Cześć z tej strony Artur dzisiaj powiemy sobie wszystko o ciągu arytmetycznym zapraszam OK Dzisiaj ciąg arytmetyczny dzisiaj taki materiał bardziej teoretyczny tak żebyście poznali wszystkie własności wzorki i różne takie po prostu rzeczy związane właśnie z ciągiem arytmetycznym jakie mogą wam się przydać W zadaniach a zadania zrobimy sobie w kolejnym materiale także Dajcie od razu znać w komentarzach czy bylibyście czymś takim zainteresowani w najbliższym czasie jakiś przykładowy ciąg o co w ogóle chodzi załóżmy jakbyśmy mieli taki Ciąg liczb -3 1 5 9 no i zaraz się zastanowimy co będzie dalej pamiętamy Mam nadzieję że ten wyraz korzystna Pierwszy wyraz ciągu podpisywany na w indeksie dolnym nasza jedynka to będzie nasz Drugi wyraz ciągu nasza piątka to będzie trzeci wyraz ciągu i tak dalej i tak dalej Zastanówmy się co tu się dzieje z tymi wyrazami że żeby rzeczywiście dostać każdy kolejny żeby z minus trójki i zrobić jedynkę No to co trzeba by było zrobić jedno to trzeba by było dodać na przykład cztery nie nawet dokładnie cztery z jedynki żeby to zrobić piątkę to znowu trzeba dodać 4 okej i tak dalej i tak dalej za Oczywiście że w takiej sytuacji trzeba po prostu dodawać taką samą stałą liczbę do tej poprzedniej żeby dostać kolejny wyraz tego ciągu i właśnie taki ciąg którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodawanie stałej liczby do poprzedniego wyrazu nazywamy ciągiem arytmetycznym i ta liczba ta tutaj na górze ta którą właśnie cały czas dodajemy to jest tak zwana Różnica ciągu i tą różnicę ciągu oznaczamy małą literką r jak różnica I teraz jeżeli wiecie że Ciąg jest arytmetyczny No różnicę ciągu można policzyć ze wzoru że to jest jakiś kolejny wyraz ciągu czyli an +1 to n + 1 jest w indeksie dolnym to nie jest +1 że do tego wyrazu dodajecie jeden minus wyraz na którym stoicie Czyli jakiś enty Dobra to ciężkie rzeczy tu są zaraz sobie powiemy o co chodzi tego wzoru nie ma w karcie wzorów od razu wam powiem natomiast No wydaje mi się że jest to dość oczywiste Jak działa Różnica ciągu bo sama nazwa wskazuje że macie odjąć bo różnica to wynik odejmowania od kolejnego wyrazu ten na którym stoicie No jeżeli natomiast wiecie że ten Ciąg jest arytmetyczny No to wiemy że ta różnica jest zawsze taka sama między tymi wyrazami i wtedy możecie dowolne dwa wyrazy kolejne od siebie odjąć czyli na przykład kiedy n będzie równe dwa tak w tym wzorze No to ta różnica będzie Jak wyglądać ta różnica to będzie A no 2 + 1 To będzie A3 -2 tak w ten sposób by to zadziałało jeżeli to en byśmy sobie tutaj wyobrazili że jest jedynką no tą różnicą możemy wtedy policzyć że to jest A2 - 1 czyli Drugi wyraz minus pierwszy wyraz ale jak n będzie równy nie wiem 20 nie ma problemu no to tą różnicę policzycie ze wzoru że to będzie 20 dodać 1 czyli a 21 minus a 20 tak na przykład jeżeli wiecie że Ciąg jest arytmetyczny to nie ma znaczenia Które wyrazy od siebie odejmiecie tylko byle były te obok siebie No dobra no to z grubsza sobie powiedzieliśmy tak intuicyjnie No to co jaki będzie tu kolejny wyraz No w takim razie do dziewiątki trzeba też dodać 4 czyli 9 dodać cztery byłoby 13 tak później kolejny byłby znowu plus cztery Czyli 17 tak później 21 i tak sobie możemy w nieskończoność działać na tym No dobrze no to jak jesteśmy przy różnicy to powiedzmy sobie o monotoniczności ciągu czyli monotoniczność ciągu mam na myśli kiedy ksiądz jest rosnący malejący lub stały No może być jeszcze ciąg nie malejący bądź też ciąg nie rosnący Ale to nie to w przypadku arytmetycznego się nie da arytmetyczna żeby tylko rosnący może być tylko malejący może być tylko stały ten ciąg na który tutaj spojrzymy No bo co to znaczy że ciąg jest rosnący to oznacza że każdy kolejny wyraz jest coraz większy No to u nas -3 1 5 9 no one ewidentnie coraz ma większe te wyrazy które zapisałem będzie ciągiem rosnącym natomiast tak ogólnie jeżeli chodzi o monotoniczność ciągu to to zależy od tej różnicy Czyli jeżeli ta różnica jest dodatnia to wtedy nasz ciąg jest rosnący No mógł go napisać rosnący albo użyjemy takiego symbolu umówmy się że to oznacza że to jest ciąg rosnący jeżeli różnica będzie równa zero to wtedy ten ciąg będzie po prostu stały czyli wszystkie wyrazy byłyby takie same takim ciągiem to był ciągle na przykład nie wiem 5 5 5 i tak dalej no wszystkie wyrazy są takie same No to różnica 5 - 5 da nam zero tak czy rzeczywiście to będzie się zgadzać ale jeżeli różnica będzie ujemna no to wtedy z tego będzie wynikać że nasz ciąg będzie malejący czyli to na przykład byłby jaki ciąg na przykład 2 - 1 - 4 i tak dalej to Zauważcie że co trzeba dodać No tu trzeba dodać jakby -3 Czyli po prostu odjąć 3 czyli odjąć 3 czyli -3 jest równe r czyli nasza różnica jest ujemna więc ciąg będzie malejący No chyba w miarę jasne i logiczne wydaje mi się to co tu na fioletowo wam Zaznaczam Uwaga to są rzeczy których nie będzie w karcie wzorów a w innych kolorach są rzeczy które są w karcie wzorów o monotoniczności ani o wzorze na różnice nic tam nie ma w teorii więc to robimy sobie na fioletowo Żeby nie było że później nie będziecie wiedzieć co się dzieje jako gwiazdka tak Czyli tego nie ma w karcie wzorów na to uważamy dobra No i teraz najważniejsze wzór który już jest w karcie wzorów to jest tak zwany wzór ogólny No i wzór ogólny to jest wzór którym dzięki któremu możecie policzyć dowolny wyraz tego ciągu nie wiem setny 5227 który chcecie mając Oczywiście podstawowe informacje na temat tego ciągu Czyli pierwszy wyraz i różnice tego ciągu wzór ogólny ciągu to jest AN równa się A1 dodać n minus 1 czyli tych różnic jest o 1 mniej niż numer wyrazu razy nasza różnica r no i tutaj to co jest ważne wy musicie to A1 i to r mieć tutaj wstawiony jako liczby żeby ten wzór ogólny został wam zaliczony że go wyznaczyliście Jedyne co tu ma zostać jako niewiadoma to musi zostać nam n no i ten wzór ogólny Jak działa Jeżeli macie jakieś zadaniu na przykład że jest jakiś siódmy wyraz to można spokojnie napisać że A7 to będzie A1 No i tych erów jest o jeden mniej niż numer wyrazu No to 7 -1 to będzie od razu 6 Czyli będzie dodać 6R tak na przykład wyraz 50 to będzie A1 + No o jeden mniej niż numer wyrazy czyli dodać 49r i tak dalej i tak dalej na w zasadzie ten wzór działa i teraz tak uwaga ogólnie ciągi są dość podobne do funkcji Powiedzmy sobie szczerze Z tą różnicą że przy funkcji na przykład jak macie fx = 2x + 1 wykresem takiej funkcji tak to by była jedynka i ona by jakoś szła do góry byłyby taki wykres tej funkcji i tutaj x należy do rzeczywistych czyli dziedziną są wszystkie możliwe liczby rzeczywiste Natomiast w przypadku ciągu jeżeli byśmy mieli an równe 2n + 1 czyli tak naprawdę zamienia nam się po pierwsze zamiast f od x mamy a z indeksem n tak czyli zamiast Nazwy funkcji f to teraz mamy nazwę ciągu a i zamiast w nawiasie argument funkcji x to mamy w indeksie dolnym można powiedzieć numer wyrazu No tutaj taka różnica że n musi być liczbą naturalną dodatnią tak I to zmienia tyle że nawet jeżeli chcecie to sobie narysować to wykres tu będzie n wtedy a tu będzie an No to tak naprawdę wy zaczynacie dopiero od jedynki dla jedynki będzie No co n = 1 to tu będzie gdzieś 3 tak to będzie kropka później dla dwójki będzie będzie 5 czyli gdzieś tu będzie kropka czyli tu będą po prostu kropki wykresem takiego ciągu są kropki A nie tak jak w przypadku funkcji linia prosta tak i to jeszcze zaczynający się dopiero dla równego 1 a nie od zera jeszcze teraz jak wracając na szybko właśnie do tej funkcji liniowej i ciągła arytmetycznego to tak naprawdę Zauważcie że współczynnik a który jest współczynnikiem kierunkowym funkcji liniowej w przypadku ciągła arytmetycznego to jest to samo co nasza Różnica ciągu czyli pamiętajcie o tym że ta liczba która stoi właśnie przy waszym e nie we wzorze ogólnym ciągu odpowiada po prostu różnicy Dlaczego o tym mówię No bo patrząc na to jaka liczba stoi właśnie tutaj przy tym naszym enie tak po prostu to możecie rzeczywiście łatwo odczytać czy po pierwsze w ogóle jest to ciąg arytmetyczny a po drugie Jaka jest monotoniczność tego ciągu tak Bo jakbyśmy mieli na przykład członka N na zapisanym wzorem że to jest -3 n + 1 No to już widać ewidentnie że nasze -3 to jest nasze r czyli nie dość że to jest ciąg arytme na pewno to jeszcze będę będzie to ciąg No malejący bo nasze r jest ujemny jeżeli nasz Ciąg an na przykład będzie miał wzór no załóżmy 5 dodać 4N No to również będzie to ciąg arytmetyczny tylko tyle że naszym tym współczynnikiem przy enie jest czwórka czyli to jest nasz RR jest dodatnie więc ten ciąg będzie rosnący ale również będzie to ciąg arytmetyczny jeżeli ogólnie n pojawia wam się do pierwszej potęgi analogicznie jak x funkcji liniowej to będzie to ciąg arytmetyczny ale jest dość spora analogia między funkcją liniową a ciągiem arytmetycznym tak ogólnie jeżeli jakby zamieniając sobie N na X tak w głowie widzicie że to by była funkcja liniowa to też oznacza że będzie to ciąg arytmetyczny na pewno bo te kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego rosną liniowo po prostu powiedzmy sobie szczerze dobrze Mamy wzór ogólny ciągu teraz coś takiego co myślę że też by się przydało nam powiedzieć sobie szczerze natomiast niekoniecznie będzie o tym w karcie wzorów nawet nie ma na pewno Na tym przykładzie co mamy tutaj załóżmy od czwartego wyrazu bym chciał odjąć Drugi wyraz tak Czyli od dziewiątki Chciałbym odjąć 1 No to dostanę 8 nie Natomiast to 8 to tak naprawdę mi wskoczyło przez te dwie różnice które musiałem dodać od A2 do A4 Czyli można powiedzieć że jak od A4 odejmę A2 to dostanę dwie różnice nie Jakbym na przykład od A4 chciał odjąć A1 Czyli z tego wyrazu do tego No to co No to trzy różnice mi tu wskoczyły tylko muszę się cofnąć czyli odjąć Czyli dostanę wtedy trzy różnice Nie no dobra jak na przykład od 50 wyrazu odejmę sobie wyraz dwudziesty to Jak myślicie ile różnic będzie no 30 różnic między tymi wyrazami tak naprawdę będzie Czyli ogólnie taki wzór i taka własność której No nie ma w karcie wzorów natomiast ułatwia czasami zadania to to że jeżeli macie jakiś no Nazwijmy sobie Katy wyraz i od niego odejmujecie enty wyraz dostaniecie różnice tych numerów tych wyrazów czyli Kamil Zen razy wasza różnica oczywiście tu powinien gdzieś napisać że że k jest większe niż n i n i k należy do liczb naturalnych dodatnich Oczywiście to jest wzór na fioletowo bo jego nie ma w karcie wzorów warto o tym wiedzieć że to w ten sposób działa dobra No to lecimy dalej teraz będzie wzór na sąsiadów można powiedzieć czyli wyrazy sąsiadujące ciągu może zrobimy sobie tak w cudzysłowie to będą sąsiedzi Zauważcie jedną rzecz że jak weźmiemy sobie na przykład tą piątkę nie to Zauważcie że jak dodamy 1 do 9 to dostaniemy 10 jak zrobimy z nich średnio arytmetyczną czyli podzielimy na dwa to dostaniemy 5 czyli Wow co tu się stało Dostaliśmy tą liczbę która była pomiędzy idealnie nie okej No to Sprawdźmy jeszcze coś innego załóżmy ja bym sobie tu wziął yyy No nie wiem -3 i 5 tak tych dwóch sąsiadów jedynki sobie do siebie dodam czyli minus 3 dodać 5 na 2 No to to będzie 2 na 2 No to wychodzi jeden No patrzcie Patrzcie jedynka jedynka też się zgadza czy ogólnie w ciągu arytme jest coś takiego że każdy wyraz jest średnio arytmetyczną dwóch sąsiadów który którzy stoją obok tego wyrazu czyli żeby to tak zapisać ogólnie to możemy napisać że jakiś nty wyraz to jest poprzedni wyraz czyli n -1 numer będzie miał dodać an dodać 1 czyli to będzie ten kolejny wyraz podzielić na 2 Okej to jest wzór na sąsiadów i teraz też sobie zrobimy taką jakby żebyśmy sobie to ułożyli dokładnie o co chodzi czyli na przykład jak za n wstawię dwójkę No to dostanę że A2 będzie równy A1 dodać A3 przez 2 czyli drugi to jest pierwszy plus trzeci na dwa okej ale jak za np stawię 10 tak no to będzie że mój dziesiąty wyraz to będzie 10 minus 1 to 9 czyli 9 wyraz tego ciągu dodać 10 + 1 czyli 11 wyraz tego ciągu podzielić na 2 tak na przykład najczęściej się stosuje w ogóle kiedy n jest równy 2 czyli że drugi to jest pierwszy pierwszy plus trzeci ma bardzo często się z tego korzysta w zadaniach jakichś maturalnych tak żebyście wiedzieli że coś takiego się dzieje natomiast jest pewna taka konsekwencja tego wzoru którego też nie ma w karcie wzorów i który wam tutaj dorzucę jakbyśmy w tym sobie początkowym wyrazie jeszcze kilka wyrazów dorzucić załóżmy pięć sobie dorzucimy czyli tu będzie 13 jeszcze 17 sobie dorzucimy będzie A6 Okej to tak naprawdę ta średnia arytmetyczna niekoniecznie działa tylko między sąsiadami bo jeżeli ja na przykład sobie wezmę i się zastanowię nie nad bezpośrednimi sąsiadami czyli 5 + 13 No to 18 na 2 da nam 9 ale wezmę sobie sąsiadów odsuniętych o tyle samo w obie strony czyli na przykład Mogę sobie wziąć sąsiada oddalonego o dwa od dwa numery czyli był był czwarty wyraz to biorę sobie Drugi wyraz ale w takim razie też się odsuwam o dwa w prawą stronę nie tu dwa i tu dwa się odsuwam to Zauważcie że jeden dodać 17 na 2 też daje dziewięć tak samo jak pięć dodać na 2 18 też daje 9 tak Czyli ogólnie niekoniecznie to muszą być sąsiedzi to też jest taka własność której nie ma w karcie wzorów więc na fioletowo sobie zrobimy Czyli że ten enty wyraz to nie musi być a n minus 1 tylko to może być a n minus jakieś tam załóżmy k o ile się odsuwamy w lewą stronę numerów dodać jakiś wyraz an ale dodać ta sama liczba k w numerze wyrazów również podzielić na 2 tego wzoru nie ma w karcie wzorów tej własności więc myślę że warto sobie to zapamiętać też z gwiazdką sobie zrobimy przykład Chodzi mi o to że na przykład nie wiem 20 wyraz to może być wyraz 15 czyli cofnąłem się o 5 od 20 to może też teraz 5 się dorzucić do 20 czyli to będzie wyraz 25 na 2 na przykład nie albo mogę zrobić że na przykład mój ósmy wyraz będzie Drugi wyraz czyli cofnąłem się o ile o 6 numerów to teraz się muszę dorzucić sześć numerów do ósemki czyli to będzie 14 2 dodać a14 podzielić na 2 tak też można zrobić także to też polecam mieć świadomość że to tak działa dobra żeby nie było tutaj napiszemy tak oczywiście tutaj k musi być mniejsze niż n już w tej sytuacji i kijem też naturalne dodatnie oczywiście no dobra czyli to są sąsiedzi tacy ponadprogramowi natomiast jeszcze na koniec mamy takie coś jak wzór na sumę N początkowych wyrazów takiego ciągu No i teraz to też wynika można powiedzieć właśnie z tych sąsiadów różnych natomiast jakbyśmy się przyjrzeli temu ciągowi No Zauważcie taką sytuację że no chcielibyśmy na przykład dodać sześć wyrazów tego ciągu do siebie to można zauważyć taką własność że jeżeli ja siedemnastkę i -3 dodam do siebie to ile dostanę No to będzie 14 tak Dobra wezmę teraz sobie jakby Drugi wyraz i przedostatni wyraz jeden dodać 13 to też będzie 14 o to trochę wynika z tych sąsiadów no i wezmę teraz piątkę i wez dziewiątkę Czyli biorę sobie Trzeci wyraz i trzeci od końca nie czyli jakby jakby cały czas idę do środka z tymi wyrazami 5 plus 9 też mi da 14 No to żeby policzyć co ma tych wyrazów to mu wystarczy że ja 14 pomnożę przez 3 albo inaczej 7 razy 6 Czyli mógłbym sobie policzyć średnią arytmetyczną ostatniego wyrazu i pierwszego wyrazu Moja średnia arytmetyczna No to będzie 14 na 2 14 na 2 czyli 7 tak I wiem że średnia każdy tych każdej takiej pary tak Czyli średnia tych dwóch wyrazów jest siedem średnia arytmetyczna tych dwóch wyrazów jest 7 średnia tych dwóch wyrazów wyrazów jest siedem Czyli możemy sobie policzyć średnią arytmetyczną właśnie jakiś w sumie tych dwóch skrajnych wyrazów i ta średnia będzie taka sama później pomiędzy każdą taką parą wyrazu czyli średnia arytmetyczna da nam 7 i wystarczy teraz tą średnią pomnożyć przez ilość wyrazu mamy sześć wyrazów 7 x 6 No to będzie 42 No czyli ta suma sześciu wyrazów powinna wyjść 42 No jak nie nie wierzycie to można sobie wziąć kalkulator I co no -3 + 1 + 5 + 9 + 13 i dodać 17 wyszło 42 dokładnie tyle samo link do trików na kalkulatorze trzymajcie tutaj No i dlaczego ja o tym mówię No bo mamy wzór właśnie na sumę początkowych wyrazów czyli oczywiście żebyśmy sobie powiedzieli Suma n początkowych wyrazów mamy na myśli że to będzie A1 dodać A2 No i dodać tak długo dodajemy te wyrazy aż dojdziemy do tego entego wyrazy czyli na przykład S4 to by było A1 dodać A2 dodać a3 + a4 A jakieś s20 No to by trzeba było 20 wyrazów od pierwszego do 20 do siebie dodać No i Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy na to dwa wzory pierwszy wzór to jest ten co sobie mówiliśmy już że wystarczy dodać pierwszy i ostatni do siebie i wyciągnąć z tego średnio arytmetyczną czyli podzielić sobie na dwa wtedy wiemy że w sumie wszystkie te średnie będą takie same wystarczy to pomnożyć w takim razie Przez N OK to jest pierwszy wzór i z tego wzoru Korzystamy w w momencie kiedy rzeczywiście macie ten enty wyraz tak na przykład zadanie Czy macie pierwszy i ósmy macie policzyć sumę ośmiu wyrazów tak czyli na przykład S8 jakbyśmy mieli policzyć No to dodajemy A1 dodaję Do tego dodajemy A8 dzielimy na 2 i mnożymy przez 8 na przykład tak w ten sposób byśmy to policzyli natomiast jest jeszcze drugi wzór który wynika z tego że tak naprawdę jak nie macie an to mo to można wtedy sobie za to an które mamy tutaj wstawić wzór na n-ty wyraz ciągu czyli to A1 dodać n minus 1 razy r po prostu no to Zauważcie że jakbyśmy to wstawili to tak to A1 dodać to A1 to będzie 2 A1 czyli 2a1 dodać no n minus 1 razy r podzielić również na 2 i to wszystko pomnożyć przez n to już w gruncie rzeczy jest w karcie wzorów jak coś więc można sobie przypomnieć gdzieś tam na maturce nie ma problemu okej natomiast czemu dwa wzory No bo z tego będziemy korzystać jeżeli na przykład w zadaniu dadzą wam Ile wynosi pierwszy wyraz i powiedzą wam Ile jest równa różnica tak na przykład powiedzą że a1 jest równy 3 a różnica jest równa 5 Policz sumę 12 wyrazów no to wtedy Zamiast najpierw liczyć sobie enty wyraz z tamtego wzoru wstawiać tutaj to można od razu wklepać to wszystko do tego wzoru czyli jakbyśmy mieli policzyć na przykład S12 to było dwa razy trzy dodać 12 - 1 x 5 / 2 i pomnożyć przez 12 tak trzeba by było to policzyć oczywiście ale w ten sposób byśmy takie zadanie zrobili teraz jeszcze dorzucimy sobie coś takiego czego nie ma w karcie wzorów o czym niekoniecznie każdy wie na bardziej myślę że na zadaniach z tego z tego tematu na rozszerzeniu gdzieś takie zadanie się może pojawić czyli mieć taką świadomość że na przykład jeżeli byście dostali zadanie że dostajecie wzór na przykład na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego że na przykład ten wzór to jest i macie na przykład wyznaczyć ten ciąg tak macie wyznaczyć wzór ogólny ciągu tak Czyli macie wyznaczyć Jak policzyć a n równa się A1 dodać n minus 1 razy r tak wy musicie w taki sposób wtedy wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu i różnice ciągu No i tu mogłyby się pojawić problem No bo jak mając tylko wzór na sumę policzyć na przykład pierwszy wyraz albo różnicę tego ciągu No to pokażę wam od razu taki trik który się może na koniec przydać znaczy trik jeszcze coś oczywiste natomiast Powiedzmy sobie szczerze No jak policzyć pierwszy wyraz tego ciągu mając tylko wzór na sumę N początkowych wyrazów tego ciągu Zauważcie że S1 to co to jest suma jednego wyrazu Czyli po prostu A1 nie a na przykład z S2 to będzie Suma dwóch wyrazów czyli A1 dodać a 2 Okej no to wiedząc że suma jednego wyrazu to jest A1 po prostu to możemy a jeden szybko policzyć że a1 to jest S1 czyli jeden do kwadratu minus dwa razy jeden jeden minus 2 to będzie -1 mamy A1 policzone teraz możemy sobie policzyć S2 ze wzoru Czyli że to jest 2 do kwadratu minus 2 no razy dwa cztery minus 4 czyli 0 Ale wiemy że S2 to przecież jest A1 dodać A2 czyli wiemy że nasza SU nasze zero to jest A1 -1 dodać A2 No to z tego wynika że nasze A2 będzie równe No chyba jednak tak patrzę mamy A2 No to różnice możemy policzyć że to jest A2 - A1 czyli nasza 2 to jest 1 Nasza 1 jest -1 czyli minus minus 1 czyli nasza różnica jest równa 2 w tym zadaniu no to w takim razie nasz wzór ogólny n to będzie równy A1 to było -1 dodać n minus 1 razy różnica 2 jak zrobimy porządek tutaj z tym wszystkim tak -1 x 2 to będzie -2 -1 -3 -3 + 2n i to będzie wyznaczone na wzór ogólny za pomocą tylko i wyłącznie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu ale zadania i więcej przykładów zrobimy sobie w kolejnym materiale dla tych którzy to trwali do końca niech napiszą Jeżeli mamy taki ciąg minus 5 1 7 i tak dalej tak taki będzie ciąg o ile będzie wynosiła suma 20 takich wyrazów w takim ciągu arytmetycznym miłego dnia życzę i do usłyszenia [Muzyka]