Determinanti e Proprietà Matriciali

Ciao a tutti, in questo video andiamo a elencare gli argomenti che tratteremo. Parleremo in generale del determinante e del concetto di determinante di una matrice quadrata, poi parleremo del determinante e di una matrice quadrata del primo ordine, parleremo del concetto e della definizione di minore complementare di un elemento di una matrice, parleremo della definizione e di cos'è il complemento algebrico o cofattore di un elemento di una matrice, vedremo come si calcolano i determinanti 2x2 e 3x3, Vedremo alternativamente la cosiddetta regola di Sarrus, sia da espressa in un modo che in un altro modo, e poi andremo a elencare alcune proprietà fondamentali dei determinanti. Tutto questo naturalmente condito con importanti e opportuni esempi. Come detto, parliamo di determinante di una matrice quadrata. Se la matrice è rettangolare, essa costituisce un simbolo al quale non si fa corrispondere alcun valore numerico. Invece... Nel caso di una matrice quadrata, eccola qua, una matrice indicata con A, A1, A1, A2, in generale A1N, A2, A1, A2, A2, in generale A2N, e in generale AN1, AN2, ANN, ad essa viene sempre associato un numero che viene chiamato appunto determinante e si indica con uno dei seguenti simboli. Si può indicare con la lettera A, che è la stessa lettera maiuscola indicata con la quale si indica la matrice, seguita davanti e dietro da due stanghette che sono le stesse stanghette che si usano nel simbolo di valore assoluto, di modulo. Quindi possiamo indicarlo così o anche semplicemente con questo simbolo DET, DET di A. E si riscrive in pratica la matrice dove al posto di questa parentesi o della parentesi quadra già indicata e fatta vedere si mette appunto la stanghetta a sinistra e la stanghetta verticale a destra. Il determinante di una matrice quadrata si può definire induttivamente nel modo seguente. Se abbiamo a che fare con una matrice quadrata del primo ordine, quindi costituita solo da n uguale 1, quindi dal primo elemento a1,1, in generale il determinante della nostra matrice a1,1, che si indica con a1,1 come se fosse un modulo, è proprio l'unico termine presente nella matrice. Pertanto si definisce come determinante della matrice quadrata del primo ordine il numero stesso che forma la matrice. Andremo adesso a vedere come si calcola il determinante nel caso di un ordine maggiore di 1. Parliamo adesso di concetto di minore e di complemento algebrico. Consideriamo una matrice, al solito indicata con la lettera A, e la sovraindicata genericamente con A1, A1, A2, genericamente A1N, A2, A1, A2, A2N genericamente e in generale AN1, AN2, ANN, sostanzialmente la matrice che abbiamo considerato già in precedenza. Si è stato un qualsiasi elemento di questa matrice che indichiamo con AIK, dove con 15I studicando il posto relativamente alla riga, con K il posto relativamente alla colonna, quindi ad esempio il termine A1, A1, A1, A2. Se andiamo a sopprimere, a eliminare, in essa, ovvero in IK, la riga e la colonna che in esso si incrociano, quindi, totalmente, supponiamo di considerare per esempio il nostro A12, abbiamo che la riga e la colonna che si vanno a incrociare in esso saranno questa colonna qua e questa riga qua. Se andiamo a eliminare appunto la colonna e la riga che si incrociano in esso, in questo caso A1,2, genericamente Aik, si ottiene una matrice quadrata del secondo ordine, perché vedete che se noi andiamo a eliminare la colonna e la riga che si incrociano, rimangono i termini A2,1, A2n, An1, Ann, quindi rimane una matrice quadrata sempre del secondo ordine, in cui il determinante è chiamato un minore complementare dell'elemento, in questo caso Aik, E lo dobbiamo indicare con m di k, in questo caso se, facciamo un esempio, se considerassimo ad esempio l'elemento a1,2, andremo quindi a cancellare la colonna e la riga che si incrociano, facendo riferimento all'elemento a1,2, otterremo che il nostro minore, in questo caso m di 1,2, sarebbe uguale a, vediamo che cosa, sarebbe uguale a a1,1, a1,n generico, a1,2, a n 1 a n n. L'elemento a i k è chiamato elemento di classe pari o dispari a seconda che il seguente numero, ovvero i più k, sia pari o sia dispari. Che significa? Significa che se consideriamo ad esempio questo elemento, Il sempre che abbiamo fatto, ovvero il minore riguardante il coefficiente a1,2, vedete che in questo caso dovremmo fare 1 più 2. 1 più 2 fa 3, che quindi è dispare. Se avessimo scelto, ad esempio, l'elemento a2,2, sarebbe venuto 4, quindi sarebbe venuto un numero 4 pari. A far proposito, è chiamato complemento algebrico, anche detto cofattore dell'elemento alicapese in un sempre. e lo indiciamo con questo simbolo A maiuscolo di k per distinguere da questo minuscolo il minore complementare di I k che è appunto preceduto dal segno più o dal segno meno a seconda che il nostro termine I k sia di classe pari o di classe dispari in questo caso in simboli I k è proprio pari a meno uno alla I più k vedete che se I più k è pari il meno uno diventa pari diventa quindi positivo Dice la lettera che se i più k è una somma di un numero dispari, meno 1 al cubo meno 1 alla quinta viene sempre un numero negativo. Quindi il nostro minore sarà preceduto da un segno meno se la somma di i e k è un numero dispari, sarà preceduto da un segno più se la somma di i e k è un numero pari. A proposito, consideriamo una matrice, in questo caso 3x3, composta da due elementi della rima riga 1, 1, 1, 2 a 1, 3. A21, A22, A23, A31, A32, A33. Consideriamo ad esempio di voler calcolare, o comunque considerare, i complementi algebrici di questi due elementi. Speriamo di voler calcolare il complemento algebrico di A22 e il complemento algebrico di A21. Cominciamo con A22. Se volessimo calcolare il complemento algebrico di A22, dovremmo prendere la colonna occupata da A22 con la riga che incrocia questa colonna, ovvero questa qui. Quindi, riga centrale, colonna centrale. Ne verrebbero fuori che i rimanenti coefficienti andrebbero a comporre, come vedete, un determinato 2x2 del tipo a1,1, a1,3, a3,1, a3,3. Dicevamo che se potessimo calcolare il complemento algebrico del coefficiente a2,1 dovremmo Prendere sempre la linea centrale, che naturalmente va a comporre, va a sottolineare il coefficiente a 2,1, e la colonna che lo incrocia, in questo caso la prima, ne avrebbe fuori un determinante, in questo caso precedente, dove il segno è meno, perché nel caso precedente, a 2,2, aveva una somma di due termini, 2 più 2,4, e quindi il segno davanti al complemento algebrico era più. In questo caso 2 più 1, visto che 2 più 1 fa 3, e diamo un dispre, quindi meno 1 al cubo è meno 1, il comune metagio epico sarà preceduto da un segno meno. E il nostro determinante 2 per 2 sarà composto pertanto da, visto che se consideriamo questa colonna e questa riga, vedete che considereremo gli elementi, una riga che saranno a1,2 e a1,3, eccoli qua, e evidentemente gli elementi della terza riga, a3,2 e a3,3. Bene, andiamo a leggere un teorema, che ci dice che In ogni matrice quadrata, la somma dei prodotti degli elementi di una linea, comunque riga o colonna della matrice, per i propri complementi algenici, avrà un valore che non dipende dalla linea considerata. La critica è ovviamente banale per le matrici quadrate di ordine 2, 2x2. Infatti, considerata la matrice a 1,1 o a 2,2, a 2,1 o a 2,2, risulterà infatti che, vedete, Se andiamo a fare il prodotto del primo coefficiente che è 1,1 per il suo complemento algebrico a 1,1 più a 1,2 che moltiplica il suo complemento algebrico a maiuscolo 1,2 per quello che abbiamo detto questo è uguale sicuramente a 2,1 per il suo complemento algebrico a maiuscolo 2,1 più a 2,2 per il suo complemento algebrico a 2,2 questo discorso vale per le colonne, quindi a 1,1 moltiplicato per il suo complemento algebrico a grande 1,1 più a piccolo 1 1 moltiplicato per il suo complemento algebrico, a grande 2 1, deve essere uguale allora a 1 2 per a grande 1 2 complemento algebrico più a 2 2 per a grande 2 2 il suo complemento algebrico. Vediamo di dimostrare questo. Abbiamo definito il complemento algebrico relativo, supponiamo, al primo elemento 1 1, quello ottenuto cancellando la colonna e la riga occupata dal coefficiente a 1 1. Bene, se prendiamo la colonna e la riga che si incrociano, Quello che rimane è il coefficiente a2,2, che sarà prescritto da un segno più in quanto la somma dei due pedici, 1 più 1 fa 2, quindi pari, e pertanto abbiamo trovato che a1,1 maiuscolo, ovvero il complemento algebrico del coefficiente a1,1, è pertanto a2,2. Lo possiamo ripetere per il coefficiente a1,2. Questa volta però la somma dei pedici, 2 più 1, fa 3. Quindi siamo certi che il complemento algevico del coefficiente della prima riga e della seconda colonna questa volta sarà preceduto da un segno meno. E sarà quindi meno. Vedete che la riga e la colonna che si incrociano ci fanno rimanere a2,1, quindi meno a2,1. Ripetendo questo ragionamento avremo che il complemento algevico del coefficiente della seconda riga e della prima colonna a2,1 sarà sempre meno a1,2, vedete, in quanto il meno è dovuto alla somma di 1 più 2 che fa 3, un numero dispari, e infine il complemento al gerbito dell'ultimo coefficiente della seconda riga e della seconda colonna sarà evidentemente a1,1, con 6 o più, in quanto più 2 fa 4, che è appunto pari. Da quello che abbiamo scritto qui in questa cornice, andando a restituire al posto di a1,1 grande a1,2 grande, a1,1 grande a1,1 grande, a1,1 grande a2,1 grande, a1,2 grande a1,2 grande, Otteniamo che appunto la dimostrazione del teorema che è sicuramente banale e immediata per le matrici quadrate 2x2. A tal proposito possiamo, sulla base di questo teorema, possiamo andare a annunciare e a definire quindi, a dare una definizione di determinante. Sulla base del teorema appena annunciato diamo la definizione di determinante. Eccola qui. Si definisce determinante di una matrice quadrata di ordine n la somma dei prodotti degli elementi di una linea qualsiasi, riga o colonna, per gli ispettivi complementi algebrici. In base a questa desinizione è facile dire che, considerando una matrice 2x2, a1,1,a1,2,a2,a1,a2,a2, il suo determinante, che indichiamo così, abbiamo visto, è pari proprio al prodotto, alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per gli ispettivi complementi algebrici, quindi a1,1 per il suo complemento algebrico più a1,2 per il suo complemento algebrico. In questo caso abbiamo visto che, dal teorema precedente, il complemento algebrico di a1,1 sarà meno a2,2, sarà, chiedo scusa, più a2,2, in quanto 1 più 1 fa 2, quindi più a1,1 per a2,2. Viceversa, il complemento algebrico del coefficiente a1,2 sarà preceduto, sarà a2,1, preceduto da un assegno meno, in quanto 1 più 1 fa 3 dispari. E quindi abbiamo che... a1 per il suo complemento algebrico più a1 per il suo complemento algebrico è dato a1 per a2 per a2 per a1 per a2 per a1 e questa è la regola generale che vale sempre per il calcolo di un qualsiasi determinante 2 per 2 che credo tutti quanti conosciate pertanto abbiamo se consideriamo questo determinante 2 per 2 di prima riga 3,5 e gli elementi della seconda riga sono 2,4 basta fare il prodotto degli elementi della diagonale principale meno quello degli elementi della diagonale secondaria, pertanto qua 3 per 4 meno 1 per 5, quello che abbiamo scritto in questa formula, ovvero 12 meno 10, appunto 2. Stesso discorso per questo determinante costituito dagli elementi della prima riga che sono 4 e 5 e dagli elementi della seconda riga che sono meno 9 e 3. 4 per 3 meno meno 1 per 5, naturalmente 4 per 3 è 12, meno per meno fa più, 9 per 5 fa 45, 12 più 45 viene appunto 57. Sulla base di quello che abbiamo visto adesso, supponiamo di voler calcolare un determinante 3x3, eccolo qua, ovvero a1, a1, a2, a1, a3, gli elementi della prima, i coefficienti della prima riga, a2, a1, a2, a2, a3, coefficienti della seconda riga, a3, a1, a3, a2, a3, a3. Abbiamo visto che possiamo scegliere una qualsiasi riga e una qualsiasi colonna e moltiplicare tra di loro gli elementi di quella colonna, di quella riga, per gli ispettivi complementi algebrici. Pertanto supponiamo di scegliere, ad esempio, come abbiamo fatto per la matrice precedente, quella 2x2, la matrice, gli elementi della prima, questa matrice 3x3, gli elementi della prima riga. Quindi consideriamo, ad esempio, la prima riga, ovvero gli elementi a 1, 1, 1, 2, 1, 3. Pertanto, per la regola, il determinante di questa matrice sarà dato dal, in questo caso, non più dalla matrice, ma in questo caso, dato che stiamo calcolando un determinante, andiamo a metterci le due stanghette e avremo che il determinante di questa matrice sarà il prodotto di A1-1 per il suo complemento algebrico A1-1 il prodotto di A1-2 per il suo complemento algebrico A1-2 e il prodotto del coefficiente A1-3, ovvero della prima riga e terza colonna per il suo complemento algebrico A1-3 da parte andiamo ad accolarci i complementi algebrici A1-1, A1-2 e A1-3 che per quanto vi ho detto prima... A 1,2 si ottiene, vedete, cancellando la colonna e la riga che si incrociano, che passano per un'opera incondicente, per quanto riguarda un produttivo a Per cancellare, vedete, parliamo di A11, per A11 dobbiamo cancellare la colonna e la riga che passano appunto per il coefficiente A11. Quindi eccola qui, eccola qui. Ci rimane questo determinante, vedete, 2x2, composto da A22 e A23, A32 e A33, eccolo qua. Il segno, il segno davanti sarà segno più, in quanto A11 sommando due coefficienti 1, 1 più 1 viene 2, quindi un numero pari e quindi segno più. Per quanto riguarda il componente algebrico relativo al coefficiente A12, Dobbiamo cancellare la colonna e la riga che si incrociano passante per quel coefficiente e ci rimangono quindi a2,1,2,3,a3,1,3,3. Infatti il determinante sarà a2,1,a2,3,a3,1,3,3, preceduto naturalmente dal segno meno in quanto questa volta la somma dei due pedici 2 più 1 viene 3 in uno dispari e pertanto il determinante deve essere preceduto per la regola del complemento algebrico da un segno meno. E infine il complemento algebrico del coefficiente a1,3, visto che 3 più 1 fa 4, il determinante sarà preceduto dal segno più, e cancellando la colonna e la riga, vedete, si ottiene questo determinante qua, ovvero composto da A21, A22, A31, A32. Eccolo qua, A21, A22, A31, A32. A questo punto, sostituendo, e visto che questi determinanti li sappiamo calcolare dalla regola precedente, avremo che dopo A11, al posto di A maiuscolo 11, ci scriveremo il prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria, ovvero A22 per A33, meno a3 2 per a2 3. Stesso discorso vale per il complemento algebrico del coefficiente a1 2, a grande 1 2, che sarà dato, il suo determinante, naturalmente col meno davanti, il coefficiente a1 2, dal prodotto di un elemento della diagonale principale, ovvero a2 1 per a3 3, meno a3 1 per a2 3. Stesso discorso per il complemento algebrico a1 3, il cui determinante sarà dato dal prodotto dei coefficienti della diagonale principale, ovvero a2 1 per a3 2. meno a3 per a2,2. Sostituendo, otteniamo in definitiva che il determinante colungo di una matrice 3x3 sta sempre al prodotto di questi tre coefficienti, a1,1 per a2,2 per a3,3, meno a1,1 per a3,2 per a2,3, meno a1,2 per a2,1 per a3,3, più a1,2 per a3,1 per a2,3, più a1,3 per a1,1 per a3,2, meno a1,3 per a3,1 per a2,2. Andiamo subito a fare un esempio. Naturalmente andiamo a fare un esempio. Consideriamo la matrice A, composta da elementi della prima riga che sono 1, 2, 3, gli elementi della seconda sono meno 2, 1, 2 e meno 1, 2, 1 sono gli elementi della terza riga. Volendo calcolare il determinante di questa matrice A, indicato con questo simbolismo, applichiamo la regola applicata fino a questo momento sia per i determinanti 2 per 2, ma appunto abbiamo visto la regola generica riguardante gli elementi generici. Quindi abbiamo che? Supponiamo di scegliere la prima riga. Lascio a voi la prova della scelta di una qualsiasi altra riga o di una qualsiasi altra colonna. Vi arriverà lo stesso risultato. Quindi prendiamo, ad esempio, come abbiamo visto dalla regola, i primi tre elementi, 1, 2 e 3, e li moltiplichiamo per i rispettivi complementi algebrici. Quindi avremo il numero 1, lo andiamo a moltiplicare per il complemento algebrico che è quello, il determinante, ottenuto cancellando la colonna e la riga di questo 1. Quindi 1, 2, 2 e 1. Eccolo qua. moltiplicando, calcolando questo determinante, teniamo che il determinante 2x2 lo calcoliamo con la regola secondo la quale dobbiamo moltiplicare fra di loro gli elementi della diagonale principale meno la moltiplicazione fra gli elementi della diagonale secondaria. Pertanto abbiamo in questo caso 1 a moltiplicare il prodotto di 1x1 meno 1x2, 1-4, quindi 1-4 che sarà 1x-3, quindi meno 3. Lo scriveremo sotto poi alla fine del passaggio. Ripetiamo lo stesso procedimento per il coefficiente. In questo caso A2 è 1, che visto che 2 più 1 viene 3 ed è un numero dispari, sarà preceduto da un segno meno. E pertanto, cancellando la colonna e la riga, vedete che rimangono i coefficienti meno 2 è 2, meno 1 è 1. Eccolo qua. Andando a calcolare il determinante, in questo caso, ovvero il nostro complemento algebraico A1 è 2, avremo che 1 per meno 2 fa meno 2, meno 1 per meno 1 che fa più, quindi 1 per 2 è 2. E quindi meno 2 moltiplicato a meno 2 più 2 che fa 0. viene 0 per meno 2 e quindi ancora uno 0. E infine l'ultimo elemento della prima riga della terza colonna è il 3, che essendo 1, 3, 3 più 1, 4 sarà preceduto da un segno più, come anche in realtà il segno 1, e per il suo fotometro algebrico, che sarà quello ottenuto cancellando la colonna del 3 e la riga del 3, che si incrociano. Quindi meno 2, 1, meno 1, 2. Eccolo qui, 2 per meno 2 viene meno 4, meno 1 per più 1 fa meno 1, per meno più 1. Meno 4 più 1 fa meno 3, che moltiplica 3 e viene meno 9. visto che in mezzo c'è uno 0, meno 3, meno 9 e proprio meno 12. Fate voi la prova, ad esempio per la prima colonna, ma anche per la colonna e mezzo, vi verrà sempre meno 12 come determinante. Parliamo della regola di Sarrus, che è una regola che ci permette, che intanto ha due modi di calcolo, due metodi di calcolo. Vediamo il primo, che ci permette di calcolare un qualsiasi determinante di una matrice, attenzione, e da specificare per lo studente che ascolta, unicamente per determinanti di matrici 3x3. Quindi questo va detto. A questo punto consideriamo una matrice, il determinante di una matrice è quello che si veda, A solito 3 per 3, a1,1, a1,2, a1,3, a2,1, a2,2, a2,3, a3,1, a3,2, a3,3. Abbiamo scritto qui lo stesso determinante, scritto però dalla parte della diagonale principale e dalla parte della diagonale secondaria. Ovvero cosa significa? Vediamo come avviene il calcolo del determinante con la regola di Sanus. Sanus dice che sarà opportuno considerare il primo prodotto, dei tre coefficienti che compongono la diagonale principale. Quindi andiamo a unire i tre coefficienti che compongono la diagonale principale, come vedete, ovvero il prodotto fra 1,1, A2,2 e A3,3. A questo prodotto ci sommiamo un altro prodotto di tre coefficienti, che sono i coefficienti che compongono un triangolo con punta rivolta verso il basso, avendo base parallela alla diagonale principale e vertice posto nell'elemento A3,1. E quindi avremo che appunto... moltiplicando questi tre elementi che compongono questo triangolo con punta rivolta verso il basso e base, ripeto, composta dai coefficienti che vanno a formare la parallela, la derivata principale, sarà a1,2 per a2,3 che moltiplica a3,1. Più un altro prodotto fra altri tre coefficienti che sono a2,1,a3,2 e a1,3 che sono infatti i coefficienti che in più 2 formano la base di un triangolo o parallela ancora alla diagonale principale, che vengono uniti con il vertice di un triangolo con punta questa volta rivolta verso l'alto, che ha come verso appunto il coefficiente a1,3 e quindi avremo appunto a2,1 per a3,2 per a1,3. Stesso discorso va ripetuto, ma con il meno davanti a tutti e tre i calcoli, dalla parte della diagonale secondaria. Quindi andiamo, col meno davanti, a calcolare il prodotto fra i coefficienti che compongono la diagonale secondaria, eccolo qua. ovvero a31 per a22 per a13, poi di nuovo andiamo a scrivere, sommato sempre, questo prodotto, un altro prodotto, quello fra tre coefficienti di cui i più 2 ci compongono la base di un triangolo parallelo alla diametra secondaria e che il triangolo, come vedete, compunta sempre rivolta verso il basso il coefficiente a33. E infatti abbiamo più a21 per a12 per a33. più infine l'ultimo prodotto che sarà composto da coefficienti che formano un altro triangolo, ovviamente base, sempre parallela alla diagonale secondaria, ovvero i coefficienti a1,2 e... scusa, a3,2 e a2,3, e il vertice che è appunto del triangolo con punta, questa volta rivolto verso l'alto, che è il coefficiente a1,1. Quindi abbiamo che l'ultimo prodotto è a3,2 per a2,3 per a1,1. Vi ho messo, vedete, i due triangoli in ciascuno delle parti e poi... chiusa la quadra, tenendo presente che davanti a questa seconda quadra, quindi a che elementi compongono la diagonale secondaria, c'è sempre un segno meno. Questa è una prima estensione della regola di Sarus, adesso vediamo, andiamo a vedere come può essere applicata attraverso un altro modo di risolvere, sempre la regola di Sarus, che è sempre la stessa, ma applicata in un altro modo. Vediamo il... La seconda variante, ovvero il metodo sempre la regola di Sarus, ma applicata in maniera leggermente diversa. Naturalmente poi il risultato del determinante sarà il medesimo e la regola è tra l'altro molto simile a quella appunto appresa precedentemente. In questo caso abbiamo sempre da determinare il determinante di una matrice, supponiamo 3x3 a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32 e a33. Si fa l'alternativa, ovvero una variante, un altro modo di utilizzare la regola di Saus consiste nel riportare alla destra e fuori dal determinante le prime due colonne, quindi le riportiamo e scriviamo A1 1, A2 1, A3 1 e poi la seconda A1 2, A2 2 e A3 2. Dopodiché... riguardante, naturalmente facendo riferimento ai coefficienti che compongono la diagonale principale li andiamo a unire così come in questo caso andiamo a unire i coefficienti che compongono la prima parallela di questa diagonale ovvero a1,2,a2,3 e a3,1, eccolo qua e a questo discorso andiamo a unire i coefficienti che compongono la terza parallela alla diagonale principale ovvero a1,3 con A2, A1, con A3, A2 e ci mettiamo sopra dei segni che stanno a indicare che la prima parte del calcolo del determinante, se questa è il determinante della matrice A il determinante di A possiamo dire che è pari alla somma dei prodotti dei tre elementi che compongono le tre la diagonale principale e le due parallele, ovvero A1, A1, A2, A2 a3,3, naturalmente più a1,2 per a2,3 per a3,1 naturalmente più, come dice il segno, a1,3, a2,1, a per e2. A questo punto, come facevamo prima, ci mettiamo un bel meno perché passeremo naturalmente dalla parte della diagonale secondaria. Dopo il meno apriamo una quadra e naturalmente a questo punto uniamo i tre coefficienti, i tre elementi che compongono questa volta la diagonale secondaria, ovvero a31 con a22 con a13. E naturalmente li andiamo a moltiplicare, quindi a31 sempre per a22 per a13. Più naturalmente il prodotto questa volta dei coefficienti che compongono la prima parallela alla diagonale secondaria, quindi a32, a23 e a11. Quindi a32... A23 ed A11, più sempre il prodotto di quegli elementi che compongono la seconda parallela della diagonale secondaria, ovvero A33 con A21 con A12, quindi A33, A21, A12. Naturalmente sarebbe opportuno metterci 3-sotto le tre, diciamo le due parallele della diagonale secondaria, in quanto sto meno sta davanti, ma si può scrivere meno, meno, meno. Bene, chiudiamo la quadra. Se andiamo a guardare il metodo precedente, otteniamo appunto lo stesso risultato che è appunto comunque la stessa regola di Sarus. Come detto, vediamo due esempi. Applichiamo il primo metodo della regola di Sarus a un determinante, lo stesso, di una matrice 3x3, perché è solo le matrici 3x3 che ci possiamo rivolgere, e quindi consideriamo questo determinante, che l'ho scritto due volte perché dobbiamo considerare la parte della diagonale principale e la parte poi preceduta dal segno meno della diagonale secondaria. meno 1, 1, meno 3, 5, 2, 4, 3, meno 5, questo evidentemente è lo stesso, andiamo a applicare la regola di Salus, andiamo a moltiplicare intanto fra di loro i coefficienti della diagonale principale, pertanto meno 1 per 2, meno 2 per 5, meno 10. Per cosa prendiamo? Prendiamo la parallela, i due coefficienti che propongono la parallela a questa diagonale, 1 per 4, e la andiamo a unire col vertice formando un triangolo con punta rivolta verso il basso. Quindi 4 per 1 è 4, per 3 è 12, più 12. Più, stesso discorso, prendiamo i coefficienti dell'altra parallela, 5 per meno 1, e li moltiplichiamo a meno 3, ovvero un coefficiente che torna un altro triangolo, questa volta con punta rivolta verso l'alto. Meno per meno più, 5 per 3 per 1, viene un 15. A questo punto, andiamo a scriverci un meno. Ripetiamo questo procedimento da questa parte. moltiplicando i loro coefficienti della diagonale secondaria 3 per 2 6 per 3 viene un meno 18 poi prendiamo la parallela di 5 e 1 li moltiplichiamo per 5 con il triangolo con punta rivolta verso il basso abbiamo 1 più 25 stesso discorso prendiamo la parallela di altri due 4 per meno 1 e li moltiplichiamo per meno 1 visto che per meno per meno fa più viene 1 più 4 andiamo a fare i conti abbiamo che 12 meno 10 fa 2 più 15 fa 17 abbiamo da sommare un 17 a meno, qui abbiamo un 29, 25 più 4, meno 18 che fa 11, con meno e non meno 11. Il risultato di questa determinante è chiaramente 6. Ripetiamo il calcolo del determinante di un'altra matrice, perché questa volta con lo secondo metodo, sempre è la stessa regola di Salus, leggermente un po'con una variante. Quindi riportiamo qui le prime due colonne, ovvero riportiamo oltre al di là del determinante la prima colonna, gli elementi per 3, 4, 2 e gli elementi della seconda colonna, quindi meno 1, 2, 0. A questo punto consideriamo gli elementi come al solito della diagonale principale, quindi li moltiplichiamo 3, 2, 3, e poi consideriamo gli elementi delle due diagonali parallele alla diagonale principale, quindi meno 1 per 5 per 2, 2 per 4 per 0. Ci devo ricordare che tutti questi saranno preceduti da un segno più. Andiamo a scriverlo. Per quanto riguarda... la somma di questi 3 prodotti avremo che 3 per 2 è 6 per 3 fa 18 meno per più per più viene un meno sicuramente, quindi possiamo scrivere sicuramente meno 1 per 5 è 5 per 2 è 10 e poi abbiamo 2 per 4 che fa 8 per 0 è 0, più 0 ripetiamo lo stesso procedimento, questa volta dalla parte della diagonale secondaria, quindi Andiamo a moltiplicare i coefficienti facendo parte della diagonale secondaria, quindi 2 per 2 è 4 per 2 è 8, quindi abbiamo un 8. Naturalmente qui abbiamo un meno che è davanti ai tre prodotti, evidentemente. Poi abbiamo da moltiplicare la parallela, i prodotti, gli elementi della parallela, 0 per 5 per 3, quindi abbiamo un più 0. E poi abbiamo un più 3 per 4 per meno 1. 3 per 4 è 12, per meno 1 viene meno 12. Meno 12. Ricordiamoci che davanti c'è il segno meno, avremo che 18 per 11 più 0 è 18 per 10 che fa 8, meno sicuramente, vediamo che 8 meno 12 viene meno 4, per meno, quindi viene meno 4. Il risultato di questa matrice è chiaramente... Andiamo a denunciare importanti proprietà riguardanti matrici e determinati. Due matrici quadrate tra loro trasposte hanno lo stesso, il medesimo determinante. Proprietà numero 2. Se tutti gli elementi di una linea, riga o colonna, di una matrice quadrata sono nulli, allora il determinante di tale matrice è anch'esso nullo. Proprietà numero 3. Se in una matrice quadrata due linee parallele, riga o colonne, sono proporzionali in particolare uguali, allora il determinante di tale matrice è nullo. Proprietà numero 4. Scambiando tra di loro due righe o due colonne di una matrice, allora il determinante di tale matrice cambia di segno. Proprietà numero 5. Se si moltiplicano gli elementi di una linea di una matrice quadrata per un certo numero K, allora il determinante di tale matrice resta moltiplicato per quel numero K. Proprietà numero 6. Il determinante di una matrice quadrata non cambia quando ad una linea si aggiunge una linea parallela moltiplicata per un arbitrario numero K. Proprietà numero 7. In una matrice quadrata La somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di una linea parallela vale 0 e questo è il teorema di Laplace. Proprietà numero 8. Date due matrici quadrate dello stesso ordine A e B e indicato con C il loro prodotto, il determinante della matrice C è uguale al prodotto dei rispettivi determinanti delle matrici A e B. Noto questo come teorema di Binet. Proprietà numero 9. Consideriamo una matrice diagonale del tipo A. Vedete che gli elementi sono presenti sulla sola diagonale principale, A1, A1, A2, A2, A3, A3, A, N, N in generale. Il suo determinante, determinante di A, è dato dal prodotto degli elementi presenti nella diagonale principale. Proprietà numero 10, una matrice quadrata si dice triangolare se i suoi elementi situati al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli. Si definisce matrice triangolare inferiore oppure superiore. se i suoi elementi sono nulli rispettivamente al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale.

Come detto, parliamo di determinante di una matrice quadrata. Se la matrice è rettangolare, essa costituisce un simbolo al quale non si fa corrispondere alcun valore numerico. Invece...

Nel caso di una matrice quadrata, eccola qua, una matrice indicata con A, A1, A1, A2, in generale A1N, A2, A1, A2, A2, in generale A2N, e in generale AN1, AN2, ANN, ad essa viene sempre associato un numero che viene chiamato appunto determinante e si indica con uno dei seguenti simboli. Si può indicare con la lettera A, che è la stessa lettera maiuscola indicata con la quale si indica la matrice, seguita davanti e dietro da due stanghette che sono le stesse stanghette che si usano nel simbolo di valore assoluto, di modulo. Quindi possiamo indicarlo così o anche semplicemente con questo simbolo DET, DET di A. E si riscrive in pratica la matrice dove al posto di questa parentesi o della parentesi quadra già indicata e fatta vedere si mette appunto la stanghetta a sinistra e la stanghetta verticale a destra.

Il determinante di una matrice quadrata si può definire induttivamente nel modo seguente. Se abbiamo a che fare con una matrice quadrata del primo ordine, quindi costituita solo da n uguale 1, quindi dal primo elemento a1,1, in generale il determinante della nostra matrice a1,1, che si indica con a1,1 come se fosse un modulo, è proprio l'unico termine presente nella matrice. Pertanto si definisce come determinante della matrice quadrata del primo ordine il numero stesso che forma la matrice.

Andremo adesso a vedere come si calcola il determinante nel caso di un ordine maggiore di 1. Parliamo adesso di concetto di minore e di complemento algebrico. Consideriamo una matrice, al solito indicata con la lettera A, e la sovraindicata genericamente con A1, A1, A2, genericamente A1N, A2, A1, A2, A2N genericamente e in generale AN1, AN2, ANN, sostanzialmente la matrice che abbiamo considerato già in precedenza. Si è stato un qualsiasi elemento di questa matrice che indichiamo con AIK, dove con 15I studicando il posto relativamente alla riga, con K il posto relativamente alla colonna, quindi ad esempio il termine A1, A1, A1, A2. Se andiamo a sopprimere, a eliminare, in essa, ovvero in IK, la riga e la colonna che in esso si incrociano, quindi, totalmente, supponiamo di considerare per esempio il nostro A12, abbiamo che la riga e la colonna che si vanno a incrociare in esso saranno questa colonna qua e questa riga qua. Se andiamo a eliminare appunto la colonna e la riga che si incrociano in esso, in questo caso A1,2, genericamente Aik, si ottiene una matrice quadrata del secondo ordine, perché vedete che se noi andiamo a eliminare la colonna e la riga che si incrociano, rimangono i termini A2,1, A2n, An1, Ann, quindi rimane una matrice quadrata sempre del secondo ordine, in cui il determinante è chiamato un minore complementare dell'elemento, in questo caso Aik, E lo dobbiamo indicare con m di k, in questo caso se, facciamo un esempio, se considerassimo ad esempio l'elemento a1,2, andremo quindi a cancellare la colonna e la riga che si incrociano, facendo riferimento all'elemento a1,2, otterremo che il nostro minore, in questo caso m di 1,2, sarebbe uguale a, vediamo che cosa, sarebbe uguale a a1,1, a1,n generico, a1,2, a n 1 a n n.

L'elemento a i k è chiamato elemento di classe pari o dispari a seconda che il seguente numero, ovvero i più k, sia pari o sia dispari. Che significa? Significa che se consideriamo ad esempio questo elemento, Il sempre che abbiamo fatto, ovvero il minore riguardante il coefficiente a1,2, vedete che in questo caso dovremmo fare 1 più 2. 1 più 2 fa 3, che quindi è dispare.

Se avessimo scelto, ad esempio, l'elemento a2,2, sarebbe venuto 4, quindi sarebbe venuto un numero 4 pari. A far proposito, è chiamato complemento algebrico, anche detto cofattore dell'elemento alicapese in un sempre. e lo indiciamo con questo simbolo A maiuscolo di k per distinguere da questo minuscolo il minore complementare di I k che è appunto preceduto dal segno più o dal segno meno a seconda che il nostro termine I k sia di classe pari o di classe dispari in questo caso in simboli I k è proprio pari a meno uno alla I più k vedete che se I più k è pari il meno uno diventa pari diventa quindi positivo Dice la lettera che se i più k è una somma di un numero dispari, meno 1 al cubo meno 1 alla quinta viene sempre un numero negativo.

Quindi il nostro minore sarà preceduto da un segno meno se la somma di i e k è un numero dispari, sarà preceduto da un segno più se la somma di i e k è un numero pari. A proposito, consideriamo una matrice, in questo caso 3x3, composta da due elementi della rima riga 1, 1, 1, 2 a 1, 3. A21, A22, A23, A31, A32, A33. Consideriamo ad esempio di voler calcolare, o comunque considerare, i complementi algebrici di questi due elementi.

Speriamo di voler calcolare il complemento algebrico di A22 e il complemento algebrico di A21. Cominciamo con A22. Se volessimo calcolare il complemento algebrico di A22, dovremmo prendere la colonna occupata da A22 con la riga che incrocia questa colonna, ovvero questa qui. Quindi, riga centrale, colonna centrale. Ne verrebbero fuori che i rimanenti coefficienti andrebbero a comporre, come vedete, un determinato 2x2 del tipo a1,1, a1,3, a3,1, a3,3.

Dicevamo che se potessimo calcolare il complemento algebrico del coefficiente a2,1 dovremmo Prendere sempre la linea centrale, che naturalmente va a comporre, va a sottolineare il coefficiente a 2,1, e la colonna che lo incrocia, in questo caso la prima, ne avrebbe fuori un determinante, in questo caso precedente, dove il segno è meno, perché nel caso precedente, a 2,2, aveva una somma di due termini, 2 più 2,4, e quindi il segno davanti al complemento algebrico era più. In questo caso 2 più 1, visto che 2 più 1 fa 3, e diamo un dispre, quindi meno 1 al cubo è meno 1, il comune metagio epico sarà preceduto da un segno meno. E il nostro determinante 2 per 2 sarà composto pertanto da, visto che se consideriamo questa colonna e questa riga, vedete che considereremo gli elementi, una riga che saranno a1,2 e a1,3, eccoli qua, e evidentemente gli elementi della terza riga, a3,2 e a3,3. Bene, andiamo a leggere un teorema, che ci dice che In ogni matrice quadrata, la somma dei prodotti degli elementi di una linea, comunque riga o colonna della matrice, per i propri complementi algenici, avrà un valore che non dipende dalla linea considerata.

La critica è ovviamente banale per le matrici quadrate di ordine 2, 2x2. Infatti, considerata la matrice a 1,1 o a 2,2, a 2,1 o a 2,2, risulterà infatti che, vedete, Se andiamo a fare il prodotto del primo coefficiente che è 1,1 per il suo complemento algebrico a 1,1 più a 1,2 che moltiplica il suo complemento algebrico a maiuscolo 1,2 per quello che abbiamo detto questo è uguale sicuramente a 2,1 per il suo complemento algebrico a maiuscolo 2,1 più a 2,2 per il suo complemento algebrico a 2,2 questo discorso vale per le colonne, quindi a 1,1 moltiplicato per il suo complemento algebrico a grande 1,1 più a piccolo 1 1 moltiplicato per il suo complemento algebrico, a grande 2 1, deve essere uguale allora a 1 2 per a grande 1 2 complemento algebrico più a 2 2 per a grande 2 2 il suo complemento algebrico. Vediamo di dimostrare questo.

Abbiamo definito il complemento algebrico relativo, supponiamo, al primo elemento 1 1, quello ottenuto cancellando la colonna e la riga occupata dal coefficiente a 1 1. Bene, se prendiamo la colonna e la riga che si incrociano, Quello che rimane è il coefficiente a2,2, che sarà prescritto da un segno più in quanto la somma dei due pedici, 1 più 1 fa 2, quindi pari, e pertanto abbiamo trovato che a1,1 maiuscolo, ovvero il complemento algebrico del coefficiente a1,1, è pertanto a2,2. Lo possiamo ripetere per il coefficiente a1,2. Questa volta però la somma dei pedici, 2 più 1, fa 3. Quindi siamo certi che il complemento algevico del coefficiente della prima riga e della seconda colonna questa volta sarà preceduto da un segno meno.

E sarà quindi meno. Vedete che la riga e la colonna che si incrociano ci fanno rimanere a2,1, quindi meno a2,1. Ripetendo questo ragionamento avremo che il complemento algevico del coefficiente della seconda riga e della prima colonna a2,1 sarà sempre meno a1,2, vedete, in quanto il meno è dovuto alla somma di 1 più 2 che fa 3, un numero dispari, e infine il complemento al gerbito dell'ultimo coefficiente della seconda riga e della seconda colonna sarà evidentemente a1,1, con 6 o più, in quanto più 2 fa 4, che è appunto pari. Da quello che abbiamo scritto qui in questa cornice, andando a restituire al posto di a1,1 grande a1,2 grande, a1,1 grande a1,1 grande, a1,1 grande a2,1 grande, a1,2 grande a1,2 grande, Otteniamo che appunto la dimostrazione del teorema che è sicuramente banale e immediata per le matrici quadrate 2x2. A tal proposito possiamo, sulla base di questo teorema, possiamo andare a annunciare e a definire quindi, a dare una definizione di determinante.

Sulla base del teorema appena annunciato diamo la definizione di determinante. Eccola qui. Si definisce determinante di una matrice quadrata di ordine n la somma dei prodotti degli elementi di una linea qualsiasi, riga o colonna, per gli ispettivi complementi algebrici. In base a questa desinizione è facile dire che, considerando una matrice 2x2, a1,1,a1,2,a2,a1,a2,a2, il suo determinante, che indichiamo così, abbiamo visto, è pari proprio al prodotto, alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per gli ispettivi complementi algebrici, quindi a1,1 per il suo complemento algebrico più a1,2 per il suo complemento algebrico.

In questo caso abbiamo visto che, dal teorema precedente, il complemento algebrico di a1,1 sarà meno a2,2, sarà, chiedo scusa, più a2,2, in quanto 1 più 1 fa 2, quindi più a1,1 per a2,2. Viceversa, il complemento algebrico del coefficiente a1,2 sarà preceduto, sarà a2,1, preceduto da un assegno meno, in quanto 1 più 1 fa 3 dispari. E quindi abbiamo che... a1 per il suo complemento algebrico più a1 per il suo complemento algebrico è dato a1 per a2 per a2 per a1 per a2 per a1 e questa è la regola generale che vale sempre per il calcolo di un qualsiasi determinante 2 per 2 che credo tutti quanti conosciate pertanto abbiamo se consideriamo questo determinante 2 per 2 di prima riga 3,5 e gli elementi della seconda riga sono 2,4 basta fare il prodotto degli elementi della diagonale principale meno quello degli elementi della diagonale secondaria, pertanto qua 3 per 4 meno 1 per 5, quello che abbiamo scritto in questa formula, ovvero 12 meno 10, appunto 2. Stesso discorso per questo determinante costituito dagli elementi della prima riga che sono 4 e 5 e dagli elementi della seconda riga che sono meno 9 e 3. 4 per 3 meno meno 1 per 5, naturalmente 4 per 3 è 12, meno per meno fa più, 9 per 5 fa 45, 12 più 45 viene appunto 57. Sulla base di quello che abbiamo visto adesso, supponiamo di voler calcolare un determinante 3x3, eccolo qua, ovvero a1, a1, a2, a1, a3, gli elementi della prima, i coefficienti della prima riga, a2, a1, a2, a2, a3, coefficienti della seconda riga, a3, a1, a3, a2, a3, a3. Abbiamo visto che possiamo scegliere una qualsiasi riga e una qualsiasi colonna e moltiplicare tra di loro gli elementi di quella colonna, di quella riga, per gli ispettivi complementi algebrici.

Pertanto supponiamo di scegliere, ad esempio, come abbiamo fatto per la matrice precedente, quella 2x2, la matrice, gli elementi della prima, questa matrice 3x3, gli elementi della prima riga. Quindi consideriamo, ad esempio, la prima riga, ovvero gli elementi a 1, 1, 1, 2, 1, 3. Pertanto, per la regola, il determinante di questa matrice sarà dato dal, in questo caso, non più dalla matrice, ma in questo caso, dato che stiamo calcolando un determinante, andiamo a metterci le due stanghette e avremo che il determinante di questa matrice sarà il prodotto di A1-1 per il suo complemento algebrico A1-1 il prodotto di A1-2 per il suo complemento algebrico A1-2 e il prodotto del coefficiente A1-3, ovvero della prima riga e terza colonna per il suo complemento algebrico A1-3 da parte andiamo ad accolarci i complementi algebrici A1-1, A1-2 e A1-3 che per quanto vi ho detto prima... A 1,2 si ottiene, vedete, cancellando la colonna e la riga che si incrociano, che passano per un'opera incondicente, per quanto riguarda un produttivo a Per cancellare, vedete, parliamo di A11, per A11 dobbiamo cancellare la colonna e la riga che passano appunto per il coefficiente A11.

Quindi eccola qui, eccola qui. Ci rimane questo determinante, vedete, 2x2, composto da A22 e A23, A32 e A33, eccolo qua. Il segno, il segno davanti sarà segno più, in quanto A11 sommando due coefficienti 1, 1 più 1 viene 2, quindi un numero pari e quindi segno più.

Per quanto riguarda il componente algebrico relativo al coefficiente A12, Dobbiamo cancellare la colonna e la riga che si incrociano passante per quel coefficiente e ci rimangono quindi a2,1,2,3,a3,1,3,3. Infatti il determinante sarà a2,1,a2,3,a3,1,3,3, preceduto naturalmente dal segno meno in quanto questa volta la somma dei due pedici 2 più 1 viene 3 in uno dispari e pertanto il determinante deve essere preceduto per la regola del complemento algebrico da un segno meno. E infine il complemento algebrico del coefficiente a1,3, visto che 3 più 1 fa 4, il determinante sarà preceduto dal segno più, e cancellando la colonna e la riga, vedete, si ottiene questo determinante qua, ovvero composto da A21, A22, A31, A32. Eccolo qua, A21, A22, A31, A32. A questo punto, sostituendo, e visto che questi determinanti li sappiamo calcolare dalla regola precedente, avremo che dopo A11, al posto di A maiuscolo 11, ci scriveremo il prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria, ovvero A22 per A33, meno a3 2 per a2 3. Stesso discorso vale per il complemento algebrico del coefficiente a1 2, a grande 1 2, che sarà dato, il suo determinante, naturalmente col meno davanti, il coefficiente a1 2, dal prodotto di un elemento della diagonale principale, ovvero a2 1 per a3 3, meno a3 1 per a2 3. Stesso discorso per il complemento algebrico a1 3, il cui determinante sarà dato dal prodotto dei coefficienti della diagonale principale, ovvero a2 1 per a3 2. meno a3 per a2,2.

Sostituendo, otteniamo in definitiva che il determinante colungo di una matrice 3x3 sta sempre al prodotto di questi tre coefficienti, a1,1 per a2,2 per a3,3, meno a1,1 per a3,2 per a2,3, meno a1,2 per a2,1 per a3,3, più a1,2 per a3,1 per a2,3, più a1,3 per a1,1 per a3,2, meno a1,3 per a3,1 per a2,2. Andiamo subito a fare un esempio. Naturalmente andiamo a fare un esempio.

Consideriamo la matrice A, composta da elementi della prima riga che sono 1, 2, 3, gli elementi della seconda sono meno 2, 1, 2 e meno 1, 2, 1 sono gli elementi della terza riga. Volendo calcolare il determinante di questa matrice A, indicato con questo simbolismo, applichiamo la regola applicata fino a questo momento sia per i determinanti 2 per 2, ma appunto abbiamo visto la regola generica riguardante gli elementi generici. Quindi abbiamo che? Supponiamo di scegliere la prima riga. Lascio a voi la prova della scelta di una qualsiasi altra riga o di una qualsiasi altra colonna.

Vi arriverà lo stesso risultato. Quindi prendiamo, ad esempio, come abbiamo visto dalla regola, i primi tre elementi, 1, 2 e 3, e li moltiplichiamo per i rispettivi complementi algebrici. Quindi avremo il numero 1, lo andiamo a moltiplicare per il complemento algebrico che è quello, il determinante, ottenuto cancellando la colonna e la riga di questo 1. Quindi 1, 2, 2 e 1. Eccolo qua.

moltiplicando, calcolando questo determinante, teniamo che il determinante 2x2 lo calcoliamo con la regola secondo la quale dobbiamo moltiplicare fra di loro gli elementi della diagonale principale meno la moltiplicazione fra gli elementi della diagonale secondaria. Pertanto abbiamo in questo caso 1 a moltiplicare il prodotto di 1x1 meno 1x2, 1-4, quindi 1-4 che sarà 1x-3, quindi meno 3. Lo scriveremo sotto poi alla fine del passaggio. Ripetiamo lo stesso procedimento per il coefficiente. In questo caso A2 è 1, che visto che 2 più 1 viene 3 ed è un numero dispari, sarà preceduto da un segno meno.

E pertanto, cancellando la colonna e la riga, vedete che rimangono i coefficienti meno 2 è 2, meno 1 è 1. Eccolo qua. Andando a calcolare il determinante, in questo caso, ovvero il nostro complemento algebraico A1 è 2, avremo che 1 per meno 2 fa meno 2, meno 1 per meno 1 che fa più, quindi 1 per 2 è 2. E quindi meno 2 moltiplicato a meno 2 più 2 che fa 0. viene 0 per meno 2 e quindi ancora uno 0. E infine l'ultimo elemento della prima riga della terza colonna è il 3, che essendo 1, 3, 3 più 1, 4 sarà preceduto da un segno più, come anche in realtà il segno 1, e per il suo fotometro algebrico, che sarà quello ottenuto cancellando la colonna del 3 e la riga del 3, che si incrociano. Quindi meno 2, 1, meno 1, 2. Eccolo qui, 2 per meno 2 viene meno 4, meno 1 per più 1 fa meno 1, per meno più 1. Meno 4 più 1 fa meno 3, che moltiplica 3 e viene meno 9. visto che in mezzo c'è uno 0, meno 3, meno 9 e proprio meno 12. Fate voi la prova, ad esempio per la prima colonna, ma anche per la colonna e mezzo, vi verrà sempre meno 12 come determinante. Parliamo della regola di Sarrus, che è una regola che ci permette, che intanto ha due modi di calcolo, due metodi di calcolo.

Vediamo il primo, che ci permette di calcolare un qualsiasi determinante di una matrice, attenzione, e da specificare per lo studente che ascolta, unicamente per determinanti di matrici 3x3. Quindi questo va detto. A questo punto consideriamo una matrice, il determinante di una matrice è quello che si veda, A solito 3 per 3, a1,1, a1,2, a1,3, a2,1, a2,2, a2,3, a3,1, a3,2, a3,3.

Abbiamo scritto qui lo stesso determinante, scritto però dalla parte della diagonale principale e dalla parte della diagonale secondaria. Ovvero cosa significa? Vediamo come avviene il calcolo del determinante con la regola di Sanus. Sanus dice che sarà opportuno considerare il primo prodotto, dei tre coefficienti che compongono la diagonale principale.

Quindi andiamo a unire i tre coefficienti che compongono la diagonale principale, come vedete, ovvero il prodotto fra 1,1, A2,2 e A3,3. A questo prodotto ci sommiamo un altro prodotto di tre coefficienti, che sono i coefficienti che compongono un triangolo con punta rivolta verso il basso, avendo base parallela alla diagonale principale e vertice posto nell'elemento A3,1. E quindi avremo che appunto... moltiplicando questi tre elementi che compongono questo triangolo con punta rivolta verso il basso e base, ripeto, composta dai coefficienti che vanno a formare la parallela, la derivata principale, sarà a1,2 per a2,3 che moltiplica a3,1. Più un altro prodotto fra altri tre coefficienti che sono a2,1,a3,2 e a1,3 che sono infatti i coefficienti che in più 2 formano la base di un triangolo o parallela ancora alla diagonale principale, che vengono uniti con il vertice di un triangolo con punta questa volta rivolta verso l'alto, che ha come verso appunto il coefficiente a1,3 e quindi avremo appunto a2,1 per a3,2 per a1,3.

Stesso discorso va ripetuto, ma con il meno davanti a tutti e tre i calcoli, dalla parte della diagonale secondaria. Quindi andiamo, col meno davanti, a calcolare il prodotto fra i coefficienti che compongono la diagonale secondaria, eccolo qua. ovvero a31 per a22 per a13, poi di nuovo andiamo a scrivere, sommato sempre, questo prodotto, un altro prodotto, quello fra tre coefficienti di cui i più 2 ci compongono la base di un triangolo parallelo alla diametra secondaria e che il triangolo, come vedete, compunta sempre rivolta verso il basso il coefficiente a33. E infatti abbiamo più a21 per a12 per a33.

più infine l'ultimo prodotto che sarà composto da coefficienti che formano un altro triangolo, ovviamente base, sempre parallela alla diagonale secondaria, ovvero i coefficienti a1,2 e... scusa, a3,2 e a2,3, e il vertice che è appunto del triangolo con punta, questa volta rivolto verso l'alto, che è il coefficiente a1,1. Quindi abbiamo che l'ultimo prodotto è a3,2 per a2,3 per a1,1. Vi ho messo, vedete, i due triangoli in ciascuno delle parti e poi... chiusa la quadra, tenendo presente che davanti a questa seconda quadra, quindi a che elementi compongono la diagonale secondaria, c'è sempre un segno meno.

Questa è una prima estensione della regola di Sarus, adesso vediamo, andiamo a vedere come può essere applicata attraverso un altro modo di risolvere, sempre la regola di Sarus, che è sempre la stessa, ma applicata in un altro modo. Vediamo il... La seconda variante, ovvero il metodo sempre la regola di Sarus, ma applicata in maniera leggermente diversa. Naturalmente poi il risultato del determinante sarà il medesimo e la regola è tra l'altro molto simile a quella appunto appresa precedentemente. In questo caso abbiamo sempre da determinare il determinante di una matrice, supponiamo 3x3 a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32 e a33.

Si fa l'alternativa, ovvero una variante, un altro modo di utilizzare la regola di Saus consiste nel riportare alla destra e fuori dal determinante le prime due colonne, quindi le riportiamo e scriviamo A1 1, A2 1, A3 1 e poi la seconda A1 2, A2 2 e A3 2. Dopodiché... riguardante, naturalmente facendo riferimento ai coefficienti che compongono la diagonale principale li andiamo a unire così come in questo caso andiamo a unire i coefficienti che compongono la prima parallela di questa diagonale ovvero a1,2,a2,3 e a3,1, eccolo qua e a questo discorso andiamo a unire i coefficienti che compongono la terza parallela alla diagonale principale ovvero a1,3 con A2, A1, con A3, A2 e ci mettiamo sopra dei segni che stanno a indicare che la prima parte del calcolo del determinante, se questa è il determinante della matrice A il determinante di A possiamo dire che è pari alla somma dei prodotti dei tre elementi che compongono le tre la diagonale principale e le due parallele, ovvero A1, A1, A2, A2 a3,3, naturalmente più a1,2 per a2,3 per a3,1 naturalmente più, come dice il segno, a1,3, a2,1, a per e2. A questo punto, come facevamo prima, ci mettiamo un bel meno perché passeremo naturalmente dalla parte della diagonale secondaria. Dopo il meno apriamo una quadra e naturalmente a questo punto uniamo i tre coefficienti, i tre elementi che compongono questa volta la diagonale secondaria, ovvero a31 con a22 con a13.

E naturalmente li andiamo a moltiplicare, quindi a31 sempre per a22 per a13. Più naturalmente il prodotto questa volta dei coefficienti che compongono la prima parallela alla diagonale secondaria, quindi a32, a23 e a11. Quindi a32...

A23 ed A11, più sempre il prodotto di quegli elementi che compongono la seconda parallela della diagonale secondaria, ovvero A33 con A21 con A12, quindi A33, A21, A12. Naturalmente sarebbe opportuno metterci 3-sotto le tre, diciamo le due parallele della diagonale secondaria, in quanto sto meno sta davanti, ma si può scrivere meno, meno, meno. Bene, chiudiamo la quadra.

Se andiamo a guardare il metodo precedente, otteniamo appunto lo stesso risultato che è appunto comunque la stessa regola di Sarus. Come detto, vediamo due esempi. Applichiamo il primo metodo della regola di Sarus a un determinante, lo stesso, di una matrice 3x3, perché è solo le matrici 3x3 che ci possiamo rivolgere, e quindi consideriamo questo determinante, che l'ho scritto due volte perché dobbiamo considerare la parte della diagonale principale e la parte poi preceduta dal segno meno della diagonale secondaria.

meno 1, 1, meno 3, 5, 2, 4, 3, meno 5, questo evidentemente è lo stesso, andiamo a applicare la regola di Salus, andiamo a moltiplicare intanto fra di loro i coefficienti della diagonale principale, pertanto meno 1 per 2, meno 2 per 5, meno 10. Per cosa prendiamo? Prendiamo la parallela, i due coefficienti che propongono la parallela a questa diagonale, 1 per 4, e la andiamo a unire col vertice formando un triangolo con punta rivolta verso il basso. Quindi 4 per 1 è 4, per 3 è 12, più 12. Più, stesso discorso, prendiamo i coefficienti dell'altra parallela, 5 per meno 1, e li moltiplichiamo a meno 3, ovvero un coefficiente che torna un altro triangolo, questa volta con punta rivolta verso l'alto. Meno per meno più, 5 per 3 per 1, viene un 15. A questo punto, andiamo a scriverci un meno.

Ripetiamo questo procedimento da questa parte. moltiplicando i loro coefficienti della diagonale secondaria 3 per 2 6 per 3 viene un meno 18 poi prendiamo la parallela di 5 e 1 li moltiplichiamo per 5 con il triangolo con punta rivolta verso il basso abbiamo 1 più 25 stesso discorso prendiamo la parallela di altri due 4 per meno 1 e li moltiplichiamo per meno 1 visto che per meno per meno fa più viene 1 più 4 andiamo a fare i conti abbiamo che 12 meno 10 fa 2 più 15 fa 17 abbiamo da sommare un 17 a meno, qui abbiamo un 29, 25 più 4, meno 18 che fa 11, con meno e non meno 11. Il risultato di questa determinante è chiaramente 6. Ripetiamo il calcolo del determinante di un'altra matrice, perché questa volta con lo secondo metodo, sempre è la stessa regola di Salus, leggermente un po'con una variante. Quindi riportiamo qui le prime due colonne, ovvero riportiamo oltre al di là del determinante la prima colonna, gli elementi per 3, 4, 2 e gli elementi della seconda colonna, quindi meno 1, 2, 0. A questo punto consideriamo gli elementi come al solito della diagonale principale, quindi li moltiplichiamo 3, 2, 3, e poi consideriamo gli elementi delle due diagonali parallele alla diagonale principale, quindi meno 1 per 5 per 2, 2 per 4 per 0. Ci devo ricordare che tutti questi saranno preceduti da un segno più.

Andiamo a scriverlo. Per quanto riguarda... la somma di questi 3 prodotti avremo che 3 per 2 è 6 per 3 fa 18 meno per più per più viene un meno sicuramente, quindi possiamo scrivere sicuramente meno 1 per 5 è 5 per 2 è 10 e poi abbiamo 2 per 4 che fa 8 per 0 è 0, più 0 ripetiamo lo stesso procedimento, questa volta dalla parte della diagonale secondaria, quindi Andiamo a moltiplicare i coefficienti facendo parte della diagonale secondaria, quindi 2 per 2 è 4 per 2 è 8, quindi abbiamo un 8. Naturalmente qui abbiamo un meno che è davanti ai tre prodotti, evidentemente. Poi abbiamo da moltiplicare la parallela, i prodotti, gli elementi della parallela, 0 per 5 per 3, quindi abbiamo un più 0. E poi abbiamo un più 3 per 4 per meno 1. 3 per 4 è 12, per meno 1 viene meno 12. Meno 12. Ricordiamoci che davanti c'è il segno meno, avremo che 18 per 11 più 0 è 18 per 10 che fa 8, meno sicuramente, vediamo che 8 meno 12 viene meno 4, per meno, quindi viene meno 4. Il risultato di questa matrice è chiaramente...

Andiamo a denunciare importanti proprietà riguardanti matrici e determinati. Due matrici quadrate tra loro trasposte hanno lo stesso, il medesimo determinante. Proprietà numero 2. Se tutti gli elementi di una linea, riga o colonna, di una matrice quadrata sono nulli, allora il determinante di tale matrice è anch'esso nullo.

Proprietà numero 3. Se in una matrice quadrata due linee parallele, riga o colonne, sono proporzionali in particolare uguali, allora il determinante di tale matrice è nullo. Proprietà numero 4. Scambiando tra di loro due righe o due colonne di una matrice, allora il determinante di tale matrice cambia di segno. Proprietà numero 5. Se si moltiplicano gli elementi di una linea di una matrice quadrata per un certo numero K, allora il determinante di tale matrice resta moltiplicato per quel numero K. Proprietà numero 6. Il determinante di una matrice quadrata non cambia quando ad una linea si aggiunge una linea parallela moltiplicata per un arbitrario numero K. Proprietà numero 7. In una matrice quadrata La somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di una linea parallela vale 0 e questo è il teorema di Laplace.

Proprietà numero 8. Date due matrici quadrate dello stesso ordine A e B e indicato con C il loro prodotto, il determinante della matrice C è uguale al prodotto dei rispettivi determinanti delle matrici A e B. Noto questo come teorema di Binet. Proprietà numero 9. Consideriamo una matrice diagonale del tipo A. Vedete che gli elementi sono presenti sulla sola diagonale principale, A1, A1, A2, A2, A3, A3, A, N, N in generale.

Il suo determinante, determinante di A, è dato dal prodotto degli elementi presenti nella diagonale principale. Proprietà numero 10, una matrice quadrata si dice triangolare se i suoi elementi situati al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli. Si definisce matrice triangolare inferiore oppure superiore. se i suoi elementi sono nulli rispettivamente al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale.

Transcript for:Determinanti e Proprietà Matriciali

Transcript for:
Determinanti e Proprietà Matriciali