Kita kembali ke seri kuliah daring siada salah satu dengan topik vektor. Kali ini kita masuk pada bagian kedua videonya yaitu mengenai operasi vektor. Oke, sekarang kita akan mempelajari mengenai operasi vektor. Kita mulai dari penjumlahan vektor.
Nah, penjumlahan vektor ini nanti ada dua metode yang bisa kita lakukan, yaitu metode grafis dan analisis. Kita mulai dari metode grafis. Metode ini adalah, sesuai namanya grafis, artinya di sini kita hanya menggambarkan.
Tidak ada sedikitpun perhitungan secara analitik yang akan kita lakukan. Jadi modalnya adalah menggambar. Tentunya, menggambarnya harus presisi. Artinya, nanti kalau menggambar vektor ini, harus digambar sesuai dengan tentuannya.
Jadi minimal, jika Anda mengejarkan vektor secara grafis, Maka Anda membutuhkan beberapa alat tulis, alat bantu, misalkan penggaris dan busur derajat. Dan baiknya dalam sebuah kertas milimeter blok. Oke, kita coba saja di sini ya.
Ini adalah vektor B yang berwarna kuning dengan besar dan arah seperti pada gambar. Dan vektor C berwarna biru dengan arah dan besar seperti pada gambar juga. Kita mulai ingin menghitung berapa vektor B tambah C. Seperti apa vektor hasil akhirnya? Berarti hasil akhirnya adalah dalam bentuk panah juga di sini ya.
Kita mulai B tambah C. Berarti kita mulai dari vektor B, gambarkan ulang persis seperti apa contohkan di sini. Jadi kalau Anda coba, Anda lihat dulu ini berapa panjangnya, berapa sudutnya. Anda replika ini ya. Anda buat replikanya.
Berikutnya adalah ditambah C. Maka, gambarkan vektor C. Dari mana mulainya? Mulailah dari ujung panah vektor sebelumnya. Berarti, vektor B tadi di sini ujungnya kita lanjutkan dengan vektor C.
Nah, sudah kan ya? B tambah C, berarti mana hasilnya? Hasilnya adalah, Anda tarik garis dari titik pangkal vektor awal ke titik ujung vektor akhirnya. Seperti ini.
Ini adalah vektor B ditambah C. Sebutlah nanti apa namanya. Oke, sekarang bagaimana kalau vektor C tambah B?
Dengan cara yang sama. kita kerjakan. Tapi lihat urutannya ya, C dulu baru B, maka mulai dari vektor C, lanjutkan dengan vektor B, dan kita tarik garis dari pangkal awal ke ujung akhir, itulah vektor C tambah B.
Jika dilihat, vektor B tambah C, dengan vektor C tambah B di sini, memiliki panjang yang sama, dan arah juga yang sama. Artinya apa? Artinya adalah ada sifat mutatif di sini, yaitu vector B tambah vector C itu sama saja dengan C ditambah B. Artinya adalah posisinya Anda ubah-ubah tidak mengubah bentuk akhirnya.
Nah, sekarang bagaimana kalau dikurang? Ya, kalau dikurang sebenarnya itu adalah penjumlahan juga. Di sini ya, sekarang misalkan pengennya B dikurangi C. Kita pahami dulu, berarti kalau B dikurangi C, sebenarnya sama saja dengan B ditambah minus C.
Ya, secara matematik ini berlaku kan? Karena plus kali min nanti min juga hasil akhirnya. Jadi saya bertahan pada konsep penjumlahan di sini ya. Oke, berarti B ditambah minus C.
Vector B-nya sudah punya, tapi saya nggak punya vector C berapa. Kalau saya punya vektor C, saya ingin tahu vektor minus C-nya, caranya bagaimana? Tinggal balikan arah panahnya saja. Nanti kita lihat ini ya, konsep ini ada di perkalian skala dengan vektor. Jadi, kalau saya punya vektor C, saya ingin punya vektor negatif C-nya, yaudah, berarti tinggal arah panahnya dibalik saja.
Berarti B tambah C, Kita gambarkan B-nya. Gambarkan ditambah minus C, berarti gambarkan minus C. Dan hasil akhirnya seperti ini. Sekarang, bagaimana kalau C minus B?
Berarti itu adalah C ditambah minus B. Berarti saya butuh kemana minus B seperti apa vektornya? Tinggal balikan aja arah panahnya, saya dapat vektor minus B.
Berarti C ditambah minus B, kita kerjakan. Vektor C-nya yang biru, Vektor minus B-nya yang berwarna orangnya, berarti vektor C minus B itu yang seperti ini. Sekarang kita lihat B kurangi C dengan C kurangin B. Panjangnya sama, cuma panahnya kok berlawanan.
Oh, berarti simpulkan bahwa B minus C itu sama dengan negatif dari C minus B. Oke, ini adalah cara menjumlahkan vektor secara grafis. Jadi, Tidak ada perhitungan analitik sedikit pun yang Anda lakukan, full menggambar di sini. Tapi syaratnya adalah harus presisi.
Oke, sekarang bagaimana kalau saya menghitung vektor penjumlahannya secara analitis? Nah, ada sebuah hal yang penting untuk diingat dan diikuti yaitu yaitu Penjumlahan itu hanya dapat dilakukan pada vektor yang memiliki arah yang sama. Artinya, kalau saya punya vektor satu arahnya misalkan ke X, satu arahnya ke Y, berarti anggaplah itu dua makhluk yang berbeda, nggak bisa dijumlahkan oleh Anda. Ini contohnya, saya punya vektor V sama dengan 2I, tambah vektor W sama dengan 7C.
Tentukan V tambah W. Ini sangat mudah jika kita memegang prinsip atas ini. Namun kenyataannya, saya seringkali menjumpai jawaban-jawaban seperti ini.
Berapakah V tambah W, vektornya? Sama dengan 9. 2 tambah 7, oh 9. Keilang aja arahnya ya. Atau seperti ini.
9. I tambah J Ini mah sama-sama angka jumlahin Cuman I sama J nya kan gak boleh disumlahin Kayak gini Atau kayak gini lagi Yang lebih sering yang saya lihat lagi ya Hantem aja 2 I tambah J 9 I J Ini semua jawaban salah Kenapa? Finsipnya nanti ya Penjumlah yang dapat dilakukan pada vector yang memiliki arah yang sama Dia vector V arahnya I Kesumbu X Vector V arahnya J Kesumbu Y Anggaplah Ini kan hewan ini ya Ini adalah kuda Ini adalah gajah Dua gajah Tambah tujuh kuda Ya bukan dua Gak kuda Atau dua gajah Tujuh kuda Tapi kan tetap aja Dua gajah Ditambah tujuh kuda Ya hasilnya ya Dua gajah Ditambah tujuh kuda Berarti kalau ada V sama dengan dua I Ditambah Tujuh J W nya Berarti hasilnya adalah Jangan diapa-apakan Karena dia berbeda Arahnya tetap harus dipisahkan dengan tanda tambah ini. Seperti ini contohnya ya. Misalkan ini, saya punya vektor G, I tambah 5J minus 6K, dan vektor H sama dengan 2I minus 3J tambah 4K. Untukkan G tambah H.
Kita coba tuliskan di sini, G tambah H. Ini vektor G-nya, ini vektor H-nya. Saya coba bedakan warnanya ya. Untuk.
Yang arahnya X atau arahnya I warna merah, arah J atau arah Y warna biru, dan arah Z atau K warna hijau. Maka menjumlahkannya bagaimana? Bisa dijumlahkan kalau arahnya sama, berarti yang I hanya bisa dengan I, J dengan J, K tambah K. Maka dipisahkan I dengan I saja. Jadi kalau ada I berarti adalah 1I di situ ya.
Mesti pahami ya. Jadi jangan bingung kalau i berapa angkanya ya, berarti 1. Berikutnya adalah yang j nya 5j, ini minus 3j, dan yang k nya minus 6 dan plus 4. Berarti 1i tambah 2i, hasilnya adalah 3i. 5j minus 3j, hasilnya adalah 2j. Minus 6k tambah 4k, hasilnya adalah minus 2k.
Maka ini hasilnya. Jangan nasihat akhirnya 3, 2, 2, jangan sampai 3 tambah 2 minus 2, 3, 3 IJK. Jangan ya, tapi tetap begini.
Karena lihat ya, I, J, K beda arah harus terpisah. Oke, seperti itu cara menjumlahkan vektor seanalitis dalam bentuk vektor satuan seperti ini ya. Bagaimana kalau yang ingin dijumlahkan dalam bentuk panah tapi ingin analitik? Itu yang kita bahas berikutnya Oke, sekarang kita masih ingin menjumlahkan vektor secara analitis.
Namun sekarang berbeda dengan sebelumnya ya. Tadi sebelumnya kita menjumlahkan vektor yang bentuknya itu dalam vektor satuan IJK. Sekarang bagaimana kalau vektor yang ingin dijumlahkan itu bentuknya dalam anak panah seperti ini. Ya, misalkan saya punya vektor A dengan... Besarnya A kecil dan arahnya adalah sudut alpha terhadap sumbu X positif atau bidang datar.
Dan ada vektor B yang berwarna biru ini. Besar vektornya B kecil dan arahnya adalah sudut beta terhadap sumbu X negatif atau bidang datar. Nah, saya ingin menjumlahkan ini tanpa gambar.
Jadi ingin analitis ya. Maka caranya adalah. Yang tadi kita telah pelajari di video sebelumnya. Yaitu kita seuraikan dulu per komponennya. Jadi nanti jumlahnya itu adalah istilahnya resultant vektornya.
Jadi kalau A tambah B berarti hasilnya adalah resultant vektor A dan B. Saya namakan saja vektor R. Vektor resultant. Oke.
Maka caranya adalah kita harus proyeksikan semua vektor di sini ya. Ini vektor A, proyeksi terhadap sumbu X, jadi ada A pada arah X, dan proyeksi vektor A pada sumbu Y, A, Y, kemudian B-nya juga sama, vektor B, proyeksinya dalam sumbu X, B, X, dan dalam sumbu Y, B, Y. Apa ini tanda pos negatifnya? Kita lihat sini ya. Karena...
proyeksi vektor A dalam arah X, dia berada di sisi sumbu X positif, maka X nilainya positif, dan AY ini ada di sumbu Y positif kan ya atau arahnya ke arah Y positif berarti positif, sementara yang vektor B, kita ada di sini proyeksi di sumbu X nya, dia ada di sumbu X negatif, atau dia ke arah kiri, berarti dia negatif ini pun sama, Y nya ke bawah ke arah sumbu j negatif, berarti dia negatif juga nilainya jadi nanti ini akan berpengaruh berarti tinggal jumlahkan R adalah A tambah B A itu adalah ada A X I tambah A Y J dan B nya adalah B X I tambah B Y J jumlahkan, ingat ini tadi aturannya hanya dilakukan pada vetor yang arahnya sama, berarti X dengan X, Y dengan Y ini dengan yang ini Ay dengan By seperti ini. Berarti R dalam arah X. Resultan dalam arah X adalah AX tambah BX.
Kita ingat ya. AX2 ini kan. Berarti A cos sudutnya.
A cos alpha ditambah yang BX berapa? B cos beta. Ini kenapa negatif? Karena yang BX arahnya ke kiri. Lihat ini ya.
Merah kanan, biru kiri. Saling melawan kan? Mengurangi ya. Yang sumbu Y nya sama saja.
Tadi kan kalau komponen Y berarti sin kan ya. Berarti ini A sin alfa positif ya. Ditambah B sin beta tapi negatif. Tinggal masukkan angkanya.
Maka nanti hasil akhirnya dapat dituliskan sebagai berikut. Jadi nanti hasil akhirnya adalah. Vektor resultant sama dengan resultant dalam arah XI tambah resultant dalam arah YJ. Seperti itu ya. Ini adalah bagaimana kita menjumlahkan vektor secara analitis.
Dan ini nanti adalah konsep yang akan sangat sering kita gunakan di materi-materi kinematika, dinamika, dan lain-lain. Berikutnya adalah setelah kita memahami mengenai penjumlahan, maka operasi berikutnya adalah perkalian. Nah, perkalian vektor ini ada dua jenisnya, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar dan perkalian antara vektor dengan vektor.
Untuk perkalian vektor dengan skalar, nanti hasilnya adalah vektor. Nanti kita lihat contohnya ya. Sementara... Perkalian vektor dengan vektor ada dua jenis lagi, yaitu perkalian titik alias dot product yang hasilnya nanti adalah skalar, dan perkalian silang atau cross product yang hasilnya nanti adalah. Vektor.
Kita bahas satu per satu perkalian-perkalian ini. Nah, untuk perkalian vektor dengan skalar, disini contohnya adalah, misalkan ada vektor A, yaitu AXI tambah AYJ tambah AZK. Ingin dikalikan dengan suatu konstanta, itu skalar ke satu ya, karena nggak pada arahnya kan, konstanta C.
C-nya bilangan real, jadi boleh. Positif, boleh negatif, boleh pecahan, boleh bilangan bulat. Mau 0 itu silakan.
Nah, maka gimana hasilnya? Seperti ini ya. Jadi kalau ada konsultan C dikalikan A, maka berarti C dikalikan dengan ini semua.
AXI tambah AJ tambah AJK ya. Anda tinggal distributifkan saja. Berarti C kali AXI tambah C kali AJ tambah C kali AJK.
dimasukkan satu-satu. Nanti hasilnya gimana? Hasilnya ya sudah.
IJK ini nggak hilang kan? Maka hasilnya vektor. Masih ada IJK-nya.
Contohnya ini misalkan ya. P sama dengan 2I tambah 10J minus 6K. Hitunglah minus setengah kali P.
P-nya vektor, minus setengahnya adalah skalar kan? Konstanta skalar ini. Kalikan. Ya dengan mudah seperti ini kan ya. Minus setengah kali P sama dengan berarti minus setengah kali 2I tambah minus setengah kali 10J tambah minus setengah kali minus 6K.
Berarti yang pertama, minus setengah kali 2 sama dengan minus 1, minus setengah kali 10, minus 5, minus setengah kali 6 adalah plus 3. Ini hasilnya. Minus I, minus 5J tambah 3K. Ini kan vektor hasilnya. Sesuaikan ya. Jadi, mudah kan ya.
Jadi tadi contohnya kan ya, ada vektor B, berapa vektor minus B? Sama sih dengan, berarti vektor B kali kan minus 1. Nah, nanti hasilnya kan vektor juga, tapi negatifnya seperti itulah ya. Oke, sekarang kita beralih pada operasi perkalian. Jadi, kita sudah mempelajari mengenai perkalian antara vektor dengan skalar, sekarang vektor dengan vektor, yaitu Untuk jenis perkalian titik alias dot product, simbol titik atau dot adalah ini. Jadi misalkan saya punya vektor A berwarna biru dan vektor B berwarna kuning, kemudian sudut yang diapit oleh kedua vektor ini adalah teta.
Maka jika saya ingin mengalihkan secara titik para vektor A dengan B, jadi A dot B, Itu kira-kira seperti ini ilustrasinya. Jadi, makna dari perkalian titik ini adalah, salah satu vektornya kita proyeksikan terhadap vektor lainnya. Contohnya adalah, B ini saya proyeksikan ke vektor A. Terhadap vektor A. Berarti kan ini teta-nya, ke sini proyeksi, berarti ini adalah B cos teta.
Nah hasil proyeksi ini dikalikan dengan besar vektor satunya lagi, itu adalah perkalian titik. Jadi A dot B hasilnya adalah A besarnya vektor A dikalikan komponen vektor B pada vektor A. Jadi AB cos theta.
Gimana kalau yang diperasikannya vektor A nya? Sama saja nanti hasilnya adalah AB cos theta. Jadi kalau ada vektor sekarang, vektor P.
Glot vector key berarti P key cos theta. Tapi ini besarnya ya. Di sini terlihat ya, ini besar A, besar B cos theta. Artinya di sini sebenarnya tidak ada lagi vektornya. Hasilnya adalah skalar.
Nanti hasilnya hanya berupa angka. Tidak ada lagi I, J, K di situ. Nah, dengan koordinat yang kita miliki, yaitu Cartesian, kita punya sebuah sifat yang khas.
Yaitu, Ketiga sumbu X, Y, Z ini dia saling ortogonal atau saling tegak lurus. 90 derajat antara masing-masing. Jadi antara X dengan Y tegak lurus, antara X dengan Z tegak lurus, antara Y dengan Z tegak lurus.
Seperti Anda melihat sudut dari sebuah ruangan. Ke atas, ke samping, dan ke arah Anda. Nah, di sini karena dia saling tegak lurus, Sudutnya sama saja, maka nilai costnya kan sama dengan 0, cos 90 itu ya. Artinya apa?
Kalau saya mengalikan secara dot antara arah X dengan arah Y, berarti antara I dengan J, berapa hasilnya? Berarti kalau saya kalikan I dengan J, berarti kan nanti ini besarnya I kali besarnya J, kan besarnya 1 ya, satuan itu ya, berarti 1 kali 1, cos IJ adalah 90 derajat, berarti cos 0. Berapapun dikalikan 0 sama dengan 0. Berarti kalau I dot J 0. I dot K berapa? Karena dia sama sama perajatan juga sudutnya berarti hasilnya adalah 0 juga. J dengan K sama juga kan.
Karena dia tegak lurus maka hasilnya adalah 0. Ingat ya. Kalau tegak lurus berarti teta nya 90. Kos tetanya berarti kos 60 sama dengan 0. Maka hasilnya pasti 0. Gimana dong kalau saya pengennya I dengan I, saya dotkan? Kalau I dengan I, kan arahnya sama ya?
Kalau arahnya sama kan berarti dia berhimpit. Kalau dua garis berhimpit, berapa sudutnya? Nggak ada sudutnya, ya berarti 0 sudutnya. Kalau 0 berarti cos 0 itu adalah 1. Berarti kalau nanti I dot I, J dot J, K dot K, itu hasilnya adalah 1. Kenapa?
Karena antara I dengan I. Theta nya 0, antara j dengan j juga 0, k dengan k juga 0. Cos 0, 1. Maka ini hasilnya adalah 1. Dan itu hasilnya adalah 0. I.j, i.k, j.k itu adalah 0. Contohnya ya, kayak gini kalau kita tuliskan. Misalkan saya punya vektor A, AXI, AYJ, tambah ZK dan B pun sama.
Maka A.B nya seperti ini. Gimana ngalihin ya? Kalian semuanya ya, berarti axi.bxi, tambah axi.byj, tambah axi.bzk, tambah ayj.byj, tambah ayj.byj, tambah ayj.bzk, dan seterusnya.
Tapi ingat, kalau didotkan yang beda tanda hasilnya 0, maka hanya gini nanti hasil akhirnya. Kalau punya A.B maka sama aja dengan menghitungkan AX kali BX tambah AY kali BY tambah AZ kali BZ. Kenapa bisa begini? Karena yang perkalian dot beda tandanya, beda arahnya hasilnya adalah 0. Ini sisanya. Anda bisa langsung menggunakan ini saja.
Jadi A.B nya ya AX, BX tambah AY, BY tambah AZ, BZ. Seperti itu ya. Ini adalah perkalian dot yang hasilnya adalah skala.
Oke, sekarang kita masuk pada perkalian silang atau cross product dengan simbol ini ya, simbol kali. Nah, misalkan saya punya vektor A, ini vektor B yang biru, teta adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor ini, maka A cross B itu hasilnya seperti ini. Besarnya A, kali besarnya B, sinus sudut yang diapitnya kemudian arahnya nanti ada arahnya adalah A cross B kita bahas lebih lanjut ya secara fisis, operasi cross product ini berkaitan dengan sistem yang berputar atau rotasi ini adalah Anda biasanya kenal yang namanya aturan tangan kanan Kaedah tangan kanan Right hand rule Nah, hal-hal seperti itu Yang Anda temui Persamaan-persamaan fisika Yang ujung-ujungnya ada aturan tangan kanan Berarti secara matematis Pasti ada cross product ini Jadi, kalau saya A crosskan dengan B Artinya saya dengan tangan kanan Saya arahkan, saya putarkan empat jari saya dari A ke B. Nah, jempolnya itu adalah mengarahkan hasil A cross B-nya.
Kemana arahnya. Ya, itu arahnya. Oke.
Nah, di sini besarnya berarti AB sin theta. Arahnya A cross B, ya. Nah, untuk koordinat kita, X, Y, Z, tiga dimensi.
Jadi kita ingat bahwa dia ortogonal. Saya tidak ngurus ya. 60 derajat berarti.
Hai eh antara i dengan jj dengan Kakak dengan I karena dia setelah harus Maka nanti nilainya ada. Sin nya sin 91 ya. Kemudian kalau saya cross kan I dengan I.
J dengan J. K dengan K masing-masing. Berarti sudutnya 0. Sin 0 adalah 0. Ini berlaku ya.
Jadi kalau saya I cross dengan I. 0. J cross dengan J. 0. K dengan K.
0. Terus bagaimana kalau saya I cross dengan J. Kemana arah hasilnya? Nah ya pakai ini.
Hedah tangan kanan aplikasikan ya. Kalau I dengan J, maka nanti kalau Anda pakai tangan kalian, coba arahkan, pasti jempolnya mengarah ke kiri kalian, ke sumbu Z. Nah, ya, dan seterusnya. Saya bisa gunakan ini juga lebih mudahnya, ya. I, J, K, ini ada arah panahnya, ya.
I menuju J, J menuju K, K menuju I. Ini bisa digunakan untuk menentukan arah. Jadi, kalau ada I cross dengan J, maka hasilnya adalah K. J cross dengan K hasilnya adalah I.
K cross dengan I hasilnya adalah J. Gimana kalau saya ingin J cross I? J cross I hasilnya adalah K. Tapi karena melawan panah ini hasilnya negatif.
Jadi J cross I hasilnya adalah negatif K karena melawan arah panah. Jadi kalau saya punya K cross J hasilnya adalah minus I karena melawan arah panah. Seperti itu ya.
Ini perhitungannya, kalau saya punya Vector A sama B, maka begini ya A cross B, ya mau gak mau Hitung satu-satu ya AXI cross BXI Tambah AX cross BY Tambah X cross BZ Satu ya, AY nya sekarang AY dengan BX, AY dengan BY, AY dengan BZ AZ dengan BX, AZ dengan BY, AZ dengan BZ Tapi ingat Yang sama di sini, kalau I dengan I, J dengan J, kadang-kadang ini adalah 0. Berarti X dengan X 0, Y dengan Y 0, Z dengan Z 0. Tinggal dihitung sisanya seperti apa. Kalikan bagian depannya, tentukan arahnya. Oke, seperti itu ya, perkalian silang. Oke, di bagian ini akan mempelajari operasi vektor, mempelajari penjumlah secara grafis, penjumlah secara analitik. Kemudian perkalian vektor dengan skalar, perkalian vektor dengan vektor baik dot maupun cross product, sudah Anda pelajari.
Setelah ini kita akan bertemu lagi di video bagian ketiga. Terima kasih.