Overview
الدرس يشرح مفهوم النهاية في الرياضيات، ويستعرض طرق إيجادها باستخدام الجداول، التمثيل البياني، والطريقة الجبرية، مع حل عدة أمثلة توضيحية.
مفهوم النهاية وطرق إيجادها
- النهاية تُستخدم لتقدير قيمة الدوال عند نقاط غير معرفة أو عليها قيود.
- تُحسب النهاية بالاقتراب من النقطة من اليمين واليسار.
- يُمكن استخدام الجداول لحساب النهاية عبر اختيار قيم قريبة من النقطة المطلوبة.
- التمثيل البياني يُظهر قيمة النهاية بملاحظة اتجاه الدالة قرب النقطة.
أمثلة على حساب النهايات
- لحساب (\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2})، التعويض المباشر يعطي غير معرف (صفر على صفر).
- باستخدام الجدول، الاقتراب من 2 من اليمين يعطي 4، ومن اليسار أيضا يعطي 4، إذاً النهاية موجودة وتساوي 4.
- يمكن تبسيط الدالة جبرياً لتحليل العوامل وإلغاء الأجزاء المشتركة ثم التعويض بالقيمة المطلوبة.
نهاية غير موجودة أو غير معرفة
- إذا اختلفت قيمة النهاية من اليمين عن اليسار، تعتبر النهاية غير موجودة.
- المثال (\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5}{x - 2})، بالتعويض يعطي عدد مقسوم على صفر (غير معرف).
- بدراسة الاتجاهين (يمين ويسار)، إذا كان أحدهما موجب مالا نهاية والآخر سالب مالا نهاية فالنهاية غير موجودة.
استخدام التمثيل البياني في تحديد النهاية
- تُحدد النهاية عند نقطة بمقارنة قيم الدالة من اليمين واليسار.
- عند وجود فجوة أو اختلاف في القيم، النهاية تعتبر غير موجودة.
- إذا كان الطرفان متطابقان، النهاية موجودة وتساوي تلك القيمة.
تمارين وأمثلة إضافية
- تحليل البسط والمقام إلى عوامل لتسهيل إيجاد النهاية.
- مقارنة نهاية الدالة عند نقاط مختلفة باستخدام التعويض المباشر والتحليل والتمثيل البياني والجداول.
- في بعض الحالات، تكون النهاية موجودة إذا تطابقت من الجانبين، أو غير موجودة إذا اختلفتا.
Key Terms & Definitions
- النهاية (Limit) — قيمة تقترب إليها الدالة عند اقتراب المتغير من قيمة معينة.
- الاقتراب من اليمين — تعني حساب النهاية من قيم أكبر من النقطة.
- الاقتراب من اليسار — تعني حساب النهاية من قيم أصغر من النقطة.
- غير معرفة — الدالة لا يمكن حسابها عند هذه النقطة (مثلاً عند القسمة على صفر).
Action Items / Next Steps
- حل المزيد من تمارين حساب النهايات باستخدام الطرق الثلاث (جدول، بياني، جبري).
- مراجعة طريقة تحليل العوامل للدوال الكسرية.
- قراءة ومراجعة شكل الدوال بيانياً لتحديد النهايات.