Hello students, आज से हम chapter number 3 properties of gases के important question पढ़ने वाले हैं. तो आज के इस वीडियो में हम ये prove करेंगे कि pv raise to gamma is equals to c होता है for adiabatic process. So I hope you are ready with your pen and paper, so without wasting much time let us start this video.
तो question बोर कर लिखा हुआ है prove that PV rise to gamma equals to C for adiabatic process जहांपे ये जो gamma है इसे हम adiabatic index बोलते हैं जो के एक constant है जिसका value 1.4 के बराबर होता है तो कैसे prove करेंगे PV rise to gamma equals to C for adiabatic process तो उसके लिए हम force law का help लेंगे force law हम पढ़ चुके हैं previous video में chapter number 1 में जो के था DQ is equals to DU plus DW ये हो गया हमारा law अच्छा, अब हम किसकी बात कर रहे हैं? हम बात कर रहे हैं, एडियाबेटिक प्रोसेस की, तो हमें पता है कि एडियाबेटिक प्रोसेस में heat transfer हमेशा zero होता है, यानि ये DQ क्या है? heat transfer है, कैसा होगा? zero होगा, क्यों? एडियाबेटिक प्रोसेस है, तो DQ की जगा heat transfer zero कर दिया DU यानि internal energy का equation क्या था?
equation था MCV delta T या बोलो DT plus work done quasi static process में हमने derive किया था कौन सा था वो PDV तो यहाँ पे values रख दिये तो यह equation हम ऐसे भी लिख सकते हैं यह 0 को वो side रख देंगे तो MCV DT plus PDV is equal to 0 अब हम क्या करेंगे? यह equation है इसमें DT की value find करेंगे और यहाँ पे रख देंगे तो DT की value ढूंढेंगे जो भी value आई वो इसमें रख देंगे कैसे ढूंढेंगे तो उसके लिए हमें एक ideal guess equation बता है कौन सा है PV is equal to MRT हमें यह equation पे से किसकी value चाहिए DT की value चाहिए यानि कि यह equation को दोनों side T से differentiate करना पड़ेगा तो कैसे differentiate कराएंगे, यह हो गया P into V, यानि U into V law लगाएंगे, U into V differentiation का law क्या था, तो उसके लिए हम बोलते थे, पहला term as it is, दूसरे term का differentiation, यानि dv, plus यह जो दूसरा term है, वो as it is, पहले term का differentiation, यानि dp, which is equals to, M और R तो constant है, हमें पता है, और T का differentiation हो जाएगा, dT, हमें क्या चाहिए, dT का value, तो यहां से हम DT को subject बना देंगे, तो DT is equal to क्या हो जाएगा, PDV plus VDP divided by, नीचे चला जाएगा, MR, यानि यह हमें मिल गई किसकी value, DT की value, यह DT की value यहां पर रख देंगे, तो MCV value क्या है, value है PDV plus VDP divided by MR, यह हो गई DT की value, बचा क्या, PDV is equal to 0, अब यहाँ से M से M cancel हो जाएगा, नीचे की side R है, तो यह R अगर हमें निकलना है, तो हम क्या करेंगे, यह equation को हम पूरा R से multiply कर देंगे, अगर R से multiply किया, तो यहाँ पे R आ जाएगा, तो R से R cancel तो बचेगा क्या, CV PDV plus VDP, ठीक है, R से R cancel, plus R multiply किया है, यहाँ multiply करने पर R भी निकल जाता था, यहाँ पे R रहेगा, R into PDV is equals to 0 into R, 0. ठीक है, अब यहाँ पर multiply करते हैं, bracket open करते हैं, तो होगा CV PDV plus का sign, यहाँ पर CV VDP plus, अब यह R के बारे में हम क्या बोल सकते हैं, एक Mayors formula आता है, जिसे हम बोलते हैं, CP minus CV is equal to R, इसका variation भी हम देख लेंगे, तो आप पता है, CP minus CV का value किसके बराबर होता है, R के बराबर, तो यह आगे बढ़ते हैं CV PDV plus CV VDP plus अब यह ब्रेकेट ओपन करेंगे तो CP PDV minus sign है तो minus CV PDV is equal to 0 अब यहाँ पर हम देख सकते हैं कि यह क्या है plus CV PDV और यह है minus CV PDV दोनों cancel हो जाएंगे तो बचेगा क्या CV VDP plus CP पी डी वी इस इकॉल्स टू जीरो अब यहां पर एक चीज याद रखने पड़ेगी कि यह जो पूरा एक्वेशन है उसे हम डिवाइडेड पाई सीवी वी और पी कर देंगे यहीं पूरी एक्वेशन को दोनों साइड यह टाइम से डिवाइड कर देंगे तो यहां पर अगर डिवाइड करते हैं तो सीवी वी और पी आ गया यहां पर सीवी वी पी डिवाइड कर दिया यहां पर सीवी वी पी डिवाइड कर दिया ठीक है तो सीवी से सीवी कैंसल हो जाएगा वी से वी कैंसल हो जाएगा तो बचेगा क्या डीपी बाई पी प्लस यहाँ पे क्या बचेगा? CP by CV बचा.
P से P cancel हो गया तो बचा. DV by V which is equal to 0 by ये term. 0 होने वाली है.
आगे बढ़ते हैं. दी पी बाई पी प्लस अब ये सी पी बाई सी वी जो है सी पी बाई सी वी उसे हम गैमा लिख सकते हैं क्योंकि हम किसकी बात कर रहे हैं एडियावेटिक प्रोसेस की बात कर रहे हैं तो ये एक्वेशन भी हम डिराइव करेंगे तो सी पी बाई सी वी इक्वेस्टू गैमा हम प्लस इसका integration, integration of gamma dv by v is equals to 0 है, तो ये side भी integration लेना पड़ेगा, integration of 0, ठीक है, आगे बढ़ते हैं, तो integration of dp by p, प्लस ये gamma क्या है, constant है, 1.4 value है, adiabatic index है, तो gamma को integration के बाहर रख देते हैं, dv by v is equals to integration of 0, अच्छा है, अब ये integration of dp by p क्या होगा हमने पढ़ा था maths में क्या integration of 1 upon x dx का क्या होता था log x या बोलो integration of dx by x वो भी log x के बराबर होगा तो ये क्या है dp by p तो हम बोल देंगे log p के बराबर होगा plus gamma constant dv by v यानि log v is equal to according to this ये जो log log आ रहे हैं तो यहाँ पे हम इसको बोल देंगे ये integration of 0 का बोल दे लॉग पी प्लस अब लॉग में एक रूल हमें मालूम है लॉग के आगे जो भी होता है उसे पावर में दे देते हैं तो यहाँ पर हो जाएगा लॉग वी रेस्टू गैमा इस इकॉल्स टू लॉग सी ठीक है यहाँ से आगे बढ़ते हैं ठीक अच्छा अब लॉग में जब अब दोनों साइड हम anti-log ले लेंगे, ऐसे मत कर देना, log-log cancel दोने साइड, दोनों साइड anti-log ले लेंगे, जिसके कारण log निकल जाएंगे और बचेगा क्या? PV rise to gamma is equal to C.
तो हमने prove कर दिया क्या PV rise to gamma is equal to C for adiabatic process. तो यही step हमें exam में लिख के आने है to get the full marks. पर इस वीडियो में बस इतना ही, next जो हमारा derivation होगा, वो होगा PV rise to n equals to C for polytropic process.