Intro Assalamualaikum Wr. Wb Perkenalkan nama saya Uha Isnaeni Dosen Departemen Matematika Fakultas MIPA Universitas Gejambada Intro Pada kesempatan kali ini, saya akan menjelaskan teknik pengajaran yang telah saya lakukan pada salah satu mata kuliah yang saya ampu, yaitu mata kuliah Matematika Diskret. Pada mata kuliah Matematika Diskret ini, kita akan mempelajari konsep-konsep Matematika yang bersifat diskret, yaitu Induksi Matematika, Permutasi dan Kombinasi, Prinsip Inklusi dan Eksklusi, Prinsip Sarang Merpati, Algoritma, fungsi pembangkit, relasi rekurensi, bilangan Fibonacci, poset, latis, dan yang terakhir adalah ajabarbul.
Dengan mengikuti mata kuliah matematika diskret ini, mahasiswa diharapkan mampu untuk yang pertama, mengidentifikasi masalah kombinatorial dan kemampuan untuk memecahkannya menggunakan prinsip-prinsip kombinatorik yang sesuai. Yang kedua, menggunakan dan membuktikan beberapa identitas binomial. Yang ketiga, memecahkan masalah diskret menggunakan prinsip sarang merpati. Yang keempat, menerapkan konsep fungsi pembangkit dalam memecahkan masalah kombinatorial yang sesuai.
Yang kelima, memecahkan permasalahan terkait relasi rekuransi linier. Dan yang terakhir, membuktikan sifat-sifat latis dan ajar berkur. Dalam melaksanakan proses perkuliahan, saya menggunakan metode diskusi, tanya-jawab, dan penugasan, serta model pembelajaran problem-based learning. Proses pembelajaran tersebut meliputi komponen delivery, interaction, dan assessment. Terkait dengan delivery, saya telah mengkoordinir pembuatan website Menara Ilmu Matematika Diskret dengan alamat matematikadiskret.niva.ugm.ac.id.
Website tersebut sudah dirancang untuk menunjang proses pembelajaran dengan dilengkapi artikel singkat terkait topik yang akan dibahas, slide materi, video pembahasan, dan juga latihan soal beserta pembahasannya. Dengan mempelajari website tersebut, diharapkan mahasiswa akan dapat mempersiapkan materi sebelum materi tersebut diberikan di kelas, sehingga pemahaman terkait dengan materi tersebut akan menjadi lebih baik. Selanjutnya, terkait dengan interaksi, ada beberapa media yang saya gunakan. Beberapa di antaranya adalah fitur komentar di video YouTube, LMS Elo, dan grup WhatsApp untuk komunikasi. Selanjutnya, terkait dengan interaksi di kelas, baik luring maupun daring, saya selalu meng-encourage mahasiswa untuk berdiskusi dan juga bertanya dan aktif dalam mengerjakan latihan soal.
Selanjutnya, saya juga memberikan penerapan matematika diskret di kehidupan sehari-hari dan juga di matematika, dan biasanya saya menggunakan contoh di bidang kriptografi. Jadi mahasiswa dapat diajak bersama-sama untuk berpikir kritis terhadap setiap persoalan yang diberikan. Yang terakhir adalah terkait dengan assessment. Untuk kelas sendiri dibagi menjadi 7 kelompok dan setiap kelompok diwajibkan untuk mencari soal dan membahasnya.
Selanjutnya hasil diskusi dari setiap kelompok akan dipresentasikan di kelas dan mendapat feedback selanjutnya akan diketikan menggunakan Overleaf. dalam bahasa lateks. Nah dari situ akan dapat penilaian dan juga hasil dari ketikan semuanya dapat dijadikan media belajar untuk satu kelas.
Selain itu juga ada kuis yang sengaja didesain pada minggu terakhir sebelum minggu ujian, sebelum minggu tes dan juga UAS. Untuk kuis sendiri juga akan dibahas Karena akan mempermudah mahasiswa untuk mencocokkan apakah pemahamannya sudah sesuai atau belum. Yang terakhir dan juga sangat penting yaitu terkait dengan keaktifan. Karena mahasiswa selalu didorong untuk menjadi volunteer tanpa harus ditunjuk dalam mengerjakan soal. Pada pertemuan pertama perkuliahan biasanya saya menjelaskan tentang kontrak kuliah.
yang selanjutnya akan disepakati oleh seluruh mahasiswa satu kelas. Diharapkan dengan kontrak kuliah tersebut, mahasiswa akan lebih siap dalam menghadapi perkuliahan dan dapat menyusun strategi sehingga hasilnya akan lebih optimal. Demikian penjelasan saya tentang teknik pengajaran yang telah saya lakukan pada mata kuliah Matematika Diskret ini.
Selanjutnya, saya akan menyampaikan contoh video microteaching pada materi perkuliahan permutasi dan kombinasi Selamat menonton dan salam sehat selalu. Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat pagi semuanya.
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Waalaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh. Masih sehat ya meskipun sudah menjelang siang ya. Dan semoga sehat selalu. Ini wajahnya kan kelihatan cerah kan senyumnya juga.
Jadi sebelum kita mulai. Alangkah lebih baiknya kalau kita berdoa terlebih dahulu, berdoa dipersilahkan. Cukup? Oke, terima kasih. Jadi pada pertemuan kali ini seperti yang sudah ditampilkan di layar, kita akan membahas terkait dengan permutasi dan kombinasi.
Jadi untuk topik ini itu tentunya sudah tidak asing ya untuk adik-adik, karena itu di bangku sekolah dulu kan sudah pernah. Jadi beberapa hal nanti mungkin kita akan sedikit lebih cepat. Tetapi pada prinsipnya kalau misalkan ada yang ingin ditanyakan silahkan nanti bisa dipotong saja. Atau kalau tidak bisa menggunakan fitur resennya.
Jadi supaya kita bisa lebih efektif juga untuk perkuliahannya dan masih dapat full untuk pemahamannya. Pada pertemuan hari ini saya ingin mengingatkan terlebih dahulu terkait dengan outcome. dari mata kuliah ini.
Jadi total ada 6. Dan pembahasan terkait dengan permutasi dan kombinasi ini akan berpengaruh sebenarnya dari 3 ke 5, sampai 3 ke 6. Karena keseluruhan itu tentunya semua menggunakan perhitungan. Jadi kalau misalkan kita tahu problemnya seperti apa, cara menghitungnya bagaimana, itu tentunya akan lebih baik. Dan secara khusus, akan sangat mendukung untuk yang CO1, karena kita perlu untuk melihat problemnya seperti apa, diidentifikasi, dan bagaimana cara menyelesaikannya. Dan juga terkait dengan yang kedua, karena identitas binomial itu kan sangat berkaitan dengan kombinasi.
Jadi seperti itu. Nah, untuk pertemuan hari ini, karena kita punya waktunya juga terbatas, Jadi kita akan membahas tiga topik di sini saja. Jadi sebelum kita mulai, ini ada problem yang sangat menarik. Jadi kita ketika melihat plat nomor suatu kendaraan, di depan itu kan ada kode daerah. Jadi di sini kita ambil sampel, daerahnya itu adalah Provinsi D.I.Y. Jadi kode depannya itu adalah A.B.
Nah, untuk aturan dari plat nomor sendiri, itu dia diikuti dengan 4 angka di sini, dan ada 2 hurufnya. Ini sekalian untuk mengingat-ingat apa yang sudah pernah dipelajari ya. Semoga masih ada yang ingat.
Nah, pertanyaan pertama adalah kemungkinannya ada berapa ya nih nomor plat Provinsi D.I.E. yang mungkin dibuat? Ada yang tahu? Oke, masih banyak sekali yang ingat ya. Bagus ya.
Jadi kita punya ada berapa tadi? 10 pangkat 4 dikali 26 pangkat 2. Wah ini dari mana ini? Bisa jadi 10 pangkat 4 kali 26 pangkat 2. Empatnya kemungkinan dari ini ya. Duanya dari sini.
Terus kenapa kok bisa yang depan 10 pangkat 4 tadi? Karena ada empat penempatan angka. Oke, jadi...
Tidak ada batasan atau pemilihan angkanya, Pak. Oke, betul sekali ya. Oke, jadi karena angkanya tidak ada batasan, 0 sampai 9, dan juga boleh ada pengulangan ya. Jadi masing-masing tempat di sini ada 10 kemungkinan. Terus 26 pangkat 2-nya dari mana?
Banyaknya abjad kan tidak ada batasan juga. Jadi boleh ada pengulangan. Jadi masing-masing bisa 26 kemungkinan. Jadi 26 pangkat 2. Oke, ini tadi Mas Lamet ya.
Oke, jadi kita punya di sini 26 ya. Jadi total ada 10 pangkat 4 x 26 pangkat 2. Ya, bagus sekali. Ini terlihat ya tadi beramai-ramai untuk menjawabkan. Berarti hampir semuanya sudah ingat ya terkait dengan ini.
Masih ingat. Nah, kalau itu tadi untuk yang Provinsi D.I.E. Bagaimana kalau kita juga melibatkan provinsi Bali? Kalau Bali, kalau DY kan tadi AB. Kalau Bali kan depannya DK. Kira-kira total ada berapa berarti?
2 x 10 pangkat 4 x 26 kuadrat, Pak. Ya, bagus sekali. Jadi 2 x 10 pangkat 4 x 26 kuadrat.
Alasannya kenapa? Karena banyak kemungkinan yang provinsi D.I.E. banyak platformernya, dan juga banyak platformer yang Bali, itu kan sama. Makanya kita punya 2 kalinya.
Wah, bagus sekali ini. Masih banyak yang ingat terkait dengan ini. Bagaimana cara menghitungnya?
Jadi secara tidak langsung, sebetulnya apa yang kita lakukan tadi itu menggunakan dua kaedah di sini, yaitu kaedah penjumlahan dan kaedah perkalian. Jadi untuk kaedah penjumlahan sendiri, kalau kita ingat di teori himpunan dulu, jadi waktu semester 1 kan sudah mengambil pengantar logika matematika, di situ ada himpunan, Kita punya kardinalitas dari kabin Hubungan dari dua buah impunan itu jadi kardinalitas A ditambah kardinalitas B, dikurang kardinalitas A iris B. Cuma di kasus kita tadi, A iris B-nya itu kosong. Makanya kita punya jadi kardinalitas A ditambah kardinalitas B.
Dan untuk yang perkalian, ia akan berhubungan dengan kardinalitas dari banyaknya pasangan berurutan, dari impunan A dan impunan B. Jadi ini jadi kardinalitas A dikali kardinalitas B. Jadi secara tidak langsung, sebenarnya bagaimana cara kita mencari yang di depan tadi, itu sama saja dengan menggunakan dua kaedah di sini. Oke, sebagai contoh, misalkan kita mahasiswa di sini diminta memilih tepat satu. Nah, ini contoh yang lain.
Jadi misalkan kita punya... Ini ya, email. Ada dua huruf di sana dan empat angka. Dan di sini angkanya selain angka 0. Berarti berapa banyak password yang mungkin dibuat?
Ada. Kalau kita menggunakan logika yang sama seperti plat nomor tadi, berarti kita akan punya di sini 26 kuadrat dikali 9 pangkat 4. Karena boleh ada perulangan. Nah, ketika tanpa perulangan, Ada yang bisa menjelaskan mungkin kenapa kok di sini ada angka 26 x 25 dan juga ada angka 9 x 8 x 7 x 6. Siapa kira-kira yang bisa menjelaskan? Saya, Pak. Oke, Mas Dava, silakan.
Karena kan salah satu angkanya sudah diambil, Pak. Jadi tinggal bersisa 25, salah satu hurufnya sudah diambil. Terima kasih. urutan kedua tinggal 25 huruf oke, jadi ini karena sama berlaku juga untuk angka juga oh ya, ya bagus sekali ya jadi ini juga sama ya yang bagian angka ya, ini sudah diambil satu, ini sudah diambil dua ini sudah diambil tiga ya ya, cukup jelas ya semuanya ya jadi kita punya angka-angkanya disini ya, alasannya karena itu tadiin, karena kita ingin berbeda Ketika sudah ada yang digunakan, nggak boleh digunakan lagi.
Oke, sampai di sini dulu mungkin ada yang mau ditanyakan? Oke, tidak ada ya. Sudah sangat jelas ya.
Nah, sekarang bagaimana kalau kasusnya seperti ini? Kita ingin membuat bilangan tiga angka. Angka-angkanya diambil dari... Ada yang ini mungkin? Voluntir?
Siapa? Saya, Pak. Oke, silakan Mbak Pelangi. Pertama, itu ada dua kemungkinan, yaitu angka 2 dan angka 3. Oke, ini 2 dan 3 ya, jadi ada dua kemungkinan.
Untuk selanjutnya, karena sudah dikurangi satu, jadi masih tersisa lima kemungkinan. Oke, jadi ini masih lima kemungkinan. Dan selanjutnya ada empat kemungkinan. Oke, ya bagus sekali.
Terima kasih, Mbak Pelangi. Jadi, ya betul sekali ya. Jadi kita punya di sini 2 x 5 x 4 ya nanti ya.
Jadi total ada 40 kemungkinan. Kenapa? Karena ketika kita ingin angkanya kurang dari 400, berarti digit pertamanya hanya mungkin 2 atau 3. Jadi semoga cukup jelas. Dan kita masuk ke sesuatu yang sebenarnya sudah sangat familiar, terkait dengan permutasi.
Jadi kita ingin melihat susunan yang mungkin dibuat dari semua atau sebagian ya, anggota impunan, nah kata kunjian disini memperhatikan urutan anggotanya. Jadi, misalkan kita punya suatu himpunan dengan N unsur dan kita ingin mengambil R di sana, terus kita susun. Kita notasikan dengan PNR atau PN,R. Berarti kemungkinannya ada berapa ini? Karena kan kita tadi punya N unsur.
Kita akan diambil R unsur kan. Jadi kita punya 1, 2, 3, dan seterusnya. Ini tempat ke R ya berarti ya, terakhir ya.
Nah berarti kalau kita lihat di sini, tempat pertama ada berapa kemungkinan? N ya. Tempat kedua? N-1.
N-1. Tempat ketiga? N-2. N-2.
Nah ini yang terakhir nih N-R Yakin N-R? Min 1 N-R-1 Karena kan total tempatnya kan ada sebanyak R kan Kalau disitu ada N-R kan berarti nanti malah kebanyakan jadi R plus 1 tempat Jadi tinggal diverifikasi Nah maka dari itu kita punya banyak permutasinya jadi ini N dikali N-1 kali N-2 seterusnya sampai N dikurang R-1. Bagus sekali ya. Supaya menyingkatkan panjangnya tadi.
Jadi kita sudah tahu ya terkait dengan faktorial. Jadi intinya kita punya perkalian ini sampai 1. Dan menggunakan notasi faktorial kita punya banyaknya permutasinya jadi seperti ini. Jadi semoga cukup jelas.
Dan sebagai contoh nih, nah ini, sengaja menggunakan bahasa Inggris ya, supaya terbiasa. Karena nanti kan ketika lulus kan, akan beberapa kali pasti menghadapi juga. Jadi berapa banyak bilangan 7 digit? Ini ya, di sini 7 digit.
Sehingga digit-digitnya itu dia berbeda. Terus diambil dari 1, 2, sampai 9. Dan 5, 6 ini, tidak muncul secara berurutan. Jadi yang nggak boleh itu, kita punya di sini 5 terus 6, sama kita nggak boleh 6 dan 5. Kira-kira bagaimana ini?
Karena kalau mencari kasus yang 5 dan 6, kalau itu terlalu banyak. Jadi mungkin kita cari lawannya. Semesta digurangi kasus yang kita cari. Jadi kita asumsikan 5 dan 6 itu memang bersebelahan.
Terus kita anggap itu buah unsur. Kemudian kita cari peluangnya banyaknya berapa dan kita kurangi, mestanya dikurangi peluangnya tersebut. Ya, bagus sekali ya.
Jadi kita ingin mencari yang kasus sepertinya ada berapa ya. Jadi total ada berapa kemungkinannya? Jadi yang 7 digitnya kan berarti ini ya, P97 ya.
Dikurangi dengan ini tadi ya. 2 dikali P86. Oke, bagus sekali ya. Jadi meskipun sudah lebih rumit, ternyata masih banyak yang bisa mengikuti ya. Karena saya lihat tadi beberapa ada yang juga coba untuk menjawabnya.
Nah, selanjutnya, kalau kita lihat terkait dengan kemungkinan tadi, itu kan bisa jadi ya, ada urutan dan tidak ada urutan. Jadi contoh yang tidak ada urutan, misalkan kita punya himpunan, terus kita punya subhimpunan di sana. Jadi sebagai contoh, misalkan kita punya NN, jadi dari 16 ini ternyata bisa kita lihat di sini ada 1, di sini ada 4, di sini ada 6. Di sini ada 4, di sini ada 1. Jadi ternyata kita juga bisa mencari banyaknya sub- himpunan di sana dengan sekian elemen yang kita inginkan.
Nah, misalkan banyaknya subhimpunan tadi kita notasikan dengan ini. Berarti ini nilainya berapa? Ada yang tahu mungkin? Kalau kita bandingkan dengan yang permutasi tadi? Sama, tapi di sini memperhatikan urutannya, Pak.
Oke. Karena tidak memperhatikan nurutan berarti gimana? Sama, terus kemudian dibagi R!
Oke, karena dari itu kita punya totalnya ada sebanyak PNR dibagi R! Semoga cukup jelas. Dan dari observasi tadi sebenarnya menarik ya ini. Langsung kelihatan sifat ini. Oke, itu yang mendasari terkait dengan kombinasi.
Perbedaannya adalah kalau yang permutasi tadi kita memperhatikan urutan, kalau yang di sini kita tidak memperhatikan urutan. Jadi ini tadi dia sama saja dengan PNR dibagi R faktorial. Kita masuk ke contoh. Di sini kita punya 25 titik. Jadi ada banyak dan tidak ada yang segaris.
Pertanyaan pertama adalah berapa banyak garis lurus yang... mungkin terjadi. Ada yang tahu mungkin?
25, Pak. Oke. Kenapa kok bisa 25 kombinasi 2? Karena 1 garis lurus butuh titiknya 2 titik, Pak.
Oke. Jadi, karena 1 garis butuh 2 titik, ya. Dan kata kunci yang lain adalah kalau kita balik posisi titiknya, dia akan menjadi garis yang sama, ya. Makanya kita pakai kombinasi.
Nah, yang perlu diperhatikan, ini mungkin tidak ada di waktu di sekolah dulu ya, di SMA atau di SMP. Jadi ada beberapa problem yang juga berkaitan dengan kombinasi, tetapi tidak secara langsung. Langsung bisa dilihat itu kombinasi. Sebagai contoh, misalkan ini ya, kita punya 7 buah bola identik. Identik di sini maksudnya kan sama, kita tidak perlu memperhatikan bola.
Ada yang bisa mengkonversi. problem ini ke kombinasi tidak langsung kelihatan ya soalnya silahkan mungkin volunteer siapa kalau misal 7 boleh itu langsung di kombinasi di tiga itu bisa enggak ya Pak Oke jadi ini Mas Bagas ya jadi di satu ya jadi kita punya 7 bola di kombinasi tiga ya Nah kira-kira gimana ini Nah ini yang jadi masalah adalah kalau kita punya 7 kombinasi 3, berarti kan dari 7 bola itu kita ambil 3. Jadi ketika kita punya 7 buah bola di sini, terus kita ambil ada 3, berarti kan sama saja kita masukkan 3 ini ke dalam kotaknya. Tetapi belum merepresentasikan dari kemungkinan-kemungkinan ini semuanya.
Jadi beda arah yang ditanyakan. Tapi pertanyaan bagus, karena ini juga sesuatu yang sering ketukar-tukar juga. Jadi terima kasih untuk Mas Bagas yang sudah review ini.
Siapa tahu nanti temannya akan juga ada pertanyaan yang sama. Oke, yang lainnya mungkin. Bagaimana cara melihatnya sebagai permasalahan kombinasi? kalau memandang 7 bola itu sebagai angka 0 dan menjadikan dia menjadi 3 kelompok dengan menyesuaikan 2 angka 1 jadi kita menibaratkan dengan menyusun urusan bilangan yang terdiri atas 7 angka 0 dan 2 angka 1 oke, bagus sekali idenya ya jadi berarti nih ya kalau seperti itu tadi disini kan kita punya 0 nya 3 Karena tadi disampaikan di sini 1 ya. Ini juga 1, berarti kita punya ini 1 kan.
Begini bukan yang dimaksud. Iya, betul. Oke ya.
Jadi, ternyata bisa kita lihat sebagai representasi binar ya di sana ya. Nah, kalau yang bawah, berarti kan ini bisa kita lihat apa. Ini 0, 0. Ini 1. 0, 0, 0. Ini 1, 0, 0 ya. Jadi, ya, idenya ini ya, sangat ini sekali ya.
Karena dengan seperti ini kan masing-masing kemungkinannya tadi bisa direpresentasikan menggunakan ini. Dan sebetulnya di sini kita punya berapa tempat ini? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jadi kita punya ini 9 kombinasi 2. Oke, mungkin di resapi dulu ya.
Barangkali ada yang ingin bertanya, silakan. Karena tidak ada pertanyaan, berarti sudah cukup jelas. Tapi ini tadi untuk kasus ada kotak yang kosong. Bagaimana kalau kotaknya nggak boleh ada yang kosong?
Oke, bagus sekali. Jadi kita lanjut lagi. Ini ada beberapa latihan yang masih berkaitan dengan contoh yang sebelumnya. Ada yang bisa nggak ini?
Yang pertama. Konsepnya sama dengan soal yang tadi, cuma jumlahnya seperti 10 bola yang dimasukkan ke dalam 2 kotak dan boleh kosong. Oke. Terima kasih, Mas. Selamat.
Betul sekali. Karena di sini bulat tak negatif, berarti... Mungkin untuk hari ini sampai sini dulu ada yang mau ditanyakan? Tidak ada? Oke, karena tidak ada.
Nah, sekarang saya ingin mengajak untuk evaluasi ya. Apa yang sudah kita pelajari hari ini. Kira-kira apa saja dari awal?
pertemuan tadi ya kalau menurut saya yang kita peroleh dari hari ini adalah bagaimana kita bisa menggeneral menggeneralisasi suatu masalah dengan permutasi dan kombinasi agar solusinya bisa dicari dengan mudah jadi alat untuk menyelesaikan permasalahan umum Oke ya bagus sekali ya Jadi salah satunya ini ya, kita bisa mengeneralisasi masalah dengan, ya masih bisa diselesaikan lah kombinasi. Jadi kalau misalkan kaedah pencacahannya sudah clear, nanti akan mempermudah juga dalam pemahaman permutasi kombinasi. Jadi itu beberapa hal yang sudah kita pelajari hari ini. Dan sebelum kita akhiri ya, jadi saya mau mengingatkan lagi, terkait dengan materi-materinya, Itu sudah ada di kelas ELO.
Jadi silakan adik-adik tinggal masuk ke ELO, terus masuk ke kelasnya. Jadi tolong lihat ininya ya. Di sini sudah ada penjelasannya.
Dan untuk yang bagian-bagian ini, itu sebenarnya dia terkoneksi ke website Menara Ilmu Matematika Diskret di matematikadiskret.mipa.ugm.ac.id. Dan ini sudah ada ininya ya. Slidenya, terus ada videonya. Ada latihan soalnya. Kalau kita klik itu latihan soalnya pun juga ada pembahasannya.
Jadi tolong untuk dimanfaatkan dengan sebaik mungkin. Dan perbedaannya dengan yang ada di website Menara Ilmu, kalau yang di Elo ini ada beberapa tambahan video di sana juga. Dan video-video ini sudah didesain secara khusus, tidak terlalu panjang, supaya bisa mempermudah untuk pemahaman materi ini. Jadi itu dulu mungkin untuk pertemuan hari ini. Ada yang mau disampaikan mungkin sebelum kita akhiri?
Tidak ada. Oke, tidak ada. Karena tidak ada, saya ucapkan terima kasih untuk adik-adik semua.
Ini luar biasa sekali hari ini. Jadi saya tidak menyangka, meskipun sudah dipelajari dari sekolah, masih banyak yang ingat terkait dengan materi ini. Jadi karena tidak ada lagi yang ingin disampaikan, dapat kita akhiri untuk pertemuan kita pada pagi hari ini. Sudah menjelang siang ya ini ya. Jadi terima kasih semuanya.
Selamat pagi menjelang siang. Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Waalaikumsalam. Waalaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh.
Terima kasih Pak. Terima kasih Pak.