Oke, Assalamualaikum Wr. Wb. Baik teman-teman sekalian kembali lagi di Basemath Channel.
Pada video kali ini masih melanjutkan pembahasan kita di materi transformasi geometri ya. Salah satu materi matematika tingkat lanjut ya untuk SMA kelas 11 kurikulum Merdeka. Sekarang kita sampai ke transformasi yang ketiga ya yaitu rotasi atau perputaran.
Dimana sebelumnya kita sudah membahas transformasi mengenai Refleksi dan translasi, teman-teman bisa cek pembahasannya di video kami sebelumnya. Bisa masuk di playlist transformasi geometri. Nah, yang ketiga rotasi atau perputaran. Apa sih itu rotasi? Jadi, rotasi atau perputaran merupakan transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar.
Sesuai pengertiannya, rotasi. Jadi, kita memindahkan titik-titik dengan cara memutar. titik-titik tersebut sejauh alpa, alpa disini besar sudut ya terhadap titik pusat tertentu inilah maksud dari transformasi rotasi ya, memindahkan suatu obyek dengan cara diputar, tentu perputarannya ada aturannya ya yaitu pada pusat tertentu ya, kemudian sejauh besar sudut yang diinginkan nah, karena disini ada besar sudut Nah yang perlu diperhatikan jika perputaran sudutnya bernilai positif ya maka perputarannya berlawanan dengan arah jarum jam putarnya dari kanan ke kiri ya.
Kalau besar sudutnya bernilai negatif maka perputarannya searah jarum jam ya. Nah ini catatan penting yang perlu kita pahami terlebih dahulu ya. Jadi tidak sembarang diputar aja gitu ya ada aturannya kalau positif.
ke kiri negatif ke kanan lebih mudahnya biasanya kita menggunakan koordinat karitesius misalnya disini ada 0 derajat maka kalau sudutnya diputar berlawanan arah jarum jam berarti nilai sudutnya positif tadi ya sehingga sampai di batas ini yaitu 90 derajat kemudian 180 derajat 270 derajat 1 putaran penuh 360 derajat ya Jadi ini maksudnya, kalau positif diputar ke kiri. Kalau ke kanan berarti dia negatif. Misalnya nih, nanti ada soal misalnya tentukan bayangan, titik misalnya ya, yang dirotasi 180 derajat. Berarti kita putar, karena positif putar dari 0 ke kiri sampai 180 derajat.
Kalau misalnya nih, ada soal... Perputarannya sejauh min 270 Berarti kita putar ke kanan ya Searah jarum jam berarti sampai di 90 derajat Gitu ya Nah yang pertama kita akan membahas dulu mengenai rumus Rotasi terhadap titik pusat 0,0 ya Karena tadi dari definisi katanya perputarannya pada suatu titik pusat tertentu, berarti ada 2 kemungkinan titik pusatnya apakah 0,0 atau titik pusat yang lainnya nah, seperti biasa kita lakukan dulu rotasi ya secara langsung untuk mendapatkan rumus yang bisa kita gunakan secara umum, misalnya nih ada titik, anggaplah titik A dengan koordinat 4,1 ya Mau dirotasi pada pusat 0,0. Berarti di sini ya.
Nah, titik pusatnya. Nah, misalnya kita mau putar titik A ini sejauh 90 derajat. Berarti positif tuh.
Nah, ingat. 90 derajat itu sudut apa? Sudut siku-siku. Atau biasa disimbolkan berpotongan tegak lurus. Nah, caranya kita tarik garis nih.
Dari titik pusat ke titik yang mau kita rotasikan. Tarik garis. Kemudian karena perputarannya 90 derajat berarti garisnya tidak lurus ya. Berarti kita tarik garis juga yang memotong garis ini pada titik pusat.
Anggaplah seperti ini ya. Sehingga perpotongan kedua garis ini akan membentuk sudut siku-siku. Maka dari titik pusat ke titik yang mau kita putar kita geser ya. Misalnya kita tarik garis itu ya.
Dari titik pusat ke titik yang mau diputar. Hai tarik garis atau benang kita tarik tali kita kemudian kita putar objeknya ke Kiri ya sampai ketemu garis potongnya tadi ya maka disitulah bayangan titiknya ya yang akan membentuk sudut 90 derajat ya dimana jarak antara titik pusat ke objek dan titik pusat ke bayangan pasti sama panjangnya ya. Maka disinilah koordinat bayangan titik A yaitu A aksen koordinatnya berapa nih?
Minus 1,4 gitu ya maka ketemu ya. Bayangan titik yang ada Jika dia diputar 90 derajat Pada titik pusat 0,0 Bisa ya kira-kira ya Nah dari sini kita bisa menarik kesimpulan Diperoleh hasil rotasi Jika ada titik A 4,1 misalnya Dirotasi pada titik pusat 0,0 Sejauh 90 derajat Nah ini simbol rotasi ya teman-teman Jadi sebelumnya kan Kalau pencerminan pakai M Ya Kalau translasi paket T. Kalau rotasi sesuai namanya R. Nah O ini apa?
O ini adalah pusat 0,0. Jadi ini nama rotasinya. Ini pusatnya. Ini besar sudutnya. Jadi di rotasi pada pusat 0,0 sejauh 90 derajat.
Positif ya. A3 kiri. Maka akan menghasilkan bayangan A aksen yaitu min 1,4. Sehingga dari sini disimpulkan. Bahwa secara umum untuk pusat.
0,0 yang 90 derajat dulu ya. Jika ada titik nih, anggaplah secara umum x,y dirotasi pada pusat 0,0 sejauh 90 derajat menghasilkan bayangan. A aksen yaitu min y,x.
Karena kita lihat tadi, satu ini dari mana? Dari objek yaitu y-nya ya. Ini kan x,y nih.
Menjadi min y,x. Tinggal ditukar saja posisinya, tapi y-nya dikalikan dengan negatif. Gitu ya, dapat satu rumus. Jika sudutnya 90 derajat. Namun di awal tadi kan banyak tuh sudut.
Di kuadran pertama saja ada banyak. 0, 30, 45, 60 derajat, 90 derajat. Belum lagi kuadran kedua, tiga, dan empat. Sehingga banyak.
Nah apakah kita akan melakukan rotasi satu-satu? Tidak usah. Cukup dari satu rumus ini. Kita akan menarik mencari rumus secara umum.
Jadi bagaimanapun nanti atau berapa besar pun. sudut perputarannya hanya menggunakan satu rumus saja caranya gimana kita menggunakan persamaan Matrix transformasi ya masih ingat ya kemarin ya caranya gimana kalau Matrix itu dikaitkan dengan transformasi itu pengoperasiannya dari belakang ke depan jadi belakang ini kan bayangan ya jadi bayangan itu minyai koma X ini itu diperoleh dari hasil transformasi satu Matrix terhadap objek yang ada, gitu ya anggaplah transformasinya, matriksnya begini terhadap objek nah, ini kan perkalian matriks nih syarat 2 matriks dikalikan bagaimana kita lihat dulu ordonya ya ordo hasil kalinya yaitu 2,1, artinya barisnya 2, kolomnya 1 yang dikalikan juga 2,1 berarti, agar matriks ini bisa dikalikan dengan matriks yang lain Matriks yang lain ini ordonya berapa kira-kira? Ordonya 2 kali 2 ya. Karena syarat 2 matriks dikalikan.
Jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Yang ini nih, 2 2 sama nih. Nah ini harus sama.
Itu syaratnya dia bisa dikalikan. Nah hasilnya bagaimana? Berordo yang di luar. Jumlah baris matriks pertama dikali jumlah kolom matriks kedua.
2 1. Nah inilah ordo hasil kalinya. Benar ya? Sehingga anggaplah matriks transformasinya di sini berordo 2 kali 2, anggaplah A, B, C, D. Ya, mau kita cari nilainya. Jelas ya?
Oke, sehingga karena ini perkalian kita operasikan. Konsep perkalian gimana? Baris kali kolom, sehingga kali satu-satu nih. A kali X tambah B kali Y.
Sehingga diperoleh yang pertama AX tambah BY. Kemudian yang kedua, baris yang kedua kalikan juga. C kali X tambah D kali Y.
Nah. Dari sini kita peroleh persamaan ini ya. Ini kan kesamaan matriks ini. Artinya min Y sama dengan AX tambah BY. Kemudian X sama dengan CX tambah DY.
Nah, apa yang mau kita cari? Kita mau membuat persamaan ini bernilai benar. Di ruas kiri kan min Y itu. Di ruas kanan ada X dan ada Y. Maka berapa nilai A dan B sehingga di ruas kanan ini tersisa min Y saja.
Maka X-nya pasti harus hilang ya. Biar hilang, A-nya berarti berapa? A-nya pasti 0. Karena 0 kali X, 0. Habis.
Nah, tersisa BY. Agar BY ini bernilai min Y, nilai B-nya berapa? Tentu min 1 ya, karena min 1 kali Y, min Y.
Sehingga ini bernilai benar. Sehingga diperoleh nilai A-nya 0, nilai B-nya min 1. Lanjut yang kedua, sama. Persamaan yang kedua juga X sama dengan CX tambah DY.
Maka kita mau buat bernilai benar ini persamaan. Di ruas kanan ada X dan Y nih. Sedangkan di ruas kiri hanya ada parabel X, maka CX.
Agar X-nya tetap ada, C-nya berapa kira-kira? C-nya pasti 1, karena 1 kali X ya tetap X. Nah, Y-nya ini yang harus hilang. Berarti D-nya berapa kira-kira?
D-nya pasti 0 ya, karena 0 kali Y, 0. Habis tersisa X saja. Sehingga persamanya bernilai benar. Sehingga dari sini diperoleh.
C-nya 1, D-nya 0. Maka kita masukkan kembali ke matriks yang pertama nih. Sehingga diperoleh sudah hasil A, B, C, D-nya. Nilainya tadi berapa? 0, min 1, 1, dan 0. Gitu ya. Oke, nah dari sini.
Karena di sini menggunakan sudut perputaran 90 derajat, maka nilai besaran sudut itu diperoleh dengan cara apa? Persamaan trigonometri. Masih ingat?
Sin, cos, dan tan. Ada tuh sudut-sudut istimewa. Berarti berapa nih nilainya? Kalau sin 0 berapa?
Masih ingat nggak? Kalau sin itu dimulai dari 0 ya. Kemudian 1 per 2, 1 per 2 x 2, 1 per 2 x 3, dan 1. Kalau cos gimana?
kos itu kebalikannya berarti 1 seper 2 akar 3 seper 2 akar 2 seper 2 dan 0 kalau tan gimana? tan dari 0 kemudian seper 3 akar 3 ambil satunya ambil akar 3 nyata hingga gitu ya nah ini tentu teman-teman harus hafal lah sudah ya nah sekarang kita mencari yang nilainya 0 dan 1 itu apa saja? yang di sudut 90 derajat nah di 90 derajat yang mana yang nilainya 1 dan 0?
tentu hanya sin dan cos saja ya sehingga tan tidak kita lunakan ya maaf ya tan ya sehingga yang nilainya 0 cos atau sin nih 90 yaitu cos 90 maka kita tulis nilai 0 ini diperoleh dari sudut 90 derajat yaitu cos 90 derajat min 1 sedangkan disini kan sin nya hanya 1 maka ini dibuat menjadi min sin 90 karena sin 90 kan 1 kali min ya min 1 Berarti yang satu di bawah jadinya sin saja ya, sin 90, 0 tadi, cos-nya lagi. Maka dari sini diperoleh tuh rumus secara umum. Jadi secara umum, rotasi terhadap pusat 0,0, jika ada titiknya, objek, x,y, dirotasi pada pusat 0,0 sejauh sudut, alpha, tergantung tuh sudutnya.
Maka diperoleh bayangan a aksen yaitu x aksen, koma, Y aksen dimana X aksen Y aksennya tadi diperoleh dengan cara apa? Perkalian matriks transformasi yaitu cos alpha min sin alpha sin alpha cos alpha dikali objeknya X Y. Nah inilah rumus yang dapat kita gunakan berlaku secara umum untuk pusat 0,0. Mau rotasinya 90, 60, 180, 270 dan seterusnya cukup gunakan rumus ini saja. Cuma catatan biasanya secara umum besaran sudut yang digunakan untuk rotasi biasanya yang batas-batas interval ya.
0, 90 derajat, 180 derajat, dan 270 derajat. Cuma harus tahu juga rumus umumnya. Oke ya jelas?
Oke langsung kita bahas contoh soal. Misalnya nih, ada titik A dirotasikan sebesar 270 derajat terhadap titik pusat 0,0 menghasilkan bayangan. A aksen 1,2. Maka koordinat titik A-nya berapa? Jadi yang ditanyakan di sini apa?
Objeknya ya. Nah, ini perputarannya 270 nih. Positif. Berarti ke kiri ya. Kita tulis dulu rumusnya secara umum.
Dirotasi pada pusat 0,0 270 derajat menghasilkan bayangan 1,2. Maka kita gunakan tadi rumus umumnya. Artinya bayangan dulu. Berarti 1,2 diperoleh dari hasil rotasi matriks nih Matriks transformasi ya Yaitu cos alpha, alphanya kan 270 langsung saja nih Cos 270, sin 270, sin 270, cos 270 Mengalihkan objek yang ada yaitu x,y yang mau kita cari Berapa nilainya ya Sehingga kita Tentukan nilai kos 270 ini berapa, sehingga harus apal memang ya, dari kuadran 1 sampai 4. Kalau cos 270 itu 0 ya.
Kalau sin 270 itu min 1. Sehingga kalau min 1, min sin 270 jadinya positif 1 ya. Karena dikali min lagi. Nah, kalau sin 270-nya min 1, cos 270-nya 0 lagi ya.
Dikalikan dengan objek yang ada. Nah, di sini kita cepat aja ya. Langsung, tuliskan saja langsung nilai dari cos 270 dan sin 270-nya ya.
Nah, sehingga setelah itu kita kalikan ya. Yang matriks di ruas kanan ini dikalikan dengan objek yang ada, X, Y. Sehingga perkaliannya sama, ya. Baris kali kolom. 0 kali X, ya 0. 1 kali Y, berarti tersisa Y, gitu ya. Kemudian yang kedua, min 1 kali X, ya min 1. 0 kali Y, 0. Sehingga tersisa min X-nya saja.
Sehingga diperoleh nih, persamaan. Persamaannya bagaimana tuh? Yang pertama, 1 ini sama dengan Y, ya. Dapat nilai Y-nya, oke. Yang mau dicarikan X, Y nya Y nya sudah dapat nih 1 Kemudian 2 ini sama dengan min X Min X yang mau dicarikan X aja Berarti min ini harus pindah ruas Sehingga X sama dengan min 2 Dapat deh objeknya Koordinat objeknya X, Y berarti Min 2, 1 Jadi koordinat titik A nya sebagai objek Min 2, 1 Jadi terkadang Soal-soal yang ada itu dibolak-balik Terkadang objeknya yang ditanyakan, bukan selalu bayangannya saja ataupun nanti kadang ada titik pusatnya tapi biasanya untuk pusat yang lain bukan 0,0 bisa ya, seperti biasa di akhir pembahasan ada satu latihan soal sebagai bentuk pemantapan, silahkan bisa dikerjakan, bolehlah jawabannya ditulis di kolom komentar, demikian yang bisa kita bahas mengenai transformasi rotasi ya pada pusat 0,0 semoga bermanfaat dan bisa dipahami nantikan pembahasan yang lainnya pada video selanjutnya tentunya tetap semangat dan selalu berprestasi