herzlich willkommen zu einem neuen video heute geht es darum wie man die extrem stellen unternehmen bedingungen ausrechnen kann wir bekommen folgende funktionen mit zwei variablen und diese nebenbedingungen hier und das ganze kann man in sechs schritten lösen die ich euch hier aufgeschrieben habe und wir gehen jetzt einfach jeden schritt gemeinsam durch wir starten also mit der nebenbedingungen im ersten schritt schauen wir uns die noch mal an das hier war gegeben wir haben es noch eine nebenbedingungen in diesem beispiel das wird also die erste sache sein die wir zu tun haben wir sollen diese nebenbedingungen jetzt nach 0 auflösen das ist das erste was er macht also rechnen wir - 1 dann steht der xy - 1 gleich null und das hier dieser teil der jetzt auf der einen seite alleine steht das ist euer g von xy also das bezeichnen wir jetzt ab sofort als eure neben bedingung gut das war der erste schritt ging eigentlich das ist auch das einfache dann stellen wir im zweiten schritt die lacrosse funktion auf wie sieht die aus die setzt sich jetzt also zusammen aus unserer eigentlichen funktionen und aus der nebenbedingungen die lacrosse funktion wird mit seinen geschwungenen l abgekürzt und hängt ab von unseren variablen die bei uns jetzt xy heißen und wir führen da jetzt noch eine variable einfach mit dazu die nennen wir lambda denn wir haben eine bedingung wenn jetzt noch mehrere nebenbedingungen habt müsst ihr noch mehr variablen hinzufügen uns reicht jetzt eine und diese lacrosse funktion setzt sich jetzt zusammen aus unserer app von xy funktion dann kommt ein plus lambda mal also unser land was wir hier hinzugefügt haben das spielt jetzt hier eine rolle und das wird x der nebenbedingungen wenn ihr jetzt noch eine weitere nebenbedingungen habt kämen die mit einem plus und diesem lacrosse multiplikator noch hinten dazu also wenn ihr das da habt dann käme das einfach noch hinten dran wir haben aber nur eine nebenbedingungen und dadurch nur eine weitere variable und jetzt bilden wir das mal also unsere funktion setzen wir dort ein eine sache vielleicht noch bevor wir weiter machen manche haben in ihrem skript vielleicht - langsam mal stehen das ist egal also es kommt es geht beides ihr kommt auf die selben ergebnis also nehmen das was ihr bei euch stehen habt ich nehme jetzt einfach dass man also da haben unsere funktion eingesetzt dann kommt plus lambda mal und da kommt jetzt unsere neben funktionen nebenbedingungen rein nämlich dieses xy - 1 jetzt könnt ihr damit arbeiten wenn ihr wollt ihr könnt aber auch die klammer auflösen machen wir es mal das ist wie ihr lieber ableitet das könnt ihr dann machen wie ihr wollt wir lösen die klammer mal auf lambda xy - lamda erster und zweiter schritt erledigt dann kommen wir jetzt zum dritten schritt jetzt kommen die ersten ableitung unserer lakonisch funktion die lacrosse funktion steht hier jetzt wieder und wir müssen jetzt nach jeder variablen einmal ableiten die wir hier drin haben das heißt wir leiten mal zuerst nach links ab wenn wir das machen ist es ja so dass alles was kein in sich trägt fällt einfach weg beim ableiten also hier ist kann ich's dann fällt ist weg - quadrat - 2x beim ableiten dies fällt weg hier fällt asics weg und das leider bleibt stehen und hinten ist gar kein extremes fällt alles weg dann werden wir nach y ableiten wir haben ja gesagt wir müssen noch jeder variablen ableiten das heißt jetzt erinnert sich das alles wo kein y dransfelder eck das heißt das halt weg das geld weg hier dass wir zu -2 oops i lon das handwerk hier bleibt es leider übrig also das sind jetzt die partiellen ableitungen falls sie das auch nicht so gut könnt gibt es noch mal separat und wir leiten noch nach langer ab das ist aber ganz einfach ihr könnt das jetzt schrittweise ich ableiten oder ihr schreibt einfach nur die nebenbedingungen hierhin dann seid ihr um einiges schneller fertig hier steht immer die nebenbedingungen ableiten nach london fällt alles andere weg bis auf euren okay gut dann hätten wir die ersten ableitungen geschafft ja wohl und willkommen schon zum vierten punkt den extrem stellen wir suchen uns also die kandidaten für extrem steilen das macht man ja immer so dass man die ersten ableitungen jetzt nimmt die ersten patienten ableitung und die gleich nur setzt und das habe ich jetzt mal auf der seite gemacht das sind unsere ableitung von eben das esl xy und lambda und sie werden einfach gleich null gesetzt dieses gleichnis system müssen jetzt lösen und das kann je nach gleichen system echt eine schwierige aufgabe sein hier geht es jetzt noch was relativ übersichtlich ist wir können hier die ersten beiden gleichungen nach xy auflösen und dann hier unten einsetzen dass eignet sich hier eigentlich ganz gut das heißt in der ersten zeile wenn wir das nach iks auflösen wollen rechnen wir mal - lam da dann steht da - 2x gleich - lambda und dann teilen wir noch durch - 2 damit decix alleine steht dann hätten wir hier minus 1 durch - 2 sind eine halb und das lamm da steht dann noch genau dasselbe eine zweiten zeile sehr ähnlich - länder rechnen wir dann stehen da - zwei oops i lon diesmal gleich - leider aber auch hier wieder der selbe schritt getan noch durch - 2 und dann steht sy1 mit ein halb london und diese beiden sätzen wird in die dritte ein für das ist eben eine halb lambda für das y auch ein halber und dann noch die - 1 hinten dran ein halb länder plus ein halbleiter sind ein lamm da und diese -1 bringe ich mit einem +1 auch die andere seite dann haben wir die lösung für lambda nämlich gleich eins und damit wenn wir die dann da oben einsetzen kriegs und y raus ist damit ein halb mal eins also ein halb und y ist ein halt mal eins auch ein halt das sind jetzt unsere werte für unseren kandidaten für die extrem stelle also es geht hier um den punkt ein halb ein halb mit diesen werten werden wir jetzt alles weitere machen nur noch um diesen punkt geht es ist ein punkt der hier raus gekommen ist wenn ihr jetzt mehrere iks der hat also mehrere möglichkeiten habt dann müsst ihr alle kombinationen zusammensetzen und verschiedene punkte bilden hier setzt nur ein einziger punkt raus gekommen okay das ist unsere extrem stelle beziehungsweise die erhoffte extrem stelle mal schauen ob es ein minimum maximum oder sattel punkt ist das wird jetzt im fünften schritt mit den zweiten ableitungen getestet bzw wir brauchen die zweite ableitung um das dann im sechsten schritt mit der geänderten matrix zu testen also bilden wir die zweite ableitung hier stehen noch mal die ersten die wir eben schon gemacht hatten die zweiten setzen sich jetzt wie folgt zusammen wir können es noch mal nachwuchs ableiten wir können ob sie dann noch mal nach y ableiten wir können nix aber nach y ableiten wenn wir im onyx ableiten ist das dasselbe wie das da und das lamm da können wir nach allen drei sachen ableiten nämlich nach ex noch mal nicht noch mal so nach ich nach y oder zweimal sogar nach lambach das sind alle zweiten ableitungen die hier in dem fall jetzt vorkommen können also auch einiges an arbeit noch mal nach ex ableiten da kommt nur minus 2 raus islam da hinten fällt weg y nochmal nach y ableiten dass lambert fällt direkt da kommt auch -2 raus iks nach y ableiten da ist gar kein y mehr drin das wird 0 lang danach iks ableiten da ist nix das heißt das feld weg wärmeableitung 1 lampe nach y ableiten genau dasselbe das wird ohne 1 und dann nochmal nach lampe bleiben da ist gar keine da drin das wird zu einer okay das waren die zweite ableitung was sagt jetzt unsere liste jetzt kommen die geänderte matrix und die setzt sich folgendermaßen zusammen wenn wir zwei variablen haben und einen nebenbedingungen kann man die so aufbauen im grund ist es einfach nur eine hesse matrix von unserer la crash funktion wenn ihr zwei nebenbedingungen habt habt ihr dann mehr möglichkeiten von den variationen also da wird es dann ganz schön gruselig auch also da das kann schlimmer aussehen ist jetzt wirklich nur für den fall dass wir zwei variablen haben und eine nebenbedingungen sodann habe ich hier noch mal alle ableitungen zweite ableitung von eben hin geschrieben die wir jetzt brauchen für diese geänderte matrix ly y setzen wir ein das ist null dann setzen wir das ein das ist eins und das dafür hier ist auch eins also jetzt wirklich einfach nur in eure matrix einsetzen ex lambda ist aber dasselbe wie lahm da nix also ob diese im stehen oder andersrum ist egal das ist dann auch ein six ist - zwei xy ist nun und auch hier oops i lon lambda haben wir glaube ich nicht sondern nur lampson das ist dann 1 oops i lon iks ist dasselbe wie xy ist 0 und y y ist - zwei jetzt noch ganz wichtig hier stehen wir momentan nur zahlen es kann aber sein dass sie nach dem wie auch ableitungen aussehen dass da noch variablen drin sind falls das der fall sein sollte er setzt ihr diese variablen aber durch die zahlen die wir eben raus bekommen haben wir untersuchen jetzt ja alles nur für diese ganz spezielle stelle für iks anhalt und y einhalb also falls irgendwo bei euch jetzt noch xy hier vorkommen sollten da ersetzt die dann eben durch ein halb und halb also den punkt den ihr gerade untersucht und das ist die geänderte matrix und von dem es nur noch die determinante berechnet man ein bisschen ob das ein minimum oder ein maximum ist an dieser stelle okay hier steht sie und wir wollen die determinante von dieser matrix eben berechnen eine 33 matrix da können wir so vorgehen dass sie die regel von servus anwenden und einmal die spalten noch mal hinten dran schreiben ich gehe mal davon aus dass ich schon determinante berechnet hat deswegen das jetzt im schnelldurchlauf diese diagonalen werden miteinander multipliziert und hier oben dann immer zusammengerechnet also 0 x - zweimal - 20 ok dann plus 1 0 x 1 ist auch 0 + einmal einmal 0 ist auch nur sehr schön dann das ganze mit minus von hier und in den diagonalen 1 x - zweimal 1 ist - 2 - jetzt kommt die nächste diagonale die aber auch 0 wird und noch mal - - zweimal 1 x 1 ist - 2 wenn man das dann zusammen rechnet haben wir zwei plus zwei sind 4 das heißt die determinante ist größer als null und damit haben wir hier jetzt ein maximum an der stelle ein halb ein halb und den wert des maximums kann man da noch ausrechnen in dem man ein halb ein halb in die funktion ganz am anfang einfach einsetzt für iks ein halb und ein halbmondes ausrechnet da kommt man auf 3,5 diese methode mit dieser dass man hier so eine 3 kurz drei matrix bei dieser geänderten matrix bekommt funktioniert hier jetzt nur also mit dass man hier nur einem determinante auszurichten hat das ist nur der fall weil wir zwei variablen haben und nur eine neben bedingung falls ihr mehrere variablen hat habt wird eure matrix größer und dann wird das ganze schon nicht mehr ganz so einfach das auszurechnen da muss man dann noch mal genau gucken wie man das dann zu berechnen hat aber das jetzt erstmal für den fall dass wir da jetzt mal ein video dazu so das wars also wie man extrem stellen unternehmen bedingungen mit der lacrosse methode berechnet ich hoffe es ist klargeworden man in diesen sechs schritten vorgehen kann falls ihr fragen habt dann meldet euch einfach medikamente an