Exponentialfunktionen aufstellen

Grundlagen

• Exponentialfunktion: $f(x) = a \cdot b^x$ oder $y = a \cdot b^x$
• Variable im Exponenten: Deshalb heißen sie Exponentialfunktionen.
• Typischer Verlauf:
  • Steigt von der x-Achse an und explodiert nach oben.
  • Oder nähert sich von oben der x-Achse an.
  • Kann auch gespiegelt werden.

Aufstellen einer Exponentialfunktion

• Einfache Version: Verwenden von zwei Punkten, wobei bei einem der x-Wert 0 ist.

  • Beispiel:
    1. Punkt 1: $x=0, y=2$ => $2 = a \cdot b^0$ (b^0=1) => $a = 2$
    2. Punkt 2: $x=4, y=20$ => $20 = 2 \cdot b^4$
    3. Umformen: $10 = b^4$, dann vierte Wurzel ziehen, um $b$ zu finden.

• Schwierige Version: Beide Punkte verwenden, um sowohl $a$ als auch $b$ zu bestimmen.

  • Beispiel:
    1. Punkt 1: $x=2, y=4$ => $4 = a \cdot b^2$
    2. Punkt 2: $x=4, y=80$ => $80 = a \cdot b^4$
    3. Gleichungssystem:
       • I: $4 = a \cdot b^2$
       • II: $80 = a \cdot b^4$
    4. Auflösen durch Umstellen einer Gleichung nach $a$: $a = \frac{4}{b^2}$
    5. Einsetzen in die andere Gleichung:
       • $80 = \frac{4}{b^2} \cdot b^4$
       • $80 = 4 \cdot b^{4-2}$
       • $80 = 4 \cdot b^2$
    6. Umformen: $20 = b^2$, dann Wurzel ziehen, um $b$ zu bestimmen.

Tipps

• Bei der Berechnung der Wurzeln auf Nachkommastellen achten.
• Potenzgesetze nutzen (z.B. gleiche Basis dividieren: Subtraktion der Exponenten).