hallo liebe in dem heutigen video möchte ich mir zusammen mit euch anschauen wie man das volumen eines rotation körpers berechnet und zwar wenn die funktion um die x-achse rotiert bevor wir uns ein beispiel zusammen anschauen möchte ich mich aber noch bei allen kanal mitgliedern von mir bedanken vielen dank dass ihr mit dabei seid das freut mich wirklich sehr und motiviert mich weiterzumachen jetzt aber zurück zu unserer eigentlichen problem stellung wir sollen wie gesagt das volumen ausrechnen von so einem rotation skipper da bekommen wir diese formel pi mal das integral in den grenzen die in der aufgabe gegeben sein müssen in einer gewissen art und weise und natürlich brauchen eine funktion und sie wird hier in dem integral nochmal quartiert also wir müssen ein integral lösen und halt das pi vorne dran nicht vergessen dass das immer noch mit dabei steht das ist einfach teil der formel schauen wir uns das ganze jetzt mal an einem beispiel an wir bekommen eine funktion die so aussieht und die grenzen die sind zwischen minus 2 und 1 bevor jetzt das ganze in die formel 1 geben schauen wir uns das mal an was das bedeutet am grafen unsere funktion müsst ihr diese wurzel funktion die habe ich hier gezeichnet von -2 bis 1 soll jetzt unser körper rotieren oder soll die funktion rotieren das heißt dieses stück der funktion da oben das rotiert jetzt um die x-achse drumherum ist ein bisschen schwierig sich das vorzustellen deswegen habe ich hier mal eine andere darstellung bei der man es besser sieht hier oben haben wir dieses funktions stück das wir eben gezeichnet hatten und das rotiert jetzt um die x-achse man sieht hier von minus 21 und dann entsteht einfach so ein körper und um dieses volumen von diesen dingen geht es jetzt also ihr müsst euch natürlich nicht vorstellen wie das ding jetzt aussieht aber es hilft natürlich wenn man weiß was da jetzt überhaupt passiert also was diese funktion an sich damit zu tun was dafür ein körper und da gehen wir jetzt zurück zu unserem beispiel und setzen dass man die formel 1 und das volumen auszurechnen wie war die formel noch mal das integral jetzt kommen die grenzen - zwei ist die untere grenze bis 1 ist die obere grenze jetzt hieß ja dass die funktion darin das integral rhein soll okay machen wir das mal die kommt da rein und jetzt wird diese funktion aber nochmal quartiert also einfach klammer drumrum zum quadrat und hinten schließt das dx das integral dann nochmal ab manche von euch haben jetzt vielleicht angst wegen dieser wurzel funktion oder so aber wurzeln ist das beste was passieren kann bei rotation körpern denn wenn wir uns ist jetzt mal hier anschauen und das integral jetzt ein bisschen vereinfachen wollen dann ist es ja immer so das quadrat und wurzeln geben sich ja genau auf also das quadrat hier sorgt dafür dass ich diese wurzel hier einfach komplett weg gibt und das ist natürlich super denn dann ist das quadrat weg und sieht die wurzel weg was bleibt dann übrig pi mal integral von -2 bis 1 und dann bleibt einfach nur noch das übrig was unter der wurzel vorher stand und das ist natürlich jetzt um einiges einfacher denn davon müssen wir jetzt einfach nur noch die stamm funktion finden das pi wie gesagt es bleibt wirklich einfach immer bis zum schluss vorne daran darf man nicht vergessen mit zu schreiben was wäre jetzt die stamm funktion von dem dix quadrat wird er beim integrieren zu iks hoch drei und vorne dran steht ja die zahl die hier vorher vorne dran stand also 1 durch die neue hoch zahl also ein drittel x3 und hierbei wenn dann eine zahl stand dann schreibt er beim integrieren einfach ein iks hinten dran und die grenzen darf man natürlich nicht vergessen von -2 bis 1 jetzt müssen wir hier die grenzen einsetzen wie ging das noch zuerst die obere grenze kommt hier in jede six reinschreiben wir das mal auf pi mal große klammer die einst in jede six rein also ein drittel mal 13 plus 2 mal 1 und dann kommt ja eine - weil wir jetzt die unsere grenzen setzen mach das schöne klammer und setzt die untere grenze einmal komplett ein also ein drittel mal - zwei hoch 3 plus zweimal - zwei ganz normal integrale lösen und noch eine große klammer zu und jetzt geht es darum dann das ding hier auszurechnen tipps und taschenrechner ein tipp am besten zwei machen damit er ist sicher sein geld auch das richtig so soll sie daraus ab dafür rechnet man sich gerne mal aber wenn ihr das alles aus rechnet kommt man auf 9 ist das ergebnis von dem zeug in der klammer und das dann einfach nach hinten dran also 9 p wäre dann das volumen unseres rotation körpers manche geben dass du also wenn ihr das dann noch als komma zahl richtig angeben sollte während es dann 28,27 wenn ihr es ohne das pi hin schreiben wollt aber normalerweise reicht diese schreibweise auch aus bisher auch genauer als das da genau das wäre jetzt mal so ein beispiel was könnt ihr noch auf euch zukommen eine aufgabenstellung folgendermaßen der graf von f begrenzt mit der x-achse eine fläche die um die x-achse rotiert berechnet das volumen des rotation skaters im grunde dieselbe aufgabenstellung wir sollen das volumen des produktions körpers finden aber wir haben diesmal nur eine funktion und keine grenzen das steht aber im text dass die funktion mit der x-achse eine fläche begrenzt also einschließt das heißt unsere grenzen also wenn unsere funktion hier dieses quadrate - 4 das sieht so aus das schließt hier eine fläche ein und die grenzen sind da natürlich die ganz normalen null stellen das heißt wir müssen unsere grenzen erst finden also nun stellen berechnen von diesen dingen 0 stellen berechnen bedeutet einfach gleich null setzen also ex quadratmeter es hier gleich null und nach auflösen indem wir also +4 rechnen damit dass quadrat gleich vier steht und dann noch die wurzel ziehen dann kriegen wir zwei lösung nämlich einmal die wurzel aus vier ist 2 und auch - 2 das darf man nicht vergessen wir brauchen ja sowieso zwei grenzen von daher ist das ganz gut also haben wir unsere grenzen gefunden indem wir die null stellen der funktion gesucht haben ist sehr häufig der fall dass man das zuerst machen muss und erst dann berechnet man das volumen weil jetzt haben wir ja die grenzen erst gefunden das heißt unsere funktion unsere grenzen haben wir im kopf wir wollen das volumen berechnen wie war die formel mal integral jetzt kommen die grenzen die wir gerade gefunden haben - zwei kommt unten hin die zwei kommt oben hin und hier kommt asics quadrat - 4 1 muss noch quartiert werden und dann das dx hinten dran jetzt hätten wir uns eine wurzel gewünscht jetzt ist es nämlich in diesem schwierigen das ganze hier aufzulösen wir müssen das jetzt mit der dynamischen formel vereinfachen also weil das ist ja so zum integrieren noch zu kompakt wir müssen das vereinfachen und deswegen würden welche jetzt die biologische formel draufpacken wir gehen nach dass wir jetzt die zweite das ist ja dass da zum quadrat also iks quadrat zum quadrat sind x4 - 2 x iks quadrat mal 4 das wären dann 8x quadrat +4 zum quadrat sind 16 und stx hinten dran jetzt sieht schon besser aus zum integrieren perfekt geeignet die stamm funktion sieht wie aus dem x4 wird ein x5 und vorne dran steht dieser korrekturfaktor also dieses 1 durch die neue hochsal dann - aus dem ixs quadrat wir dann x3 dann acht durch die neue hoch zahl war die 3 und hinter eine zahl kommt einfach ein ex die grenzen hin schreiben und dann nur noch einsetzen wir setzen die obere grenze ein also für jedes ich sehe hier findet setzte die 2 1 dann also ich mache zu machen und erst mal so hier setzen die zwei in jedes x1 dann kommt da ein - hin und ihr setzt die - zwei in jedes x1 wenn ihr das ausrechnet und glück gehabt dass er ist nicht mehr rechnet habt dann kommt die auf 512 15 oder wenn ihr es dann gerundet angeben sollte 107 23 genau also rotation körper sind eigentlich gar nicht so schlimm wenn ihr glück habt und wurzeln in eurem funktionen habt sogar um einiges angenehmer wie ihr jetzt gesehen hat aber ansonsten geht es wirklich darum einfach das ding in die formel reinhauen vereinfachen stamm funktionen bilden grenzen einsetzen ausrechnen falls ihr fragen zu dem ganzen hat dann meldet euch einfach in den kommentaren