אינטגרל מסוים

הקדמה

• התחלנו את הפרק השני בנושא אינטגרל מסוים.
• ההבדל בין אינטגרל לא מסוים ומסוים יתברר בהמשך עם המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי.

מוטיבציה

• חישוב שטח מתחת לגרף של פונקציה $f$ בין הנקודות $a$ ו-$b$.
• הרעיון: חלוקת השטח לצורות קטנות שהשטח שלהן ידוע (כגון ריבועים ומשולשים).

רעיון החלוקה

• חלוקת הקטע $a,b$ לנקודות $x_0, x_1, ..., x_n$.
• חישוב סכום השטחים של המלבנים המתקבלים כתוצאה מהחלוקה.
• קירוב השטח מתחת לגרף ע"י סכום שטחי המלבנים.
• שיפור הקירוב באמצעות חלוקה ליותר מלבנים.

הגדרות

• חלוקה: בחירת נקודות $x_0 = a, x_1, ..., x_n = b$.
• Delta $X_i$: רוחב הקטע ה-$i$.
• Lambda של P: פרמטר החלוקה, הרוחב של המלבן הרחב ביותר.
• סכום רימן: סכום שטחי המלבנים שנולדים מהחלוקה ומהבחירה של $c_i$.

סכומי דרבו

• L(P): סכום דרבו תחתון, מבוסס על הערך הקטן ביותר בכל קטע.
• U(P): סכום דרבו עליון, מבוסס על הערך הגדול ביותר בכל קטע.
• לכל חלוקה $P$, מתקיים $U(P) \geq L(P)$.

עידון של חלוקות

• עידון: הוספת נקודות לחלוקה קיימת.
• תהליך עידון משפר את הקירוב.

אינטגרביליות לפי רימן

• פונקציה $f$ אינטגרבילית אם $\sup{L(P)} = \inf{U(P)}$.
• אינטגרל מסומן על ידי $\int_a^b f(x) dx$.

דוגמאות

• פונקציה קבועה: האינטגרל הוא $c(b-a)$.
• פונקציית דירי חלה: לא אינטגרבילית כי אינפימום וסופרימום לא שווים.
• פונקציה לינארית $f(x) = x$: אינטגרבילית, $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$.

סיכום

• חישוב אינטגרלים אמור להיות קל יותר בעזרת משפטים, ולא ידני כמו בדוגמאות.