Hej och välkomna till genomgång i matematik 2b där vi idag kommer att köra den första genomgången på avsnittet som handlar om ekvationssystem. Och för den här genomgången då kommer det just att pinpointa den så kallade eller grafiska lösningen av ekvationssystemet. Men först så behöver vi ju fastställa vad ett ekvationssystem är för någonting.
Och jag tänker börja det genom att studera den här ekvationen. I är lika med 3x. Därför har vi sett som tidigare att vi har kallat det där för en ekvation och jag tror att de flesta av er ser den nu som en rät linje med k-värde 3 och m-värde minus 5. Men nu vill jag att vi ska titta lite på den här utifrån att det är en ekvation och att vi ska lösa den ekvationen. Och hur löser man den här ekvationen?
Det är ju inte helt självklart eftersom att det finns två stycken obekanta här, både x och y. Och det gör ju då att det inte bara finns ett specifikt värde på någon av variablerna som gör att... så man kan lösa den här ekvationen. Utan vi kan till exempel se att om det är så här att x, låt säga att x är 0, det ger oss ju att 3 gånger 0 blir 0 minus 5 blir minus 5. Det ger oss alltså att y är lika med minus 5. Så det här är en lösning till ekvationen.
För den funkar, alltså 3 gånger 0 minus 5 blir just minus 5. Om x istället är 1 till exempel, ja då får vi istället då att y är 3 gånger 1 blir 3, 3 minus 5 blir minus 2. Så då har vi att y är minus 2 och det är en annan lösning. Om x är 2 så ger det oss... Istället att y blir 3 gånger 2 är 6 minus 5 blir 1. Nu har vi y är 1 istället. Och så här håller det på. Så man kan alltså på hela tiden utifrån den här ekvationen hitta ett oändligt antal lösningar.
för den här ekvationen. Och det gör att själva ekvationen i sig är ganska meningslös att titta på som en ekvation med skitliga lösningar. Däremot så kan man ju då se att det här skulle kunna ritas upp som en rätt linje.
Den här rätta linjen skulle i så fall kunna vara som här. Vi har ett m-värde där, och vi har ett k-värde som är sådär. Eller ett k-värde som gör att nästa punkt blir där. Och då fortsätter vi så här, och sådär.
dit upp, jag gör några punkter här nu för att lätt kunna dra en snygg rätt linje här. Där uppe. Så då börjar jag där nere och går dit upp.
Och där har vi då alltså den här snygga rätta linjen genom minus 5 på y och med k-värde 3. Sådär lite i ändarna så att de inte är utanför det. Sådär. Och grejen är nu då att alla punkter på den här linjen motsvarar en lösning till den här ekvationen. Till exempel då så ser vi här att för den x-komponenten.
x är 5, det är det här. Så är y 10 som det verkar här nu då. 3 gånger 5 blir 15. 15 minus 5 blir 10. Så ja, det funkar.
Så att alla punkterna på den här grafen är alltså en lösning till den här ekvationen. Okej, då är det så här att vi skriver upp en ny ekvation, en helt annan ekvation istället. Vi skriver upp den här ekvationen. y är lika med 3 minus x. Det här är som sagt en annan ekvation men den har likheten med den översta i det att den har två stycken obekanta, x och y.
Och det genererar då att vi får ett oändligt antal lösningar. Så vi kan göra på samma sätt som vi gjorde här uppe. Att om x är 0, ja då får vi här då ett y som är 3 minus 0, det vill säga 3. Okej, om x är 1, ja då får vi ett y som är, oj gud jag skrev visst. Jag ska skriva y är lika med 3. Det blir inte så snyggt heller. Så, nu ser man vad det står i alla fall.
Om x är 1 istället då, då blir y 3 minus 1, det vill säga 2. Och vi tar en till då, om x är 2 så får vi ett y-värde som då är 3 minus 2, det vill säga 1. Sådär. Och så här som sagt kan vi också hålla på, precis som här uppe då. Så att även för den här ekvationen så finns det oändligt antal lösningar.
Och på motsvarande sätt så kan vi också rita den här ekvationens linje som då gör att vi ser alla, inom skattationstecken, alla lösningar då. Den här linjen har m-värde 3, då börjar vi där. Och den har k-värde minus 2. Minus 1, det vill säga vi ska gå ett steg neråt hela tiden.
för varje x vi tar åt höger. Så ska vi bara göra sådär. Och så kan vi då börja där uppe och gå dit.
Sådär! Nu har vi ritat upp båda två av de här graferna. Och som vi ser på den röda då, som sagt, så ser vi att alla punkter på den röda linjen motsvarar en lösning till just den här ekvationen. Men vad som nu då är intressant...
Och vad som nu då gäller för de här ekvationssystemen så är det alltså följande. Vi ska finna alla lösningar som löser båda de här två ekvationerna. Vilka par av x och y?
...löser båda ekvationerna. Alltså, vilken kombination x och y löser båda de här ekvationerna samtidigt? Och det är faktiskt så att det kan vi se ganska tydligt här genom att titta på de här två tabellerna som vi skriver. För då kan vi se att den här lösningen, då x är 2 och y är 1, den förekommer i båda de här två ekvationerna.
Alltså att x är 2 och y är 1. Den förekommer ju båda. Och då ser vi att det paret av x och y löser båda ekvationerna. Det vill säga då x är lika med 2 och då y är lika med 1. Men det kan vi ju se också grafiskt. Därför att vad jag sa innan vad gäller de här graferna då. Det var ju att varje sån här linje, alla punkter på de här linjerna.
Alltså på den blå linjen då motsvarar alla lösningar till den här ekvationen. Och alla punkter. Och då kan man tänka sig så att den punkt på linjerna som motsvarar lösningen till båda ekvationerna, ja det är ju den punkten som finns på båda linjerna, det vill säga där, i skärningspunkten. Och tittar man noggrant då så ser man att den punkten där är punkten där x är 2 och där y är 1. Där x är 2 och där y är 1. Och då ser man tydligt att för att då kunna hitta de här kombinationerna av punkterna av x och y som löser båda ekvationerna så kan man rita upp de här ekvationernas grafer.
Vad vi har gjort här nu är att vi har löst ett ekvationssystem. Och ett ekvationssystem är ett system av flera ekvationer, alltså ekvationer som är två eller fler. Där varje ekvation var för sig inte har någon entydig lösning, det kan ha flera lösningar. Men det är när man kombinerar de här flera av de här ekvationerna, som i detta fall är två ekvationer, så ser vi att gemensamt så har de en lösning.
Det här ekvationssystemet, det vill säga det här med den här ekvationen och den här ekvationen, skrivs så här. y är lika med 3x minus 5 och y är lika med 3 minus x. Detta är alltså vårt ekvationssystem. Vi har våra två ekvationer.
Och de sätts ihop med en klammer så här för att vara tydlig med att det just är ett ekvationssystem. Och för att lösa just detta ekvationssystemet så har vi alltså tittat på den ena ekvationen som en ekvation för sig. 3x minus 5 som vi retat upp.
Då har vi tittat på den andra också som är 3 minus x och hittat upp den för sig. Och så kan man i grafen här se lösningen där de här båda linjerna skär varandra. Så x-värdet motsvarar x-koordinaten och y-värdet motsvarar y-koordinaten. Vi ska ta ett exempel till och då vill jag nu då att vi ska lösa detta ekvationssystemet grafiskt. Och då har vi dels ekvationen 6x plus 3y är lika med 9 och minus x plus y är lika med 0. Och nu har jag försökt att skruva till det lite faktiskt här.
Och det har jag gjort då genom att den här ekvationen som vi ser här uppe, den står liksom inte skriven att y är lika med kx plus m som det gjorde här uppe. För på den här så såg vi tydligt att k var 3. och m var minus 5. Och det gjorde att det var lätt att rita den här. Och den här var också lätt att rita för vi sa att k var 3. Eller m var 3 och k var minus 1. Här nere är det inte lika tydligt.
Så därför måste vi som första steg lösa ut y ur båda de här två ekvationerna. Så att om vi gör så här att vi tar och döper de här ekvationerna. Jag döper den översta ekvationen till ekvation nummer 1. Och så gör jag så också att jag döper den nedersta ekvationen till ekvation nummer 2. Och så jobbar vi först då med ekvation nummer 1. Ekvation nummer 1 ser ut så här.
6x plus 3y är lika med 9. Och vad jag vill nu då är att jag vill skriva om den här ekvationen så att vi kan se tydligt vad som är km. Och då behöver vi alltså lösa ut y. Och första steget som vi gör då är att vi subtraherar med 6x på båda sidor.
Minus 6x. Då får vi att 3y är 9 minus 6x. Och sen så dividerar vi med 3 på båda sidor och då får vi att y är lika med 9 delar med 3, det blir 3. Och 6x delar med 3, det blir 2x.
Här ser vi faktiskt tydligt vad k är. K är minus 2, m är 3. Och då kan vi ju rita upp detta i ett snyggt givet koordinatsystem så här. Vi kan rita det lite längre ner och så gör vi så.
Vi går ditåt. Då har vi y och x. Då ska vi alltså ha den röda linjen här.
3 minus 2. Och då har vi ju då m-värdet är 3. Det vill säga den går där. Oj, nu blir den lite snyggare än punkten där. Där har vi m-värdet.
Och så minus 2x innebär att nästa punkt då måste ju ligga där va. Och så håller det på så här nedåt. Så där. Och så kan vi också fortsätta så här uppåt. Så jag börjar där uppe och ritar en linje ner dit.
Så där har vi den röda linjen helt enkelt då. Den översta ekvationen har vi nu alltså då representerat i ett koordinatsystem. Och det gjorde vi då.
med hjälp av att skriva om ekvationen så att vi kan se vad som är k och m till att börja med. Vi behöver göra samma sak för den andra ekvationen. Den andra ekvationen står så här, minus x plus y är lika med 0. Okej, då löser vi ut y och det gör vi genom att addera x på båda sidor.
Sådär. Då försvinner det från den sidan och då blir det att y är lika med x bara. Det är en ganska smidig ekvation för den här vet jag precis hur den ser ut. Den har ett m-värde som är 0. Sådär.
Och den har ett k-värde som är 1. Och det är ju väldigt enkelt för nästa punkt blir ju där. Och då kan vi också rita upp. upp den här då ju.
Den blir någonting sånt va. Och där har vi då helt enkelt den blå linjen som vi då har ritat upp utifrån k och m värde och då var vi tvungna att lösa ut y först. Så det här är alltså y är lika med x och det här är alltså y är lika med 3 minus 2x. Och det är då alltså den blå då är den m. motvarande den under ekvationen och den röda motsvarande den övre ekvationen.
Lösningen till detta ekvationssystemet ser vi då, precis som tidigare, i punkten där de båda möts. Och det gör de i punkten 1, 1. 1 på x, 1 på y. Och det ger oss att lösningen till detta ekvationssystemet är... Jag skriver så här. Lösningen till ekvationssystemet, det vill säga där x och y funkar i båda ekvationerna, är alltså att x är lika med 1 och y är lika med 1. Vi kan faktiskt verifiera detta också och kontrollera så att det stannar.
stämmer i båda ekvationerna om vi sätter in 1 på x och på y är allt större som de är samma i båda ekvationerna. I den översta så får vi att 6 gånger 1 blir 6 plus 3 gånger 1 blir 3 det vill säga 6 plus 3 blir 9. Ja, det funkar. I den nedersta så får vi då att minus 1 plus 1, det blir 0. Ja, det är precis vad det ska bli också, så det funkar också.
Och därmed så har vi löst detta ekvationssystemet grafiskt. Så det handlar alltså om att när man ska lösa ekvationssystem som alltså är flera ekvationer, i det här läget då två, och vi kommer jobba med det i kursen också, att vi kommer bara ha två ekvationer, sällan fler, så kan man då lösa ekvationssystemet grafiskt, genom att rita upp de båda ekvationerna. som linjer i ett koordinatsystem och hitta den punkten där båda linjerna skär varandra. Och dess koordinater, den punkten alltså x och y, motvarar lösningen för ekvationssystemet.