בוקר טוב לכולם. אנחנו מתחילים היום את הפרק השני שלנו שזה האינטגרל המסוים. מה שקצת מוזר זה שקוראים לזה אינטגרל, אבל כל מה שעשינו עד עכשיו שהיה תחת הכותרת אינטגרל לא מסוים, הולך להיראות לפחות בשעתיים, שלוש, אולי אפילו ארבע ראשונות, לא קשור בכלל. אוקיי? אז הקשר היחיד אולי יהיה בסימן הזה של הנחש.
אז אתם צריכים לעשות מין דיליט זמני לכל מה שדיברנו על אינטגרל לא מסוים. אנחנו כאילו מתחילים עכשיו משהו חדש לגמרי. האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא מסוים ייפגשו וזה יבהיר גם את הקשר ביניהם וגם את הסיבה לסימון עם הנחש.
הכל יתחבר ברגע שנגיע למשפט היסודי, אבל זה ייקח קצת זמן. אז מה זה אינטגרל מסוים? אז אני אתחיל ממוטיבציה. המוטיבציה שלנו היא המוטיבציה הבאה.
הנה מערכת צירים, x, y. הנה איזה שהן שתי נקודות a וb. ויש לי איזושהי פונקציה, אני אצייר אותה לצורך פשטות הדיון, זה רק מוטיבציה. אני אצייר פונקציה חיובית ורציפה וחלקה ומאוד נחמדה, הנה היא. מוגדרת בקטע a, b, קוראים לה f.
זה הגרף שלה. והשאלה שאני רוצה לשאול, מה השטח מתחת לגרף של הפונקציה f? מה השטח?
כלומר, מה השטח מכאן עד כאן? מה השטח הזה פה? אוקיי, זאת המוטיבציה.
עכשיו, הרעיון של איך אני הולך להתמודד עם השאלה הזאת הוא רעיון מאוד קדום, לא במונחים של גרפים והצגת פונקציות על מערכת קרטזית, כי זה משהו הרבה יותר חשוב. זה רעיון של דקארט מהמאה ה-16 או ה-17, אבל הרעיון של איך להתמודד עם זה הוא רעיון שהולך אחורה עד היוונים הקדמונים אפילו. אני לא יודע למדוד שטח של צורה כזאת, נכון?
יש לה שלושה קווים ישרים, אבל קו אחד שהוא לא יודע מהו. אני אחלק אותה לצורות קטנות. שאת השטח שלהן אני יודע למדוד.
מה אני כבר יודע למדוד? אני יודע למדוד עיגולים. נכון? זה פאי 4 ריבוע, אבל לא נראה כל כך קשור. נכון?
אז זה או משולשים או ריבועים. זה בגדול הצורות שאני יודע למדוד את השטח שלהן. נכון? והנה, זה הרעיון.
אז אני הולך לחלק את הקטע, הנה אני אחלק אותו כאן וכאן, ואולי כאן, חילקתי אותו. לזה אני אקרא נגיד x1 ולזה אני אקרא x2 ולזה אני אקרא x3. אוקיי?
סתם, משהו שריר אותי. אני אעביר פה קווים אנכיים מקווקווים כאלה כמו שהעברתי בקצוות. הנה.
ואני אתייחס לכל אחת מהרצועות האלה, קיבלתי פה ארבע רצועות, לכל אחת מהן אני אתייחס כאל מלבן. שטח של מלבן אני יודע, זה בסיס כפול גובה. נכון?
עכשיו תגידו, רגע, רגע, רגע, זה לא בדיוק מלבן, נכון? לכן, אם אני אמדוד איכשהו את השטח הזה, מה שאני הולך לקבל, אתם כבר אמורים להרגיש, זה איזשהו קירוב. אני לא הולך לקבל תשובה מדויקת, אני הולך לקבל קירוף. אז דבר ראשון בשביל להגיד פה את המילה מלבן, חסר לי צלע אחת שלו, נכון?
הלמעלה הוא עדיין איזה קו מסולצל כזה. אז בתוך כל קטע שיצרתי פה, אני אבחר נקודה, גם שרירותית לגמרי, נגיד פה אני אבחר את הנקודה הזאת, וכאן אני אבחר אולי את הנקודה הזאת, וכאן אני אבחר בול את האמצע, וכאן אולי את הקצה הימני. סתם, נקודה שרירותית.
החשבת ערך. ערך הפונקציה בנקודה הזאת, הנה, אני מצייר את ערך הפונקציה בנקודה השרירותית שבחרתי, ואחליט ששם אני חותך, זה יהיה למעלה של המלבן. אז הנה, פה אני חותך, אולי נעשה את זה בצבע אחר, אולי ניקח איזה ירוק פה, היום יהיה צבעוני, צבעוני זה יפה. אז הנה, אני חותך כאן, אז זה המלבן הזה, ואני חותך כאן, אני חותך כאן ואני חותך כאן. עכשיו יש לי, אני משלים בירוק טיפה את הכבגובים החסרים, עכשיו יש לי ארבעה מלבנים.
אוקיי? ואת השטחים של ארבעת המלבנים האלה אני יודע לחשב לגמרי בדויק. בסיס כפול גובה.
הבסיס הוא אורך הקטע הזה, נכון? מה הגובה? ערך הפונקציה בנקודה הכחולה שבחרתי.
מסכימים? אז סכום ארבעת שטחי המלבנים האלה, זה השטח מתחת לגרף. בדיוק.
לא, בערך. למה בערך? כי יש לי פה פספוסים.
למשל, אני יכול לראות שכאן, באזור הזה, יש שטח שהוא באמת מתחת לגרף. הנה, אני מקווקב אותו באדום. כל השטח הזה שמתחת לגרף, הוא לא נכלל במלבן הזה.
אני לא מחשב אותו. מסכימים? ולעומת זאת, כאן, האמת יצא לי די מדויק הציור הזה, לא ציור.
את הגרף של f מספיק משולל כדי לראות פספוסים גדולים, לא נורא. כאן אתם רואים יש פינה קטנה שהיא כן נלקחה בחשבון בשטח של המלבן הזה אבל היא לא מתחת לגרף. אוקיי?
עכשיו איך אני יכול לשפר? איך אני יכול לעשות בדיוק את אותו רעיון אבל יותר טוב? שמעתי מכלה, ונניח שאמרתם את התשובה הנכונה, לקחת יותר מלבנים, לחלק את החלוקה ליותר קטעים. למשל, נגיד איפה יש איזה אחד, הנה, המלבן הרחב הזה, שיכניס לי שגיאה יחסית גדולה, בואו נחלק אותו עוד פעם, הנה אני אחלק אותו כאן, הוספתי עוד נקודה לחלוקה, אוקיי?
אז עכשיו זאת תהיה נגיד x4, וזאת תהיה x3, וכאן יהיה עוד קבקוב נוסף, ואת זה אני משאיר כמו שהוא, אבל עכשיו נוסף לי פה איזה מלבן חדש, אני בוחר בו נקודה חדשה, כחולה, נגיד זאת, ומחשב את ערך הפונקציה, נגיד כאן, ועובר לירוק, איזה תרפיה היום. עובר לירוק מעביר את הקו כאן, ועכשיו זה קצת קטן קצת קשה לראות את זה אתם רואים גם מאחורה לא כל כך כן אוקיי אז את כל הפספוס הזה שהוא חלק ניכר מהפספוס הוא כבר לא פספוס נכון קודם הוא היה. היה באמת פספוס, הוא היה מעל הקו הירוק שכאן, עכשיו הוא כבר לא, עכשיו הקו הירוק הזה איננו, אני מתקן אותו, וכל זה כבר לא פספוס, והמצב השתפר מאוד.
אוקיי? הקירוב הוא הרבה יותר טוב. מסכימים?
האם הרעיון ברור? אוקיי? עכשיו, איזה מילה חסרה, מילה אחת שמקחבת לכל אורך קורסי האינפי, שתהפוך את הרעיון הזה, שתכף נפרמל אותו עם מילים מדויקות, שתהפוך אותו גם למדויק? גבול. אני צריך לקחת ולהמשיך לחלק ולחלק ולחלק.
לתהליך הזה של להמשיך לחלק קוראים לעדן. לעשות עידון של החלוקה, לעשות אותה יותר עדינה. ובאיזשהו מובן לעבור לגבול.
והגבול יהיה, אם הכל מתנהג יפה, השטח מתחת לגרף, אינטואיטיבית. האם ברור? האם הרעיון ברור? אוקיי, כולם?
עכשיו, זה שלקחת רעיון פשוט מאוד ולהפוך אותו למשהו פורמלי, מצריך עוד קצת מנגנון משומן, זה אתם כבר יודעים וזה מה שנעשה עכשיו. בסדר? אוקיי. אז הנה הגדרות. אז קודם כל המוטיבציה.
מוטיבציה. חישוב שטח מתחת לגרף. אוקיי? זה לא המוטיבציה היחידה, אנחנו נראה שימוש של אינטגרלים במלן תלפים דברים, זאת המוטיבציה הגיאומטרית הכי פשוטה שהכי קל להתחבר אליה, ולכן ממנה אני מתחיל. אוקיי, אז הנה הגדרות.
הגדרה. הגדרה. חלוקה, זה המילה שאני מגדיר, חלוקה של קטע AB, היא, היא, פחידה. של נקודות ל-a עצמה נהוג לקרוא x0, אז זה בחירה של נקודות, x0 שזה a עצמה, ואז עוד נקודות x1 שגדולה ממנה, ו-x2 ו-x3 וכן הלאה, שאחרונה קוראים לה xn והיא b.
אז חלוקה של קטע זה פשוט לבחור את ה-xi האלה באמצע. ברור מה זה חלוקה? כולם. אוקיי, אז זה חלוקה.
נסמן חלוקה על ידי פי, פי גדולה, מלשון המילה האנגלית partition. זה חלוקה באנגלית. אוקיי?
אז זה השלב הראשון. מה הדבר השני שעשינו? בחרנו את הנקודות הכחולות האלה, נכון?
נקודות כחולות כאלה. לפני זה אני צריך עוד משהו אחד, אני רוצה הרי לחשב את המלבנים האלה לפי בסיס כפול גובה, נכון? אז הכחולות היו בשביל הגובה, אבל בשביל הבסיס, אז בואו נוסיף פה עוד קצת סימונים.
נסמן. Delta XI זה X, מי אני לוקח? כן, XI פחות XI פחות 1. אוקיי? כלומר, Delta X3 זה X3 פחות X2. זה הרוחב של המלבן השלישי בציור, בין X2 ל-X3.
מסכימים? אוקיי. אז זה רוחב...
מלבן I בחלוקה. אוקיי, ועוד דבר שיהיה לו תפקיד חשוב, נסמן גם, נהוג להשתמש באות Lambda, זאת האות Lambda ביוונית, היא נראית כמו ג' אבל לא קוראים לה גמה, כי גמה זאת אחרת, נכון? Lambda של P, למדה של פי קוראים לו פרמטר החלוקה, זה השם שלו, פרמטר החלוקה, זה הרוחב של המלבן הכי רחב, אוקיי? זה שפוטנציאלית מכניס הכי הרבה טעויות לחישוב, אוקיי? אז איך אני מסמן את זה?
מקס. בין Delta X1, תק תק תק, עד Delta Xn. איך אתה יודע שבכלל יש מקסימום?
כי זה חלוקה למספר סופי. אה, אוקיי. בסדר? אז בטוח יש מקסימום.
יש פה N מלבנים. N יכול להיות מאוד גדול, זה תהליך העידון, אבל תמיד הוא סופי. אוקיי, אז זה נקרא פרמטר החלוקה.
הגדרה, אז בואו נכניס את ה-CI' האלה, אז תהי P חלוקה של הקטע AB, מזה אני מתחיל, ותהי F חסומה בקטע AB. אני צריך שהפונקציה תהיה חסומה, אמי בוא תטייל לי תהיה לוח ושוב לציור מדי פעם, אני צריך שהפונקציה תהיה חסומה, אחרת אין לי כל כך מה לדבר על שטח מתחת לגרף, נכון? אם הפונקציה לא חסומה, אז זה לא בדיוק מוגדר מה שאני עושה פה.
מסכימים? הסתבר שכן יש איך להגדיר את זה ולדבר על זה, לזה יקראו אינטגרל מוכלל. זה בהמשך. אבל בינתיים כל הדיון שלנו על פונקציות חסומות.
בסדר? כולם איטים? אז אני מסתכל על פונקציה חסומה, ואז אני רוצה להגדיר את ה-C2 הקטנים האלה הכחולים. אז בכל קטע, נגיד אמרנו שזה קוראים לו Delta X2, זה המלבן הזה. אני בוחר בו איזושהי נקודה, לנקודות האלה אנחנו נקרא C2, אז זאת תהיה C1, וזאת תהיה C2, וזאת תהיה C3, וכן הלאה.
זה הנקודות הכחולות, נכון? ואז מה שטח המלבן ה-I? עכשיו במינוח יותר מדויק, תכף נכתוב את זה בהגדרה. מה שטח המלבן ה-I? נכון, שטח המלבן ה-I הוא F בנקודה C-I, במקרה הזה F בנקודה C2, נכון?
זה גובה המלבן, כפול שטח הבסיס. דלתא X-I. האם אתם מסכימים שזה שטח המלבן ה-I? מסכימים? ומה סכום שטחי המלבנים הקרוב שלי לשטח מתחת לגרף?
נכון, סיגמה איי שווה אחד עד אין. האם כולם מסכימים עם זה? כולם?
שאלות? אז בואו נכתוב את זה. תהי P חלוקה של AB, תהי F חסומה בקטע AB, נבחר נקודות CI, כל CI שייך לקטע XI-1 עד XI. כלומר, C1 הוא בין X0 ל-X1, כמו בציור.
אוקיי? אז זה הנקודות CI הכחולות האלה. אזי הסכום סיגמה i שווה 1 עד n f בנקודה ci כפול delta xi זה הסכום שהרגע כתבנו, זה סכום שטחי המלבנים שנולדים מהחלוקה הזאת ומהבחירה הזאת של ה-ci, הסכום הזה נקרא סכום רימן, זה שמו הקצר, סכום רימן, על שם מתמטיקאי מאוד מפורסם שקראו לו רימן.
מאוד מאוד מפורסם, אחד באמת הגדולים. יש היום השערה שעדיין פתוחה על שמו שנקראת השערת רימן, שאולי השערה הכי מפורסמת היום במתמטיקה, אבל היא לא קשורה לפונקציות ממשיות, אלא למרוכבות. אז זה לא עכשיו.
הסכום נקרא סכום רימן, ובישבו המלא, לא של רימן אלא של הסכום, סכום רימן של f המתאים לחלוקה p ולבחירה ci. i שווה 1 עד n. בדרך כלל כל המילים שבאות אחרי זה, הן ברורות מההקשר ופשוט נגיד, סכום רימן. האם עד פה כולם איתי?
אוקיי? יפה. אז עכשיו השאלה, עכשיו התהליך שאנחנו צריכים לעבור.
זה איך מהסכומי רימן האלה, איך אני מייצר את תהליך הקירוב. עכשיו למה זה לא לגמרי טריוויאלי? למה אני לא אומר למשל, בואו ניקח את אין לנסוף? נכון? זה נראה מאוד טבעי להגיד.
מסכימים? זה לא מספיק טוב, אחורה לציור. נגיד שאתם אומרים, סבבה, נעדן, בואו פשוט, עמי, בלוח הזה בבקשה, נניח שאני פשוט אומר, בואו נעדן, ניקח במקום 4 נקודות באמצע, שזה בעצם אומר 5, כי פה יש x0 ופה יש x5, בואו ניקח 700. נכון? האם זה באמת יקרב אותי?
לא בהכרח. יכול להיות שאני אחלק את הקטע מ-x4 עד b, עד x5, בטירוף. אעדן אותו, ועדן אותו, ועדן אותו עוד יותר, ועוד יותר.
יותר ועוד יותר הוא מעודן חבל על הזמן עדין כמו ארנבת האם זה פתר לי את הפספוס פה לא מסכימים? אז זה לא מספיק להגיד בואו ניקח את אין-ל-אין סוף למשל. צריך משהו יותר מדויק.
האם מסכימים? אוקיי? אז זה התהליך שאנחנו נעשה. עכשיו ננסה איך להגיד בצורה מדויקת משהו שיוביל אותנו באמת למשהו שהתכנס, או אני כבר משתמש במילים מדויקות, משהו שנוכל לקרוא לו בביטחה השטח מתחת לגרף.
בסדר? אוקיי. אז קודם כל הערה קטנה, אם f חסומה בקטע a, b, כאמור זה כל הדיון שלנו מעכשיו יהיה על כאלה f, אם f חסומה בקטע a, b, נניח F חסומה זה אומר יש איזה חסה מלמעלה נקרא לו M גדול ואיזשהו חסה מלמטה נקרא לו M קטן.
אז אני הולך לתת לכם הערכה לשם. משהו שהוא קירוב אבל הוא קירוב מאוד ברוטלי, לא משהו יותר מדי עמוק, אז השטח מתחת לגרף, בואו נגיד אם f חיובית, אם היא שלילית אז בכלל להגיד השטח מתחת לגרף, זה לא בדיוק מתקמפל, אבל אם היא חסומה אז השטח מתחת לגרף גדול שווה, הנה שרבוטון עזר קטן, A, B, נגיד שזה M קטן וזה M גדול והגרף הוא איפשהו כאן. האם אתם מסכימים שהשטח מתחת לגרף הוא ב...
הוא בוודאי גדול מהמלבן הזה. m קטן כפול b פחות a. מסכימים?
והוא בוודאי קטן מהמלבן הזה, m גדול. כפול B מינוס A. מה?
היא רציפה בטוח? לא, רק אמרתי שהיא חסומה. לא, אני מצייר אותם רציפות, כי לצייר פונקציות לא רציפות זה יותר קשה קצת. נכון? צריך להרים את הדוש.
אז האם אתם מסכימים לדבר הזה? M, B פחות A, כלומר, גובה כפול אורך הקטע. וקטן שווה m גדול b מינוס אי.
האם מסכימים? אוקיי? אז זו באמת אמירה טריוויאלית. זה לא כל כך קירוב טוב, נכון? זה לא כל כך קירוב טוב.
אבל זה מוליד לנו את הסימונים הבאים. נסמן. m קטן i יהיה, אני רוצה להגיד מינימום, אבל כמו שאמרת הפונקציה לא בהכרח רציפה, לכן אני לא יכול להגיד מינימום, אבל מה אני כן יכול להגיד? אינפימום. אז m קטן i, איקס אין אי היא האינפימום של ערכי הפונקציה בקטע האי בחלוקה.
כאשר איקס בין איקס אי מינוס אחד לאיקס אי. אז m קטן i זה הנקודה שהפונקציה מקבלת הערך הכי נמוך אינטואיטיבית, זה יכול להיות אינפימום ולא באמת מינימום, בקטע ה-i. ו-m גדול i יהיה הסופרמום של ערכי הפונקציה בקטע ה-i.
כלומר, כש-x בין x-i ל-x i-1. בסדר? וזה מוליד שני סכומי רימן מאוד מסוימים. מאוד מסוימים.
אז אולי נמחק כאן. אם אני לוקח את ה... אני שוב אצייר את הציור, אז הנה הגרף של f, הנה הגרף של f, בשביל לא לעבוד קשה מדי נעשה חלוקה מאוד גסה, נגיד כזאת, הנה, אז זאת החלוקה, עכשיו אני בוחר בכל קטע בחלוקה פעם אחת תמיד את הערך הכי נמוך, זה ה-MI עם הקטנים.
אז הנה פה זה יהיה כאן, ופה זה יהיה כאן, ופה זה יהיה כאן. כאן ופה זה יהיה כאן אז באדום זה המלבנים שאני מקבל אם בכל מלבן אני בוחר את האינפימום במלבן הזה בפונקטר רציפה זה באמת מינימום מסכימים? אז את זה מסמנים את הסכום רימן שמתקבל הסכום רימן האדום הוא בוודאי יהיה יותר קטן מהשטח שבאמת מתחת לגרף נכון? ומסמנים אותו ב-L אז מסמנים תודה L של P, או לפעמים מדגישים שזה הפונקציה F וכותבים L של P וF. F זה הפונקציה, P זה החלוקה.
שווה סכום, במקום F ב-Ci, במקום נקודות בחירה שרירותיות, אני בוחר דווקא את הכי נמוך שאפשר. Mi, Delta, Xi. האם אתם מסכימים שזה סכום רימן אבל מאוד מסוים?
בסדר? זה השטח האדום. כולם איתי.
זה לחלופין, אני יכול לקחת בכל מלבן, איפה הירוק? אני יכול לקחת בכל מלבן את הערך הכי גדול. אז במלבן הזה הערך הכי גדול יהיה כאן.
ובמלבן הזה הערך הכי גדול יהיה כאן. ובמלבן הזה הערך הכי גדול יהיה כאן, ופה הוא יהיה כאן. אז הירוקים... המלבנים עם הגג היותר גבוה שהוא בירוק, יתנו לי שטח שהוא בוודאי גדול מהשטח שמתחת לגרף, מסכימים? וזה גם איזשהו סכום רימן, אבל קוראים לו U, PF, זה סיגמה, I שווה 1 עד N, M גדול I, Delta XI.
האות L באה מ-lower והאות U באה מ-upper. בסדר? לזה קוראים סכום דרבו תחתון ולזה קוראים סכום דרבו עליון. את דרבו אתם כבר מכירים.
נכון? פגשנו אותו בהקשר אחר לגמרי של משפט ערך הביניים לנגזרת בענפי אחד. זוכרים אותו?
זאת לא דרבו. אוקיי. היאבא.
הערה, ערב, אגב אני לא אגרור את ה-F הזה כל פעם כי זה ברור שאנחנו מדברים כל הזמן על אותה F, אז אני קצת אתרשל בסימון. האם אתם מסכימים שלכל חלוקה P, מה אני הולך להגיד? ניחוש פרוע? נכון, u גדול מ-L. לכל חלוקה p מתקיים u של p גדול שווה L של p. האם כולם מסכימים לזה?
נכון, השטח מתחת להם, השטח שצוברים המלבנים כשאני לוקח בכל מלבן את הגובה המקסימלי, הוא יותר גדול מהשטח שצוברים המלבנים כשאני לוקח בכל מלבן את הגובה המינימלי. כולם רואים את זה? כולם איתי? והשטח שאני מחפש הוא מן הסתם, איפשהו באמצע.
אינטואיטיבית, הכל אינטואיטיבית בינתיים. האם מסכימים? כולם איתי?
אוקיי. אז הנה המילה שדיברנו עליה, עידון. עכשיו כל מה שאני עושה עכשיו הוא לא קשה, אין פה משהו קשה, זה בסך כל הרעיון שהצגתי בהתחלה, לקחת טיפה ולהכניס מילים מדויקות, אבל צריך לזכור. את כל המילים והסימונים האלה וקל לאבד אותי. אז תנסו, עכשיו יש לי מגבלת לוחות, אני לא יכול להשאיר את הכל על הלוח כל הזמן, אז צריך יהיה טיפה להתאמץ.
אז עכשיו אני נאלץ למחוק כמה דברים מכאן, אבל לפני שאני מוכן, תזכרו Delta XI זה הקטע ה-I, הרוחב של הקטע ה-I. פרמטר החלוקה זה הרוחב המקסימלי מבין הקטעים, וסכום רימאן זה כשאני בוחר נקודות שרירותיות, לחשב בהן את ערך הפונקציה. סכום דרבו עליון זה במקום ה-FCI האלה אני שם את ה-M גדול, סכום דרבו תחתון במקום ה-FCI האלה אני שם את ה-M קטן. תודה.
כולם? אוקיי. עמך גם כאן. אז עכשיו אני רוצה להגדיר מה זה עידון. ואיך מתייחסים סכומי דרבו של חלוקה לסכומי דרבו של עידון שלה.
אז הנה עוד הגדרה וסימון. הגדרה. יהיו P ו-P' שתי חלוקות של אותו קטע, AB, שתי חלוקות של AB, אומרים ש-P' היא עידון, של פי, אז זה המילה שאני מגדיר עכשיו היא עידון של פי, אם כל x i בחלוקה פי שייך גם לפי תג. כלומר בטוח לקחתי את כל הנקודות בפי ואולי יוספתי גם עוד. זה נקרא עידון.
האם מסתדר עם האינטואיציה? בסדר? אוקיי. הערה.
ההערות האלה זה בעצם אבחנות מאוד מאוד פשוטות, מאוד מאוד קלות. u של p גדול או שווה ל-u של p-tag. ו-l של p קטן או שווה ל-l של p-tag.
אז אני כותב את זה כערה כי זה נורא נורא קל, אבל בואו נתחבר רגע למה כתוב פה ונראה שזה באמת קל. אז מה זה u של p? u זה אומר בכל קטע בחלוקה, קח את הערך הכי גבוה שהפונקציה יכולה לקבל.
נכון? תבני מלבנים על הערך המקסימלי. מסכימים? p-tag היא עידון. לקחתי את אחד המלבנים האלה למשל, וחילקתי אותו לשניים.
אוקיי? מה קרה? בואו נצייר את זה איזה שרבוטות.
קטן לשכנע את עצמנו, אני מתמקד במלבן אחד בחלוקה, מלבן אחד בחלוקה, הנה הגרף על פני המלבן הזה, זאת F, אוקיי? אז זה לפני החלוקה, זה בפי, אוקיי? מה יהיה ה-U של פי? U של פי ציירנו עם הירוק, זה לקחת את הערך הכי גדול, הנה. אז האם אתם מסכימים שזה התחום?
התחומה של המלבן הזה ליושם. של פי באיזושהי חלוקה פי. מסכימים? מה זה פי טאג? פי טאג זה עידון.
נכון? מה זה אומר עידון? לא הוסיף אולי נקודות.
אז הנה הוספתי איזושהי נקודה כאן למטה. נגיד הוספתי את הנקודה הזאת. אוקיי? עידנתי את החלוקה.
אז עכשיו יש לי פה עוד איזה קו כזה לאוויר. נכון? ועכשיו, במלבן הזה, במלבן הימני מבין השניים שנוצרו, אני עדיין לוקח את הירוק הזה. אז עדיין יש לי את זה.
אוקיי? אבל במלבן השמאלי... אני לוקח את הערך הכי גדול.
אז עכשיו אני לא לוקח את הלמעלה פה, אלא אני לוקח את הלמעלה פה. זה היה למעלה במלבן השמאלי. מסכימים?
אז בכל תהליך כזה של עידון, אני יכול את הלמעלהים להוריד. מסכימים? אז סכום דרבו העליון שמתאים לחלוקה, שהיה כל המלבן הירוק הגדול, הוא יותר גדול מסכום דרבו עליון שמתאים לחלוקה אחרי העידון, שזה עכשיו הדבר הזה. כלומר, הפינה הזאת לא שרדה את העידון. האם ברור?
כולם איתי? אז האם אתם מסכימים לאמירה הזאת? והאם אתם מסכימים שהאמירה הזאת היא פשוט דואלית כשאני מסתכל על מה קורה עם הערך המינימלי?
אז הערך המינימלי בתהליך של עידון יכול לגדול. בסדר? כולם?
אוקיי. אז התופעה שאתם אמורים לראות, התופעה שאתם אמורים לראות, בואו נחזור רגע ללוח הזה. כשאני מעדן, כשאני עושה תהליך של עידון, סכומי דרבו העליונים שיושבים מלמעלה בתהליך העידון הולכים ויורדים וסוגרים על הפונקציה מלמעלה. מסכימים?
וסכומי דרבו התחתונים, באדום, שהם המינימום בכל קטע, כשאני מאדן, חותך למלבנים יותר קטנים, טק טק טק טק טק, סוגרים על הגרף מלמטה. כן. למה מגבירים את גרפי הקצרים?
ותראי איך נשתמש בעידונים, כל ההגדרות המדויקות נועדו ליצור איזושהי שפה מאוד מדויקת שנוכל להגיד את הרעיונות המאוד אינטואיטיביים האלה. אז מה שחשוב לי בעידון, שנגיד אם תחלקי את הקטע לשלושה קטעים שווים, ואז תחלקי אותו לארבעה קטעים שווים, זה לא יהיה עידון. אוקיי? הקטנת את כל קטע, אבל זה לא עידון.
זה לא לקחת את אותה חלוקה וחילקת אותה עוד יותר. אוקיי? עידון זה לקחת את אותה חלוקה ולחלק אותה עוד יותר.
אוקיי? לא כל שתי חלוקות, אחת היא עידון של השנייה. בסדר?
תראי עוד מעט, לאט לאט, תראי איך משתמשים בזה בצורה מאוד מדויקת. בסדר? עניתי? עוד שאלות. אוקיי, אז האם התופעה של סכומי דרבו, האלים האלה, התחתונים עושים ככה והעליונים עושים ככה?
האם תנועות הידיים האלה מעכשיו יעשו לכם שכר? זה כמו קנטור אייני. אלוהים ישמור.
מה? זה כמו משפט קנטור, הלמה של קנטור. כמו הלמה של קנטור.
הלמה של קנטור לא דיברה על פונקציה בכלל. נברא על קטע, חלוקה שלו, ו... קטעים, מוכלים, יש נקודה משותפת, לא היה שם פונקציה בכלל.
היה ממד אחד פחות לכל הציור הזה. אני מסכים איתך שהיה שם איזה מין משהו כזה שנראה כמו חלוקות. נכון.
יש קווי דמיון. זהו, זה מה שהתכוונת? סבבה. לא, אבל הזכרנו את דרבו, את רימן, יאללה, כאן תוראי, לבוא נזרוק עוד כמה שמות לך, גובה.
קושי, זה מזכיר את קושי. קצת. אוקיי.
האם כולם איתי? ברמה זו או אחרת? בסדר אבל?
אוקיי. טוב. אבל, אבל אני אזרום איתך. רציתי לכתוב טענת עזר, בוא נכתוב למה.
למה זה טענת עזר? למה? לכל שתי חלוקות, פי ופי גל. נניח שיש לי שתי חלוקות, עכשיו אני חותר לכיוון שאת הצעת פה.
אני לוקח שתי חלוקות שהן מראש בכלל לא קשורות. מתקיים, שאם אני מסתכל על סכום דרבות תחתון של חלוקה אחת, L של P, אז הוא תמיד קטן או שווה מ-U של פי גל. כלומר, כל סכום תחתון הוא לעולם קטן או שווה מכל סכום עליון. לא משנה של איזה שתי חלוקות, גם אם אין ביניהם שום קשר.
למה זה הגיוני אינטואיטיבית? כי זה תמיד מלבנים שיושבים מתחת לגרף, וזה מלבנים שיושבים מעל הגרף. מסכימים? האם האינטואיציה ברורה?
אוקיי? אבל אני רוצה להוכיח את זה, אני לא יכול לרכב על אינטואיציות. אוקיי? כי למה אגב האינטואיציות, מה רע בהן לעומת מה שאנחנו עושים? שלאורך כל הדיון תשימו לב, לא אמרנו בשום מקום פונקציה רציפה.
והיא לא חייבת להיות לא אמרנו בשום מקום פונקציה חיובית והיא לא חייבת להיות רק אינטואיטיבית ציירתי לכם פונקציה רציפה וחיובית בשביל האינטואיציה אבל בכל ההגדרות אין את הדברים האלה אוקיי? ואנחנו נחשבים נעשה אינטגרלים, תכף נראה למה זה אינטגרל, של פונקציות שליליות ולאו דווקא רציפות, והתורה שאנחנו בונים מדויקת. בסדר? בואו נוכיח את הדבר הזה, בואו נוכיח את הדבר הזה. אז אני מוכר כאן.
הזוכחה של הלמה הזאת, אין לה שם כי זה באמת סתם טענת עזר, ויש פה איזשהו טריק מאוד סטנדרטי, די צפוי, תהי פי פג עידון משותף. מה זה עידון משותף? כל שתי חלוקות, אפילו אם פעם אחת חילקתם לשלוש ופעם אחת לארבע ואין אף נקודה משותפת, תמיד אפשר למצוא עידון שיעדן בו זמנית גם את זאת וגם את זאת.
איך עושים את זה? נכון, לוקחים את כל ה-x'ים בפי ואת כל ה-x'ים בפי-תג. מסכימים שזה נותן עידון של שניהם?
כולם? אוקיי, אז תהי פי-תג עידון משותף. אז היי.
סכום דרבו תחתון, L, של P, קטן שווה, L, של P-Tag. בעידון, P-Tag היא עידון של P, אז בעידון, סכומי דרבו התחתונים גדלים. זו הייתה ההערה הקודמת.
מסכימים? אוקיי. סכום דרבות תחתון של פי-טאג בוודאי קטן או שווה מסכום דרבו העליון של פי-טאג, כי זאת אותה חלוקה, הסכום דרבו העליון שלה יותר גדול מהסכום דרבו התחתון שלה. עברתי עכשיו מהאדומים לירוקים.
מסכימים? וסכום דרבו העליון של p-tag קטן שווה מסכום דרבו העליון של p-gal כי p-tag היא עידון של p-gal אז כשאני עובר לעידון סכומי דרבו העליונים יורדים בסדר? זהו, וזה מה שרציתי להוכיח ש-l של p קטן שווה u של p-gal בסדר?
כן. מה זה עידון? זה להוסיף עוד נקודות בחלוקה. אוקיי?
תיקח חלוקה אחת, p, תק, תק ותק. תיקח חלוקה אחרת, p, tag. תוסיף לחלוקה p את כל הנקודות של p, tag. פה היו שלוש, פה היו ארבע, עכשיו יש לך שתים עשרה.
מה פתאום? שבע. מסכים? אוקיי? האם אתה מסכים שזה עידון של פי?
כי יש שם את כל הנקודות של פי ועוד נקודות ביניים. האם אתה מסכים שזה גם עידון של השנייה, פי גל? כי יש שם את כל הנקודות של פי גל ועוד נקודות נוספות של פי.
זה נקרא עידון משותף. בסדר? התחלתי מסתם שתי חלוקות, פי ופיגל, לא אומר עליהם כלום, אין ביניהם שום קשר, זה הפואנטה. אוקיי?
שתי חלוקות, סתם. עוד? שעידון צריך להיות על כל החלקים ולא רק על...
אני לא אמרתי שעידון צריך להיות על כל החלקים. אני אמרתי שאם אתה רוצה לעשות תהליך שבאמת יקרב אותך, מוטב שלא תיתקע, להדן בטירוף פינה אחת, נכון? זה מה שאמרתי, זו הייתה אמירה אינטואיטיבית.
זה עוד לא נכנס בשום עניין? עוד לא עשיתי, עוד אין פה את התהליך הגבולי. אתה מסכים? בינתיים אני עובד על... כן?
דוגמה עכשיו זו דוגמה חד-ממדית, לא מעניינתי הפונקציה. חלוקה זה אמירה על הקטע. הנה, A, B.
הנה החלוקה P. אני מחלק את AB ל-2. זאת חלוקה, מסכימה? הנה קטע אחד וקטע שני.
האם את מסכימה שזה חלוקה? תקראי לה P. עכשיו אני אצייר לך את החלוקה P-GAL. P-GAL אני אחלק את הקטע AB לשלוש בצבע אחר. הנה אני אחלק כאן וכאן.
אחת, שתיים, שלוש. האם את מסכימה שאם אני לוקח עכשיו את... את שלושתם, גם את שני הירוקים וגם את השחור, זה גם עידון של פי, כי הנה חילקתי את הקטע הזה לשתיים וחילקתי את הקטע הזה לשתיים. וזה גם עידון של פי גל, את זה לא חילקתי, את זה חילקתי לשתיים.
יש? כולם? הולכים להיות דברים די כבדים היום.
נשא. עוד לא כבד. אם אתם נתקעים על זה, היום יהיה ארוך. אוקיי.
טוב. מסקנה. מסקנה.
סופרימום על כל החלוקות האפשריות פי של סכומי דרבו התחתונים, קטן או שווה לאינפימום, על כל החלוקות האפשריות פי של סכומי דרבו העליונים. זו מסקנה מהלמה הזאת. כי הלמה אמרה כל אחד מאלה גדול שווה כל אחד מאלה. כל האינפימום הזה הוא על כל החלוקות האפשריות, יש אין סוף כאלה, אוקיי? אבל כל אחד מהם גדול שווה מכל אחד מאלה, אז גם האינפימום האלה גדול שווה לסופרימום האלה, אוקיי?
שוב, ברמת האינפימום, אינטואיציה, ברמת האינטואיציה, סכומי דרבו עליונים על כל החלוקות, אני מדמיין אותם הולכים ויורדים ככל שאני מאדן, סכומי דרבו תחתונים אני מדמיין אותם הולכים ועולים ככל שאני מאדן, אבל תמיד אלה מעל. אלה, כי אלה מתחת לגרף ואלה מעל הגרף. אוקיי? ולא משנה כמה אני אדן, לא יכול להיות מצב שאני מוצא איזה חלוקה, שהסכום דרבו העליון שלה יותר קטן, מהסכום דרבו התחתון של חלוקה אחרת. האם זה ברור?
אוקיי? אז, הגדרה, הגדרת הסוף סוף ההגדרה, ואני ארשום אותה פה, נשאיר את זה לעוד טיפה. הגדרה. תהי f חסומה על ab. זה כל הדרישה שלי, זה שהפונקציה חסומה בקטע.
זאת הדרישה היחידה על הפונקציה. נאמר כי f אינטגרבילית, זאת המילה, והמהדרין יגידו אינטגרבילית לפי רימן, כי יש כל מיני סוגים של אינטגרביליות, אבל בקורס הזה זה האינטגרביליות היחידה שנעבוד איתה. לכן אני כמעט אף פעם לא אגיד אינטגרבילית לפי רימן, כי אני אגיד רק אינטגרבילית וזה יהיה ברור למה הכוונה.
נאמר כי f אינטגרבילית לפי רימן, אם, הסופרימום על סכומי דרבו התחתונים והאינפימום על סכומי דרבו העליונים שווים. הסופרימום על כל החלוקות פי של סכומי דרבו התחתונים שווה לאינפימום על כל החלוקות פי של סכומי דרבו העליונים. אנחנו נראה תכף דוגמאות שאין שוויון, ואז הפונקציה לא אינטגרבילית.
שלא משנה כמה אתם מעדנים, הסכום דרבו העליון יש אפרש בינו לבין הסכום דרבו התחתון, ואז היא לא אינטגרבילית. אוקיי? אני כבר רואה אנשים יושבים פה.
והגלגלים מתחילים לזוז לזוז לזוז זה לא יכול להיות זה לא יכול להיות כי אני ציירת לך פונקציה יפה נכון? צריך לצייר פונקציה קצת פחות יפה ואז זה כן יכול להיות אוקיי? אז אם יש שוויון כמו בציורים האלה נכון?
אתם מסתכלים על הציור האלה לציור הזה וברור לכם שזה באמת מה שיקרה. נכון? תעדנו עוד, האדומים יעלו, הירוקים ירדו ותעדנו יותר ויותר ויותר, ההפרש ביניהם יקטן יותר ויותר ויותר.
מסכימים? אז אל תצפו מציור כה יפה כזה למצוא שהתופעה הזאת לא קורית. בסדר? אז F אינטגרבילית אם זה קורה, לערך המשקל, השותף, לערך המשותף, זה עכשיו אותו דבר, נקרא האינטגרל של f בקטע a, b, ונסמנו נחש fx dx זה מוכר מאוד, זה הסימן שהיה לנו לאינטגרל לא מסוים. ההבדל הוא שלמטה בנחש נכתוב טעות a ולמעלה בנחש נכתוב טעות b.
אוקיי? הסבר לסימון, מוטיבציה לסימון בהמשך. בסדר?
אז אם הדבר הזה קורה, אנחנו אומרים שהפונקציה אינטגרבילית, לערך המשותף אנחנו קוראים האינטגרל, ומסמנים אותו בדרך הזאת, שהיא כרגע מסתורית מאוד. בסדר? אוקיי, אז מה שאני רוצה לעשות עכשיו זה לעשות דוגמאות. לקחת שלוש פונקציות הכי פושטות שאתם יכולים לעלות על הדעת, ולראות שהדבר הזה באמת לפחות עושה מה שהיינו מצפים שהוא יעשה.
אוקיי? אז בואו נראה את זה. נציץ רק בשעות, בסדר.
אז הנה דוגמה ראשונה. בואו נסתכל על פונקציה קבועה. אז הנה הגרף, הנה הקטע a, b, ו-f היא פשוט קבועה, איזשהו ערך c.
מה לדעתכם יהיה האינטגרל? בי פחות אי כפול סי. השטח מתחת לגרף מוטב שהוא יהיה בי פחות אי כפול סי.
אחרת מה שאנחנו עושים, חבל על הזמן, בזבזים את הזמן שלנו. מסכימים? בואו נראה שזה נכון לפי ההגדרה. אז לכל... חלוקה P, אני עושה איזה חלוקה P שאני רוצה של הקטע הזה?
מה אני יכול להגיד על L של P ו-F? מה אני יכול להגיד על סכום דרבו התחתון? סכום דרבו התחתון.
לפי ההגדרה זה סכום רימן כזה שמתקבל שבכל קטע בחלוקה אני לוקח את הערך המינימלי. נכון? m קטן i. אז זה סיגמה m קטן i דלתא x i. מה זה m קטן i בקטע ה-i?
c. מסכימים? אין הרבה ברירות.
אז יש לי פה סיגמה c כפול דלתא x i. נכון? כולם איתי.
ה-C הזה יוצא החוצה. יוצא החוצה, הוא קבוע, יוצא מהסכימה. מה זה סכום Delta XI?
סכום אורכי הקטעים בחלוקה. זה אורך כל הקטע, B פחות A. האם מסכימים? כולם?
האם אתם מסכימים שאותו חשבון בדיוק נכון גם אם אני אכתוב פה U? נכון? כי U זה להחליף את זה ב-M גדול I, אבל גם M גדול I, הפונקציה היא קבועה.
הערך המקסימל יש לה בכל קטע, לא משנה של איזה חלוקה, לא משנה איזה קטע, הוא עדיין C. כולם רואים את זה? אז זה שווה גם ל-U של P ו-F.
לא משנה מה החלוקה, סכום דרבו עליון וסכום דרבו תחתון מתלכדים. מסכימים? אז הסופרימום על אלה, אם כולם אותו דבר וכולם יוצאים זה, הוא זה. והאינפימום על אלה, הוא זה.
אז הם שווים. מסכימים? לכן, f אינטגרבילית, לפי ההגדרה, והאינטגרל מ-a עד b של קבוע dx זה פשוט הקבוע כפול b פחות a. בסדר? כולם?
הנה עוד דוגמה. דוגמה 2. בואו נסתכל על חבריו עתיקה מ-infi1, פונקציה דירי חלה. 1 ש-x שייך ל-q, 0. כש-x לא שייך ל-q, בקטע 0,1. אז זאת פונקציה דירי חלה. האם היא חסומה?
כן? בואו נבדוק אם היא אינטגרבילית. אוקיי?
אז איך אני בודק שהיא אינטגרבילית? אני לוקח חלוקה, עושה, מחשב מה סכום דרבו עליון, סכום דרבו תחתון, עושה אינפיום על כל התחתונים, סופרימום על כל העליונים, בודק אם זה שווה. אוקיי?
אז לכל חלוקה פי שתקחו, איך שלא תחלקו את הקטע, מה יהיה L של פי? למה? כי זה סכום, i שווה 1 עד n, תלוי לכמה קטעים חילקתם.
הערך המינימלי של הפונקציה בכל קטע. מה הערך המינימלי בכל קטע של פונקציה דיריך ל-0? למה? אולי יש...
יש קטע שיש בו רק רציונליים, יש דבר כזה? למה לא? נכון, ספיפות הרציונליים והאירציונליים. אז פה זה תמיד 0 כפול Delta XI, שזה 0. לא משנה איזה חלוקה לקחתם.
האם מסכימים? לעומת זאת, מה זה U של P? זה Sigma I שווה 1 עד N.
מה הערך המקסימלי של הפונקציה בכל קטע? 1, כי תמיד מתחבש שם איזה רציונלי, נכון? האחד יוצא החוצה, סכום הדלתא x עיים זה סכום אורכי הקטעים, זה b מינוס a, אבל פה הb מינוס a זה פשוט אחד. בסדר?
אז אם תיקחו אינפי מומל אלה זה עדיין יהיה אפס, סליחה, סופרים מומל אלה עדיין יהיה אפס, אינפי מומל אלה עדיין יהיה אחד, אין שוויון. לכן, f לא אינטגרבילית. האם מסכימים?
שאלות? יש? יש?
לאט לאט. אוקיי? האם אתם מסכימים שזאת לא אינטגרבילית? בואו נעשה עוד דוגמה. עוד דוגמה.
דוגמה שלוש. ואחרי דוגמה שלוש נעשה הפסקה. אני ער למתרחש.
אחרי דוגמה שלוש. דוגמה שלוש. בואו נסתכל על הפונקציה. f של x שווה x בקטע 0,1.
האם היא חסומה? כן, יש על מה לדבר דבר ראשון. אז בואו ננסה לראות אם אינטגרבילית לחשבת האינטגרל. אז הנה 1, הנה 0, הנה הפונקציה. נכון?
f של x שווה x. אז אני צריך לעשות פה חלוקות. אז אני מתחיל נעיבי.
בואו נחלק את הקטע 0,1 ל-n קטעים שווים. בואו נגדיל את זה טיפה. שם. שיהיה יותר קל לראות איכשהו היום אני רוצה לעשות ציורים קטנים, לא יודע למה. הנה.
אז הנה 1, ואני מחלק את זה ל-n קטעים שווים. אז פה זה יהיה 1 חלקי n, ופה זה יהיה 2 חלקי n, וכן הלאה. בסדר?
מסכימים? אוקיי. אז זאת החלוקה שלי פי.
נסתכל על חלוקה פי, בואו נקרא לה פי n. זה ירמוז לנו. פי n ל-n קטעים שווים.
כל אחד מהם בגודל 1 חלקי n במדויק. מה זה סכום דרבו העליון, u של pn, עבור הפונקציה הזאת? מה זה סכום דרבו העליון?
זה בכל קטע בחלוקה לקחת את הערך הכי? המקסימלי. זה פונקציה רציפה זה לא יהיה סופרום זה באמת יהיה מקסימום נכון?
איפה מתקבל נגיד בקטע הזה בין 1 חלקיהן ל-2 חלקיהן איפה הערך המקסימלי? ב-2 חלקיהן הוא פה נכון? אבל בנים שאני אקבל יראו ככה.
מסכימים? זה תהיה פונקציה, על למעלה שלהם יהיו מדרגות כאלה. מסכימים? כולם רואים את זה? אז איך אני כותב את זה?
אתה תתארי. זה סיגמה, i שווה 1 עד n. הערך כש-i הוא 1, במלבן הזה הערך הכי גדול הוא 1 חלקי n.
כש-i הוא 2, זה 2 חלקי n. נכון? אז מה זה באופן כללי?
i חלקי n כפול delta x i. delta x i זה רוחב הבסיס. מה רוחב הבסיס?
1 חלקי n. האם כולם מסכימים שזה סכום דרבו העליון? בסדר? כולם איתי? אוקיי, אז בואו נכתוב את זה טיפה אחרת, את ה-n עם האלה, יש פה n בריבוע, אני יכול לשלוף אותו מה-σיגמה, זה סיגמה על i, אז יש לי 1 חלקי n בריבוע, ואז מה זה סיגמה על i?
i שווה 1 עד n. זה 1 ועוד 2 ועוד תק תק תק עד ועוד n. נכון?
מסכימים שזה מה שכתוב פה? מה זה? איך עושים דבר כזה? נכון, זה סכום של סדרה חשבונית, נכון? עם d שווה 1 ו...
אוקיי. אז יש לי פה n בריבוע למטה. ופה יש לי איבר ראשון ועוד איבר אחרון כפול מספר האיברים חלקי 2. מסכימים? n ועוד 1 כפול n וחלקי 2. סבבה? כולם?
אז אחד ה-n מצטמצם, אחד ה-n מצטמצם ואני נשאר עם n ועוד 1 חלקי 2n, אני מעדיף לכתוב את זה ברשותכם, חצי 1 ועוד 1 חלקי n. תגידו לי אם אתם מסכימים למה. ה-n הזה הצטמצם, נשארתי עם n ועוד 1 חלקי n, שזה כמו 1 ועוד 1 חלקי n. האם כולם מסכימים? בסדר?
אוקיי. בואו נראה מה זה סכום דרבו תחתון שמתאים לאותה חלוקה, pn ל-n קטעים שווים. זה סיגמה, i שווה 1 עד n. מה הערך המינימלי בכל קטע? מתקבל בקצה השמאלי שלו.
אז זה i פחות 1. מסכימים? אז זה i פחות 1 חלקי n. בקטע הראשון הערך המינימלי הוא 0. כש-i הוא 1 אני מקבל 0. כש-i הוא 2, כש-i הוא 2 הערך המינימלי הוא 1 חלקי n.
כולם רואים את זה? כפול. רוחב המלבן זה עדיין 1 חלקי n. מסכימים?
וזה שווה לפי אותם שיקולים, ה-1 חלקי n בריבוע יוצא החוצה, נכון? והסכום שאני סוכם עכשיו זה 0 ועוד 1 ועוד טק טק טק, עד ועוד n פחות 1. האם מסכימים? בסדר? הלו? שווה, שווה.
אז מה הסכום הזה? איבר ראשון ועוד איבר אחרון? n-1.
אז יש לי 1 חלקי, לא צריך את ה-1, n בריבוע, n-1. כפול מספר העברים, n חלקי 2, שאת זה אני יכול לכתוב כחצי, ועכשיו יש לי n פחות 1 חלקי n, כלומר 1 פחות 1 חלקי n. האם מסכימים עד כאן? כולם? אוקיי.
עכשיו בואו נתחיל, אני חייב ללכת להגדרה המדויקת, בואו רגע ללוח הזה, ובואו נראה, אני צריך לחשב מה הסופרימום על כל החלוקות האפשריות פי, לאו דווקא פי-אנים כאלה, של סכומי דרבו התחתונים, האלים. ולבדוק אם הוא שווה לאינסיום על כל החלוקות האפשריות של סכומי דרבו העליונים, היויים. אוקיי? בואו נחשב את זה.
אז מה זה האינפימום, נתחיל מזה, האינפימום על כל החלוקות, בואו נעשה ככה, אינפימום על n של l של pn. מה האינפיום רק על הסכומי דרבוי התחתונים של ה-PN, של החלוקות המאוד מסוימות האלה שאני מחלק כל פעם, לאין קטעים שווים. אז בואו נסתכל רגע פה. L של PN יצא הדבר הזה. מה האינפיום של L ככל שאני מגדיל את N יותר ויותר ויותר ויותר ויותר?
האם אתם מסכים שהאינפיומום... אני צריך סופרימום. תכף אני אחזור לשם ואתקן את זה לסופרימום, נכון? מה הסופרימום של אלה?
חצי, נכון? אחד פחות חצי ואז אחד פחות שליש ואחד פחות רבע ואחד פחות חמישית ואחד פחות שישית. האם אתם מסכימים שהסופרימום הוא חצי? כולם רואים את זה? כולם?
אוקיי. תכף אני אלך לשם ואתקן את זה. מה האינפימום של היועים? גם חצי. האם מסכימים?
אבל זה רק על חלוקות מאוד מאוד מסוימות. פיינים כאלה. נכון? אז איך אני עובר להמירה הכללית? אז קודם כל פה אני מחליף.
את זה בסופרימום זה סתם טעות שלי אז הסופרימום של אלה הסכמתם שהוא חצי נכון? זה קטן או שווה מהסופרימום על כל החלוקות האפשריות פי כי אם אני עושה סופרימום על קבוצה יותר גדולה אני לא רץ על פי אינים רק אלא אני רץ על כל הפיים בעולם יכול להיות שפה יש סופרימום יותר גדול. כשאני מגדיל את מספר העברים בקבוצה שעליה אני מחפש סופרימום, אני יכול רק להגדיל את הסופרימום. האם מסכימים?
אוקיי? עכשיו, זה תמיד, תמיד, תמיד, קטן או שווה, לאינפימום על כל החלוקות p בעולם של u של p. נכון? זה הוכחנו. זה קטן או שווה לאינפימום רק על ה-n של u של pn.
מאותה סיבה. פה יש לי קבוצה יותר גדולה, כל החלוקות בעולם, פה יש לי רק pn. אוקיי?
תת קבוצה. אז כשאני עושה אינפיום על תת קבוצה, הוא יכול רק לגדול. מסכימים? וזה שוב שווה חצי. מה המסקנה?
אם יש לי אי שוויון לכל העולם, אבל הקצוות שווים שכל ה-E שוויונים האלה הם בעצם שוויונים. מסקנה, f של x שווה x אינטגרבילית בקטע 0.1. אני אפילו יודע מה האינטגרל.
אינטגרל מ-0 עד 1 של x dx שווה למה? לערך המשותף שהוא חצי. האם זה מסתדר עם מה שהיינו מצפים לקבל? כן?
למה? נכון, זה שטח משולש עם בסיס 1 גובה 1, הנה הוא עדיין פה על הלוח, טוב מאוד שהשטח הזה יצא חצי ולא משהו אחר. האם מסכימים? בסדר? אוקיי?
אוקיי, אז איזה סוגרת הדוגמאות? בקטנה לגמרי. תראו כמה אנחנו עובדים קשה, כמה אנחנו עובדים קשה, על לחשב אינטגרל של הפונקציה x.
למישהו יש פה אומץ לעשות עכשיו את x בשלישית, או את סינוס x, או את e בגובה x, אם כאלה... אם אלה! נכון? מוטב שיהיו משפטים.
מסכימים? מוטב שתהיה הפסקה. אז הפסקה.