डिफरेंशिएशन के मूल नियम

Overview

यह लेक्चर "Methods of Differentiation" पर केंद्रित था, जिसमें डिफरेंशिएशन के बेसिक फॉर्मूले, रूल्स, महत्वपूर्ण मेथड्स, उनके उपयोग, तथा JEE/बोर्ड के लिए जरूरी टाइप्स और क्वेश्चन सॉल्विंग स्ट्रेटजी समझाई गईं।

डिफरेंशिएशन के बेसिक्स

• xⁿ का डेरिवेटिव: n·xⁿ⁻¹ (n कॉन्स्टेंट)
• eˣ का डेरिवेटिव: eˣ; aˣ का डेरिवेटिव: aˣ·ln(a)
• ln(x) का डेरिवेटिव: 1/x; logₐ(x): 1/(x·ln(a))
• त्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन के डेरिवेटिव: sinx→cosx, cosx→-sinx, tanx→sec²x आदि
• कॉन्स्टेंट का डेरिवेटिव हमेशा 0 होता है

डिफरेंशिएशन के रूल्स

• Product Rule: d(uv)/dx = u·dv/dx + v·du/dx
• Division Rule: d(u/v)/dx = [v·du/dx – u·dv/dx]/v²
• Chain Rule: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
• कांस्टेंट मल्टीप्लायर बाहर आ जाता है

प्रमुख मेथड्स

• Logarithmic Differentiation: जब वेरिएबल की पाॅवर वेरिएबल हो (जैसे xˣ), दोनों ओर log लेकर डिफरेंशिएट करते हैं
• Parametric Differentiation: x और y को किसी तीसरे पैरामीटर के हिसाब से दिया हो, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
• Implicit Differentiation: x और y दोनों एक ही साइड हों, फ़ंक्शन को सीधे डिफरेंशिएट करते हैं
• Substitution Method: आसान बनाने के लिए ट्रिग्नोमेट्रिक या अन्य उपयुक्त सब्स्टीट्यूशन करना

इन्वर्स फंक्शंस और डिफरेंशिएशन

• (sin⁻¹x) का डेरिवेटिव: 1/√(1–x²)
• (cos⁻¹x) का डेरिवेटिव: –1/√(1–x²)
• (tan⁻¹x): 1/(1+x²) तथा इस प्रकार अन्य इन्वर्स फंक्शंस

हायर ऑर्डर डेरिवेटिव्स

• y', y'', y‴ आदि क्रमश: प्रथम, द्वितीय, तृतीय ऑर्डर डेरिवेटिव
• डबल डेरिवेटिव्स के लिए विशेष ध्यान: अगर पैरामेट्रिक, तो पहले dy/dx, फिर दुबारा डिफरेंशिएट करें

इंपॉर्टेंट क्वेश्चन पैटर्न्स व टिप्स

• JEE/बोर्ड में सीधे फार्मूले वाले, लॉगरिद्मिक, सब्स्टीट्यूशन, इन्वर्स, कम्पोजिट फंक्शंस के प्रश्न आते हैं
• ट्रिग्नोमेट्री, एल्गेब्रा के सिंप्लिफिकेशन तथा एक्यूरेट ब्रैकेटिंग पर खास ध्यान दें
• इन्वर्स कंपोजिट डेरिवेटिव: d/dx(f⁻¹(x)) = 1 / f'(f⁻¹(x)), प्रूफ याद रखें

Key Terms & Definitions

• डिफरेंशिएशन — किसी फंक्शन का रेट ऑफ चेंज निकालना
• चेन रूल — समग्र फंक्शन के लिए डेरिवेटिव का नियम
• इंप्लिसिट डिफरेंशिएशन — x, y मिक्स्ड हों तो बिना x=... फॉर्म के भी डिफरेंशिएट करना
• पैरामेट्रिक डिफरेंशिएशन — x, y दोनों किसी पैरामीटर के रूप में हों
• हायर ऑर्डर डेरिवेटिव्स — दूसरी, तीसरी... बार डिफरेंशिएट करना

Action Items / Next Steps

• "मंजिल" सीरीज के अगले लाइव सेशन में भाग लें
• अपने नोट्स से बेसिक डेरिवेटिव्स, फार्मूले, इन्वर्स, लॉगरिद्मिक डिफरेंशिएशन के रूल्स दोहराएं
• होमवर्क: पिछली तीन साल की JEE/Bord/PYQ समस्याएँ हल करें
• ट्रिग्नोमेट्री व बेसिक एलजेब्रा पर फिर से नजर डालें
• दिए गए होमवर्क / एक्सरसाइज प्रश्नों को हल करना ना भूलें