السلام عليكم ورحمة الله وبركاته أهلا بكم في درس جديد درسنا مفهوم النهاية عشان نوصل لمفهوم النهاية هنستخدم طريقة الجدول وهنستخدم الطريقة البيانية وهنستخدم الطريقة الجبرية درسنا قبل كده مجموعة من أنواع الدوال بعض الدوال كان بيكون فيها قيود على المجال أو بتكون غير معرفة عند بعض النقاط كنا بنستخدم النهايات عشان نقدر نقترب من النقطة اللي كانت بتسبب غير معرف بالنسبة للدوال اللي فيها بسط ومقام أو فيها قيود على المجال كنا بنقترب من العدد من اليمين ومن اليسار علشان نقدر نوصل لقيمة تكون قيمة تقديرية لقيمة النهاية المسان رقم واحد إيجاد قيمة النهايات إوجد قيمة limit الـ x تتجي إلى 2 x تربية نقص 4 على x نقص 2 يبقى هنا عايزني أدرس الدلة عند نقطة محددة اللي هي نقطة الـ x بتساوي 2 فبداية لازم أروح أعوض في الدلة عند f الـ 2 واشوف هل الدلة موجودة ولا لا يبقى هنا احط اتنين تربيع ناقص اربعة على اتنين ناقص اتنين لاحظوا في المقام هيكون هنا صفر وفي البسط اتنين تربيع يعني اربعة اربعة ناقص اربعة كمان هتكون بتساوي صفر معناها انه الدلة هتكون في المقام بيساوي صفر معناها الدلة هتكون غير معرفة طيب الحل هنا عايزين نقترب من نقطة الاتنين المطلوبة اللي احنا بالتعويض وجدناها غير معرفة عشان نقدر ان احنا نوصل لقيمة تقريبية لقيمة النهاية هنا هبدأ أستخدم طريقة الجدول في الاقتراب من اليمين ومن اليسار من العدد 2 عشان أحدد القيمة التقريبية للنهاية فهنا الاقتراب من الجهة اليمين هبدأ أزود على العدد 2 في البداية هزود 2 زائد 0.1 عشان أقترب يبقى هيديني 2.1 اللي هي القيمة الموجودة هنا اللي هي القيمة الأولى اللي في الجدول لما عوضت بيها في الدلة هتديني 4.1 لو أخدنا قيمة أخرى القيمة اللي بعدها هزود على الاثنين هزود 0.01 اللي هو 1 من 100 يبقى أنا زودت 1 من 10 بعد كده زودت 1 من 100 اللي هي هتديني 2.01 عوض بيها في الدلة هتديني 4.01 هاخد قيمة أخرى تكون أقرب يبقى ممكن أجمع على الاثنين 0.001 اللي هو 1 من 1000 هيديني بالتعويض في الدلة 4.001 2 زائد 0.0001 اللي هو 1 من 10,000 هتبقى عندي 2.0001 عوض بها في الدلة هتديني 4.0001 فنلاحظ الاقتراب من اليمين هيكون بيتجه تقريبا إلى العدد 4 يبقى هنا نقدر نقول أنه limit لما الـ X تتجه إلى العدد 2 من الجهة الموجبة البلاص اللي موجودة فوق الاتنين دي معناها من اتجاه اليمين او من الجهة الموجبة هتكون بتقترب من العدد اربع. يبقى ده النهاية من جهة اليمين. يبقى هنا ده الجدول من جهة اليمين.
هنروح الجدول الاخر هيكون دراسة النهاية من جهة اليسار. فهنبدأ ان احنا نطرح النقاط اللي احنا جمعناها قبل كده يبقى عندي العدد اتنين هطرح منه صفر بوينت واحد. هيديني واحد بوينت تسعة هعوض فيه الدلب واحد بوينت تسعة هيديني تلاتة بوينت تسعة هاخد رقم اخر اقترب اكتر من الاتنين هطرح من الاتنين صفر بوينت صفر واحد واحد من مية هيديني واحد بوينت تسعة وتسعين هعوض فيه في الدلب هيديني تلاتة بوينت تسعة وتسعين وهكزا لحد ما وصل للقيمة قيمة الاقتراب لاقصى حاجة اللي هي واحد بوينت تسعة تسعة تسعة تسعة.
هيكون الناتج كمان بيقترب من. الاربع. يبقى هنا اقدر اقول انه تتجه الى اتنين من الجهة من اليسار.
هيكون عندي تتجه الى اتنين من اليسار. بتساوي اربعة. قيمة النهاية هنا عشان اعمل لها تقدير بالسخدام الجدول لازم النهاية من اليمين تطابق النهاية من اليسار عشان اقدر اقول انه النهاية موجودة وبتقترب من العدد نفسه اللي هو بيساوي اربع.
يبقى هنا اقدر اكتب لما تتجه الى اتنين. الناتج ده هيكون عبارة عن مقرنة النهاية من اليمين مع النهاية من اليسار إذا تطابقوا معنها النهاية بتساوي أربعة هنا على التمثيل البياني لو لاحظنا أنه عند العدد اتنين طلعنا على التمثيل البياني هنلاقي فجوة الفجوة دي وقابلها العدد أربعة اللي احنا وصلنا له باستخدام الجدول وكمان لو اقتربنا من اليمين يعني هناخد قيم كده نطلع على التمثيل البياني قيم قريبة من العدد 2 هنلاقي إن هي كمان بتقترب من العدد 4 لو خدنا أعداد على يسار العدد 2 على التمثيل البياني هنلاحظ كمان إن هي بتقترب من العدد 4 يبقى معناها إنها عند العدد 2 بتقترب من العدد 4 أثبتنا باستخدام الجدول وأثبتنا باستخدام التمثيل البياني بعد كده هنستخدم الطريقة الجبرية مديني هنا لمت الـ x تتجي لـ 2 f of x بتساوي لمت الـ x تقول إلى 2 x تربية ماقص 4 على x ناقص اتنين. هنا بما انه فيها اكس تربيع نقدر ان احنا نبسط الدلال ونوصلها الى ابسط صورة ازا كان فيها قيم يمكن ان هي تحلل.
نقدر نحللها على مودو خمسة وتلاتة ونطلع القيم اكس اللي هي عندي هتطلع اكس بتساوي اتنين واكس بتساوي سالب اتنين. يجب عندي اكس ناقص اتنين وعندي اكس زائد اتنين. بعد ما حللت الاكس تربية ماقص اربعة على الالة هتديني اكس بتساوي اتنين واكس بتساوي سالب اتنين.
بعد كده هحط المقوم. اللي هو x-2 هنلاحظ انه فيه قيم مشتركة يبقى هنا هحزف x-2 مع x-2 يبقى المتبقى عندي x زائد 2 يبقى دي التبسيط النهائي للدلة والقوس اللي احنا حزفناه هو عبارة عن الفجوة اللي موجودة في التمثيل البياني اللي هي تمثل الـx بتساوي موجب 2 يبقى دي الطريقة الجبرية اللي احنا هنا بعد ما عملنا تبسيط للبدالة نقدر ان احنا نعود بالقيمة الليمت يبقى هنا لو جينا نعود مرة اخرى بعد التبسيط يبقى هنا ليمت الـ X تتجي الى 2 لو عوضنا مكان الـ X بـ 2 زائد 2 هتساوي 4 اللي هي نفس القيمة اللي وصلنا لها بالاقتراب من خلال استخدام الجدول ومن خلال التمثيل البيان بدها تكون الطريقة الجبري نشوف تمرين استخدم الدليل العددي والبياني لتخمين القيم لكل نهاية وإذا أمكن استخدم التحليل إلى العوامل اللي بتحقق من صحة تخمينك سؤال أول limit الـ x تتجي ل 1 x تربيع نقص 1 على x نقص 1 لو عوضنا تعويض مباشر هيبقى عندي f الـ 1 بتساوي 1 تربيع نقص 1 على 1 نقص 1 هيديني صفرة على صفرة هتكون غير معرفة فهنا ممكن ابدأ استخدم يأمى التمثيل البياني يأمى القيم العددية او ممكن ان ابدأ اعمل تحليل الى العوامل هنا بما انه في عندي اكس تربيع في البسط ممكن احللها الى عوامل هيبقى عندي limit الاخس تتجي الى واحد هحط على الالة مودو 5 و 3 هدخل معاملات معامل اكس تربيع اللي هو واحد معامل الاخس مش موجود هحط صف الحد السابق اللي هو سالب واحد هيديني الـ X الأولى بتساوي 1 والـ X الثانية بتساوي سالب 1 احطها داخل اكواس بعكس الاشارة يبقى هنا اكس ناقص واحد وهنا اكس زائد واحد المقام زي ما هو اكس ناقص واحد هنا هيحصل اختصار انه هنا اكس ناقص واحد هتروح مع اكس ناقص واحد وهيكون المتبقي عندي اللي هو اكس زائد واحد هنا بعد كده هبدأ ان انا اعود تعويض مباشر في الدلة يبقى هنا لمت ال اكس تتجي الى واحد اف اف اكس بتساوي اعود تعويض مباشر يبقى واحد زائد الواحد بتساوي اتنين يبقى معناها انه النهاية هنا هتساوي 2 بعد استخدام تحليل إلى العوام سواء الرقم 2 لمت الـ X تتجي إلى سالب 1 X تربيع زائد X على X تربيع نقص X نقص 2 لو عوضنا تعويض مباشر قيمة اللمت اللي هي الـ X تتجي إلى سالب 1 هيكون عندي سالب 1 تربيع زائد سالب 1 على سالب 1 تربيع نقص سالب 1 نقص 2 أحطها كلها على الآلة هتديني غير معرف لأنها هيكون في صفر في المقام استخدم طريقة التحليل إلى عوامل هروح على الآلة هحلل البسط وهحلل المقام يبقى عندي هنا x تربية زائد x هنا الـ x بتساوي 0 والـ x بتساوي سالب 1 تحليل المقام هيكون عندي x تربية مقص x مقص 2 هيكون عندي الـ x الأولى بتساوي سالب 1 والـ x الثاني بتساوي 2 يبقى هنا هروح أكتب الليمت بعد التحليل ليمت الـ x تتجي إلى سالب 1 احط طبعا الاقواس بعكس الاشارة. يبقى عندي الاس بتساوي صفر فاحط على طول مباشر الاكس مش داخل اقواس. هفتح قوس واحط الاس بتساوي سالب واحد بعكس الاشارة. يبقى اس زائد واحد.
في المقام عندي سالب واحد واثنين. يبقى هنا اس زائد واحد كمان بعكس الاشارة. واكس ناقص اتنين.
هنا في اختصارات انه اس زائد واحد هتروح مع زائد واحد وهكتب المتبقي. هيكون متبقي عندي. الـ X تتجه إلى سالب 1 X تقسيم X ناقص 2 سنبدأ بعمل عملية التعويض لكي نرى هل المت موجود المت الـ X تتجه إلى سالب 1 يبقى عندي سالب 1 في البسط وسالب 1 ناقص 2 يبقى النتيجة سوية 1 على 3 ستكون قيمة النهاية بعد استخدام التحليل إلى عوانج مسر رقم 2 النحيات غير الموجودة يوجد قيمة لمت الـ X تتجه إلى 2 X تربية ناقص 5 على X ناقص 2 في البداية لازم نعمل عملية تعويد مباشر وخيمة الـ X يبقى هنا G2 معوض مباشر في الدلة يبقى عندي 2 تربيع نقص 5 على 2 نقص 2 يبقى عندي هنا سالب 1 على صفر معناها ان هي غير معرفة غير معرفة عندي العدد X بتساوي 2 لو شفنا التمثيل البياني للدلة هنلاقيه عبارة عن قطعتين في انفصال عند نقطة الـ X بتساوي 2 لو من على التمثيل البياني درسنا النهاية مشينا على محور الـ X نقترب من العدد 2 هنلاقي إنه السهم من اليسار متجي إلى أعلى عند موجب مال نهاية ومن اليمين هنلاقي الاقتراب من العدد 2 السهم متجي إلى سالب مال نهاية معناها إنه موجب مال نهاية من اليسار مع سالب مال نهاية من اليمين معناها إنه من التمثيل البياني إنه النهاية غير موجودة درسنا من التمثيل البياني عوضنا كمان غير موجودة خلينا نشوف طريقة الجدول الجدول الأول هيكون هو دراسة النهاية من الـ X تتجي إلى 2 من الجهة اليسار هيبقى عندي G of X بتساوي هاخد العدد 2 حتى أنه أطرح منه 0.1 هيديني 1.9 هروح على الدلة هعوض في الدلة قيمة الـ X 1.9 هيديني 13.9 هستخدم بما اخرى اقترب بها من العدد اتنين يبقى اتنين ناقص صفر بوينت صفر واحد هيديني واحد بوينت تسعة وتسعين اعوض بها في الدلة مكان قيمة الاكس هيديني مية وتلاتة وهكزا هبدأ اطرح واحد من الف واحد من عشر تلاف من الاتنين النواتج بعود بيها في الدل مكان خانق الـ X نلاحظ الأرقام بدأ من 13 ومنتهية عند العشرة تلاف معناها أن هي متجهة إلى الأعداد الكبيرة عند اتجاه الموجب ملنها لأنه العدد الناتج عدد موجب معناها أنه متجه لأعداد موجب لو درسنا النهاية من جهة اليمين يبقى limit LX تتجه الـ 2 من جهة اليمين G of X سنبدأ من العدد 2 سنزيد على 2 2 زائد 0.1 ستعطينا 2.1 سنعوض بها في الدلة ستعطينا سالب 5.9 وهكذا نبدأ نزود 0.01 على 2 ستعطينا 2.01 ستعوض بها في الدلة ستعطينا سالب 95.99 لاحظوا مع الاقتراب من العدد 2 أكثر جمعنا على 2 0.1 من 10.000 سوف يضع سالب 9995 بوينت 9999 يعني أنه يتجه إلى أعداد صغيرة جدا من السالب مالا نهاية معناها أنه النهاية من اليسار ستكون موجب مالا نهاية والنهاية من اليمين ستكون سالب مالا نهاية مش متطبقين يبقى معناها أنه لمت الـ X تتجه إلى 2 ستكون غير موجود يبقى هنا سنقول أنه لمت الـ X تتجه إلى 2 بدون كتابة الموجب والسالب فوق الـ 2 موسيقى G of X هتكون غير موجود مرسال رقم 3 تحديد النهايات بيانيا استخدم التمثيل البياني في الشكل 2.8 لتحديد limit الـ X تتجي إلى الواحد من اليسار F of X limit الـ X تتجي إلى الواحد من اليمين limit الـ X تتجي إلى واحد و limit الـ X تتجي إلى سالب واحد هنا لما يقول لي limit الـ X تتجي إلى واحد معناها أنه هو عايز حاجتين عايز limit ال اكس تتجه الى واحد من اليسار و اقارنه مع ال اكس تتجه الى واحد من اليمين. لو الاتنين متطبقين بقدر اقول انه ال اكس تتجه الى واحد بتكون موجودة.
فهو هنا طالب مني ال اكس عند الواحد من اليسار وعند الواحد من اليمين بعدين هطبقكم مع بعض هيديني المطلوب التالت اللي هو ال اكس تتجه الى واحد. فنروح عند العدد واحد هيكون مكانه هنا على محور الايس. بعد كده علشان ندرس الدلة من اليسار هنروح عند نقطة الواحد من اتجاه اليسار وهنشوف الطرف الموجود في اليسار هنلاقيه القيمة اللي هي عندها الفجوة الفجوة ملناش علاقة بيها انا ليه القيمة المقابلة ليها على محور الواي اللي هي هنا هتساوي اتنين يبقى هنا لو طلعت كده الطرف اللي هو جهة اليسار اللي هو متجه جهة اليسار بالنسبة لمقطة الواحد يقابله على محور الواي العدد اتنين.
يبقى هنا معناها انه اني هقدر اقول انه لميت الاس من اليسار. الاس تتجي لواحد من اليسار. هتكون بتساوي اتنين.
هنروح عند نقطة الواحد عشان ندرس لميت الاس تتجي لواحد من اليمين. عند نقطة الواحد من اتجاه اليمين الاتجاه اليمين. هنلاقي طرف اخر في الاسفل.
عند النقطة المغلقة هيقابلها على محور الواي. قيمتها قيمة الواي عندها هي قيمة السالب واحد. يبقى من الجهة اليمين هتساوي سالب واحد بما انه النهاية من اليسار لا تطابق النهاية من اليمين يبقى هقول انه limit الـ x تتجي الى واحد f of x هتكون غير موجود يبقى هنا مقدرش احدد نهاية الـ x تتجي الى واحد بدون ما اوجد النهاية من اليمين واطبقها مع النهاية من اليسار المطلوب اللي بعد كده limit الـ x تتجي الى سالب واحد معناها انه عايز من حاجتين limit الـ X تتجه إلى سالب واحد من جهة اليسار وعايز كمان limit الـ X تتجه إلى سالب واحد من جهة اليمين هنروح عند نقطة السالب واحد من جهة اليسار هنطلع لحد النقطة اللي هي المقابلة للسالب واحد من جهة اليسار هيكون بالشكل ده يقابلها العدد واحد في محور الوا يبقى هنا بتساوي واحد لو قررنا نفس الخطوات بالنسبة للطرف من جهة اليمين يبقى ده السالب واحد من جهة اليمين قيمة النقطة المقابلة لها على الواي بتساوي واحد بما انه هنا limit الـ x تتجي الى سالب واحد وجدنا من اليسار ومن اليمين هما الاتنين متطبقين وبتساوي الواحد اقدر اقول انه limit الـ x تتجي الى سالب واحد الـ f of x بتساوي واحد يبقى هنا النهاية فقط تكون موجودة اذا طبقنا اليمين واليسار وطلع نفس الرقم نقول إنه هي موجود نشوف تمرين آخر حدد كل نهاية أو اسكر عدم وجودها في كل من ميل سؤال رقم 7 لمت الـ X تتجي إلى صفر من جهة اليسار هنروح عند الصفر عند الصفر في عندي نقطة مغلقة إلى أسفل ونقطة مفتوحة إلى أعلى بما أنه طالب مني إلجاه اليسار يبقى أنا لازم أكون في اتجاه اليسار على اليسار من نقطة الصفر التمثيل بياني فوق مفيش على اليسار التمثيل بياني إلى أسفل يبقى ده هو اتجاه اليسار بالنسبة لنقطة الصفر فهنا القيمة اللي موجودة ويقابلها عند نقطة الصفر هي السالب 2 يبقى هنا هكتب أنه النهاية عند الصفر من اليسار بتساوي سالب 2 limit x عند السفر من اليمين يبقى f of x متساوي سأذهب إلى نقطة 0 و أتجاه اليمين حتى لو كانت الفجوة مغلقة أو مفتوحة سأقوم بمقابلها عند محور الوا يكون هنا قيمة قيمة X تتجه إلى 0 من جهة اليمين 2 بعد ذلك أطلب مني قيام بقيمة X تتجه إلى 0 انه بطلب مني اقارن النهاية من اليمين مع النهاية من اليسار اللي احنا وجدناها.
من اليسار سالب 2 ومن اليمين 2 معناها أنه النهاية عند الصفرة هتكون غير موجودة نشوف الفرع دي لميت LX تتجي لسالب 2 من جهة اليسار هنروح عند LX بتساوي سالب 2 هنروح من جهة اليسار هنصعد لحد التمثيل البياني هيقابله العدد الموجود على الواي اللي هو العدد 2 هنا بيساوي 2 من جهة اليسار limit x تتجه لسالب 2 من جهة اليمين هنروح عند السالب 2 من جهة اليمين هنصعد إلى أعلى عند التمثيل البياني هيقابل التمثيل البياني بالعدد 2 يبقى هنا بتساوي 2 المطلوب f هيكون limit x تتجه لسالب 2 معناها أنه هو بيقول لي أقارن النهاية من اليمين من اليسار مع النهاية من اليمين لو هم متطبقين يبقى معناها النهاية موجودة وهنا هيكون النهاية متطبقة وبتساوي 2 بعد كده الفرع G لمت الـ X تتجي إلى سالب 1 F of X هنا معناه أنه هو يطلب مني لمت الـ X تتجي إلى سالب 1 معناها أنه أنا لازم أدرس النهاية من اليمين ومن اليسار وأقارنهم مع بعض يبقى أروح عند السالب 1 اللي هي النقطة الموجودة هنا لو اتجهت من اليسار هلاقي أنه النقطة دي بتقترب من الصفر لو اتجهت من اليمين هلاقي كمان أنه هي بتتجي إلى الصفر معناها أنه من اليمين ومن اليسار نقطة الصفر يبقى معناها أنه الليمت من اليمين ومن اليسار متطابق اللي هو بيساوي الصفر ليمت الـ X تتجي إلى 1 من جهة اليسار يبقى نروح عند العدد 1 من جهة اليسار اللي هو من الجهة الموجودة هنا هنصعد إلى التمثيل البياني هنلاحظ أنه هو يقابل العدد 1 في الـ Y يبقى من اليسار هنا بيساوي 1 نشوف سؤال رقم 8 ليمت الـ X تتجي إلى 1 من اليسار حلينه اللي هو بيساوي هنا واحد. لمت الـ X تتجي إلى 1 من جهة اليمين هنا الـ 1 من جهة اليمين العدد المقابل ليه؟ اللي هو الـ 1 يبقى من جهة اليمين كمان بيساوي 1 ده هيحللنا السؤال في الفرع C لمت الـ X تتجي إلى 1 من اليمين تطابق اليسار يبقى معناها النهاية بتساوي 1 المطلوب دي لمت الـ X تتجي إلى 2 من اليسار هنا العدد 2 من اليسار اللي هو من الاتجاه ده سننزل الى اسفل سنجد النقطة اليمنى اليسار وهي القطعة المتجهة باتجاه اليسار يقابلها على محور الواي السالب واحد يبقى هنا لمت الاتنين من اليسار يساوي سالب واحد الفرع E لمت الـ X تتجه الى 2 من جهة اليمين F سنذهب الى العدد 2 ونرى من جهة اليمين ستكون هذه القطعة المتجهة جهة اليمين سنصعد الى الاعلى عند النقطة ونتحدد القيمة المقابلة لها عند محور الواي اللي هي هنا بتساوي 3 يبقى هنا بتساوي العدد 3 لميت الـ X تتجي إلى 2 يعني معناها عايزني أقارن اليمين مع اليسار هيكونوا مختلفين إذن النهاية عند لميت الـ X تتجي إلى 2 هتكون غير موجودة