Ciao ragazzi, in questo video vedremo come fare a risolvere le equazioni di secondo grado, che sono una categoria di equazioni piuttosto ricorrente in diversi contesti. in matematica. La prima cosa che dobbiamo fare quando cerchiamo di risolvere questo tipo di equazioni ma che in generale va fatta ogni qualvolta ci troviamo un'equazione davanti è svolgere tutte quelle operazioni algebriche di base come le moltiplicazioni, le potenze e così via in modo tale da poter riscrivere le equazioni in una forma più maneggevole. La seconda cosa da fare è spostare tutti i termini o a sinistra o a destra dell'uguale come è più comodo in modo da ricondursi ad una forma del tipo ax quadro più bx più c uguale a zero. E infine non resta che cercare le eventuali soluzioni o utilizzando la cosiddetta formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o in alcuni casi utilizzando anche altri metodi più semplici.
Per fissare meglio le idee vediamo subito un esempio e proviamo a risolvere x-1 che moltiplica x più 2 uguale a 2 meno 1 meno x il tutto al quadrato. La prima cosa da fare, come dicevamo, è svolgere le operazioni di base come moltiplicazioni e potenze. Nel nostro caso se svolgiamo la moltiplicazione a sinistra otteniamo x quadrato più 2x meno x meno 2 mentre dall'altra parte dobbiamo fare il quadrato di questo binomio e poi ricordarci di cambiare di segno per via del meno che c'è davanti alla parentesi e si ottiene 2 meno x quadrato più 2x meno 1. Già che ci siamo possiamo anche sbarazzarci di questo 2x visto che ce l'abbiamo sia a sinistra che a destra.
A questo punto dobbiamo spostare tutti i termini dalla stessa parte dell'uguale. E se decidiamo ad esempio di portarli tutti a sinistra, una volta sommati i termini simili tra loro, si ottiene 2x quadro meno x meno 3 uguale a 0. E vedete che ci siamo ricondotti ad una forma del tipo ax quadrato più bx più c uguale a 0. In questo caso particolare abbiamo che il coefficiente del termine di secondo grado che avevamo indicato con a è 2, il coefficiente del termine di primo grado che abbiamo indicato con b è meno 1, Mentre il termine noto che abbiamo indicato con c è meno 3. A questo punto non ci resta che determinare se ci sono delle soluzioni. E per fare questo proviamo ad applicare la formula risolutiva. Dobbiamo innanzitutto, vedete, calcolare meno b e nel nostro caso diventerà meno meno 1, visto che il nostro b era meno 1. E poi abbiamo, vedete, più o meno che cosa? La radice di b alla seconda, che per noi diventerà meno 1 alla seconda, a cui dobbiamo togliere 4ac.
quindi nel nostro caso meno 4 per il nostro a che era 2 per il nostro c che era meno 3 e il tutto va diviso per il doppio di a quindi nel nostro caso per il doppio di 2. Una volta semplificata l'espressione precedente è uguale a 1 più o meno 5 fratto 4 il che significa che la nostra equazione di secondo grado avrà due soluzioni che saranno rispettivamente 1 più 5 fratto 4 ovvero 3 mezzi e 1 meno 5 fratto 4 ovvero meno 1. Come vedete quindi una volta che uno ha memorizzato e ha capito come si applica la formula risolutiva questo tipo di equazioni sono abbastanza semplici e fondamentalmente molto meccaniche nella risoluzione. È opportuno però che facciamo a questo punto alcune precisazioni importanti. La prima cosa importante da ricordare è che non è detto che un'equazione di secondo grado abbia necessariamente due soluzioni come è accaduto nell'esempio precedente.
A seconda infatti di quanto vale la quantità b alla seconda meno 4ac che si indica di solito con la lettera delta e che si chiama discriminante e che sarebbe poi quello che compare sotto la radice nella formulina risolutiva che abbiamo visto prima, ci sono tre possibili scenari. Se il delta è maggiore di zero l'equazione ammette due soluzioni reali, se invece il delta è un numero negativo l'equazione non ammette alcuna soluzione reale. In questo caso l'equazione ammette in realtà due soluzioni complesse, ma noi per il momento non ce ne occupiamo e ne parleremo più diffusamente nella playlist dedicata ai numeri complessi.
Mentre se il delta è uguale a zero, allora l'equazione ammette un'unica soluzione reale. Alcuni testi, nel riferimento a quest'ultimo caso, parlano anche di due soluzioni coincidenti, per sottolineare il fatto che in realtà la soluzione che si ottiene in un certo senso esce due volte dai calcoli. Questa terminologia... anche se un po'informale è ormai accettata e quindi si può utilizzare anche se sarebbe più opportuno in questo caso parlare di un'unica soluzione con molteplicità 2. In ogni caso quando vi trovate quindi a risolvere un'equazione di secondo grado conviene sempre dare un'occhiata a quanto vale il delta prima di cominciare ad applicare a macchinetta la formula risolutiva perché se per caso il delta vi viene minore di 0 capite che potete fermarvi immediatamente e dire subito che non ci sono soluzioni reali.
Altra cosa importante da ricordare è che a volte non vale la pena utilizzare la formula risolutiva per determinare le soluzioni. Ad esempio se avete un'equazione come questa in cui vedete manca il termine noto, per determinare le soluzioni si fa molto prima raccogliere a sinistra e poi applicare la legge dell'annullamento del prodotto. In questo caso avremo quindi che le due soluzioni sono x uguale a 0 ed x uguale a meno 3. che sono rispettivamente i valori che annulano il primo e il secondo termine del nostro prodotto Un altro caso in cui non vale la pena applicare la formula risolutiva è quando ci troviamo davanti a un'equazione di secondo grado in cui manca il termine di primo grado, come ad esempio 3x²-12 uguale a 0. Quando succede questo, si fa prima di isolare x², e per fare questo basta portare in questo caso il meno 12 a destra e poi dividere per 3, e a questo punto quando arrivate ad x² uguale a un numero, se il numero è positivo, Per trovare le soluzioni è sufficiente calcolare la radice di quel numero ricordandosi mi raccomando di mettere più o meno perché provate a pensare in questo caso specifico di numeri reali che elevati al quadrato fanno 4 ce ne sono 2 più 2 e meno 2. Se invece vi dovesse capitare come in quest'altro esempio di arrivare ad un certo punto a x quadrato uguale a un numero negativo potete concludere che non ci sono soluzioni reali.
Ed il motivo per cui accade questo è che vedete a sinistra dell'uguale abbiamo un oggetto che essendo un quadrato è positivo o al limite nullo, mentre dall'altra parte abbiamo un numero negativo. Ne segue quindi che nessun numero reale sostituito al posto della x renderebbe questa uguaglianza verificata, il che significa che l'equazione non ammette soluzioni reali. Naturalmente se uno preferisce può applicare la formula risolutiva anche in situazioni come queste. Tuttavia essendo una formula molto contosa se uno può fare a meno di utilizzarla meglio così secondo me e quindi il mio consiglio è utilizzatela solo quando vi trovate davanti ad un'equazione di secondo grado cosiddetta completa cioè in cui compaiono sia il termine di secondo grado che quello di primo che il termine noto. Quando invece vi trovate davanti ad equazioni cosiddette spurie ovvero dove manca il termine noto oppure equazioni cosiddette pure cioè dove manca il termine di primo grado fate prima a raccogliere oppure ad isolare x quadrato.
Per quanto riguarda la risoluzione delle equazioni di secondo grado, fondamentalmente non c'è molto altro da dire. Come vedete si tratta di un procedimento molto semplice e piuttosto meccanico. Per quanto riguarda invece la dimostrazione della formula risolutiva, vi lascio il link in descrizione qui sotto dove trovate tutti i passaggi svolti con calma.
Approfitto per dirvi che si tratta di una di quelle poche formuline che io consiglio di imparare a memoria, perché capita di doverla utilizzare talmente di frequente che davvero vale la pena fare lo sforzo. Nel prossimo video ci occuperemo invece delle disequazioni di secondo grado e vedremo in particolare come esse possano essere messe in relazione con le parabole nel piano cartesiano. Detto questo ragazzi io vi saluto, come sempre se vi è piaciuto questo video ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarci sulla nostra pagina Facebook e date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video. Musica