[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des probabilités l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants du chapitre plus précisément on parlera d'expérience aléatoire de notions de probabilités bien évidemment d'événements et on verra également ce que c'est une expérience à deux épreuves et on finira par la réunion et l'intersection d'événements pour préparer un contrôle ou même un examen ceci ne suffira évidemment pas il te faudra encore t'entraîner en faisant de nombreux exercices en tout cas pour le court c'est parti alors la question qu'on pourrait déjà se poser c'est dans quel contexte on se situe lorsqu'on fait des calculs de probabilités et bien on est mené à faire ce qui s'appelle une expérience aléatoire par exemple on lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure la phase qui retombent après l'avoir lancé ou encore on lance un dé à six faces et on regarde quel nombre de points s'inscrit sur la face du dessus et bien ceci c'est une expérience ce sont des expériences dites aléatoire alors pourquoi ils sont aléatoires tout simplement parce qu il y a plusieurs résultats ou plusieurs issus par exemple pour la pièce de monnaie je peux tomber surface ou sur piles pour le thé je peux tomber sur les faces 1 2 3 4 5 ou 6 et en plus elle est aléatoire parce que a priori je ne sais pas quand va s'arrêter va s'arrêter le d donc je ne sais pas quelle sera la phase du dessus pareil pour la pièce et l'ensemble des issues donc pour la pièce de monnaie pile et face ça s'appelle l'univers on dit aussi l'univers des possibles pour notre des ça serait un deux trois quatre cinq ou six c'est à dire toutes les issues possibles alors pour comprendre le chemin qui va nous mener jusqu'à la notion de probabilité on va réaliser une expérience aléatoire enfin plutôt je vais te raconter une expérience aléatoire que j'ai fait avec ma classe j'ai demandé à chaque élève de la classe de lancer sans foi indé comme celui ci un d assise face alors ça prend un peu temps mais ça va et de noter à chaque fois qu'elle est la face du dessus et voici les résultats obtenus par un des élèves donc on voit par exemple que il a obtenu 20 fois effectifs vente la phase 1 celle ci il a obtenu 14 fois la phase 2 et s'est alors vu que on a 100 lancers on a immédiatement le résultat en % c'est-à-dire on peut dire que 20% de ses lancers lui on me l'ont mené à la phase 1 tout à la fin 18% de s'élancer 18 sur cent l'ont mené à la phase 6 mais quand on y réfléchit un petit peu et qu'on se dit finalement en lançant un des comme celui ci quelle est la phase qui a le plus de chance de sortir bah on comprend bien que c'est égal il ya autant de chances de sortir ainsi que de sortir 1,5 que de sortir un 4 3 1 2 ou 1 et quand on regarde pourtant les résultats sur 100 lancers et bien finalement on a des résultats qui sont très disparates on a par exemple 10% seulement pour le 3 alors qu'on a plus de 22% pour leucate alors ce qu'on a fait c'est qu'on a décidé de regrouper dans un même fichier sur un même tableau l'ensemble des résultats de la classe et ça donne ceci on a donc 2700 lancers au total et on a obtenu par exemple pour le 1 434 un effectif de 434 pour le 2-1 effective de 456 mgt etc et ensuite on a mis ça en % parce que là il fallait le calcul est un et donc ça nous donne les résultats de la dernière ligne donc le 1 16 des 20 % le 2 16v de 9% le 3 16.4 etc et quand on regarde tous ces résultats là par contre on a quand même l'impression que ça se rapproche un peu plus les fréquence d'apparition sont de plus en plus proches les unes des autres pourquoi ça parce qu'on a augmenté le nombre de lancers et oui on est passé de 100 un effectif total de 101 effectif total de 2700 car théoriquement je le répète il y a autant de chances d'obtenir 1 1 1 2 1,3 1,4 1,5 ou 1,6 et en effectuant un nombre encore plus grand de lancer au delà de 2700 on pourrait le simuler avec un tableur par exemple 50 mille ou cent mille lancé eh bien on se rapprocherait encore plus toutes ses fréquents se rapprocherait encore plus les unes des autres et tout cela serait encore plus mis en évidence si on avait encore plus de lancers et la suite de la leçon va nous expliquer justement comment calculer la fréquence théorique car ça c'est une fréquence réelle celle issue de la vie mais théoriquement quelle devrait être la fréquence que je vais obtenir eh bien c'est la suite c'est justement le calcul de probabilité qui vont nous le dire eh bien on dispose d'une loi qui s'appelle la loi des grands nombres et on va tout de suite comprendre pourquoi elle porte ce nom et qui nous dit que les fréquences obtenues se rapproche de plus en plus d'une valeur théorique pourvu que le nombre d'expériences augmente c'est bien ce qu'on a constaté un instant quand on est passé d'un effectif total de 100 lancé un effectif total de 2700 lancé on a vu que toutes les fréquences se rapprocher les unes des autres c'est ce qu'on peut attendre et bien cette fréquence vers laquelle on tend cette fréquence théorique s'appelle la probabilité de l'événement qu'on va considérer va tout de suite expliqué ce que c'est qu'un événement mais on peut déjà dire que cette fréquence théorique la fréquence qu'on imagine qu'ils devraient être là dans la théorie mais qui finalement dans la pratique n'est jamais là où très peu et bien cette fréquence théorique s'appelle la probabilité par exemple la pièce de monnaie si je lance dix fois une pièce de monnaie théoriquement puisque j'ai une chance sur deux d'avoir pile ou face je devrais obtenir cinq piles et 5 face mais en fait dans la pratique on se rend compte que si je lance dix fois une pièce de monnaie j'aurais que très rarement 5-5 face par contre si jal ans un million de fois cette pièce de monnaie le calcul de cette fréquence se rapproche d'une fréquence théorique qui est la probabilité et cette probabilité pour notre expérience de tout à l'heure on peut la calculer quelle est la probabilité d'obtenir la phase 1 on va l'appeler t en cette probabilité est elle est très facile à calculer eh bien j'ai qu'une seule phase 1 et j'ai six faces en tout j'ai donc une chance sur six d'obtenir la phase 1 1 sur 6 et ça ça se calcule un sur six ça fait environ 0,166 et 6 et 6 donc j'arrondis à 0,867 et bien si on met ça en % ça nous fait 16,7 pour cent et si tu te souviens beaupré nouveau à l'affiché de ce qu'on avait obtenu tout à l'heure pour 2700 lancé on avait finalement des valeurs de notre fréquence observées celle là pas théorique qui étaient autour de 16 17 bah voilà la fréquence théorique ses 16 points 6 6 6 6 qu'en est il pour p2 la probabilité d'obtenir 1 2 bien j'ai pas besoin de refaire le calcul j'ai une chance sur six d'obtenir 1,2 soit 0,67 en % donc c'est environ également 16,7 pour cent et il en est de même pour p3 pour p clac et pour les 5 alors parlons maintenant d'événements puisqu'en fait quand on fait des calculs de probabilité on calcule en réalité la probabilité d'un événement tout à l'heure par exemple on a calculé la probabilité d'obtenir 1 1 en lançant note d et bien là on avait déjà défini un événement qui est obtenir un et voyant un autre exemple on a ici une roue qui tourne sur elle même avec une flèche en haut qui allaient fixe quand on fait tourner la roue eh bien elle va s'arrêter sur un des secteurs on a des secteurs de différentes couleurs y en a huit mais en fait on a quatre couleurs qui sont donc bleu vert jaune ou rouge on a donc différents tissus qui sont donc bleu vert jaune ou rouge et chacune est issu en fait correspond à un événement élémentaire ont défini comment un événement élémentaire et bien c'est un événement qui est réduit à une unique issu de l'expérience mais alors du coup il existe des événements plus large qui ne sont pas élémentaire c'est très simple à comprendre avec un événement de façon générale est constitué de plusieurs issues d'une même expérience aléatoire alors voilà j'ai deux événements le premier qui nous dit la route s'arrête sur un secteur bleus le deuxième nous dit la route s'arrête sur un secteur bleu ou rouge je pense que c'est assez simple et bien eu l'événement eux le premier est un événement élémentaire puisque il est constitué d'une seule issue f par contre est un événement tout court puisqu'il est constitué de deux issues bleu ou rouge et je peux calculer la probabilité que ces évènements se réalise par exemple si je veux calculé p 2e et bien je vais compter le nombre de secteurs bleus puisque là on s'arrête sur un secteur bleus il y en a deux et je vais compter le nombre de secteurs en tout il y en a huit j'ai en fait deux chances sur huit que la route s'arrête sur un secteur bleues c'est-à-dire un car on a la calculer la probabilité que l'événement eux se réalise b2f mais de f on veut s'arrêter cette fois ci sont un secteur bleu ou un secteur rouge bleu et rouge ensemble ça me fait trois secteurs sur 80 ou et bien la probabilité que l'événement f se réaliser 2 3 8e et on peut calculer comme ça toutes sortes de probabilité par exemple ici dans ce schéma qui s'appelle un arbre de probabilité on a représenté et bien la probabilité de chaque issue élémentaire notre bleu qu'on retrouve un quart le rouge un huitième le jaune 3/8 et le vert un quart est bien ici on remarque que la probabilité de chaque issue élémentaire et pas égal on a dû un quart du 1/8 du 3 8e et c est bien dans ce cas là on dira qu'il n'ya pas et qui probabilité il y as écrite et qui probabilité lorsque chaque issue à la même probabilité du coup on se souvient d'une expérience aléatoire où il y as équipe robes abily c'est celle ci lancer un dé la probabilité d'obtenir 1 1 est égale 1-1 6e 1 2 est égale 1-1 6e 1 3 est égal à 1 6e et c'est là chaque issue à la même chance de sortir on dit qu'il ya une probabilité en conséquence de petites propriétés la première qui nous dit que dès qu'on a un événement quelconque et bien la probabilité que cet événement se réalise donc p2 est compris entre 0 et 1 bon on comprend bien 0 on peut pas avoir moins de chance que l'ul qu'un événement se réalise un opus pas si on regarde notre histoire avec notre ou bien l'événement le plus large ça serait de tomber sur un secteur bleu un secteur rouge un secteur jaune ou un secteur vert on peut pas avoir quelque chose d'autre que cette situation là c'est à dire cette probabilité elle est donc de huit secteurs sur huit en tout 8 sur 8 8 sur 8 ça fait 1 on comprend bien donc au maximum la probabilité d'un événement est égal à et ensuite on a une deuxième propriété qui nous dit que la somme des probabilités de tous les évènements élémentaire est égal à 1 là également on comprend bien pourquoi puisque si on fait la somme de toutes les issues il n'y a pas autre chose elles sont toutes là donc forcément en faisant la somme des probabilités correspondante on va trouver un et on peut le faire pour un jeu pas le faire je te laisse le faire si tu fais un quart plus un huitième plus 3 8e +1 car tu verras que tu trouve bien et enfin grâce à cette cet arbre alors bon là s'est présenté sous forme d'un arbre mais c'est souvent présenté dans un tableau on peut définir ce qui s'appelle la loi de probabilité et via la loi de probabilité c'est l'ensemble des probabilités de tous les évènements élémentaire c'est à dire c'est ça la loi de probabilité c'est dire la probabilité de tomber sur bleus égalent un car la probabilité de tomber sur rouge égal 1 8e 2 / jaune égale 3/8 sur verre égale un quart est las de cette façon là on a totalement défini les probabilités qui correspondent à cette expérience aléatoire alors ici c'est un peu long à écrire mais des fois c'est pire un mais pour certaines lois de probabilité on n'a pas besoin de la définir comme ça en prenant toutes les issues on peut le définir à l'aide d'une formule alors il existe des lois de probabilité que tu es tu dira plus tard comme par exemple la loi de bernoulli ou encore la loi exponentielle la loi géométriques et ces lois sont gérés à l'aide d'une formule qui parfois et même une fonction d'ailleurs et du coup c'est très pratique pour définir ces lois parce qu'on n'est pas obligé de tout détailler comme on l'a fait ici alors on va en finir maintenant avec la notion d'événement il nous reste encore à parler rapidement de ce que c'est qu'un événement contraire si on revient à notre exemple ou tout à l'heure on avait lancé un d assise face et donc ont regardé la phase du dessus une fois que le dé s'arrête et je vais définir un événement eux qui dit la face du dessus est supérieure ou égale à 2 alors ça ça renferme beaucoup d'informations parce que si c'est supérieur ou égal à 2 ça peut donc être deux ça peut être trois ça peut être quatre cinq ou six du coup quand on aura un calcul de probabilités à faire par rapport à cet événement ça peut tout de suite donné du travail alors pas vraiment ici mais dans des situations plus complexes mais il est possible de définir cet événement heureux en en utilisant un autre qui est sont complémentaires ou plutôt son contraire l'événement contraire quel est le contraire de la face obtenu est supérieure ou égale à 2 bien c'est assez simple la face et un sas et bien contraire si c'est pas 2 3 4 5 ou 6 passes et forcément un et bien cet événement qui s'appelle l'événement contraire de peu et qui se note de bart et donc l'événement qui va compléter e par rapport à l'univers des possibles alors si l'événement départ s'appelle abbas notez bien sûr à barres mais ce qui si ce qui est intéressant c'est que en termes de probabilité ces deux événements donc l'événement et son contraire sont liés par une formule qui nous dit que et 2 e bar est égal à 1 - et 2e ou dans l'autre sens et 2 e égal 1 - p 2e barre donc quand on a l'un eh bien on à l'autre du coup très rapidement quand on est habitué si par exemple on sait que p2 vos deux tiers et bien p 2e barvaux 1 - deux tiers c'est-à-dire un tiers si on avait deux qui vaut 4 5e l'autre vaut un cinquième etc parlons maintenant d'expérience aléatoire à deux épreuves et bien c'est un peu comme s'il y avait deux expériences dans l'expérience pour comprendre voici un exemple on nous dit qu'on lance deux fois de suite deux épreuves une pièce de monnaie il s'agit donc bien ici d'une expérience aléatoire à deux épreuves je lance une première fois ma pièce je regarde sur qu'elle fasse elle s'arrête je lance une deuxième fois ma pièce et je regarde à nouveau sûr qu'elle fasse elle retombe on va considérer l'événement eux on obtient au moins une fois la face pile et on pourrait se poser la question quelle est la probabilité que l'événement eux se réalisent alors on va y répondre assez rapidement je t'invite à visionner la vidéo qui est liée là haut si tu veux aller un peu plus loin dans la résolution ici on va juste voir les grandes lignes et pour cela eh bien on va s'appuyer sur l'arbre des possibles c'est l'arbre des possibles qui va nous aider à répondre à cette question c'est parce que autant c'est assez évident assez intuitif lorsqu'on est dans le cadre de calculs de probabilité à une seule épreuve que lorsqu'il y à deux épreuves salle est un petit peu moins alors construisons cet arbre des possibles est bien cet arbre à deux niveaux de niveau comme les deux épreuves le premier niveau est bien c'est le premier lancer le premier lancer où on a donc deux possibilités qui sont pile ou face ensuite arrive le deuxième niveau qui correspond donc à la deuxième épreuve au deuxième lancer et on a à nouveau comme choix possibles arbres des possibles pile ou face c'est à dire dans le cas où au premier lancer à la première épreuve j'ai obtenu piles et bien je peux avoir pile ou face et dans le cas où a au premier à la première épreuve j'ai obtenu face et bien j'ai de nouveau le choix entre pile ou face ce qui veut dire qu'on va pouvoir faire le bilan des choix possibles soit on obtient piles et piles soit on obtient pile et face soit face et piles soit enfin face et face et là on a tous les choix possibles toutes les possibilités lorsqu'on effectue ses deux lancers ces deux épreuves du coup on compte au total 4 issue possible quatre issues possibles et on peut également dénombrer le nombre d'issues qui correspond à notre événement on rappelle qu'on voudrait avoir au moins une fois pile c'est à dire une fois piles ou deux fois piles et on en compte combien bien là on en compte trois finalement il ya trois issues possibles pour notre événement eu trois sur quatre nombres d'issue favorable à notre événement e surnombre du sud en tout et bien la réponse est trois quarts c'est à dire que la probabilité 2e est égal à trois cas il y a donc trois chances sur quatre d'obtenir au moins une fois pile lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie parlons maintenant d'intersection de réunion de deux événements on va déjà commencer par l'intersection pour le comprendre on peut faire un petit schéma comme celui ci où on a un événement à qui représentait donc en bleu un événement b qui représentait en rouge et on remarque que ces deux ensembles se chevauchent ça veut dire qu'ils ont des éléments en commun et bien on dira que l'événement à interbev l'intersection de des événements a et b et réaliser lorsque les deux événements a et b sont simultanément réaliser il faut que les deux soient réalisés pour obtenir l'intersection c'est pour ça que l'intersection on le trouve justement à l'intersection de ce schéma la zone qui est un peu en violet on dira que l'événement à union b donc la réunion des événements a et b et réaliser lorsque au moins l'un des deux événements est réalisée c'est-à-dire soit l'un soit l'autre soit les deux donc à union b c'est en fait l'ensemble du schéma alors parce qu'ils se trouvent à l'extérieur bien sûr mais la partie bleue la partie rose est là parti mauve également alors ça c'est la théorie c'est pas compliqué mais c'est beaucoup plus simple à comprendre sur un exemple tu vas tout de suite le voir alors on va prendre à un jeu de 32 cartes carte à jouer et on va considérer les événements suivants l'événement à qui nous dit on tire un valet l'événement b qui nous dit on tire un coeur du coup quand est définie l'intersection des événements a et b il faut donc dans l'intersection retrouver dès les éléments communs aa est commun à b eh bien il n'y en a qu'un seul il faut que ça soit un valet il faut que ce soit un coeur donc du coup ça ne peut être que le valet de coeur eh bien on dira que l'événement a interdit c'est tout simplement on tire le valet de coeur mais alors du coup qu'est ce que c'est que la réunion des événements a et b bien on a dit c'est soit l'un soit l'autre soit les deux c'est à dire ça peut être n'importe qu'elle valait le valet de carreau le valide trêve ça peut être n'importe quel coeur ça peut être le valet de coeur peu importe et bien cet événement qu'on pourrait définir en tire le valet de pique le valet de trèfle le valet de coeur ou un coeur tout simplement un et bien cet événement on le note à union b et on a une propriété qui nous permet de gérer les événements réunions et intersections et nous dit de façon générale que la probabilité de à union b est égale à la probabilité de a plus la probabilité de b - la probabilité de à inter b on alla donc bien une relation entre la réunion et l'intersection c'est une formule qui est très intéressante pour passer de l'un à l'autre alors on peut quand même expliquer cette formule assez simplement j'ai représenté de nouveau mais ensemble a et b qui ont des éléments en commun on le voit ici lorsque je fais p2a union b on a dit que c'est tout ça je vais donc reproduit ici donc ça c'est à union b et si je le si je fais ce qui est écrit dans la formule je fais donc p de a + p2b ça nous donne quoi ça nous donne ça l'ensemble des éléments dans à plus l'ensemble des éléments en b mais on voit que ce n'est pas égale les deux pourquoi parce que ici il ya cette partie là c'est à dire l'intersection que je retrouve deux fois je la retrouve une fois ici et une fois ici alors qu'en réalité dans la réunion elle n'apparaît qu'une seule fois donc elle est là une fois de trop il faudrait encore l'enlever cette intersection et si j'enlève cette intersection qu'est ce que je fais eh bien je vais faire ici - à un terreau b et en enlevant cette intersection eh bien je vais l'enlever maintenant j'obtiens ceci est quand on met maintenant ces deux ensembles ensemble on voit bien qu'on retrouve notre réunion donc le problème c'est qu'en faisant et de à la probabilité de a plus de probabilités de b eh bien je vais compter deux fois l'intersection c'est pour ça dans la formule on l'enlève une fois à la fin et comme ça on retombe bien sûr une réunion comme il faut mais du coup on a une propriété qui nous donne une formule pour des événements incompatibles ans c'est quoi des événements incompatibles c'est des événements qui n'ont pas d'intersections du coup c'est des événements qui sont retrouve totalement dit joint ça donne ceci ce qui fait que quand je vais appliquer la formule p2a union beghal p de a + b 2 b - p2 à un terme est bien le pde a interpellé où il est nulle part d'eau comme il est lu par il est nul nos comme il est nul il n'est pas là et c'est pour ça qu'il n'est pas là et c'est pour ça qu'on dit que si deux événements a et b sont incompatibles c'est-à-dire leur intersection est vide et ben p2a union b est tout simplement égal ap 2 1 + et de baies et c'est ceci qui va nous permettre de clore cette vidéo