Lektion: Sinussatz in der Trigonometrie
Einführung
- Thema: Sinussatz in beliebigen Dreiecken
- Wichtige Erkenntnis: Der Sinussatz funktioniert für alle Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige.
- Relevanz: Erweiterung des Verständnisses über Sinus, Kosinus und Tangens, die typischerweise rechtwinklige Dreiecke betreffen.
Sinussatz Formel
- Formel: ( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} )
- Voraussetzung: Dreieck muss richtig beschriftet sein
- Seiten: a, b, c
- Winkel: α (alpha), β (beta), γ (gamma)
Beispiel
- Gegeben: ( c = 10 \text{ cm}, \alpha = 50° , \beta = 60° )
- Ziel: Berechnung der fehlenden Seiten a und b
Schritt 1: Berechnung des fehlenden Winkels
- Winkelsumme im Dreieck: 180°
- Berechnung von γ: ( 180° - 50° - 60° = 70° )
- Resultat: ( \gamma = 70° )
Schritt 2: Referenzwert berechnen
- Verwende: ( \frac{c}{\sin(\gamma)} )
- Berechnung: ( \frac{10 \text{ cm}}{\sin(70°)} = 10,64 )
- Wichtig: Dies ist ein Zwischenwert, kein Endergebnis.
Schritt 3: Berechnung von a und b
- Für a:
- ( \frac{a}{\sin(\alpha)} = 10,64 )
- Berechnung: ( a = 10,64 \times \sin(50°) = 8,15 \approx 8,2 \text{ cm} )
- Für b:
- ( \frac{b}{\sin(\beta)} = 10,64 )
- Berechnung: ( b = 10,64 \times \sin(60°) = 9,21 \approx 9,2 \text{ cm} )
Überprüfung
- Seite a: Erwartet 8,2 cm - Testergebnis bestätigt
- Seite b: Erwartet 9,2 cm - Testergebnis bestätigt
- Fazit: Beide berechnete Strecken sind korrekt.
Schlussfolgerung
- Der Sinussatz ermöglicht es, mit einer bekannten Strecke und zwei Winkeln die anderen Strecken eines Dreiecks zu berechnen.
- Vorteil: Funktioniert in jedem Dreieck, nicht nur in rechtwinkligen.
- Tipp: Zuerst den dritten Winkel über die Winkelsumme bestimmen, dann den Referenzwert berechnen und Gleichungen lösen.
Abschluss
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