hi und herzlich willkommen zum krassesten Videoprojekt dass ich jemals gemacht habe nämlich einer kompletten Zusammenfassung fürs Mathe Abitur ich habe für dieses Video die gesamte analysis die gesamte Stochastik und die gesamte Vektorrechnung jeweils auf die absolute Essenz komprimiert daraus entstanden sind drei große Aufgaben und die habe ich euch auch als PDF bei mir auf die Website hochgeladen druckt euch die also aus den Link findet ihr im angepinnten Kommentar und in der Videobeschreibung und dann rechnen wir gleich gemeinsam die drei großen Aufgaben durch und ich erkläre euch außerdem alle wichtigen Hintergründe die ihr fürs Mathe Abi wissen müsst und gebe euch jede Menge Tipps wie ihr Zeit sparen könnt und die typischen Fehler vermeidet ich weiß das dauert eine Weile aber ich verspreche euch wenn ihr die Zeit investiert es wird sich lohnen solltet ihr ein Video zum Mathe Abi schauen dann dieses hier schnappt euch einen Kaffee oder zwei Bierchen vielleicht auch ein paar Freunde macht das Video immer wieder auf Stopp und guckt ob ihr die Antworten auf die Fragen und die Lösungen zu den Aufgaben selber hinbekommen hättet und seht es einfach als Test und als Wiederholung von allem und wenn euch das Video so sehr hilft wie ich denke dann leidet es mega gerne an eure Freunde weiter vielleicht auch an Leute die ersten Stufe unter euch sind und das Abi noch ein bisschen vor sich haben abonniert den Kanal das hilft mir total und schaut auch mal im Shop vorbei zu meinen Lehrern Zusammenfassungen die zu Vektor Rechnung gibt's da gerade kostenlos zum Download die anderen beiden kauft man das ist aber eine Riesenhilfe für euch und jeder Kauf so wie jedes Abo unterstützt natürlich auch total mein kleiner Kanal und meine Arbeit Youtube ja und jetzt wollen wir aber starten wir haben für alle drei Aufgaben einen richtig coolen Sachzusammenhang und wir schauen uns den global Seat world aufs walbart an ein Saatgut Tresor der da im ewigen Eis tatsächlich die Artenvielfalt der heutigen Nutzpflanzen für die nächsten Jahrtausende konserviert erste Aufgabe analysis der Klassiker wir schauen uns den Berghang genauer an in dem dieser saatgut-tresor eingebaut ist und wir können die profilinie von diesem Hang auf einem bestimmten Abschnitt jedenfalls näherungsweise durch diese ganzrationale Funktion 4 Grades beschreiben erste kleine Frage was macht bei jeder ganzrationalen Funktion immer dieses absolute Glied die Zahl am Ende das ist der sogenannte y-Achsenabschnitt die Stelle wo meine Funktion durch die Y-Achse durchläuft und nächste Frage das ist auch schon bezogen auf die Aufgabe a die ultratypisch ist für Abiklausuren als erste Frage was erkennt ihr an der Funktionsvorschrift bezüglich der Symmetrie da müsst ihr wissen dass die Exponenten bei ganzrationalen Funktionen die Symmetrie verraten und so wie hier hoch vier und hoch 2 das sind gerade Exponenten und aufgrund der Geraden Exponenten haben wir hier die sogenannte Achsensymmetrie zur y-Achse wenn ihr die jetzt aber nachweisen soll in der Abiklausur reicht es definitiv nicht zu sagen dass wir nur gerade Exponenten haben sondern ihr müsst die Formel für Achsensymmetrie kennen und die Formel für Achsensymmetrie die lautet F von minus X ist gleich FX standardbeispiel die Parabel x Quadrat die ist perfekt achsensymmetrisch und man kann sich auch vorstellen warum die Formel gilt weil wenn ich eine zwei oder eine -2 in x² einsetze werde ich beide Male perfekt bis zu vier nach oben kommen und das klappt für jeden x-Wert wenn ich eine zwei in die Funktion einsetze kommt das Gleiche raus wie wenn ich eine -2 einsetze bei drei wie bei -3 bei 4 wie bei -4 und so weiter und deswegen muss diese Formel für alle x Element der reellen Zahlen gelten dieses umgedrehte ah ne das bedeutet für alle und wir zeigen das indem wir es allgemein zeigen und immer immer mit der formel-seite anfangen wo die minus sind minus rauszukicken ist nämlich tausendmal einfacher als minus reinzukriegen und ihr startet dann einfach bei jeder Abi Aufgabe schön mit Struktur schreibt immerhin was habe ich gegeben was muss ich tun was ist gesucht in diesem Fall ist nichts gesucht sondern zZ zu zeigen dass eben diese Formel für Achsensymmetrie gilt und dann erst fangt ihr an zu arbeiten ja diese Struktur den Überblick zu haben was habe ich eigentlich und was muss ich eigentlich machen das ist in Mathe Abi die halbe Miete ihr startet also mit der linken Seite er von minus x schreibt also die ganze Funktion noch mal hin und überall da wo x waren ne da und da setzt ihr minus x hin und dann seht ihr schon aufgrund der Geraden Exponenten habt ihr auch immer eine gerade Anzahl an -xen die bilden Pärchen jeweils ein Pärchen wird wieder positiv weil minus mal minus wird Plus und so fallen die ganzen Minister einfach weg und das was ihr da stehen habt dann weggestrichen sind ist letztendlich die ganz normale Funktion FX ihr setzten Haken dran denn dann habt ihr gezeigt das F - x nach ein paar einfachen Rechnungen wieder auf FX hinausläuft und damit gilt die Formel für Achsensymmetrie kleiner folgepfeil einmal das Fazit hinschreiben gegeben zu zeigen Rechnung Fazit und dann schreibt ihr noch mal was ihr herausgefunden habt das nämlich der Graph von f tatsächlich achsensymmetrisch zu Y-Achse ist was jetzt aber wenn es um Punktsymmetrie geht wie wäre da die Formel und da müsst ihr Wissen für Punktsymmetrie gilt quasi das gleiche wie für Achsensymmetrie aber ein Minus auf der linken Seite mehr und wenn ihr das nachweisen müsst wie gerade auch fang mit der Seite an wo die ganzen minus sind und schmeißt die der Reihe nach raus bis nur noch FX da steht nächste Aufgabe der absolute Klassiker wir schauen uns die Funktion jetzt nur auf einem begrenzten Bereich an nämlich von 0 bis 10 also in dieser Skizze von dem Berghang ist nur der Teil hier wirklich die Funktion f ihr werdet nämlich sehen wenn ihr die zeichnet geht die natürlich eigentlich so perfekt achsensymmetrisch weiter wir gucken aber nur die rechte positive Seite an und nur bis zu 10 denn für -4 kleiner gleich x echt kleiner Null also hier nehmen wir eine waagerechte lineare Funktion geh von x = 1 ich könnte auch sagen y = 1 weil geh von X FX ne die linke Seite der Funktionsgleichung ist immer gleich y und diese Gleichung y = 1 hat halt nur Punkte die alle auf Höhe 1 sind kleine Frage dazu extrem wichtig auch für Transferaufgaben wie würdet ihr denn die Gleichung von einer Linie aufschreiben die parallel zur y-Achse ist und nicht so waagerecht ne wie y = 1 waagerecht parallel zu x-Achse verläuft sondern halt parallel zu y na ja da schnappt ihr euch den x-Wert wo die durch geht in dem Fall wäre es vier und dann ist die Gleichung einfach x = 4 weil alle Punkte die da drauf liegen haben immer x-Wert 4 also ganz wichtig merkt es euch unbedingt Parallelen zu x-Achse haben immer y gleich und parallel zur y-Achse haben immer irgendwas mit X gleich als Vorschrift ich mache mal das Gekritzel was wir nicht brauchen Weg denn jetzt geht es um den absoluten Klassiker wir wollen die Koordinaten des höchsten Punktes der profilinie berechnen und den vertikalen Höhenunterschied zum horizontal Ebenen Bereich von diesem höchsten Punkt aus angeben Operatoren ganz wichtig berechnen Sie und geben sie an angeben heißt einfach hinschreiben keine Rechnung nötig berechnen da muss die Rechnung unbedingt da sein anders als bei ermitteln oder bestimmen gerade beim Hochpunkt ne da macht das ein riesen Unterschied bei bestimmen und ermitteln im hilfsmittelteil dürft ihr den Taschenrechner maximal nutzen während ihr bei berechnen wirklich von Hand sozusagen rechnen müsst das was wir hier jetzt machen der höchste Punkt der profilinie ist ganz eindeutig laut Skizze der Hochpunkt irgendwo hier und hochpunktberechnung das muss im Schlaf sitzen da gibt es vier Schritte im Prinzip vielleicht sogar fünf und der erste was wir immer der erste Schritt für hoch und Tiefpunkte ganz klar wir müssen die Ableitungen bilden und ihr seht ne ich habe hier wieder gut auf die Struktur geachtet wir wissen was wir suchen wir wissen was wir haben und wir starten mit den Ableitungen da muss man in den Exponent nehmen mit mal nach vorne holen ein kleiner machen bei ganzrationalen Funktionen so ergibt sich die erste Ableitung gleiches Spiel für die zweite Ableitung immer der Exponent mit mal nach vorne und eins kleiner sowas wie X hat immer ein unsichtbares hoch eins da dran hängen und sowas wie die Zahl 0,24 kann man sich auch immer vorstellen mit 0,24 mal eins die eins kann man immer ersetzen als x hoch 0 weil alles hoch Null ist eins also auch x hoch 0 ist 1 und daran seht ihr übrigens auch noch mal kleine Wiederholung die Funktion f hatte welche Symmetrie Achsensymmetrie wenn ich jetzt alle Exponenten eins kleiner mache hat die Ableitung nur noch ungerade Exponenten und damit welche Symmetrie Punktsymmetrie und wieder ein zweite abgeleitet ist wieder Achsensymmetrie weil die Exponenten beim Ableiten wieder gerade werden und ganz wichtig so eine normale Zahl wie 0,24 zählt auch zu gerade im Exponenten weil die halt unsichtbar das x hoch 0 dran gehängt hat und null zu den geraden Zahlen zählt also eine Funktion wie diese hier die punktsymmetrisch ist wäre nicht mehr punktsymmetrisch wenn da plus 0,24 dran hängen würde weil damit hätte es einen geraden Exponenten mit drin und sobald wir gerade und ungerade Exponenten haben nennt man das keine einfache Symmetrie gut kleine Exkurs zum Thema Symmetrie mega wichtig wir schauen uns aber die hoch- und Tiefpunkte weiterhin an Schritt 1 waren die Ableitungen Schritt 2 die notwendige Bedingung die erste Ableitung muss Null sein warum muss die erste Ableitung Null sein weil man sich vorstellen kann dass die erste Ableitung geometrisch was ist die Steigung also eine Funktion ich mache jetzt mal eine dritten Grades die würde ich hier steigen hier steigen und hier fallen für die Ableitung f- heißt das dass er strich hier größer als 0 ist wo die Funktion steigt und kleiner als 0 wo die Funktion fällt und an den Stellen wo hoch und Tiefpunkte sind wechselt das Verhalten von steigen zu fallen am Hochpunkt von Fallen zu steigen am Tiefpunkt und damit seht ihr schon völlig und steige ich nicht am hoch und Tiefpunkt die Ableitung ist also nicht größer und nicht kleiner 0 und da bleibt nur noch gleich null übrig darum machen wir das darum machen wir notwendige Bedingungen f' von x = 0 weil wir so die Punkte finden die Steigung Null haben wir setzen also mit einem vollgefeil die ganze Funktion f- gleich null erkennen dass wir hier von der Strategie des gleichungs Lösens einmal ausklammern können weil in jedem Teil ein X drin vorkommt und nach dem ausklammern hat man immer ein Produkt deswegen klammert man aus also in diesem Fall zwei Faktoren irgendwas mal irgendwas gleich Null und das kann nur klappen wenn einer der Faktoren schon Null ist ne 5 mal irgendwas ist 0 da wisst ihr automatisch dass deine Null rein muss der Satz vom nullprodukt sagt uns das dann würde ich immer abkürzen Satz von nullprodukt und auf den angepfeil drauf schreiben und dann setzt ihr jeden der einzelnen Faktoren gleich null als würde sich da so eine Straße aufspalten und zwei Wege an der Gabelung würden euch Weiterführen der eine Weg führt zu x = 0 der andere Weg setzt die ganze Klammer gleich null da muss man dann noch mal Teilen noch mal eine Wurzel ziehen und so bekommt ihr am Ende drei Lösungen X1 ist 0 x 2 ist -8,7 und X3 ist 8,7 unsere Kandidaten für hoch und Tiefpunkte im Saft Zusammenhang haben wir jetzt aber nur die Funktion für 0 bis 10 betrachtet diese -8,7 ist also gar nicht in dem Bereich den wir anschauen klicken wir raus im Zusammenhang ihre relevant unser Definitionsbereich war null bis zehn und dann müssen wir nur die Null und die 8,7 weiter bearbeiten Zeitsparen im Abi ganz ganz wichtig macht so viel wie nötig aber so wenig wie möglich prüft also nicht die -8,7 noch die interessiert uns nämlich gar nicht prüfen heißt in diesem Fall wir brauchen die hinreichende Bedingung f/x-null sein weiterhin und f/ darf nicht Null sein wenn wir das machen kommt bei der Null was positives raus größer als 0 und das ist immer ein bisschen gemein anders als man denkt ich sage immer wendet das Smiley Kriterium an und überlegt euch das zweite Ableitung größer als 0 positiver Smiley wegen positiver zweiter Ableitung schaut ihn euch an was macht seinen Mund definitiv eine tiefpunktkurve und damit wisst ihr zweite Ableitung größer 0 führt immer zu einem Tiefpunkt andersrum der negative Smiley wenn da was negatives rauskommt sieht so aus und hat in seinem Mund immer ganz klar eine hochpunktbewegung also bei 6,7 sitzt unser Hochpunkt macht auch Sinn laut Skizze wichtiger Tipp Ergebnisse immer hinterfragen und kurz schauen wenn ihr das Skizze habt kann das eigentlich sein was ich rausbekommen habe wenn das mal gar nicht passt verrennt euch aber nicht darin den Fehler zu suchen markiert euch die Aufgabe mit Textmarker und rechnet erst mal weiter später wenn ihr noch Zeit habt könnt ihr immer noch dahin zurückkommen versuchen den Fehler zu finden aber verrennt euch nicht und bleibt ewig bei der Aufgabe dann schafft ihr nämlich die anderen Aufgaben später zeitlich nicht mehr die ihr eigentlich gut hinbekommen hättet schön dann wissen wir jetzt der Hochpunkt ist bei 8,7 y-Wert kennen wir aber noch nicht und wie findet man jetzt die fehlende y-Koordinate genau da muss man in die Ausgangsfunktion wieder einsetzen und wenn wir das machen F von 8,7 berechnen naja dann kommt ungefähr 5,5 raus und damit haben wir den Hochpunkt bei 8,75,5 zeitspartipp tippt euch so eine Funktion im hilfsmittelteil direkt in den Taschenrechner ein und dann müsst ihr so eine fehleranfällige Rechnung wie das hier nicht extra nochmal in den Taschenrechner tippen um 5,5 rauszukriegen sondern ihr könnt über value im Taschenrechner easy euch mit zwei Klicks die y-Koordinate holen ja und letzter Punkt bei hoch und Tiefpunkten vergessen richtig viele Schüler und lassen einen Pünktchen liegen obwohl es eigentlich geschenkt ist prüft einmal die randextremer wenn ihr so einen eingeschränkten Definitionsbereich wie 0 bis 10 habt könnte es ja sein dass die Funktion ihren Hochpunkt hier macht dann aber wieder runter geht und dann ganz steil wieder hochschießt und dann eigentlich bei 10 also am Rand ne deswegen heißt es Rand Extremum da hätte dann unser Berghang einen viel höheren Punkt als er es am Hochpunkt hat mit der Hochpunkt ist zwar hoch und lokal in diesem Bereich der höchste Punkt aber am Rand wäre es noch höher und das muss man immer kurz prüfen dass an den Rändern nichts ist was noch höher als 5,5 liegt wenn ihr eine Skizze habt easy schreibt einfach hin laut es geht zu unproblematisch der Hochpunkt ist das globale maximum wirklich der höchste Punkt aber manchmal wenn man keine Skizze hat erwarten die dass man es wirklich rechnerisch prüft und noch mal schaut was ist er von zehn und ist das wirklich kleiner als er von 8,7 oder womöglich größer beachtet das schreibt das kleine Sätzchen nehmt die Punkte mit bei uns ist es jetzt kein Problem ich habe geschrieben der höchste Punkt liegt wirklich da beim Hochpunkt und dann ich mache mal die Kritzeleien hier weg kommt aber noch die Nachfrage lest also wirklich genau und schaut immer ob die Aufgabe wirklich fertig ist am besten wenn ihr den Antwortsatz schreibt geht noch mal Aufgabenstellung nehmt die Formulierung die die da hatten für eure Antwort und prüft bei der Gelegenheit ob da nicht noch eine zweite Aufgabe war so wie hier wir sollten ja auch noch den vertikalen Höhenunterschied angeben und sowas kleines das vergisst man tatsächlich vor lauter rechnen manchmal obwohl es easy ist angeben heißt hinschreiben der vertikale Höhenunterschied vom höchsten Punkt bis zu dieser Ebene ist natürlich die Differenz der y-Koordinaten hier also ungefähr 5,5 - 1 das macht 4,5 aber Achtung die Frage ist im Sachzusammenhang formuliert wir müssen also auch im Saft Zusammenhang Antworten und bedenken dass die 4,5 Längeneinheiten natürlich in der Realität 45 Meter sind weil die Aufgabe gesagt hatte eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität damit haben wir die Aufgabe B jetzt aber erfolgreich hinter uns gebracht und kommen zu C absoluter es geht um Steigung im Sachzusammenhang wir sollen rechnerisch nachweisen dass der Hang bei X = 5 am steilsten ist und dort eine Steigung von 80% hat die steilste Steigung stellt euch Funktionen vor unsere sieht ja ungefähr so aus wobei wir nur von 0 bis 10 betrachten wo steigt die am steilsten an wenn ihr euch vorstellt da wäre so ein kleines Männchen ein Polarforscher und der will hier den Hang hochlaufen die steilste Steigung den heftigsten Anstieg hat er natürlich ungefähr hier und das ist welcher besondere Punkt der Funktion ganz klar das ist der Wendepunkt und man könnte jetzt auf die Idee kommen dass wir hier einfach den Wendepunkt nach Kochrezept berechnen ich würde aber sagen Zeitmanagement und so wenn ihr den Wendepunkt schon wisst also wisst dass das bei X = 5 passieren wird dann müsst ihr das ja nicht berechnen dann könnt ihr einfach nur zeigen dass die Bedingungen für Wendepunkte bei 5 erfüllt sind geht viel schneller wir müssen also erstens nachdem wir hier wieder brav und so Struktur mitgegeben und zu zeigen eingehalten haben formulieren was die Ideen sind was die Bedingungen sind für Wendepunkte und das ist immer eine Ableitung verschoben verglichen mit extrem punkten da muss jetzt die zweite Ableitung Null sein und die dritte ungleich 0 bzw kleiner sogar als 0 denn da wo wir den maximalen Anstieg haben wollen könnten wir auch sagen der max Signale Anstieg ist sozusagen der Hochpunkt der Steigung also der Hochpunkt von f' von X darum verschiebt sich das alles eine Ableitung weil wir quasi eine hochpunktberechnung mit F Strich machen und Hochpunkt von f- denkt an Smiley Kriterium möchte natürlich dass die zweite Ableitung von f- dem Smiley Kriterium genügt das heißt die zweite Ableitung von f- muss negativ sein negativer Smiley und die zweite Ableitung von f- ist natürlich f- die muss kleiner als Null sein man nennt das dann auch einen links rechts Wendepunkt und man kann sich auch so merken wenn einem das mit dem Smiley Kriterium eine Ableitung weiter unten zu schwierig wird ein links rechts Wechsel wäre so gesehen was schlecht ist wenn linksradikale zu rechtsradikalen werden nicht so schön ne weniger Punks mehr Nazis rechts links Wechsel wer auch nicht optimal aber was positives weniger Nazis mehr Punks einen Wechsel von rechts nach links und die Idee warum das links rechts Wechsel links rechts Wendepunkt heißt ist weil wir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve wechseln ne stellt euch das vor wie wenn ihr mit dem Fahrrad hier fahren würdet und das wäre eine Straße aus der Vogelperspektive betrachtet dann würdet ihr natürlich im grünen Bereich den Lenker nach links eingeschlagen haben eine links Kurve fahren hier so und danach würdet ihr den Lenker nach rechts einschlagen und rechts Kurve fahren also macht ihr an dem Wendepunkt wo es besonders steil ansteigt eine links Rechtskurve der andere Wendepunkt hier das wäre ein Wendepunkt aus einer Rechtskurve innen Linkskurve ein rechts links Wendepunkt den würdet ihr erkennen an f- größer als 0 wenn rechtsradikale zu linksradikalen werden Nazis zu Punks dann ist das eher was positives und an diesen Wendepunkten hätte man dann nicht den stärksten Anstieg sondern das stärkste Gefälle danach wird auch manchmal gerne gefragt und noch eine Sache ganz gemein wird aber immer öfter gefragt was passiert wenn die uns nach dem stärksten Anstieg Fragen aber kein Wendepunkt da ist hat man gerne bei exponentiellem Wachstum von Bakterien zum Beispiel wo ist bei so einer anstiegskurve von Bakterien der stärkste Anstieg da ist ja kein Wendepunkt nachdem wir gucken können aber ihr habt das normalerweise eingeschränkt auf einen Bereich zum Beispiel wie bei uns gerade von 0 bis 10 und der stärkste Anstieg stellt euch wieder einen kleinen Wanderer vor der hier hoch muss den stärksten Anstieg haben wir am rechten Rand des Definitionsbereichs wenn wir bis 10 gucken ist es hier am steilsten wo ist es am flachsten wo wir der Anstieg am geringsten bei Null weil seine Exponentialfunktion immer stärker steigt je weiter man nach rechts guckt also diese Rand extremer Betrachtung die wir beim Hochpunkt hatten kann man auch bei den Wendepunkten haben das sind dann aber meistens Aufgaben mit dem Operator geben Sie an da kann man es dann einfach hinschreiben die stärkste Steigung ist am Rand des Definition Lebensbereichs bei x = 10 oder sowas bei uns passt aber alles problemlos wir machen die zweite Ableitung bei 5 finden heraus dass da wirklich null rauskommt notwendige Bedingungen für die Wendepunkte ne dass die zweite Ableitung null ist und dann schauen wir uns die dritte an bilden die erstmal und kommen auf so eine ganz einfache lineare Funktion und wenn wir da jetzt die 5 einsetzen kommt tatsächlich ein negativer Wert raus negativ haben wir gesagt ist es wenn Punks zu Nazis werden also links rechts Wendepunkt maximale Steigung die Rand extremer sind laut Skizze wieder unproblematisch weil wir wissen dass es nach diesem steilsten Anstieg diesen Wendepunkt flacher flacher flacher wird und auch vorher kann man gut sehen dass es nirgendwo steiler ist als am Wendepunkt wir haben also wirklich in maximalen Anstieg des Hanges bei X = 5 und damit kommen wir schon zum gemeinen zweiten Teil die wollten ja auch noch die Prozent globale Steigung von uns haben und wie berechnet man prozentuale Steigung in der Analysis ganz einfach eigentlich die prozentuale Steigung ist der F-Wert an der Stelle in Prozent umgerechnet wir müssen also nur f' von 5 bilden setzen also die 5 in die Ableitung ein und dann kommt 0,8 raus 0,8 in Prozent 2,stellen verschieben ist aber 80 Prozent und damit haben wir schon gezeigt was wir zeigen sollten die maximale Steigung also die Steigung am steilsten Punkt beträgt 80% nächste Aufgabe die ist jetzt wieder sehr schön sehr angewandt ganz ähnlich wie im Abi mit dieser Eisenbahnbrücke habt ihr vielleicht mal gesehen und da wollen wir jetzt in die Integralrechnung einsteigen das wird 100% im analysis Abi kommen gibt eigentlich keine Klausur ohne und bei uns geht es da jetzt um das Abtragen eines Stückes vom Bergmassiv wir wissen auf einer Breite von 6 Metern wird 30 m tief ins Bergmassiv vorgedrungen und wir haben auch eine Skizze dazu gegeben und diese Skizze dieser Ausschnitt hier ist dann natürlich weil es ab dem ebenen Bereich sein soll genau hier 30 Meter heißt drei Einheiten geht's nach vorne und dieses Stückchen hier das ist jetzt das was hier dreidimensional abgebildet ist unsere Aufgabe wir sollen berechnen wie viel Kubikmeter bergvolumen da jetzt weggenommen wurden und da muss man ein paar clevere Ideen haben die zusammenkommen wir starten wieder mit Struktur was ist gegeben unsere Funktion was ist gesucht das Volumen des abgetragenen Berges und das ist eine typische Aufgabe wo man erstmal seine Ideen skizzieren sollte weil ihr müsst immer euch klar machen die vollen Punkte gibt es nur wenn derjenige der korrigiert alles was ihr da schreibt auch logisch nachvollziehen kann wir schreiben also auf als Idee eine kleine Skizze Bedenken vor allem dass wir nicht auf Höhe Null sind sondern auf Höhe 1 Staaten das also die x-Achse hier liegt und da schon Höhe 1 ist muss man unbedingt bedenken denn dann wenn man sich jetzt vorstellt wie man das Volumen berechnet kann man natürlich als Idee perfekt auf die Prismen der Raumgeometrie gehen wir müssen im Prinzip das Volumen eines Prismas berechnen das so eine ganz verrückte unregelmäßige Grundfläche hat und dann sechs Meter nach hinten in die Tiefe geht und diese Grundfläche ist quasi Boden und Deckel des Prismas vielleicht könnt es euch besser vorstellen wenn ihr es hinlegt auf die pinke Fläche beim Prisma braucht ihr nämlich Boden und Deckel immer gleich das eine ist dann die Grundfläche g das andere sozusagen der Deckel die gleiche Grundfläche nur noch mal oben kongruent deckungsgleich und wir können uns jetzt überlegen dass wir diese Grundfläche über Integralrechnung kriegen allerdings muss man bedenken wenn man das Integral von 0 bis 3 einfach so bildet dieses hier dann kriegt man immer die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse also würden wir bis hier runter integrieren und die ganze Fläche bekommen die aber in der Skizze wäre das hier gar nicht mehr zu diesem abgetragenen Stück dazu gehört was machen wir also wir überlegen uns dass dieses Stück das wir gar nicht wollen also dieser Klotz da unten ein Rechteck ist und das Rechteck hat länge 3 Höhe 1 wir ziehen also dreimal eins sprich drei Flächeneinheiten wieder vom integral ab und dann bleibt genau diese rosane Fläche übrig und die das ist jetzt wieder ein riesen zeitspartipp könnt ihr mit dem Taschenrechner ausrechnen auch wenn es von Hand gehen würde ne aber da stand ermitteln sie als Operator und ermitteln heißt ihr dürft das Vorgehen selber entscheiden selber aussuchen und Taschenrechner ist dabei absolut zugelassen spart wahnsinnig viel Zeit und Zeit ist ein definitiv sehr knappes Gut in der Matte Abi Klausur was machen wir also wir berechnen hier die wirkliche Fläche die wirkliche Grundfläche von unserem Prisma müssen bedenken dass wir hier im Saft Zusammenhang arbeiten sollen das also eine Flächeneinheit so diese z.B zwar eine FE in der Theorie ist aber 10 Meter mal 10 Meter in der Realität das heißt eine Flächeneinheit in der Theorie sind hier 100 Quadratmeter ein Fehler den viele machen dass sie in der Theorie bleiben obwohl im Sachzusammenhang gefragt wird wir müssen also mal 100 rechnen um die Flächeneinheiten in Quadratmeter zu bekommen und dann Volumenformel vom Prisma rechnen wir g mal h also 104 Quadratmeter mal 6 m die das noch in die Tiefe geht und kommen auf 624 Kubikmeter insgesamt man kann es auch schneller im Taschenrechner machen und das Ganze am Stücken dann kommt man etwas genauer auf 624,7 in jedem Fall brauchen wir einen Antwortsatz im sacht Zusammenhang wenn das so gefragt wurde wie hier und dann können wir sagen das gesuchte Volumen beträgt 624 Kubikmeter wer das hier als Rechnung hatte kann natürlich auch 624,7 schreiben ist genauso richtig letzte Aufgabe auch extrem typisch für den hilfsmittelteil in analysis Klausuren wir sollen begründen warum es im sach Zusammenhang sinnvoll ist den Definitionsbereich der Funktion einzuschränken und nicht die Funktion auf ganz eher zu betrachten ganz ganz wichtiges Thema müsst ihr auf jeden Fall drauf haben worauf läuft sie hinaus warum kann man die Funktion so wie wir sie komplett hätten auf den ganzen reellen Zahlen nicht wirklich gut für einen Hang nehmen als modellierfunktion naja überlegt mal was macht die Funktion denn da und hier naja wenn ich die xse ganz weit nach rechts anschaue geht die Funktion quasi ins Minus unendliche nach unten und genau das macht sie auch hier wenn ich die x-Werte ganz weit nach links laufen lasse geht die Funktion auch runter nach minus unendlich wie schreibt man das auf mit dem Limes wir begründen also weil der Limes der Funktion der Grenzwert für große XE ganz ganz groß positive und ganz ganz großen negative x-Werte immer nach minus unendlich geht so ein Berg kann sich aber nicht mega tief in die Erde bohren kann unendlich tief ist es im Saft Zusammenhang sinnvoll den Definitionsbereich einfach einzuschränken ja und das waren die großen Themen aus der anderen falls ihr noch Fragen zu dem Teil habt schreibt sie immer gerne in die Kommentare ich versuche so schnell wie möglich zu antworten und das gleiche gilt natürlich auch für die nächsten beiden Teile denn jetzt geht es weiter mit der Stock hastig und doch hastig ist für viele Schüler der anspruchsvollste Themenbereich obwohl es eigentlich die leichtesten Klausuren sind man muss nur wissen wie es funktioniert und das zeige ich euch jetzt in diesen Themenblock wir haben eine schöne Situation es geht weiterhin um den Saatgut Tresor und wir wissen dass natürlich Saatgut sehr sorgfältig geprüft werden muss damit es dafür ja tausende im Saatgut Tresor eingelagert wird ganz typisches Szenario testen in der Stochastik wir testen hier das Saatgut und schauen uns immer die bisherige Lagerung an und die Qualität von dem Saatgut selber nur wenn beides passt darf es eingelagert werden Info für uns ganz ganz wichtig diese zweite Testkategorie also die Qualität vom Saatgut selbst die genügt erfahrungsgemäß in 2,2% der Fälle den hohen Ansprüchen nicht und zu dieser Situation ganz typisch fürs Abi Stochastik kriegen wir einen Baumdiagramm das aber natürlich nicht vollständig ist wir sehen einmal den Pfad der Zulagerung entspricht den Vorgaben führt was ja gut wäre und dann den Pfad der dahin führt wo die Lagerung nicht okay wäre das gleiche für Qualität des Saatguts einmal gut genug den Ansprüchen und einmal nicht so gut genug den Ansprüchen nicht das Gleiche auch wenn die Lagerung mal nicht so gut war und da schaut man trotzdem noch nach der Qualität vom Saatgut und jetzt so fürs Verständnis welcher Pfad würde eingelagert werden natürlich nur das Saatgut ne das ne super Lagerung hatte und qualitativ Hochwert wichtig ist darauf wollen wir später noch kommen in dieser Aufgabe jetzt ist aber die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln dass die Lagerung den Vorgaben entspricht wo finden wir das im Baumdiagramm natürlich da wo wir zu l kommen Lagerung entspricht den Vorgaben hier wird die Wahrscheinlichkeit P von L dran stehen die wir jetzt gerade suchen und wie machen wir das auch in Stochastik schreibt euch auf was gesucht ist schreibt euch auf was gegeben ist in diesem Fall ist quasi das Baumdiagramm gegeben und gleich noch eine andere Sache die aber nicht so ganz offensichtlich ist und wir wissen das kann man hier direkt schon immer schön ausfüllen in solchen baumdiagrammen dass sich die Pfade die vom selben Knotenpunkt abgehen immer zu 100% ergänzen wenn wir hier also zwei Prozent haben muss da 98 hin hier bei 0,06 was muss da oben hin natürlich genauso gleiches Prinzip 0,94 und das können wir jetzt übertragen auf diesen Pfad wir wissen zwar nicht was P von Ellis aber wir wissen dass sich P von L mit dieser Pfad Wahrscheinlichkeit hier zu 100% ergänzen muss was könnte man also allgemein schreiben wir könnten hinschreiben da muss eins minus P von L stehen ja und dann hat man das Gefühl fehlt trotzdem irgendwie ein Puzzleteil und P von L zu berechnen und das stimmt auch strategie-tipp Aufgabentext double checken im Text steht nie irgendwas was man eigentlich sicherlich nicht braucht ist da irgendwas irgendeine Zahl irgendeine Angabe die wir noch nicht genutzt haben eindeutig ne die 2,2 Prozent das ist die Wahrscheinlichkeit dafür dass vom Saatgut die Qualität nicht stimmt und das bedeutet ich kann das Schreiben als P von was muss in die Klammer natürlich Q quer und diese Wahrscheinlichkeit P von Q quer 0,022 die ist jetzt das fehlende Puzzleteil denn wo kommen wir zu Kuh quer hin Q quer heißt die Qualität des Saatguts passt nicht und das finden wir hier und das finden wir hier das heißt wir können uns überlegen P von Q quer die 2,2% bekommen wir mit der ersten und zweiten fahrtregel wenn wir entlang von diesem Faden multiplizieren plus entlang von diesen Pfad multipliziert also P von L mal 0,02 + 1 - P von L mal 0,06 und das ist genau der Ansatz der hier steht der führt uns zu gesamt P von nicht Kuh also zu 2,2 Prozent weil das genau die Pfade sind die uns zu Saatgut Qualität genügt nicht den Ansprüchen führen und diese Gleichung kann man jetzt auflösen ich habe es mit einer Rechnung gemacht da steht allerdings eher mit wenn Sie das heißt wer ein Taschenrechner hat der das kann kann diese Gleichung auch im GTR mit n Zoll Flößen und statt P von L zum Beispiel einfach ein X schreiben und hier ein 1-x mit dann kann N12 euch das mit zwei Klicks ausspucken bei ermitteln darf man das ich habe es jetzt für alle die den N12 Befehl nicht haben mal von Hand gemacht da würde man einfach diese Klammer hier ausmultiplizieren einmal 0,06 - P von L mal 0,06 dann würde man im nächsten Schritt hier diese P von 11 mit ihren Vorfaktoren zusammenfassen zu -0,04 mal P von El man würde die 0,06 auf die andere Seite rüber holen mit -0,06 und dann teilt man noch einmal durch -0,004 und hat am Ende 95 % stehen und das ist auch perfekt die Kontrolle Lösung Strategie Tipp zur kontrolllösung sowas ist nie gegeben weil die wirklich nett sind und wollen dass Ihr kontrollieren könnt sowas ist nur gegeben weil es normalerweise immer später noch gebraucht wird wenn ihr sowas also seht eine kontrolllösung oder auch sowas zeigen sie dass da und da der Hochpunkt ist oder so merkt euch diese Info normalerweise kommt es später darauf zurück und wenn man die dann nicht auf dem Schirm hat dann kommt man halt an der Stelle nicht weiter wir brauchen jetzt hier noch eine Antwort setzen Zusammenhang ich habe geschrieben die Lagerung entspricht mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% den Vorgaben und damit kommen wir schon zur Aufgabe B die in jeder stochastikklausur immer vorkommt in unserem Baumdiagramm wissen wir jetzt dass da 95 % sind hier 5 % hier 98 und hier 94 wir wissen außerdem dass die beiden Pfade die zu Kuh quer führen insgesamt Prozent also 0,022 hatten und mit diesen Infos können wir die B jetzt auch super lösen da sollen wir die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln das Saatgut welches eigentlich den Qualitätsansprüchen genügt aufgrund mangelhafter Lagerung nicht in den Saatgut Tresor eingelagert werden kann und das ist ganz ganz ganz ganz typisch vor allem mit so einem eingeschobenen Relativsatz wir haben da nämlich eine vorinfo wir wissen schon dass das Saatgut eigentlich den Qualitätsansprüchen genügt das bedeutet wir wissen es ist auf jeden Fall auf diesem Pfad mit Q oder auf diesem Pfad mit Q da sind ja alle die den Qualitätsansprüchen vom Saat gut selbst entsprechen und so eine Vorinformationen die nicht mehr vom Zufall abhängt wo finden wir die wenn wir jetzt das was gesucht ist hier mit offenen P von Klammer auf Klammer zu ausdrücken wollen die vorinfo kommt immer in den Index hier so tiefer gestellt ans P wir wissen schon das ist Q wir wissen die Qualität des Saatgut selbst genügt und jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit dafür dass die Lagerung mangelhaft war das heißt die Wahrscheinlichkeit für L quer und so eine Wahrscheinlichkeit die unten so eine Vorinformation im Index hat wie nennt die sich das ist eine sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit die Vorinformation ist die Bedingung und diese bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen wir immer mit dem Satz von Base der Satz von Base sagt uns P von L quer unter der Bedingung Q ist oben die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt und unten die Wahrscheinlichkeit von der Bedingung selber also bei uns P von Q geschnitten l quer oben und P von Q unten wie nennt sich das übrigens noch mal oben und unten im Bruch Zähler und Nenner ja und das können wir jetzt leicht berechnen der Zähler ist eine Kombi Wahrscheinlichkeit eine Schnitt Wahrscheinlichkeit da müssen wir einfach den Pfad suchen mit q&l quer das wäre dieser hier und im Nenner da muss man ein bisschen aufpassen eine Rand Wahrscheinlichkeit also keine Schnitt und keine bedingte Wahrscheinlichkeit die finden wir immer an zwei Faden und da greifen jetzt die pfadregeln was sagt die erste fahrtregel entlang eines Tages mit multipliziert darum hier 0,05 x 0,94 die zweite pfadregel sagt mehrere Pfade werden addiert das heißt ich könnte das hier mal das hier plus das hier mal das hier rechnen oder aber ich bin schlau weil ich weiß dass ihr hier eher 2,2% rauskam für die Pfade die bei Kuh quer enden dann muss hier für die beiden Pfade die bei Q enden die gegenwahrscheinlichkeit rauskommen denn in Summe ergeben alle Pfad and Wahrscheinlichkeiten immer 100%. das heißt wenn ich das mache habe ich 100 - 2,2 %. das sind 97,8% und so komme ich ein bisschen schneller an die Nenner Wahrscheinlichkeit kann das ganze ausrechnen und komme auf ungefähr 4,8% die Wahrscheinlichkeit also dafür das Saatgut das eigentlich den Qualitätsansprüchen genügt hätte dass das nicht in den Tresor darf weil es vorher schlecht gelagert wurde die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 4,8%. und damit haben wir jetzt die erste und zweite pfadregel gut besprochen den Satz von Base die gegenwahrscheinlichkeit in Baumdiagramm und damit kommen wir zum nächsten richtig großen Thema der Stochastik nämlich könnt ihr schon erkennen worum es geht wenn ihr die Aufgabe seht ganz klar ne es geht hier um Binomialverteilung fehlt in keine Abitur doch hast die Klausur in unsere Situation schauen wir uns 200 Saatgutproben an und wir prüfen ob die in den Tresor dürfen oder nicht erinnert euch in den Tresor dürfen nur die Saatgutproben die eine gute Lagerung bisher hatten und qualitativ hochwertig sind alle anderen hier die irgendwie eine von den Sachen nicht erfüllen die dürfen gar nicht eingelagert werden und wir kriegen jetzt gesagt dass die Anzahl x der für die Einlagerung ungeeigneten Saatgutproben binomial verteilt ist mit n = 200 der sogenannte Stichprobenumfang und P = 0,07 wie nennt sich das P das ist die Treffer Wahrscheinlichkeit von der Vorstellung im Baumdiagramm wir wissen diese hier das sind die die nicht eingelagert werden dürfen und das müssen jetzt offensichtlich sieben Prozent sein könnte man sich auch ausrechnen wie nämlich da würden wir sagen 0,95 haben ja eine gute Lagerung gehabt und 0,98 haben eine gute Qualität nachdem die gute Lagerung getestet wurde das heißt hier entlang des Pfades wird der multipliziert müsste in etwa 93% rauskommen und wenn ihr das mal nachrechnet dann passt das auch 93,1 ist es glaube ich wichtige Info noch für später alle diese ungeeigneten Saatgutproben kommen nicht direkt in die Tonne sondern die werden weiterverwertet für andere Forschungszwecke ja und für die Binomialverteilung ist extrem wichtig dass man die Voraussetzungen kennt wenn wir jetzt x und N und P haben Stichprobenumfang 200 Treffer Wahrscheinlichkeit 0,07 dann muss man wissen warum das eigentlich binomial verteilt ist und da gibt es vier Eigenschaften die gerne auch abgefragt werden was sind die vier Eigenschaften für Binomialverteilung erstens es darf nur zwei mögliche Ausgänge geben in unserem Fall passt das weil Saatgut ist entweder geeignet oder ungeeignet wenn wir also testen ob sagt gut geeignet oder ungeeignet ist für die Einlagerungen sehr gut Tresor gibt's nur zwei mögliche Antworten und ein Experiment mit zwei möglichen Antworten mit zwei möglichen Ausgängen wie nennt man das noch mal das sind die sogenannten bernoulli-experimente und die Binomialverteilung die benutzen wir immer dann wenn wir Bernoulli Experimente mehrfach nacheinander machen also hier machen wir 200 mal ein bernoulli-experiment Nacheinander weil für jede saatgutprobe ja quasi ein einzelnes Experiment gemacht wird und damit wir Binomialverteilung benutzen dürfen muss die Treffer Wahrscheinlichkeit außerdem konstant sein das heißt wenn ich das eine Saatgut anschaue die Probe dann hat die eine Treffer Wahrscheinlichkeit von 7% für ungeeignet und die die danach kommt die muss auch wieder 7% haben also immer 7% für Treffer 97% für nicht Treffer außerdem brauchen wir die sogenannte stochastische Unabhängigkeit das hängt sehr dicht damit zusammen das bedeutet einfach dass diese Entscheidung für das erste Saatgut nicht die Entscheidung fürs zweite Saatgut beeinflussen darf letzter Punkt wir brauchen einen festgelegten Stichprobenumfang also es muss ganz klar sein was n ist und dieses Kriterium lassen manche Bücher aus schreibt sie Sicherheit hin dann habt ihr auf jeden Fall unabhängig vom Zweitkorrektur auch die vollen Punkte wenn da die Voraussetzungen abgefragt werden manchmal wird auch andersrum gefragt dass man sagen soll wann die Voraussetzungen nicht erfüllt wären da könnte man dann sowas sagen wie Teile der Saatgutproben sind geliefert worden von dem Auto wo die Kühlkette unterbrochen war oder sowas dann müsste man nämlich diese Saatgutproben hängen zusammen sind also nicht doch hast dich unabhängig sobald man eine davon erwischt wird nicht mehr die Treffer Wahrscheinlichkeit für die danach aus der gleichen Probe 97% und 3% sein sondern die wird dann 100% sein dass die aussortiert wird weil wenn die aus dem gleichen Wagen kam ist ja ganz sicher die Lagerung bisher nicht okay gewesen da muss man dann immer ein bisschen kreativ werden schauen wir uns aber die Aufgabe C an die ist noch ganz unkreativ ganz ganz Standard wir sollen die Wahrscheinlichkeit berechnen dafür dass weniger Proben als erwartet für die Einlagerung ungeeignet sind strukturmäßig habe ich jetzt hier zum Zeitsparen bei gegeben einfach geschrieben siehe oben ne weil dieser Block diese Grundvoraussetzungen mit X ist die Anzahl ungeeigneter Saatgutproben binomial verteilt sollte ich vielleicht noch dazu schreiben in gleich 200 und P = 0,07 das gilt ja für alle Folgeteile und so spare ich mir einfach Zeit bei gesucht und das ist die Schwierigkeit an dieser Aufgabe ist noch gar nicht so richtig klar wie viele Proben wir denn jetzt erwischen wollen es wird gesagt wir wollen weniger Proben als er wartet die für die Einlagerung ungeeignet sind X ist ja die Anzahl der ungeeigneten Proben und unser x soll jetzt kleiner sein als erwartet was erwarten wir denn wenn wir 200 Proben testen und 7% Trefferquote haben dann erwarten wir natürlich den Erwartungswert und der berechnet sich wie bei der Binomialverteilung als n mal P also rechnen wir 200 Mal 0,07 kommen auf 14 und erwarten eigentlich 14 ungeeignete Proben in unseren 200 getesteten die Wahrscheinlichkeit dafür dass weniger Proben als erwartet dabei sind ist also die Wahrscheinlichkeit dafür Achtung dass wir echt weniger als 14 Proben haben und echt weniger als 14 bei der Binomialverteilung heißt höchstens 13 großer Tipp an der Stelle macht euch ein Zahlenstrahl in der Stochastik bei der Binomialverteilung Goldwert wir haben 200 Proben die wir angucken also entweder Null werden ungeeignet sein oder alle 200 oder irgendwas dazwischen und wenn wir jetzt 14 erwarten also relativ wenige sowieso und wir wollen aber die Wahrscheinlichkeit dafür dass es echt weniger sind als wir erwarten dann wären 14 ja schon zu viel ich will also nur den Bereich von 0 bis 13 echt weniger echt kleiner als 14 soll unser x sein und damit kann ich einfach im Taschenrechner mit dem Befehl Binom CDF die 200 als Stichprobenumfang die 0,07 als Treffer Wahrscheinlichkeit und dann die 13 dazu eintippen und komme auf 46,1% . die Wahrscheinlichkeit also dafür dass weniger Proben als erwartet für die Einlagerung ungeeignet sind beträgt ungefähr weil man da immer rundet 46,1%. nächste Aufgabe ganz ganz typisch kommt auch in fast jeder Abi Klausur vor wir wollen dringend eine für die Einlagerung ungeeignete saatgutprobe finden weil wir ja gesagt hatten dass die noch für andere Forschungszwecke benutzt werden ermitteln wir also wie viele Saatgutproben wir prüfen müssen und mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auch so eine ungeeignete zu erwischen die dann halt nicht eingelagert wird aber für andere Forschungszwecke noch nützlich ist typische n gesucht Aufgabe man nennt sie auch 3 mal mindestens Aufgaben und da muss man sich klar machen wieder am Zahlenstrahl am besten dass wir einfach noch nicht wissen wie viele Saatgutproben wir jetzt prüfen das ist der Stichprobenumfang eigentlich ne das waren vorher die 200 unser n und das muss jetzt berechnet werden wir machen also einen Zahlenstrahl Worst Case und best case es geht immer von 0 bis N und unser n kennen wir jetzt halt nicht aber wir wissen wir wollen jetzt ja die ungeeignete Saat Probe im Worst Case testen die also n Proben und erwischen keine einzige ungeeignete für die Einlagerung die sie dann für die Forschung benutzen können im best case werden hier alle n ungeeignet also wir hätten nur Treffer in unserer Stichprobe wird beides nicht passieren höchstwahrscheinlich ne irgendwas dazwischen wird rauskommen aber an diesem Zahlenstrahl der jetzt von 0 bis n geht kann man sich super klar machen was wir wollen wir wollen mindestens eine für die saatguteinlagerung ungeeignete Probe die dann für die Forschungszwecke verwendet wird wir werden also mit einer zufrieden mit zwei mit drei mindestens eine wollen wir wir werden auch zufrieden wenn alle für die Einlagerung ungeeignet werden dann könnten wir alle für die Forschungszwecke benutzen das einzige was wir also nicht wollen ist keine und das Schreiben wir jetzt auf wir suchen enden so dass X die Anzahl ungeeigneter saatproben mindestens eins ist und die Wahrscheinlichkeit für mindestens eins ist ja hier dieser grüne Bereich und das ganze irgendwas muss ja passieren das ganze hier wird immer 100% Wahrscheinlichkeit haben wenn ich also das rote hätte dann könnte ich 1 minus das rote also P von x = 0 rechnen und hätte das grüne P von X größer gleich 1 und das ist hier der Ansatz wir sagen das grüne P von X größer gleich 1 kriegen wir über den Ansatz 1 - das rote flap sich gesagt das was wir wollen ist 1 - das was wir nicht wollen die gegenwahrscheinlichkeitsformel und die Wahrscheinlichkeit eben für mindestens ein Treffer das fehlt jetzt noch aus dem aufgaben-text die soll sehr groß sein nämlich mindestens 99%. also das ganze kann man dahinter schreiben soll größer gleich 0,99 sein und manche bei dem Wörtchen ermitteln können tatsächlich die hier extrem abkürzen und das in so einen endsolf Befehl vom Taschenrechner reinhauen wer das kann herzlichen Glückwunsch der kann die nächsten zwei Minuten überspringen wer nicht guckt euch an es ist nicht so schwierig wie man denkt man kann das nämlich ein ganzes Stück vereinfachen und dann mit dem Logarithmus die Ungleichung die da entsteht auflösen das machen wir jetzt kurz im Schnelldurchlauf ganz klar ist übrigens sobald hier nicht mindestens eine steht sondern mindestens zwei oder drei oder irgendwie sowas muss man zum Taschenrechner machen weil man es dann nicht mehr offene gleich Wahrscheinlichkeit zurückgeführt bekommt aber wenn man das im Taschenrechner nicht kann wird man seine Aufgabe auch nicht bekommen die gleichwahrscheinlichkeit dass es diese hier und die können wir in der Binomialverteilung immer mit einer gewissen Formel berechnen wie hieß die nochmal wisst ihr es es ist die Bär Null lieferformel die Formel für die Binomialverteilung und die müsst ihr auch unbedingt von der Struktur herkennen weil die super gerne vorkommt in Transfer Aufgaben und auch im hilfsmittelfreien Teil ihr habt immer den Binomialkoeffizienten dann die Treffer Wahrscheinlichkeit hochanzahl der Treffer und dann die Mieten Wahrscheinlichkeit hochanzahl der Nieten müsst ihr auswendig können und ihr müsst wissen dass N über Null immer eins ist das gleiche übrigens wie n über n und das n über ein minus eins immer n ist das gleiche wie n über eins kann man sich auch super merken in über eins ist n weil dann hat zum Beispiel drei über eins gleich drei wäre und es ist die Anzahl der Möglichkeiten ein Element aus drei Elementen auszuwählen stellt euch einen Hundewelpen aus drei Hundewelpen vor wenn ihr einen Hundewelpen aus drei Welpen auswählen dürft habt ihr drei Möglichkeiten ihr könntet den ersten nehmen oder den zweiten oder den dritten und deswegen ist n über 1 immer n einen Hundewelpen aus n-hunde Welpen auszuwählen dafür habt ihr endmöglichkeiten und bei N über Null wählt ihr ja quasi 0 Hundewelpen aus drei oder aus n Hundewelpen und dafür habt ihr eine Möglichkeit ihr geht dahin wo die Hundewelpen sind sagt zu allen nimmt ihr nicht und geht wieder weg also null Hundewelpen aus n auszuwählen hat eine Möglichkeit darum hier die eins alles hoch Null wisst ihr auch ist auch eins und damit reduziert sich diese ganze Rechnung zu 1 - 0,93 hoch n und so was mit unbekanntem Exponenten müsst ihr lösen können holt erstmal alles rüber und schaut das dann nur noch diese Potenz alleine ist und dann wendet ihr den Logarithmus an und beachtet beim rüber holen wenn ihr mit negativen Zahlen multipliziert oder dividiert dreht sich das krokodilsmaul um dann macht er den Logarithmus auf beiden Seiten LN zum Beispiel das muss immer mit einem vollgepfeil gemacht werden und dann könnt ihr wieder durch diesen LN Ausdruck Teilen nachdem ihr das n mit Hilfe der rechenregel für Logarithmen nach vorne geholt hat LN von A hoch B ist nämlich dasselbe wie B mal LN von A ganz ganz wichtig wenn man durch den Logarithmus jetzt teilt hier an der Stelle muss man aufpassen wir haben ja gesagt wenn man durch negative Sachen teilt oder damit multipliziert dreht sich das krokodilsmaul und der Logarithmus ist immer negativ wenn in der Klammer etwas steht das kleiner als eins ist solltet ihr auch wissen so dreht sich das krokodilsmaul auf jeden Fall zurück und ihr bekommt einen Wert für n und en soll größer gleich 63,nochwasser sein Enes aber die Anzahl der untersuchten Saatgutproben kann die 63,45 irgendwas sein es sind ja Saatgutproben nein die müssen ganzzahlig sein darum sagt man auch die Binomialverteilung ist eine sogenannte diskrete Verteilung diskrete Verteilungen können nur ganzzahlige Werte annehmen das heißt unser n muss mindestens 64 sein sprich wir müssen mindestens 64 Proben überprüfen um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% auch eine für die Einlagerung ungeeignete saatgutprobe zu entdecken die dann für die weiteren Forschungszwecke verwendet werden kann nächste Aufgabe die ist ganz kurz die letzte aus der Stochastik da will ich gucken dass ihr nicht den Fehler macht den viele machen wenn das Thema kurz wechselt und man es nicht direkt merkt wir haben jetzt nämlich eine probenbox und da sollen zwei für die Einlagerung geeignette und 8 für die Einlagerung ungeeignete Saatgutproben drin sein jetzt haben wir den Mitarbeiter und der denkt die werden alle gut und wählt rein zufällig zwei Proben aus der Box aus und wir wollen dann die Wahrscheinlichkeit berechnen dass er genau die beiden ungeeigneten Proben auswählt und da könnte man denken hey ich war gerade bei Binomialverteilung und jetzt ist Stichprobenumfang 10 Treffer Wahrscheinlichkeit ist immer noch 0,07 und wir wollen die Wahrscheinlichkeit für genau zwei ungeeignete Proben bin um PDF und fertig aber ist nicht so wir wissen jetzt ja ganz konkret wie viele gute und wie viele schlechte proben wir in der Box haben das heißt das ist nicht mehr Binomialverteilung wenn man der eine rausfällt ändert das die Treffer Wahrscheinlichkeit für die die noch drin sind wir haben also stochastische Abhängigkeit der beiden Proben die da rausholt und das ist so eine Art urnenmodell was machen wir also wir schreiben uns auf dass ein Ereignis gegeben ist und Ereignisse müsst ihr immer schreiben mit Anführungsstrichen so ein bisschen wie wörtliche Rede und dann zitiert die einfach unser Ereignis ist der Mitarbeiter wählt genau die beiden ungeeigneten Proben und zwar aus dieser Box die wir hier hervorragend wie ein Urnen Diagramm aufzeichnen können und dann ist jetzt natürlich gesucht die Wahrscheinlichkeit von diesem Ereignis E1 und dann müsst ihr euch klar machen dass ihr ganz klar ein zweistufiges Baumdiagramm braucht weil ja eine erste Probe und eine zweite Probe gezogen wird es ist als ob ihr aus Kugeln ziehen würdet ich habe jetzt mal die roten als die ungeeigneten SG Proben genommen die Grünen sind die geeigneten ist übrigens ein kleiner Tipp auch am Rande nutzt Abkürzungen wenn ihr könnt spart in Summe extrem viel Zeit naja dann könnt ihr euch überlegen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür als erstes direkt eine ungeeignete zu erwischen zwei Zehntel weil zwei von insgesamt zehn Proben sind ungeeignet acht von zehn werden geeignet und wenn ich jetzt schon gezogen habe ändert das die Wahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung da habe ich dann ja nur noch 9 Proben drin wenn die erste geeignet war ist quasi eine grüne Weg das heißt ich hätte noch zwei von neuen ungeeigneten und ich hätte aber 7 von 9 Uhr nur noch angeeigneten Proben andere Situation wäre die erste Probe ungeeignet gewesen wäre rote draußen gewesen damit hätte ich von neun Kugeln immer noch alle acht Grünen aber nur noch eine von den roten wir machen hier also ziehen ohne Zurücklegen und was ist jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür dass ich genau die beiden ungeeigneten erwische naja dann müsste ich ja diesen Pfad entlang laufen ungeeignet und nochmal ungeeignet und entlang des Pfades wird multipliziert sagt uns die erste fahrtregel heißt wir rechnen hier zwei Zehntel mal ein Neuntel schreiben klein erste pfadregel auf den folgepfeil ist immer sehr elegant nämlich wenn man seine Rechenschritte benennen und dokumentieren kann dann kommt da 92 raus das ist gerundet 2,2 % und damit können wir sagen die Wahrscheinlichkeit dafür dass der Mitarbeiter genau die beiden ungeeigneten Proben erwischt die beträgt 2,2 %. und das waren auch schon die Essenzen der Stochastik für alle die die Normalverteilung mit drin haben schaut auf jeden Fall in dieses Video da oben da werden die Basics noch mal erklärt aber weil das nicht alle Bundesländer haben ist es nicht nicht in der gesamtzusammenfassung drin schaut euch also separat an wir machen jetzt weiter mit der Vektorrechnung und die Vektorrechnung ist mittlerweile glaube ich echt mein liebstes von den drei großen Themen weil es einfach so super schön anschaulich ist und man alles was man da macht so super gut mit Skizzen darstellen und sich räumlich vorstellen kann erste Aufgabe wir kriegen Punkte gegeben viele Punkte oabcdef und G und dann wissen wir noch dass das die Eckpunkte von dem Quader sind seht ihr auch abgebildet oa bcdefg so wie man es in der Vektorrechnung macht sind die benannt nämlich wie benennt man die Punkte in der Vektorrechnung und generell in der Geometrie immer gegen den Uhrzeigersinn zusätzlich bekommen wir noch die Punkte h und i wobei wir aber nur Haar wirklich kennen die ist eigentlich unbekannt genauso wie d und das ist natürlich auch ganz typisch die allererste Aufgabe hier auf unserem Aufgabenzettel wir sollen die Koordinaten angeben und denkt dran angeben heißt hinschreiben keine Rechnung erforderlich das erfordert jetzt nur ein bisschen räumliches Denken ihr müsst euch nämlich vorstellen dass das hier natürlich in der Realität der Eingang von unserem Saatgut Tresor ist wir schauen jetzt also seitlich da drauf und das Koordinatensystem ist so gelegt dass das alles super schön parallel zu den Achsen verläuft und das sorgt natürlich dafür dass wir sehr leicht die Koordinaten von D und die ablesen können bei d stellt euch immer vor ihr hättet ein kleines Männchen im Ursprung stehen was muss das Männchen machen um zu dir zu kommen muss es nach vorne oder hinten laufen nein muss es nach rechts oder links laufen auch nein es muss nur nach oben gehen und zwar so viele Einheiten nach oben wie auch eh nach oben liegt und das sind offensichtlich 9 das ist damit nämlich die Höhe von dem Quader neuen Längeneinheiten und unser Ding liegt bei 009 es ist ein Schnittpunkt mit der X3 Achse und H mit den gegebenen Punkten e und H diese gerade ist jetzt unser seiltänzerseil beachtet übrigens dass ich auch hier schön brav die Struktur verfolge in der Vektorrechnung gegeben gesucht Idee dann kommt die Rechnung und natürlich macht es Sinn gerade in der Vektorrechnung mit Skizzen zu arbeiten wo liegt die gerade durch E und H hier ist e hier ist H das heißt die gerade durch e&h ist diese Gebäudekante fortgesetzt noch in alle Richtungen also nach links und nach rechts für Ewigkeiten ja also geraten sind immer unendlich lang wie stellen wir eine geraden Vorschrift auf wir denken uns dass das kleine Männchen im Ursprung oh steht und es muss erstmal als Seiltänzer auf Seil hochkommen irgendwo ist eh irgendwo ist H wir machen also eine kleine gedankliche Leiter die das Männchen erstmal vom Ursprung nach E hoch führt dann stets da oben und diese kleine Leiter das ist ein sogenannter stützvektor der Geraden und weil dieser Vektor bei O startet wie könnte man ihn noch nennen einen Vektor der bei O startet heißt immer Ortsvektor also es ist ein Ortsvektor von O2 und hier ein Stütz wegtor der Geraden also oi ist unsere Leiter unser stützvektor und dazu kommt jetzt irgendwie die Richtung die das Männchen auf dem Seil läuft also quasi eine Angabe wo es sich bewegen darf und es darf natürlich hier fleißig vom Punkt e zum Punkt h spazieren also den Vektor e h laufen und weil gerade unendlich lang sind in beide Richtungen könnte es jetzt nicht nur einmal den Vektor eh laufen dann würde es ja von E zu h kommen es könnte den auch zweimal laufen dann würde es den einfach noch mal anhängen und die gerade also das Seite wäre immer noch da weil es ja unendlich lang wäre in der Theorie und diese Tatsache dass das seiltänzchen seine Richtung ganz oft machen kann die führt dazu dass wir diesen Parameter eher dahin setzen und sagen er ist ein Element der reellen Zahlen so oft wie der Seite Anzeichen will kann es den laufen auch z.B ein halbes Mal wenn er ein halb wäre wo würde das seine Tänzchen ankommen naja es würde den blauen Pfeil nicht ganz laufen sondern halb und damit wäre es ziemlich genau da wo ich es hin skizziert habe beim Mittelpunkt ich sag mal m der Strecke eh um einen Mittelpunkt einer Strecke auszurechnen würdet ihr also den Parameter als ein halb setzen und kämmt so auf die typische mittelpunktsformel plus einhalb eh übrigens gibt es auch noch einen sehr sehr guten Trick um schneller den Mittelpunkt einer Strecke auszurechnen probiert's mal aus ihr nehmt OE ihr nehmtoha addiert die beiden und halbiert sie das führt euch zu genau den gleichen Koordinaten ist aber viel schneller das heißt wenn ihr mal den Mittelpunkt einer Strecke berechnen müsst geht lieber über diese Formel weniger fehleranfällig weil keine Minusse drin sind und schneller ist sie auch noch für uns spielt der Mittelpunkt aber keine Rolle wir wollen die Geradengleichung aufstellen und da habe ich jetzt den stützvektor also diesen Ortsvektor OE einfach quasi hingeschrieben indem ich die Koordinaten vom Punkt e aufgerichtet habe hochgekippt habe sozusagen ne 209 übereinander geschrieben macht den Vektor vom Ursprung oh zum Punkt e das wäre also sozusagen die Leiter hier in unserem Modell von O nach e nächster Schritt wir brauchen jetzt natürlich diese Richtung noch eh den sogenannten Richtungsvektor der immer ein verbindungsvektor von zwei Punkten auf der Geraden ist wie bildet man verbindungsvektoren da gibt es so eine Faustregel von mir wir rechnen Ende minus anfangen also 2 16 5 die Koordinaten vom Ende von H übereinander geschrieben minus 2 0 9 die Koordinaten von E übereinander geschrieben und da empfehle ich euch schreibt wirklich in der Klausur 2 16 5 - -2009 nicht immer hin und her switchen da versucht man sich früher oder später ja und dann rechnet ihr komponentenweise nach 2 - 2 ist 0 16 - 0 = 16 5 - 9 ist -4 unser Leiter ist also 2 0 9 und dann die Richtung die wir anhängen ist null 16 - 4 bedeutet vom Ende unserer Leiter muss das Männchen nicht nach vorne oder hinten 16 Einheiten zur Seite und vier Einheiten nach unten um von eh zu hart zu kommen kleine Frage darf man solche Richtungsvektoren kürzen das schreit er danach ne dass man daraus 04 - 1 macht und alle Koordinaten einmal durch vier teilt ist das immer noch die gleiche gerade und die Antwort ist ja es bedeutet nämlich dass wir diesen Richtungsvektor nicht so riesig lang machen sondern in 4 Unterteile sozusagen sehr hacken für den Seiltänzer macht es kein Unterschied der ist immer noch auf seinem Seil aber er macht halt keine riesigen Hüpfer mehr sondern kleinere Schritte genau ein Viertel so große Schritte wie vorher mit dem ganzen Richtungsvektor also Richtungsvektoren immer kürzbar und diese Leiter dieser Stütz Weg drinne dürfte ich den auch kürzen oder erweitern auf 40 18 z.B Antwort natürlich nein wenn ich die Leiter verdopple würde ich wirklich das seiltänzerchen doppelt so lange Leiter hochsteigen lassen und dann würde der von da oben aus versuchen nach links und rechts zu gehen wo gar kein Seil mehr ist also deswegen Richtungsvektoren darf man kürzen oder verlängern aber stützvektoren auf gar keinen Fall kürzen oder verlängern das würde die Leiter verändern ganz wichtig dann auch noch für Transferaufgaben vor allem die Einschränkung des Parameters unsere Gebäudekante von E nach H ist ja nicht wirklich unendlich lang die beginnt ja bei E und endet bei H wie schaffe ich das dem Seiltänzer das mitzuteilen naja dafür nehme ich den Parameter und Schränke den ein und sage er darf nur zwischen gewissen Werten liegen und was müssen die Werte sein natürlich 0 und 1 wenn er gleich Null ist läuft er quasi nur die Leiter hoch hängt nichts an und bleibt bei E stehen und wenn er eins wäre würde der Seiltänzer die Leiter hochlaufen und den ganzen blauen Pfeil anhängen und dann kommt er natürlich genau bis zu h an genau dahin wo er maximal hinlaufen darf also ganz wichtige Sache wenn ihr eine Gerade einschränken wollt auf eine Strecke dann macht ihr das indem ihr den Parameter auf 0 bis 1 begrenzt und als Richtungsvektor exakt diese Verbindung in dem Fall von ihr nach Haar setzt weil hättet ihr den geteilt durch vier auf 04 - 1 hättet ihr den Parameter anders einschränken müssen nämlich auf null bis vier dann ne weil ihr seht genau vier pinke Pfeilchen würden reinpassen um von eh bis zum anderen Ende Strecke bis Haar zu kommen gut so viel zum Thema geraten wir machen weiter mit Aufgabenteil C extrem wichtig und da wollen wir das Saatgut Gebäude den Eingang noch mal genauer betrachten und dabei eine Einheit im Koordinatensystem eine Meter in der Realität entsprechen lassen und wir sehen schon jetzt geht es hier ums Prisma ne oha wc.de hi so wird es auch aufgeschrieben und genauer gesagt geht's wieder um die Kante eh übrigens seht ihr schon eher mit einem Strich drüber meint immer Strecke eh mit einem Pfeil drüber meint immer den Vektor also den Pfeil die Bewegung von eh nach H und das hängt ganz eng zusammen vor allem wenn es um Längen geht wir sollen die Länge der Gebäudekante eh berechnen bzw es ist als Preis formuliert wir sollen rechnerisch nachweisen dass die Länge 16,5 Meter beträgt und da denkt an die Struktur schreiben wir uns erstmal die relevanten Punkte auf und schreiben dann das ganze was da ausführlich als Text steht mathematisch hin was ist zu zeigen wie schreibt man das die Länge einer Kante dann nimmt man den Vektor der die Kante repräsentiert eh mit Veilchen drüber und als Längen Zeichen nehmen wir die Betragsstriche und da soll jetzt 16,5 rauskommen wir wissen ja le wie Längeneinheiten sind hier das gleiche wie Meter und hier kommt jetzt eine extrem wichtige zeitsparstrategie ins Spiel wir können nämlich die Teilaufgabe B nutzen und das solltet ihr immer immer auch tun wenn ihr könnt behaltet im Hinterkopf was ihr schon alles berechnet habt und macht euch niemals Arbeit doppelt hier zum Beispiel können wir den Vektor eh einfach aus B übernehmen und wenn wir die Länge eines Vektors ausrechnen wollen sagen wir a b c was war da noch mal die Formel für die Länge doppelter Pythagoras Wurzel aus a hoch 2 + B hoch 2 + C hoch 2 jede Koordinate quadriert addiert und die Wurzel ganz einfach eigentlich super schöne Formel kommt garantiert im Abi dran und hier bei uns kommt dann tatsächlich eine Wurzel raus aus 272 die 16,5 ergibt weil wir im Sachzusammenhang gefragt wurden müssen wir auch ein Antwortsatz geben und sagen die Kante ist damit tatsächlich 16,5 m lang fertig sind wir kleine andere Frage noch wie kann ich den nachweisen dass wir hier an der Ecke a tatsächlich einen rechten Winkel haben super wichtige Kompetenz auch Rechtwinkligkeit Orthogonalität zeigt man mit der orthogonalitätsbedingung und die lautet in der Vektorrechnung das Skalarprodukt muss Null sein also hier müsstet ihr zeigen damit da wirklich ein rechter 90 Grad Winkel rauskommt das ae im Skalarprodukt gesetzt mit ab gleich Null ergibt und um zu zeigen dass zwei Geraden sich rechtwinklig schneiden welche Vektoren nimmt man da in Skalarprodukt gleich null das sind die Richtungsvektoren ne und für zwei Ebenen dass die sich senkrecht schneiden lk-thema dann nimmt man die normalen Vektoren der Ebenen in Skalarprodukt und zeigt das dann Null rauskommt nächste Aufgabe das war ja sowas gemeines man sollte nämlich mehrere Dinge auf einmal tun wir sollten auch noch berechnen wie der Neigungswinkel des gebäudedaches gegenüber der Horizontalebene ist und dieses Gefälle diesen Neigungswinkel dann auch noch in Prozent angeben und das ist schon etwas komplizierter schaffen wir aber trotzdem da müsst ihr euch nur klar machen wenn ein Winkel gesucht ist muss man sich Vektoren finden die diesen Winkel repräsentieren in unserem Fall ist der Neigungswinkel an zwei Stellen in der Skizze zu sehen die Neigung kann man nämlich hier sehen ich nenne ihn einfach mal Alpha ne wenn in der Aufgabe nicht steht wie der Winkel heißt nennt das Übel einfach selbst beim Namen und gebt ihm einen zum Beispiel für Winkel eben Alpha und dann werdet ihr sehen dass dieser Winkel Alpha auch hier noch zu finden wäre dann macht er seiner Beschreibung etwas verehre es ist nämlich dann wirklich der Winkel zwischen dieser Dach schräg Ebene und der Horizontalebene und die Vektoren die das am besten aufgreifen können diesen Winkel sind EF und eh und ihr seht wahrscheinlich schon wenn ich es jetzt hin schreibe dass es nicht so ganz tolle Zahlen sind Winkel zwischen Vektor EF und Winkel zwischen Vektor eh aber auch da gibt es einen Trick denn die Länge des Vektors spielt überhaupt gar keine Rolle für den Winkel seht ihr der Winkel bleibt unverändert egal wie lange die Schenkel sind ich kann mir also auch überlegen dass ich jetzt nicht in die winkelformel wo übrigens oben im Zähler ne das GALA Produkt der beiden Vektoren hin muss und unten im Nenner die Länge der Beträge da rechne ich jetzt nicht unbedingt mit den Vektoren die ich wirklich da rein gekritzelt habe sondern ich überlege mir dass die Länge der Schenkel eigentlich egal ist für den Winkel und anstatt den Vektor EF zu nehmen der ja 0.16.0 wäre 16 Einheiten zur Seite geht stattdessen nehme ich den Vektor ef0 das heißt ich mache da so eine kleine Null an den Vektor dran und das bedeutet dass der Vektor normiert wurde auf Länge 1 normieren heißt immer ein Vektor auf seine eigene Länge bringen gerade im LK wichtig wie macht man das man teilt den Vektor durch seine eigene Länge also Vektor Null bekomme ich indem ich vektorin durch seine eigene Länge Teile das heißt hier müsste ich sagen ich teile den Vektor durch 16 weil der ist eindeutig 16 Längeneinheiten lang ein Sechzehntel also mal 0 16 0 ist mein nominierter Vektor mein Vektor eh F im Index eine kleine Null und dann kann ich ganz einfach mit 0 1 0 rechnen und da lässt sich Skalarprodukt natürlich super ausrechnen man rechnet oben mal oben plus Mitte mal Mitte plus unten mal unten kommt auf 16 und auch die Länge ist dann einfach die ist nämlich eins und das heißt ich habe eins mal hier nutzen wir wieder eine Teilaufgabe wir sparen jetzt Zeit wo wir können das ist die C1 wo wir die Länge von 16,5 des Vektors eh nachgewiesen haben und dann tippen wir das einfach in Cosinus hoch -1 sein und Kriegen raus das 14,14 irgendwas also ungefähr 14,1 Grad der Neigungswinkel ist und den wollen die jetzt auch noch das kam echt öfter jetzt ein Abi Klausuren dran in Prozent umgerechnet haben und Gefälle in Prozent umzurechnen ist eigentlich ganz simpel das haben wir ja so ähnlich schon gemacht am Profil des Berghangs und letztendlich haben wir da gesagt dass die Steigung schon das Gefälle in Prozent ist und hier mit so einer kleinen Skizze wo ihr euch eh und F und H noch mal vorstellt also im Prinzip einfach hier diesen Teil aus der 3D Animation übernommen und in 2D skizziert da könnt ihr sofort sehen was die Steigung ist die Steigung berechnet man ja mit einem steigungsdreieck letztendlich und nimmt da immer die Differenz der vertikalen geteilt durch die Differenz der Horizontalen ne ausführlich Y2 - Y1 durch x 2 - X1 aus der andere ist es die steigungsformel und das wäre hier in unserer Skizze ganz offensichtlich 9 und 5 machen Unterschied von 4 und 16 und 0 machten Unterschied von 16 kommt - ein Viertel raus und das ist kann man auch im Kopf -25%. alternativ wenn es mal nicht so schön parallel liegt zu den Achsen gibt es auch eine tangensformel wenn ihr nämlich diesen Wert hier in den Tangens hoch -1 Eintritt also hier -4/16 rein schreibt dann kommt ihr tatsächlich auf die 14,1 Grad beziehungsweise würdet ihr sogar auf -14,1° kommen weil ein Neigungswinkel der nach unten geht ne immer negativ ist umgekehrt heißt das also wenn ihr diesen Wert in den Tangens hoch -1 reinsteckt und Grad zu bekommen dass ihr natürlich auch die Gradzahl in den normalen Tangens reinstecken könnt und dann damit auf das prozentuale Gefälle kommt sind ein paar rundungs Ungenauigkeiten drin wenn man da die exakten Werte nimmt klappt es perfekt so dann noch eine letzte Sache zum immer Winkel für den LK wie hätte man diesen Neigungswinkel den wir gerade berechnet haben als Schnittwinkel der beiden Ebenen berechnen können dass man also das Dach als eine Ebene nimmt und die Horizontalebene als andere da wäre man über die normalen Vektoren gegangen ne der Winkel zwischen zwei Ebenen der Schnittwinkel entspricht dem Winkel zwischen den normalen Vektoren wird auch sehr gerne und auf dem LK gefragt und da müsst ihr unbedingt aufpassen total gemeine Falle wenn zwei Ebenen sich schneiden wie viele Winkel entstehen da wie viele Schnittwinkel natürlich vier na ihr habt hier einen der ist der gleiche wie der da ihr bekommt hier einen der ist der gleiche wie der da da wenn man jetzt also random die normalen Vektoren in die winkelformel packt dann kann es sein dass man versehentlich den pinken heraus bekommt wer ist aber der eigentliche Schnittwinkel der blaue weil als Schnittwinkel ist immer der kleinere definiert und das bedeutet ihr müsst in der winkelformel um das zu vermeiden einfach oben im Zähler noch Betragsstriche setzen dann kommt immer automatisch der kleinere der beiden Winkel heraus gleiches gilt auch für den Grundkurs wenn ihr den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ausrechnen müsst sagen wir g und h sieht das Ganze genauso aus zwei Geraden haben auch vier Winkel da wo sie sich schneiden das heißt auch ihr würdet zur schnittwinkelberechnung von zwei Geraden in der winkelformel oben die beiden betragstriche hinzufügen und dann kriegt ihr automatisch wenn ihr ganz wichtig die Richtungsvektoren der Geraden für den Schnittwinkel in die Winkel Formel einsetzt dann kriegt die automatisch den kleineren also den blauen weil das ist per Definition der wirkliche Schnittwinkel krasse krasse Fehlerquelle wo wirklich viele Leute Punkte liegen lassen obwohl sie das eigentlich easy könnten schauen wir uns die Aufgabe D an die vorletzte halte durch sie ist sehr sehr typisch es geht um prozentuale Volumenanteile wir wollen hier nicht den prozentualen Volumenanteil berechnen auch wenn es oft in den Klausuren gefragt wird aber das ist ja nicht das schwierige das Schwierige ist eine Formel zu finden wie man das macht ausrechnen geht dann deswegen habe ich gesagt geben Sie einfach nur einen Term an mit dem man dann den prozentualen Volumenanteil berechnen kann den das Prisma am Quader einnimmt also dieses Gebilde hier unser Eingangsgebäude vom Saatgut Tresor aufs walbart wie viel Prozent vom ganzen Quader nimmt dieses Prisma ein da muss eure Idee sein Prozentrechnung sozusagen wir machen immer das was uns interessiert in den Zähler geteilt durch alles was es noch geben würde insgesamt in Anteil durch alles und unser Anteil ist jetzt das Prisma und das gesamte wo wir den Anteil daran messen wollen ist der Quader wir müssen also überlegen wie kriegen wir das Volumen von diesen beiden Körper und ich habe überlegt dass ich das Prisma letztendlich berechnen kann indem ich den kompletten Quader nehme und dann sozusagen das freie Stück davon abziehe und das fand ich einfacher als zu sagen ich berechne wirklich das Prisma also habe ich mir überlegt den gesamten Quader kriege ich mit a mal B mal C also mein a ist die Kante a b also die Länge des Vektors ab brauche ich mein B ist hier diese Kante also brauche ich die Länge des Vektors im BC und die Höhe von diesen ganzen Dingen ist im Prinzip die Länge des Vektors CG das wäre mein C das habe ich auch hingeschrieben ich muss hier tatsächlich einfach nur die Seiten jeweils miteinander modifizieren ist auch nicht mega schwierig weil die alle schön einfache Zahlen haben und dann ziehe ich quasi diesen leeren Keil hier ab und das ist ein dreiecksprisma und so ein dreiecksprisma kann man ganz leicht berechnen Grundfläche mal Höhe ähnlich wie vorhin das Stückchen Bergmassiv dass wir aus dem Profil Hang daraus schneiden wollten und für dieses Dreieck hier das ist quasi die Grundfläche des dreiecksprismas für dieses Dreieck hier rechnen wir 1/2 mal Länge des Vektors EF mal Länge des Vektors HF das heißt ich habe das hier als Grundseite und das hier als Höhe für mein Dreieck genommen dann muss ich noch mal Tiefe des Prismas rechnen und da könnte man auf HI z.B gehen oder auf FG aber ich habe gesagt wir sparen Zeit ich nehme BC das habe ich nämlich hier schon benutzt und dann teile ich das ganze noch mal komplett durch den Quader und dann habe ich tatsächlich den Anteil des vol ganz vom Prisma am ganzen Quader und eigentlich ist die Rechnung ganz einfach das Schwierige ist nur die räumliche Vorstellung dafür zu haben aber das kriegt ihr mit ein bisschen Übung gut hin letzte Aufgabe ganz ganz großes Thema das uns noch fehlt die Ebenen und Ebenen gibt es in Parameterform Koordinatenform und teilweise auch in hessischer normalen Form oder Normalenform GK braucht nur Parameterform das ist diese hier und die heißt so weil da T&S als Parameter drin stecken Koordinatenform heißt so weil der Koordinaten drin stecken und die muss der LK auf jeden Fall auch gut bilden können wie würde man aus dieser Parameterform die Koordinatenform bilden erstens ihr würdet das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren machen würde euch den normalen Vektor bringen dann müsstet ihr bei der typischen Koordinatenform habt ihr ja ax1+b X2 + CX3 gleich D A B und C sind genau die Einträge vom normalen Vektor die schreibt ihr hin und im letzten Schritt macht ihr eine punktprobe mit irgendeinem Punkt den ihr kennt aus der Ebene so dass ihr euch das D ausrechnen könnt easy wie versteht man jetzt aber die Parameterform da muss man sich vorstellen auch wieder wir haben den Ursprung wir haben ein kleines Männchen und das will wieder da hoch ist jetzt vielleicht kein seilt hinter mir sondern eher ein Dachdecker oder so und natürlich müssen wir das kleine Männchen erstmal da hoch schicken das ist wieder die Leiter der stürzt Vektor der Ebene und dann müssen wir den Männchen zwei Richtungen vorgeben weil das will ja nicht nur entlanger geraden laufen sondern es will sich richtig hier 3D-mäßig bewegen und diese beiden Vektoren das sind die spannvektoren oder Richtungsvektoren der Ebene die sehen wir hier und auch da kann man wieder für T&S alles mögliche einsetzen weil die Ebene unendlich lang ist wenn wir jetzt aber wollen dass nur dieses Parallelogramm erreichbar ist dann ist es wie bei der Geraden mit der Strecke und wir würden das T und das S jeweils auf 0 bis 1 einschränken was noch krasser ist und auch jetzt öfter mal dran kam ist dass man nur ein Dreieck begehbar machen will und da muss man die Parameter ganz verrückt einschränken erstmal wieder natürlich auf null bis eins beide und dann muss man zusätzlich sagen dass es und T zusammen auf jeden Fall kleiner gleich eins sein müssen Spiels mal gedanklich durch es ist sinnvoll dass man gesehen zu haben kommt immer öfter vor wir wollen jetzt aber nur über die Lagebeziehungen sprechen also nur ist ja auch ein großes Thema und zwar wollen wir die Ebene eh und die gerade geh von vorhin also die durch E und H betrachten und diese Ebene E ist uns jetzt neu gegeben und bildet den Hang des Berges ab indem sich der Saatgut Tresor befindet man kann sich auch gut vorstellen wo die eigentlich liegt denn 2 0 0 ist genau der Punkt A und die Bewegung von A aus 0 nach vorne und hinten ganze Seite und 5 hoch führt uns genau von A zu h und 1,00 das kommt einfach nur nach vorne auf der x1-achse das heißt wir haben hier schon unsere schönen Richtungsvektoren unsere Leiter geht vom Ursprung nur rüber zu a und damit ist das so eine schräg hochlaufende Ebene so kann man sich das vorstellen die natürlich in alle Richtungen unendlich weitergeht und definitiv sieht man in der Skizze schon unsere pinke gerade geht trifft und zwar sieht man hier schon wunderbar am Punkt h und genau das sollen wir jetzt auch zeigen wir wissen laut Aufgabe schon dass diese beiden g&e nur einen einzigen Schnittpunkt haben und wir müssen nachweisen das Haar dieser Schnittpunkt ist und sagen was das im Saft Zusammenhang bedeutet generell wie berechnet man den Schnittpunkt von zwei Gebilden egal was also gerade gerade Ebene Ebene man setzt immer gleich wie beim Schnittpunkt in der anal ist es von zwei Funktionen das heißt man könnte hier die Gerade g gleich die Ebene E setzen ein riesiges fettes LGS draus machen und das lösen aber auch hier Zeit sparen ihr kennt den Schnittpunkt ja schon ihr müsst ihn also nicht berechnen ihr könnt nachweisen dass es der Schnittpunkt ist in dem ihr einfach zeigt dass er auf G und auf E liegt das ist eine sogenannte punktprobe was wir machen und die kann man hier extrem verkürzen wir könnten Haar natürlich einmal als Vektor x in E und einmal als Vektor x in G einsetzen und zeigen dass die punktprobe aufgeht dass also aus dem gebildeten linearen Gleichungssystem logische Werte für die Parameter rauskommen wir können es aber auch einfach sehen bei so einfachen Punkten dann können wir einfach sagen ha liegt auf G weil wir schon sehen dass es mit eher gleich eins klappt seht ihr wenn ich eine 1 einsetze in die gerade kommt tatsächlich sofort der Vektor oha raus also der Ortsvektor zu haben und damit wissen wir ha liegt auf G genauso kann man sehen dass Haar auch in eh liegen muss weil es für Tee gleich 1 und S = 0 klappt wenn ich in 1 und deine Null einsetze kommt nämlich perfekt der Vektor oha wieder raus und damit liegt auch h in der Ebene E und wenn jetzt h in beiden drin liegt na ja dann ist H auch automatisch ein Schnittpunkt und was bedeutet dieser Schnittpunkt jetzt für uns im Saft Zusammenhang da sollte man sich jetzt noch mal vorstellen wie das Ganze aussah im Prinzip habt ihr ja hier die perfekte Abbildung gegeben gehabt das hier ist die Gerade g der Hang also das ganze hier ist die Ebene E und da wo die sich schneiden verschwindet quasi die Gebäudekante im Schneeberg und genau das habe ich auch aufgeschrieben im Sachzusammenhang ist Haar der Punkt an dem die Dachfläche des Gebäudes im Berghang verschwindet und damit haben wir uns auch durchgearbeitet durch die Essenzen der Analysis der Stochastik und der Vektor Rechnung natürlich gibt es noch viel viel mehr Themen aber das ist wirklich die Grundlage die Ihr unbedingt drauf haben müsst für mehr Details schaut mal in die Einzel Zusammenfassungen es gibt ein extra Video zur Stochastik eins zu analysis eins der Weg der Rechnung da geht's noch mal genauer ins Detail bei Fragen meldet euch jederzeit und glaubt an euch optimismus ist die halbe Miete ihr schafft das schon ciao