Lezione sui Determinanti

Introduzione e Argomenti Trattati

• Concetto di determinante di una matrice quadrata.
• Determinante di una matrice quadrata del primo ordine.
• Minore complementare di un elemento di una matrice.
• Complemento algebrico o cofattore di un elemento di una matrice.
• Calcolo dei determinanti 2x2 e 3x3.
• Regola di Sarrus in due modalità.
• Proprietà fondamentali dei determinanti.

Concetto di Determinante

• Matrice quadrata: matrice con A1, A2, ..., AN (elementi generici).
• Determinante: numero associato a una matrice quadrata, indicato con |A| o DET(A).
• Definizione induttiva:
  • Per una matrice del primo ordine (n=1), il determinante è il termine stesso.

Minore e Complemento Algebrico

• Minore complementare (m_ij): determinante di una matrice ottenuta eliminando una riga e una colonna.
• Complemento algebrico (A_ij): Minore preceduto da + o - in base alla parità di i+j.

Calcolo dei Determinanti

• Determinante 2x2: a11 * a22 - a12 * a21.
• Determinante 3x3: Calcolato tramite una qualsiasi riga o colonna e i loro complementi algebrici.

Regola di Sarrus

• Applicabile solo a matrici 3x3.
  • Metodo 1: Somma dei prodotti delle diagonali principali e parallele, meno i prodotti delle diagonali secondarie.
  • Metodo 2: Ripetizione delle prime due colonne, calcolo simile al metodo 1.

Proprietà dei Determinanti

1. Matrici trasposte hanno lo stesso determinante.
2. Determinante è nullo se una riga o colonna è nulla.
3. Se due righe o colonne sono proporzionali, il determinante è nullo.
4. Scambio di righe o colonne cambia il segno del determinante.
5. Moltiplicando una linea per un numero k, il determinante è moltiplicato per k.
6. Aggiungendo una linea moltiplicata per un numero k a un'altra, il determinante non cambia.
7. Somma dei prodotti di una linea per i complementi algebrici di una parallela vale 0 (Teorema di Laplace).
8. Determinante del prodotto di due matrici è il prodotto dei loro determinanti (Teorema di Binet).
9. Determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
10. Matrice triangolare: elementi sopra (inferiore) o sotto (superiore) la diagonale principale sono nulli.