Introduction à l'électricité et circuits

Bonjour à tous, on se retrouve aujourd'hui pour le premier cours d'électricité. On va voir les lois basiques de l'électro-synétique dans le cadre de l'ARQS. L'ARQS c'est l'approximation des régimes quasi-stationnaires. On va voir du coup comment décrire un circuit électrique et quelles sont les lois et les premières lois physiques qu'on va utiliser pour résoudre des problèmes et pour avoir un petit peu plus de sens physique sur ces circuits électriques que vous allez utiliser plus tard dans votre niveau d'ingénieur. Alors tout d'abord, on se place dans ce chapitre dans le cadre de la RQS, l'approximation des régimes quasi-stationnaires. Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que si on a un circuit, ici je vous ai présenté un générateur de tension, une résistance, un condensateur et une lampe, d'accord ? L'approximation des régimes quasi-stationnaires, c'est considérer que le temps de mise en mouvement des électrons est nul. On néglige ce temps, d'accord ? C'est-à-dire que, de ce fait, l'intensité I1 sera la même que l'intensité I2, sera la même que l'intensité I3, d'accord ? Donc, dans le cadre de la RQS, on a bien I1 égale I2 qui est égale à I3. Quand est-ce qu'on va pouvoir négliger ce temps-là ? On fait exactement quand le temps de propagation est négligeable. Qu'est-ce que c'est que ce temps de propagation du signal ? Pour un circuit dont les fils ont une longueur L, le temps sera de l'ordre de L sur C, puisque le signal se propage à peu près à la vitesse de la lumière. Imaginons un cas où déjà on a un système qui est assez grand, on va prendre une longueur de fil de 3 mètres, et on sait que la vitesse de la lumière c'est 3 10 puissance 8 mètres par seconde, ce qui donne un temps de 10 moins 8 secondes, c'est-à-dire 10 nanosecondes. Ce temps est extrêmement faible, c'est-à-dire que même pour un circuit dont les fils font 3 mètres, en TP vous n'aurez jamais ça, ce sera toujours moins, en 10-8 secondes, c'est-à-dire 10 nanosecondes, l'approximation des régimes quasi-stationnaires sera validée. Et ça, ça veut dire qu'avant même d'avoir entendu le clac du générateur que vous mettez en marche, l'approximation des régimes quasi-stationnaires sera déjà vérifiée. En physique, ça ne veut pas dire grand-chose. Il faut toujours comparer un temps à un temps. On va le comparer par exemple à la fréquence du générateur qu'on met en route. Même pour une fréquence assez grande de 10 000 Hz, On va avoir une période du signal qui est 10 puissance moins 4. C'est l'inverse de la fréquence. Donc 10 puissance moins 4 secondes, qui est énorme devant 10 puissance moins 8 secondes. Il y a 4 heures de grandeur, l'approximation est extrêmement bien vérifiée. Donc, dans tous les cas simples que vous allez utiliser, en TP ou n'importe où, l'approximation des régimes quasi-stationnaires va être vérifiée. Maintenant, on va voir un petit peu comment décrire un système, un circuit électrique. Ici, c'était plutôt simple. On avait un générateur qui crée une différence de potentiel. C'est-à-dire que le circuit électrique, en ce point-là, a des caractéristiques différentes puisqu'on impose une tension que le circuit électrique à cet état-là. Voyons un petit peu ce qu'une différence de potentiel, comme celle-ci, va faire sur un dipôle simple, celui que vous connaissez déjà, une résistance. On va considérer une résistance. avec ici un potentiel VB et ici un potentiel VA. Et on va supposer, simplement pour pouvoir parler un petit peu, que VB est inférieur à VA. Lorsque le potentiel VB est plus grand que VA, les électrons vont vouloir aller préférentiellement là où le potentiel est plus fort. C'est-à-dire que les électrons, qui sont les porteurs de charge des métaux, je vous rappelle, vont se déplacer vers B. D'accord ? Maintenant, comment on traduit ce déplacement d'électrons ? On le traduit par ce qu'on appelle l'intensité du circuit, c'est-à-dire le nombre de charges qui traversent une section de fil par unité de temps. Comment est-ce qu'on l'écrit ? On définit l'intensité du circuit, c'est dQADT, c'est-à-dire la charge qui est passée dans le fil pendant un temps DT, qui sont tous les deux des infinitésimaux. D'accord ? Alors déjà une première remarque, puisque les électrons sont chargés négativement et qu'ils se déplacent dans ce sens là, Q va être négatif et donc on va avoir une intensité qui va être opposée au mouvement des électrons. d'électrons, d'accord ? Alors ça, c'est simplement un problème de convention, mais il faut toujours s'en souvenir, attention, i et les électrons se sont pris dans un sens opposé, d'accord ? En sens opposé, pourquoi ? Parce qu'on parlait déjà de courant avant de parler d'électrons, on ne connaissait même pas les électrons, on avait déjà construit des piles, et donc il fallait bien avoir une notion pour expliciter ce qui se passait, c'était l'intensité, et ensuite seulement, on a pu dire, ah, on sait que c'est les électrons qui sont responsables, mais manque de bol, les électrons étaient chargés négativement, ce qui entraîne ce sens opposé. D'accord ? Maintenant qu'on a vu, peut-être un petit peu plus de physique maintenant. Si on veut faire une analogie, parce qu'ici le potentiel, l'intensité, peut-être que ça ne vous dit pas grand-chose. Une analogie maintenant, si on prend un cours d'eau, d'accord ? Le potentiel... est analogue à l'altitude du point de la rivière que vous considérez. C'est-à-dire, quel est l'état de ce système en un point donné. L'état du système en un point donné, ici A, c'est donné par VA. Et en un point B, c'est donné par VB. Et la tension aux bornes ici UBA, ça va être simplement VB moins VA. Donc c'est simplement la différence d'altitude d'une tension. Mais ensuite, si vous avez une différence d'altitude, vous pouvez prendre plusieurs chemins. Et c'est ça qui va décrire l'intensité. Donc le potentiel, c'est l'analogue de l'altitude, et l'intensité, ça va être l'analogue du débit. Est-ce que vous allez très vite avec une pente très forte du point A au point B, ou est-ce que vous y allez lentement ? Si l'intensité est petite, il y a peu de charges qui se déplacent et donc on va avoir un débit assez faible pour l'analogie avec une rivière. Maintenant qu'on sait décrire un système, on va voir les premières lois, les premières caractéristiques de l'électro-synétique sur tous les premiers dipôles qu'il faut utiliser et toutes les lois que vous devez connaître en électro-synétique. Un circuit va être composé d'un ensemble de fils. de connexion, ce qu'on appelle des nœuds entre fils, mais aussi de dipôles. Et vous devez, vous, en cette année, maîtriser un certain nombre de dipôles, les lois caractéristiques de ces dipôles, et aussi avoir un petit peu de sens physique. Que fait un condensateur et que fait une bobine ? Donc, voilà déjà les deux premiers noms des dipôles que vous devez connaître. Tout d'abord, la bobine, qui se représente comme ça sur un schéma. L ici est appelée inductance et est exprimée en henri. Typiquement dans un circuit électrique en TP, vous allez utiliser des inductances de l'ordre du milli henri. Ensuite, le condensateur a une capacité C qui va s'exprimer en farade. Typiquement dans un circuit, encore une fois en TP, en électricité, vous allez utiliser des... capacités de l'ordre du nanofarade ou du picofarade. D'accord ? Donc 10-9 ou 10-12. Ensuite, il y a d'autres dipôles que vous allez devoir connaître, le voltmètre, l'ampère-mètre, mais aussi le générateur idéal de courant. D'accord ? Je vous renvoie au poly pour ces dipôles-là. Je vais me pencher un petit peu plus en détail sur le générateur de tension. idéal, d'accord, entre un point A et un point B, mais aussi la résistance, d'accord. Ce sont deux dipôles que vous connaissez déjà peut-être, d'accord, mais ici on va parler de quelque chose qui est très important en électro-signétique, c'est la convention. Si vous n'utilisez pas les conventions qui sont données et d'ailleurs toujours utilisées en électro-signétique, vous allez faire des fautes de signes. Pour éviter les fautes de signes, il faut toujours se rappeler qu'il y a deux conventions, récepteurs et générateurs. Ici... on a un générateur et un récepteur. La convention récepteur, c'est que l'intensité et la tension sont prises dans le même sens. Alors que pour un générateur, l'intensité et la tension vont être prises en sens inverse. Et après, les lois que vous aurez entre la tension et l'intensité aux bandes d'un dipôle, d'un récepteur, vont être celles données. Si et seulement si, vous avez bien cette convention qui est utilisée. Je ne sais pas si vous connaissez ces deux dipôles, mais la loi d'Ohm classique vous donne ici UBA est égal à RI. Si I était pris dans l'autre sens, on aurait UBA égale moins RI. Et c'est ça le piège. Je vais juste représenter ça sur un graphe. qu'on appelle caractéristique, c'est-à-dire i en fonction de u, ou u en fonction de i, ça dépend de la caractéristique que vous voulez tracer. Dans ce diagramme, on a u, ici b, a si vous voulez, celui que je représente, qui est égal à r fois i. Cette droite est simplement une droite affine avec une pente R, d'accord ? Ça c'est U égale RI. C'est la loi d'Ohm. D'accord ? Ensuite, quelle est... Bon, on va essayer de faire la même chose pour le générateur. Quelle est sa loi, à lui ? Mais simplement, c'est un générateur idéal de tension. C'est-à-dire que, quelle que soit l'intensité qu'il traverse... la tension sera E à ses bornes. C'est simplement ça, c'est ce que j'ai dessiné. Ici, entre A et B, on a une tension E. Comment je le représente sur la caractéristique ? Simplement par une droite verticale qui coupe l'axe des abscisses, donc des tensions, en E. Ce qui veut dire que, quelle que soit l'intensité, j'ai bien une tension E à ses bornes. Maintenant, regardez bien. Ici, on n'a rien utilisé. On a simplement utilisé des caractéristiques. On n'a pas encore de théorème d'électro-signétique. Mais pourtant, si jamais je vous donne un circuit composé d'un générateur idéal de tension et d'une résistance, simplement, ici, je relis B, B, A et A, où est-ce que va pouvoir se placer, enfin, quelle va être l'intensité dans le circuit I ? Je n'ai pas besoin de théorème d'électro-synétique, puisque ici, UBA est la tension aux bornes de la résistance, mais aussi la tension aux bornes du générateur de tension idéale. Je dois être sur la droite orange et sur la rouge. Le seul point qui est possible est celui-ci, d'accord ? Et l'intensité de mon circuit va être celle-ci, I0, c'est l'ordonnée du point d'intersection. Pas besoin de théorème d'électro-synétique, c'est pour vous dire que simplement avec des champs, schéma, on peut très bien comprendre ce qui se passe. Ce point est appelé point de fonctionnement de ce système. Quand on met deux dipôles, on dessine leurs caractéristiques, les points d'intersection sur les points de fonctionnement du circuit. Très bien, donc revenons au dipôle que vous devez connaître et dont vous devez connaître les caractéristiques, c'est-à-dire soit le graphe comme j'ai tracé ici, soit la loi qui relie U et I, U la tension au banc du dipôle et I l'intensité traversant le dipôle. Donc comme vous pouvez le voir, On va traiter d'une résistance, d'une bobine et d'une capacité, un condensateur. Et j'ai pris les trois en convention récepteur, puisque ce sont des dipôles. Ils vont recevoir une différence de tension. Et donc, je prends tout en convention récepteur pour avoir le bon signe. Dans ce cadre-là, la loi de la résistance, vous la connaissez bien. C'est U égale RI. C'est la loi d'eau. Ensuite, je vous renvoie au polycopier pour définir ce que c'est que la puissance reçue par un dipôle, par un récepteur. C'est U fois I. Et on peut aussi définir l'énergie infinitésimale accumulée pendant un temps dT comme PdT. Ce sera l'énergie. Ici, quelle est la puissance que va recevoir une résistance ? On multiplie U par I. Mais U est égal à Ri, donc ici on a la puissance pour une résistance qui est égale à Ri². Et ça c'est bien connu, c'est la puissance qui est en fait directement dissipée sous forme de chaleur par une résistance traversée par un courant I. D'accord ? Très bien. Passons maintenant à la bobine. On va un petit peu étoffer ces lois, on va avoir des choses qui changent un petit peu. Ici, pour la bobine, je vais caractériser ici, je vais l'appeler UL. La loi entre ces deux-là, entre UL et I, c'est que UL est égale à LDIADT, où I est une fonction de T. Très bien. Maintenant, je vous renvoie encore une fois au poly pour ce petit calcul. Il faut remplacer ici U fois I par L dIadT fois I. Et on se rend compte qu'en fait, ici, la bobine va accumuler une énergie magnétique qui s'appelle... Bon, l'énergie magnétique accumulée par la bobine équivaut à un demi de L. I carré, d'accord ? Donc la bobine accumule de l'énergie sous forme grâce à l'intensité qui la parcourt. Très bien. Et enfin, pour la capacité, il faut faire attention, il y a plus de conventions pour la capacité. Petit 1, convention récepteur. D'accord ? Mais petit 2, ici on a une charge sur l'armature, d'accord ? Une capacité, c'est deux armatures séparées par un diélectrique isolant, d'accord ? Et donc, il y a une charge ici, et il va y avoir la charge opposée de l'autre côté. D'accord ? La convention veut que l'intensité arrive sur la charge, et U va aussi regarder la charge. D'accord ? En fait, tout le monde regarde la charge, si vous voulez un moyen mnémotechnique, tout le monde regarde le Q. Ensuite. Les trois lois qu'on va écrire, d'abord vous reliez U et I, à savoir I va être égal à C dUC à dt, ici je vais mettre un petit indice C pour dire que c'est bien au borne du condensateur, mais en fait ceci peut se retrouver puisque je vous avais dit que I était égal à dQ à dt, attention encore une fois cette loi n'est vraie que si U regarde vers Q, Ensuite, la charge Q est directement reliée à la tension aux bornes de la capacité. Q égale Cu. Pour vous rappeler de la dernière, c'est QQ. C'est facile, ça se prononce pareil. Petit moyen mnémotechnique. Et là encore, c'est vrai que si la tension U regarde vers Q. Un calcul similaire à ce qu'on aurait pu faire pour la bobine. va montrer que le condensateur accumule aussi de l'énergie sous forme de tension, cette fois-ci. C'est-à-dire qu'il accumule de la charge, ou va faire passer la charge dans le circuit électrique lorsqu'il n'y en a plus assez. Et on va obtenir une énergie EC qui est égale à 1,5 de CU². Alors de ces lois viennent directement, pas la peine d'attendre, viennent directement des propriétés du système, à savoir que, puisque l'énergie du système est forcément une grandeur qui est continue, si l'énergie n'était pas continue, vous auriez en un temps nul, une libération d'énergie qui serait non nulle, c'est-à-dire une explosion. ou même pire qu'une explosion, un truc qui n'est vraiment pas physique. Ici, il n'y a pas d'explosion dans le système, on ne va pas mettre le feu à la salle. On garde simplement nos... Et donc, on a l'énergie qui est continue par rapport au temps. Qu'est-ce que ça veut dire que l'énergie est continue par rapport au temps ? Ça nous donne deux propriétés. On a I qui traverse une bobine U aux bandes d'un condensateur qui sont continues. Et grâce à cette propriété, vous allez déterminer toutes les conditions initiales dans vos systèmes lors de réponse à un échelon de tension. Voilà la première propriété. Ensuite, deuxième propriété, c'est si on regarde d'un peu plus près ces caractéristiques UL égale LDIADT, si on est en régime continu, c'est-à-dire que I est une constante par rapport au temps, ici on va avoir UL égale 0. UL égale 0, qu'est-ce que c'est ? En fait, ça veut dire que la bobine en régime continu est totalement équivalente à un fil. Donc en régime continu, on a une bobine, L, qui va être équivalente, donc pour dire régime continu, je vais dire T tend vers l'infini, parce que ce sera souvent le cas, à un fil électrique. Vous pouvez faire la même chose là-bas, I égale C, DUC à DT, DU à DT égale 0 en régime continu, donc I égale 0. À quoi va être équivalent la capacité ? Voilà, un interrupteur ouvert. Très bien. Et ces deux propriétés découlent directement de ces caractéristiques. Pas besoin d'attendre. D'accord ? Bon, maintenant, avec ces caractéristiques, on n'a pas encore de théorème pour déduire toutes les lois et les équations différentielles qui régissent nos circuits électriques. C'est ce qu'on va faire maintenant, dans une deuxième partie. Les premières des lois d'électro-synétique à maîtriser sont les lois de Kirchhoff. En fait avec les lois de Kirchhoff qui sont la loi des nœuds, la loi des mailles, vous pouvez déterminer tout ce que vous voulez d'un système électrique dans les RQS. D'accord ? Les calculs vont peut-être être longs, mais vous aurez tous les outils à votre disposition pour arriver à la fin du problème. Donc maîtriser ces lois, c'est tout maîtriser et on fera des exemples à la fin de cette vidéo. Alors qu'est-ce que c'est que la loi des nœuds ? Lorsqu'on a un nœud, avec par exemple ici 4 branches qui se croisent, simplement, c'est si vous voulez la conservation de la charge, le courant qui entre va être égal au courant qui sort. Alors ici on regarde, le courant est toujours orienté, donc I1 plus... I3 va être égal à I2 plus I4. C'est facile de généraliser lorsqu'il a plus de branches ou lorsqu'il a moins de branches. De la même façon, la loi des mailles dit simplement que puisque VA égale VA, le potentiel en A ne dépend pas de comment je l'exprime, on va avoir la somme des tensions UAD plus UBA plus UCB plus UDA. J'ai fait un tour, donc je suis revenu au même point. Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que la somme de ces tensions est nulle. Donc, en termes mathématiques, UAD plus UBA plus UCB plus UDC est égal à 0. Simplement, en appliquant maintenant, à chaque fois que vous avez un circuit, la loi des nœuds à tous les nœuds, la loi des mailles à toutes les mailles, vous aurez assez d'équations pour déterminer ce que vous voulez dans... dans le circuit électrique. D'accord ? Bon voilà, ça c'est une première des choses. Maintenant, bien sûr que vous pourrez tout déduire dans votre circuit électrique, mais ce ne sera pas forcément la manière la plus simple. Donc on va voir des méthodes un peu plus rapides maintenant. C'est d'utiliser des équivalences et de simplifier le circuit jusqu'à avoir un circuit très simple. D'accord ? La première équivalence qu'on va voir, c'est l'équivalence générateur de Thevenin, générateur de Norton. Un générateur de Thevenin, c'est un générateur réel, qu'on modélise par un générateur de tension idéale et une résistance. Il y a toujours des pertes dans un générateur de tension, et on les modélise par cette résistance-là. Ici, encore une fois, je vous rappelle, convention récepteur, je place mon intensité I dans le même sens que E, et je considère UAB. UAB ici vaut moins E. D'accord, je vais plutôt la prendre dans l'autre sens, puisque c'est le sens qui est privilégié par... I ici est dans le même sens que UAB. Très bien. Donc ici, UAB va être égal à E plus la tension aux bandes de la résistance. Mais attention, ici on n'est pas en convention récepteur, donc il va y avoir un 1 moins. Donc on va avoir E moins RI. De la même façon, ici, si on a I, ici, A, U, AB. On regarde ici un générateur de Norton, c'est-à-dire un générateur de tension idéale et une petite résistance, encore pour modéliser les pertes. Quelle va être l'intensité qui traverse la résistance ? Ici, on va avoir I2 qui va être égal à, s'il va dans ce sens-là, Je vous laisse le faire. I, ce qui rentre, moins ce qui sort, donc I moins I0. D'accord ? Et ensuite, pour calculer UAB, attention, je suis encore une fois en convention générateur, ce qui n'est pas la convention récepteur, donc je vais avoir moins R fois l'intensité qu'il traverse, I moins I0. D'accord ? Donc ici, UAB est égal à A moins RI, RI0. Pour avoir équivalence entre ces deux circuits, il faut que pour toute intensité, j'ai la même tension à leur borne. Ces deux systèmes vont être équivalents si et seulement si E est égal à Ri0. Plus généralement, quand vous voulez simplifier un système, tout étant parallèle, vous avez un générateur de tension réelle. vous voulez le faire passer en parallèle, vous utilisez l'équivalence Tevna-Norton avec I0 égale E sur R. Ou au contraire, vous avez tout en série, vous avez un générateur de Norton, vous faites passer un générateur de Tevna en prenant E égale R I0. D'accord ? Voilà pour la première des équivalences. La deuxième des équivalences vont être les équivalences lorsqu'on a des résistances qui sont soit en série, soit en parallèle. D'accord ? Alors pour les résistances, on va avoir deux cas. Donc soit deux résistances en série, R1, R2, d'accord ? Et ça va être équivalent, je vous laisse faire la même étude, quelle est la tension par rapport à l'intensité qui entre dans un cas et dans l'autre, et quelle va être la résistance équivalente. Et bien si on fait la même étude, on va obtenir ici R équivalent, qui est simplement la somme des deux. D'accord ? Ça c'est dans le cas en série. Maintenant, si les deux résistances sont en parallèle, on va avoir encore une résistance équivalente. Mais attention, cette fois-ci, elle va être un petit peu plus compliquée. Rx va être égal à R1 R2 sur R1 plus R2, ce qui est aussi égal ou équivalent à 1 sur Rx égal à 1 sur R1 plus 1 sur R2. Très bien. Maintenant... Il y a encore deux théorèmes, je vous laisse les lire dans votre poli, ils sont très bien expliqués dans le poli, à savoir les ponts diviseurs de tension et le pont diviseur de courant. Simplement, ce que j'aimerais dire à propos de ces deux théorèmes, et ce que j'aimerais que vous fassiez pour, par exemple, le théorème... le pont diviseur d'intensité. On va le faire pour le pont diviseur de tension, d'accord ? Mais ça se comporte exactement de la même façon. Je vous rappelle que si ici vous avez une tension U0, ici une résistance R1, ici R2, d'accord ? Et que vous cherchez la tension aux bornes de R2, U2, le pont diviseur de tension vous annonce que RU2 est égal à R2 sur R1 plus R2 U. Maintenant, on va faire des cas limites. On va sentir avec les doigts pourquoi, si jamais vous avez un doute, vous ne savez pas si c'est R1 ou R2 ici, faites des cas limites. Imaginez que R2 est nul. Ça veut dire que ça, cette partie-là du circuit, est un fil. D'accord ? Donc si R2 est nul, U2, attention aux bandes d'un fil, doit être nul aussi. D'accord ? Et on regarde si ça marche. R2 est nul, 0, U2 égale 0, parfait. J'ai les bonnes conditions limites. De la même façon, si R2 est la plus grosse et très grande, devant R1, c'est elle qui va capter toute la tension. Donc on devra avoir U2 égale U0. C'est ce qui se passe aussi avec notre formule ici R2. Si R2 est plus grand que très grand devant R1, ici ça va être équivalent à R2. R2 sur R2, 1 fois U0, on a bien toute la tension. Faites la même chose et essayez de vous exercer au sens physique pour le pont diviseur d'intensité. Un tout premier exemple pour mettre en application tout ce que nous avons vu jusque là, c'est-à-dire tous les théorèmes d'électro-signétique, on va étudier la réponse à un échelon de tension d'un circuit RL, ça veut dire composé d'une résistance et d'une bobine. Un échelon de tension, c'est simplement à T égale 0, on va fermer l'interrupteur qui était ouvert jusque là, c'est-à-dire que ici le circuit RL ne voyait pas la tension E, puisqu'il y avait un interrupteur ouvert, le circuit était ouvert. Et à t égale 0, on le ferme, c'est-à-dire que tout d'un coup, la tension entre ces deux points devient effectivement E. Dans ces exercices, on décompose toujours en deux temps le travail. Tout d'abord, recherche de l'équation différentielle. Et ensuite, résolution et recherche des conditions initiales. Vous pouvez le faire un petit peu dans l'ordre que vous voulez, selon ce que l'énoncé demande. Nous, on va commencer par l'équation différentielle ici. D'accord ? Alors, pour l'équation différentielle, je vous ai déjà dit, on a deux outils, la loi des nœuds et la loi des mailles. D'accord ? Alors, ici, il faut utiliser les deux, tout le temps, partout. Ok ? Si vous voulez être sûr de résoudre votre problème. Ici, on n'a pas de nœud, d'accord ? On a une seule maille. Donc ici, on va simplement... exprimer la loi des mailles. Voilà. D'accord ? Alors voilà, explicitons la loi des mailles ici. Alors qu'est-ce qu'on a ? Pour aller de ce point-là à ce point-là, j'applique une tension E. Donc E va être égale à UL plus la tension aux bandes de la résistance. Ici, pour cette tension-ci, je suis bien en convention récepteur, donc je peux utiliser Ri, d'accord ? Et ici, la tension Ul est égale à, voilà, Ul est égale à L Di à Dt, parce qu'encore une fois, je suis en convention récepteur, d'accord ? Avec ces deux équations, vous obtenez l'équation différentielle, d'accord ? Caractéristique du RL. A savoir, une équation différentielle sur l'intensité qui traverse la bobine, dIADT plus I sur Tau est égale à E. sur L. Ici, vous remarquerez peut-être que j'ai mis cette équation différentielle sous forme directement homogène. Pourquoi ? Parce qu'elle est jolie à regarder comme ça. I divisé par un temps, c'est I divisé par un temps. Alors, maintenant, il faut que j'identifie et j'obtiens tout de suite que Tau, que j'ai défini comme L sur R, est un temps. D'accord ? Et ça va être le temps caractéristique du circuit RL. D'accord ? Toujours quand vous pouvez dégager des temps caractéristiques, à savoir RC. est un temps caractéristique pour le circuit RC et non plus RL. D'accord ? Donc voilà notre équation différentielle. Maintenant, deuxième étape, on va essayer de la résoudre et déterminer les constantes d'intégration grâce aux conditions initiales. Alors je vous laisse voir le cours de maths qui est en ligne sur les équations différentielles du premier ordre, linéaire à coefficient constant. D'accord ? Et on peut résoudre cette équation différentielle comme I de t qui va être une constante, à savoir E sur R. Ici, comment j'ai déterminé la constante ? C'est la solution particulière, c'est E sur L fois Tau, qui donne E sur R, parce que Tau, c'est L sur R. Plus une constante d'intégration, fois exponentielle, moins T sur Tau. Encore une raison d'utiliser ce temps Tau. Ici, je vois que ce qu'il y a dans l'exponentielle et à dimensionner, c'est un soulagement. Donc voilà la solution. général du système, mais on ne connaît toujours pas ici ce que c'est que A. Et c'est là qu'il va falloir déterminer les conditions initiales. Alors ici, comment on détermine les conditions initiales ? C'est ce que je vous avais dit tout à l'heure. On sait que l'intensité qui traverse une bobine est continue, et que la tension au banc d'un condensateur est continue, mais on ne va pas s'en servir ici. Or, I est continue, puisqu'elle traverse... une bobine, et on va avoir I de t égale 0 moins, on sait que c'est 0, puisque le circuit était ouvert à t égale 0 moins, c'est aussi I égale t 0 plus. I t égale 0 plus. Et puisque notre intégration tient pour tout t positif, ici on va avoir la condition initiale I de t égale 0 plus égale 0. Et on va pouvoir noter 0 égale E sur R plus A exponentielle de 0, donc 1. Grâce à la continuité de I, on en déduit que la constante vaut A égale moins E sur R. Alors on connaît de ce fait l'intensité I de T pour tout T supérieur à 0, qui est égale à E sur R fois 1 moins exponentielle moins T sur tout. Et ça, c'est l'intensité pour tout temps positif. Alors, à quoi est-ce que cela correspond maintenant ? C'est ce qu'on avait vu. Je ne sais pas si vous vous souvenez, quand on a refait la caractéristique du générateur de tension idéal. relié à une résistance seule, mais l'intensité qu'on avait dans ce circuit était justement le coefficient E sur R qu'on voit ici. D'accord ? Et ce, ce vers quoi tend I. au cours du temps. On va avoir une asymptote en e sur r et on va mettre un certain temps à y aller. On va commencer de zéro, puisque i est continu, et on va mettre un certain temps à arriver là-bas. Ici, je vous rappelle que pour bien tracer une exponentielle, il faut que la dérivée en zéro coupe l'asymptote en taux, qui vaut ici l sur r. Très bien. Ici, on voit qu'une bobine résiste à un courant, et elle met un temps L sur R à accepter que le courant puisse passer. C'est le sens de ce qui se passe ici. Maintenant, après le RL, on va passer au RLC rapidement, et je vous invite tous à faire les calculs et à mener la même étude pour le RLC, en vous aidant de ce qu'il y a dans le polycopier. On va donc étudier ici le RLC série. En exercice dans le polycopier, vous avez aussi le RLC parallèle. Je vous invite à aller le faire. On va ici étudier le régime libre. Tout se passerait de la même façon si on avait un échelon de tension. Les calculs sont menés dans le polycopier. Je vous invite à les suivre et à prendre ça comme un exercice. Résoudre sur un échelon de tension, le même exercice du RLC série. Alors ici. De la même façon, on n'a pas de nœud, on n'a qu'une maille, donc utilisons la loi des mailles. Donc on va sommer cette tension, c'est la tension aux bornes d'une bobine, donc UL égale LDIADT, donc LDIADT. Ici, on a la tension aux bornes du condensateur, donc si on met une petite charge Q ici, on sait que U égale q sur c, d'accord ? Mais aussi que i égale à dq à dt. On s'en servira après. Enfin, pour R, On voit ici que la tension, puisque la maille est orientée dans ce sens-là, est bien en convention récepteur, donc on a bien plus Ri qui est égal à 0. En combinant ces deux équations, on obtient l'équation différentielle du RLC série en régime libre, à savoir d2q à dt2 plus 2λ. dq à dt plus ω0²q est égal à 0, où j'ai posé 2λ est égal à, où j'ai posé ω0² est égal à 1 sur LC, et 2λ, c'est le coefficient ici, c'était R divisé par L. Très bien. Alors maintenant, je vous invite à nouveau à aller voir le chapitre de maths consacré à la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficient constant. On va avoir trois régimes. Trois régimes selon la valeur de lambda par rapport à oméga 0. Donc laissez-moi tout d'abord noter grand oméga qui va être racine de la valeur absolue de lambda carré moins oméga 0 carré. D'accord ? Bon, et on va avoir trois cas. Le premier cas, c'est si lambda est supérieur à oméga 0. D'accord ? Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que le terme d'atténuement, d'accord ? Le terme d'amortissement, puisque c'est proportionnel à la résistance qui dissipe l'énergie, est très fort. On va avoir ce qu'on appelle un système apériodique, un régime apériodique. D'accord ? Euh... Ok, tu pourrais couper ça et reprendre juste là ? D'accord. Donc en notant grand oméga égale racine de la valeur absolue de lambda carré moins oméga 0 carré, On a trois possibilités, trois régimes différents selon la valeur de lambda par rapport à oméga 0. Lambda est le coefficient d'amortissement proportionnel à la résistance qui dissipe l'énergie dans le système. Dans le premier cas, si lambda est supérieur à oméga 0, on dit que le régime est apériodique, ce que je vais noter 1. Dans le deuxième cas, lambda va être égal à oméga 0, c'est ce que j'appelle 2, et on appelle ça le régime critique. C'est la transition entre... entre le régime apériodique et le régime pseudo-périodique, que je vais appeler 3, et qui a lieu quand lambda est faible, donc peu d'amortissement. C'est ce que j'appelle 3. Maintenant, je vais représenter ces trois. Je vais peut-être garder le schéma électrique, le circuit électrique, mais je vais représenter ces trois schémas. Alors ici, on a Q de T et on a T. Donc dans le cas 1 que je vais dessiner en jaune, le régime est apériodique. C'est-à-dire que si on part d'une charge initiale ici, on va tendre vers 0 assez rapidement, exponentiellement en fait. Et là... Q de t, la fonction Q du t, va être exponentielle moins lambda t fois exponentielle oméga t plus a, avec des constantes, bien sûr, d'intégration, qu'il faudra déterminer en fonction des conditions initiales. D'accord ? Très bien. Ensuite, dans le second cas, le régime critique, que je vais dessiner en rouge, On a aussi cette atténuation, mais simplement on est en régime critique, donc on est presque périodique. Et donc c'est le régime qui va tendre le plus vite vers l'asymptote. Dans ce cas-là, Q de t va être exponentielle moins lambda t, a t plus b, avec a et b encore déterminés par les conditions initiales. Et enfin, on a le régime pseudo-périodique. D'accord ? Encore une fois, ils sont tous tracés correctement avec l'ordinateur sur votre polycopier. D'accord ? Donc, régime pseudo-périodique, ça veut dire qu'on va avoir... une enveloppe exponentielle, d'accord, mais qu'on va quand même, c'est-à-dire des pertes dans le circuit, mais quand même des oscillations caractéristiques du LC. D'accord ? Et donc, notre système va faire des oscillations avec une enveloppe exponentielle. D'accord ? Ici, on va avoir Q de T qui va être égal à moins exponentielle, moins lambda T à cos oméga T. plus B sin oméga T. D'accord ? Pour conclure, reprenez cette étude du RLC série avec un échelon de tension. Ça vous formera... Vu que la correction est directement dans le polycopier, vous pourrez regarder et vérifier vos résultats, mais aussi appliquer... Donc la loi des mailles, les caractéristiques, savoir utiliser les conditions initiales qu'on a vu car U, C et IL sont continus. Et ça vous fera un très bon exercice de conclusion de chapitre et de révision. Donc si vous avez des questions sur ce cours, n'hésitez pas à nous envoyer un mail ou à nous contacter par téléphone. Dans tous les cas, on vous souhaite de bonnes révisions. Travaillez bien et continuez. On se retrouve pour le prochain cours d'électricité.

On va voir du coup comment décrire un circuit électrique et quelles sont les lois et les premières lois physiques qu'on va utiliser pour résoudre des problèmes et pour avoir un petit peu plus de sens physique sur ces circuits électriques que vous allez utiliser plus tard dans votre niveau d'ingénieur. Alors tout d'abord, on se place dans ce chapitre dans le cadre de la RQS, l'approximation des régimes quasi-stationnaires. Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que si on a un circuit, ici je vous ai présenté un générateur de tension, une résistance, un condensateur et une lampe, d'accord ?

L'approximation des régimes quasi-stationnaires, c'est considérer que le temps de mise en mouvement des électrons est nul. On néglige ce temps, d'accord ? C'est-à-dire que, de ce fait, l'intensité I1 sera la même que l'intensité I2, sera la même que l'intensité I3, d'accord ? Donc, dans le cadre de la RQS, on a bien I1 égale I2 qui est égale à I3.

Quand est-ce qu'on va pouvoir négliger ce temps-là ? On fait exactement quand le temps de propagation est négligeable. Qu'est-ce que c'est que ce temps de propagation du signal ?

Pour un circuit dont les fils ont une longueur L, le temps sera de l'ordre de L sur C, puisque le signal se propage à peu près à la vitesse de la lumière. Imaginons un cas où déjà on a un système qui est assez grand, on va prendre une longueur de fil de 3 mètres, et on sait que la vitesse de la lumière c'est 3 10 puissance 8 mètres par seconde, ce qui donne un temps de 10 moins 8 secondes, c'est-à-dire 10 nanosecondes. Ce temps est extrêmement faible, c'est-à-dire que même pour un circuit dont les fils font 3 mètres, en TP vous n'aurez jamais ça, ce sera toujours moins, en 10-8 secondes, c'est-à-dire 10 nanosecondes, l'approximation des régimes quasi-stationnaires sera validée.

Et ça, ça veut dire qu'avant même d'avoir entendu le clac du générateur que vous mettez en marche, l'approximation des régimes quasi-stationnaires sera déjà vérifiée. En physique, ça ne veut pas dire grand-chose. Il faut toujours comparer un temps à un temps.

On va le comparer par exemple à la fréquence du générateur qu'on met en route. Même pour une fréquence assez grande de 10 000 Hz, On va avoir une période du signal qui est 10 puissance moins 4. C'est l'inverse de la fréquence. Donc 10 puissance moins 4 secondes, qui est énorme devant 10 puissance moins 8 secondes. Il y a 4 heures de grandeur, l'approximation est extrêmement bien vérifiée. Donc, dans tous les cas simples que vous allez utiliser, en TP ou n'importe où, l'approximation des régimes quasi-stationnaires va être vérifiée.

Maintenant, on va voir un petit peu comment décrire un système, un circuit électrique. Ici, c'était plutôt simple. On avait un générateur qui crée une différence de potentiel.

C'est-à-dire que le circuit électrique, en ce point-là, a des caractéristiques différentes puisqu'on impose une tension que le circuit électrique à cet état-là. Voyons un petit peu ce qu'une différence de potentiel, comme celle-ci, va faire sur un dipôle simple, celui que vous connaissez déjà, une résistance. On va considérer une résistance. avec ici un potentiel VB et ici un potentiel VA. Et on va supposer, simplement pour pouvoir parler un petit peu, que VB est inférieur à VA.

Lorsque le potentiel VB est plus grand que VA, les électrons vont vouloir aller préférentiellement là où le potentiel est plus fort. C'est-à-dire que les électrons, qui sont les porteurs de charge des métaux, je vous rappelle, vont se déplacer vers B. D'accord ?

Maintenant, comment on traduit ce déplacement d'électrons ? On le traduit par ce qu'on appelle l'intensité du circuit, c'est-à-dire le nombre de charges qui traversent une section de fil par unité de temps. Comment est-ce qu'on l'écrit ?

On définit l'intensité du circuit, c'est dQADT, c'est-à-dire la charge qui est passée dans le fil pendant un temps DT, qui sont tous les deux des infinitésimaux. D'accord ? Alors déjà une première remarque, puisque les électrons sont chargés négativement et qu'ils se déplacent dans ce sens là, Q va être négatif et donc on va avoir une intensité qui va être opposée au mouvement des électrons. d'électrons, d'accord ? Alors ça, c'est simplement un problème de convention, mais il faut toujours s'en souvenir, attention, i et les électrons se sont pris dans un sens opposé, d'accord ?

En sens opposé, pourquoi ? Parce qu'on parlait déjà de courant avant de parler d'électrons, on ne connaissait même pas les électrons, on avait déjà construit des piles, et donc il fallait bien avoir une notion pour expliciter ce qui se passait, c'était l'intensité, et ensuite seulement, on a pu dire, ah, on sait que c'est les électrons qui sont responsables, mais manque de bol, les électrons étaient chargés négativement, ce qui entraîne ce sens opposé. D'accord ?

Maintenant qu'on a vu, peut-être un petit peu plus de physique maintenant. Si on veut faire une analogie, parce qu'ici le potentiel, l'intensité, peut-être que ça ne vous dit pas grand-chose. Une analogie maintenant, si on prend un cours d'eau, d'accord ?

Le potentiel... est analogue à l'altitude du point de la rivière que vous considérez. C'est-à-dire, quel est l'état de ce système en un point donné. L'état du système en un point donné, ici A, c'est donné par VA.

Et en un point B, c'est donné par VB. Et la tension aux bornes ici UBA, ça va être simplement VB moins VA. Donc c'est simplement la différence d'altitude d'une tension. Mais ensuite, si vous avez une différence d'altitude, vous pouvez prendre plusieurs chemins. Et c'est ça qui va décrire l'intensité.

Donc le potentiel, c'est l'analogue de l'altitude, et l'intensité, ça va être l'analogue du débit. Est-ce que vous allez très vite avec une pente très forte du point A au point B, ou est-ce que vous y allez lentement ? Si l'intensité est petite, il y a peu de charges qui se déplacent et donc on va avoir un débit assez faible pour l'analogie avec une rivière.

Maintenant qu'on sait décrire un système, on va voir les premières lois, les premières caractéristiques de l'électro-synétique sur tous les premiers dipôles qu'il faut utiliser et toutes les lois que vous devez connaître en électro-synétique. Un circuit va être composé d'un ensemble de fils. de connexion, ce qu'on appelle des nœuds entre fils, mais aussi de dipôles.

Et vous devez, vous, en cette année, maîtriser un certain nombre de dipôles, les lois caractéristiques de ces dipôles, et aussi avoir un petit peu de sens physique. Que fait un condensateur et que fait une bobine ? Donc, voilà déjà les deux premiers noms des dipôles que vous devez connaître.

Tout d'abord, la bobine, qui se représente comme ça sur un schéma. L ici est appelée inductance et est exprimée en henri. Typiquement dans un circuit électrique en TP, vous allez utiliser des inductances de l'ordre du milli henri. Ensuite, le condensateur a une capacité C qui va s'exprimer en farade. Typiquement dans un circuit, encore une fois en TP, en électricité, vous allez utiliser des...

capacités de l'ordre du nanofarade ou du picofarade. D'accord ? Donc 10-9 ou 10-12.

Ensuite, il y a d'autres dipôles que vous allez devoir connaître, le voltmètre, l'ampère-mètre, mais aussi le générateur idéal de courant. D'accord ? Je vous renvoie au poly pour ces dipôles-là. Je vais me pencher un petit peu plus en détail sur le générateur de tension.

idéal, d'accord, entre un point A et un point B, mais aussi la résistance, d'accord. Ce sont deux dipôles que vous connaissez déjà peut-être, d'accord, mais ici on va parler de quelque chose qui est très important en électro-signétique, c'est la convention. Si vous n'utilisez pas les conventions qui sont données et d'ailleurs toujours utilisées en électro-signétique, vous allez faire des fautes de signes.

Pour éviter les fautes de signes, il faut toujours se rappeler qu'il y a deux conventions, récepteurs et générateurs. Ici... on a un générateur et un récepteur. La convention récepteur, c'est que l'intensité et la tension sont prises dans le même sens. Alors que pour un générateur, l'intensité et la tension vont être prises en sens inverse.

Et après, les lois que vous aurez entre la tension et l'intensité aux bandes d'un dipôle, d'un récepteur, vont être celles données. Si et seulement si, vous avez bien cette convention qui est utilisée. Je ne sais pas si vous connaissez ces deux dipôles, mais la loi d'Ohm classique vous donne ici UBA est égal à RI. Si I était pris dans l'autre sens, on aurait UBA égale moins RI.

Et c'est ça le piège. Je vais juste représenter ça sur un graphe. qu'on appelle caractéristique, c'est-à-dire i en fonction de u, ou u en fonction de i, ça dépend de la caractéristique que vous voulez tracer. Dans ce diagramme, on a u, ici b, a si vous voulez, celui que je représente, qui est égal à r fois i.

Cette droite est simplement une droite affine avec une pente R, d'accord ? Ça c'est U égale RI. C'est la loi d'Ohm. D'accord ?

Ensuite, quelle est... Bon, on va essayer de faire la même chose pour le générateur. Quelle est sa loi, à lui ? Mais simplement, c'est un générateur idéal de tension. C'est-à-dire que, quelle que soit l'intensité qu'il traverse...

la tension sera E à ses bornes. C'est simplement ça, c'est ce que j'ai dessiné. Ici, entre A et B, on a une tension E.

Comment je le représente sur la caractéristique ? Simplement par une droite verticale qui coupe l'axe des abscisses, donc des tensions, en E. Ce qui veut dire que, quelle que soit l'intensité, j'ai bien une tension E à ses bornes. Maintenant, regardez bien.

Ici, on n'a rien utilisé. On a simplement utilisé des caractéristiques. On n'a pas encore de théorème d'électro-signétique.

Mais pourtant, si jamais je vous donne un circuit composé d'un générateur idéal de tension et d'une résistance, simplement, ici, je relis B, B, A et A, où est-ce que va pouvoir se placer, enfin, quelle va être l'intensité dans le circuit I ? Je n'ai pas besoin de théorème d'électro-synétique, puisque ici, UBA est la tension aux bornes de la résistance, mais aussi la tension aux bornes du générateur de tension idéale. Je dois être sur la droite orange et sur la rouge.

Le seul point qui est possible est celui-ci, d'accord ? Et l'intensité de mon circuit va être celle-ci, I0, c'est l'ordonnée du point d'intersection. Pas besoin de théorème d'électro-synétique, c'est pour vous dire que simplement avec des champs, schéma, on peut très bien comprendre ce qui se passe.

Ce point est appelé point de fonctionnement de ce système. Quand on met deux dipôles, on dessine leurs caractéristiques, les points d'intersection sur les points de fonctionnement du circuit. Très bien, donc revenons au dipôle que vous devez connaître et dont vous devez connaître les caractéristiques, c'est-à-dire soit le graphe comme j'ai tracé ici, soit la loi qui relie U et I, U la tension au banc du dipôle et I l'intensité traversant le dipôle.

Donc comme vous pouvez le voir, On va traiter d'une résistance, d'une bobine et d'une capacité, un condensateur. Et j'ai pris les trois en convention récepteur, puisque ce sont des dipôles. Ils vont recevoir une différence de tension. Et donc, je prends tout en convention récepteur pour avoir le bon signe.

Dans ce cadre-là, la loi de la résistance, vous la connaissez bien. C'est U égale RI. C'est la loi d'eau. Ensuite, je vous renvoie au polycopier pour définir ce que c'est que la puissance reçue par un dipôle, par un récepteur.

C'est U fois I. Et on peut aussi définir l'énergie infinitésimale accumulée pendant un temps dT comme PdT. Ce sera l'énergie.

Ici, quelle est la puissance que va recevoir une résistance ? On multiplie U par I. Mais U est égal à Ri, donc ici on a la puissance pour une résistance qui est égale à Ri². Et ça c'est bien connu, c'est la puissance qui est en fait directement dissipée sous forme de chaleur par une résistance traversée par un courant I. D'accord ?

Très bien. Passons maintenant à la bobine. On va un petit peu étoffer ces lois, on va avoir des choses qui changent un petit peu.

Ici, pour la bobine, je vais caractériser ici, je vais l'appeler UL. La loi entre ces deux-là, entre UL et I, c'est que UL est égale à LDIADT, où I est une fonction de T. Très bien. Maintenant, je vous renvoie encore une fois au poly pour ce petit calcul. Il faut remplacer ici U fois I par L dIadT fois I.

Et on se rend compte qu'en fait, ici, la bobine va accumuler une énergie magnétique qui s'appelle... Bon, l'énergie magnétique accumulée par la bobine équivaut à un demi de L. I carré, d'accord ?

Donc la bobine accumule de l'énergie sous forme grâce à l'intensité qui la parcourt. Très bien. Et enfin, pour la capacité, il faut faire attention, il y a plus de conventions pour la capacité.

Petit 1, convention récepteur. D'accord ? Mais petit 2, ici on a une charge sur l'armature, d'accord ?

Une capacité, c'est deux armatures séparées par un diélectrique isolant, d'accord ? Et donc, il y a une charge ici, et il va y avoir la charge opposée de l'autre côté. D'accord ? La convention veut que l'intensité arrive sur la charge, et U va aussi regarder la charge.

D'accord ? En fait, tout le monde regarde la charge, si vous voulez un moyen mnémotechnique, tout le monde regarde le Q. Ensuite.

Les trois lois qu'on va écrire, d'abord vous reliez U et I, à savoir I va être égal à C dUC à dt, ici je vais mettre un petit indice C pour dire que c'est bien au borne du condensateur, mais en fait ceci peut se retrouver puisque je vous avais dit que I était égal à dQ à dt, attention encore une fois cette loi n'est vraie que si U regarde vers Q, Ensuite, la charge Q est directement reliée à la tension aux bornes de la capacité. Q égale Cu. Pour vous rappeler de la dernière, c'est QQ. C'est facile, ça se prononce pareil. Petit moyen mnémotechnique.

Et là encore, c'est vrai que si la tension U regarde vers Q. Un calcul similaire à ce qu'on aurait pu faire pour la bobine. va montrer que le condensateur accumule aussi de l'énergie sous forme de tension, cette fois-ci.

C'est-à-dire qu'il accumule de la charge, ou va faire passer la charge dans le circuit électrique lorsqu'il n'y en a plus assez. Et on va obtenir une énergie EC qui est égale à 1,5 de CU². Alors de ces lois viennent directement, pas la peine d'attendre, viennent directement des propriétés du système, à savoir que, puisque l'énergie du système est forcément une grandeur qui est continue, si l'énergie n'était pas continue, vous auriez en un temps nul, une libération d'énergie qui serait non nulle, c'est-à-dire une explosion. ou même pire qu'une explosion, un truc qui n'est vraiment pas physique.

Ici, il n'y a pas d'explosion dans le système, on ne va pas mettre le feu à la salle. On garde simplement nos... Et donc, on a l'énergie qui est continue par rapport au temps.

Qu'est-ce que ça veut dire que l'énergie est continue par rapport au temps ? Ça nous donne deux propriétés. On a I qui traverse une bobine U aux bandes d'un condensateur qui sont continues. Et grâce à cette propriété, vous allez déterminer toutes les conditions initiales dans vos systèmes lors de réponse à un échelon de tension. Voilà la première propriété.

Ensuite, deuxième propriété, c'est si on regarde d'un peu plus près ces caractéristiques UL égale LDIADT, si on est en régime continu, c'est-à-dire que I est une constante par rapport au temps, ici on va avoir UL égale 0. UL égale 0, qu'est-ce que c'est ? En fait, ça veut dire que la bobine en régime continu est totalement équivalente à un fil. Donc en régime continu, on a une bobine, L, qui va être équivalente, donc pour dire régime continu, je vais dire T tend vers l'infini, parce que ce sera souvent le cas, à un fil électrique. Vous pouvez faire la même chose là-bas, I égale C, DUC à DT, DU à DT égale 0 en régime continu, donc I égale 0. À quoi va être équivalent la capacité ? Voilà, un interrupteur ouvert.

Très bien. Et ces deux propriétés découlent directement de ces caractéristiques. Pas besoin d'attendre. D'accord ?

Bon, maintenant, avec ces caractéristiques, on n'a pas encore de théorème pour déduire toutes les lois et les équations différentielles qui régissent nos circuits électriques. C'est ce qu'on va faire maintenant, dans une deuxième partie. Les premières des lois d'électro-synétique à maîtriser sont les lois de Kirchhoff.

En fait avec les lois de Kirchhoff qui sont la loi des nœuds, la loi des mailles, vous pouvez déterminer tout ce que vous voulez d'un système électrique dans les RQS. D'accord ? Les calculs vont peut-être être longs, mais vous aurez tous les outils à votre disposition pour arriver à la fin du problème. Donc maîtriser ces lois, c'est tout maîtriser et on fera des exemples à la fin de cette vidéo. Alors qu'est-ce que c'est que la loi des nœuds ?

Lorsqu'on a un nœud, avec par exemple ici 4 branches qui se croisent, simplement, c'est si vous voulez la conservation de la charge, le courant qui entre va être égal au courant qui sort. Alors ici on regarde, le courant est toujours orienté, donc I1 plus... I3 va être égal à I2 plus I4. C'est facile de généraliser lorsqu'il a plus de branches ou lorsqu'il a moins de branches. De la même façon, la loi des mailles dit simplement que puisque VA égale VA, le potentiel en A ne dépend pas de comment je l'exprime, on va avoir la somme des tensions UAD plus UBA plus UCB plus UDA.

J'ai fait un tour, donc je suis revenu au même point. Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que la somme de ces tensions est nulle.

Donc, en termes mathématiques, UAD plus UBA plus UCB plus UDC est égal à 0. Simplement, en appliquant maintenant, à chaque fois que vous avez un circuit, la loi des nœuds à tous les nœuds, la loi des mailles à toutes les mailles, vous aurez assez d'équations pour déterminer ce que vous voulez dans... dans le circuit électrique. D'accord ?

Bon voilà, ça c'est une première des choses. Maintenant, bien sûr que vous pourrez tout déduire dans votre circuit électrique, mais ce ne sera pas forcément la manière la plus simple. Donc on va voir des méthodes un peu plus rapides maintenant.

C'est d'utiliser des équivalences et de simplifier le circuit jusqu'à avoir un circuit très simple. D'accord ? La première équivalence qu'on va voir, c'est l'équivalence générateur de Thevenin, générateur de Norton. Un générateur de Thevenin, c'est un générateur réel, qu'on modélise par un générateur de tension idéale et une résistance. Il y a toujours des pertes dans un générateur de tension, et on les modélise par cette résistance-là.

Ici, encore une fois, je vous rappelle, convention récepteur, je place mon intensité I dans le même sens que E, et je considère UAB. UAB ici vaut moins E. D'accord, je vais plutôt la prendre dans l'autre sens, puisque c'est le sens qui est privilégié par... I ici est dans le même sens que UAB. Très bien.

Donc ici, UAB va être égal à E plus la tension aux bandes de la résistance. Mais attention, ici on n'est pas en convention récepteur, donc il va y avoir un 1 moins. Donc on va avoir E moins RI. De la même façon, ici, si on a I, ici, A, U, AB.

On regarde ici un générateur de Norton, c'est-à-dire un générateur de tension idéale et une petite résistance, encore pour modéliser les pertes. Quelle va être l'intensité qui traverse la résistance ? Ici, on va avoir I2 qui va être égal à, s'il va dans ce sens-là, Je vous laisse le faire. I, ce qui rentre, moins ce qui sort, donc I moins I0. D'accord ?

Et ensuite, pour calculer UAB, attention, je suis encore une fois en convention générateur, ce qui n'est pas la convention récepteur, donc je vais avoir moins R fois l'intensité qu'il traverse, I moins I0. D'accord ? Donc ici, UAB est égal à A moins RI, RI0. Pour avoir équivalence entre ces deux circuits, il faut que pour toute intensité, j'ai la même tension à leur borne.

Ces deux systèmes vont être équivalents si et seulement si E est égal à Ri0. Plus généralement, quand vous voulez simplifier un système, tout étant parallèle, vous avez un générateur de tension réelle. vous voulez le faire passer en parallèle, vous utilisez l'équivalence Tevna-Norton avec I0 égale E sur R. Ou au contraire, vous avez tout en série, vous avez un générateur de Norton, vous faites passer un générateur de Tevna en prenant E égale R I0.

D'accord ? Voilà pour la première des équivalences. La deuxième des équivalences vont être les équivalences lorsqu'on a des résistances qui sont soit en série, soit en parallèle. D'accord ?

Alors pour les résistances, on va avoir deux cas. Donc soit deux résistances en série, R1, R2, d'accord ? Et ça va être équivalent, je vous laisse faire la même étude, quelle est la tension par rapport à l'intensité qui entre dans un cas et dans l'autre, et quelle va être la résistance équivalente. Et bien si on fait la même étude, on va obtenir ici R équivalent, qui est simplement la somme des deux.

D'accord ? Ça c'est dans le cas en série. Maintenant, si les deux résistances sont en parallèle, on va avoir encore une résistance équivalente. Mais attention, cette fois-ci, elle va être un petit peu plus compliquée.

Rx va être égal à R1 R2 sur R1 plus R2, ce qui est aussi égal ou équivalent à 1 sur Rx égal à 1 sur R1 plus 1 sur R2. Très bien. Maintenant... Il y a encore deux théorèmes, je vous laisse les lire dans votre poli, ils sont très bien expliqués dans le poli, à savoir les ponts diviseurs de tension et le pont diviseur de courant.

Simplement, ce que j'aimerais dire à propos de ces deux théorèmes, et ce que j'aimerais que vous fassiez pour, par exemple, le théorème... le pont diviseur d'intensité. On va le faire pour le pont diviseur de tension, d'accord ?

Mais ça se comporte exactement de la même façon. Je vous rappelle que si ici vous avez une tension U0, ici une résistance R1, ici R2, d'accord ? Et que vous cherchez la tension aux bornes de R2, U2, le pont diviseur de tension vous annonce que RU2 est égal à R2 sur R1 plus R2 U. Maintenant, on va faire des cas limites.

On va sentir avec les doigts pourquoi, si jamais vous avez un doute, vous ne savez pas si c'est R1 ou R2 ici, faites des cas limites. Imaginez que R2 est nul. Ça veut dire que ça, cette partie-là du circuit, est un fil.

D'accord ? Donc si R2 est nul, U2, attention aux bandes d'un fil, doit être nul aussi. D'accord ? Et on regarde si ça marche.

R2 est nul, 0, U2 égale 0, parfait. J'ai les bonnes conditions limites. De la même façon, si R2 est la plus grosse et très grande, devant R1, c'est elle qui va capter toute la tension.

Donc on devra avoir U2 égale U0. C'est ce qui se passe aussi avec notre formule ici R2. Si R2 est plus grand que très grand devant R1, ici ça va être équivalent à R2. R2 sur R2, 1 fois U0, on a bien toute la tension. Faites la même chose et essayez de vous exercer au sens physique pour le pont diviseur d'intensité.

Un tout premier exemple pour mettre en application tout ce que nous avons vu jusque là, c'est-à-dire tous les théorèmes d'électro-signétique, on va étudier la réponse à un échelon de tension d'un circuit RL, ça veut dire composé d'une résistance et d'une bobine. Un échelon de tension, c'est simplement à T égale 0, on va fermer l'interrupteur qui était ouvert jusque là, c'est-à-dire que ici le circuit RL ne voyait pas la tension E, puisqu'il y avait un interrupteur ouvert, le circuit était ouvert. Et à t égale 0, on le ferme, c'est-à-dire que tout d'un coup, la tension entre ces deux points devient effectivement E.

Dans ces exercices, on décompose toujours en deux temps le travail. Tout d'abord, recherche de l'équation différentielle. Et ensuite, résolution et recherche des conditions initiales.

Vous pouvez le faire un petit peu dans l'ordre que vous voulez, selon ce que l'énoncé demande. Nous, on va commencer par l'équation différentielle ici. D'accord ?

Alors, pour l'équation différentielle, je vous ai déjà dit, on a deux outils, la loi des nœuds et la loi des mailles. D'accord ? Alors, ici, il faut utiliser les deux, tout le temps, partout. Ok ?

Si vous voulez être sûr de résoudre votre problème. Ici, on n'a pas de nœud, d'accord ? On a une seule maille.

Donc ici, on va simplement... exprimer la loi des mailles. Voilà. D'accord ?

Alors voilà, explicitons la loi des mailles ici. Alors qu'est-ce qu'on a ? Pour aller de ce point-là à ce point-là, j'applique une tension E. Donc E va être égale à UL plus la tension aux bandes de la résistance.

Ici, pour cette tension-ci, je suis bien en convention récepteur, donc je peux utiliser Ri, d'accord ? Et ici, la tension Ul est égale à, voilà, Ul est égale à L Di à Dt, parce qu'encore une fois, je suis en convention récepteur, d'accord ? Avec ces deux équations, vous obtenez l'équation différentielle, d'accord ? Caractéristique du RL.

A savoir, une équation différentielle sur l'intensité qui traverse la bobine, dIADT plus I sur Tau est égale à E. sur L. Ici, vous remarquerez peut-être que j'ai mis cette équation différentielle sous forme directement homogène.

Pourquoi ? Parce qu'elle est jolie à regarder comme ça. I divisé par un temps, c'est I divisé par un temps. Alors, maintenant, il faut que j'identifie et j'obtiens tout de suite que Tau, que j'ai défini comme L sur R, est un temps. D'accord ?

Et ça va être le temps caractéristique du circuit RL. D'accord ? Toujours quand vous pouvez dégager des temps caractéristiques, à savoir RC.

est un temps caractéristique pour le circuit RC et non plus RL. D'accord ? Donc voilà notre équation différentielle. Maintenant, deuxième étape, on va essayer de la résoudre et déterminer les constantes d'intégration grâce aux conditions initiales.

Alors je vous laisse voir le cours de maths qui est en ligne sur les équations différentielles du premier ordre, linéaire à coefficient constant. D'accord ? Et on peut résoudre cette équation différentielle comme I de t qui va être une constante, à savoir E sur R. Ici, comment j'ai déterminé la constante ? C'est la solution particulière, c'est E sur L fois Tau, qui donne E sur R, parce que Tau, c'est L sur R.

Plus une constante d'intégration, fois exponentielle, moins T sur Tau. Encore une raison d'utiliser ce temps Tau. Ici, je vois que ce qu'il y a dans l'exponentielle et à dimensionner, c'est un soulagement. Donc voilà la solution.

général du système, mais on ne connaît toujours pas ici ce que c'est que A. Et c'est là qu'il va falloir déterminer les conditions initiales. Alors ici, comment on détermine les conditions initiales ?

C'est ce que je vous avais dit tout à l'heure. On sait que l'intensité qui traverse une bobine est continue, et que la tension au banc d'un condensateur est continue, mais on ne va pas s'en servir ici. Or, I est continue, puisqu'elle traverse... une bobine, et on va avoir I de t égale 0 moins, on sait que c'est 0, puisque le circuit était ouvert à t égale 0 moins, c'est aussi I égale t 0 plus.

I t égale 0 plus. Et puisque notre intégration tient pour tout t positif, ici on va avoir la condition initiale I de t égale 0 plus égale 0. Et on va pouvoir noter 0 égale E sur R plus A exponentielle de 0, donc 1. Grâce à la continuité de I, on en déduit que la constante vaut A égale moins E sur R. Alors on connaît de ce fait l'intensité I de T pour tout T supérieur à 0, qui est égale à E sur R fois 1 moins exponentielle moins T sur tout.

Et ça, c'est l'intensité pour tout temps positif. Alors, à quoi est-ce que cela correspond maintenant ? C'est ce qu'on avait vu. Je ne sais pas si vous vous souvenez, quand on a refait la caractéristique du générateur de tension idéal.

relié à une résistance seule, mais l'intensité qu'on avait dans ce circuit était justement le coefficient E sur R qu'on voit ici. D'accord ? Et ce, ce vers quoi tend I. au cours du temps.

On va avoir une asymptote en e sur r et on va mettre un certain temps à y aller. On va commencer de zéro, puisque i est continu, et on va mettre un certain temps à arriver là-bas. Ici, je vous rappelle que pour bien tracer une exponentielle, il faut que la dérivée en zéro coupe l'asymptote en taux, qui vaut ici l sur r.

Très bien. Ici, on voit qu'une bobine résiste à un courant, et elle met un temps L sur R à accepter que le courant puisse passer. C'est le sens de ce qui se passe ici.

Maintenant, après le RL, on va passer au RLC rapidement, et je vous invite tous à faire les calculs et à mener la même étude pour le RLC, en vous aidant de ce qu'il y a dans le polycopier. On va donc étudier ici le RLC série. En exercice dans le polycopier, vous avez aussi le RLC parallèle.

Je vous invite à aller le faire. On va ici étudier le régime libre. Tout se passerait de la même façon si on avait un échelon de tension. Les calculs sont menés dans le polycopier.

Je vous invite à les suivre et à prendre ça comme un exercice. Résoudre sur un échelon de tension, le même exercice du RLC série. Alors ici.

De la même façon, on n'a pas de nœud, on n'a qu'une maille, donc utilisons la loi des mailles. Donc on va sommer cette tension, c'est la tension aux bornes d'une bobine, donc UL égale LDIADT, donc LDIADT. Ici, on a la tension aux bornes du condensateur, donc si on met une petite charge Q ici, on sait que U égale q sur c, d'accord ? Mais aussi que i égale à dq à dt.

On s'en servira après. Enfin, pour R, On voit ici que la tension, puisque la maille est orientée dans ce sens-là, est bien en convention récepteur, donc on a bien plus Ri qui est égal à 0. En combinant ces deux équations, on obtient l'équation différentielle du RLC série en régime libre, à savoir d2q à dt2 plus 2λ. dq à dt plus ω0²q est égal à 0, où j'ai posé 2λ est égal à, où j'ai posé ω0² est égal à 1 sur LC, et 2λ, c'est le coefficient ici, c'était R divisé par L. Très bien.

Alors maintenant, je vous invite à nouveau à aller voir le chapitre de maths consacré à la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficient constant. On va avoir trois régimes. Trois régimes selon la valeur de lambda par rapport à oméga 0. Donc laissez-moi tout d'abord noter grand oméga qui va être racine de la valeur absolue de lambda carré moins oméga 0 carré. D'accord ?

Bon, et on va avoir trois cas. Le premier cas, c'est si lambda est supérieur à oméga 0. D'accord ? Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que le terme d'atténuement, d'accord ? Le terme d'amortissement, puisque c'est proportionnel à la résistance qui dissipe l'énergie, est très fort.

On va avoir ce qu'on appelle un système apériodique, un régime apériodique. D'accord ? Euh...

Ok, tu pourrais couper ça et reprendre juste là ? D'accord. Donc en notant grand oméga égale racine de la valeur absolue de lambda carré moins oméga 0 carré, On a trois possibilités, trois régimes différents selon la valeur de lambda par rapport à oméga 0. Lambda est le coefficient d'amortissement proportionnel à la résistance qui dissipe l'énergie dans le système.

Dans le premier cas, si lambda est supérieur à oméga 0, on dit que le régime est apériodique, ce que je vais noter 1. Dans le deuxième cas, lambda va être égal à oméga 0, c'est ce que j'appelle 2, et on appelle ça le régime critique. C'est la transition entre... entre le régime apériodique et le régime pseudo-périodique, que je vais appeler 3, et qui a lieu quand lambda est faible, donc peu d'amortissement.

C'est ce que j'appelle 3. Maintenant, je vais représenter ces trois. Je vais peut-être garder le schéma électrique, le circuit électrique, mais je vais représenter ces trois schémas. Alors ici, on a Q de T et on a T. Donc dans le cas 1 que je vais dessiner en jaune, le régime est apériodique. C'est-à-dire que si on part d'une charge initiale ici, on va tendre vers 0 assez rapidement, exponentiellement en fait.

Et là... Q de t, la fonction Q du t, va être exponentielle moins lambda t fois exponentielle oméga t plus a, avec des constantes, bien sûr, d'intégration, qu'il faudra déterminer en fonction des conditions initiales. D'accord ?

Très bien. Ensuite, dans le second cas, le régime critique, que je vais dessiner en rouge, On a aussi cette atténuation, mais simplement on est en régime critique, donc on est presque périodique. Et donc c'est le régime qui va tendre le plus vite vers l'asymptote. Dans ce cas-là, Q de t va être exponentielle moins lambda t, a t plus b, avec a et b encore déterminés par les conditions initiales.

Et enfin, on a le régime pseudo-périodique. D'accord ? Encore une fois, ils sont tous tracés correctement avec l'ordinateur sur votre polycopier.

D'accord ? Donc, régime pseudo-périodique, ça veut dire qu'on va avoir... une enveloppe exponentielle, d'accord, mais qu'on va quand même, c'est-à-dire des pertes dans le circuit, mais quand même des oscillations caractéristiques du LC. D'accord ? Et donc, notre système va faire des oscillations avec une enveloppe exponentielle.

D'accord ? Ici, on va avoir Q de T qui va être égal à moins exponentielle, moins lambda T à cos oméga T. plus B sin oméga T.

D'accord ? Pour conclure, reprenez cette étude du RLC série avec un échelon de tension. Ça vous formera... Vu que la correction est directement dans le polycopier, vous pourrez regarder et vérifier vos résultats, mais aussi appliquer... Donc la loi des mailles, les caractéristiques, savoir utiliser les conditions initiales qu'on a vu car U, C et IL sont continus.

Et ça vous fera un très bon exercice de conclusion de chapitre et de révision. Donc si vous avez des questions sur ce cours, n'hésitez pas à nous envoyer un mail ou à nous contacter par téléphone. Dans tous les cas, on vous souhaite de bonnes révisions.

Travaillez bien et continuez. On se retrouve pour le prochain cours d'électricité.

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