Notes de la conférence de professeur Issa Aleh

Chapitre 2 : Structure électronique des matériaux

Partie A : Récapitulatif

• Structure électronique, surface du fil fermé
• Niveaux fermés
• Bandes d'énergie permises et interdites

Partie B : Effet des potentiels cristallins

Potentiel cristallin

• Un cristal a un motif avec une maille élémentaire
• Maille élémentaire en 3D représentée par 3 vecteurs : A, B, C
• Formule : MA + NB + P*C (M, N, P = entiers relatifs)
• Le potentiel cristallin est périodique*

Équation de Schrödinger

• Forme :
  [ -\nabla^2 \psi + V(r) \psi = E \psi ]
• V(r) = potentiel périodique appliqué à la fonction d'onde de l'électron

Théorème de Bloch

• La fonction d'onde de l'électron est :
  [ \psi(r) = e^{ik\cdot r} u(r) ]
• (u(r)) est périodique
• Dans le cas d'un électron libre, la fonction d'onde est une onde plane

Conditions aux limites

Conditions cycliques (Born-Von Karman)

• Pour un cristal linéaire à 1D, (\psi(x) = \psi(x+n))
• En 3D, (\psi(x,y,z) = \psi(x+L_x,y,z))

Conditions fixes

• La probabilité de trouver l'électron à l'extérieur d'un cristal est nulle
• (\psi) est nul sur les surfaces du cristal

Quantification des vecteurs d'onde

• (k_x = \frac{2\pi n_x}{L_x}), (k_y = \frac{2\pi n_y}{L_y}), (k_z = \frac{2\pi n_z}{L_z})
• Les composantes du vecteur d'onde sont quantifiées et ne prennent pas n'importe quelle valeur

Surface de Fermi

• La sphère de Fermi à T=0 contient tous les électrons jusqu'à l'énergie de Fermi (E_F)
• (N = \frac{V_{sphere}}{V_{etat}})
• Volume de la sphère : (\frac{4}{3}\pi k_F^3)
• Volume d'un état : (\frac{2\pi}{L_x}\cdot \frac{2\pi}{L_y}\cdot \frac{2\pi}{L_z})
• Densité d'états (n = \frac{N}{V})
• (k_F = \sqrt{3\pi^2 n})

Énergie de Fermi

• (E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m_0})
• À T=0, tous les électrons se trouvent entre 0 et (E_F)
• Énergie de Fermi pour les métaux : ordre de 10 eV

Densité d'état

• En 3D, la densité d'état varie comme (E^{1/2})
• En 2D, densité d'état constante
• En 1D, densité d'état décroît comme (E^{1/2})

Conclusion

• Les résultats permettent d'exprimer des grandeurs physiques importantes, notamment la conductivité électrique
• La prochaine fois : étude des propriétés à température non nulle

Remerciements

• Merci pour votre attention et bon courage!