Wahrscheinlichkeitsrechnung: Erste und Zweite Pfadregel

Einführung

• Erste und zweite Pfadregel sind zentral in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
• Grundverständnis ist wichtig, um weiterführende Themen zu verstehen.

Beispiel: Würfeln mit einem Laplace-Würfel

• Laplace-Würfel: ein normaler Würfel mit Seiten 1 bis 6, alle Seiten gleich wahrscheinlich.
• Betrachtung der Ereignisse: 6 würfeln oder keine 6 würfeln.

Erster Wurf

• Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.

• Wahrscheinlichkeit für eine 6:

  [ P(6) = \frac{1}{6} ]
• Wahrscheinlichkeit für keine 6:
  • [ P(keine 6) = \frac{5}{6} ]

Zweiter Wurf

• Wenn eine 6 geworfen wurde: erneut 6 oder keine 6.
• Wenn keine 6 geworfen wurde: erneut 6 oder keine 6.
• Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich:
  • 1 Sechstel für 6 und 5 Sechstel für keine 6.

Baumdiagramm

• Darstellung der möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten.
• Erste Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren.
  • Beispiel: Zwei Mal eine 6: [ P(6, 6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} ]
  • Beispiel: Zwei Mal keine 6: [ P(keine 6, keine 6) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36} ]

Zweite Pfadregel

• Anwendung, wenn das Ergebnis nicht direkt durch Multiplikation ermittelt werden kann.
• Beispiel: Wahrscheinlichkeit, dass in zwei Würfen entweder beide Male eine 6 oder beide Male keine 6 geworfen wird.
  • Berechnung:
    • Beide Male 6: [ P(6, 6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} ]
    • Beide Male keine 6: [ P(keine 6, keine 6) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36} ]
  • Addition der Wahrscheinlichkeiten: [ P = P(6, 6) + P(keine 6, keine 6) ]

Fazit

• Pfadregeln sind wichtig für die Wahrscheinlichkeitstheorie.
• Videos und weitere Materialien sind hilfreich für das Verständnis.
• Playlist "Grundlagen der Wahrscheinlichkeit" empfohlen für vertiefendes Lernen.