Overview
La clase introduce el concepto de integral doble, su interpretación geométrica, la relación con la integral simple y los métodos para calcularla, incluyendo cambios de orden de integración y el tratamiento de regiones no rectangulares.
Repaso de la integral simple
- La integral definida de una función de una variable representa el área bajo la curva entre dos puntos.
- Se calcula sumando áreas de rectángulos bajo la gráfica y tomando el límite cuando el ancho tiende a cero.
- Si la función toma valores negativos, esas áreas se consideran negativas.
Integral doble en regiones rectangulares
- Una función de dos variables se evalúa en puntos del plano, representando cada punto una "altura".
- El recinto de integración es inicialmente un rectángulo en el plano xy.
- Se particiona el rectángulo en una cuadrícula de n×m subrectángulos.
- El volumen se aproxima sumando el producto del área de cada subrectángulo por la altura (valor de la función).
- La integral doble es el límite de esta suma doble cuando n y m tienden a infinito.
- Si la función es positiva, la integral representa el volumen bajo la superficie; si es negativa, se resta el volumen bajo el plano.
Cálculo de integrales dobles
- Se resuelven como dos integrales simples anidadas: primero respecto de una variable, luego respecto de la otra.
- Al integrar respecto de una variable, la otra se considera constante.
- Es posible cambiar el orden de integración en regiones rectangulares (teorema de Fubini).
- El resultado siempre debe ser un número, no una función.
Regiones no rectangulares
- Cuando las fronteras del recinto son curvas, es esencial conocer sus ecuaciones.
- Los límites de integración pueden depender de una variable (por ejemplo, y desde 0 hasta una recta en función de x).
- A veces es necesario dividir el dominio en partes según las fronteras.
- Se puede cambiar el orden de integración, ajustando los límites y, si es necesario, particionando el área.
Ejemplos y recomendaciones
- Para recintos con curvas (parábolas, rectas, circunferencias), despejar la variable de interés para establecer los límites adecuados.
- La gráfica ayuda a identificar los recintos y las ecuaciones de frontera.
Aplicaciones
- Integrando una función que describe la densidad sobre una región se puede calcular la masa de una placa de material de densidad variable.
- Sirve para calcular volúmenes y áreas en regiones de formas complejas.
Key Terms & Definitions
- Integral doble — Límite de la suma de volúmenes sobre una región en el plano, usando una función de dos variables.
- Recinto de integración — Región del plano sobre la cual se calcula la integral doble.
- Teorema de Fubini — Permite cambiar el orden de integración en una integral doble sobre un recinto rectangular.
- Partición — División de la región en subregiones para aproximar la integral.
Action Items / Next Steps
- Ejercitar el planteo y resolución de integrales dobles en regiones rectangulares y no rectangulares.
- Practicar el cambio de orden de integración y el ajuste de límites según el recinto.
- Analizar y graficar diferentes tipos de fronteras (rectas, parábolas, circunferencias) para establecer límites de integración.