Ciąg arytmetyczny

Wprowadzenie

• Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej liczby (różnicy) do poprzedniego wyrazu.
• Różnicę ciągu oznaczamy literą ( r ).

Wzory

Różnica ciągu

• ( a_{n+1} - a_n = r )
• Różnica ciągu to wynik odejmowania poprzedniego wyrazu od kolejnego._

Wzór ogólny

• ( a_n = a_1 + (n-1)r )
• Pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu znając pierwszy wyraz ( a_1 ) oraz różnicę ( r ).

Monotoniczność ciągu

• Ciąg rosnący: różnica ( r > 0 )
• Ciąg stały: różnica ( r = 0 )
• Ciąg malejący: różnica ( r < 0 )

Wzór na sumę n początkowych wyrazów

• Dwa wzory:
  1. ( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} )
  2. ( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)r] )

Średnia arytmetyczna sąsiadów

• Każdy wyraz w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiadujących wyrazów.
• ( a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} )
• Można rozszerzyć na dowolne wyrazy oddalone o równe liczby miejsc.

Własności dodatkowe

• Jeśli ( a_k - a_n ) dla ( k > n ) to różnica ((k-n)r).
• Wykres ciągu arytmetycznego to kropki zamiast linii prostej, zaczynające się dla ( n = 1 ).
• Ciąg arytmetyczny jest analogią do funkcji liniowej.
• Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej odpowiada różnicy ciągu.

Praktyczne wskazówki

• Wzory nieobecne w karcie wzorów są oznaczone kolorem fioletowym (np. monotoniczność, sąsiedzi).
• Przy zadaniach maturalnych warto pamiętać, że analogie do funkcji liniowych mogą ułatwić rozwiązywanie problemów związanych z ciągiem arytmetycznym.

Zadanie do samodzielnego rozwiązania

• Oblicz sumę 20 wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazach: (-5, 1, 7, \ldots)

Teoria zakończona, zadania praktyczne w kolejnym materiale.