हाँ जी बच्चों तो हमारा जो first unit है that is coordinate system हम start करने वाले है mechanics ठीक है for graduation classes undergraduate students BSc non-medical computer science या BSc physics honors or you can say math honors उसमें भी ये mechanics का subject है तो इसमें सबसे पहले हम करेंगे mechanics में जो हमारा first unit है unit 1 उसमें बच्चों हमने पढ़ना है coordinate system coordinate systems coordinate system क्या होता है अगर मैं generally बात करूँ तो एक reference frame होता है reference frame with respect to which, जिसके with respect to, हम क्या करते हैं we find the location of object, we find the velocity of object, we find the acceleration of object if it is in the motion ठीक है, तो we find the position, velocity, acceleration or other parameters, other motion parameters इसमें linear momentum भी है, angular momentum भी है, जैसे आप पढ़ते चले जाएंगे, ये सब कुछ हम find कर सकते हैं, other parameters, ठीक है, कैसे होता है ये, देखो इसका एक origin होता है, ये मैं आपके सामने एक reference frame बना रहा हूँ, coordinate system, जिसमें एक origin होता है, origin है कि हमारे पास एक, पहले से ही पता position होती है, एक point होता है space में, जिसके बारे में हमें पहले से पता होता है. Axes होते हैं, 3, x-axis, y-axis, z-axis, और यहाँ पर किसी point की location आप इसमें find करते हो, with respect to the coordinate system, और coordinate system के जो coordinates हैं, तो हर किसी coordinate system के coordinates होते हैं. हमारे पास 3 तरह के coordinate system हैं, जो हम physics में generally study करते हैं, सबसे पहले है Cartesian, कार्टीजियन कॉर्डिनेट सिस्टम और कार्टीजियन कॉर्डिनेट्स विश्व बोल सकते हैं आप दूसरा है हमारे पास सफेरिकल पोलर कॉर्डिनेट्स सफेरिकल पोलर कॉर्डिनेट सिस्टम और तीसरा है हमारे पास थर्ड इज सिलेंड्रिकल coordinate system, ठीक है जी, अब ये तीनों कहां use होते हैं, कैसे use होते हैं, सबसे पहले इसे Cartesian है बच्चों, अगर आपके पास एक box है, like this, cuboid, मालो यहाँ पर एक point है space में, P, X, Y, Z, ठीक है, इसकी location को आप find करना चाहते हैं कि ये इस origin से कितनी दूरी पर है, exact location क्या है, तो हम कैसे find करते हैं, हम इदर x-axis मानते हैं, इदर y-axis मान लिया, इदर z-axis मान लिया, ठीक है, ये तीन axis है, mutually perpendicular axis, हम p-point से perpendicular x-axis पर draw करते हैं, और इसकी दूरी, इस perpendicular की दूरी, origin से हम find कर लेते हैं अब x-axis के along हमारे पास unit vector जो है i-cap है, i-cap हमें क्या बताता है, it is a unit vector, it is a unit vector which gives the direction, ठीक है, to give the direction, ठीक है, only direction, कौन सी direction बताता है, ये x-axis के बारे में बताता है, अगर कहीं पर भी i-cap लगा होगा, तो उसका मतलब है कि वो जो quantity है, उसकी direction x-axis वाली है, इसका magnitude कितना होता है, देखो unit vector है ना, plus 1 में पढ़ा हुआ, इसका magnitude होता है unity, unity मतलब 1, ठीक है, 1 इसका magnitude होता है, यह सिर्फ direction बताता है, तो i cap इदर लग जाता है हमारे पास, j cap y axis की direction बताने के लिए, और k cap z axis की direction को बताने के लिए हम use करते हैं, अब जैसे मैंने यहाँ perpendicular x axis पे फेंका, और यह x जो दूरी है, यह हमारे पास x axis, x coordinate बन गया, ऐसे ही y axis पर भी हम ऐसे perpendicular फेंकते हैं, ठीक है, we drop a perpendicular on y-axis, और यहाँ पर origin से लेके इस perpendicular तक की जो दूरी है on y-axis, that is the y-coordinate, ऐसी बच्चों हम z पर भी perpendicular फेंकते हैं, यह z-axis वैसे कैसे होता है, z-axis screen के perpendicular है actual में, बट draw करने के लिए हम ऐसे draw करते हैं, तो हम मान लेते हैं कि हमने यहाँ से perpendicular फेंका है, मैं उसको बना क इसको cuboid बोला जाता है, ठीक है, अब इस point पर देख लो बच्चों, इस point पर x की value और y की value, जो है हमारे पास, same इसी point पर होगी, x और y की value, ठीक है, तो यहां से perpendicular फेंका जाता है, चाहे यहां से फेंक दो, एक perpendicular यहां से z axis पर फेंका जाएगा, इस point अब ये जो coordinates हैं तीनो, they are called Cartesian coordinates, और इसका दूसरा नाम भी है rectangular coordinates, ठीक है जी, तो ये use होते हैं किसी भी point की location को find करने के लिए on a cuboid, किसी ट्यूब वाइड के सर्फेस पर, कॉर्नर पे आपने लोकेट करना है, या कहीं पर भी आपने लोकेट करना है, पॉइंट को, तो हम ये तीन कोडिनेट्स x, y, z यूज़ कर लेते हैं, ठीक है, तो इस तरह से, ये आपके पास एक सफीर है, सफीर के लिए, यू कैन इमेजिन, रुको पहले स्पैलिंग सही नहीं आए, सफीर, ठीक है जी, सफीर का मतलब है एक बॉल, आप बॉल इमेजिन कर लो, और यू कैन इमेजिन दा वाटरमेलन, ठीक है, तो ये जो है, इसे सफीर, अब उसके उपर, उसके सर्फेस पर, ये सेंटर है उसका, इसे सेंटर, और उसके सर्फेस पर कहीं पर एक पॉइंट है P, ये सर्फेस पर है, एक्सिस नहीं मैं बनाऊंगा, ये जो एक्स या एक्स य I am just telling you, कि अगर आप सफेर के उपर एक point को locate करना चाहते हैं, तो it is more convenient to use the spherical polar coordinates.
तब हम spherical polar coordinates को अच्छे से use कर पाते हैं. तो हमारी calculations असान हो जाती हैं, ठीक है? अगर कोई spherical symmetric object है, अगर कोई field है, जैसे आपने electric field बढ़ा, plus 2 class में, अब जो electric field होती है, वो spherical होती है nature में. मतलब माल लो यहाँ पर एक Q चार्ज है, उस Q चार्ज से R दूरी पर, R डिस्टेंस पर, अगर आप Electric Field लिखना चाहते हो बच्चों, तो Electric Field का फर्मल होता है 1 by 4 pi epsilon 0 Q by R square, यह इसका magnitude होता है, अब इस R radius का अगर हम यहाँ पर एक सफियर बना दे, इस चार्ज के राउंड, तो Electric Field का magnitude इस पूरे सफियर पर same होगा, पूरे सफियर पर, Electric Field is always same everywhere, तो इस तरह के cases में हम spherical polar coordinates को use करते हैं, उससे calculations असान हो जाती हैं, तो वो तीनो coordinates होंगे r, theta and phi, ठीक है बच्चों? और ऐसे ही माल लो हमें cylinder है, हमारे पास एक cylinder है, उस cylinder का भी एक axis है, like this, और एक mid point है, origin, अगर आप इस cylinder पर किसी point P को, locate करना चाहते हैं, तो उसके लिए बच्चों cylindrical coordinates use होते हैं, which are rho, theta and z, rho की जगा phi ले लेते हैं कभी-कभी, rho, phi and z, ठीक है, z इसमें यह height होती है, और region से कितनी उपर है, यह z होता है इसमें, phi angle होता है, पीछे की तरफ कितना घूम रहा है, और rho यह distance होता है, तो इस तरह से हम cylindrical coordinates को भी study करेंगे, तो cylinder पर locate करने के लिए we use cylindrical coordinates, ठीक है, अब हमने करना क्या है, हमने ये x, y, z वाले तो already plus 1 class में पड़े हुए हैं, Cartesian coordinates, position vector और velocity vector और acceleration हम यहां से लिख सकते हैं, जिसे position vector लिखना है अगर हमें, तो we write x i cap, प्लस वाई जे कैप प्लस जेड के लिए पॉइंट पी है ना विजन से आप इसकी पूजिशन लिखना चाहते हो तो आप ऐसे वेक्टर बना देते हो आई कैप जे कैप के पार यूनिट वेक्टर्स ऐसे ही अगर हमें यूनिट वेक्टर्स इस केस में फाइंड करने है मतलब आर्थ थीटा वाई तो कोडिनेट्स हो गए तो इसके कारण इस इनकी यूनिट वेक्टर्स होंगे आर्थ थीटा कैप फाइंड कैप यूनिट वेक्टर्स है इनको हमें फाइंड करना इनको में डिफाइंड करना है और unit vectors हैं, but इनको नहीं find करना क्योंकि ये syllabus में नहीं है, but जैसे हम इसका treatment करेंगे, spherical का वैसे ही हम cylindrical का भी treatment कर सकते हैं तो चलिए अब हम start करने वाले हैं सबसे पहले हम पढ़ेंगे plain polar coordinate system अब plain polar coordinate system क्या होता है सबसे पहले हम पढ़ेंगे Cartesian के बारे में मैं already बात कर चुका हूँ, चलो पहले Cartesian थोड़ा सा और करवा देते हैं चेसे आपको समझ आता है उसमें displacement velocity करवा देता हूँ, ताकि Cartesian आपको अच्छे से समझ आते हैं चलिए तो सबसे पहले हम करते हैं Cartesian Coordinate System हाँ जी बच्चो, तो क्या होता है इसमें?
इस तरह से हमारे पास 3 Mutually Perpendicular Axes होते हैं, जिसमें एक region होता है और region हमें already पता होता है, XYZ होते हैं और साथ में i cap, इदर j cap, और इदर k cap होता है, अब क्या होता है, इसके बाद हमें कोई point p दिया गया, मैंने बताया कि उसके coordinates अगर हमारे पास हैं, x, y, z, space में कोई एक point है, और ये तीन उसके coordinates हैं, तो सबसे पहले हम इसका position vector लिखते हैं, Cartesian system में, इसको हम बोलते हैं r vector, उस Z coordinate into K cap, ठीक है, इस तरह से हम R vector लिख लेते हैं, अब आप अगर velocity लिखना चाहते हैं, velocity से पहले मैं आपको displacement समझाओंगा, इसमें displacement कैसे find होता है, मालो यह P point यहां से चला, ऐसे कोई path follow किया, और यहां पहुँच गया, तो यहां पर पहुँच के इसको P dash बोल देते हैं, अ� तो यह जो दूसरा वाला position vector है final वाला, this is final position vector, जहां पे वो जाके रुख गया न, उसका हमने एक और position vector ड्रोव कर लिया, r'तो r'जो है, that will be x'i'plus y'j'plus z'k'this is the final position, मैं इसके सामने लिखता हूँ, this is final position vector and this is initial, जो पहले था, जो की वो move कर रहा है तो अभी हमें यहाँ पे displacement vector लिखना सीखना है वो कैसे लिखेंगे तो displacement क्या होता है final position minus initial position कैसे बनेगा देखो यहाँ से start हुआ था particle यह initial position है start यहाँ पे जाके रुग गया यह stop है तो आपने जब displacement vector को draw करना है तो आप ऐसे arrow लगाओगे start से stop की तरह initial position to final position तो यह वाला जो arrow है इस एरो लेट अ सपोस एट इस डेल्टा आर वेक्टर तो डेल्टा आर वेक्टर इस डिस्प्लेसमेंट वेक्टर इफ इस मूविंग देने इट इस कार्ड डिस्प्लेसमेंट वेक्टर एंड इट इस गिवन बाइ फाइनल पुजीशन मतलब आर डेश फाइनल माइनस इनिशन पुजीशन मतलब आर ठीक है आर डेश माइनस आर हमेशा ऐसे करना हैड माइनस तेल याद रखो r dash minus r याद रखो, इसको apply कर दो, and you will get this displacement vector. देखो head minus tail मतलब head का position vector, यह head होता है, जहां arrow बना होता है, और यह tail होती है vector की, तो head minus tail मतलब r dash minus r. यह कहां से है equation? यह equation आई है हमारे पास by triangle law of vector addition, है तो फाइनल माइनेस इनिशल अगर मैं यहां पर वेल्यूट कर दूं तो क्या बनेगा बच्चे x-6 आई कैप प्लस वाइड एश माइनस वाइ जेड प्लस जेड माइनस जेड के तो दिस व्यूट डिस्प्लेसमेंट वेक्टर एंड इट कैन बीटन डेल्टा आर वेक्टर ठीक है तो इस तरह से हम Cartesian coordinate system में displacement को find करने के लिए एक simple equation final position minus initial position लगा देते हैं और हमारे पास displacement vector आ जाता है अब मान लेते हैं इसको यहां से जहां तक जाने में delta t time लगा if delta t is time taken time taken by particle from p to p dash, ठीक है, in going from p to p dash, then if I divide delta r which is displacement by time, तो displacement by time क्या हो जाएगा, velocity vector, तो इसमें velocity vector फिर ऐसे लिखा जाता है, हम इस equation को velocity से divide कर देते हैं, कैसे करेंगे, देखो, इसको हम put करते हैं यहाँ पे, इसको मैं लिख रहा हूँ बच्चे, delta x, यह delta x बन गया, और इसको delta t से divide कर दिया, plus, दुसरे वाले को लिख रहा हूँ delta y, उसको भी delta t से, इको delta t सब के नीचे चला जाएगा, plus, delta z by delta t केगा, तो this is the velocity vector, अब यहाँ पर यह जो delta है न, अगर हम अगर delta t time is very small, तो this equation can be written as, कैसे लिखे जाएगी, dx by dt, rate of change of x coordinate, plus rate of change of y coordinate, ये rate of change of y coordinate बन गया, plus rate of change of z coordinate, and this is the velocity vector in Cartesian coordinate system, जस्ट आप position vector को differentiate कर दो, this is position vector, उसको with respect to time differentiate कर दो, आपको velocity मिल जाएगी, ओके, इसको ऐसे भी लिख सकते हैं, तीन component हो गए, इसको x component बोलते हैं velocity का, इसको y component बोलते हैं velocity का, इसको z बोलते हैं, तीन component हो सकते हैं, particle हवा में उड़ रहा है, किसी भी direction में जा रहा है, तो उसक वीज़ेट के तो दिस द वेलोसिटी वेक्टर इन केस ऑफ कार्टीजियन कोडिनेट सिस्टम सिंपली यू हैव टू डिफरेंशिएट आर वेक्टर विद रिस्पेक्ट टू टाइम अब हम एक सलेशन की भी बात कर लेते हैं इफ वेलोसिटी चेंजिंग इफ वेलोसिटी वेक्टर इस चेंजिंग विद टा तब उस case में बच्चो हम लिखते हैं acceleration को, which is dv by dt, तो अगर हम इसको differentiate करेंगे, हम ऐसे लिखेंगे d by dt of vx i cap plus vy j cap plus vz k cap, ठीक है जी, तो यह हमारे पास बन जाएगा ax i cap plus ay j cap plus az k cap, ठीक है, this is acceleration vector, उसके भी 3 components होगे, अब इसको और एक तरीके से लिखा जाता है, देखो, r vector आपने ऐसे लिख लिया, x i का है, plus y j का है, plus z k का है, तो ये coordinates हैं, जब हम velocity vector लिख रहे हैं, तो क्या आ रहा है, आपके पास x की जगा आ रहा था, dx by dt, है न, you can see, velocity vector में x की जगा क्य वो short form देखना क्या है, dx by dt की short form है, x के उपर dot लगा देते हैं, मतलब ये derivative हो गया, जब भी dot लगा होगा, मतलब x का first time derivative, ऐसे y के उपर dot लगा देते हैं j cap, ऐसे z के उपर dot लगा देते हैं k cap, तो यहाँ मैं bracket में लिख देता हूँ, कि x dot का मतलब है dx by dt, तो इसलिए बार इतना बड़ा symbol लिखने की बजाये हम ये छोटा सा symbol यूज़ कर लेते हैं ताकि हमें ज़्यादा effort ना करना पड़े फिजिक्स वाले थोड़े lazy होते हैं इसलिए short forms बना लेते हैं अब ये x dot है अब दुबारा इसको differentiate करना है क्योंकि आप velocity को जब दूसरी बार differentiate करते हो तो acceleration आता है तो double dot लगा लेते हैं तो ये भी आपने याद रखना है कि Cartesian coordinate system में अगर आपको पूछा जाए acceleration, velocity और position कैसे लिखे जाते हैं तो ऐसे लिखे जाते हैं double dot का मतलब क्या है double dot का मतलब है कि x को दो बार differentiate करना है ये चीज ये भी double dot का मतलब है और ये भी double dot का मतलब है चाहे आप velocity है तो एक बार differentiate कर दो और अगर आपके पास position है तो दो बार differentiate कर दो ये double dot का मतलब है देखो d by dt of देखो vx जो था that is single dot x with single dot तो इसको ऐसे भी लिख सकते हैं, तो यह x double dot इसके बराबर है, ठीक है, आगी बार समझ, और x single dot इसका derivative है, x के ऊपर single dot तो मतलब x को differentiate करना है, x के ऊपर double dot तो मतलब x dot को differentiate करना है, तो इस तरह से हम short form में position, velocity और acceleration लिखेंगे, अब हम बात करेंगे magnitude की, कि magnitude कैसे find करना है, magnitude of v vector, velocity vector का magnitude, देखो, ये velocity vector ना है, इसका magnitude कैसे लिखा जाएगा, x component का square, मतलब x dot square, plus y component का square, y dot square plus z component ये velocity vector का magnitude है और ऐसे ही अगर आपको पूछा जाए acceleration का magnitude लिखो magnitude समझते हो न कोई भी vector quantity है उसकी दो चीज़े होती है एक होता है उसका magnitude और दूसरी होती है उसकी direction किसी भी vector की अगर आप सिर्फ magnitude बताना चाहते हो मतलब velocity का magnitude क्या होता है speed होती है अगर आप object की speed बताना चाहते हैं कि कितनी दूरी तै कर रही है per unit time है तो उसमें हम इस वेक्टर को ऐसे यूज करते हैं और ऐसे एक्सएलेशन का भी अगर आप निखाना चाहते हो मैगनिट्यूड कितना है मात्रा कितनी है तो एक डबल डॉट स्केयर वाइड अब रोड्स किया जिस यहां से यह तो उसको हम लिखते हैं x square plus y square plus z square under root, तो इस तरह से हमारे पास इन सब के magnitudes भी हमें मिल जाते हैं, vector form में लिखने हैं तो ऐसे लिखे जाएंगे, और अगर magnitudes लिखने हैं तो ऐसे लिखे जाएंगे, ठीक है, और ये जो तीन चीज़ें यहां चल रही हैं, वाट आर दे, दे आर unit vectors, unit vectors.
ठीक है जी, तो ये मैंने अभी आपको Cartesian Coordinate System में Position, Velocity और Acceleration को लिखना सिखाया अब बच्चों, ये जो Cartesian System है ना, मैंने 3D में लिखा है 3D में कैसे लिखा है, कैसे में आपको पता चलेगा 3D में लिखा है क्योंकि मैंने तीनों Components लिखे हैं I Component भी लिखा, J भी लिखा, K भी लिखा लेकिन अगर आपका Particle एक Plane में ही Move कर रहा है, Simply एक Plane में है, Plane का मतलब है जैसे ये Screen आपके सामने नज़र आरही है आपको Phone की, अगर मैं बोलूं ये Particle ऐसे चलता रहता है हमेशा चल रहा है moving है but हमेशा screen के उपर ही रहता है कभी भी यह screen से बाहर नहीं निकलता या screen के अंदर नहीं जाता inward नहीं जाता outward नहीं जाता screen के उपर ही रहता है तो उस case में भी क्या होगा उस case में हमें सिर्फ 2 coordinates चाहिए होंगे तीसरा coordinate नहीं चाहिए इसको समझो motion कैसा है 2D motion है वो फिर हम इदर x, x पना देंगे और simply इदर y बना देंगे और हम कभी भी उसकी position को अगर locate करना चाहेंगे तो z coordinate 0 रहेगा हमेशा z चाहिए ही नहीं क्योंकि वो particle screen से बाहर आई नहीं रहा, नाई screen के अंदर जा रहा है, तो कभी भी फिर उसको अगर locate करना है particle को, इस plane में ही करना पड़ेगा, तब सिरफ हमें x और y coordinates ही चाहिए हमेशा, तब इन सारी equations में z वाला component 0 हो जाएगा, और उसको बोला जाता है, Cartesian coordinate system in a plane, in two dimensions, तो ये 2D motion के लिए होता है, 3D के लिए तीनो components use होंगे, simple सी बात है, रिकॉलिंग है आपके कंसेप्ट की जो अपने प्लस वन में भी पड़े हुए हैं प्लस टू में भी पड़े हुए हैं जस्ट यह सिंबल फोल्डे से डिफरेंट है जो भी आपको यार रखने है कि डॉट का मतलब पस्तेरी बेटिव होता है और डबल पहले हम उसकी थोड़ी सी simplified form करेंगे, एक plane के ऊपर काम करेंगे, कि अगर हमारे पास एक object है, like this, it always move on a circle, यह हमेशा एक circle के ऊपर जल सकता है, और वो जो circle है बच्चे, वो इस plane में बना हुआ है, screen के plane में बना हुआ है, अब उसको आपने locate करना है, circle पे रहता हमेशा, यह condition ह तब हम क्या करेंगे, यह उसकी radius हो गई, जो fix हो गई, और angle theta यहाँ पर change होगा, तो यह जो r और theta है, they are called plain polar coordinates, r and theta are called plain polar coordinates, ठीक है, फिर हम sphere पे जाएंगे, 3D में, तो उसको बोलेंगे spherical polar coordinates, लेकिन अभी हम plain polar coordinates के बारे में बात करेंगे, this is r, theta, क्यों यूज होते हैं ये? ये भी किसी particle की position किसी plane पर find करने के लिए यूज होते हैं तो they are used to locate ए पार्टिकल ओन ए प्लेन अब इस पार्टिकल के दो तरह के कॉर्डिनेट हो सकते हैं अगर मैं यहां एक्स वाई मान लूं तो एक्स वाई कॉर्डिनेट भी मैं लिख सकता हूं वह कैसे लिखूंगा यहां से परपेंटिकुल रिधर इधर फिंकूंगा तो वह कैसे लिखूंगा यहां से परपेंटिकुल रिधर फिंकूंगा एक्स कॉर्डिनेट हो गया सिंपल तो वहाँ से भी particle locate हो जाएगा कि यह position कहा है इसकी दूसरा तरीका है हम origin से एक ऐसे line draw करेंगे position vector उसको r बोला जाएगा और उस r का angle देख लिया जाएगा x axis के साथ कितना है that is theta तो theta और r जो हैं यह भी इसके coordinates हैं r, theta but r, theta जो हैं they are plain polar coordinates और x, y जो हैं they are cartesian coordinates ठीक है same है particle की location ही बतानी है चाहे जिस मरजी form में बताओ तो कभी हमें अच्छा रहता है, जब हम R थीटा को यूज़ करते हैं तो calculations हमारी असान हो जाती हैं, जैसे आपने electricity में, electrostatics में, charge की electric field को बढ़ा, तो उसमें R ही आता है हमारे पास, ठीक है, R क्या होता है distance of the point from the charge, तो उसमें R आता है, तो they are plane polar coordinates, अब हम यहां तक पहु कार्टीजियन कोडिनेट्स x, y और प्लेन पॉलर कोडिनेट्स r, theta तो यह डाइगराम बच्चे आपके सामने है मैं दुबारा से बना रहा हूँ इस डाइगराम में यह वली साइड जो है इस ट्रेंगल में वो x है और इसके सामने यहां से लेके यहां तक y है इस विरार यह वाली लेंथ और यह थीटा है बस अब इनमेंट रिलेशन फाइंड करनी है सिंपल टेक्नोमेट्री आपको आती है एक देखो पर पेंट बेस है ना बेस तो यू कैन राइट एक्स बाय आर एस कॉस थीटा क्योंकि एक्स इस बेस आर इस आईपर्टन्यूस बेस अपन हाइपर्टन्यूस कॉस्ट थीटा होता है तो एक्स इक्वल टू आर कॉस्ट थीटा यह तो y by r is sine theta, perpendicular by hypotenuse, तो y का formula आ गया r sine theta, तो ये दो relations हमें मिल गई, they are very important, ये आपको पहले से भी पता है, आप vectors को resolve करते थे इस तरीके से, अब just language चोड़ी सी different है, बात वही है, अब इसका मतलब है कि आप theta angle अगर आपको दे दू, मैं इठा टिड़ीगी दे दिया, और r ये दे दिया कि वही 10 meter की दूरी पर है ये point o से origin से तो आप बता दोगे फिर कि उसका x coordinate कितना है और y coordinate कितना है तो फिर आप मुझे आप x y दोनों इसमें values put करके बता दोगे अब इससे reverse भी करना है इससे reverse ये करना है कि if r and theta are given and you want to find r and theta हो गया reverse ये करना है if x and y are given आपको x दे दिया y दे दिया और आप plain polar coordinates बनाना चाहते हैं तो कैसे करेंगे तो if r, theta, r given, आपको दे दिये वैने, कि भाई यहाँ पर है particle, इतने angle पर है, x-axis के साथ, ठीक है, then to find x, y, x और y कैसे हम निकालेंगे, x, y कौन से coordinates हैं, cartesian, यह है cartesian, इसलिए हम cartesian find करेंगे, हमें given कौन से होंगे, plain polar, ठीक है, तो कैसे करेंगे, देखो, बहुत easy है, हम इन दोनों equation की scaring and adding कर देते हैं, scaring and adding of 1 and 2, तो यहां बनेगा x square plus इधर वाला इसमें add कर देते हैं, adding तो करनी है, y square, इधर वाला right hand side r square cos square theta plus r square sin square theta, इसको solve कर लेंगे r square common cos square theta plus sin square theta, और ये simply हमारे पास आ गया, x square plus y square is equal to r square, तो मैं यहाँ पे आ जाता हूँ बच्चों, तो r लिखना चाते थे आप, r बन गया, x square plus y square, ठीक है, मतलब अगर x y coordinate आपको दे दिये जाएं, और आप r निकालना चाते हैं, ये किसके लिए था, ये था, if r and theta are given, x y find करने थे, अब तो वो तो देखो यह right angle triangle से पता चल रहा है पाइथा गॉरस्किरम लगा दो hypotenuse is equal to base square plus perpendicular square लेकिन यह हमने उसका proof कर दिया ऐसे ही विच्चे आपने theta angle निकालना है तो दोनों को divide कर देंगे 2 by 1 कर देते हैं, 2 by 1, तो बनेगी equation, y by x, y is r sine theta, x is r cos theta, ये कट गए, तो यहाँ पर, जो tan theta आ जाएगा, that is y by x, तो आप theta निकालना चाहते हो, तो tan inverse y by x, तो इस तरह से आपको पास theta भी आ जाएगा, means इनको use करके you can find r and theta, और इनको use करके, इन दोने equation को use करके, you can find x and y, तो अभी ये relations हो गई, plain polar coordinates में, और Cartesian coordinates में, let me write again, x किसके बराबर है, x is r cos theta, y is r sin theta, r निकालना है तो, x square plus y square under root, थीटा निकालना है तो tan inverse y by x, डाइग्राम क्या है, डाइग्राम यह है कि इधर x-axis है, इधर y-axis है, यह r है, यह थीटा है, and here is a point P having coordinates x, y, तो इस तरह से हम यह relations find करते हैं, अब मैं position vector भी लिखके दिखाता हूँ, आगे सुनो, अगर हम यह r vector लिखना है, तो अभी r vector क्या बना, देखो r cos थीटा, प्लस आर साइन थीटा जे कैप तो दिस जब पूजीशन वेक्टर ऑफ इस पार्टिकल इसमें आई कैप जे कैप पर द यूनिट वेक्टर अलांग आई एक्स एंड वाइएक्स ठीक है ओके अब बच्चों मुझे ठीक है और आर कैप को फाइंड करना ठीक है एंड आर कैप वह कैसे लिखे जाएंगे वह इस थीता कैप इस यूनिट वेक्टर अलांग थीटा यहां जिस ट्रेक्शन में थीटा जाएगा थीटा इसलिए हम यहां से स्टार्ट करते हैं और ऐसे घूमता है थीटा एंग्र तो जिस थीटा जा रहा है उस ट्रेक्शन में उस ट्रेक्शन को लिखना मतलब थीटा कैप लिखना यूनिट वेक्टर अलांग थीटा डिरेक्शन इस थीटा कैप वाट इस आर कैप इस यूनिट वेक्टर अलांग रेडिली आउटवर्ड बोलते हैं इसको उसकी डिरेक्शन में यूनिट वेक्टर है वह हमें कैसे फाइन करना है और थीटा कैसे फाइन करना है लेट आज डिफाइन देट यहां तक पहले मुझे बता दो कोई डाउट नहीं होना चाहिए किसी को आपकी क्लास की टाइमिंग वैसे ना थी तक है तो हम नेक्स्ट क्लास में कर लेंगे इसको प तो नौ लेटर से लेकर लेते हैं छोटा सा टॉपिक है कर ल