Appunti sulla Teoria delle Funzioni

Introduzione

• Presentazione del relatore: Marco
• Tema della lezione: Funzioni

Definizione di Funzione

• Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme (dominio) un unico elemento di un altro insieme (codominio).
• Notazione: ( y = f(x) )

Domini e Codomini

Dominio

• Campo di esistenza della funzione.
• Esempio: ( y = \frac{1}{x^2} )
  • Dominio: ( x \neq 0 )
  • Rappresentazione grafica con cerchio vuoto nel punto in cui non esiste.

Codominio

• Insieme dei valori assunti dalla funzione per ogni punto del dominio.

Tipi di Funzioni

Funzioni Iniettive

• Ogni elemento del dominio ha immagini distinte.

Funzioni Surgettive

• Tutti gli elementi del codominio sono raggiunti da almeno un elemento del dominio.

Funzioni Biunivoche

• Funzioni che sono sia iniettive che surgettive.
• Possono calcolare la funzione inversa.

Studio di una Funzione

Passaggi Fondamentali

1. Calcolo del Dominio
   • Identificare per quali valori ( x ) la funzione esiste.
2. Simmetrie
   • Funzione pari: ( f(x) = f(-x) )
   • Funzione dispari: ( f(x) = -f(-x) )
3. Intersezioni con gli Assi
   • Intersezione con l'asse ( x ): risolvere ( f(x) = 0 )
   • Intersezione con l'asse ( y ): determinare ( f(0) )
4. Positività e Negatività
   • Determinare quando ( f(x) > 0 ) e quando ( f(x) < 0 ).
5. Limiti
   • Comportamento della funzione ai limiti estremi e eventuali asintoti.
6. Derivata Prima
   • Comportamento della funzione (crescente o decrescente).
   • Trovare massimi e minimi.
7. Derivata Seconda
   • Cambiamenti di concavità e identificazione dei punti di flesso.

Dettagli dei Passaggi

Dominio

• Importanza di definire il dominio prima di studiare la funzione.

Simmetrie

• Funzione pari: simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
• Funzione dispari: simmetrica rispetto all'origine.

Intersezioni

• Intersezioni con l'asse ( x ): sistema di equazioni per ( y = 0 ).
• Intersezioni con l'asse ( y ): sempre uno, calcolando ( f(0) ).

Positività

• Determinare quando la funzione è positiva o negativa.
• Importanza per lo studio grafico della funzione.

Limiti

• Importanza dei limiti nel descrivere il comportamento della funzione.
• Tipologie di asintoti: verticali e orizzontali.

Derivata Prima

• Scritta come ( f'(x) ).
• Analisi per identificare punti di massimo e minimo.

Derivata Seconda

• Scritta come ( f''(x) ).
• Determinare la concavità e trovare punti di flesso.

Conclusione

• Conoscere questi passaggi è fondamentale per uno studio completo delle funzioni.
• Importanza delle informazioni raccolte per rappresentare graficamente la funzione.