Conocemos la función de una sola variable de toda la vida que aprendimos a integrarla en un intervalo de a hasta b que representa eso que está ahí. Todo muy lindo, pero ¿cómo relacionamos esta integral que aprendimos en una sola variable con este mundo? No me interesa hacer un video súper cortado. ¡Rápido, rápido, corriendo!
Ciertos conceptos requieren análisis, reflexión, parar la pelota un poquito, pensar, no correr. No todo tiene que ser rápido en esta vida. ¿Por dónde arrancamos?
Bueno, si queremos hablar de una integral doble, o sea, una integral de una función de dos variables, tenemos que recordar y entender rapidísimo cómo definimos una integral de una función de una sola variable. ¿Recuerdan lo que hacíamos para calcular la integral? Una partición del intervalo, es decir, el a, b lo partíamos en pedacitos. Esa partición no necesariamente tiene que ser regular.
Puede ser una más larga o una más corta. Lo que sí es importante es tratar de calcular el área. Un área muy especial que correspondería con tener rectangulitos con la base.
de esos pedacitos, pero la altura era la función evaluada en un puntito de ahí, de ese intervalito. Entonces eso nos permitía decir que, bueno, podríamos obtener un rectangulito así. Obviamente que si la función está para abajo, o sea, las imágenes son negativas en ese pedacito, la función evaluada en el punto va a dar negativo, entonces me va a quedar un área negativa.
Bueno, no pasa nada. Nos permitimos eso. Si repetimos esto e intentamos sumar todas esas áreas, es decir, sumábamos desde la primera hasta la enésima, ¿quién es la cantidad de rectangulitos que tengo? La base del rectangulito yésimo por la altura, que era la función evaluada en un puntito dentro del intervalo, o sea, la función evaluada en un X ahí adentro.
Para el rectángulo 10, pero dentro del intervalo. Puede ser un extremo, el izquierdo, el derecho, no importa. Eso depende del criterio. Si sumamos esto, nos da una aproximación del área. Pero si logramos hacer que el que tenga base más ancha tienda a cero.
Entonces, el que tiene base más ancha tienda a cero, todos tienden a cero. Eso se llama norma de la partición. Bueno, pedíamos calcular un límite. En cualquiera de los casos, el límite cuando n tiende a infinito, si lo pensamos así, si la partición es regular, nos da el área exacta.
Y si ese límite existía, eso se llamaba integral. y a era si la función está por encima el área exacta entre la gráfica la función y el eje x si la función estaba por abajo o sea tomaba imágenes negativas en el intervalo era menos el área no importa eso era en una sola variable eso lo asumimos como correcto que lo importante recordar de acá que nos interesa particionar el intervalo de interés que va a pasar en dos variables, si tenemos dos variables. Recordando esto y haciendo una analogía, el concepto es el mismo, pero en dos variables.
Ahora voy a trabajar con una función de dos variables. Esta función de dos variables, si vos ya aprendiste cómo opera, las variables de entrada las puedo asociar a un punto del plano. Entonces cada punto del plano va a tener una imagen correspondiente. Entonces ahora las variables de esta función, las variables independientes, no viven en una recta sino que viven en un plano.
entonces no voy a tomar una porción del eje real, sino que voy a tomar una porción del plano. Entonces, cuando intente plantear la integral doble, voy a tener que hablar de un recinto, una región del plano. Puede ser, por ejemplo, esta porción, esa baldosa del piso. ¿Todos ven la baldosa que marqué acá?
Bueno, ese tipo de recinto va a ser el primer tipo de recinto con el que vamos a trabajar. O sea, regiones rectangulares. Para arrancar. Entonces, ¿cómo traslado esta idea a una región rectangular ahora? Con una función de dos variables.
Y voy a tener que entender que necesito dibujar la región. Ahora, en el plano X, Y, no voy a graficar la función. Voy a graficar el recinto de interés.
¿Se nota la diferencia entre una cosa y la otra? ¿Cuál es el recinto de interés? Y va a ser una región rectangular.
Imaginate que tenés una región rectangular desde A. Hasta. Hasta B en términos de X.
Y desde, no sé, desde C hasta B en términos de Y. Todos ven que me queda un rectángulo, ¿sí o no? ¿Cómo se va a trabajar con este rectángulo?
Llevar este concepto, tengo que hacer una partición. ¿Cómo voy a hacer esa partición? En una cuadrícula, básicamente. ¿En cuántas partes voy a partir la base que está en la dirección del eje X? Bueno, en N partes.
¿En cuántas partes voy a partir esto? En M partes. Va a quedar una cuadrícula.
Yo lo estoy haciendo rápido porque me interesa hacer otra cosa, no esto. ¿Ven la cuadrícula? Bueno, imagínense que tengo n partes acá y m partes acá.
¿Cuánto vale n y m? Depende. Si querés una aproximación, puedes decir que vale 8 y 30, por ejemplo. Pero en principio vale m y n.
Ahí está, vamos a la llave más bonita. Y voy a poner un parámetro, un parámetro para indicar en cuál estoy, en qué cuadradito estoy. Desde 1 hasta n.
¿Lo ven? Si i vale 1, estoy en el primero, en la primera columnita. Si i vale n, estoy en la última columnita. Si Y vale 5, estoy en la quinta columna. Y lo mismo con M, con J, desde 1 hasta M.
Lo ven todos, pero escuchen. Ven esta cuadrícula. Esto vive en el piso.
En el plano X y Y. Cada uno de estos cuadritos va a ser una basecita. Y voy a medir una altura.
Que puede ser por encima o por abajo del plano X y Y. ¿Qué va a ser esa altura? Como hicimos acá. ¿Cómo era la altura del rectángulo acá?
La función lo va a dar en el punto, ¿sí o no? En el punto de interés. ¿Acá qué voy a hacer?
Y acá lo mismo. Voy a tomar un puntito adentro del rectángulo de interés. Y voy a evaluar la función en ese punto de interés.
¿Cómo se va a llamar eso? Bueno, se va a llamar F en el. X, Y que corresponda e I, J que corresponda.
Se le pone una estrellita también porque no estoy obligado a que sea en el extremo, sino podría estar en el medio, en cualquier puntito. De ese rectángulo podría estar ubicado en cualquier... Va a cualquier punto interior para evaluar a la función y obtener la altura del cubito de ese prismita.
Entonces, ¿qué es lo que voy a hacer? Lo que voy a hacer es pensar esto. Mirá, el área del prismita correspondiente a la posición IJ.
Si yo esa área la multiplico por la altura, obtengo el volumen que me interesa. ¿Qué es la altura? Esto que dije acá. Yo voy a hacer una cosita para que quede claro.
Voy a dibujar el rectangulito de todos estos. Voy a dibujar el rectangulito que corresponde a IJ. El IJ décimo. El IJ décimo, acá adentro, va a tener un punto. Ese punto va a tener coordenadas.
X y estrella, IJ estrella. Entonces, la función evaluada en este punto de interés me va a dar la altura de ese prismita. Y el área que marqué acá es el área de ese rectángulo. ¿Qué es lo interesante? Lo interesante es sumar.
Sumar todos. Suma desde el primero hasta el enésimo de todas las columnas. Y también suma desde el primero hasta el emésimo de todas las filas. ¿Qué voy a sumar? Estas cosas que están acá.
El volumen. del ij décimo. Todos ven que este es el volumen del ij décimo?
Primita? Bueno voy a sumar eso. Ahí tenés. Esta sumatoria que tengo acá que parece muy rara, muy difícil.
Algún día podemos hacer un ejemplo para que vean que no tiene tanto secreto. Es una aproximación de b. Qué es b?
Bueno, yo me da miedo decir volumen porque no... así como acá la integral no es necesariamente una área, depende de cómo sea la función. Acá lo mismo.
Esto que estamos describiendo no es el volumen. Si la superficie está por encima del plano, sí, sí, si no, no. Esto que está acá es una aproximación de esa integral que a mí me interesa.
Y si yo quiero calcular realmente la integral de A hasta B, de la integral de C hasta D, lo que voy a tener que pedir... Para calcular realmente esto, respecto de Y, respecto de X, ¿qué? Ya voy a explicar esto.
Tengo que calcular el límite cuando ¿qué? Cuando esa partición se infinita. Es decir, cuando N tiene infinito y M tiene infinito, asumiendo una partición regular.
¿De qué cosa? Y de este B. O sea, de esta cosa que está acá. Si esto, este límite, si existe, si existe el límite, eso se llama integral doble. ¿Y qué es esa integral doble?
Bueno, así como la integral simple me representaba un área, la integral doble va a representar un volumen. En el caso que la función sea positiva, es decir, que tome valores positivos en el recinto de interés. Si no, va a ser... y el volumen positivo menos el volumen negativo, más el volumen negativo.
Así como las áreas acá se pueden anular, pasa lo mismo. Yo sé que a algunos les tiene miedo, parece muy difícil, parece muy complicado. Lo importante es que conozcan más o menos de dónde viene y que esta partición que hicimos acá es una partición de un recinto rectangular que no tiene ningún secreto.
Todo muy lindo esto, pero ¿cómo seguimos? ¿No me voy a poner a calcular un lente? ¿Sumatoria doble todo el tiempo.
No, no. Hay formas re piolas de poder calcular un integral doble. Que es lo que vamos a ver ahora.
Obvio que es más fácil arrancar por acá. Decir, ah un integral doble, ya está, hago la cuentita. Y ahorrarme todo esto, que es re pesado. Pero no me da la cara para arrancar por ahí sin decirte la definición. De dónde viene.
¿Qué es la integral doble? Es ese límite la integral doble. ¿Si? Y la función es integrable si existe ese límite. ¿Si?
Cosa obvia, si la función en algún puntito de eso va al infinito, o sea, no está definida, venga, vas a calcular ese límite. No vas a poder calcular ese límite. Son cosas súper obvias que se ven cuando ves la definición.
Entonces, van a ver con qué velocidad voy ahora que entendí la definición más o menos de dónde viene. ¿Querés hablar de integrales dobles? Tenés que tener un recinto de integración.
¿Cuál es el recinto más fácil que se dibuja? Un rectángulo. Entonces, ¿cómo escribo? ¿Cómo hago para hacer la integral doble? Bueno, partamos de la base que lo que voy a hacer es, escuchen, voy a usar dos colores.
La integral, escuchen bien, desde menos 2 hasta 3 respecto de x y adentro voy a tener la integral desde menos 3 hasta 4 respecto de y. ¿Qué cosa voy a integrar? Mi función de dos variables. Entonces, descartado que necesite una función de dos variables. Imaginate que en el ejercicio lo conocemos, ponenle que f de x y sea No sé, 2XY cuadrado, por ejemplo.
Esa. Entonces, ¿cómo resuelvo esta integral? ¿Me vuelvo loco? ¿Me tiro loco?
No, pará. Vamos a espacio. Esta cosa que puse con verde acá es una integral hecha y derecha de toda la vida.
Con negrito voy a dejar la integral respecto de X. Esa la voy a dejar afuera, no me interesa. Pero la integral de adentro, la verde, es una integral respecto de Y.
¿Qué significa eso? Que X es pensado como constante. Si no viste el video de derivadas parciales, te lo dejo por acá. Ahí aprendimos cómo derivar parcialmente una función de dos variables. Acá es una integral, entonces vamos a usar ese concepto.
Cuando integro respecto de y, x es pensado como constante. Entonces lo que en realidad tengo... ¡Ah! Qué fácil entonces, ¿no?
Porque esta integral, si x es pensado como constante, acá tengo 2x que es constante por y cuadrado. O sea, ¿qué va a hacer esto? 2x sale afuera de la integral, ¿sí o no?
por la integral de menos 3 a 4 de i cuadrado respecto de i. ¿Sí o no? ¿Todos ven que con verde tengo la integral de adentro? Lo que es constante para la integral respecto de i sale por fuera. ¿Está claro?
¿Por qué? Porque es respecto de y la integral verde. ¿Cómo resuelvo ahora? Resuelves la integral verde como toda la vida. O sea, lo que está con negro lo voy a dejar como está y resuelvo la integral verde.
¿Qué cosa derivada respecto de y me da y cuadrado? Y cubo sobre 3. Entonces esto va a ser y cubo sobre 3 evaluado desde menos 3 hasta 4. Y ya está. Es todo esto evaluado en 4 menos todo esto evaluado en menos 3. ¿Se entiende? Miren lo que pasa ahora. Todo esto evaluado en 4, o sea, me va a quedar 4 al cubo sobre 3. 4 por 4 es 16, 16 por 4 es 64. 64 tercios.
Me queda 64 tercios. Menos el menos de Barrow. Esto evaluado en menos 3. O sea, me va a quedar 3 por 3 es 9, 9 por 3 es 27, menos 27 tercios.
Con este menos me va a quedar más. 27 tercios. Después simplifico, no me vuelvo loco ahora. Respecto a x.
Quiero que miren una cosa. Esto que está en verde es un número. Entonces me queda la integral de un número por una función.
¿Qué hago? Re fácil. Todo lo que es constante lo saco afuera. ¿Quién le puede tener miedo a esto?
Porque es un número por una integral de toda la vida respecto a x. No me interesa hacer la cuenta, me interesa el concepto. ¿Qué función derivada respecto de x me da x? Y x cuadrado sobre 2. Así que esto va a ser x cuadrado sobre 2 evaluado desde menos 2 hasta 3. Toma. Todo esto lo valido en 3. 3 por 3 es 9. Me queda 9 medios.
Menos 4 medios. O sea, 2. Hacen la cuenta ustedes. No me interesa.
Esto les da un número. Un número. Esa es la integral. Y así se resuelve. ¿Es difícil?
No es difícil, hay que saber integrar y ordenar las cositas nada más. Yo acá este lo desarrollé todo porque es el primero que hacemos. Pero vamos a ir con cierta velocidad ahora, ¿sí? No voy a hacer cuentas, no me interesa hacer cuentas largas.
Me interesa el concepto, la idea. ¿Qué es lo que se acostumbra hacer en general? Plantear un cambio de orden de integrar.
¿Qué? Esto que hicimos acá, miren. Tiene una integral que está metida acá adentro y esta integral que está por afuera. Eso significa que integre primero lo que está adentro.
Pues resolvimos primero la integral de adentro y después la integral de afuera. O sea, esta integral la hice primero respecto de Y y después respecto de X. ¿Podría haberlo hecho al revés?
Integrar primero respecto de x y después respecto de y. Si miramos un poquito acá, respecto de x voy desde menos 2 hasta 3. ¿Sí o no? Entonces adentro...
Voy a escribir la integral desde menos 2 hasta 3 respecto de x. Y después me queda la integral respecto de y. Respecto de y voy desde menos 3 hasta 4. Entonces por fuera integro desde menos 3 hasta 4 respecto de y. Esto sería cambiar el orden de integración. ¿Es difícil?
No. De hecho es más intuitiva esta porque están acostumbrados a integrar respecto de x siempre. Pensando ahí como constante.
Entonces es lo mismo. Siempre que tengan una región rectangular. siempre que la tengan van a poder cambiar el orden de integración de esta forma tan automática no va a haber ningún problema con eso eso se llama teorema de Fubini Y pueden verificar si quieren ejercitarse un poco, resolver esto y les tiene que dar el mismo número que hicimos hoy.
Entonces a partir de ahora ya están en completas condiciones de calcular cualquier integral doble en el orden que sea de cualquier recinto que sea rectangular. El que quieras. Por ejemplo este.
La integral la tendría que plantear respecto de x desde menos 3 hasta 0. Respecto de X. Y respecto de Y, desde menos 4 hasta 0. ¿Te gusta este? Más difícil, ¿no?
Respecto de X va a ser desde dónde hasta dónde. Barro en X desde 0 hasta 2. Y Y lo barro desde menos 2 hasta 2. Imaginate que tu superficie es un bicho raro. Mirá. Estás la superficie asociada a mi función de dos variables.
Ahí está. Ahí se ve mejor. Y vos vas a plantear una superficie, un recinto mejor dicho.
Entonces la integral que vas a estar calculando todo el tiempo no es otra cosa que en este caso que estoy dibujando acá. Mirá. Mirá qué bonito. Es el volumen. Chau.
Es el volumen de ese prisma que acabo de dibujar aquí. Que tiene como base el recinto de interés. Es recto.
Y tiene como techo la superficie asociada a mi función de dos variables. Está re piola, está re bueno poder calcular el volumen de un bicho raro como este. Una de las aplicaciones que a mí más me encanta, que más me gusta, es pensar que la función de dos variables es una función que me dice a mí, en términos de x y, la densidad de masa de un material. Quiero que entiendan el concepto y la utilidad sobre todo. Imagínate que tengo una chapa y los átomos, las partículas, no están distribuidas en forma uniforme.
en todo este bicho que está acá sino que ponele que están más concentradas acá mira ve lo que estoy haciendo imagínate que cada puntito es una partícula de material está clarísimo miren está clarísimo que las partículas están más concentradas acá que por acá bueno si yo pudiera armar una función de dos variables que me diga en términos de las coordenadas que me indique que tan concentrada están las partículas eso se llama densidad bueno integrar en Este recinto rectangular me va a dar la masa de esa chapa, de esa placa. La pregunta ahora es, todo muy lindo con esta región rectangular, pero qué pasa si la región no es rectangular? Qué pasa si alguna de estas fronteras... Tiene curvas, rectas, parábolas, exponenciales.
Agarrate fuerte, voy rápido, quiero que entiendan el concepto y quiero hacer muchas cosas en un solo video. Tenemos una función de dos variables. Lo que nos interesa graficar en el plano X y Y es el recinto de integración. Por ejemplo, imagínate que armamos un recinto con estas características. Es recontra necesario conocer las fronteras de esa recinto.
Porque si no conocemos las fronteras no podemos integrar con precisión. No se puede hacer a ojo. Entonces necesitamos conocer cómo son las ecuaciones de rectas, de parábolas, de circunferencias. No voy a explicar rectas en este video.
Lo que sí voy a decir es que esa frontera que está ahí arriba... Va a ser una recta que tiene pendiente negativa y está subida. Fíjense que la ordenada al origen, si la pensamos como función, va a ser donde corta ahí al eje.
Imagínense que corta ahí al eje en E4. Entonces esta la puedo pensar como Y igual a menos un medio de X más 4. Esa es la frontera que tengo acá arriba. Es una recta de pendiente negativa que está subida en 4. Yo podría dibujar la recta completa, pero no me interesa a mí, solo me interesa ese pedacito.
Esta frontera que tengo acá vertical es una frontera retonta porque... ¿Cómo es la ecuación de una recta vertical? La mayoría de las veces que pregunto esto en clase no lo saben decir rápidamente.
Cuando yo hablo de una ecuación de una frontera, estoy hablando de una condición. Una condición que tienen que cumplir las coordenadas x y para que pertenezcan ahí y no a otro lugar. Si vos reemplazás las coordenadas x y por cualquier puntito que esté acá, va a satisfacer esta ecuación. Entonces la ecuación es una condición que impongo sobre los puntos de esa frontera que me interesa.
La pregunta es, ¿qué condición cumplen los puntos que están sobre esta recta vertical que está a una altura de 5? Ponele ahí. La coordenada Y va a depender del punto que elija.
Pero la coordenada X está fija. No puede ser cualquiera. Tiene que ser 5 necesariamente. Entonces la condición es que la coordenada X sea 5. Entonces esta es la ecuación de ese segmentito que está ahí.
Que en realidad es una recta vertical. No la voy a dibujar toda para no complicar las cosas. Lo mismo tendría que hacer con esta frontera que está acá. ¿Cómo es la ecuación de esa frontera que tengo ahí? De todos los X.
Exacto. X igual a 0. Y con la frontera que tengo acá. Y igual a 0. Muy bien para el que contestó.
Igual a 0. Exacto. Todos los puntos que están acá cumplen esa cosa. Una vez que tengo el recinto definido, este que está acá, lo que tengo que hacer es integrar. Vaya problema ahora. Porque ¿cómo integro?
¿Qué hago? ¿Hago la integral de 0 a 5 y de 0 a 4? ¿Dónde estoy parado?
Estoy parado en el recinto. Entonces, las coordenadas de los puntos del recinto no son cualquiera. Cumplen estar ahí adentro. Si yo voy a hacer un barrido de coordenadas en X y en Y, tengo que respetar eso. ¿Cómo se hace eso?
Pensando el problema de dos opciones posibles, dos caminos diferentes. O lo analizo primero en la dirección de Y y después en la dirección de X o al revés. Yo lo voy a analizar primero en la dirección de Y y después en la dirección de X.
Escuchen. ¿Qué dije? Primero en la dirección de Y. Si luego primero en la dirección de Y, escuchen, voy a integrar en esta dirección. Voy a entrar por esta frontera y voy a salir por esta frontera.
Respecto de Y, porque estoy en la dirección de Y. Entonces, necesito las coordenadas I de los puntos frontera. ¿Cuál es la coordenada I? La expresión de la coordenada I de la primera frontera por la que entro. Esta.
Entonces voy desde I igual a 0. ¿Hasta dónde voy? Hasta este punto frontera. ¿Y cuál es la coordenada I de este punto frontera?
Esto que tengo acá. ¿Sí o no? ¿No dije que Y es igual a esto?
Entonces, ¿qué escribo acá? Eso que tenés ahí. Este integral que estoy planteando acá adentro es la integral respecto de Y.
Porque voy primero en la dirección de Y. ¿Está claro? Pero ahí no terminó el problema.
Porque yo voy a integrar desde esta frontera hasta esta frontera, pero no me interesa esto. Tampoco me interesa esto. O sea, no me interesa cualquier x. Solamente me interesa un rango. ¿Qué rango?
Y fíjate, desde 0, ¿hasta dónde? Hasta 5. Entonces la integral que voy a plantear respecto de x va a ser desde 0 hasta 5. Y eso es lo que hay que hacer. Así es como integramos esta región, este recinto.
¿Cómo se resuelve ahora? Muy fácil. Tenés que reemplazar, en vez de poner f de x, poner tu función y operar como toda la vida.
¿Recuerdan cómo hicimos cuando teníamos una región rectangular? Que primero resolvemos la integral de adentro y después la de afuera. Acá es lo mismo.
Entonces primero voy a resolver la integral de adentro. Voy a escribir. Escuchen. No me interesa correr, me interesa entender. Qué diferente.
En vez de escribir f, voy a escribir la función. Obviamente que el límite de arriba depende de x porque depende de donde esté parado. Todos se dan cuenta de eso, ¿no? Si estoy acá el límite está más arriba, si estoy acá el límite está más abajo, entonces depende del X que elijas. Por eso el límite respecto de Y depende del X que elijas.
Por eso está acá el límite. Me emociono y gasto mucha pila. Ahí va. ¿Cómo resuelvo la integral de adentro?
Y cómo aprendí. Es una integral respecto de Y. Así que todo lo demás es constante.
Es tratado como constante. Así que este 2X sale afuera. Entonces me va a quedar un 2X que sale afuera. ¿Sí o no?
Por la integral, voy a pasar en limpio para que no se me pierdan, tal cual la integral de la función Y cuadrado respecto de Y. ¿Sí o no? ¿Todos vieron? Esta integral es respecto de Y. Miren lo que pasa.
Esta integral verde. Lo que tengo acá es la integral que hicimos en la ejercicio anterior, es la de toda la vida. ¿Qué función derivada respecto de i?
Me da i cuadrado. i cubo sobre 3. Así que esto va a ser i cubo sobre 3 evaluado, escuchen, desde cero hasta esta cosa, ¿sí o no? Y lo otro lo dejo como está.
¿Qué es resolver esto? A ver, lo voy a pasar acá. Escuchen. Aplicar Barrow.
Si reemplazo, escuchen, aplico Barrow. Reemplazo y por este límite superior. ¿Qué va a quedar? Menos un medio de x más 4. Todo esto al cubo sobre 3. ¿Sí o no? Menos el menos de Barrow.
Reemplazar y por 0. Me va a quedar 0. Y otro es que es 0. ¿Y esto? Respecto a X. Que desarrollan este cubo, les queda una integral de una suma de polinomios. Repas. Esta integral necesariamente tiene que quedar en términos de X.
Porque esta integral es respecto de x. Y cuando reemplace aplicando barro por estos números, me va a quedar un número resultado. Y eso es lo que tiene que dar. El resultado de esta integral tiene que ser un número. Siempre que integre una función de dos variables en un recinto definido, acotado, necesariamente el resultado de la integral, si la función es integrable, Les tiene que dar un número.
Entonces tienen que chequear que esta cosa que les quedó acá sea una función de x. Porque yo ya sé que si integro desde 0 hasta 5 una función de x, el resultado me va a dar un número. Y eso es lo que tengo acá. ¿Por qué, profe, aclarás eso?
Y porque si algunos integraron mal y acá les apareció una i, metiste la pata. Porque cuando apliques barro y reemplaces x por estos números, i te va a quedar en función de i. O sea, esto te va a quedar una cosa en función de i y no puede quedar en función de i. ¿Sí?
Tiene que dar un número. Me acelero demasiado, ¿no? Tendría que bajar un cambio, me parece. Esto que hicimos acá es un sentido.
O sea, sentido. La integral en un sentido. La integral pensando primero, integrando respecto de Y.
Toda vez que pase esto, que en el intervalo de interés en X, yo vaya de una curva única a una curva única, como acá, este tipo de regiones, algunos le llaman Y simple, o verticalmente simple. Porque entro por curva y salgo por curva. Única. Única curva, única curva.
De entrada y de salida. La pregunta que tengo que hacer ahora es. ¿Puedo cambiar el orden de integración? Es fácil.
Es cambiar el orden. Así. Mira, yo te quiero mostrar, y esto lo hice en clase en su momento, para que se den cuenta el disparate, el disparate que queda si lo haces a ciegas. Así cambias el orden así nomás.
¿Qué sería cambiar el orden así nomás y hacerlo mal? Y decir, y, cambio el orden, Damián. ¿Cómo es cambiar el orden?
Y nada, este lo pongo acá, y la integral de acá la pongo acá, de 0 a 5. Acá pongo respecto de x y afuera pongo respecto de y. Mirá, mirá cómo te cambia el sentido. La pregunta, ¿está bien esto?
Tienen que pensar un poquito y darse cuenta de lo que acabo de decir hoy. Escuchen, escuchen. Este integral que tengo acá adentro es un integral respecto de x.
Y es pensado como constante. ¿Sí o no? Si es un integral respecto de x, cuando aplique el barro reemplazando en estos límites, voy a reemplazar la x por estos números.
Pero como y es pensado como constante, acá sobrevive y. O sea, esto me va a quedar una función de y. ¿Sí o no?
Entonces uno diría, ah, no pasa nada porque tienes que integrar respecto de i después. Ah, sí, no pasa nada. Pero cuando apliques Barrow en la última integral, vas a tener que reemplazar i por este límite superior menos i por este límite inferior. Entonces, ¿el resultado qué te va a quedar?
¿Una función de qué? Una función de x. O sea, el resultado de una función de x no tiene que quedar una función de x.
El resultado tiene que ser un número. ¿Por qué pasó ese error? ¿Y por qué cambiaste el orden así nomás?
No, no tiene sentido. ¿Cómo habría que cambiar el orden siguiendo los cuidados? Y hay que ser cuidadoso.
Lo voy a hacer despacito. Es necesario parar la pelota y no correr. Vamos despacio.
¿Qué sería cambiar el orden? Hacerlo en el orden opuesto. ¿Qué orden seguía antes?
Integré primero respecto de X y después respecto de X. Entonces, ¿qué sería cambiar el orden? Integrar primero respecto de X y después respecto de Y. Primero en la dirección de X. Cuando yo haga eso, me voy a dar cuenta que en la dirección de X voy a entrar por esta curva frontera, lo ven todos.
Pero no salgo por una única curva, ¿sí o no? Sí, voy. Por acá salgo por esta curva, por esa pared.
Si lo hago por acá, salgo por esta otra pared. Entonces cuando yo planteé la integral respecto de X, entre por curva y salga por curva, va a depender de la altura que me corresponda. Porque hay dos curvas diferentes.
Entonces, ¿qué tengo que hacer? Y el intervalo de Y lo va a tener que partir en dos partes. Integrar respecto de Y, que es la integral de afuera, de cero hasta esta altura.
Y después de esta altura está 4. Entonces necesito, sí o sí, el valor de esta coordenada que tengo acá. Porque si no tengo el valor de esta coordenada, no puedo partir la integral. ¿Cuál es el valor de altura de eso?
Vamos, acá tengo la recta. Piénselo como una función. A esta función recta, ¿en qué X la tengo en qué valor para obtener esta altura?
Entonces, ¿qué voy a hacer para plantear la integral en otro orden? No en este orden, en otro orden. Pensar.
Voy a tener dos intervalitos. Escuchen. Respecto de Y, voy a ir desde 0 hasta 3 medios. No sé si se están dando cuenta que lo que estamos haciendo es partir este recinto de integración en dos recintos. Primero es una basecita que es este rectángulo y después tenemos el triángulo de arriba.
Cuando haga eso, tengo que partir la integral en dos partes. Entonces, respecto de Y, voy a ir de 0 a 3 medios. Y respecto de X, voy a seguir este camino de acá. respecto de x en la dirección de x voy a entrar por esta frontera que es x igual a 0 o sea voy a entrar desde 0 hasta esta frontera de acá está que sí que 5 sí o no entró por si no es algo por 5 respecto de x esa es la primera parte era integral que corresponde solamente a este recinto que estoy recontra marcando acá solamente eso solamente es que tengo que hacer sumar sumar qué?
la parte de arriba, el triángulo de arriba y ya sé cómo se hace, no? porque el y va a ir desde tres medios hasta dónde? hasta cuatro, esto respecto de y.
Pero el x cuando vaya para allá entro por esta frontera que es cero, o sea entro por cero igual que hoy pero no salgo por ésta salgo por esta otra, sí o no? y cuál es? La coordenada X de los puntos frontera que estoy marcando, todos ven la recta esta? Esta recta tiene puntos. Esos puntos yo puedo describirlos diciendo que la coordenada Y es igual a una cuenta.
O diciendo que la coordenada X es igual a una cuenta. Entonces lo que yo necesito es la coordenada x, porque entro por este x y salgo por este x. Estoy en la dirección de x.
Entonces necesito la coordenada x de esta frontera, la coordenada x. Yo no tengo la coordenada x, tengo la coordenada y igual a esto. Entonces ¿qué tengo que hacer de acá? Despejar x.
Voy a tener que y menos 4 es igual a menos un medio de x. O sea que x es igual a y menos 4 por menos 2, ¿no es cierto? O sea que x es igual a menos 2y, ¿sí o no? Más 8. Fue, como estoy integrando en la dirección de x, me interesa la coordenada de x. Entonces me interesa la coordenada de x.
O sea, esto que está acá. ¿Sí o no? Entonces cuando integre de acá hasta acá, tengo que poner ese x, el de esa frontera. O sea, esto. O sea, menos 2y más 8. Y acá pongo la f, da respecto a x.
Muchas palabras. ¿Qué es lo importante? Que todas las fronteras son curvas.
Y esas curvas van a tener una ecuación. Y yo voy a poder despejar una u otra coordenada, la que me interese. Se va a tener que despejar. Este sería el cambio de orden.
Se parte en dos integrales, de esta manera. Eso sería cambiar el orden de integración. Entonces lo que resta ahora es practicar con otras fronteras, otros recintos. Mirá lo que voy a hacer, voy a dibujar la parábola de toda la vida y vamos a poner otra frontera que esté por acá a la altura de 3. Que sea, no sé, por ejemplo, esta que está acá mirando.
Voy a decir que esa recta que está acá tiene ecuación y igual a x más 3. Vamos a hacerlo facilito para no complicarnos la vida. Yo acabo de inventar el ejercicio, porque me gusta improvisar. y darme cuenta que en la vida pasa eso, tenés una situación y tenés que rebuscártela y ver qué pasa. ¿Qué pasa en esta situación?
¿Cómo hago para integrar en este recinto que tengo acá? Lo primero que tengo que hacer es ver qué me conviene, porque todos vieron que la situación de hoy se complicó cuando entraba y salía por cubas diferentes. Entonces tengo que ver de qué forma, en qué sentido...
Entro por una única curva y salgo por una única curva. Si lo miran, en el sentido de Y, entro por una única curva y salgo por una única curva. Para todo el rango de interés. No sucede eso en el otro sentido.
En el otro sentido, acá entro por esta curva y salgo por esta curva, pero acá entro por la recta y salgo por la parábola. Entonces, ¿qué me va a convenir? Y plantear la integral.
Primero integral respecto de i y después respecto de x. Yo voy a tener que integrar, a ver, respecto de i a mi función. Voy a entrar por la parábola. O sea, voy a entrar con el i de la parábola.
¿Cuál es el i? Y de la parábola, este. Entonces entro por X cuadrado. ¿Y por dónde salgo? Por el Y, porque estoy integrando respecto de Y, de la recta.
¿Y cuál es el Y de la recta? Este. O sea, salgo por X más 3. ¿Y esto funciona para cualquier X?
No, no, no, no. Solamente de acá hasta acá. O sea que necesito este valor de X y este valor de X, porque si no la integral respecto de X no sé de dónde está donde plantearla. ¿Y cómo vamos a encontrar esos puntos?
No hay que asustarse, esto es algo súper obvio. Relación entre funciones. Fíjense que para este x, la coordenada y de la recta coincide con la coordenada y de la parábola.
¿Cómo obtengo ese x? Y tenés que igualar las funciones. Plantear x más 3 igual a x cuadrado. Y ahí vas a encontrar los puntos x donde las imágenes coinciden.
Esto sale muy fácil. Yo voy a completar cuadrado, ¿sí? Lo voy a completar cuadrado porque me gusta hacerlo así.
Usted haganlo para la calculadora, hagan lo que quieran. 3 más 1 cuarto tomando la raíz positiva más 1 medio. Y el segundo es menos eso, ¿no?
Menos 3 más 1 cuarto más 1 medio, ¿sí? ¿Qué es esto? Este 3 lo puedo pensar como 12 cuartos, 13 cuartos.
O sea, esto me va a quedar raíz de 13 más 1 sobre 2. Ahí tenés el primer punto de corte, el x1, ¿sí? ¿Y el otro? El otro va a ser menos raíz de 13 sobre 2 más 1 medio. o sea menos raíz de 13 Más 1 sobre 2. Ahí tenés el otro punto.
No me interesa, son dos números. Bueno, ese es el x1 y el x2. Son números.
Entonces, ¿qué integro respecto de x? Y desde el x1 hasta el x2. Me interesa el concepto, la idea.
Obviamente que si tenés un ejercicio de parcial, los profes no te van a poner un número tan horrible como este. o si lo importante es que en general en la práctica en los ejercicios rutinarios esto dan menos 2 y 4 números facilitos y este integral la vas a poder resolver sin problemas rápido que sería cambiar el orden de integración en este caso que hacemos nos largamos a llorar nos volvemos que hacemos bueno una vez que yo obtuve el x1 y el x2 los números que yo que inventé el ejercicio por eso me dieron estos números horribles los voy a dejar escritos ahí por las dudas cuando quiera cambiar el orden de integración ya no voy a integrar primero respecto de y, sino primero respecto de x. Entonces voy a tener que partir el intervalo de y en dos partes.
No lo voy a hacer, lo voy a dejar para que lo hagan ustedes. Miren, todos ven que el intervalo de y, escuchen acá. El intervalo de y lo voy a tener que partir hasta acá. Y de acá hasta dónde va a corresponder con la altura de este punto de acá.
¿Sí o no? ¿Por qué hice esa partición? ¿Porque soy caprichoso?
Porque si yo parto el intervalo de Y desde cero hasta acá. Y desde acá hasta acá, me voy a dar cuenta que cuando integre en la dirección de X, voy a entrar por una curva y voy a salir por una única curva. ¿Sí o no? Todo eso en este rango de Y.
Entro por parábola y salgo por parábola. Y cuando integre en este otro intervalo, voy a entrar por la recta. ¿Todos ven? Que entro por recta.
¿Y salgo por dónde? Y vas a salir por la parábola. Les dejo una ayuda para que ustedes lo puedan hacer solos. Esto se les complica en general a muchos.
Y igual a x cuadrado. ¿Qué significa esto? Que todos los puntos de esta curva satisfacen esta ecuación.
Que las coordenadas satisfacen esta ecuación. O sea que meto, escuchen, meto el x que me interesa y obtengo el y que corresponde en esta cuenta. Pero si lo que yo necesito es la expresión de la coordenada x, tengo que despejar x. El problema que van a encontrar es que al despejar x aparece una raíz.
Con problemas. O sea, ¿qué pasa si yo despejo X acá? ¿Cómo hago para despejar X? ¿Extraigo raíz cuadrada en ambos lados o no? O sea, hago este procedimiento.
Acá me va a quedar raíz de Y. Y acá, valor absoluto de X. O sea, decir esto es decir que X es igual a más menos la raíz de Y.
¿Qué significa esto? Que meto el Y que me interesa y voy a obtener dos valores de X. Por ejemplo, meto Y igual a 4. Imaginate, 4. Meto 4, me queda raíz de 4, que es 2. X me queda más menos 2. O sea, ¿qué voy a obtener como salida?
El 2 y el menos 2. O sea que cuando ustedes tienen la coordenada de X expresada en términos de la coordenada de Y, lo que van a obtener son dos ramas. Dos ramas. La positiva corresponde a esta rama de acá. Y la negativa corresponde a esta rama de acá.
¿Por qué digo esto? Porque cuando vos integres en la dirección de X y requieras la coordenada de X del punto frontera, dependiendo de la frontera, que necesites, vas a tener que usar una rama o la otra. Teniendo cuidado de esas cosas, vas a poder trabajar sin problemas. Deberías poder trabajar sin problemas.
No quiero hacer 800 ejercicios para que ustedes copien y peguen. Quiero empujarlos, inspirarlos, que adquieran algunas herramientas para solitos hacer de todo. Mirá lo que voy a poner ahora.
Mirá qué malo que soy. ¿Qué es eso? Es una parábola, pero está acostada.
Ey, pero no es función, ¿qué me importa? Estoy armando recintos. Las curvas no tienen por qué ser función. Que recordar la idea de función me ayuda, obvio que sí, para poder evaluar y entender dónde están los puntos. Pero cuidado, ¿sí?
Mirá lo que estoy poniendo. Quiero inspirarlos para que ustedes trabajen solos. Necesito las ecuaciones de esa frontera, si no, no puedo hacer nada. La ecuación de esta recta vertical, esa la sabe todo el mundo.
Imaginate que está acá en menos uno, entonces la ecuación de esa recta va a ser x igual a menos uno. No hay problema con eso. Pero con esta, ¿cómo hacemos? Lo que nosotros aprendimos en la escuela, o en todos lados, fue graficar esto.
Esto era y igual a x cuadrado en la medida que acá tenga x y acá tenga y. ¿Sí o no? ¿Qué significa eso? Significa que si en realidad los ejes positivos los tenés al revés, por ejemplo acá X y acá Y, la ecuación de esta parábola que tengo acá no va a ser Y igual a X cuadrado, va a ser al revés, va a ser X igual a Y cuadrado, en este caso.
Entonces entendiendo esto uno puede jugar un poquito y puede decir por ejemplo, yo aprendí en esta, la tradicional de toda la vida que esta parábola que estoy marcando acá es I igual a Menos x cuadrado, ¿no es cierto? ¿Sí o no? Entonces vengo acá y la parábola que tenga así, ¿qué ecuación va a tener? Y va a ser x igual a menos y cuadrado. ¿Sí o no?
Volvemos acá. Aprendimos que si yo tengo esta. Está acá abajo.
Entonces la ecuación de una parábola que es así, ponele que está subida acá en 4. Subida 4. Entonces, ¿qué ecuación va a tener la verde? Va a ser igual que esta, pero subida en 4. O sea, va a ser y igual a menos x cuadrado más 4. ¿Sí o no? La verde es así. Entonces vengo a este caso y digo que la parábola que tenga esta pinta, ¿qué ecuación va a tener?
Y va a ser esta, pero subida en 4, ¿sí o no? X igual a menos Y cuadrado más 4. ¿Sí o no? Esta subida en 4. Si prestan atención, y acá viene la revelación, esta verde que acabo de marcar acá, si giran esto, este sistema, que es lo mismo.
Si yo lo miro así, lo miro así, la matemática es la misma. Entonces, esto lo miro de costado, es lo mismo que tengo acá. Por lo tanto, la ecuación de esa parábola acostada que tengo ahí es la misma ecuación que la parábola verde que tengo acá. X igual a menos Y cuadrado.
Más 4. Tomá. Ya tengo todo listo para poder integrar. Si no te sale, si te sentís frustrado en este momento porque no entendés nada, estás muy complicado, lo importante es entender la esencia, los conceptos principales de cómo moverte para arrancar.
Y una vez que arrancas las cosas funcionan. Vas a ver que sí. Vas a ver que sí. La ecuación de una circunferencia es fácil, ¿no? Es como una carpita.
Esto es una parábola. Te propongo a vos que armes esta parábola. Esto es una semicircunferencia. La ecuación de la circunferencia es de radio 1 es centrada en el origen es x cuadrado más y cuadrado igual a 1. ¿Sí o no?
Bueno, van a despejar y de acá les va a caer una raíz positiva y negativa. Se quedan con la negativa que es la rama de abajo. Intenten integrar una función acá. A ver si pueden.
No se olviden como siempre que las cosas vistas como difíciles A veces pasan las revistas como fáciles cuando uno las entiende de verdad. Y uno entiende de verdad algo cuando puede preguntarse y responderse varios y sucesivos por qué es. Nos vemos la próxima.
Chau.