Conférence sur la structure électronique

Bien, bonjour, je suis le professeur Issa Aleh, donc nous sommes toujours sur le chapitre numéro 2. Alors la dernière fois je vous ai présenté la partie A, la structure électronique des matériaux, dans laquelle nous avons vu un certain nombre de choses, la surface du fil. fermé, le niveau des fermés, les bandes d'énergie permises, les bandes d'énergie interdites. Maintenant, on va passer à la partie B et on va étudier l'effet des potentiels cristallins. Donc, je vais passer directement à la page 18. À la page 18. 18, à la page 18, donc la dernière fois on était arrivé à là. Donc la page 18, donc les fils du potentiel cristal. Alors dans un cristal, vous avez toujours un motif, vous avez une maille élémentaire. Alors la maille élémentaire, elle est représentée dans le cas tridimensionnel, à trois dimensions, par trois vecteurs A, B et C. Donc tous vecteurs du réseau, on peut l'exprimer sous forme M fois A plus N fois B plus P fois C, avec bien évidemment M et N et P sont des entiers relatifs 0. plus ou moins 1, plus ou moins 2, ABC, nous avons dit, c'est la maille élémentaire de ce réseau direct. Alors, puisqu'ici, c'est un cristal, donc le potentiel, il a une certaine période. Il a une certaine période, par exemple, ici, vous avez, pour un cristal à une dimension, ça, c'est les nœuds, d'accord, dans lesquels on va placer le motif, et donc, vous avez un potentiel qui a cette forme-là. Alors, c'est quelque chose qui est périodique, donc on peut écrire que le potentiel cristallin est égal au potentiel cristallin au point R, au point R plus le vecteur translation. Donc, il a la périodicité des réseaux. Alors, quelle est l'équation de Schrödinger ? C'est la Laplacien plus l'énergie électorale L'énergie d'interaction, l'énergie potentielle qui est périodique, appliquée à la fonction d'onde de l'électron, est égale à l'énergie de l'électron fois la fonction d'onde de l'électron. Alors il y a un théorème intéressant qui s'appelle le théorème de Bloch. Il dit que la fonction d'onde de l'électron, c'est l'onde pleine que nous avons vue la semaine dernière pour l'électron libre, fois quelque chose, fois une fonction. Et que cette fonction-là, elle est périodique. Cette fonction-là, c'est une enveloppe, c'est quelque chose... à la position r, c'est la même chose qu'à la position r plus le vector r. Donc, ça c'est le théorème de Bloch. Si l'électrolyte est libre, la fonction d'onde, c'est une onde plane. Nous l'avons vu la dernière fois. Mais maintenant, l'électrolyte n'est pas libre parce qu'il y a une énergie potentielle, il y a du air, et donc la fonction d'onde, c'est l'onde plane fois une fonction enveloppe, et puis cette fonction-là est électronique. Donc ça, c'est ce qu'on appelle le théorème de Bloch. Alors, dans le cas de l'électron libre que nous avons vu, que la fonction de l'oxygène en plein, ça veut dire que ça c'est une constante. Alors, la quantification des vecteurs d'onde de l'électron dans le cristal. Alors, on peut adopter deux types de conditions, aux limites. La première condition, c'est ce qu'on appelle les conditions cycliques ou bien périodiques de Born-Vohn-Karmen. tout simplement abréviation bivika born von karmel alors qu'est ce qu'il dit imaginez que vous avez un cristal linéaire à une dimension de longueur n alors imaginez que vous prenez la partie que vous vous avez ici, vous la ramenez sur la partie initiale. Donc vous allez obtenir ça. Et donc x, il va être comme ça. Si vous prenez une position x, vous faites le tour, vous arrivez sur la même position, et la valeur de x, c'est combien ? C'est x plus la longueur. Ça veut dire c'est x plus n. Et donc, puisque c'est la même position, on peut dire que la fonction d'onde à la position x, c'est la même chose que la fonction d'onde à la position x plus n. Donc la fonction d'onde à la position x, c'est la fonction d'onde à la position x plus n. Donc ça, c'est... C'est une condition cyclique. Ça, si vous avez un cristal à une dimension. Mais si vous avez un cristal à trois dimensions, ψ du x, y, z, c'est la même chose si vous remplacez x par x plus y, x. C'est la même chose si vous remplacez y par y plus y. C'est la même chose si vous remplacez z par z plus y, z. Ça veut dire que vous avez un cristal de longueur, vous avez un parallélipopéd rectangle de côté y, y, z. Ça, c'est ce qu'on appelle les conditions cycliques de Born-Volkermann. On peut vous demander d'utiliser aussi ce qu'on appelle les conditions libides fixes. Vous avez le cristal, l'électron est dedans, donc la probabilité de trouver l'électron à l'intérieur est différente de zéro, mais l'électron ne peut pas se trouver à l'extérieur. Et donc, puisque l'électron ne peut pas se trouver à l'extérieur, ça veut dire que la fonction d'onde de l'électron à l'extérieur est égale à zéro. Donc, en particulier sur les surfaces, la continuité de la fonction d'onde dit que ... la fonction d'onde sur cette surface est égale à 0. La fonction d'onde électronique sur cette surface est égale à 0. Et la fonction d'onde électronique sur cette surface est égale à 0. D'accord ? Donc, ce sont les équations aux limites fixes. Donc, dans un exercice, on peut vous demander d'utiliser les conditions cycliques bifixes. ou bien vous demander d'utiliser les conditions CLF, ou bien si on ne vous dit rien, vous avez le choix d'utiliser ce que vous voulez. Alors, par exemple, si j'utilise les conditions de Born-Von Karmen, donc ψ de x, y, z, si je remplace x par x plus l'x, ou bien je remplace y par y plus l'y, ou bien je remplace z par z plus lz, la fonction donne, je sais, que d'après le théorème du bloc, si l'exponentielle est kr fois la fonction qui dépend de r, r ça veut dire x, y, z, nous savons que cette fonction-là est périodique. Cette fonction est périodique, ça veut dire que si vous remplacez x par x plus y, c'est la même chose. Si vous remplacez y par y plus y, c'est la même chose. Si vous remplacez z par z plus z, c'est la même chose. D'accord ? Donc, ce que j'ai écrit ici, et donc, Et donc, ça veut dire, si vous traduisez la première équation ici, ik du x, yxz est égal à ik du x plus lx, yz, vous allez tomber sur cette équation. Exponentielle, ikx fois lx est égal à 1. Si vous interprétez cette équation, celle-ci avec celle-ci, ça avec ça, vous allez avoir cette deuxième expression. Si vous interprétez maintenant cette équation-là, ce terme-là, qui est égal à ce terme-là, vous allez avoir ici, ça. Alors exponentielle de ça est égale à 1, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que Kx fois Lx est 2pi fois 1x. Ici ça veut dire que Ky fois Ly c'est 2pi fois 1y. Ici ça veut dire que Kz fois Lz c'est 2pi fois Lz. Pourquoi ? Parce que ça c'est cosinus plus isinus. Alors vous avez cosinus de Kx fois Lx plus isinus de Kx fois Lx égale à 1. Ça veut dire que le sinus est égal à 0 et le cosinus est égal à 1. Alors le consigne de quelque chose est égal à 1, ça veut dire que ce quelque chose est égal à 2π fois nx. Et donc ça veut dire que kx est égal à 2π sur lx fois nx, ky est égal à 2π sur ly fois ny, et kz est égal à 2π sur lx fois nz. Si kx est égal à nz, ce sont des entiers qui appartiennent à z. Et donc, c'est quoi Kx, Ky, Kz ? Ce sont les composantes de K, ce sont les composantes des victoires d'ondes. Et qu'est-ce qu'on obtient ici ? On obtient que les composantes des victoires d'ondes sont quantifiées. Elles ne prennent pas n'importe quelle valeur, mais elles prennent des valeurs discrètes. 1, 1, 1, 1, 2, 0, moins 1, 1, et prendre des valeurs discrètes. Sauf, il y a quelque chose qui n'est pas acceptable. Une x, une y, une z ne peuvent pas être tous égales à 0. Je ne peux pas prendre ici 0, 0, Parce que si vous prenez une x égale à 0, une y égale à 0, une z égale à 0, vous allez avoir kx égale à 0, ky égale à 0 et kz égale à 0. Ça veut dire que le vecteur d'onde k de l'électron est égal à 0. Le vecteur d'onde de l'électron k égale à 0, ça veut dire qu'il n'y a pas d'électrons. Or, l'électron existe bien dans le cristal, donc il faut que nx, ny et nz ne soient pas tous nuls en même temps. Si vous avez ny égale à 0 et nz égale à 0, obligatoirement, nx doit être différent de 0. D'accord ? Donc, dans l'espace réciproque kx, ky, kz, quelles sont les valeurs de kx ? La première, c'est 0. La deuxième, c'est combien ? 2p sur lyx, 4p sur lyx, ainsi de suite. La même chose ici. Kx c'est quoi ? 0 si vous remplacez ça par 1 vous allez avoir 2pi sur y de là à là si vous remplacez ça par 2 vous allez avoir 4pi sur y ainsi de suite donc voici la répartition des valeurs possibles de Kx, c'est ce qu'on appelle les états ce qu'on appelle les états donc ça veut dire quoi ? euh Donc l'énergie, alors le vectordone est quantifié, et puisque l'énergie dépend du vectordone, ça veut dire que l'énergie est quantifiée. L'énergie de l'électron est quantifiée dans un cristal. D'accord ? L'approximation des électrons libres, nous l'avons déjà vue. Nous avons déjà vu l'électron libre, il faut que le potentiel soit égal à zéro. C'est une onde plane. Voici comment il varie l'énergie en fonction du k². Si vous tracez l'énergie en fonction du k, vous allez avoir une hyperbole, comme ça. Ça, c'est la surface de Fermi. Ça, nous l'avons déjà vue. la science avant. Alors, les valeurs possibles du Kx, c'est 2pi sur lnx, Kyx c'est 2pi sur lny, Kz c'est 2pi sur... d'après les conditions cycliques de BVK, Bourne-Von-Carmen. Et donc, Si vous prenez la sphère de Fermi, alors la sphère de Fermi, c'est quoi ? A t égale à zéro. Combien d'électrons vous avez ? Si vous prenez la surface de Fermi ici, à t égale à zéro, tous les électrons se retrouvent ici. Eh bien, tous les électrons sont ici. Il y a combien d'états ? C'est le volume de la sphère divisé par le volume d'un état. C'est quoi le volume de la sphère ? C'est 4 tiers de pi kf à la puissance 3. Donc, le volume de la sphère, c'est 4 tiers fois pi fois kf à la puissance 3. C'est quoi le volume d'un état ? état. Le volume d'un état, vous allez voir ici, 2pi sur Lx fois 2pi sur Ly fois 2pi sur Lz. Donc c'est 2pi sur Lx, Ly, Lz. Lx, Ly, Lz, c'est le volume du cristal. Donc vous allez voir, si vous prenez un carré, Pareil, si vous prenez un cube, vous allez avoir 2pi sur L fois 2pi sur L fois 2pi sur L, c'est 2pi à la pi sur L. Alors il faut multiplier par 2 à cause de la dégénérescence de spin. Parce que chaque état, il va contenir deux électrons. Donc à t égale à 0, tous les électrons se trouvent à l'intérieur de la surface de Fermi. Donc ça c'est le volume de la surface de Fermi. Ça c'est le volume d'un état. Le volume de la surface de Fermi... de la sphère, le volume monturé par la surface de ferme et divisé par le volume d'un état, ça fait le nombre d'états. Chaque état, il va contenir deux électrons. Donc, il faut multiplier par deux pour obtenir le nombre d'électrons. Alors, si on pose petit n est égal à grand N divisé par grand V, c'est la densité, ça nous permet de chercher Kf. Et donc, Kf, on va trouver quoi ? Kf est égal à 3 pi carré grand N sur grand V à la puissance entière. Grand N sur grand V, c'est petit n. Donc, ça veut dire que Kf est égal à 3 pi carré fois petit n à la puissance entière. Alors, on va essayer de trouver Kf. très important parce qu'expérimentalement, on peut misérer le petit n, et puisqu'on peut misérer le petit n, donc il suffit de remplacer ici pour chercher le kf. Vous connaissez kf, vous le remplacez ici, vous remplacez k par kf, et donc vous allez obtenir ef, l'énergie de Fermi, si h bar carré kf au carré, c'est un deuxième zéro, donc kf au carré, il faut prendre ça au carré, vous allez avoir assez la puissance de tiers. Donc l'énergie de Fermi, si h bar carré, c'est un deuxième zéro, 3 pi carré fois petit n à la puissance de tiers. Donc ça, c'est lorsque vous avez des électrons libres. lorsque vous avez les électrons libres, n'est-ce pas ? Électrons libres, d'accord. Bien, alors la densité d'état, jusqu'à la page... La densité d'état, alors la densité d'état, ça veut dire quoi ? L'énergie du K, l'énergie de l'électron, il dépend des vecteurs dans le K. Nous venons de voir que les valeurs du K... le victoire de K est quantifié, donc ils prennent des valeurs particulières de K. Et donc si je prends une valeur particulière de E et une valeur juste à côté de E, E plus 2 de E, combien d'états vous avez ici ? Donc on va poser soit N de E, D de E, le nombre d'électrons ayant une énergie E, comprise entre E et E plus D de E. Donc, combien d'électrons que vous avez ici, et combien d'états vous allez avoir ici ? Eh bien, ce N de E-là, il s'appelle la densité d'état. D'accord ? Alors, comment il faut faire ? On travaille toujours avec, dans le cas des électrons libres, je travaille dans le repère KX, KY, KZ. Ça, c'est la surface d'énergie constante, parce que vous avez toujours... Vous avez toujours E est égal à H bar carré K carré S R deuxième. Donc E constant, vous avez la surface interne, la surface sphérique interne. E plus D de E, vous avez la surface sphérique extérieure. Donc ce qui m'intéresse, c'est ce qui se passe entre E et E plus D de E. Combien d'états vous allez avoir ici ? Donc il faut faire le volume. Il faut chercher l'expression du volume de la partie composée entre les deux sphères divisé par le volume d'un état. Le volume d'un état c'est toujours 2 pi sur n à la puissance 3. C'est quoi le volume de la partie composée entre les deux ? On peut dire que c'est la surface interne. 4P fois K au carré, la surface de cette sphère, fois l'épiceur. Ça c'est K, ça c'est K plus D2K, donc l'épiceur c'est D2K. Ça c'est K, ça c'est K plus D2K, donc c'est quoi l'épiceur ici ? C'est D2K. Donc c'est quoi le volume de la... partie qu'on présente les deux sphères c'est la surface de la sphère interne c'est à dire 4 pi fois le rayon en carré c'est à dire fois k au carré fois les pi sur d2 k divisé par le volume d'un état 2pi sur l fois 2pi sur l fois 2pi sur l vous multipliez par deux pour trouver le nombre d'électrons parce que d2e nous avons dit c'est le nombre d'électrons d'accord si on avait dit le nombre des tailles faut pas multiplier par deux si on avait dit le nombre des tailles faut pas multiplier par deux donc ça c'est le nombre d'électrons alors k au carré on sait que e est égal à h au carré on sait que E est égal à H bar carré K au carré c'est R deuxième donc K au carré ici 2M sur H bar carré fois E donc je peux remplacer K au carré ici par 2M divisé par H bar carré fois E parce que je cherche à exprimer ceci en fonction de E et de E alors K c'est quoi K ? C'est racine de 2M fois E donc à quoi est égal D du K ? est égal à 2M sur H bar carré racine de E D de E à la pression 5 demi et c'est quoi D de E à la pression 5 demi ? c'est 2 du E sur deux racines de E. Donc on va remplacer ceci ici, et on va trouver que 1 de E de 2E est égal à V, L à la puissance 3, c'est V, divisé par 2 pi carré, deuxième zéro, c'est H bar carré, M c'est M zéro, M c'est M zéro, c'est la C'est la masse de l'électron libre, c'est-à-dire, c'est H bar carré, à la position 3,5, racine de E, D2. Et donc, en simplifiant par D2E, j'obtiens l'expression de 1,2. Et c'est quoi l'expression de 1,2 ? C'est V sur 2 pi carré, deuxième zéro, c'est H bar carré, carré à la puissance 3,5 racine 2. Donc ça, c'est la danse des états lorsqu'on est à 3 dimensions. Donc lorsqu'on est à 3 dimensions, la danse des états varie en fonction de l'énergie comme racine 2. Donc c'est une fonction qui est croissante. C'est une fonction qui est croissante comme racine 2. On va faire des calculs similaires, dans le cas bidimensionnel et dans le cas unidimensionnel. On va montrer que dans le cas bidimensionnel, on va travailler dans cet état qui est constant, il ne dépend pas de l'énergie, alors que dans le cas bidimensionnel, Dans le cas à une dimension, on va trouver qu'une de E, il décroît. Il varie comme un C racine de E. À une dimension, on va montrer qu'il varie comme un C racine de E. Donc, c'est dans ces détails très important parce qu'il permet d'exprimer des grandeurs physiques telles que la conductivité électrique et ainsi de suite, surtout pour les semi-conducteurs. Alors, vous avez ici quelques valeurs expérimentales à l'état fondamental. Alors, je prends quelques méthodes, tels que le lithium, le sodium, le césium, l'aluminium, le cuivre, l'argent, l'or. Donc, là-dedans, c'était des électrons. Combien d'électrons ? d'électrons vous avez par centimètre cube. Alors, par exemple, pour le lithium, vous avez 4,62 dis à la puissance 22 électrons par centimètre cube. Kf, alors si vous connaissez n, vous allez en déduire Kf, nous l'avons dit. Si vous connaissez ici... Si vous connaissez ici N, vous le remplacez par cette valeur, vous allez en déduire Kf et par conséquent, vous allez en déduire Ef. Donc tout ça, vous pouvez l'avoir à partir de ce tableau. Vous connaissez N, vous allez en déduire Kf et vous connaissez Kf, vous allez en déduire Ef. Vf et Tf, Vf c'est ce qu'on appelle la vitesse des électrons au niveau du Fermi. Tf, c'est la température des électrons au niveau du Fermi. Comment il est défini ? Vf, il est défini à partir de cette relation. Vous avez la quantité de mouvement CH par Kf qui est égale aussi à N0 fois Vf. VF. Et donc, ça veut dire que VF, c'est quoi ? C'est H bar sur M0 fois KF. Donc, si vous connaissez KF, vous le remplacez ici, vous remplacez H bar par sa valeur, M0 par sa valeur, et vous calculez, vous trouvez des valeurs de VF qui sont comme ça. Pour les lithium, on trouve des valeurs de 1,29, 10 à la puissance 8 mètres par seconde. TF, c'est la température au niveau du fermier, il est défini de cette manière. C'est une énergie, l'énergie thermique, c'est KBTF. Donc, TF, c'est quoi ? C'est l'énergie du fermier divisé par KB. L'énergie du fermier, vous l'avez ici, vous divisez par Kb. Kb, c'est la constante de Boltzmann. La constante de Boltzmann, c'est 1,38, 10 à la puissance moins 23 joules par Kelvin. D'accord ? Kb, c'est la constante de Boltzmann. C'est 1,38. D'accord ? C'est 1,38. Donc, si vous allez ici, vous allez voir la constante de Boltzmann. Vous allez voir. Boltzmann. Bon, je n'ai pas d'Internet, donc c'est pas... J'ai arrêté l'Internet parce que... D'accord, donc, la consommation de Boltzmann, je connais la valeur. Kb, c'est 1,38, c'est la puissance moins 23 joules par Kelvin. Vous obtenez ces valeurs. Alors, regardez l'ordre de grandeur de l'énergie du ferment en électron-volts pour tous les métaux. C'est combien ? 4, 3, 1, 11, 7, 5. Donc, on peut dire que pour les métaux, le... On peut dire que pour les métaux, l'énergie de Fermi est de l'ordre de 10 électron-volts. Un électron-volts, c'est 1,6-10-19 joules. D'accord ? Un électron-volts, c'est 1,6-10-19 joules. Bien. Voilà, voilà, voilà. Donc, l'état fondamental, à l'état fondamental, alors on peut, donc, si vous connaissez l'état, vous pouvez en déduire la concentration. C'est quoi une déduction ? c'est le nombre d'états dont l'énergie est comprise entre E plus DDE et comme tous les électrons se trouvent entre 0 et EF, donc il faut faire l'intégration pour trouver le N donc on va trouver le même résultat on peut calculer aussi l'énergie interne l'énergie totale l'énergie totale Voilà. Alors, l'énergie de tous les électrons, c'est combien ? Alors, n de e de e, c'est le nombre d'électrons. Vous multipliez par e, donc vous obtenez l'énergie de n des électrons. Et il faut intégrer en 3 de rire pour trouver l'énergie de tous les électrons. Donc, cette énergie-là, si vous divisez... par V, vous obtenez une valeur de 3 cinquièmes fois petit n fois F. Et si vous divisez ceci par n, pour trouver l'énergie par particules, vous allez trouver 3 cinquièmes de f vous avez trouvé 3 5e de l'oeuf ça c'est toujours trois dimensions si vous faites les mêmes quelques la deux dimensions ou bien à une dimension vous allez voir des expressions différentes mais j'ai toujours proportionné la f d'accord donc tout ce que nous avons vu là tout ce que nous avons vu et Je vais m'arrêter là, donc je vais jusqu'à 28. D'accord ? Tout ce que nous avons vu là, ça concerne l'état fondamental T égale à 0. La prochaine fois, on va essayer de voir ce qui se passe lorsqu'on n'est pas à l'état fondamental, lorsqu'on applique une température T. D'accord ? Voilà, donc je vais m'arrêter là. Je vous remercie et je vous souhaite du bon courage.

Alors dans un cristal, vous avez toujours un motif, vous avez une maille élémentaire. Alors la maille élémentaire, elle est représentée dans le cas tridimensionnel, à trois dimensions, par trois vecteurs A, B et C. Donc tous vecteurs du réseau, on peut l'exprimer sous forme M fois A plus N fois B plus P fois C, avec bien évidemment M et N et P sont des entiers relatifs 0. plus ou moins 1, plus ou moins 2, ABC, nous avons dit, c'est la maille élémentaire de ce réseau direct. Alors, puisqu'ici, c'est un cristal, donc le potentiel, il a une certaine période. Il a une certaine période, par exemple, ici, vous avez, pour un cristal à une dimension, ça, c'est les nœuds, d'accord, dans lesquels on va placer le motif, et donc, vous avez un potentiel qui a cette forme-là.

Alors, c'est quelque chose qui est périodique, donc on peut écrire que le potentiel cristallin est égal au potentiel cristallin au point R, au point R plus le vecteur translation. Donc, il a la périodicité des réseaux. Alors, quelle est l'équation de Schrödinger ?

C'est la Laplacien plus l'énergie électorale L'énergie d'interaction, l'énergie potentielle qui est périodique, appliquée à la fonction d'onde de l'électron, est égale à l'énergie de l'électron fois la fonction d'onde de l'électron. Alors il y a un théorème intéressant qui s'appelle le théorème de Bloch. Il dit que la fonction d'onde de l'électron, c'est l'onde pleine que nous avons vue la semaine dernière pour l'électron libre, fois quelque chose, fois une fonction. Et que cette fonction-là, elle est périodique. Cette fonction-là, c'est une enveloppe, c'est quelque chose...

à la position r, c'est la même chose qu'à la position r plus le vector r. Donc, ça c'est le théorème de Bloch. Si l'électrolyte est libre, la fonction d'onde, c'est une onde plane.

Nous l'avons vu la dernière fois. Mais maintenant, l'électrolyte n'est pas libre parce qu'il y a une énergie potentielle, il y a du air, et donc la fonction d'onde, c'est l'onde plane fois une fonction enveloppe, et puis cette fonction-là est électronique. Donc ça, c'est ce qu'on appelle le théorème de Bloch.

Alors, dans le cas de l'électron libre que nous avons vu, que la fonction de l'oxygène en plein, ça veut dire que ça c'est une constante. Alors, la quantification des vecteurs d'onde de l'électron dans le cristal. Alors, on peut adopter deux types de conditions, aux limites. La première condition, c'est ce qu'on appelle les conditions cycliques ou bien périodiques de Born-Vohn-Karmen. tout simplement abréviation bivika born von karmel alors qu'est ce qu'il dit imaginez que vous avez un cristal linéaire à une dimension de longueur n alors imaginez que vous prenez la partie que vous vous avez ici, vous la ramenez sur la partie initiale.

Donc vous allez obtenir ça. Et donc x, il va être comme ça. Si vous prenez une position x, vous faites le tour, vous arrivez sur la même position, et la valeur de x, c'est combien ? C'est x plus la longueur.

Ça veut dire c'est x plus n. Et donc, puisque c'est la même position, on peut dire que la fonction d'onde à la position x, c'est la même chose que la fonction d'onde à la position x plus n. Donc la fonction d'onde à la position x, c'est la fonction d'onde à la position x plus n.

Donc ça, c'est... C'est une condition cyclique. Ça, si vous avez un cristal à une dimension.

Mais si vous avez un cristal à trois dimensions, ψ du x, y, z, c'est la même chose si vous remplacez x par x plus y, x. C'est la même chose si vous remplacez y par y plus y. C'est la même chose si vous remplacez z par z plus y, z.

Ça veut dire que vous avez un cristal de longueur, vous avez un parallélipopéd rectangle de côté y, y, z. Ça, c'est ce qu'on appelle les conditions cycliques de Born-Volkermann. On peut vous demander d'utiliser aussi ce qu'on appelle les conditions libides fixes. Vous avez le cristal, l'électron est dedans, donc la probabilité de trouver l'électron à l'intérieur est différente de zéro, mais l'électron ne peut pas se trouver à l'extérieur.

Et donc, puisque l'électron ne peut pas se trouver à l'extérieur, ça veut dire que la fonction d'onde de l'électron à l'extérieur est égale à zéro. Donc, en particulier sur les surfaces, la continuité de la fonction d'onde dit que ... la fonction d'onde sur cette surface est égale à 0. La fonction d'onde électronique sur cette surface est égale à 0. Et la fonction d'onde électronique sur cette surface est égale à 0. D'accord ?

Donc, ce sont les équations aux limites fixes. Donc, dans un exercice, on peut vous demander d'utiliser les conditions cycliques bifixes. ou bien vous demander d'utiliser les conditions CLF, ou bien si on ne vous dit rien, vous avez le choix d'utiliser ce que vous voulez. Alors, par exemple, si j'utilise les conditions de Born-Von Karmen, donc ψ de x, y, z, si je remplace x par x plus l'x, ou bien je remplace y par y plus l'y, ou bien je remplace z par z plus lz, la fonction donne, je sais, que d'après le théorème du bloc, si l'exponentielle est kr fois la fonction qui dépend de r, r ça veut dire x, y, z, nous savons que cette fonction-là est périodique.

Cette fonction est périodique, ça veut dire que si vous remplacez x par x plus y, c'est la même chose. Si vous remplacez y par y plus y, c'est la même chose. Si vous remplacez z par z plus z, c'est la même chose.

D'accord ? Donc, ce que j'ai écrit ici, et donc, Et donc, ça veut dire, si vous traduisez la première équation ici, ik du x, yxz est égal à ik du x plus lx, yz, vous allez tomber sur cette équation. Exponentielle, ikx fois lx est égal à 1. Si vous interprétez cette équation, celle-ci avec celle-ci, ça avec ça, vous allez avoir cette deuxième expression. Si vous interprétez maintenant cette équation-là, ce terme-là, qui est égal à ce terme-là, vous allez avoir ici, ça.

Alors exponentielle de ça est égale à 1, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que Kx fois Lx est 2pi fois 1x. Ici ça veut dire que Ky fois Ly c'est 2pi fois 1y. Ici ça veut dire que Kz fois Lz c'est 2pi fois Lz. Pourquoi ?

Parce que ça c'est cosinus plus isinus. Alors vous avez cosinus de Kx fois Lx plus isinus de Kx fois Lx égale à 1. Ça veut dire que le sinus est égal à 0 et le cosinus est égal à 1. Alors le consigne de quelque chose est égal à 1, ça veut dire que ce quelque chose est égal à 2π fois nx. Et donc ça veut dire que kx est égal à 2π sur lx fois nx, ky est égal à 2π sur ly fois ny, et kz est égal à 2π sur lx fois nz.

Si kx est égal à nz, ce sont des entiers qui appartiennent à z. Et donc, c'est quoi Kx, Ky, Kz ? Ce sont les composantes de K, ce sont les composantes des victoires d'ondes.

Et qu'est-ce qu'on obtient ici ? On obtient que les composantes des victoires d'ondes sont quantifiées. Elles ne prennent pas n'importe quelle valeur, mais elles prennent des valeurs discrètes.

1, 1, 1, 1, 2, 0, moins 1, 1, et prendre des valeurs discrètes. Sauf, il y a quelque chose qui n'est pas acceptable. Une x, une y, une z ne peuvent pas être tous égales à 0. Je ne peux pas prendre ici 0, 0, Parce que si vous prenez une x égale à 0, une y égale à 0, une z égale à 0, vous allez avoir kx égale à 0, ky égale à 0 et kz égale à 0. Ça veut dire que le vecteur d'onde k de l'électron est égal à 0. Le vecteur d'onde de l'électron k égale à 0, ça veut dire qu'il n'y a pas d'électrons.

Or, l'électron existe bien dans le cristal, donc il faut que nx, ny et nz ne soient pas tous nuls en même temps. Si vous avez ny égale à 0 et nz égale à 0, obligatoirement, nx doit être différent de 0. D'accord ? Donc, dans l'espace réciproque kx, ky, kz, quelles sont les valeurs de kx ?

La première, c'est 0. La deuxième, c'est combien ? 2p sur lyx, 4p sur lyx, ainsi de suite. La même chose ici. Kx c'est quoi ? 0 si vous remplacez ça par 1 vous allez avoir 2pi sur y de là à là si vous remplacez ça par 2 vous allez avoir 4pi sur y ainsi de suite donc voici la répartition des valeurs possibles de Kx, c'est ce qu'on appelle les états ce qu'on appelle les états donc ça veut dire quoi ?

euh Donc l'énergie, alors le vectordone est quantifié, et puisque l'énergie dépend du vectordone, ça veut dire que l'énergie est quantifiée. L'énergie de l'électron est quantifiée dans un cristal. D'accord ? L'approximation des électrons libres, nous l'avons déjà vue. Nous avons déjà vu l'électron libre, il faut que le potentiel soit égal à zéro.

C'est une onde plane. Voici comment il varie l'énergie en fonction du k². Si vous tracez l'énergie en fonction du k, vous allez avoir une hyperbole, comme ça.

Ça, c'est la surface de Fermi. Ça, nous l'avons déjà vue. la science avant. Alors, les valeurs possibles du Kx, c'est 2pi sur lnx, Kyx c'est 2pi sur lny, Kz c'est 2pi sur...

d'après les conditions cycliques de BVK, Bourne-Von-Carmen. Et donc, Si vous prenez la sphère de Fermi, alors la sphère de Fermi, c'est quoi ? A t égale à zéro. Combien d'électrons vous avez ? Si vous prenez la surface de Fermi ici, à t égale à zéro, tous les électrons se retrouvent ici.

Eh bien, tous les électrons sont ici. Il y a combien d'états ? C'est le volume de la sphère divisé par le volume d'un état.

C'est quoi le volume de la sphère ? C'est 4 tiers de pi kf à la puissance 3. Donc, le volume de la sphère, c'est 4 tiers fois pi fois kf à la puissance 3. C'est quoi le volume d'un état ? état.

Le volume d'un état, vous allez voir ici, 2pi sur Lx fois 2pi sur Ly fois 2pi sur Lz. Donc c'est 2pi sur Lx, Ly, Lz. Lx, Ly, Lz, c'est le volume du cristal.

Donc vous allez voir, si vous prenez un carré, Pareil, si vous prenez un cube, vous allez avoir 2pi sur L fois 2pi sur L fois 2pi sur L, c'est 2pi à la pi sur L. Alors il faut multiplier par 2 à cause de la dégénérescence de spin. Parce que chaque état, il va contenir deux électrons. Donc à t égale à 0, tous les électrons se trouvent à l'intérieur de la surface de Fermi.

Donc ça c'est le volume de la surface de Fermi. Ça c'est le volume d'un état. Le volume de la surface de Fermi... de la sphère, le volume monturé par la surface de ferme et divisé par le volume d'un état, ça fait le nombre d'états.

Chaque état, il va contenir deux électrons. Donc, il faut multiplier par deux pour obtenir le nombre d'électrons. Alors, si on pose petit n est égal à grand N divisé par grand V, c'est la densité, ça nous permet de chercher Kf. Et donc, Kf, on va trouver quoi ?

Kf est égal à 3 pi carré grand N sur grand V à la puissance entière. Grand N sur grand V, c'est petit n. Donc, ça veut dire que Kf est égal à 3 pi carré fois petit n à la puissance entière. Alors, on va essayer de trouver Kf. très important parce qu'expérimentalement, on peut misérer le petit n, et puisqu'on peut misérer le petit n, donc il suffit de remplacer ici pour chercher le kf.

Vous connaissez kf, vous le remplacez ici, vous remplacez k par kf, et donc vous allez obtenir ef, l'énergie de Fermi, si h bar carré kf au carré, c'est un deuxième zéro, donc kf au carré, il faut prendre ça au carré, vous allez avoir assez la puissance de tiers. Donc l'énergie de Fermi, si h bar carré, c'est un deuxième zéro, 3 pi carré fois petit n à la puissance de tiers. Donc ça, c'est lorsque vous avez des électrons libres. lorsque vous avez les électrons libres, n'est-ce pas ?

Électrons libres, d'accord. Bien, alors la densité d'état, jusqu'à la page... La densité d'état, alors la densité d'état, ça veut dire quoi ? L'énergie du K, l'énergie de l'électron, il dépend des vecteurs dans le K.

Nous venons de voir que les valeurs du K... le victoire de K est quantifié, donc ils prennent des valeurs particulières de K. Et donc si je prends une valeur particulière de E et une valeur juste à côté de E, E plus 2 de E, combien d'états vous avez ici ?

Donc on va poser soit N de E, D de E, le nombre d'électrons ayant une énergie E, comprise entre E et E plus D de E. Donc, combien d'électrons que vous avez ici, et combien d'états vous allez avoir ici ? Eh bien, ce N de E-là, il s'appelle la densité d'état.

D'accord ? Alors, comment il faut faire ? On travaille toujours avec, dans le cas des électrons libres, je travaille dans le repère KX, KY, KZ.

Ça, c'est la surface d'énergie constante, parce que vous avez toujours... Vous avez toujours E est égal à H bar carré K carré S R deuxième. Donc E constant, vous avez la surface interne, la surface sphérique interne.

E plus D de E, vous avez la surface sphérique extérieure. Donc ce qui m'intéresse, c'est ce qui se passe entre E et E plus D de E. Combien d'états vous allez avoir ici ? Donc il faut faire le volume. Il faut chercher l'expression du volume de la partie composée entre les deux sphères divisé par le volume d'un état.

Le volume d'un état c'est toujours 2 pi sur n à la puissance 3. C'est quoi le volume de la partie composée entre les deux ? On peut dire que c'est la surface interne. 4P fois K au carré, la surface de cette sphère, fois l'épiceur.

Ça c'est K, ça c'est K plus D2K, donc l'épiceur c'est D2K. Ça c'est K, ça c'est K plus D2K, donc c'est quoi l'épiceur ici ? C'est D2K. Donc c'est quoi le volume de la...

partie qu'on présente les deux sphères c'est la surface de la sphère interne c'est à dire 4 pi fois le rayon en carré c'est à dire fois k au carré fois les pi sur d2 k divisé par le volume d'un état 2pi sur l fois 2pi sur l fois 2pi sur l vous multipliez par deux pour trouver le nombre d'électrons parce que d2e nous avons dit c'est le nombre d'électrons d'accord si on avait dit le nombre des tailles faut pas multiplier par deux si on avait dit le nombre des tailles faut pas multiplier par deux donc ça c'est le nombre d'électrons alors k au carré on sait que e est égal à h au carré on sait que E est égal à H bar carré K au carré c'est R deuxième donc K au carré ici 2M sur H bar carré fois E donc je peux remplacer K au carré ici par 2M divisé par H bar carré fois E parce que je cherche à exprimer ceci en fonction de E et de E alors K c'est quoi K ? C'est racine de 2M fois E donc à quoi est égal D du K ? est égal à 2M sur H bar carré racine de E D de E à la pression 5 demi et c'est quoi D de E à la pression 5 demi ?

c'est 2 du E sur deux racines de E. Donc on va remplacer ceci ici, et on va trouver que 1 de E de 2E est égal à V, L à la puissance 3, c'est V, divisé par 2 pi carré, deuxième zéro, c'est H bar carré, M c'est M zéro, M c'est M zéro, c'est la C'est la masse de l'électron libre, c'est-à-dire, c'est H bar carré, à la position 3,5, racine de E, D2. Et donc, en simplifiant par D2E, j'obtiens l'expression de 1,2. Et c'est quoi l'expression de 1,2 ? C'est V sur 2 pi carré, deuxième zéro, c'est H bar carré, carré à la puissance 3,5 racine 2. Donc ça, c'est la danse des états lorsqu'on est à 3 dimensions.

Donc lorsqu'on est à 3 dimensions, la danse des états varie en fonction de l'énergie comme racine 2. Donc c'est une fonction qui est croissante. C'est une fonction qui est croissante comme racine 2. On va faire des calculs similaires, dans le cas bidimensionnel et dans le cas unidimensionnel. On va montrer que dans le cas bidimensionnel, on va travailler dans cet état qui est constant, il ne dépend pas de l'énergie, alors que dans le cas bidimensionnel, Dans le cas à une dimension, on va trouver qu'une de E, il décroît. Il varie comme un C racine de E. À une dimension, on va montrer qu'il varie comme un C racine de E.

Donc, c'est dans ces détails très important parce qu'il permet d'exprimer des grandeurs physiques telles que la conductivité électrique et ainsi de suite, surtout pour les semi-conducteurs. Alors, vous avez ici quelques valeurs expérimentales à l'état fondamental. Alors, je prends quelques méthodes, tels que le lithium, le sodium, le césium, l'aluminium, le cuivre, l'argent, l'or.

Donc, là-dedans, c'était des électrons. Combien d'électrons ? d'électrons vous avez par centimètre cube.

Alors, par exemple, pour le lithium, vous avez 4,62 dis à la puissance 22 électrons par centimètre cube. Kf, alors si vous connaissez n, vous allez en déduire Kf, nous l'avons dit. Si vous connaissez ici... Si vous connaissez ici N, vous le remplacez par cette valeur, vous allez en déduire Kf et par conséquent, vous allez en déduire Ef. Donc tout ça, vous pouvez l'avoir à partir de ce tableau.

Vous connaissez N, vous allez en déduire Kf et vous connaissez Kf, vous allez en déduire Ef. Vf et Tf, Vf c'est ce qu'on appelle la vitesse des électrons au niveau du Fermi. Tf, c'est la température des électrons au niveau du Fermi. Comment il est défini ?

Vf, il est défini à partir de cette relation. Vous avez la quantité de mouvement CH par Kf qui est égale aussi à N0 fois Vf. VF. Et donc, ça veut dire que VF, c'est quoi ?

C'est H bar sur M0 fois KF. Donc, si vous connaissez KF, vous le remplacez ici, vous remplacez H bar par sa valeur, M0 par sa valeur, et vous calculez, vous trouvez des valeurs de VF qui sont comme ça. Pour les lithium, on trouve des valeurs de 1,29, 10 à la puissance 8 mètres par seconde.

TF, c'est la température au niveau du fermier, il est défini de cette manière. C'est une énergie, l'énergie thermique, c'est KBTF. Donc, TF, c'est quoi ?

C'est l'énergie du fermier divisé par KB. L'énergie du fermier, vous l'avez ici, vous divisez par Kb. Kb, c'est la constante de Boltzmann.

La constante de Boltzmann, c'est 1,38, 10 à la puissance moins 23 joules par Kelvin. D'accord ? Kb, c'est la constante de Boltzmann.

C'est 1,38. D'accord ? C'est 1,38.

Donc, si vous allez ici, vous allez voir la constante de Boltzmann. Vous allez voir. Boltzmann.

Bon, je n'ai pas d'Internet, donc c'est pas... J'ai arrêté l'Internet parce que... D'accord, donc, la consommation de Boltzmann, je connais la valeur.

Kb, c'est 1,38, c'est la puissance moins 23 joules par Kelvin. Vous obtenez ces valeurs. Alors, regardez l'ordre de grandeur de l'énergie du ferment en électron-volts pour tous les métaux.

C'est combien ? 4, 3, 1, 11, 7, 5. Donc, on peut dire que pour les métaux, le... On peut dire que pour les métaux, l'énergie de Fermi est de l'ordre de 10 électron-volts. Un électron-volts, c'est 1,6-10-19 joules. D'accord ?

Un électron-volts, c'est 1,6-10-19 joules. Bien. Voilà, voilà, voilà. Donc, l'état fondamental, à l'état fondamental, alors on peut, donc, si vous connaissez l'état, vous pouvez en déduire la concentration. C'est quoi une déduction ?

c'est le nombre d'états dont l'énergie est comprise entre E plus DDE et comme tous les électrons se trouvent entre 0 et EF, donc il faut faire l'intégration pour trouver le N donc on va trouver le même résultat on peut calculer aussi l'énergie interne l'énergie totale l'énergie totale Voilà. Alors, l'énergie de tous les électrons, c'est combien ? Alors, n de e de e, c'est le nombre d'électrons.

Vous multipliez par e, donc vous obtenez l'énergie de n des électrons. Et il faut intégrer en 3 de rire pour trouver l'énergie de tous les électrons. Donc, cette énergie-là, si vous divisez...

par V, vous obtenez une valeur de 3 cinquièmes fois petit n fois F. Et si vous divisez ceci par n, pour trouver l'énergie par particules, vous allez trouver 3 cinquièmes de f vous avez trouvé 3 5e de l'oeuf ça c'est toujours trois dimensions si vous faites les mêmes quelques la deux dimensions ou bien à une dimension vous allez voir des expressions différentes mais j'ai toujours proportionné la f d'accord donc tout ce que nous avons vu là tout ce que nous avons vu et Je vais m'arrêter là, donc je vais jusqu'à 28. D'accord ? Tout ce que nous avons vu là, ça concerne l'état fondamental T égale à 0. La prochaine fois, on va essayer de voir ce qui se passe lorsqu'on n'est pas à l'état fondamental, lorsqu'on applique une température T. D'accord ? Voilà, donc je vais m'arrêter là.

Je vous remercie et je vous souhaite du bon courage.

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Conférence sur la structure électronique