אנחנו בשאלון 481, ארבע יחידות, קיץ 2010, מועד ב', אנחנו בשאלה 8, שהיא משלבת בתוכה אינטגרלים, אינטגרלים. אוקיי, אז בואו נראה. בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה fx שווה 2x ושלישית מינוס 9x וריבוע ועוד 12x מינוס a. a הוא פרמטר, די הוא מספר.
א', מצא את שורי ה-x, רק את שורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקציה fx, והוכח שאחת מהן היא מקסימום, ואחרת היא מינימום. אם זה הסרטוט, אז רואים שיש פה נקודות מקסימום ומינימום, אבל אומרים לי, הוכח שאחת מהן היא מקסימום ואחרת מינימום, כלומר נעשה את העבודה רגיל, בסדר? אבל ביקשו רק את ה-x של הנקודות. נעשה עבודה רגילה, איך נעשים נקודות קיצון?
גוזרים. ומשווים ל-0. נגזרת של זה זה 6x בריבוע, מינוס, נגזור את זה, זה 18x, כן? 9 כפול 2, 18x, ועוד 12. זו הנגזרת, אני אשווה אותה ל-0, 6x בריבוע מינוס 18x פלוס 12 שווה 0. נחלק ב-6x בריבוע מינוס 3x פלוס 2 שווה 0. אפשר לפתור את זה נוסחת שורשים, אפשר ל פתור את זה במחשבון, או אפשר על ידי פירוק טרינום. בואו נראה רגע.
אני תמיד אבדה. זה וזה, המכפלה שלהם צריכה לתת את זה, מינוס 2 כפול מינוס 1 זה 2, החיבור שלהם נותן לי את זה. ולכן התשובה היא x שווה 1 וx שווה 2. אמרו לי רק את ה-x, בסדר?
לא את ה-y. או שנעשה ככה, שתיים לא יודע, אחד לא יודע. אנחנו גם לא יודעים את ה-Y כי יש לנו A, בשביל זה לא שיגעו אותנו, לא ביקשו מאיתנו את זה.
עכשיו אמרו לנו, ותראו שאחד מהם מקסימום ואחד מהם מינימום. כלומר בואו נבדוק מזו מקסימום מזו מינימום, ולא על פי הסרדות, כי אומרים הוכח. האמת שאפשר על פי הסרטות, לומר שעל פי הסרטות קיבלנו שתי נקודות יחידות ולכן אחד מהם זה אבל הכי בטוח זה ללכת בתבלה, לעשות את זה את תבלה או לעיתים, לא מרובות, אנחנו עושים את זה בעזרת נגזרת שנייה אני מעדיף את ה... תמיד את הטבלה, רק כשאני נכנס לבעיה, כשיש פרמטרים לפעמים, וזה בדרך כלל נתקלים בשאלון של חמש יחידות, אז לפעמים אני אעשה את זה בנגזרת שנייה, אבל אני רוצה לחשוף אתכם גם לזה, ולכן אני אעשה פעם בנגזרת שנייה.
איך זה הולך? נגזרת שנייה אומרים לי תגזור, שוב להבהיר מי שעושה טבלה אין בעיה בעזרת טבלה להציב, לבדוק עליה וירידה ולפיזל את סוג הנקודה נגזרת שנייה זה לגזור את הנגזרת זה המשמעות מה הנגזרת של זה? זה 12x מינוס 18. מה שעושים זה דבר מאוד פשוט.
זו ה נגזרת השנייה, מציבים את ה-x של הנקודה בנגזרת. בנגזרת השנייה, אם יוצא חיובי, חיובי זה לצחוק, נכון? לחייך.
חיובי זה מינימום. שלילי זה לבכות, זה מקסימום. בואו נראה.
12 כפול 1 זה 12, פחות 18 זה מינוס 6, מינוס 6 זה שלילי. שלילי זה מקסימום. אז זה מקסימום. 12 כפול 2 זה 12, 2 זה 24 פחות 18 זה דווקא 6 חיובי חיובי זה מינימום באמת אם נזרוק מבט לסרטות נראה שבעצם זה בעצם מסתדר לנו נכון? 1 פה זה מקסימום ו-2 זה מינימום אוקיי בואו נמשיך לסייף בית אז אנחנו בסייף בית וככה זה הולך נתון הישר y שווה מינוס 8x ועוד 14 עובר דרך נקודת המינימום הישר לא מסורטט פה זה לא זה הישר הזה עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה מצא את הערך של הפרמטר a הוא עובר בנקודה הזו שאנחנו יודעים מה אנחנו יודעים עליה אנחנו יודעים רק את הx שלה אז אם הישר הזה איפה שהוא ככה עובר, הוא לא משיק, כן?
זה ישר שהוא עובר בנקודה הזו, מה הוא בא להגיד לנו? שאפשר למצוא את ה-y של הנקודה הזו. הישר עובר בנקודה הזו, עובר. ולכן אם אני אציב x שר 2 בפונציה, במשוואת הישר אני אקבל את ה-y.
מינוס 8 כפול 2 ועוד 14 זה יוצא מינוס 2. אוקיי, זה גם מסתדר לנו עם הסרטוט. אז בעצם הנתון הזה בא שאני אמצא את הנקודה הזו, נקודת המינימום. אני לא יכול למצוא את נקודת המקסימום כי זה לא נקודת המקסימום, כי... הישר הזה לא עובר בנקודת המקסימום.
מה זה תורם לי? עכשיו יש לי נקודה שלמה עם x ועם y שנמצאת על הפונקציה הזו. המשמעות היא שאם אני אלך ועציב במקום x 2 אני אקבל y שזה y אני אקבל מינוס 2. אז בואו נעשה את זה, אני אקח מחשבון. זה פשוט לעציב, מינוס 2 זה זה שווה 2 כפול 2 בשלישית מינוס 9 כפול 2 בריבוע ועוד 12 כפול 2 מינוס 8 כל זה אני חשב במחשבון, 2 כפול זה יוצא 8, מינוס 9 כפול 4, ועוד 24, יוצא מינוס 2 שווה 4 מינוס a.
אני אעביר את 4 לצד השני, זה יהיה מינוס 6 שווה מינוס a, נכפול במינוס 1, a שווה 6. אז ביקשו מאיתנו, מצאנו. רק אני אעציב את זה פה, שלא נשכח. סעיף ג' מעבירים משיק לגרף הפונקציה fx בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר y. הנה זה המשיק הזה, זה הישר זה.
בנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר y. ומעבירים ענח לציר ה-x דרך נקודת המקסימום, זה, זה הענח. נקודת המקסימום זה ה-x שווה 1. ישר כזה זה המשפט שלו, x שווה 1. הצוות ה-RH מצאת בסייף ב', ברור, וחשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי האנח, ועל ידי גרף הפונציה ועל ידי ציר X.
בקיצור, השטח המקווקיו. צריך לחשב אותו. אז בואו נראה. בשביל לחשב שטח כזה, אנחנו יכולים לעשות את זה, אני אסביר את הראשון ואני אעשה בדרך השנייה. יש פה שטח שהוא מפולג.
צריך לחלק אותו, תראו, בקטע הזה שימו לב כל הדרך, ציר X הוא מעל הפונקציה, אז צריך לעשות את השטח הזה בנפרד. אחר כך מפה שאני ממשיך, המשיק הוא מ על הפונקציה. פה צריך לעשות ציר x, תמיד עושים פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה, אינטגרל. אינטגרל של פונקציה עליונה שזה 0 פחות הפונקציה הזו, פחות fx, בין 1 לנקודה הזו שאני לא יודע מה היא.
בין זה לבין זה. אחר כך צריך לעסוק, למצוא את השטח הזה בנפרד לעשות עם פונקציה עליונה שזה הישר המשיק אין לי את המשוואה שלו זאת אומרת שאני צריך להבין שאני צריך למצוא אותה המשיק, פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה בין זה לבין אפס פה זה אפס נראה שהעבודה הזאת תהיה ארוכה מה שאני מציע שנעשה זה בואו נמצא את כל השטח הזה הלבן וזה, הכל. מזה נחסר את שטח המשולש.
אתם רואים, יש פה משולש, הנה הוא. שוב, כל השטח הזה, פחות השטח של המשולש, הריק, הלבן הזה. בכל מקרה, בשני המצבים אנחנו צריכים את הנקודה הזו, וצריך, אני צריך גם את הנקודה הזו. הנקודה הזו לא באה למצוא אותה.
בשביל למצוא את הנקודה הזו אני צריך משוואת המשיק, משוואת הישב. אז בואו נתחיל מנקודה, חיתוך אמציר y, זה קל, נכון? מציבים מי כשווה 0. זה 0 מינוס 9 כפול 0 בריבוע 0 ועוד 12 כפול 0, 0 מינוס 6. הנקודה הזו היא 0 מינוס 6. מה שיפוע המשיק בנקודה הזו?
איך אפשר לדעת שיפוע המשיק בנקודה הזו? בשביל זה יש לנו נגזרת. נגזרת נותנת לנו שיפוע של משיק בכל נקודה ונקודה. אז בואו נחזור ונמצא את הנגזרת.
f-tag שווה 6x בריבוע מינוס 18x פלוס 12. איך מוצאים שיפוע המשיק? מציבים את ה-x של הנקודה. ה-x של הנקודה 0. 6x בריבוע זה 0. פה 18 כפול 0 זה 0. ועוד 12 זה 12. זה שלי שיפוע.
יש לי נקודה, אני יכול למצוא את משוואת הישר. זו נוסחת משוואת ישר כללי. נציב, Y מינוס, יש מינוס בנוסחה, מינוס ה-Y, מינוס 6. שווה שיפוע, זה המזה השיפוע, X מינוס 0, ה-0 של הנקודה.
זה מינוס מינוס זה פלוס. זה פשוט אם אני אפתח זה 12x, y ועוד 6, אני עבר לצד שני, y שווה 12x מינוס 6. עכשיו אני רוצה למצוא את ה-x של הנקודה הזו. מה ה-x של הנקודה הזו?
זה החיתוך עם ציר X של הישר הזה, המשיק. חיתוך עם ציר X, מציבים Y שווה 0. מינוס 6, אני אעביר לצד שני. 6, אין חלק ב-12X שווה חצי.
אז חצי. אמרנו נחשב את כל השטח הזה ביחד, הכל. כל זה.
אחר כך נוריד את השטח של המשולש. אז בואו נחשב את כל השטח. איך עושים?
עושים פונצה עליונה פחות פונצה תחתונה. ככה. פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה, אינטגרל בין 1 ל-0, כי אני עושה את כל זה, בין 1 ל-0, בין 1 ל-0, של פונקציה עליונה, פונקציה עליונה זה ציר x, פחות פונקציה תחתונה, זה הפונקציה הזו, כי אני מחשב את כל זה, שזה זה.
סוגריים, 2x בשלישית מינוס 9x בריבוע ועוד 12x מינוס 6 dx. אז פה כל אחד הופך סימן, בואו נשאיר את זה ככה, 1, 0. מינוס 2x בשלישית פלוס 9x בריבוע פשוט כל אחד הופך סימן מינוס 12x פלוס 6 dx בסדר? נרשום את זה את ה-dx עכשיו נעשה אינטגרל שימו את זה שימו לב אני רוצה להעיר הערה, אני עשיתי 0 פחות זה, כלומר עשיתי פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה, אם לא הייתי עושה 0 פחות, אני אמור לקבל שטח והוא יהיה שלילי, עכשיו אם אני יודע למה בא לי השטח השלילי, בגלל שלא עשיתי פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה, אז לא נורא, מה שייצא לי, ייצא לי מינוס 2, אני יודע שהשטח הוא 2, אבל אם אני מקפיד כל הזמן לעשות פונקציה עליונה, פחות פונקציה תחתונה, השטח שייצא לי הוא אמור להיות חיובי, פחות פונצה תחתונה אם אני מקביד לעשות פונצה עליונה פחות פונצה תחתונה ומקבל שטח שלילי אז נבדוק את עצמנו מה לא בסדר אנחנו כבר נעשה אינטגרל מינוס 2x ברביעית חלקי 4 חזקה מוסיפים 1 ומחלקים בזה פלוס 9x לחזקה מוסיפים 1 זה 3 חלקי 3 מינוס 12x בריבוע חלקי 2 ואינטגרל של מספר זה להצמיד לו x, זהו.
פה כבר אין dx. אני רואה שאפשר לצמצם, בואו נצמצם רגע, 1, 0. זה מינוס x ברביעית חלקי 2, ועוד 3x בשלישית, מינוס 6x בריבוע, בריבוע פלוס 6x. אז ניקנו את הלוח, בואו נעשה הצבע זה האינטגרל שלנו, פעם מציבים 1 מינוס ומציבים 0 נראה כמה יוצא השטח אז אני אציב 1, פשוט במחשבון מינוס 1 חלקי 2 זה יוצא בעוד 3, מינוס 6 פלוס 6, יוצא 2.5 מינוס, נציב 0 זה 0, 0, 0, 0 אז זה 2.5 אז זה, חישבנו את השטח של כל זה, לא רק המקווקה, אבל כל, כל זה.
מזה אנחנו רוצים להוריד את שטח המשולש הלבן. שטח המשולש, כן, זה משולש ישר זווית, זה ניצב, כפול ניצב, חלקי 2. ניצב אחד זה זה, חצי. כפול מצב שני זה זה זה שש חלקי שתיים חצי כפול שש שלוש שלוש חלקי שתיים זה אחד וחצי מה אמרנו כל זה שש שתיים וחצי פחות המשולש הזה אחד וחצי שזה יוצא יחידה אחת אחד יחידה ריבועית זה הכל, זה ההסבר לשאלה הזו, שמחתי לעזור לכם, אני יודע לכם תעשו לייק לסרטון, תרשמו לערוץ, כמו כן תזכרו שכל הפתרונות האלה נמצאים בעצם באתר קיבילימטיקה בצורה מסודרת, לפי מועדים ולפי שאלונים.
אז אנחנו נתפגש כבר בהמשך, ביי, להתראות.