Funktionen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Immer wieder hört man von f gleich x² oder f gleich 1 durch x. Doch was sind eigentlich Funktionen? Wie kann man sich diese vorstellen? Und welche Eigenschaften besitzen sie?
Die Antworten zu all diesen Fragen findest du in diesem Video. Viel Spaß! Grundsätzlich lautet die offizielle Definition von mathematischen Funktionen folgendermaßen. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung von Elementen einer Menge x auf Elemente einer Menge y. Klingt erst einmal ziemlich kompliziert, ist es aber eigentlich gar nicht.
Ein praktisches Beispiel, wie man sich diese Definition vorstellen kann, ist die Betrachtung des Wasserstandes eines Wasserbeckens über einen Zeitraum. Man ordnet hier jedem Zeitpunkt eine bestimmte Wasserhöhe zu. Diese Zuordnung ist dabei laut der Definition eine eindeutige Zuordnung.
Das bedeutet, dass jeder Zeitpunkt nur eine Wasserhöhe hat. Macht ja auch Sinn. Das Becken kann ja auch nur einen Wasserstand im selben Moment haben und nicht mehrere.
Umgekehrt ist das jedoch durchaus möglich. Es könnte vorkommen, dass der Wasserstand steigt und sinkt und somit dieselbe Wasserhöhe zu mehreren Zeitpunkten vorkommt. Die Zeitpunkte bilden dabei die Menge x.
Das heißt, dass ein bestimmter Zeitpunkt, wie zum Beispiel 5 Sekunden, ein Element der Menge x ist. Diesen Elementen der Menge x werden nun Elemente der Menge y zugeordnet. Anhand des Beispiels kannst du dir hier erschließen, dass die verschiedenen Höhen des Wasserstandes die Menge y darstellen.
Ein Element der Menge y könnte nun beispielsweise die Wasserhöhe 6 Meter sein. Im Koordinatensystem... kannst du nun zum Beispiel den Punkt A sehen, welcher den Wasserstand zum Beginn der Befüllung beschreibt.
Dieser liegt beim Zeitpunkt 0 Sekunden bei 6 Metern. Das bedeutet also, dass der Wasserstand zu Beginn 6 Meter hoch ist. Andererseits beschreibt der Punkt B den Wasserstand zum Zeitpunkt 28 Sekunden nach Beginn der Befüllung. Der Wasserstand beträgt hier 20 Meter.
Etwas allgemeiner formuliert, beschreibt eine Funktion also die Beziehung der Elemente der Menge x und der Elemente der Menge y. In der mathematischen Praxis werden die Elemente der Menge x als Argument und die Elemente der Menge y als Funktionswerte bezeichnet. Im Koordinatensystem sind die Argumente auf der x-Achse, also in Form von x-Werten dargestellt, und die dazugehörigen Funktionswerte in Form von y-Werten auf der y-Achse. Wie die Funktionswerte nun von den Argumenten abhängen, wird durch eine Funktionsgleichung beschrieben. Diese beginnt mit dem Namen der Funktion in Form eines einzelnen Buchstaben, in den meisten Fällen f.
Hinter den Namen wird dann in Klammern das Argument, also allgemein x, geschrieben. Das zeigt, dass die Funktion in dem Fall den x-Werten y-Werte zuordnet. Man kann daher auch anstelle von f, y gleich schreiben.
Das ist die Funktion. Dann folgt ein Gleichheitszeichen, welches beschreibt, wie aus den eingesetzten x-Werten die dazugehörigen Funktionswerte gebildet werden. Im Beispiel von f gleich x² müsste man den eingesetzten x-Wert mit sich selbst multiplizieren bzw. quadrieren. Für f würde das 2 hoch 2 gleich 4 ergeben.
Oder für f gleich 4 hoch 2 und das ist gleich 16. Das ist gleich 16. Diese Paare von x-und y-Werten könnte man nun in das Koordinatensystem eintragen, wodurch der Graph der Funktion zum Vorschein kommt. Da man grundsätzlich für x jeden Wert, also auch gebrochene oder Dezimalzahlen einsetzen kann, besitzt der Funktionsgraph von f gleich x² keine Lücken. Man kann somit die unendlich vielen vorhandenen Punkte problemlos zu einer Linie verbinden und erhält das Schaubild der Funktion. Wir hoffen, dass wir dir mit diesem Video zeigen konnten, was es mit einer Funktion in der Mathematik auf sich hat. Wenn dir das Video gefallen hat, lass doch gerne ein Like und Kommentar da und abonnier den Kanal, um keine weiteren Videos mehr zu verpassen.