Extremstellen unter Nebenbedingungen

Einleitung

• Thema: Berechnung der Extremstellen unter Nebenbedingungen
• Vorgehensweise in sechs Schritten

Schritt 1: Nebenbedingungen analysieren

• Gegebene Nebenbedingungen aufstellen
• Ziel: Nebenbedingungen nach 0 auflösen
• Beispiel: xy - 1 = 0
  • g(x,y) = xy - 1

Schritt 2: Lagrange-Funktion aufstellen

• Lagrange-Funktion (L) definieren:
  • L(x,y,λ) = f(x,y) + λ * g(x,y)
  • f(x,y) = gegebene Funktion
  • λ = Lagrange-Multiplikator
• Bei mehreren Nebenbedingungen werden zusätzliche λ-Werte hinzugefügt*

Schritt 3: Erste Ableitungen bilden

• Ableitung der Lagrange-Funktion nach x, y und λ
  • ∂L/∂x, ∂L/∂y, ∂L/∂λ
• Beispiel:
  • ∂L/∂x = ... (Ableitungen aufschreiben)
  • ∂L/∂y = ...
  • ∂L/∂λ = ...

Schritt 4: Extremstellen-Kandidaten finden

• Setze die ersten Ableitungen gleich Null:
  • ∂L/∂x = 0
  • ∂L/∂y = 0
  • ∂L/∂λ = 0
• Gleichungssystem lösen
• Beispielauswertung:
  • Finden der Werte für x, y und λ

Schritt 5: Zweite Ableitungen bilden

• Zweite Ableitungen nach x, y und λ bilden
  • ∂²L/∂x², ∂²L/∂y², ∂²L/∂λ², ∂²L/∂x∂y, ...

Schritt 6: Geänderte Matrix und Determinante

• Hesse-Matrix für die zweite Ableitungen aufstellen
• Bestimmen der Determinante dieser Matrix
  • Falls Determinante > 0, dann Maximum; < 0, dann Minimum
• Beispiel: Berechnung der Determinante
  • Anwendung der Regel von Sarrus
• Überprüfung des Maximums mit den gefundenen Werten

Fazit

• Vorgehensweise zur Bestimmung von Extremstellen unter Nebenbedingungen
• Wichtigkeit der Schritte und der Lagrange-Methode
• Bei Fragen: Kontaktaufnahme empfohlen