे minus iota 3 अब हम देखेंगे कि Z और उसके additive inverse को अगर हम add करते हैं तो हमें क्या मिलेगा? 0 तो हम कह सकते हैं कि minus 2 minus iota 3 is the additive inverse of 2 2 plus iota 3, ठीक है, यहां तक clear है, अब बात करते हैं difference of 2 complex numbers, यानि कि subtraction कैसे करते हैं, यहां भी assume करते हैं कि हमारे पास एक complex number है Z1, जो की है A plus iota B, दूसरा complex number है Z2, जो की है C plus iota D, अब अगर हमें इन दोनों का difference निकालना है, यानि कि Z1 minus Z2 निकालना है, तो कैसे निकालेंगे, ठीक उसी तरीके से हम real parts को एक तरफ कर लेंगे, और imaginary parts को एक तरफ, तो यहाँ पे real parts हो जाएगा a-c, और imaginary parts हो जाएगा b-d, तो यह हो जाएगा हमारा difference, ठीक है, एक example लेके देखते हैं, मान लेते हैं जो दो complex numbers दिये हुए हैं, वो है 6 plus iota 3, और इसमें से subtract करना है 2 plus iota, real parts को एक तरफ, यानि कि 6-2 plus iota, 3-1, यहाँ पे minus iota मतलब, 1 iota, तो यह हो जाएगा 4 plus 2 iota, यह हो जाएगा हमारा difference of the two complex numbers, अब बात करेंगे multiplication की, multiply कैसे करेंगे भाई, मान लेते हैं, एक हमारा complex number है z1, जो की है a plus iota b, और दूसरा है z2, जो की है c plus iota d, अब मुझे multiply करना है यानि कि Z1 Z2 निकालना है तो यह क्या हो जाएगा A plus iota B into C plus iota D तो इसको normal तरीके से multiply करके देखते हैं जैसे A into C plus iota into A into D plus iota into B into C plus iota into iota into B into D तो करके देखते हैं यह हो जाएगा AC plus iota AD plus iota BC प्लस आयोटा स्क्वेर बी डी, तो यह हो जाएगा AC प्लस आयोटा इंटू AD प्लस BC, अब आयोटा स्क्वेर की जो वैल्यू होती है, यह होती है माइनस वन, तिक है, ऐसा क्यों, क्योंकि हमें पता है कि आयोटा क्या होता है, उसकी जगा minus 1 डाल देंगे, तो यह हो जाएगा minus BD, ठीक है, तो यहाँ पे क्या हो रहा है, AC minus BD, जो की real part है, plus IOTA into AD plus BC, तो यह हो जाएगा multiplication, अब इसे याद करनी की कोई ज़रूरत नहीं है, यह जो मैंने example लिया, इस technique से आपको पता चल गया है, कि multiply करते कैसे है, क्योंकि यू शुट जस्ट नो द प्रोसेस थे था उडू वी मल्टिप्लाई टू कॉंप्लेक्स नंबर्स क्योंकि बड़े-बड़े क्वेश्चन सॉल्व करने में यह काम आएंगे ठीक है तो एक एग्जांपल लेकर देखते हैं तो मान लेते हैं हमारे पास एक कॉंप्लेक्स नंबर है 3 प्लस आयोटा 5 और दूसरा है 2 प्लस आयोटा 6 ठीक है तो इसका अगर प्रोडक्ट निकाल हम देखते हैं अगर हम इसमें डाल देंगे इनकी वाल्यूज तो हमें मिल जाएंगी यानि कि एसी माइनस बीडी तो ए है यह और सी है यह तो यह हो जाएगा AC-BD प्लस आयोटा इंटू AD प्लस BC यानि की 3 इंटू 6 प्लस 5 इंटू 2 तो यह आएगा माइनस 24 प्लस 28 आई तो यह हो जाएगा मट प्रोडक्ट ऑफ दीस टू कॉंप्लेक्स नंबर अब जैसे कि मैंने बताएं अब जहां हम multiplication की बात करते हैं तो यहाँ पर फिर से कुछ properties हैं जो यह follow करती हैं जैसे पहला तो closure property जो कहता है कि 2 complex number का product हमेशा 1 complex number ही होगा दूसरा है commutative property जो कहता है कि z1 into z2 is equal to z2 into z1 चाहे हम z1 को पहले लिखे या बाद में लिखे उनका product जो है वो same ही रहेगा associative law जो कहता है कि z1 into z2 x z3 is equal to z1 x z2 x z3, तो यह उसी तरह से जिस तरह से addition में है ठीक उसी तरह से उनके corresponding laws multiplication के लिए है, चोथा कहता है multiplicative identity यानि कि एक ऐसा number जिससे multiply करने से हमारी जो value है वो वापिस से वही complex number आ जाती है, तो multiplicative identity क्या है, 1, तो 1 से जब हम multiply करेंगे तो हमें वापिस वही complex number मिल जाएगा, ठीक उसी तरह से multiplicative inverse का मतलब होता है, एक ऐसा number जिससे हम अगर उस complex number को multiply करेंगे तो हमारा result आएगा 1, तो इसे हम कहते है multiplicative inverse, तो जैसे अगर z मेरा complex number है, तो multiplicative inverse हो जाएगा 1 by z, या फिर इसे हम z to the power minus 1 भी लिखते हैं, तो कई बार आपको इस तरह के छोटे questions पूछे जा सकते हैं, sure नहीं है, कि find the multiplicative inverse of a given complex number, तो आपको multiplicative inverse निकालना पड़ेगा, and finally distributive law जो कहता है कि z1 into z2 plus z3 is equal to z1 z2 plus z1 z3, अब ये जितने भी laws मैंने बताया, चाहे distributive है, चाहे associative है, चाहे commutative है, अगर आप चाहे तो आप खुद से prove करके देख सकते हैं, you randomly consider, assume any two complex numbers Z1 and Z2, उनको आप A plus Iota B, C plus Iota D के form में लिख ले, और उसके बाद try to prove left hand side is equal to right hand side, so that will give you a better clarity. अब बात करेंगे division of two complex numbers, अगर हमारे पास two complex numbers हैं, Z1 और Z2, such that Z2 is not equal to 0, तो अगर हम Z1 divided by Z2 करेंगे, इसका actually मतलब है Z1 multiplied by 1 by Z2, तो Z1 by Z2 is actually multiplication of Z1 and 1 by Z2, ठीक है, एक example लेते हैं, थोड़ा और clear हो जाएगा, मान लेते हैं, एक complex number है Z1, जो है 2 plus iota 3, दूसरा complex number है Z2, जो की है 2 plus iota 2, ठीक है, अब अगर हमें Z1 by Z2 निकालना है, तो हम क्या करेंगे, हम कहेंगे Z1 multiplied by 1 by Z2, ठीक है, तो Z1 क्या है, 2 plus iota 3, ठीक है, और 1 by Z2 क्या है, 1 by 2 plus iota 2, तो अब हम क्या करेंगे, ये 2 plus iota 3 को ऐसी side में रहने देते हैं, एक चीज़ हमेशा ध्यान रखना है, कि जब कभी भी ये iota वाले terms denominator होते हैं, तो हमें पसंद नहीं आता है, तो हम क्या करते हैं, हम कर देते हैं इसे rationalize, यादे rationalize वाला concept, जब हम rational numbers, irrational numbers पढ़ रहे थे, तब उपर नीचे दोनों को 2 plus root 3 से multiply कर देते थे ताकि हमें नीचे जो है ना वो root 3 से छुटकारा मिल जाए, ठीक उसी तरीके से ये imaginary वाला component हमें denominator में नहीं चाहिए, ठीक है, तो इसलिए यहाँ पर हम क्या करेंगे, हम उपर नीचे हमारे पास है 1 by 2 plus iota 2, तो a plus b into a minus b वाले form मिल 2 plus iota 3 इधर हो जाएगा 2 minus iota 2 divided by a plus b into a minus b तो यह हो जाएगा a square minus b square ठीक है तो बाकी की calculation हमें side करते हैं तो फिर यह हो जाएगा 2 plus iota 3 2 minus iota 2 divided by 4 माइनस i square होता है माइनस 1 तो ये प्लस हो जाएगा प्लस 4 तो ये अब उपर को थोड़ा simplify कर लेते हैं 2 into 2 4 minus 2 into 2 into iota that is iota 4 plus 3 into 2 6 into iota और minus iota square 6 divided by 8 तो ये हो जाएगा 4 plus 2 iota i square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा plus 6 divided by 8, तो यह हो जाएगा 10 plus 2 iota by 8, यानि कि 5 plus iota by 4, तो इसे हम कैसे लिख सकते हैं, a plus iota b के form में 5 by 4 plus 1 by 4 iota, तो divide करने पे हमें यह answer मिलेगा, तो इस तरीके से हम करते हैं complex numbers के division, अब बात करेंगे power of iota की, यह बहुत interesting है, तो अभी तक हमने क्या देखा कि iota की value क्या होती है root over minus 1, कभी काल नहीं, actually जब भी हम complex numbers के algebra को solve करेंगे, कभी i square आएगा, कभी iota cube आएगा, कभी iota to the power 4 आएगा, तो it's very difficult कि उनकी values क्या होंगी, तो iota square क्या होगा, root over minus 1 का whole square, यानि कि minus 1, अगर हम बात करें iota cube की, तो iota cube क्या है, iota square into iota, तो iota square क्या है, minus 1, और iota तो iota ही है, तो iota cube हो जाएगा minus iota, अगर हम बात करें iota to the power 4 की, तो यह है iota square multiplied by iota square, यानि कि minus 1 multiplied by minus 1, यानि कि plus 1, तो हम देखते हैं कि iota की जो power है ना इनकी जो possible values है वो क्या क्या है minus 1 plus 1 minus iota plus iota ये सारी इसकी possible values है ठीक है अब कब कौन सी values होती है in general हम क्या लिख सकते हैं जब भी iota to the power 4k इस form में कुछ भी हो तो इसका value होता है plus 1 जैसे कि iota to the power 4 या फिर iota to the power 8, iota to the power 16 इन सब की value होगी 1 अगर iota to the power 4k plus 1 form में हो यानि कि जैसे iota to the power 5 अगर इस form में हो तो answer होगा हमेशा iota, जैसे iota 5 to the power 5 तो होगा i, या फिर iota to the power 9 तब भी होगा i. तो हमें बिना calculate किये ही हम बता सकते हैं सिर्फ ये देखके जो power है वो किस form में है अगर जो power है वो iota to the power 4k plus 2 form में है तो होगा minus 1 और अगर वो iota to the power 4k plus 3 form में है तो वो होगा minus iota अगर ये चीज अगर हमें पता है तो हमें randomly iota to the power कुछ भी दिया हुआ रहे हम फटाक से निका एक randomly question पूछती हूँ, अगर मैं आपसे पूछूं कि iota to the power 50 क्या होगा, आप कैसे बताओगे, आपको सारा दिमाग लगाना है इस 50 पे, 50 को हम कैसे इन forms में लिख सकते हैं, तो 50 को सबसे पहले हम 4 से divide कर देंगे, तो हमें क्या पता चलता है कि 4 into 12 जो है, वो इसका nearest ब्रेक अप है तो 50 को हम क्या लिख सकते हैं 4 x 12 that is 48 plus 2 यानि कि ये कौन से form में है 4k plus 2 और 4k plus 2 वाले form का अंसर क्या होता है minus 1 तो इसलिए iota to the power 50 हो जाएगा minus 1 तो हमें calculate करने के भी ज़रूरत नहीं है एक और example लेते है मान लेते हैं मैं आप से पूछती हूँ iota to the power 69 कितना होगा तो सबसे पहले क्या करेंगे 69 को जो है हम 4 से डिवाइड कर लेंगे, तो 4 1's are 4, बचेगा 29, 4 7's are 28, बचा 1, ठीक है मतलब जो nearest चीज़ से हम इसे multiply कर सकते हैं, वो है 17, तो यानि कि iota to the power हम क्या लिख सकते है, 4 into 17 तो हो जाएगा 68 plus 1, ठीक है, क्यों हमें क्या बता है, dividend is equal to divisor into quotient, प्लस रिमेंडर तो वही हमने किया है dividend की जगह हमने लिख दिया है diviser into quotient प्लस रिमेंडर तो अब ये किस form में है ये 4k प्लस 1 form में है और 4k प्लस 1 का form जब रहता है तो answer होता है I तो इस तरह से हम ऐसे questions within few seconds हम इनके answers बता सकते हैं, ठीक है न, करना क्या है, जो भी power हमें दिया है, उसे हमें 4 से divide करना है, और उसके बाद उस power के बदले हमें लिखना है diviser into quotient plus remainder, ये तो हमने बच्पन पढ़ा था right, कि dividend क्या होता है, dividend is equal to diviser into quotient plus remainder, तो बस उसी का ही हम use कर र जिस तरह से हमने real numbers के case में algebraic identities पढ़ी थी, जो हमें बहुत काम आती थी, जैसे कि a plus b whole square, a minus b whole square, a plus b whole cube, a minus b whole cube, a square minus b square, ठीक उसी तरीके से वो सारी identities complex नमपर हैं। नंबर के लिए भी ट्रू है जस्ट यहां पर हम एबी ना लिखकर वहां उस पर लिखते हैं जेड़ वन जेड़ टू क्योंकि कम प्लेक्स नंबर को हम डिनोट करते हैं जेड़ से राइट तो इसीलिए जो हमारे अब के एलजेब्रिक सेट ऑफ आइडेंटिटीज है क के लिए वह कुछ इस तरह से है तो Z1 plus Z2 का whole square अभी भी है Z1 square plus 2Z1Z2 plus Z2 square और ठीक उसी तरीके से बाकी सारे identities बिल्कुल वैसे के वैसे ही हैं और अब हम जल्दी ही देखेंगे कि किस तरह से इन सारे identities के help से हम अलग-अलग operations करते हैं complex numbers के ऊपर और उन्हें solve करते हैं तो अब है और मैथ में कुछ भी समझना तभी पूरा होता है जब हम कुछ क्वेश्चन सॉल्व करते हैं तो पेन और पेपर के साथ रेडी हो जाओ और लेट अ सॉल्व फ्यू क्वेश्चन्स क्वेश्चन नंबर वान थ्री इंटो सेवन प्लस आयोटा सेवन प्लस आयोटा इंटो स तो 3 x 7 प्लस आयोटा 7 को हम ऐसे लिख सकते हैं, 3 x 7 प्लस 3 x आयोटा 7, उसी तरीके से इसको हम लिख सकते हैं, आयोटा 7 प्लस आयोटा स्क्वेर इंटू 7 x 7, यानि की 49, सॉरी, 7 x 7 नहीं, आयोटा स्क्वेर इंटू 7 होगा, क्योंकि इधर तो 7 है ही नहीं, ठीक है न, तो य प्लस आयोटा 21 प्लस आयोटा 7 आयोटा स्क्वेर होगा माइनस वन तो यह हो जाएगा माइनस सेवन तो 21 माइनस सेवन 14 आयोटा 21 प्लस 7 21 प्लस 7 हो जाएगा आयोटा 28 तो यह हो जाएगा ए प्लस आयोटा बी के फॉर्म में सिंप्लीफाइड दूसरा वाला देखते हैं वन माइनस आयोटा टू द पावर फोर इसको हम कैसे लिख सकते हैं इसको हम लिख सकते हैं 1 minus iota whole square का whole square अब अंदर क्या है a minus b whole square यानि कि a square plus b square minus 2ab इस पूरे का whole square ठीक है तो iota square is minus 1 तो plus 1 minus 1 cancel हो गया यह हो जाएगा minus 2 iota का whole square तो minus 2 का whole square हो जाएगा 4 और iota square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा minus 4, तो इसको हम a plus iota b के form में कैसे लिख सकते हैं, minus 4 plus 0 iota, यादे जब हम real numbers पढ़ते थे, तो वहाँ पर हम बात करते थे modulus of a number की, तो जैसे हम किसी भी real number को mod के अंदर डाल देते थे, तो उसके बाद चाहे वो number पहले negative रहा हो या positive, mod के बाद डलने के बाद तो उसकी value positive ही होती थी, right? ठीक उसे तरीके से हम modulus of a complex number भी define करते हैं. अब complex number का general form होता है, वो होता है a plus iota b, तो अब इसका modulus जो होता है, वो एक real number होता है, और positive होता है, और इसकी value हम कैसे निकालते हैं, root over a square plus b square से, तो आप देखी सकते हैं कि root over a square plus b square जो है वो हमेशा एक positive number ही आता है और हम modulus of complex number को denote करते हैं कैसे? Z को हम डाल देते हैं mod के अंदर तो एक example लेते हैं find the modulus of minus 1 minus root 3i तो ये हमारा given complex number है तो given complex number मान लेते है Z है जो कि है minus 1 minus root 3i तो यहाँ पर एक ही value क्या है? minus 1, b की value क्या है minus root 3 ठीक है, ये values हमको दी वी है हमें क्या निकालना है modulus यानि कि mod of z और ये क्या होता है root over a square plus b square तो ये हो जाएगा root over minus 1 का whole square plus minus root 3 का whole square तो ये हो जाएगा root over 1 plus 3 that is root over 4 यानि कि 2 तो 2 हो जाएगा इसका modulus अब बात करेंगे conjugate of a complex number की conjugate क्या होता है तो अगर हमारे पास कोई भी complex number है z is equal to a plus iota b तो इसका conjugate एक ऐसा number होता है जिसके साथ जब हम z को multiply करते हैं तो जो result आता है वो एक real number होता है मज़ी की बात है तो ऐसा number कौन सा number होता है ऐसा number एक ऐसा number होता है जिसमें जो imaginary part है उसके sign को हम पलट पलट देते हैं जैसे अगर Z है A plus Iota B इसका imaginary part क्या है Iota B हम क्या करेंगे Iota B के sign को पलट देंगे तो हमारा इसका conjugate हो जाएगा A minus Iota B तो अगर given number है Z तो इसके conjugate को हम कैसे represent करेंगे Z उसके उपर बार ठीक है तो conjugate of Z is equal to A minus iota B अगर Z is equal to A plus iota B तो example देखते हैं और clear हो जाएगा complex number जो की है minus 1 minus root 3 iota अब हमें इसका conjugate निकालना है conjugate यानि की Z bar Z के उपर एक dash तो ये क्या हो जाएगा इसमें जो हमारा imaginary part होता है उसका sign हम पलट देते हैं तो real part वैसे ही रहेगा minus 1 but imaginary part हो जाएगा plus root 3i तो ये हो जाएगा हमारा conjugate तो conjugate निकालना is like बाई हाथ का खेल इसमें कुछ खास है ही नहीं तिके बट यहाँ पर हम एक interesting चीज देख सकते हैं जैसे कि अभी अभी हमने बताया कि अगर हमें किसी का भी multiplicative inverse निकालना हो जैसे अगर ये मेरा given complex number जैड है इसका अगर inverse निकालना हो या multiplicative inverse निकालना हो यानि कि ऐसा number जिसे अगर हम जैड से multiply करेंगे तो हमें 1 मिलेगा तो ये Z inverse हम कैसे निकालते हैं, हम कहते हैं कि Z inverse होता है conjugate of Z divided by mod Z का whole square, तो यहाँ पे चुकी एक example के साथ हम already काम कर ही रहे हैं, तो एक बार Z inverse निकाल के देख सकते हैं, तो conjugate of Z क्या हो जाएगा, minus 1 plus root 3i divided by mod Z, थोड़ी देर पहले हमने इसका modulus निकाला था, इसी same complex number का, और modulus निकाला था 2, तो 2 का whole square, तो यह हो जाएगा minus 1 by 4 plus root 3 by 4 iota, तो यह हो जाएगा z inverse, तो इस तरीके से जब कभी भी हमें एक complex number दिया हुआ हो और उसका inverse निकालना हो, तो हम इस तरीके से निकाल सकते हैं, find the multiplicative inverse of 4 minus 3i, तो यहाँ पर हमारा given complex number क्या है, 4 minus 3i, ठीक है, और हमें निकालना है Z inverse, Z inverse हम कैसे निकालते हैं, conjugate of Z divided by mod Z का square, ठीक है, conjugate of Z कैसे निकालेंगे, अगर Z ये है, तो conjugate of Z क्या होगा, सिर्फ imaginary part का sign change हो जाएगा, ये हो जाएगा 4 plus 3i, mod Z कैसे निकालेंगे, mod Z होता है root over a square plus b square, यहाँ पर a की value है 4, और b की value है minus 3, यह हो जाएगा 16 प्लस 9 यानि की root ओवर 25 यानि की 5 ठीक है तो अब हम यह वैल्यूज डाल देते हैं कॉन्जूगेट ऑफ जेड हो गया 4 प्लस 3 आई और नीचे मॉड जेड हो गया 5 का होल स्क्वेर तो यह हो जाएगा 4 बाइ 25 प्लस 3 बाइ 25 आई आयोटा यह हो जाएगा multiplicative inverse of 4-3 आयोटा Question number 2 देखते हैं, express in the form of a plus iota b, जो दिया हुआ है काफी complicated लग रहा है, but जैसा कि मैं हमेशा कहती हूँ कि वो दिखता complicated है, but वो होता नहीं है, थोड़ा ध्यान से अगर हम देखें जो इसका numerator है, वो a plus b into a minus b के form में है, तो a plus b into a minus b को हम क्या लिख सकते हैं, a square minus b square, यानि कि 3 square minus iota root 5 का whole square, अगर हम denominator को देखें तो brackets हटा देते हैं, तो क्योंकि काफी सारे terms similar जैसे हैं तो I think इसे हम further simplify कर पाएंगे, root 3 plus root 2i minus root 3 plus root 2iota, तो root 3 root 3 cancel हो जाएगा, तो numerator में हो जाएगा 9 minus 5 into i square, i square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा 9 plus 5 divided by 2 root 2iota, ठीक है जैसा कि मैंने पहले भी बताया था कि हमें कभी भी अच्छा यह हो जाएगा 14 by 2 root 2 iota up to 7s of 14 यह हो गया 7 by root 2 iota जैसा कि मैंने पहले बताया था कि हमें कभी भी iota जो है denominator में पसंद नहीं आता है, तो ऐसे case में हम क्या कहते हैं, करते हैं rationalize करते हैं, ताकि नीचे जो है iota root वाले terms ना रहें, तो इस case में हम क्या करेंगे, हम उपर नीचे दोनों को root over 2 iota से multiply कर देंगे, तो क्या होगा, numerator हो जाएगा 7 root 2 iota और denominator हो जाएगा 2 into iota square, iota square होगा minus 1, तो यह हो जाएगा minus 2, तो यानि कि ये हो जाएगा minus 7 root 2 by 2 iota, अब इसे हम a plus iota b के form में कैसे लिखेंगे, जो real part है वो यहाँ पर 0 है, क्योंकि ये पूरा तो imaginary part है, iota के साथ है, तो ये हो जाएगा 0 minus 7 root 2 by 2 iota, ये हो गया इसका a plus iota b का format, जहां हम complex numbers की representation की बात करते हैं, तो हम इसे दो तरीके से represent करते हैं, एक तो हम इसे argant plane या फिर complex plane में represent कर सकते हैं, और दूसरा होता है इसका polar representation, तो चलिए इन दोनों चीजों को अच्छी तरह से समझते हैं, क्योंकि इस पूरे चाप्टन में यही वो पाट है, जहां पर अध अगर आप complex number के general form को देखें तो ये कैसा होता है? A plus iota B यानि कि इसके अंदर एक real component भी होता है एक imaginary component भी होता है तो इसलिए इसे geometrically represent करने के लिए हमने क्या सोचा? कि अच्छा idea रहेगा कि अगर हम इसे एक plane में represent करें जहाँ पर एक x-axis हो एक y-axis हो तो x-axis को हम real axis मान लेते हैं तो real component को हम x के along represent करेंगे y-axis को हम imaginary axis मान लेते हैं और y-axis के along हम imaginary component को represent करेंगे तो यह अच्छा idea रहेगा तो अब उससे क्या होगा कि इस पूरे plane में मैं randomly किसी भी point पे mark करूँ तो वो point एक complex number है तो every point on this plane is a complex number कोई सा भी point और हर एक point का corresponding एक x coordinate होगा जो की उस complex number का real component होगा और हर एक point के along एक y component होगा जो की उस complex number का imaginary component होगा माल लेते हैं कि ये argon plane पे दो points हैं एक point है p जिसके coordinates है 2, 3 इसका मतलब है p जो है एक ऐसे complex number को represent करता है जो है 2 plus iota 3 वही अगर एक दूसरा point है q जिसके coordinates है 3,2, इसका मतलब है Q एक ऐसे complex number को represent करता है, जो है 3 plus iota 2, तो इससे हमें यह पता चलता है, कि जैसे ही यह x, y के order पलट जाते हैं, यानि कि 2, 3 जैसे ही 3, 2 हो जाता है, तो वो एक completely अलग complex number को represent करता है, हम कुछ points को इस graph में plot करते हैं, मतलब जो हमारा argant plane है, या complex plane है, हम देखते हैं किस तरीके से, जब हमें एक complex number दिया होता है, जैसे कि 2 plus iota 3, तो हम इसे कैसे plot करेंगे, 2, जो real part है, वो real axis में होगा, real axis हमारा है x axis, और imaginary axis है y axis, तो real axis पे कितना है, 2, तो यानि कि real axis पे 2, और imaginary axis पे 3, तो ये वाला point हो जाएगा, 2 plus iota 3, एक example और लेते है, 4 plus iota 5, 4 real axis पे, यानि के x axis पे, और 5 imaginary axis, यानि के y axis पे, तो ये point हो जाएगा 4 plus iota 5, अगर हम बात करें 3 minus iota 2 की, तो 3 हो जाएगा real axis पे, positive x axis पे, और minus 2 iota है, तो यानि के minus 2 हो जाएगा y axis पे, तो ये हो जाएगा 3 minus iota 2, और उसी तरीके से अगर minus 4 minus iota 4 रहे, तो minus 4 x-axis पे, और फिर minus 4 y-axis पर भी, ठीक है, तो ये point हो जाएगा minus 4 minus iota 4, ठीक है, तो इस तरीके से हमें अगर x और y coordinates पता है, तो हम उन complex numbers को argon plane या फिर complex plane पे plot कर सकते हैं, ठीक है, यहाँ पर एक और चीज हम नोट करते हैं कि अगर हमें इन complex numbers का modulus निकालना हो, जैसा कि हम निकाल रहे थे अभी तक, right, modulus क्या होता है, root over a square plus b square, तो इस graph को देखते हुए, graphically आपको पता है modulus क्या होगा, modulus होगा इस point का distance from the origin, जैसे कि अगर हम 2 plus iota 3 की बात करें, तो इ origin से लेकर इस point का जो ये distance है, ये हो जाएगा modulus, उसी तरह इसकी बात करें तो ये हो जाएगा modulus, इसकी बात करें तो ये हो जाएगा modulus, तो इस तरीके से हम graphically इनके modulus भी निकाल सकते हैं, so modulus of the complex number is distance between the point P to the origin O, ठीक है, clear हो गया यहां तक, अब हम बात करेंगे polar representation of complex numbers, तो complex number के polar representation में हम क्या अलग करने वाले हैं, अभी तक हमने देखा था कि हम complex number को इस plane में कैसे represent कर रहे थे, x और y coordinate के basis पे, but polar representation में हम coordinates को भूल जाएंगे, हम x coordinate क्या है, y coordinate क्या है इस पे ध्यान नहीं देंगे, फिर हम ध्यान देंगे, ध्यान किस पर देंगे हम सर्फ इस पर ध्यान देंगे कि हम किस पॉइंट की बात कर रहे हैं इस प्लेन पर मान लेते अगर हम पॉइंट पी की बात कर रहे हैं तो पॉइंट पी जो है वह ऑरिजन से कितनी दूरी पर है यानि कि आर यह आर हमारा एक फैक्टर होगा जिसके बेसिस पर हम इसे पोलर रिप्रेजेंटेशन देंगे ठीक है और दूसरा फैक्टर हमारा क्या होगा दूसरा फैक्टर हमारा यह होगा कि यह आर जो है यह पॉजिटिव एक्स एक्सिस से कितना ओरियंटेशन पर है कितना एंगल बना रहा है यानि कि थीटा तो पोले रिप्रेजेंटेशन जो हम करते हैं वो हम इन दो चीजों के तो हम कह सकते हैं कि x is equal to r cos theta and y is equal to r sin theta. और उस तरह से हम यह भी कह सकते हैं कि जो हमारा complex number है, जिसको हम यह इस case में, इस graph में कहते हैं x plus iota y, उसे हम क्या कह सकते हैं r cos theta plus r sin theta iota. तो यह हो जाएगा हमारा polar representation. तो polar representation के लिए दो चीज़ें important हैं, r, और थीटा, तो अब देखते हैं कि R क्या है, R बेसिकली है क्या, अभी थोड़ी देर पहले हमने देखा था, कि ये ओरिजिन से लेकर के point P का जो distance होता है, ये बेसिकली क्या होता है, modulus of complex number, तो इसका मतलब R और कुछ नहीं, बलकि complex number का modulus है, तो R तो चलो आसान हो गया, पर थीटा, थीटा को हम कहते है argument of Z या फिर amplitude of Z, तो इसे थोड़ा और बारिखी से समझने के ज़रूरत है, तो चलिए थोड़ा और समझते हैं थीटा के बारे में, अच्छे से समझते हैं कि argument of Z या फिर amplitude of Z होता क्या है, तो ये basically होता है थीटा, यानि कि the angle between the positive real axis and the line joining the point to the origin, मतलब मान लेते हैं कि ये जो point P है, this represents a complex number in the argant plane, क्योंकि argant plane पे हर एक point एक complex number को denote करता है, तो मान लेते हैं एक वैसा ही point है, यह point P, तो यह point P को जब हम origin से join करते हैं इस line से, तो यह line positive x axis के साथ जो angle बनाता है, उस angle को हम कहते है theta यानि argument of Z, तो यह होता है argument, तो इसे हम measure कैसे करते हैं, जो कि यह एक angle है, तो इसे हम radians में measure करते हैं, अब एक बहुत basic सी बात जो हमने पहले भी पढ़ रखी है, कि जब भी हम theta को clockwise direction में measure करते हैं, इस direction में हम जब भी theta को measure करते हैं, तो मेरा theta क्या होता है, negative, जब भी हम theta को anti-clockwise direction में measure करत पॉजिटिव यह तो हमने पहले पढ़ा करेंगे एंगल्स को जब हम एंटी क्लॉक वाइज मेशर करते हैं तो वह पॉजिटिव होता है जैसे इस एक्सेस से प्लॉक वाइज मेशर करने लगे इस तरीके से तो वह क्या होगा वह नेगेटिव होगा तो यह हमें ध्यान में रखना है इस वाले कॉनसेप्ट को अब इस बेसिक कॉनसेप्ट को दिमाग में रखते हुए हम कुछ सिनारियोस लेते हैं जहां पर जो हमारा position पे located है आर्गंट plane में ठीक है पहले case में जो पहले case में जो complex number है वो point P पे है यहाँ पर तो इसलिए इसका जो theta है वो हो जाता है plus theta ठीक है बदल इसका जो argument है वो theta है दूसरे case की अगर हम बात करें तो यहाँ पर हमारा complex number यहाँ पे है तो इस case में theta क्या हो जाएगा positive x axis के साथ यह line जो angle बनाता है यानि कि यह वाला theta ठीक है तीसरा case लेते हैं कि मान लेते हैं कि यह complex number यहाँ पर located है, तो फिर इसका जो line है origin से वो यह हो जाएगा, अब यहाँ पर जो है हमारे पास दो cases हो सकती है, एक हो सकता है कि हम theta को इस तरह से clockwise direction measure करें positive x axis से, दूसरा option है कि हम positive x axis से इस तरह से anti-clockwise direction में measure करें, तो अगर हम anti-clockwise direction से measure करेंगे, तो यहाँ पर हमें positive value में कोई theta की value मिलेगी, इसे हम कह सकते हैं 2 pi minus theta, अगर if this is theta, तो यह वाला angle क्या हो जाएगा, यह हो जाएगा 2 pi minus theta, और अगर हम चाहें तो हम इधर से, यानि कि, कि क्लॉक वाइज डिरेक्शन में मेजर कर सकते हैं और यह बन जाएगा प्लस थीटा ठीक है उसी तरीके से अगर चौथे वाले केस में भी देखें तो पी यहां पर है एक ऑप्शन है कि मैं यहां से ऐसे एंटी क्लॉक वाइज घूम के इस थीटा मेजर करूं दूसरा ऑप्शन है कि मैं डिरेक्ट यहां से इसे क्लॉक वाइज मेजर करके बता द� तो अब ऐसे scenarios में it is important, अब गलत तो कुछ भी नहीं है, हम clockwise भी measure कर सकते हैं, theta को हम anticlockwise भी measure कर सकते हैं, लेकिन अच्छा ही रहेगा कि अगर हम एक convention set कर लें, कि हमारा ये जो argument रहेगा, ये किस range में रहेगा? तो basically what we understand is कोई भी एक interval of length 2π, कोई भी 2π length का interval के अंदर जो है, we will get one value of θ, as in अगर हम 0 to 2π लेते हैं, तो 0 to 2π का जो ये interval है, it corresponds to one value of θ, क्योंकि 2π के बाद जब वो repeat होने लगता है, तो फिर वही वही θ की values वापिस से repeat होने लगती है, right, तो हम कोई भी एक ऐसा interval ले सकते हैं, जो 2π length का हो चाहे वो 0 to 2π हो चाहे वो minus πाई to plus πाई हो तो हम ऐसा कोई भी interval ले सकते हैं तो अब convention के तौर पे हमने कहा कि जो argument of z है उसका जो principal range होगा जिसे हम कहते है principal argument of z वो किस range में होगा वो होगा minus πाई और plus पाई के बीच में यानि कि minus पाई less than theta is less than equal to plus पाई ठीक है, तो इसका मतलब क्या हुआ, इसका मतलब हुआ कि अगर हमारी कोई भी value पाई से कम में है, यानि कि first quadrant और second quadrant में कोई भी value है, तो हम कैसे measure करेंगे, तो हम इस तरह से anti-clockwise जाके measure करेंगे, अगर quadrant 3 या 4 में है, तो हम इस तरीके से clockwise जाके negative में measure करेंगे, ठीक है न, clear हो ग किसी को कोई doubt नहीं है इसमें ज्यादा confused नहीं होने का ज्यादा कुछ खास concept नहीं है simple सा चीज़ है जो बाते आपको याद रखनी है वो यह है कि theta क्या होता है positive x-axis के साथ ये वाली line क्या angle बना रही है इस angle को हम दो तरीके से measure करेंगे अगर ये quadrant 1 या 2 में है तब तो हम इसे इस तरह से anti-clockwise measure करेंगे अगर ये quadrant 3 या फिर 4 में है तो उस case में हम इसे clockwise direction में जाके measure कर लेंगे, यानि कि minus theta के form में हम इसे measure कर लेंगे, तो ये minus pi to plus pi इसको हम कहते है principal argument of z, यानि कि अगर question में हमें mention नहीं किया हुआ है कि argument of z जो है, यानि कि theta जो है वो कहां lie कर रहा है, अगर किसी question में में mention किया हुआ है कि theta जो है वो 0 to 2 pi के बीच में lie कर रहा है, तब तो हमें वही मान के चलना पड़ेगा, बट अगर किसी question में theta का वो range नहीं दिया हुआ है, तो फिर by default हम उसे minus pi less than theta less than equal to plus pi मान के चलेंगे, तो चलेंगे देखते हैं question number 1, represent the complex number z is equal to minus 1 plus i in the polar form, तो सबसे पहले तो, polar form का मतलब क्या होता है, general जो polar form का expression है, उसको हम लिख लेते हैं, ताकि हमें पता रहे हैं कि भाई हमारा target क्या है, तो polar form में हम कैसे लिखते हैं, किसी भी complex number को, r cos theta plus i sin theta, तो इस तरीके से हम लिखते हैं polar form में, ठीक है, अब इसके लिए हमें कौन सी चीज़ें चाहिए, हमें r mod of this function that is modulus of complex number वो होता है r तो r तो हम आसानी से निकाल सकते हैं कैसे r क्या होता है modulus of the complex number तो जो की होता है root over a square plus b square अब यहाँ पर जो complex number दिया हुआ है उसको देखके हम कह सकते हैं कि a की value है minus 1 और b की value है 1 क्योंकि a plus iota b के form में है ये ठीक है तो यह वाली values इसमें डाल देते हैं, तो यह हो जाएगा root over 1 plus 1, यानि की root over 2, तो r की value तो हमें बता चल गई, तो चलो आधा चीज तो हमने solve कर लिया, अब हमें निकालना है theta की value, theta की value कैसे निकालेंगे, हम क्या करेंगे, यह जो हमने equation लिखा है polar form में, इसको जो है हमारे given expression स and r sin theta is equal to 1, क्योंकि i को तो हटा दो, i का coefficient इधर क्या है, 1 और इधर क्या है, r sin theta, ठीक है, अब r की value root 2 हमें पता है, तो फिर cos theta हो गया minus 1 by root 2, और sin theta हो गया 1 by root 2, तो अब हम यहाँ पर क्या देखते हैं, हम देख रहे हैं कि sin theta की value क्या है, sin theta है positive और cos theta है negative, तो अगर हम अपने वोही quadrant system को याद करें, जो हमने trigonometry में पढ़ा था, तो हमने क्या पढ़ा था, कि quadrant 1, 2, 3 और 4 होते हैं, और अलग-अलग quadrant में अलग-अलग functions positive होते हैं, तो उसके यानि कि second quadrant में sine theta positive होता है बाकी negative होते हैं, तो यानि कि sine theta positive और cos theta negative कौन से quadrant में होगा, second quadrant में होगा, राइट, तो एक एकर के चीज समझो, तो अब हमें ये निकालना है कि थीटा कौन से क्वाडरेंट में है, तो इससे हमें पता चलता है कि जो थीटा है ये लाइज इन सेकेंड क्वाडरेंट, ठीक है, अब हमें थीटा की वाल्यू निकालनी है, किस क्वाडरेंट में है वहां लेकिन पाई बाई 4 कौन से कौडरेंट में है, फर्स्ट कौडरेंट में, तो हमको वो चलेगा नहीं, लेकिन हमें ये भी पता है, कि साइन ओफ पाई माइनस थीटा क्या होता है, साइन थीटा, और साइन और कॉस ओफ पाई माइनस थीटा क्या होता है, माइनस कॉस थीटा, वही सारी चीज़ों को use करके हम दूसरे concepts पढ़ते हैं, right, तो जिन लोगों ने trigonometry वाला video नहीं देखा है, वो ज़रूर देख ले, क्योंकि यह सारी चीज़ें मैं यहां नहीं explain कर रही है, ठीक है, यहां तक clear है, अब मुझे तो second quadrant में चाहिए भाई, तो इसलिए जो theta की value हो पाई बाई 4 क्योंकि अभी अभी तो मैंने लिखा था कि साइन पाई माइनस थीटा ही साइन थीटा तो साइन थीटा को हम साइन पाई माइनस थीटा भी लिख सकते हैं अब पाई माइनस पाई बाई 4 क्या हो जाएगा साइन औफ 4 पाई माइनस पाई डिवाइडेड बाई 4 ठीक है ना, तो हम क्या कह सकते हैं कि ये जो साइन थीटा था, जो 1 by root 2 के बराबर था, वो actually साइन 3 pi by 4 के बराबर है, therefore, थीटा is equal to 3 pi by 4, तो हमने भाईया थीटा का भी value निकाल लिया, R की value तो हम पहले निकाल चुके थे, अब हमने थीटा भी निकाल लिया, चलो फिर value डाल देते हैं तो हम कह सकते हैं कि polar form में z is equal to r यानि की root 2 cos theta यानि की cos 3 pi by 4 plus iota sin 3 pi by 4 है तो यह जो कंप्लेक्स नंबर हमें दिया हुआ है माइनस आई प्लस माइनस वन प्लस आयोटा उसको हम पोलर फॉर्म में ऐसे लिख सकते हैं ठीक है तो बेसिकली जब भी पोलर फॉर्म में निखना हो हमें दो चीजें करनी है तो आर की वाल्यू निकालनी है और दूसरा थीटा आज निकालना दो बहुत ही सिंपल है ठीक है रूट ओवर एस क्वेट्स थीटा निकालने के लिए हम cos थीटा और sin थीटा की value पहले निकालेंगे, फिर देखेंगे कि उनकी values, उनकी sign के हिसाब से, जो हमारी थीटा है, वो कौन से quadrant में fall करेगी, चीक है, एक बार वो पता चल गया, तो आप समझ लो कि आपने almost पूरा question solve कर लिया है, जैसे ही पता चल गया कि अच्छा चलो second quadrant में रहेगी, वहाँ पर हम trigonometry functions का use करके थीटा की value निकाल लेंगे, लेकिन हाँ यहाँ पर trigonometry के concept का use जरूर है तो चलो अगला question देखेंगे question number 2 convert the complex number minus 16 by 1 plus iota root 3 into polar form यहाँ पर तो complex number है वो in itself ही बहुत complicated सा लग रहा है और complicated क्यों लग रहा है क्योंकि denominator में ये root over iota ये सारी चीज़े हैं, तो हमारा पहला काम क्या है, denominator से इन सब को मार भगाना, exactly, और उसके लिए हम क्या करेंगे, इसको rationalize कर देंगे, यानि कि हम उपर नीचे जो है, इसके conjugate से multiply कर देंगे, 1 minus iota root 3, 1 minus iota root 3, तो ऐसा कर देने पे ये हो जाएगा, minus 16 into 1 minus iota root 3, और नीचे क्या हो जाएगा, a plus b into a minus b, यानि कि a square minus 3 iota square, तो iota square होता है minus 1, तो यह हो जाएगा 3 plus 1, तो यह नीचे 4 हो जाएगा, ऊपर minus 16, तो cancel हो जाएगा, तो यह हो जाएगा minus 4 into 1 minus iota root 3, तो यह simplify करके हम इसको इस form तक ले आए, तो अब इसको हम a plus iota b के form में लिख लेते, तो यह हो जाएगा minus 4 plus iota, 4 root 3 तो अब हमारा given complex number जो है वो basically इस form में है, तो सबसे पहले हमने इसी को simplify कर लिया, अब इसको हम equation 1 लिख देते हैं, अब इसके basis पे हम कह सकते हैं कि a की value क्या है minus 4, b की value क्या है 4 root 3, तो इन दोनों value के help से हम r की value निकाल सकते हैं, जो की होता है root over a square plus b square, यानि की root over a square हो जाएग यानि कि 8, तो जो mod of, modulus of this complex number है, यानि कि जो r है, उसकी value निकल गई 8, तो आधा question हमने कर दिया है, solve, अब क्या करना है, अब हमें theta की value निकालनी है, theta की value निकालनी के लिए क्या करेंगे, एक बार पहले तो polar form में हम कैसे express करते हैं, उसका general expression लिखेंगे, तो polar form में हम कह सकते हैं कि z is equal to r cos theta plus i, साइन थीटा तो अगर इस एक्सप्रेशन को हम हमारा जो गिवन एक्सप्रेशन है गिवन मतलब यह वन एक्सप्रेशन एक्सप्रेशन नंबर वन जो हम डिवाइट की है इसके साथ मैच करेंगे अगर इन दोनों को हम मैच करते हैं तो हम देखते हैं राइट हैंड साइड के रियल कंपोनेंट को हम इक्वेट कर सकते हैं यानि कि हम कह सकते हैं कि आर कॉस्ट थीटा इज एक्वेल टू माइनस फॉर आर साइन थीटा इज एक्वेल टू फॉर रूट थ्री ठीक है आर की वैल्यू है 8 तो cos theta हो जाएगा minus 4 by 8, यानि कि minus 1 by 2, उसी तरह sin theta हो जाएगा 4 root 3 by 8, यानि कि root 3 by 2, ठीक है, तो हम यहाँ पर क्या देखते हैं, कि cos theta की value जो है, वो है negative, sin theta की value है positive, तो sin theta positive, cos theta negative, बिल्कुल पिछले वाले question के जैसा ही है, यानि कि यह भी लाई करेगा हमारे second quadrant में, तो यहाँ पर भी theta कहां लाई करेगा, second quadrant पे, ठीक है, तो sin theta की value root 3 by 2 कब होती है, जब theta 60 degree होती है, लेकिन 60 degree lie करता है first quadrant में, और 60 degree क्या होता है, pi by 3, exactly, तो अगर हमें second quadrant में value चाहिए, तो हम क्या कहेंगे, हम कहेंगे कि sin pi by 3 को हम लिख सकते है, sin pi minus pi by 3, right, तो यानि कि हम लिख सकते हैं sin 3 pi minus pi by 3, यानि कि sin 2 pi by 3, ठीक है, therefore, theta की जो value है, वो हो जाएगी 2 pi by 3, sin pi by 3 कहां से आया, क्योंकि यह जो root 3 by 2, यह क्या है, root 3 by 2 is equal to होता है sin pi by 3, but pi by 3 हमको चलेगा नहीं, क्योंकि pi by 3 lie करेगा इस quadrant में, first quadrant में जो की नहीं चलेगा इस question के हिसाब से, so अब हमें theta की value भी मिल गई, जो की है 2 pi by 3, तो फिर हम लिख सकते हैं इसका polar form, तो फिर इसका polar form हो जाएगा, z is equal to 8 into cos 2 pi by 3, plus i sine 2 pi by 3, तो ये हो गया polar form of the given complex number, तो हर जगबस यही दो चीज़े करनी है पहले R निकालना है जो की modulus of Z है उसके बाद थीटा निकालना है हाँ तो हमने पढ़ लिया पूरा complex numbers लगभग at least जो भी हमें अभी के level पे पढ़ना था वो सब हमने पढ़ लिया है तो अब हम जाते हैं वापस वहीं पे जहां से हमारी कहानी शुरू हुई थी तो हमारी कहानी कहां से शुरू हुई थी? quadratic equations से क्योंकि हम कह रहे थे कि quadratic equation का जो third वाला case था ना जब discriminant less than 0 होता था वो हम solve भी नहीं कर पाते थे बिना complex numbers के तो अब तो complex numbers बता है तो जाओ जाके solve करो so let us look at few questions कुछ ऐसे quadratic equations solve करते हैं जहाँ पर d less than 0 है है तो quadratic equation क्योंकि जो variable का power है maximum power यहाँ 2 है but यह इतना simple equation है कि इसमें यह discriminant वाला formula use करनी के ज़रूरत ही नहीं है इसको हम directly लिख सकते हैं कि x square is equal to minus 3 तो x is equal to root over minus 3 root over minus 3 को हम क्या लिख सकते हैं root over minus 1 into 3 इसको ऐसे लिख ही सकते हैं root over minus 1 क्या होता है i अचलाब iota और उसके साथ root 3 तो x की value हो जाएगी iota root 3, basically plus minus iota root 3, ठीक है, तो हमने कर लिया equation solve, अगर आप चाहो just to verify, आप इस equation पे discriminant निकाल के उस तरह से भी अगर value निकालते हो तो आपको same answer मिलेगा, अब चलते है question number 2 की तरफ, solve x square minus x plus 2 is equal to 0, चलो इसमें हम discriminant वाला method यूज़ करते हैं, सबसे पहले coefficients द General form क्या होता है quadratic equation का, AX square plus BX plus C, तो A की value क्या है 1, B की value क्या है minus 1, और C की value क्या है 2, तो इन values के help से हम discriminant निकाल सकते हैं, तो इन values के help से हम discriminant क्या होता है, root over B square minus 4AC, तो B square हो जाएगा 1, माइनस 4 इंटू ए इंटू सी तो यह हो जाएगा 1 माइनस 8 यानि की माइनस 7 विच इज लेस दन जीरो इसका मतलब है इसके जो रूट सोंगे वह कैसे वाले रूट सोंगे इसके इमेजिनरी रूट सोंगे यानि की नो रियल रूट्स यहां तक तो हम पहले भी करते थे राइट अब यहां पर हम जो अलग करेंगे वह है कि हम एक्स की वाल्यू निकालेंगे जो कि है माइनस बी प्लस माइनस रूट ओवर डी करते थे पहले अब क्या है अगर हम चाहें तो हम directly इसको क्या लिख सकते हैं, एक option है ऐसे लिख सकते हैं, कि root over b square minus 4ac by 2 है, यह हमारा x होता है, अब इसको हम further क्या कर सकते हैं, अब चुकी यह पूरी चीज negative है, तो इसे हम क्या लिख सकते हैं, root over minus 1 into 4ac minus b square, क्योंकि ये वाला term छोटा है और ये term बड़ा है, इसलिए इनका जो difference आता है, वो negative में आता है, तो अगर हम इसे minus 1 से multiply कर दें, तो हम इसे ऐसे लिख सकते हैं, right, मैं आपको बता रही हूँ कि जो formula में change आया है न, वो कहां से आया है, वो बताने के लिए ही मैं ये घुमा के ल 4AC-B2, 4AC हो जाएगा 8, और B2 हो जाएगा 1, divided by 2A, यानि कि 2, minus B, B की value है 1, तो ये हो जाएगा 1 plus minus root over 7 iota by 2, यह हो जाएगी x की value, तो x के 2 possible values हो जाएगे, 1 plus root over 7 iota by 2, और 1 minus root over 7 iota by 2, तो इस तरीके से हम quadratic equation solve करेंगे, एक और question देखते हैं, इस तरह के question generally, कई बार, JEE के exams में भी आए हैं, तो देखते हैं हम इसे attempt कर पाते हैं कि नहीं, find real theta such that 3 plus 2 iota sine theta, बाई 1-2 आयोटा साइन थेटा is purely real, तो मैंने क्या बताया था कि complex number का जो general format होता है, वो होता है A plus आयोटा B, अगर ये pure real है, इसका मतलब क्या है, pure real होने के लिए B की value होनी परीगी 0, ठीक है न, तो इसका मतलब है, इस question में हमारा target क्या होगा, कि जो भी ये expression दिया हुआ है, और उसके बार b को 0 से equate कर देना है, ठीक है, तो पहला step क्या है, कि जो हमारे पास दिया हुआ है, यानि कि 3 plus 2 iota sine theta, divided by 1 minus 2 iota sine theta, इसको जो है, मुझे लिखना है a plus iota b के form में, तो सबसे पहले denominator से मुझे छुटकारा चाहिए, यह iota वले term से, और इससे छुटकारा पाने के लिए क्या करेंगे, इसके conjugate से multiply कर देंगे, उपर नीचे, तो 1 plus 2 iota sine theta, उपर भी हो जाएगा 1 plus 2 iota sine theta ठीक है तो फिर ये क्या हो जाएगा 3 plus 2 iota sine theta into 1 plus 2 iota sine theta divided by a minus b into a plus b तो a square minus b square तो b square हो जाएगा 4 sine square theta और i square हो जाएगा minus 1 तो इसको plus बना देते हैं ठीक है ना अब इसको क्या लिख सकते हैं अब इसको हम मल्टिप्लाई करेंगे जैसे 3 x 1 हो जाएगा 3 x 3 x 2 आयोटा साइन थीटा हो जाएगा 6 आयोटा साइन थीटा 2 आयोटा साइन थीटा इंटू वन हो जाएगा 2 आयोटा साइन थीटा इंटू आयोटा साइन थीटा इंटू आयोटा साइन थीटा यह हो जाएगा 4 आयोटा स्क्वेर साइन थीटा स्क्वेर अब आयोटा स्क्वेर माइनस वन है तो इसलिए इस प्लस को माइनस कर देते हैं डिवाइडेड बाई 1 प्लस 4 साइन स्क्वेर थीटा तीके तो ऊपर हम इसे लिख सकते हैं 3 प्लस 8 आयोटा साइन थीटा माइनस 4 साइन स्क्वेर थीटा डिवाइडेड बाई 1 प्लस 4 साइन स्क्वेर थीटा तीके अब हम देखते हैं कि इसे अब तो और फर्दर सिंप्लि� तो real terms क्या है 3 minus 4 sine square theta और imaginary term है iota into 8 sine theta ठीक है इसका भी denominator हो जाएगा 1 plus 4 sine square theta इसका भी denominator हो जाएगा 1 plus 4 sine square theta तो general expression के हिसाब से ये पूरा जो है ये हमारा A की तरह है plus iota और ये पूरा जो है ये हमारा B की तरह है ठीक है तो according to हमारा logic जो है कि ये question कहते है कि इसे purely real होना चाहिए, तो उस हिसाब से according to question b की value 0 होनी चाहिए, therefore 8 sin theta divided by 1 plus 4 sin square theta, इसकी value होनी चाहिए 0, तो इसका मतलब है कि sin theta की value होनी चाहिए 0, तो sin theta 0 कब होती है, जब theta की value होती है n pi, for all n belongs to z, तो थीटा की value हो जाएगी n पाई तो अगर आप इस question को देखे ये मुश्किल तो बिल्कुल भी नहीं है, just that ये जो expression दिया हुआ था ना, complex number का, देखके थोड़ा complicated लग रहा था, बग अगर आप ठंडे दिमाग से इसको step by step calculate करोगे तो ये मुश्किल तो बिल्कुल भी नहीं है, ठीक है ना, चलो फिर एक और तो जो हमारा given complex number है, वो है minus 6 minus 24 iota, और कहा जा रहा है, कि ये जो दिया हुआ है, ये इसका conjugate है, अब ideally इसका conjugate क्या होना चाहिए, minus 6 plus 24 iota, क्योंकि conjugate निकालते समय हम क्या करते हैं, जो imaginary term है, उसका खाली sign change कर देते हैं, तो इसका मतलब question के हिसाब से, ये जो दिया हुआ है, x minus iota y, into 3 plus 5 iota, this is equal to conjugate of z, यानि कि minus 6 plus 24 iota, इसका मतलब x minus iota y is equal to minus 6 plus 24 iota, divided by 3 plus 5 iota, ठीक है ना, तो अगर हम इस पूरे expression को x plus iota y के form में लिख देते हैं, तब हम left hand side और right hand side में x को equate कर सकते हैं, y's को equate कर सकते हैं, मतलब real terms को equate कर सकते हैं फिर imaginary terms को equate कर सकते हैं और ऐसा करने से पहले हमें क्या करना पड़ेगा इसके जो denominator में iota वाला term है उससे छुटकारा पाना होगा तो उपर नीचे multiply करेंगे 3-5 iota से तो हमें क्या मिलेगा उपर मिलेगा minus 6 plus 24 iota into 3-5 iota और नीचे मिलेगा a plus b into a minus b, यानि कि a square minus b square, अब iota square भी रहेगा, iota square is minus 1, तो ये plus हो जाएगा, ठीक है न, अब उपर का calculation करते है, minus 6 into 3 हो जाएगा, minus 18, उसके बाद हो जाएगा, minus 6 into minus 5i, ये हो जाएगा 30i, या iota, plus 24i into 3, ये हो जाएगा plus 72i, प्लस 24 आयोटा माइनस 5 आयोटा यह हो जाएगा प्लस 120 क्योंकि आई स्क्वेड इज इक्वल टू माइनस वन तो इससे माइनस माइनस प्लस हो जाएगा ठीक है डिवाइडेड बाइट 309 प्लस 55025 तो यह हो जाएगा 34 आगे की कैलकुलेशन इस तरफ करते हैं तो फिर इसकी वैल्यू क्या हो जाएगी इसकी वैल्यू हो जाएगी 102 आयोटा प्लस 102 डिवाइडेड बाइट 34 तो इसको हम क्या लिख सकते हैं, 102 by 34 plus 102 by 34 iota, अब इसको अगर हम cancel करें, तो 34 into 3 होता है 102, यहाँ पर भी वही, तो यह हो जाएगा 3 plus 3 iota, अब हम left hand side और right hand side को compare करते हैं, left hand side में throughout क्या था, x minus iota y, तो वो भी लिख लेते हैं हम, x minus iota y is equal to 3 plus 3 iota, तो अब real terms को equate कर सकते हैं, तो हम कह सकते हैं कि x is equal to 3, और अगर imaginary term के coefficient को equate करें, तो हम कह सकते हैं कि minus y is equal to 3, therefore y is equal to minus 3, तो values क्या हो जाएंगे, x is equal to 3 and y is equal to minus 3, तो इस तरह से हम complex numbers से related, कुछ complicated या हलके से twisted questions को हम इस तरीके से attempt कर सकते हैं, मुझे उम्मीन है कि आपको ये वीडियो पसंद आया होगा और आपको जैसा भी लगा है ये वीडियो आप प्लीज अपना फीडबाक मुझे कॉमेंट सेक्शन में बताएं क्योंकि यौर फीडबाक इस वेरी इंपोर्टेंट टू अस जिन बच्चों को नहीं पता है उन्हें मैं बता दूं कि हम एक सीरीज चला रहे हैं अभी जिसे हम कह रहे हैं क्लास 11th Maths के Crash Course वीडियो या फिर One Shot वीडियो जिसमें हम पूरा चाप्टर खतम कर रहे हैं एक वीडियो में हाला कि एक वीडियो में खतम कर रहे हैं बट हर बड� के साथ पढ़ा रहे हैं और इन वीडियो को देखने के बाद हमारा यकीन है कि सब को मैथ समझाएगा और सबको मैथ सॉल्व करने में बहुत मजा आने वाला है इसके अलावा जब आप क्वेश्चन्स खुद से सॉल्व कर रहे हैं अगर आप किसी भी क्वेश्चन में अटक जाते हैं आपके कुछ पे डाउट्स आते हैं तो आप इंडिविजुली परसनली अपने डाउट्स हमसे पूछ सकते हैं तो हमारा एक टेलिग्राम ग्रूप है लर्नोहब क्लास 11 जिसमें सिर्फ 11th क्लास के बच्चे जॉइन करते हैं और वो अपने सारे डाउट्स आते हैं doubts पूछ सकते कुछ भी किसी भी तरह की query questions सब पूछ सकते तो हमने अपने telegram group का link जो है वो description में दिया हुआ है तो आप उस group को भी join कर सकते हैं तो हमारी कोशिश यही है कि हमारे इस video series के साथ हम हर बच्चे के maths के डर को भगा सके ठीक है तो मुझे उमीद है कि ये जो मेरी उम जल्दी मिलूंगी एक नए वीडियो के साथ एक नए टॉपिक के साथ तब तक के लिए स्टे

हमने ये तो नहीं कहा था कि बट d less than 0 तो roots ही नहीं होगे हमने कहा था roots होगा but वो real roots नहीं होगा यानि कि roots जो है वो real number नहीं होंगे तो फिर कौन से नंबर्स होंगे इसका मतलब रियल नंबर्स के अलावा भी कुछ और तरह के नंबर्स होने चाहिए तभी तो वो वाली इक्वेशन सॉल्व हो पाएंगे तो बस इसीलिए उन इक्वेशन को सॉल्व करने के लिए आ गया है सारे नंबर्स का बाप जिसे हम कहेंगे कॉम्प्लेक्स नंबर्स तो सबसे पहले हम क्या देखेंगे कि किस तरह से कॉम्प्लेक्स नंबर्स आज तक हम जितने भी नंबर् इस तरीके से लिंक है तो देखते हैं कहाने की शुरुआत हुई थी नैचरल नंबर से जिसके अंदर थे 123 से लेकर कि इनफिनिटी तक सारे नंबर्स ठीक है फिर हमें लगा कि यार जीरो तो इसमें मिसिंग है तो जीरो भी रहना चाहिए तो इसे ही हमने जीरो को भी इनके साथ इंक्लूट कर दिया तो बन गया हमारा होल नंबर उसके बाद हमें लगा यार यह तो सिरुफ पॉजिटिव नंबर से तो negative numbers भी तो होने चाहिए, और जैसे ही हमने इन सब के साथ negative numbers को भी add कर दिया, जैसे कि minus 1, minus 2, minus 3, dot, dot, dot, dot, तो बन गए हमारे integers, अब जब integers आ गए, तब हमें लगा कि यार अभी भी काफी सारे ऐसे numbers हैं, जो included नहीं हैं, जैसे कि 2 by 3, 3 by 4, इस तरह के जो numbers हैं, ये तो हमने included नहीं किया है, right? तो यहां से बन गया हमारा rational numbers, rational numbers के अंदर सारे integers थो थे ही, in fact integers के अलावा भी काफी ऐसे numbers थे, in fact जो भी number P by Q form में था, जहांपे Q not equal to 0, वो सारे fall कर गए rational numbers पे, ठीक है, जब यहां तक पहुँच गए हमें लगा यार काफी numbers आ गए हैं अब हमारे पास, लेकिन इसके बाद भी हमने क्या notice किया, कि काफ़े सारे ऐसे numbers exist करते हैं, जो rational numbers नहीं हैं, जैसे कि root over 2, जैसे कि pi, ये जो values हैं, ये सारे, rational नहीं है, क्योंकि ये p by q, q not equal to 0 इस format में नहीं है, तो ऐसे numbers को हम कहते थे irrational numbers, तो rational और irrational numbers को साथ में मिला के हम कहते थे real numbers, तो ये था हमारा real number का system जो हम अब तक पढ़ते आ रहे थे, अब क्या हुआ? अब जो कि अभी मैंने बताया है कि जो quadratic equation पे जब हम फसे, कि यार real roots नहीं होगा, real roots नहीं होगा तो फिर कैसा roots होगा, real roots नहीं होगा तो फिर imaginary roots होगा, जैसे कि root over minus 1, root over minus 2, तो negative numbers के जो roots हैं ये कैसे होंगे, ये होंगे imaginary, यानि कि अब सिर्फ real numbers से काम नहीं चलेगा, अब imaginary numbers भी आ गए, तो real numbers और imaginary numbers इन सब को साथ में ले करके हम कहने लगे उन्हें complex numbers क्योंकि ये तो हमें समझ में आ गया था कि यार numbers simple नहीं है numbers में तो एक के बाद एक variety आते ही जा रही है तो इस तरह से आएं हम complex numbers तक की journey तक तो अब आपको समझ में आ गया होगा कि क्यों मैंने कहा था कि complex numbers जो है वो सारे numbers का बाप है तो अब अगर हम वापिस जाते हैं quadratic equation के उस वाले third scenario में जहांपर डिस्क्रिमिनांट की value less than 0 होती थी तो वहाँ भी अगर हम roots की value निकालने की कोशिश भी करते थे तो हम अटक क्यों जाते थे क्योंकि वहाँ पर हम कुछ ऐसे जगह पर फस जाते थे जिसमें हमें root over minus 4 निकालना पड़े या root over minus 5, root over minus 1 अब किसी negative number का square root हम कैसे निकाले इसका तो हमें idea नहीं था तो हम वहाँ पर अटक जाते थे और वहीं से कहानी शुरू हो रही है हमारे complex numbers की ठीक है तो हमने क्या बोला कि भाई root over minus 1 जो है actually हमने नहीं बोला मतलब mathematicians ने बोल रखा है कि जो root over minus 1 है ये है iota इसको हमने define कर दिया as iota जिसे हम denote करते है small letter के i से तो iota is equal to root over minus 1 अब जहां हमने इस चीज को define कर दिया अब पूरी की पूरी complex number की जो theory है ना वो चलेगी इस iota पे ठीक है तो अब चलिए हम define करते हैं complex numbers को mathematically कोई भी number in the form of a plus iota b जहांपर a और b are real numbers and iota is root over minus 1 कोई भी ऐसा number जो इस form में exist करें, A plus iota B, उसे हम कहेंगे complex number. अब चुकी मैंने अभी बताया ही था आपको, कि complex number जो है ना, बाकि सारे numbers का बाप है, यानि कि बाकि सारे numbers जो हैं, वो complex number के अंदर ही fall करते हैं.

तो अगर आप complex number की इस general format को थोड़ा ध्यान से देखो, तो इसमें एक real component है, एक real part है, एक imaginary part है. तो real part कौन सा वाला है? A. ए जो है वो real part है और जिस part में iota है वो imaginary part है क्योंकि iota क्या है iota को हमने imagine किया है right कि root over minus 1 is iota हमने imagine कर रखा है तो ये हमारा imaginary part है तो अब कुछ examples सोचते हैं complex numbers के जैसे कि 2 plus 3 iota complex number है बिल्कुल है क्योंकि ये a plus iota b के form में है 4 plus root over 3 iota complex क्योंकि ये भी A प्लस आयोटा B के फॉर्म में है 5 क्या ये complex number है? आप बोलोगे नहीं यार ये complex number नहीं है ये तो real number है 5 real number तो है उसे साब से तो 5 natural number है 5 whole number भी है 5 integer भी है 5 rational number भी है 5 real number भी है but 5 complex number है number भी है, क्यों?

क्योंकि 5 को हम complex number के general form में लिख सकते हैं, हम 5 को ऐसा लिख तो सकते हैं कि 5 plus iota into 0, क्योंकि iota into 0 तो 0 ही हो जाएगा, है की नहीं? तो 5 को भी हम A plus IOTA B के form में लिख सकते हैं और इसलिए 5 भी मेरा complex number है तो हम हर तरह के number को complex number के format में लिख सकते हैं तो यहां तक clear है कि complex number होता क्या है अब complex number के अंदर हम 3 cases की बात करते हैं और इस पे ज्यादा ध्यान देना engineering entrance exams होते हैं उनमें छोटे छोटे questions फ्रेंग फ्रेम हो जाते हैं इस कॉ तो मैंने क्या बताया कि complex number का format होता है a plus iota b, अगर कोई ऐसा number दिया हुआ हो such that b की value 0 है, तो वो number हमारा हो जाता है purely real, जैसे कि 5, अगर 5 को हम complex number की format में लिखना चाहें भी, तो हम क्या लिखेंगे, 5 plus iota into 0, यानि कि b की value 0 है, तो 5 क्या है, वो purely real number है, ठीक है? अगर कोई ऐसा complex number हो, जिसके अंदर एकी value 0 हो, तो वो हो जाएगा purely imaginary.

जैसे कि, जैसे माल लेते हैं, root over 3 iota. ये वाला जो number है, इसको अगर हम complex number के format में लिखें, तो कैसे लिखेंगे? 0 plus iota root 3. तो यानि कि एकी value 0 है, तो इसमें real component है ही नहीं, इसमें सिर्फ imaginary component है.

ठीक है और तीसरा case होता है imaginary प्यूर्ली word नहीं है इसमें तीसरा case है imaginary number imaginary number का मतलब होता है ना तो a equal to 0 होगा ना ही b equal to 0 होगा यानि कि जो भी numbers a plus iota b के form में है such that a is not equal to 0 b is not equal to 0 वो होता है मेरा imaginary numbers ठीक है but तो तीन केसेस आ गए एक होते हैं रियल नंबर्स जो कि कॉंप्लेक्स नंबर्स भी है एक होते हैं प्यूर्ली इमेजिनरी नंबर्स जिसके अंदर रियल वाला कॉंपोनेंट है ही नहीं और तीसरा होता है इमेजिनरी नंबर्स जिसके अंदर रियल कॉंपोनेंट भी है और क्या आप कोई ऐसा number सोच सकते हो जो purely real भी है और purely imaginary भी हो सकता है क्या कोई ऐसा number आपके दिमाग में आ रहा है For example अगर हम number 5 की बात करें तो वो purely real तो है बट वो purely imaginary नहीं है क्योंकि 5 को हम कभी भी iota के form में तो नहीं लिख सकते हैं लेकिन एक ऐसा number है और वो number है 0 0 को अगर मुझे purely real की तरह लिखना है तो हम लिख सकते हैं 0 plus iota 0 तो हम कहेंगे b is equal to 0, तो इसलिए ये purely real है, अगर मुझे इसे purely imaginary prove करना हो, हम वो भी prove कर सकते हैं, क्योंकि यहाँ पर जो real part है, वो 0 है, तो 0 plus iota 0 में हम कहे सकते हैं कि a is equal to 0, तो मैं कहे सकते हूँ कि 0 जो है, वो purely imaginary भी है, तो 0 is the only number which is purely real, which can also be considered as purely imaginary, हाला कि 0 cannot be considered as an imaginary number क्योंकि 0 के अंदर A और B दोनों ही 0 हैं और imaginary numbers होने के लिए A और B दोनों को ही non-zero होना पड़ता हैं. चलो तो एक और कदम आगे बढ़ते हैं. अगर हमारे पास दो complex numbers दिया हुआ हो और अगर हम कहते हैं कि ये दोनों complex numbers equal हैं, बराबर हैं, इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि उन दोनों complex numbers का जो real parts है वो बराबर है और उनके imaginary parts भी बराबर है जैसे कि अगर एक complex number है Z1 which is equal to A plus iota B और दूसरा complex number है Z2 which is equal to C plus iota D ठीक है तो अगर हम कहते हैं कि Z1 is equal to Z2 इसका मतलब है कि इन दोनों का जो real parts है वो आपस में बराबर है यानि कि A is equal to C और इन दोनों का जो imaginary parts हैं वो भी आपस मे यानि कि B is equal to D. अब चाहे कुछ भी हो, complex numbers भी हैं तो numbers ही.

तो यह देखना ज़रूरी है कि complex numbers के साथ हम algebra कैसे करते हैं, यानि कि जोड, घटाओ, multiplication, division वगरा कैसे करते हैं. तो चलिए फटा फट देखते हैं कि किस तरह से हम complex numbers में करते हैं ये सारे operations. Addition, subtraction, multiplication and division.

तो सबसे पहले देखते हैं कि दो complex numbers को हम add कैसे करते हैं. माल लेते हैं हमारे पास दो complex numbers हैं. पहला number है Z1.

जिसे हम लिखते हैं A plus IB और दूसरा number है Z2 जिसे हम लिखते हैं C plus ID, यह हमारे पास दो complex numbers है, अगर हमें इन दोनों complex numbers को add करना हो, यानि कि Z1 plus Z2 करना हो, तो हम क्या करेंगे, हम कहेंगे कि यह दोनों add हो जाएंगे, यानि कि A plus IB plus C plus ID, तो इसे हम क्या लिख सकते हैं, जो real part है तिक उसी तरीके से जो imaginary part है उसे एक साइड कर लेते हैं, तो इस तरह से हम इन्हें add करेंगे, ठीक है, एक example लेते हैं, बिना example के तो कुछ नहीं समझ आता है भाई, तो example लेते हैं, माल लेते हैं, एक complex number है 2 plus i3, और दूसरा complex number है 4 plus i5, अगर इन दोनों को मुझे add करना है, मैं यानि कि iota और जो हमारा imaginary part है, यानि कि 3 plus 5, तो यह हो जाएगा 6 plus i8, तो यह हो जाएगा इन दोनों complex numbers का sum, simple है, बिल्कुल, सही है, अब देखते हैं कि जो addition है complex numbers का, इसके properties क्या-क्या होती है, जिस तरह से जब हम real numbers पढ़ते थे, तो हम बहुत सारे properties की बात करते थे, right, commutative property तो देखते हैं कि क्या वो सारी properties complex numbers के addition के लिए true होती है, तो शुरू करेंगे closure property से या फिर closure law से, जो कहता था कि sum of two real numbers is always a real number, ठीक उसी तरह से sum of two complex numbers is always a complex number, यानि कि ये दो complex number को अगर हमने जोड़ा, तो जो हमें मिला 6 plus i8, ये भी एक complex number है, अच्छा बच्चों एक disclaimer पहले ही दे देती हूँ कि मेरी यह आदत है कि मैं इस I को हमेशा I I करके ही पढ़ती हूँ ठीक है तो I जो है ideally इसे कहा जाता है IOTA तो आप इसे कैसे पढ़ेंगे 6 plus IOTA 8 ठीक है ना तो यह हो गया closure अगला आता है commutative law वो क्या कहता है कि Z1 plus Z2 is equal to Z2 करता है पहला number plus दूसरा number is equal to दूसरा number plus पहला number जैसे कि अगर हम इसी example में देखें तो हम कह सकते हैं कि 2 plus i3 plus 4 plus i5 ये जो है this will be equal to 4 plus i5 plus 2 plus i3 ये दोनों चीज़ें बराबर ही तो है क्योंकि जब हम इने जोडेंगे दोनों ही case में मुझे 6 plus i8 मिलेगा right तीसरा property associative law, जो की कहता है Z1 plus Z2 plus Z3 is equal to Z1 plus Z2 plus Z3, इसको भी अगर हम चाहें इसी example में use करके देख सकते हैं, और हम देखेंगे कि दोनों case में same result आएगा, मान लेते हैं हमारे पास 3 complex numbers हैं, एक तो है 2 plus iota 3, दूसरा है 4 plus iota 5, इनको पहले add कर लिया, फिर इनके साथ हमने add किया 1 plus iota, तो according to this property this should be equal to 2 plus iota 3 plus bracket के अंदर 4 plus iota 5 plus 1 plus iota ठीक है और यह भी true होता है अगर आप चाहे तो इसको आप खुद से solve करके देखिए left hand side is equal to right hand side आएगा ठीक है अगला property होता है additive identity additive identity मतलब कोई एक ऐसा number जिसे अगर हम complex number के साथ add करें तो हमें वापिस वही complex number मिल जाएगा, और ऐसा identity क्या है, zero, complex number के साथ अगर हम zero add करते हैं तो हमें वापिस zero ही मिल जाता है, zero क्या है, zero को अगर हम complex number के form में लिखें तो zero is basically zero plus iota zero, वही तो है, right, उसके बाद additive inverse यानि कि एक ऐसा number जिसे जब हम complex number के साथ add करते हैं तो उसका sum होता है 0, तो additive inverse हमेशा जो हमारा given complex number है उसके हम sign को अगर बदल दें, वो अगर plus है तो हम minus कर दें, वो अगर minus है तो plus कर दें, तो उस तरह से हमें उसका additive inverse मिलता है, ठीक है, मान लेते हैं कि हमारे एक complex number दिया हुआ है 2 plus iota 3 तो इसका additive inverse क्या होगा? तो additive inverse निकालने के लिए हम क्या करते हैं? जो इनका sign है उसे हम पलट देते हैं यानि कि हम 2 को क्या बना देंगे?

minus 2, iota 3 को बना देंगे minus iota 3 अब हम देखेंगे कि Z और उसके additive inverse को अगर हम add करते हैं तो हमें क्या मिलेगा? 0 तो हम कह सकते हैं कि minus 2 minus iota 3 is the additive inverse of 2 2 plus iota 3, ठीक है, यहां तक clear है, अब बात करते हैं difference of 2 complex numbers, यानि कि subtraction कैसे करते हैं, यहां भी assume करते हैं कि हमारे पास एक complex number है Z1, जो की है A plus iota B, दूसरा complex number है Z2, जो की है C plus iota D, अब अगर हमें इन दोनों का difference निकालना है, यानि कि Z1 minus Z2 निकालना है, तो कैसे निकालेंगे, ठीक उसी तरीके से हम real parts को एक तरफ कर लेंगे, और imaginary parts को एक तरफ, तो यहाँ पे real parts हो जाएगा a-c, और imaginary parts हो जाएगा b-d, तो यह हो जाएगा हमारा difference, ठीक है, एक example लेके देखते हैं, मान लेते हैं जो दो complex numbers दिये हुए हैं, वो है 6 plus iota 3, और इसमें से subtract करना है 2 plus iota, real parts को एक तरफ, यानि कि 6-2 plus iota, 3-1, यहाँ पे minus iota मतलब, 1 iota, तो यह हो जाएगा 4 plus 2 iota, यह हो जाएगा हमारा difference of the two complex numbers, अब बात करेंगे multiplication की, multiply कैसे करेंगे भाई, मान लेते हैं, एक हमारा complex number है z1, जो की है a plus iota b, और दूसरा है z2, जो की है c plus iota d, अब मुझे multiply करना है यानि कि Z1 Z2 निकालना है तो यह क्या हो जाएगा A plus iota B into C plus iota D तो इसको normal तरीके से multiply करके देखते हैं जैसे A into C plus iota into A into D plus iota into B into C plus iota into iota into B into D तो करके देखते हैं यह हो जाएगा AC plus iota AD plus iota BC प्लस आयोटा स्क्वेर बी डी, तो यह हो जाएगा AC प्लस आयोटा इंटू AD प्लस BC, अब आयोटा स्क्वेर की जो वैल्यू होती है, यह होती है माइनस वन, तिक है, ऐसा क्यों, क्योंकि हमें पता है कि आयोटा क्या होता है, उसकी जगा minus 1 डाल देंगे, तो यह हो जाएगा minus BD, ठीक है, तो यहाँ पे क्या हो रहा है, AC minus BD, जो की real part है, plus IOTA into AD plus BC, तो यह हो जाएगा multiplication, अब इसे याद करनी की कोई ज़रूरत नहीं है, यह जो मैंने example लिया, इस technique से आपको पता चल गया है, कि multiply करते कैसे है, क्योंकि यू शुट जस्ट नो द प्रोसेस थे था उडू वी मल्टिप्लाई टू कॉंप्लेक्स नंबर्स क्योंकि बड़े-बड़े क्वेश्चन सॉल्व करने में यह काम आएंगे ठीक है तो एक एग्जांपल लेकर देखते हैं तो मान लेते हैं हमारे पास एक कॉंप्लेक्स नंबर है 3 प्लस आयोटा 5 और दूसरा है 2 प्लस आयोटा 6 ठीक है तो इसका अगर प्रोडक्ट निकाल हम देखते हैं अगर हम इसमें डाल देंगे इनकी वाल्यूज तो हमें मिल जाएंगी यानि कि एसी माइनस बीडी तो ए है यह और सी है यह तो यह हो जाएगा AC-BD प्लस आयोटा इंटू AD प्लस BC यानि की 3 इंटू 6 प्लस 5 इंटू 2 तो यह आएगा माइनस 24 प्लस 28 आई तो यह हो जाएगा मट प्रोडक्ट ऑफ दीस टू कॉंप्लेक्स नंबर अब जैसे कि मैंने बताएं अब जहां हम multiplication की बात करते हैं तो यहाँ पर फिर से कुछ properties हैं जो यह follow करती हैं जैसे पहला तो closure property जो कहता है कि 2 complex number का product हमेशा 1 complex number ही होगा दूसरा है commutative property जो कहता है कि z1 into z2 is equal to z2 into z1 चाहे हम z1 को पहले लिखे या बाद में लिखे उनका product जो है वो same ही रहेगा associative law जो कहता है कि z1 into z2 x z3 is equal to z1 x z2 x z3, तो यह उसी तरह से जिस तरह से addition में है ठीक उसी तरह से उनके corresponding laws multiplication के लिए है, चोथा कहता है multiplicative identity यानि कि एक ऐसा number जिससे multiply करने से हमारी जो value है वो वापिस से वही complex number आ जाती है, तो multiplicative identity क्या है, 1, तो 1 से जब हम multiply करेंगे तो हमें वापिस वही complex number मिल जाएगा, ठीक उसी तरह से multiplicative inverse का मतलब होता है, एक ऐसा number जिससे हम अगर उस complex number को multiply करेंगे तो हमारा result आएगा 1, तो इसे हम कहते है multiplicative inverse, तो जैसे अगर z मेरा complex number है, तो multiplicative inverse हो जाएगा 1 by z, या फिर इसे हम z to the power minus 1 भी लिखते हैं, तो कई बार आपको इस तरह के छोटे questions पूछे जा सकते हैं, sure नहीं है, कि find the multiplicative inverse of a given complex number, तो आपको multiplicative inverse निकालना पड़ेगा, and finally distributive law जो कहता है कि z1 into z2 plus z3 is equal to z1 z2 plus z1 z3, अब ये जितने भी laws मैंने बताया, चाहे distributive है, चाहे associative है, चाहे commutative है, अगर आप चाहे तो आप खुद से prove करके देख सकते हैं, you randomly consider, assume any two complex numbers Z1 and Z2, उनको आप A plus Iota B, C plus Iota D के form में लिख ले, और उसके बाद try to prove left hand side is equal to right hand side, so that will give you a better clarity. अब बात करेंगे division of two complex numbers, अगर हमारे पास two complex numbers हैं, Z1 और Z2, such that Z2 is not equal to 0, तो अगर हम Z1 divided by Z2 करेंगे, इसका actually मतलब है Z1 multiplied by 1 by Z2, तो Z1 by Z2 is actually multiplication of Z1 and 1 by Z2, ठीक है, एक example लेते हैं, थोड़ा और clear हो जाएगा, मान लेते हैं, एक complex number है Z1, जो है 2 plus iota 3, दूसरा complex number है Z2, जो की है 2 plus iota 2, ठीक है, अब अगर हमें Z1 by Z2 निकालना है, तो हम क्या करेंगे, हम कहेंगे Z1 multiplied by 1 by Z2, ठीक है, तो Z1 क्या है, 2 plus iota 3, ठीक है, और 1 by Z2 क्या है, 1 by 2 plus iota 2, तो अब हम क्या करेंगे, ये 2 plus iota 3 को ऐसी side में रहने देते हैं, एक चीज़ हमेशा ध्यान रखना है, कि जब कभी भी ये iota वाले terms denominator होते हैं, तो हमें पसंद नहीं आता है, तो हम क्या करते हैं, हम कर देते हैं इसे rationalize, यादे rationalize वाला concept, जब हम rational numbers, irrational numbers पढ़ रहे थे, तब उपर नीचे दोनों को 2 plus root 3 से multiply कर देते थे ताकि हमें नीचे जो है ना वो root 3 से छुटकारा मिल जाए, ठीक उसी तरीके से ये imaginary वाला component हमें denominator में नहीं चाहिए, ठीक है, तो इसलिए यहाँ पर हम क्या करेंगे, हम उपर नीचे हमारे पास है 1 by 2 plus iota 2, तो a plus b into a minus b वाले form मिल 2 plus iota 3 इधर हो जाएगा 2 minus iota 2 divided by a plus b into a minus b तो यह हो जाएगा a square minus b square ठीक है तो बाकी की calculation हमें side करते हैं तो फिर यह हो जाएगा 2 plus iota 3 2 minus iota 2 divided by 4 माइनस i square होता है माइनस 1 तो ये प्लस हो जाएगा प्लस 4 तो ये अब उपर को थोड़ा simplify कर लेते हैं 2 into 2 4 minus 2 into 2 into iota that is iota 4 plus 3 into 2 6 into iota और minus iota square 6 divided by 8 तो ये हो जाएगा 4 plus 2 iota i square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा plus 6 divided by 8, तो यह हो जाएगा 10 plus 2 iota by 8, यानि कि 5 plus iota by 4, तो इसे हम कैसे लिख सकते हैं, a plus iota b के form में 5 by 4 plus 1 by 4 iota, तो divide करने पे हमें यह answer मिलेगा, तो इस तरीके से हम करते हैं complex numbers के division, अब बात करेंगे power of iota की, यह बहुत interesting है, तो अभी तक हमने क्या देखा कि iota की value क्या होती है root over minus 1, कभी काल नहीं, actually जब भी हम complex numbers के algebra को solve करेंगे, कभी i square आएगा, कभी iota cube आएगा, कभी iota to the power 4 आएगा, तो it's very difficult कि उनकी values क्या होंगी, तो iota square क्या होगा, root over minus 1 का whole square, यानि कि minus 1, अगर हम बात करें iota cube की, तो iota cube क्या है, iota square into iota, तो iota square क्या है, minus 1, और iota तो iota ही है, तो iota cube हो जाएगा minus iota, अगर हम बात करें iota to the power 4 की, तो यह है iota square multiplied by iota square, यानि कि minus 1 multiplied by minus 1, यानि कि plus 1, तो हम देखते हैं कि iota की जो power है ना इनकी जो possible values है वो क्या क्या है minus 1 plus 1 minus iota plus iota ये सारी इसकी possible values है ठीक है अब कब कौन सी values होती है in general हम क्या लिख सकते हैं जब भी iota to the power 4k इस form में कुछ भी हो तो इसका value होता है plus 1 जैसे कि iota to the power 4 या फिर iota to the power 8, iota to the power 16 इन सब की value होगी 1 अगर iota to the power 4k plus 1 form में हो यानि कि जैसे iota to the power 5 अगर इस form में हो तो answer होगा हमेशा iota, जैसे iota 5 to the power 5 तो होगा i, या फिर iota to the power 9 तब भी होगा i. तो हमें बिना calculate किये ही हम बता सकते हैं सिर्फ ये देखके जो power है वो किस form में है अगर जो power है वो iota to the power 4k plus 2 form में है तो होगा minus 1 और अगर वो iota to the power 4k plus 3 form में है तो वो होगा minus iota अगर ये चीज अगर हमें पता है तो हमें randomly iota to the power कुछ भी दिया हुआ रहे हम फटाक से निका एक randomly question पूछती हूँ, अगर मैं आपसे पूछूं कि iota to the power 50 क्या होगा, आप कैसे बताओगे, आपको सारा दिमाग लगाना है इस 50 पे, 50 को हम कैसे इन forms में लिख सकते हैं, तो 50 को सबसे पहले हम 4 से divide कर देंगे, तो हमें क्या पता चलता है कि 4 into 12 जो है, वो इसका nearest ब्रेक अप है तो 50 को हम क्या लिख सकते हैं 4 x 12 that is 48 plus 2 यानि कि ये कौन से form में है 4k plus 2 और 4k plus 2 वाले form का अंसर क्या होता है minus 1 तो इसलिए iota to the power 50 हो जाएगा minus 1 तो हमें calculate करने के भी ज़रूरत नहीं है एक और example लेते है मान लेते हैं मैं आप से पूछती हूँ iota to the power 69 कितना होगा तो सबसे पहले क्या करेंगे 69 को जो है हम 4 से डिवाइड कर लेंगे, तो 4 1's are 4, बचेगा 29, 4 7's are 28, बचा 1, ठीक है मतलब जो nearest चीज़ से हम इसे multiply कर सकते हैं, वो है 17, तो यानि कि iota to the power हम क्या लिख सकते है, 4 into 17 तो हो जाएगा 68 plus 1, ठीक है, क्यों हमें क्या बता है, dividend is equal to divisor into quotient, प्लस रिमेंडर तो वही हमने किया है dividend की जगह हमने लिख दिया है diviser into quotient प्लस रिमेंडर तो अब ये किस form में है ये 4k प्लस 1 form में है और 4k प्लस 1 का form जब रहता है तो answer होता है I तो इस तरह से हम ऐसे questions within few seconds हम इनके answers बता सकते हैं, ठीक है न, करना क्या है, जो भी power हमें दिया है, उसे हमें 4 से divide करना है, और उसके बाद उस power के बदले हमें लिखना है diviser into quotient plus remainder, ये तो हमने बच्पन पढ़ा था right, कि dividend क्या होता है, dividend is equal to diviser into quotient plus remainder, तो बस उसी का ही हम use कर र जिस तरह से हमने real numbers के case में algebraic identities पढ़ी थी, जो हमें बहुत काम आती थी, जैसे कि a plus b whole square, a minus b whole square, a plus b whole cube, a minus b whole cube, a square minus b square, ठीक उसी तरीके से वो सारी identities complex नमपर हैं। नंबर के लिए भी ट्रू है जस्ट यहां पर हम एबी ना लिखकर वहां उस पर लिखते हैं जेड़ वन जेड़ टू क्योंकि कम प्लेक्स नंबर को हम डिनोट करते हैं जेड़ से राइट तो इसीलिए जो हमारे अब के एलजेब्रिक सेट ऑफ आइडेंटिटीज है क के लिए वह कुछ इस तरह से है तो Z1 plus Z2 का whole square अभी भी है Z1 square plus 2Z1Z2 plus Z2 square और ठीक उसी तरीके से बाकी सारे identities बिल्कुल वैसे के वैसे ही हैं और अब हम जल्दी ही देखेंगे कि किस तरह से इन सारे identities के help से हम अलग-अलग operations करते हैं complex numbers के ऊपर और उन्हें solve करते हैं तो अब है और मैथ में कुछ भी समझना तभी पूरा होता है जब हम कुछ क्वेश्चन सॉल्व करते हैं तो पेन और पेपर के साथ रेडी हो जाओ और लेट अ सॉल्व फ्यू क्वेश्चन्स क्वेश्चन नंबर वान थ्री इंटो सेवन प्लस आयोटा सेवन प्लस आयोटा इंटो स तो 3 x 7 प्लस आयोटा 7 को हम ऐसे लिख सकते हैं, 3 x 7 प्लस 3 x आयोटा 7, उसी तरीके से इसको हम लिख सकते हैं, आयोटा 7 प्लस आयोटा स्क्वेर इंटू 7 x 7, यानि की 49, सॉरी, 7 x 7 नहीं, आयोटा स्क्वेर इंटू 7 होगा, क्योंकि इधर तो 7 है ही नहीं, ठीक है न, तो य प्लस आयोटा 21 प्लस आयोटा 7 आयोटा स्क्वेर होगा माइनस वन तो यह हो जाएगा माइनस सेवन तो 21 माइनस सेवन 14 आयोटा 21 प्लस 7 21 प्लस 7 हो जाएगा आयोटा 28 तो यह हो जाएगा ए प्लस आयोटा बी के फॉर्म में सिंप्लीफाइड दूसरा वाला देखते हैं वन माइनस आयोटा टू द पावर फोर इसको हम कैसे लिख सकते हैं इसको हम लिख सकते हैं 1 minus iota whole square का whole square अब अंदर क्या है a minus b whole square यानि कि a square plus b square minus 2ab इस पूरे का whole square ठीक है तो iota square is minus 1 तो plus 1 minus 1 cancel हो गया यह हो जाएगा minus 2 iota का whole square तो minus 2 का whole square हो जाएगा 4 और iota square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा minus 4, तो इसको हम a plus iota b के form में कैसे लिख सकते हैं, minus 4 plus 0 iota, यादे जब हम real numbers पढ़ते थे, तो वहाँ पर हम बात करते थे modulus of a number की, तो जैसे हम किसी भी real number को mod के अंदर डाल देते थे, तो उसके बाद चाहे वो number पहले negative रहा हो या positive, mod के बाद डलने के बाद तो उसकी value positive ही होती थी, right?

ठीक उसे तरीके से हम modulus of a complex number भी define करते हैं. अब complex number का general form होता है, वो होता है a plus iota b, तो अब इसका modulus जो होता है, वो एक real number होता है, और positive होता है, और इसकी value हम कैसे निकालते हैं, root over a square plus b square से, तो आप देखी सकते हैं कि root over a square plus b square जो है वो हमेशा एक positive number ही आता है और हम modulus of complex number को denote करते हैं कैसे? Z को हम डाल देते हैं mod के अंदर तो एक example लेते हैं find the modulus of minus 1 minus root 3i तो ये हमारा given complex number है तो given complex number मान लेते है Z है जो कि है minus 1 minus root 3i तो यहाँ पर एक ही value क्या है? minus 1, b की value क्या है minus root 3 ठीक है, ये values हमको दी वी है हमें क्या निकालना है modulus यानि कि mod of z और ये क्या होता है root over a square plus b square तो ये हो जाएगा root over minus 1 का whole square plus minus root 3 का whole square तो ये हो जाएगा root over 1 plus 3 that is root over 4 यानि कि 2 तो 2 हो जाएगा इसका modulus अब बात करेंगे conjugate of a complex number की conjugate क्या होता है तो अगर हमारे पास कोई भी complex number है z is equal to a plus iota b तो इसका conjugate एक ऐसा number होता है जिसके साथ जब हम z को multiply करते हैं तो जो result आता है वो एक real number होता है मज़ी की बात है तो ऐसा number कौन सा number होता है ऐसा number एक ऐसा number होता है जिसमें जो imaginary part है उसके sign को हम पलट पलट देते हैं जैसे अगर Z है A plus Iota B इसका imaginary part क्या है Iota B हम क्या करेंगे Iota B के sign को पलट देंगे तो हमारा इसका conjugate हो जाएगा A minus Iota B तो अगर given number है Z तो इसके conjugate को हम कैसे represent करेंगे Z उसके उपर बार ठीक है तो conjugate of Z is equal to A minus iota B अगर Z is equal to A plus iota B तो example देखते हैं और clear हो जाएगा complex number जो की है minus 1 minus root 3 iota अब हमें इसका conjugate निकालना है conjugate यानि की Z bar Z के उपर एक dash तो ये क्या हो जाएगा इसमें जो हमारा imaginary part होता है उसका sign हम पलट देते हैं तो real part वैसे ही रहेगा minus 1 but imaginary part हो जाएगा plus root 3i तो ये हो जाएगा हमारा conjugate तो conjugate निकालना is like बाई हाथ का खेल इसमें कुछ खास है ही नहीं तिके बट यहाँ पर हम एक interesting चीज देख सकते हैं जैसे कि अभी अभी हमने बताया कि अगर हमें किसी का भी multiplicative inverse निकालना हो जैसे अगर ये मेरा given complex number जैड है इसका अगर inverse निकालना हो या multiplicative inverse निकालना हो यानि कि ऐसा number जिसे अगर हम जैड से multiply करेंगे तो हमें 1 मिलेगा तो ये Z inverse हम कैसे निकालते हैं, हम कहते हैं कि Z inverse होता है conjugate of Z divided by mod Z का whole square, तो यहाँ पे चुकी एक example के साथ हम already काम कर ही रहे हैं, तो एक बार Z inverse निकाल के देख सकते हैं, तो conjugate of Z क्या हो जाएगा, minus 1 plus root 3i divided by mod Z, थोड़ी देर पहले हमने इसका modulus निकाला था, इसी same complex number का, और modulus निकाला था 2, तो 2 का whole square, तो यह हो जाएगा minus 1 by 4 plus root 3 by 4 iota, तो यह हो जाएगा z inverse, तो इस तरीके से जब कभी भी हमें एक complex number दिया हुआ हो और उसका inverse निकालना हो, तो हम इस तरीके से निकाल सकते हैं, find the multiplicative inverse of 4 minus 3i, तो यहाँ पर हमारा given complex number क्या है, 4 minus 3i, ठीक है, और हमें निकालना है Z inverse, Z inverse हम कैसे निकालते हैं, conjugate of Z divided by mod Z का square, ठीक है, conjugate of Z कैसे निकालेंगे, अगर Z ये है, तो conjugate of Z क्या होगा, सिर्फ imaginary part का sign change हो जाएगा, ये हो जाएगा 4 plus 3i, mod Z कैसे निकालेंगे, mod Z होता है root over a square plus b square, यहाँ पर a की value है 4, और b की value है minus 3, यह हो जाएगा 16 प्लस 9 यानि की root ओवर 25 यानि की 5 ठीक है तो अब हम यह वैल्यूज डाल देते हैं कॉन्जूगेट ऑफ जेड हो गया 4 प्लस 3 आई और नीचे मॉड जेड हो गया 5 का होल स्क्वेर तो यह हो जाएगा 4 बाइ 25 प्लस 3 बाइ 25 आई आयोटा यह हो जाएगा multiplicative inverse of 4-3 आयोटा Question number 2 देखते हैं, express in the form of a plus iota b, जो दिया हुआ है काफी complicated लग रहा है, but जैसा कि मैं हमेशा कहती हूँ कि वो दिखता complicated है, but वो होता नहीं है, थोड़ा ध्यान से अगर हम देखें जो इसका numerator है, वो a plus b into a minus b के form में है, तो a plus b into a minus b को हम क्या लिख सकते हैं, a square minus b square, यानि कि 3 square minus iota root 5 का whole square, अगर हम denominator को देखें तो brackets हटा देते हैं, तो क्योंकि काफी सारे terms similar जैसे हैं तो I think इसे हम further simplify कर पाएंगे, root 3 plus root 2i minus root 3 plus root 2iota, तो root 3 root 3 cancel हो जाएगा, तो numerator में हो जाएगा 9 minus 5 into i square, i square हो जाएगा minus 1, तो यह हो जाएगा 9 plus 5 divided by 2 root 2iota, ठीक है जैसा कि मैंने पहले भी बताया था कि हमें कभी भी अच्छा यह हो जाएगा 14 by 2 root 2 iota up to 7s of 14 यह हो गया 7 by root 2 iota जैसा कि मैंने पहले बताया था कि हमें कभी भी iota जो है denominator में पसंद नहीं आता है, तो ऐसे case में हम क्या कहते हैं, करते हैं rationalize करते हैं, ताकि नीचे जो है iota root वाले terms ना रहें, तो इस case में हम क्या करेंगे, हम उपर नीचे दोनों को root over 2 iota से multiply कर देंगे, तो क्या होगा, numerator हो जाएगा 7 root 2 iota और denominator हो जाएगा 2 into iota square, iota square होगा minus 1, तो यह हो जाएगा minus 2, तो यानि कि ये हो जाएगा minus 7 root 2 by 2 iota, अब इसे हम a plus iota b के form में कैसे लिखेंगे, जो real part है वो यहाँ पर 0 है, क्योंकि ये पूरा तो imaginary part है, iota के साथ है, तो ये हो जाएगा 0 minus 7 root 2 by 2 iota, ये हो गया इसका a plus iota b का format, जहां हम complex numbers की representation की बात करते हैं, तो हम इसे दो तरीके से represent करते हैं, एक तो हम इसे argant plane या फिर complex plane में represent कर सकते हैं, और दूसरा होता है इसका polar representation, तो चलिए इन दोनों चीजों को अच्छी तरह से समझते हैं, क्योंकि इस पूरे चाप्टन में यही वो पाट है, जहां पर अध अगर आप complex number के general form को देखें तो ये कैसा होता है? A plus iota B यानि कि इसके अंदर एक real component भी होता है एक imaginary component भी होता है तो इसलिए इसे geometrically represent करने के लिए हमने क्या सोचा?

कि अच्छा idea रहेगा कि अगर हम इसे एक plane में represent करें जहाँ पर एक x-axis हो एक y-axis हो तो x-axis को हम real axis मान लेते हैं तो real component को हम x के along represent करेंगे y-axis को हम imaginary axis मान लेते हैं और y-axis के along हम imaginary component को represent करेंगे तो यह अच्छा idea रहेगा तो अब उससे क्या होगा कि इस पूरे plane में मैं randomly किसी भी point पे mark करूँ तो वो point एक complex number है तो every point on this plane is a complex number कोई सा भी point और हर एक point का corresponding एक x coordinate होगा जो की उस complex number का real component होगा और हर एक point के along एक y component होगा जो की उस complex number का imaginary component होगा माल लेते हैं कि ये argon plane पे दो points हैं एक point है p जिसके coordinates है 2, 3 इसका मतलब है p जो है एक ऐसे complex number को represent करता है जो है 2 plus iota 3 वही अगर एक दूसरा point है q जिसके coordinates है 3,2, इसका मतलब है Q एक ऐसे complex number को represent करता है, जो है 3 plus iota 2, तो इससे हमें यह पता चलता है, कि जैसे ही यह x, y के order पलट जाते हैं, यानि कि 2, 3 जैसे ही 3, 2 हो जाता है, तो वो एक completely अलग complex number को represent करता है, हम कुछ points को इस graph में plot करते हैं, मतलब जो हमारा argant plane है, या complex plane है, हम देखते हैं किस तरीके से, जब हमें एक complex number दिया होता है, जैसे कि 2 plus iota 3, तो हम इसे कैसे plot करेंगे, 2, जो real part है, वो real axis में होगा, real axis हमारा है x axis, और imaginary axis है y axis, तो real axis पे कितना है, 2, तो यानि कि real axis पे 2, और imaginary axis पे 3, तो ये वाला point हो जाएगा, 2 plus iota 3, एक example और लेते है, 4 plus iota 5, 4 real axis पे, यानि के x axis पे, और 5 imaginary axis, यानि के y axis पे, तो ये point हो जाएगा 4 plus iota 5, अगर हम बात करें 3 minus iota 2 की, तो 3 हो जाएगा real axis पे, positive x axis पे, और minus 2 iota है, तो यानि के minus 2 हो जाएगा y axis पे, तो ये हो जाएगा 3 minus iota 2, और उसी तरीके से अगर minus 4 minus iota 4 रहे, तो minus 4 x-axis पे, और फिर minus 4 y-axis पर भी, ठीक है, तो ये point हो जाएगा minus 4 minus iota 4, ठीक है, तो इस तरीके से हमें अगर x और y coordinates पता है, तो हम उन complex numbers को argon plane या फिर complex plane पे plot कर सकते हैं, ठीक है, यहाँ पर एक और चीज हम नोट करते हैं कि अगर हमें इन complex numbers का modulus निकालना हो, जैसा कि हम निकाल रहे थे अभी तक, right, modulus क्या होता है, root over a square plus b square, तो इस graph को देखते हुए, graphically आपको पता है modulus क्या होगा, modulus होगा इस point का distance from the origin, जैसे कि अगर हम 2 plus iota 3 की बात करें, तो इ origin से लेकर इस point का जो ये distance है, ये हो जाएगा modulus, उसी तरह इसकी बात करें तो ये हो जाएगा modulus, इसकी बात करें तो ये हो जाएगा modulus, तो इस तरीके से हम graphically इनके modulus भी निकाल सकते हैं, so modulus of the complex number is distance between the point P to the origin O, ठीक है, clear हो गया यहां तक, अब हम बात करेंगे polar representation of complex numbers, तो complex number के polar representation में हम क्या अलग करने वाले हैं, अभी तक हमने देखा था कि हम complex number को इस plane में कैसे represent कर रहे थे, x और y coordinate के basis पे, but polar representation में हम coordinates को भूल जाएंगे, हम x coordinate क्या है, y coordinate क्या है इस पे ध्यान नहीं देंगे, फिर हम ध्यान देंगे, ध्यान किस पर देंगे हम सर्फ इस पर ध्यान देंगे कि हम किस पॉइंट की बात कर रहे हैं इस प्लेन पर मान लेते अगर हम पॉइंट पी की बात कर रहे हैं तो पॉइंट पी जो है वह ऑरिजन से कितनी दूरी पर है यानि कि आर यह आर हमारा एक फैक्टर होगा जिसके बेसिस पर हम इसे पोलर रिप्रेजेंटेशन देंगे ठीक है और दूसरा फैक्टर हमारा क्या होगा दूसरा फैक्टर हमारा यह होगा कि यह आर जो है यह पॉजिटिव एक्स एक्सिस से कितना ओरियंटेशन पर है कितना एंगल बना रहा है यानि कि थीटा तो पोले रिप्रेजेंटेशन जो हम करते हैं वो हम इन दो चीजों के तो हम कह सकते हैं कि x is equal to r cos theta and y is equal to r sin theta. और उस तरह से हम यह भी कह सकते हैं कि जो हमारा complex number है, जिसको हम यह इस case में, इस graph में कहते हैं x plus iota y, उसे हम क्या कह सकते हैं r cos theta plus r sin theta iota. तो यह हो जाएगा हमारा polar representation.

तो polar representation के लिए दो चीज़ें important हैं, r, और थीटा, तो अब देखते हैं कि R क्या है, R बेसिकली है क्या, अभी थोड़ी देर पहले हमने देखा था, कि ये ओरिजिन से लेकर के point P का जो distance होता है, ये बेसिकली क्या होता है, modulus of complex number, तो इसका मतलब R और कुछ नहीं, बलकि complex number का modulus है, तो R तो चलो आसान हो गया, पर थीटा, थीटा को हम कहते है argument of Z या फिर amplitude of Z, तो इसे थोड़ा और बारिखी से समझने के ज़रूरत है, तो चलिए थोड़ा और समझते हैं थीटा के बारे में, अच्छे से समझते हैं कि argument of Z या फिर amplitude of Z होता क्या है, तो ये basically होता है थीटा, यानि कि the angle between the positive real axis and the line joining the point to the origin, मतलब मान लेते हैं कि ये जो point P है, this represents a complex number in the argant plane, क्योंकि argant plane पे हर एक point एक complex number को denote करता है, तो मान लेते हैं एक वैसा ही point है, यह point P, तो यह point P को जब हम origin से join करते हैं इस line से, तो यह line positive x axis के साथ जो angle बनाता है, उस angle को हम कहते है theta यानि argument of Z, तो यह होता है argument, तो इसे हम measure कैसे करते हैं, जो कि यह एक angle है, तो इसे हम radians में measure करते हैं, अब एक बहुत basic सी बात जो हमने पहले भी पढ़ रखी है, कि जब भी हम theta को clockwise direction में measure करते हैं, इस direction में हम जब भी theta को measure करते हैं, तो मेरा theta क्या होता है, negative, जब भी हम theta को anti-clockwise direction में measure करत पॉजिटिव यह तो हमने पहले पढ़ा करेंगे एंगल्स को जब हम एंटी क्लॉक वाइज मेशर करते हैं तो वह पॉजिटिव होता है जैसे इस एक्सेस से प्लॉक वाइज मेशर करने लगे इस तरीके से तो वह क्या होगा वह नेगेटिव होगा तो यह हमें ध्यान में रखना है इस वाले कॉनसेप्ट को अब इस बेसिक कॉनसेप्ट को दिमाग में रखते हुए हम कुछ सिनारियोस लेते हैं जहां पर जो हमारा position पे located है आर्गंट plane में ठीक है पहले case में जो पहले case में जो complex number है वो point P पे है यहाँ पर तो इसलिए इसका जो theta है वो हो जाता है plus theta ठीक है बदल इसका जो argument है वो theta है दूसरे case की अगर हम बात करें तो यहाँ पर हमारा complex number यहाँ पे है तो इस case में theta क्या हो जाएगा positive x axis के साथ यह line जो angle बनाता है यानि कि यह वाला theta ठीक है तीसरा case लेते हैं कि मान लेते हैं कि यह complex number यहाँ पर located है, तो फिर इसका जो line है origin से वो यह हो जाएगा, अब यहाँ पर जो है हमारे पास दो cases हो सकती है, एक हो सकता है कि हम theta को इस तरह से clockwise direction measure करें positive x axis से, दूसरा option है कि हम positive x axis से इस तरह से anti-clockwise direction में measure करें, तो अगर हम anti-clockwise direction से measure करेंगे, तो यहाँ पर हमें positive value में कोई theta की value मिलेगी, इसे हम कह सकते हैं 2 pi minus theta, अगर if this is theta, तो यह वाला angle क्या हो जाएगा, यह हो जाएगा 2 pi minus theta, और अगर हम चाहें तो हम इधर से, यानि कि, कि क्लॉक वाइज डिरेक्शन में मेजर कर सकते हैं और यह बन जाएगा प्लस थीटा ठीक है उसी तरीके से अगर चौथे वाले केस में भी देखें तो पी यहां पर है एक ऑप्शन है कि मैं यहां से ऐसे एंटी क्लॉक वाइज घूम के इस थीटा मेजर करूं दूसरा ऑप्शन है कि मैं डिरेक्ट यहां से इसे क्लॉक वाइज मेजर करके बता द� तो अब ऐसे scenarios में it is important, अब गलत तो कुछ भी नहीं है, हम clockwise भी measure कर सकते हैं, theta को हम anticlockwise भी measure कर सकते हैं, लेकिन अच्छा ही रहेगा कि अगर हम एक convention set कर लें, कि हमारा ये जो argument रहेगा, ये किस range में रहेगा? तो basically what we understand is कोई भी एक interval of length 2π, कोई भी 2π length का interval के अंदर जो है, we will get one value of θ, as in अगर हम 0 to 2π लेते हैं, तो 0 to 2π का जो ये interval है, it corresponds to one value of θ, क्योंकि 2π के बाद जब वो repeat होने लगता है, तो फिर वही वही θ की values वापिस से repeat होने लगती है, right, तो हम कोई भी एक ऐसा interval ले सकते हैं, जो 2π length का हो चाहे वो 0 to 2π हो चाहे वो minus πाई to plus πाई हो तो हम ऐसा कोई भी interval ले सकते हैं तो अब convention के तौर पे हमने कहा कि जो argument of z है उसका जो principal range होगा जिसे हम कहते है principal argument of z वो किस range में होगा वो होगा minus πाई और plus पाई के बीच में यानि कि minus पाई less than theta is less than equal to plus पाई ठीक है, तो इसका मतलब क्या हुआ, इसका मतलब हुआ कि अगर हमारी कोई भी value पाई से कम में है, यानि कि first quadrant और second quadrant में कोई भी value है, तो हम कैसे measure करेंगे, तो हम इस तरह से anti-clockwise जाके measure करेंगे, अगर quadrant 3 या 4 में है, तो हम इस तरीके से clockwise जाके negative में measure करेंगे, ठीक है न, clear हो ग किसी को कोई doubt नहीं है इसमें ज्यादा confused नहीं होने का ज्यादा कुछ खास concept नहीं है simple सा चीज़ है जो बाते आपको याद रखनी है वो यह है कि theta क्या होता है positive x-axis के साथ ये वाली line क्या angle बना रही है इस angle को हम दो तरीके से measure करेंगे अगर ये quadrant 1 या 2 में है तब तो हम इसे इस तरह से anti-clockwise measure करेंगे अगर ये quadrant 3 या फिर 4 में है तो उस case में हम इसे clockwise direction में जाके measure कर लेंगे, यानि कि minus theta के form में हम इसे measure कर लेंगे, तो ये minus pi to plus pi इसको हम कहते है principal argument of z, यानि कि अगर question में हमें mention नहीं किया हुआ है कि argument of z जो है, यानि कि theta जो है वो कहां lie कर रहा है, अगर किसी question में में mention किया हुआ है कि theta जो है वो 0 to 2 pi के बीच में lie कर रहा है, तब तो हमें वही मान के चलना पड़ेगा, बट अगर किसी question में theta का वो range नहीं दिया हुआ है, तो फिर by default हम उसे minus pi less than theta less than equal to plus pi मान के चलेंगे, तो चलेंगे देखते हैं question number 1, represent the complex number z is equal to minus 1 plus i in the polar form, तो सबसे पहले तो, polar form का मतलब क्या होता है, general जो polar form का expression है, उसको हम लिख लेते हैं, ताकि हमें पता रहे हैं कि भाई हमारा target क्या है, तो polar form में हम कैसे लिखते हैं, किसी भी complex number को, r cos theta plus i sin theta, तो इस तरीके से हम लिखते हैं polar form में, ठीक है, अब इसके लिए हमें कौन सी चीज़ें चाहिए, हमें r mod of this function that is modulus of complex number वो होता है r तो r तो हम आसानी से निकाल सकते हैं कैसे r क्या होता है modulus of the complex number तो जो की होता है root over a square plus b square अब यहाँ पर जो complex number दिया हुआ है उसको देखके हम कह सकते हैं कि a की value है minus 1 और b की value है 1 क्योंकि a plus iota b के form में है ये ठीक है तो यह वाली values इसमें डाल देते हैं, तो यह हो जाएगा root over 1 plus 1, यानि की root over 2, तो r की value तो हमें बता चल गई, तो चलो आधा चीज तो हमने solve कर लिया, अब हमें निकालना है theta की value, theta की value कैसे निकालेंगे, हम क्या करेंगे, यह जो हमने equation लिखा है polar form में, इसको जो है हमारे given expression स and r sin theta is equal to 1, क्योंकि i को तो हटा दो, i का coefficient इधर क्या है, 1 और इधर क्या है, r sin theta, ठीक है, अब r की value root 2 हमें पता है, तो फिर cos theta हो गया minus 1 by root 2, और sin theta हो गया 1 by root 2, तो अब हम यहाँ पर क्या देखते हैं, हम देख रहे हैं कि sin theta की value क्या है, sin theta है positive और cos theta है negative, तो अगर हम अपने वोही quadrant system को याद करें, जो हमने trigonometry में पढ़ा था, तो हमने क्या पढ़ा था, कि quadrant 1, 2, 3 और 4 होते हैं, और अलग-अलग quadrant में अलग-अलग functions positive होते हैं, तो उसके यानि कि second quadrant में sine theta positive होता है बाकी negative होते हैं, तो यानि कि sine theta positive और cos theta negative कौन से quadrant में होगा, second quadrant में होगा, राइट, तो एक एकर के चीज समझो, तो अब हमें ये निकालना है कि थीटा कौन से क्वाडरेंट में है, तो इससे हमें पता चलता है कि जो थीटा है ये लाइज इन सेकेंड क्वाडरेंट, ठीक है, अब हमें थीटा की वाल्यू निकालनी है, किस क्वाडरेंट में है वहां लेकिन पाई बाई 4 कौन से कौडरेंट में है, फर्स्ट कौडरेंट में, तो हमको वो चलेगा नहीं, लेकिन हमें ये भी पता है, कि साइन ओफ पाई माइनस थीटा क्या होता है, साइन थीटा, और साइन और कॉस ओफ पाई माइनस थीटा क्या होता है, माइनस कॉस थीटा, वही सारी चीज़ों को use करके हम दूसरे concepts पढ़ते हैं, right, तो जिन लोगों ने trigonometry वाला video नहीं देखा है, वो ज़रूर देख ले, क्योंकि यह सारी चीज़ें मैं यहां नहीं explain कर रही है, ठीक है, यहां तक clear है, अब मुझे तो second quadrant में चाहिए भाई, तो इसलिए जो theta की value हो पाई बाई 4 क्योंकि अभी अभी तो मैंने लिखा था कि साइन पाई माइनस थीटा ही साइन थीटा तो साइन थीटा को हम साइन पाई माइनस थीटा भी लिख सकते हैं अब पाई माइनस पाई बाई 4 क्या हो जाएगा साइन औफ 4 पाई माइनस पाई डिवाइडेड बाई 4 ठीक है ना, तो हम क्या कह सकते हैं कि ये जो साइन थीटा था, जो 1 by root 2 के बराबर था, वो actually साइन 3 pi by 4 के बराबर है, therefore, थीटा is equal to 3 pi by 4, तो हमने भाईया थीटा का भी value निकाल लिया, R की value तो हम पहले निकाल चुके थे, अब हमने थीटा भी निकाल लिया, चलो फिर value डाल देते हैं तो हम कह सकते हैं कि polar form में z is equal to r यानि की root 2 cos theta यानि की cos 3 pi by 4 plus iota sin 3 pi by 4 है तो यह जो कंप्लेक्स नंबर हमें दिया हुआ है माइनस आई प्लस माइनस वन प्लस आयोटा उसको हम पोलर फॉर्म में ऐसे लिख सकते हैं ठीक है तो बेसिकली जब भी पोलर फॉर्म में निखना हो हमें दो चीजें करनी है तो आर की वाल्यू निकालनी है और दूसरा थीटा आज निकालना दो बहुत ही सिंपल है ठीक है रूट ओवर एस क्वेट्स थीटा निकालने के लिए हम cos थीटा और sin थीटा की value पहले निकालेंगे, फिर देखेंगे कि उनकी values, उनकी sign के हिसाब से, जो हमारी थीटा है, वो कौन से quadrant में fall करेगी, चीक है, एक बार वो पता चल गया, तो आप समझ लो कि आपने almost पूरा question solve कर लिया है, जैसे ही पता चल गया कि अच्छा चलो second quadrant में रहेगी, वहाँ पर हम trigonometry functions का use करके थीटा की value निकाल लेंगे, लेकिन हाँ यहाँ पर trigonometry के concept का use जरूर है तो चलो अगला question देखेंगे question number 2 convert the complex number minus 16 by 1 plus iota root 3 into polar form यहाँ पर तो complex number है वो in itself ही बहुत complicated सा लग रहा है और complicated क्यों लग रहा है क्योंकि denominator में ये root over iota ये सारी चीज़े हैं, तो हमारा पहला काम क्या है, denominator से इन सब को मार भगाना, exactly, और उसके लिए हम क्या करेंगे, इसको rationalize कर देंगे, यानि कि हम उपर नीचे जो है, इसके conjugate से multiply कर देंगे, 1 minus iota root 3, 1 minus iota root 3, तो ऐसा कर देने पे ये हो जाएगा, minus 16 into 1 minus iota root 3, और नीचे क्या हो जाएगा, a plus b into a minus b, यानि कि a square minus 3 iota square, तो iota square होता है minus 1, तो यह हो जाएगा 3 plus 1, तो यह नीचे 4 हो जाएगा, ऊपर minus 16, तो cancel हो जाएगा, तो यह हो जाएगा minus 4 into 1 minus iota root 3, तो यह simplify करके हम इसको इस form तक ले आए, तो अब इसको हम a plus iota b के form में लिख लेते, तो यह हो जाएगा minus 4 plus iota, 4 root 3 तो अब हमारा given complex number जो है वो basically इस form में है, तो सबसे पहले हमने इसी को simplify कर लिया, अब इसको हम equation 1 लिख देते हैं, अब इसके basis पे हम कह सकते हैं कि a की value क्या है minus 4, b की value क्या है 4 root 3, तो इन दोनों value के help से हम r की value निकाल सकते हैं, जो की होता है root over a square plus b square, यानि की root over a square हो जाएग यानि कि 8, तो जो mod of, modulus of this complex number है, यानि कि जो r है, उसकी value निकल गई 8, तो आधा question हमने कर दिया है, solve, अब क्या करना है, अब हमें theta की value निकालनी है, theta की value निकालनी के लिए क्या करेंगे, एक बार पहले तो polar form में हम कैसे express करते हैं, उसका general expression लिखेंगे, तो polar form में हम कह सकते हैं कि z is equal to r cos theta plus i, साइन थीटा तो अगर इस एक्सप्रेशन को हम हमारा जो गिवन एक्सप्रेशन है गिवन मतलब यह वन एक्सप्रेशन एक्सप्रेशन नंबर वन जो हम डिवाइट की है इसके साथ मैच करेंगे अगर इन दोनों को हम मैच करते हैं तो हम देखते हैं राइट हैंड साइड के रियल कंपोनेंट को हम इक्वेट कर सकते हैं यानि कि हम कह सकते हैं कि आर कॉस्ट थीटा इज एक्वेल टू माइनस फॉर आर साइन थीटा इज एक्वेल टू फॉर रूट थ्री ठीक है आर की वैल्यू है 8 तो cos theta हो जाएगा minus 4 by 8, यानि कि minus 1 by 2, उसी तरह sin theta हो जाएगा 4 root 3 by 8, यानि कि root 3 by 2, ठीक है, तो हम यहाँ पर क्या देखते हैं, कि cos theta की value जो है, वो है negative, sin theta की value है positive, तो sin theta positive, cos theta negative, बिल्कुल पिछले वाले question के जैसा ही है, यानि कि यह भी लाई करेगा हमारे second quadrant में, तो यहाँ पर भी theta कहां लाई करेगा, second quadrant पे, ठीक है, तो sin theta की value root 3 by 2 कब होती है, जब theta 60 degree होती है, लेकिन 60 degree lie करता है first quadrant में, और 60 degree क्या होता है, pi by 3, exactly, तो अगर हमें second quadrant में value चाहिए, तो हम क्या कहेंगे, हम कहेंगे कि sin pi by 3 को हम लिख सकते है, sin pi minus pi by 3, right, तो यानि कि हम लिख सकते हैं sin 3 pi minus pi by 3, यानि कि sin 2 pi by 3, ठीक है, therefore, theta की जो value है, वो हो जाएगी 2 pi by 3, sin pi by 3 कहां से आया, क्योंकि यह जो root 3 by 2, यह क्या है, root 3 by 2 is equal to होता है sin pi by 3, but pi by 3 हमको चलेगा नहीं, क्योंकि pi by 3 lie करेगा इस quadrant में, first quadrant में जो की नहीं चलेगा इस question के हिसाब से, so अब हमें theta की value भी मिल गई, जो की है 2 pi by 3, तो फिर हम लिख सकते हैं इसका polar form, तो फिर इसका polar form हो जाएगा, z is equal to 8 into cos 2 pi by 3, plus i sine 2 pi by 3, तो ये हो गया polar form of the given complex number, तो हर जगबस यही दो चीज़े करनी है पहले R निकालना है जो की modulus of Z है उसके बाद थीटा निकालना है हाँ तो हमने पढ़ लिया पूरा complex numbers लगभग at least जो भी हमें अभी के level पे पढ़ना था वो सब हमने पढ़ लिया है तो अब हम जाते हैं वापस वहीं पे जहां से हमारी कहानी शुरू हुई थी तो हमारी कहानी कहां से शुरू हुई थी? quadratic equations से क्योंकि हम कह रहे थे कि quadratic equation का जो third वाला case था ना जब discriminant less than 0 होता था वो हम solve भी नहीं कर पाते थे बिना complex numbers के तो अब तो complex numbers बता है तो जाओ जाके solve करो so let us look at few questions कुछ ऐसे quadratic equations solve करते हैं जहाँ पर d less than 0 है है तो quadratic equation क्योंकि जो variable का power है maximum power यहाँ 2 है but यह इतना simple equation है कि इसमें यह discriminant वाला formula use करनी के ज़रूरत ही नहीं है इसको हम directly लिख सकते हैं कि x square is equal to minus 3 तो x is equal to root over minus 3 root over minus 3 को हम क्या लिख सकते हैं root over minus 1 into 3 इसको ऐसे लिख ही सकते हैं root over minus 1 क्या होता है i अचलाब iota और उसके साथ root 3 तो x की value हो जाएगी iota root 3, basically plus minus iota root 3, ठीक है, तो हमने कर लिया equation solve, अगर आप चाहो just to verify, आप इस equation पे discriminant निकाल के उस तरह से भी अगर value निकालते हो तो आपको same answer मिलेगा, अब चलते है question number 2 की तरफ, solve x square minus x plus 2 is equal to 0, चलो इसमें हम discriminant वाला method यूज़ करते हैं, सबसे पहले coefficients द General form क्या होता है quadratic equation का, AX square plus BX plus C, तो A की value क्या है 1, B की value क्या है minus 1, और C की value क्या है 2, तो इन values के help से हम discriminant निकाल सकते हैं, तो इन values के help से हम discriminant क्या होता है, root over B square minus 4AC, तो B square हो जाएगा 1, माइनस 4 इंटू ए इंटू सी तो यह हो जाएगा 1 माइनस 8 यानि की माइनस 7 विच इज लेस दन जीरो इसका मतलब है इसके जो रूट सोंगे वह कैसे वाले रूट सोंगे इसके इमेजिनरी रूट सोंगे यानि की नो रियल रूट्स यहां तक तो हम पहले भी करते थे राइट अब यहां पर हम जो अलग करेंगे वह है कि हम एक्स की वाल्यू निकालेंगे जो कि है माइनस बी प्लस माइनस रूट ओवर डी करते थे पहले अब क्या है अगर हम चाहें तो हम directly इसको क्या लिख सकते हैं, एक option है ऐसे लिख सकते हैं, कि root over b square minus 4ac by 2 है, यह हमारा x होता है, अब इसको हम further क्या कर सकते हैं, अब चुकी यह पूरी चीज negative है, तो इसे हम क्या लिख सकते हैं, root over minus 1 into 4ac minus b square, क्योंकि ये वाला term छोटा है और ये term बड़ा है, इसलिए इनका जो difference आता है, वो negative में आता है, तो अगर हम इसे minus 1 से multiply कर दें, तो हम इसे ऐसे लिख सकते हैं, right, मैं आपको बता रही हूँ कि जो formula में change आया है न, वो कहां से आया है, वो बताने के लिए ही मैं ये घुमा के ल 4AC-B2, 4AC हो जाएगा 8, और B2 हो जाएगा 1, divided by 2A, यानि कि 2, minus B, B की value है 1, तो ये हो जाएगा 1 plus minus root over 7 iota by 2, यह हो जाएगी x की value, तो x के 2 possible values हो जाएगे, 1 plus root over 7 iota by 2, और 1 minus root over 7 iota by 2, तो इस तरीके से हम quadratic equation solve करेंगे, एक और question देखते हैं, इस तरह के question generally, कई बार, JEE के exams में भी आए हैं, तो देखते हैं हम इसे attempt कर पाते हैं कि नहीं, find real theta such that 3 plus 2 iota sine theta, बाई 1-2 आयोटा साइन थेटा is purely real, तो मैंने क्या बताया था कि complex number का जो general format होता है, वो होता है A plus आयोटा B, अगर ये pure real है, इसका मतलब क्या है, pure real होने के लिए B की value होनी परीगी 0, ठीक है न, तो इसका मतलब है, इस question में हमारा target क्या होगा, कि जो भी ये expression दिया हुआ है, और उसके बार b को 0 से equate कर देना है, ठीक है, तो पहला step क्या है, कि जो हमारे पास दिया हुआ है, यानि कि 3 plus 2 iota sine theta, divided by 1 minus 2 iota sine theta, इसको जो है, मुझे लिखना है a plus iota b के form में, तो सबसे पहले denominator से मुझे छुटकारा चाहिए, यह iota वले term से, और इससे छुटकारा पाने के लिए क्या करेंगे, इसके conjugate से multiply कर देंगे, उपर नीचे, तो 1 plus 2 iota sine theta, उपर भी हो जाएगा 1 plus 2 iota sine theta ठीक है तो फिर ये क्या हो जाएगा 3 plus 2 iota sine theta into 1 plus 2 iota sine theta divided by a minus b into a plus b तो a square minus b square तो b square हो जाएगा 4 sine square theta और i square हो जाएगा minus 1 तो इसको plus बना देते हैं ठीक है ना अब इसको क्या लिख सकते हैं अब इसको हम मल्टिप्लाई करेंगे जैसे 3 x 1 हो जाएगा 3 x 3 x 2 आयोटा साइन थीटा हो जाएगा 6 आयोटा साइन थीटा 2 आयोटा साइन थीटा इंटू वन हो जाएगा 2 आयोटा साइन थीटा इंटू आयोटा साइन थीटा इंटू आयोटा साइन थीटा यह हो जाएगा 4 आयोटा स्क्वेर साइन थीटा स्क्वेर अब आयोटा स्क्वेर माइनस वन है तो इसलिए इस प्लस को माइनस कर देते हैं डिवाइडेड बाई 1 प्लस 4 साइन स्क्वेर थीटा तीके तो ऊपर हम इसे लिख सकते हैं 3 प्लस 8 आयोटा साइन थीटा माइनस 4 साइन स्क्वेर थीटा डिवाइडेड बाई 1 प्लस 4 साइन स्क्वेर थीटा तीके अब हम देखते हैं कि इसे अब तो और फर्दर सिंप्लि� तो real terms क्या है 3 minus 4 sine square theta और imaginary term है iota into 8 sine theta ठीक है इसका भी denominator हो जाएगा 1 plus 4 sine square theta इसका भी denominator हो जाएगा 1 plus 4 sine square theta तो general expression के हिसाब से ये पूरा जो है ये हमारा A की तरह है plus iota और ये पूरा जो है ये हमारा B की तरह है ठीक है तो according to हमारा logic जो है कि ये question कहते है कि इसे purely real होना चाहिए, तो उस हिसाब से according to question b की value 0 होनी चाहिए, therefore 8 sin theta divided by 1 plus 4 sin square theta, इसकी value होनी चाहिए 0, तो इसका मतलब है कि sin theta की value होनी चाहिए 0, तो sin theta 0 कब होती है, जब theta की value होती है n pi, for all n belongs to z, तो थीटा की value हो जाएगी n पाई तो अगर आप इस question को देखे ये मुश्किल तो बिल्कुल भी नहीं है, just that ये जो expression दिया हुआ था ना, complex number का, देखके थोड़ा complicated लग रहा था, बग अगर आप ठंडे दिमाग से इसको step by step calculate करोगे तो ये मुश्किल तो बिल्कुल भी नहीं है, ठीक है ना, चलो फिर एक और तो जो हमारा given complex number है, वो है minus 6 minus 24 iota, और कहा जा रहा है, कि ये जो दिया हुआ है, ये इसका conjugate है, अब ideally इसका conjugate क्या होना चाहिए, minus 6 plus 24 iota, क्योंकि conjugate निकालते समय हम क्या करते हैं, जो imaginary term है, उसका खाली sign change कर देते हैं, तो इसका मतलब question के हिसाब से, ये जो दिया हुआ है, x minus iota y, into 3 plus 5 iota, this is equal to conjugate of z, यानि कि minus 6 plus 24 iota, इसका मतलब x minus iota y is equal to minus 6 plus 24 iota, divided by 3 plus 5 iota, ठीक है ना, तो अगर हम इस पूरे expression को x plus iota y के form में लिख देते हैं, तब हम left hand side और right hand side में x को equate कर सकते हैं, y's को equate कर सकते हैं, मतलब real terms को equate कर सकते हैं फिर imaginary terms को equate कर सकते हैं और ऐसा करने से पहले हमें क्या करना पड़ेगा इसके जो denominator में iota वाला term है उससे छुटकारा पाना होगा तो उपर नीचे multiply करेंगे 3-5 iota से तो हमें क्या मिलेगा उपर मिलेगा minus 6 plus 24 iota into 3-5 iota और नीचे मिलेगा a plus b into a minus b, यानि कि a square minus b square, अब iota square भी रहेगा, iota square is minus 1, तो ये plus हो जाएगा, ठीक है न, अब उपर का calculation करते है, minus 6 into 3 हो जाएगा, minus 18, उसके बाद हो जाएगा, minus 6 into minus 5i, ये हो जाएगा 30i, या iota, plus 24i into 3, ये हो जाएगा plus 72i, प्लस 24 आयोटा माइनस 5 आयोटा यह हो जाएगा प्लस 120 क्योंकि आई स्क्वेड इज इक्वल टू माइनस वन तो इससे माइनस माइनस प्लस हो जाएगा ठीक है डिवाइडेड बाइट 309 प्लस 55025 तो यह हो जाएगा 34 आगे की कैलकुलेशन इस तरफ करते हैं तो फिर इसकी वैल्यू क्या हो जाएगी इसकी वैल्यू हो जाएगी 102 आयोटा प्लस 102 डिवाइडेड बाइट 34 तो इसको हम क्या लिख सकते हैं, 102 by 34 plus 102 by 34 iota, अब इसको अगर हम cancel करें, तो 34 into 3 होता है 102, यहाँ पर भी वही, तो यह हो जाएगा 3 plus 3 iota, अब हम left hand side और right hand side को compare करते हैं, left hand side में throughout क्या था, x minus iota y, तो वो भी लिख लेते हैं हम, x minus iota y is equal to 3 plus 3 iota, तो अब real terms को equate कर सकते हैं, तो हम कह सकते हैं कि x is equal to 3, और अगर imaginary term के coefficient को equate करें, तो हम कह सकते हैं कि minus y is equal to 3, therefore y is equal to minus 3, तो values क्या हो जाएंगे, x is equal to 3 and y is equal to minus 3, तो इस तरह से हम complex numbers से related, कुछ complicated या हलके से twisted questions को हम इस तरीके से attempt कर सकते हैं, मुझे उम्मीन है कि आपको ये वीडियो पसंद आया होगा और आपको जैसा भी लगा है ये वीडियो आप प्लीज अपना फीडबाक मुझे कॉमेंट सेक्शन में बताएं क्योंकि यौर फीडबाक इस वेरी इंपोर्टेंट टू अस जिन बच्चों को नहीं पता है उन्हें मैं बता दूं कि हम एक सीरीज चला रहे हैं अभी जिसे हम कह रहे हैं क्लास 11th Maths के Crash Course वीडियो या फिर One Shot वीडियो जिसमें हम पूरा चाप्टर खतम कर रहे हैं एक वीडियो में हाला कि एक वीडियो में खतम कर रहे हैं बट हर बड� के साथ पढ़ा रहे हैं और इन वीडियो को देखने के बाद हमारा यकीन है कि सब को मैथ समझाएगा और सबको मैथ सॉल्व करने में बहुत मजा आने वाला है इसके अलावा जब आप क्वेश्चन्स खुद से सॉल्व कर रहे हैं अगर आप किसी भी क्वेश्चन में अटक जाते हैं आपके कुछ पे डाउट्स आते हैं तो आप इंडिविजुली परसनली अपने डाउट्स हमसे पूछ सकते हैं तो हमारा एक टेलिग्राम ग्रूप है लर्नोहब क्लास 11 जिसमें सिर्फ 11th क्लास के बच्चे जॉइन करते हैं और वो अपने सारे डाउट्स आते हैं doubts पूछ सकते कुछ भी किसी भी तरह की query questions सब पूछ सकते तो हमने अपने telegram group का link जो है वो description में दिया हुआ है तो आप उस group को भी join कर सकते हैं तो हमारी कोशिश यही है कि हमारे इस video series के साथ हम हर बच्चे के maths के डर को भगा सके ठीक है तो मुझे उमीद है कि ये जो मेरी उम जल्दी मिलूंगी एक नए वीडियो के साथ एक नए टॉपिक के साथ तब तक के लिए स्टे

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