Volumenberechnung von Rotationskörpern

Einführung

• Thema: Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers
• Rotation der Funktion um die x-Achse
• Dank an die Kanalmitglieder für ihre Unterstützung

Vorgehensweise

• Formel: ( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx )
  • ( \pi ) wird beim Integrieren beibehalten
  • Integralgrenzen ( a ) und ( b ) aus der Aufgabenstellung
  • Funktion ( f(x) ) wird quadriert

Beispiel

1. Gegebene Funktion und Grenzen:

   • Funktion von (-2) bis (1)
   • Darstellung der Funktion als Wurzelfunktion
   • Visualisierung der Rotation um die x-Achse

2. Einsetzen in die Formel:

   • Integral von (-2) bis (1) für (f(x))
   • Quadrieren der Funktion
   • Vereinfachung durch Aufheben der Wurzel durch das Quadrat

3. Integrieren:

   • Stammfunktion bestimmen
     • (x^2) wird zu (\frac{1}{3}x^3)
   • Grenzen einsetzen in die Stammfunktion
   • Berechnung des Ergebnisses: (9\pi)
   • Alternative Darstellung als Dezimalzahl: (28,27)

Zweites Beispiel

1. Aufgabenstellung ohne explizite Grenzen:

   • Funktion: (x^2 - 4)
   • Grenzen durch Nullstellen berechnen
     • Löse (x^2 - 4 = 0)
     • Nullstellen: (-2) und (2)

2. Einsetzen in die Formel:

   • Benutzung der binomischen Formel zum Vereinfachen
   • Integrieren der vereinfachten Funktion

3. Berechnung:

   • Ermittlung der Stammfunktion
   • Einsetzen der Grenzen
   • Ergebnis: (512\pi/15) oder gerundet (107,23)

Fazit

• Rotationskörper sind berechenbar, besonders einfach bei Wurzelfunktionen
• Wichtig ist das korrekte Einsetzen in die Formel und die Vereinfachung
• Fragen können in den Kommentaren gestellt werden