Kalkulus 2 Bab 2.3: Teknik Integrasi Lain

Pengantar

• Materi kali ini adalah bagian dari Kalkulus 2, bab 2.3 tentang teknik integrasi lain.
• Sebelumnya di bab 2.2 telah dibahas tentang integral pecahan parsial.
• Bab 2.3 akan membahas beberapa teknik integrasi sesuai dengan fungsi yang diintegralkan.
• Ada empat topik utama dalam bab ini:
  1. Integral Substitusi Trigonometri
  2. Integral dengan Bentuk Kuadrat
  3. Integral dengan Pangkat Rasional
  4. Integral Fungsi Rasional dengan sin dan cos

Integral Substitusi Trigonometri

Ciri-ciri Fungsi

• Fungsi yang diintegralkan memuat bentuk tertentu, seperti:
  • $a^2 + x^2$
  • $\sqrt{a^2 - x^2}$
  • $\sqrt{x^2 + a^2}$
  • $x^2 - a^2$

Motivasi

• Mengubah bentuk integral menjadi lebih sederhana menggunakan identitas trigonometri.
• Identitas trigonometri yang digunakan:
  • $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
  • $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

Metode Substitusi

• Untuk $a^2 - x^2$: $x = a \sin \theta$
• Untuk $a^2 + x^2$: $x = a \tan \theta$
• Untuk $x^2 - a^2$: $x = a \sec \theta$

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1

• Integral: $\int \frac{1}{x^2 \sqrt{4 - x^2}} dx$
• Substitusi: $x = 2 \sin \theta$
• Identifikasi: Gunakan identitas $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$
• Hasil Akhir: $-\frac{1}{4} \cot^{-1}(\sin^{-1}(x/2)) + C$

Contoh 2

• Integral: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}} dx$
• Substitusi: $x = 3 \tan \theta$
• Identifikasi: Gunakan identitas $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
• Hasil Akhir: $\ln|\sec \theta + \tan \theta| + C$
• Bantuan Segitiga Siku-siku: Menggunakan segitiga siku-siku untuk menyelesaikan kotangen dan secant.

Contoh 3

• Integral: $\int \frac{1}{\ln^2 x \sqrt{1 - \ln^2 x}} \frac{1}{x} dx$
• Substitusi Awal: $u = \ln x$
• Penggunaan Substitusi Trigonometri: $u = \sin \theta$
• Hasil Akhir: (\frac{1}{2} \sin(2 \sin^{-1}(\ln x)) + \sin^{-1}(\ln x) + C)

Kesimpulan

• Substitusi trigonometri memudahkan penyelesaian integral dengan bentuk yang rumit.
• Penting untuk memahami identitas dan sifat trigonometri yang digunakan.
• Latihan soal membantu memahami dan mengaplikasikan teknik ini.

Materi Selanjutnya

• Akan dilanjutkan dengan pembahasan integral yang memuat bentuk $ax^2 + bx + c$.
• Kritik dan saran dapat disampaikan melalui komentar atau email.

Terima kasih dan semoga bermanfaat. Jika ada pertanyaan, silakan bertanya melalui kanal yang tersedia.

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh