Probabilités : Concepts Clés

Introduction

• Revue de notions essentielles en probabilités :
  • Expérience aléatoire
  • Notion de probabilité
  • Événements
  • Expérience à deux épreuves
  • Réunion et intersection d'événements

Expérience Aléatoire

• Définition : Une expérience où le résultat est incertain.
  • Exemple : Lancer une pièce ou un dé.
• Univers des possibles : Ensemble de tous les résultats possibles.
  • Pièce : {piles, face}
  • Dé : {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Fréquence et Probabilité

• Exemple de lancés de dé :
  • Fréquence observée diverge par rapport à la théorie sur un petit nombre de lancés.
  • Augmenter le nombre de lancés (ex : jusqu'à 2700) rapproche les fréquences observées des probabilités théoriques.
• Loi des Grands Nombres : Plus le nombre d'expériences est grand, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.

Calcul de Probabilité

• Exemple : Probabilité d'obtenir une face spécifique sur un dé à six faces = 1/6 = 0.1667 ou 16.7%.
• Probabilité d'un événement : Fréquence théorique d'apparition d'un événement.

Événements

• Événement élémentaire : Correspond à une seule issue.
• Événement : Composé de plusieurs issues.
• Exemple de la roue : Calcul de probabilité pour chaque couleur.
  • Probabilité égale pour chaque issue = équiprobabilité.

Propriétés des Probabilités

• La probabilité d'un événement est entre 0 et 1.
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est 1.

Loi de Probabilité

• Ensemble des probabilités pour chaque événement élémentaire.
• Certaines lois peuvent être définies par une formule (ex : loi de Bernoulli).

Événement Contraire

• Définition : L'opposé d'un événement donné dans l'univers des possibles.
• Relation : P(E) = 1 - P(E^c)

Expérience à Deux Épreuves

• Définition : Deux expériences successives comme lancer deux fois une pièce.
  • Utilisation d'un arbre des possibles pour déterminer les issues et probabilités.

Intersection et Réunion d'Événements

• Intersection (A ∩ B) : Réalisation simultanée des deux événements.
• Réunion (A ∪ B) : Au moins un des deux événements est réalisé.
• Propriété de Probabilités :
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Événements Incompatibles :
  • Pas d'intersection, donc P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Conclusion

• Importance des exercices pour maîtriser ces concepts en préparation des examens.