פתרון שאלה 8 - אינטגרלים

הצגת הפונקציה

• פונקציה: (f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - a)
• (a) הוא פרמטר

סעיף א' - נקודות קיצון

1. מציאת שורשי ה-x של נקודות הקיצון

   • נגזרת ראשונה: (f'(x) = 6x^2 - 18x + 12)
   • פתרון המשוואה (6x^2 - 18x + 12 = 0)
   • שורשים: (x = 1), (x = 2)

2. הוכחת סוג הקיצון

   • נגזרת שנייה: (f''(x) = 12x - 18)
   • (f''(1) = -6) – מקסימום
   • (f''(2) = 6) – מינימום

סעיף ב' - ערך הפרמטר a

1. נתון: הישר (y = -8x + 14) עובר בנקודת המינימום
2. נקודת מינימום: ((2, -2))
3. מציאת הערך:
   • הצבת (x = 2) ב-(f(x)) וקבלת (y = -2)
   • פתרון המשוואה: (a = 6)

סעיף ג' - חישוב שטח מוגבל

1. מעבירים משיק וענך
   • משיק בנקודת החיתוך עם ציר y: (y = 12x - 6)
   • ענך: (x = 1)
2. חישוב שטח מוגבל
   • השטח כולל: חישוב אינטגרל של פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה
   • מציאת שטח המשולש: (\frac{1}{2} * 6)
   • שטח סופי: (2.5 - 1.5 = 1)

סיכום

• מצאנו את כל המידע המבוקש עבור הפונקציה והאזורים המוגבלים על ידי המשיק והענך.
• פתרונות נוספים במפורט באתר קיבילימטיקה.