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डिफरेंशिएशन के मूल नियम

हेलो बच्चों कैसे हो बेटा आप सब लोग तो उम्मीद है सभी लोग मंजिल सीरीज में एंजॉय कर रहे हैं अपनी पढ़ाई और बढ़िया आप लोगों की पढ़ाई जोरो शोरों से चल रही होगी बेटा मैथ्स में हम लोग 12थ का सिलेबस कर रहे थे काफी सारे चैप्टर्स मैंने आपको लाइव सेशंस में करवाए हैं अभी तक लाइव सेशंस देखो अपने कंटिन्यू रहेंगे बट क्योंकि एम ये है कि आपका ज्यादा से ज्यादा सिलेबस कवर हो जाए फर्स्ट जेई मेन से पहले दैट इज जनवरी वाले जेई मेन से तो इसलिए कुछ सेशंस मैं आप लोगों को रिकॉर्डेड फॉर्म में भी दे रहा हूं सो दैट जो आसान चैप्टर्स है मतलब जिसमें बहुत ज्यादा आपको लाइव की जरूरत नहीं है जोकि ये छोटे चैप्टर्स हैं इजी चैप्टर्स हैं बट इनके क्वेश्चंस बेटा एक-एक सवाल जेई में शर शॉर्ट मेंस में तो आना ही आना है और एडवांस में भी अलग-अलग जगह ये इस्तेमाल होते हैं ठीक है तो ये चैप्टर्स जो हम है कुछ चैप्टर्स हम रिकॉर्डेड फॉर्म में करेंगे यस ऐसा ही एक रिकॉर्डेड फॉर्म में मैं आप लोगों को ये लेक्चर दे रहा हूं मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल ने बहुत जगह यूज किया होगा जो बच्चे 11थ में है 12थ में है बहुत जगह आप लोग यह टॉपिक पढ़ चुके होंगे कहीं फिजिक्स में यूज करते हैं कभी मैथ्स में तो कहने का मतलब है बहुत इंपॉर्टेंट है इसको आप अच्छी तरह पढ़िए और इसके ऊपर एक सवाल जेई मेन में पक्का आता ही आता है और एडवांस में तो इनडायरेक्टली काफी जगह यूज होता ही होता है ठीक है तो मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल है बोल सकते हैं इस चैप्टर को छोटा सा टॉपिक रहेगा आई थिंक मेरे ख्याल से लगभग चार घंटे का होना चाहिए ये सेशन 4 साढ़े मैक्सिमम चार मान के चलो आप आराम से उसमें हो जाना चाहिए हमारा क्योंकि बहुत ज्यादा लेंथी चैप्टर इसमें है ही नहीं कांसेप्ट ही थोड़े से हैं और उन कांसेप्ट को बस हम क्वेश्चंस में अप्लाई करेंगे खूब सारे सवाल लगाएंगे जेई के हम ठीक है चलिए तो स्टार्ट करेंगे और जैसा कि हर रिकॉर्डेड सेशन से पहले मैं आप लोगों को बोलता हूं कि आप लोगों को बेटा इसमें ये बात ध्यान रखनी है कि आप किस स्पीड पे देख रहे हैं अगर आप बिल्कुल पहली बार ही पढ़ रहे हैं कभी आपने पढ़ा नहीं है आईआईटी लेवल का एमओ मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल होगी और अगर रिवीजन कर रहे हैं स्पीड बढ़ा भी सकते हैं बट साथ-साथ अपना पेन पेपर लेके बैठिए क्योंकि आपको प्रैक्टिस करनी है साथ में क्वेश्चंस आपको करने हैं पॉज कर कर के क्वेश्चंस भी ट्राई करने हैं ठीक है तो यह मतलब नहीं है कि मैं वीडियो देखा और निपटा डाला आपने चार घंटे का दो घंटे में हो गया नहीं आपको बैठ के एक-एक क्वेश्चन पहले खुद से ट्राई करना है पॉज कर कर के तो हो सकता है 4 घंटे का लेक्चर है इवन इफ आप 1.5x पे देखें तब भी आपको हो सकता है चार से 5 घंटे ही इसको लग जाए देखने में ठीक है तभी व आप उसको प्रॉपर उस के अंदर जो आपको इंफॉर्मेशन है जो एजुकेशन है जो आपको कंटेंट दिया जा रहा है वो आप ग्रैसप तभी कर पाएंगे ठीक है अगर आप जल्दबाजी में रहेंगे यार चा घंटे का लेक्चर चलो दो मैं निपटा डालता हूं समझ तो आ जाएगा सब खुद से नहीं होगा जब नया सवाल करने बैठोगे ठीक है तो अगर आप चाहते हैं आपसे खुद से क्वेश्चंस हो तो साथ-साथ आप ट्राई करिए क्वेश्चंस में झुजी क्वेश्चंस में समय व्यतीत कीजिए जितना क्वेश्चंस में टाइम दोगे उतना ही ज्यादा तुम्हें चांसेस बढ़ जाएंगे आगे के क्वेश्चंस होने के ठीक है मैथ्स में ऐसा ही होता है चलिए तो स्टार्ट करेंगे भाई विदाउट वेस्टिंग एनी टाइम फर्स्ट आज हमारा जो रिकॉर्डेड सेशन है मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल बेसिक डिफरेंशिएबल पढ़ेंगे हम कॉमन डेरिवेटिव जो फिजिक्स में भी आपको बताए जाते हैं उनसे स्टार्ट करेंगे ठीक है फिर प्रोडक्ट रूल डिवीजन रूल चेन रूल यह सब हम पढ़ेंगे वेरियस मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल अअ मेथड्स दिए है लोगरिथमिक डिफरेंशिएबल ठीक है बहुत सारे दिए हुए हैं पैरामेट्रिक वो सब हम देखेंगे यहां पे मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल ऑर्डर डेरिवेटिव्स पे आएंगे d2 y / dx2 d3 y / dx3 इन सब पर आए एंड लास्ट में थोड़ा सा डिफरेंशिएबल ऑफ अ फंक्शन के साथ मिक्स होके भी बन जाते हैं इवर्स हमने पढ़ा था फंक्शंस के अंदर है ना f इवर्स उसके अंदर मिक्स होके डिफरेंशिएबल बन जाते हैं तो उनको भी हम लोग पढ़ाई करेंगे ठीक है चलिए तो स्टार्ट करेंगे स्टार्ट करेंगे सबसे पहले कुछ कॉमन डेरिवेटिव्स तो देखो सब इन फंक्शंस के डेरिवेटिव आप लोगों से एक्सपेक्ट किए जाएंगे कि आपको आने चाहिए क्योंकि इतने बेसिक डेरिवेटिव्स अगर लर्न नहीं है तो पहला काम तो यही है आपको इन्हें लर्न करना पड़ेगा बेटा ठीक है कौन-कौन से डेरिवेटिव है सर देखो सबसे पहले x की पावर n आप सभी लोगों ने मेरे ख्याल से कम से कम 100 200 बार इसको इस्तेमाल किया होगा डेरिवेटिव ऑफ x की पावर n बेटा क्या होता है n एक की पावर n - 1 वेयर n इज अ कांस्टेंट है ना जैसे मान लो डेरिवेटिव ऑफ x की पावर 10 आप सब लोगों ने निकाला हुआ है 10x की पावर 9 आ जाता है करेक्ट तो यह वाला अपने को आना चाहिए बहुत ही कॉमन मोस्ट कॉमन फार्मूला है डेरिवेटिव ऑफ x की पावर n का f ' x ये होता है n x की पावर n -1 हो जाता है करेक्ट फिर e की पावर x का तो तुम्हें पता है e की पावर x ही रहता है a की पावर x देखो बहुत बच्चों को मैंने कंफ्यूज होते देखा x की पावर n और a की पावर x देखो x की पावर n क्या था वेरिएबल की पावर कांस्टेंट था x की पावर 50 तो इसमें क्या लगेगा x की पावर n का लगेगा n कांस्टेंट था x वेरिएबल था वेरिएबल की पावर कांस्टेंट a की पावर x है कि 50 की पावर x का अगर निकालना है तो क्या होगा भाई तो आपको a की पावर x का लगाना पड़ेगा कांस्टेंट की पावर वेरिएबल राइट सो कांस्टेंट की पावर अगर वेरिएबल है तो a की पा x * l ए बन जाता है सो फॉर एग्जांपल अगर इसका डेरिवेटिव निकालना है तो इसका हो जाएगा 50 की पा x ln5 बट इसका निकालना है अगर तो इसमें पहला वाला लगेगा 50x की पावर 49 इस प्रकार से लग जाते हैं फॉर्मूले ठीक है जी बाकी ln1 का डेरिवेटिव 1 / x होता है तुम सब लोग जानते हो l x बेस a का तो अब इसको भी a को आप क्या लिख सकते हो l ए x अप ए ए लॉग ऑफ नंबर अपन लॉग ऑफ बेस बेस चेंज थ्योरम लॉग की आप लोगों ने पढ़ी थी बेसिक मैथ्स में पढ़ी होगी वही चीज मैंने यहां पे लगा दी है और अब अगर डिफरेंशिएबल x बेस ए l ए एक अप ए ए नाउ ए ए इज अ कांस्टेंट ए ए तो कांस्टेंट है भैया ए कांस्टेंट नंबर है है ना तो ए ए कांस्टेंट है तो बाहर आ जाएगा 1 बा ए ए डेरिवेटिव ऑफ l ए x ठीक है कांस्टेंट बाहर आ जाता है डेरिवेटिव में से डेरिवेटिव ऑफ l एक होता है / एक तो ये बन गया इसका फार्मूला 1 बा एक तो आएगा ही डिनॉमिनेटर में एक एल ए भी आएगा बेटा ऐसे करके लिख दो इसको 1 अप x ए ए ठीक है भाई तो यह कुछ कॉमन डेरिवेटिव हो गए बाकी फिर ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन के आ गए सा x का डेरिवेटिव क x होता है क x का बेटा माइ सा x होता है और t x का होता है से स् x से x का होता है बेटा से x tan6 राइट बिल्कुल याद होने चाहिए जैसे मुझे याद है आपको भी वैसे ही लर्न होने चाहिए डेरिवेटिव में माइनस आता है बेटा क्योंकि उनके ग्राफ डिक्रीजिंग होते हैं इसलिए ऐसा होता है कांस्टेंट का डेरिवेटिव हमेशा जीरो होता है यह सब आपको बिल्कुल अच्छी तरह टेबल लर्न होना चाहिए सर इनके आए कहां से डेरिवेशन क्या है देखो वो फर्स्ट प्रिंसिपल से प्रूव होते हैं उतनी बेसिक डिफरेंशिएबल ही फंडामेंटल 11थ लेवल की लिमिट्स एंड डेरिवेटिव चैप्टर जो एनसीआरटी में दिया है उतना दिया हुआ है उस लेवल पर हम बात नहीं कर रहे हैं कि भाई फर्स्ट डेरिवेटिव से कैसे प्रूव होंगे ठीक है क्योंकि उसका कहीं का काम भी आपको एस सच आना नहीं है बट सारे के सारे फर्स्ट डेरिवेटिव टेस्ट से प्रूव हो जाते फर्स्ट डेरिवेटिव फर्स्ट प्रिंसिपल ऑफ डेरिवेटिव से प्रूव हो जाते हैं कि f ' x को आप लिमिट से निकाल ले f x + h - fx8 करके आप निकाल सकते हैं लिमिट h टेंड्स टू 0 करके फर्स्ट प्रिंसिपल बोलते हैं इसे डेरिवेटिव का इसके थ्रू ये सारे फॉर्मूले प्रूव हो जाते हैं बट जरूरत नहीं है जो चीज की हमें जे पॉइंट ऑफ व्यू से जरूरत नहीं है हम उसे नहीं कर रहे हैं स प्रूफ में इनके नहीं जा रहे हैं बेसिक फॉर्मूले बिल्कुल आपको लर्न करने हैं जेई में कभी क्वेश्चन नहीं आता कि इन्ह प्रूफ करके दिखाओ भाई वहां पर इनके एप्लीकेशंस आएंगे वो हमें सीखने हैं ठीक है चलिए तो स्टार्ट करते हैं स्टार्ट करते हैं हम लोग आगे बढ़ेंगे कुछ रूल्स होते हैं डिफरेंस में अब देखो बेसिक फॉर्मूले हमने लर्न कर लिए अब कुछ रूल्स होते हैं जिनका नाम होता है एक प्रोडक्ट रूल डिवीजन रूल चेन रूल भी होता है वह आगे आएगा बट पहले प्रोडक्ट रूल मतलब अगर फंक्शन जो है u इनवी फॉर्म का है प्रोडक्ट फंक्शन फॉर्म में है अगर कभी भी जो डिफरेंट जिसे आप कर रहे हैं वो दो फंक्शंस का प्रोडक्ट है तो आप इसको ऐसे याद रखते हैं u इन डेरिवेटिव ऑफ v प् v नटू डेरिवेटिव ऑफ u एक को कांस्टेंट दूसरे को डिफरेंशिएबल अच्छी तरह याद होना चाहिए सो फॉर एग्जांपल अगर मान लीजिए आपको d बा d एक ऑफ x क * सा x निकालना है एग्जांपल दे रहा हूं कुछ भी लिख दे रहा हूं प्रोडक्ट फंक्शन x क और सा x मल्टीप्लाई हो रहे हैं तो आप क्या करेंगे एक को कांस्टेंट मानेंगे दूसरे को डिफरेंशिएबल सा एक को कांस्टेंट मानिए और डेरिवेटिव ऑफ x कू च इज 3x स् तो यह हो जाएगा डिफरेंशियल इस चीज का डेरिवेटिव ऐसे निकलता है बेटा प्रोडक्ट रूल इसको हम बोलते हैं बहुत बार आपने फिजिक्स में भी लगाया होगा इसे इसी प्रकार का एक डिवीजन रूल भी होता है यह तो हो गया प्रोडक्ट रूल अब आ जाते हैं डिवीजन रूल पे डिवीजन रूल क्या होता है जैसे u और v मल्टीप्ला थे बेटा अब u और v डिवाइडेड होंगे u अप v का डिवीजन अगर कभी भी होता है कभी भी u अप v फॉर्म का होगा तो आपको एज अ फार्मूला लर्न करना है पहले नीचे लिखोगे v स्क पहले नीचे लिखोगे v स् और फिर लिखोगे यहां पे v ठीक है हमेशा ऐसे ही पहले नीचे डिनॉमिनेटर का स्क्वायर फिर डिनॉमिनेटर का फंक्शन इंटू डेरिवेटिव ऑफ u डेरिवेटिव ऑफ यू माइनस माइनस आता है प्लस नहीं आता माइनस आता है य कांस्टेंट डेरिवेटिव ऑफ ठीक है इस तरह से फॉर एग्जांपल लगा के दिखाता हूं आपको क्लियर हो जाएगा अभी अभी आपको क्लियर हो जाएगा फॉर एग्जांपल जैसे मान लीजिए डेरिवेटिव ऑफ मान लीजिए कुछ भी क्या ले भाई एक्स क्यूब अपॉन क एक् ले लो यार इस बार ठीक है तो आपको सबसे पहले क्या करना है नीचे वाले का तो होल स्क्वायर लिखना है नीचे वाले का तो होल स्क्वायर c x का होल स्क्वायर लिख लिया v स् और क x को यहां पर भी लिख लिया c x ं डेरिवेटिव ऑफ x क हो गया 3x स् डेरिवेटिव ऑफ u था न्यूमरेशन का डेरिवेटिव माइनस प्लीज रिमेंबर डिवीजन रूल में बेटा माइनस आता है प्रोडक्ट रूल में प्लस आता है माइनस माइनस के आगे क्या है अब u को कांस्टेंट मतलब न्यूमरेशन को कांस्टेंट पहले न्यूमरेशन को डिफरेंशिएबल को कांस्टेंट डिनो मिनेट को डिफरेंशिएबल में देखा था बस माइनस माइनस प्लस कर दो तो क x * 3x स् 3x स् आगे लिख दो 3x स् क x प् x क सा x अपॉन क x काल स्क्वायर आप चाहो तो x स् को कॉमन भी निकाल लो न्यूमरेशन से वो सब तो चीजें आप कर ही सकते हो दैट इज हाउ रूल इ अप्लाइड तो ये हो गया प्रोडक्ट रूल ऑफ डिफरेंशिएबल ऑफ डिफरेंशिएबल अच्छी तरह से बिल्कुल ही अच्छी तरह से आपको लर्न होना चाहिए भाई बिल्कुल इसमें कोई क्वेश्चन वाली बात ही नहीं है कि सर लर्न करना है या नहीं बिल्कुल करना है भाई प्रोडक्ट रूल एंड डिवीजन रूल के फॉर्मूले 100% हमें लर्न होने चाहिए जब भी मल्टीप्लाई में फंक्शन होगा या फिर डिवीजन में होगा आप उसको ऐसे लगाएंगे बाकी देखो कांस्टेंट तो बाह ही आ जाता है d बाडी एक ऑफ के टाइम्स य वेयर के इज अ कांस्टेंट तो केडी / dx1 के बाहर निकल के आ जाता है अभी हमने यूज भी किया था ठीक है तो चलिए ये सब चीजें जो हैं इनका जरा देखो इतने बेसिक कांसेप्ट हैं बिल्कुल बेसिक तुम सोचोगे सर ये तो हमें आता है सर ये क्या बता रहे हो ये तो हमने फिजिक्स में भी पढ़ा हुआ है अच्छी बात है बट इनके एप्लीकेशन ही तो मेन चीज है बेटा मेन इन पे क्वेश्चन भी आते हैं जेई में इतने बेसिक कांसेप्ट प भी क्वेश्चंस आए हुए हैं जेई के अंदर दिखा देता हूं तुम्हें तुम्हें विश्वास नहीं हो रहा है तो देख लो पहला क्वेश्चन जेई म 2022 का 26 जुलाई को आया हुआ है क्वेश्चन देखिए वैल्यू ऑफ ln2 इनू डेरिवेटिव ऑफ दिस एट x = पा / 4 मतलब डेरिवेटिव निकालनी है इस चीज की रिवेट वैल्यू निकालनी है और लास्ट में x को पा / 4 डालना है अब प्रॉब्लम ये है कि जो डेरिवेटिव निकालना है l n ccmn.in तो बेस ही अगर वेरिएबल दे दिया तो हम बेस चेंज थ्योरम लगा लेते हैं भाई है ना ऐसा कुछ फंक्शन को बना लेते हैं तो कहने का तात्पर्य यह है ln2 तो बाहर कर लो ये हमें निकालना है डेरिवेटिव ऑफ इसमें लगाते हैं बेस चेंज थ्योरम l ए कोक x अपॉन l ए क x लॉग की बेस चेंज थ्योरम लगा दी बेटा ऐसा कुछ हो गया फंक्शन क्योंकि l ए का डेरिवेटिव हमें निकालना आता है 1 बा x होता है ठीक है जी अब प्रॉब्लम यह है कि भाई इसका डेरिवेटिव डिवीजन रूल लगेगा डिवीजन रूल बिल्कुल लगेगा भाई डिवीजन रूल लगेगा और डिवीजन रूल भी लगाते टाइम हमें क्या करना होगा देखो हमें डिवीजन रूल जब लगाएंगे तो u ये हो गया v ये हो गया तो नीचे तो v स् आएगा l n c x का होल स्क्वा आएगा और यहां ln6 आएगा इंटू डेरिवेटिव ऑफ l n cc1 cosec2x बा एक होता है अब l एक की जगह कुछ और आ जाए तो उसके लिए बेटा यूज होता है चेन रूल ठीक है तो पहले चेन रूल बता देता हूं इस क्वेश्चन को खत्म करने से पहले जरा मैं आपको पहले चेन रूल बता दूं क्योंकि ये चेन रूल का क्वेश्चन आ गया है कोई बात नहीं चेन रूल हल्की सी चीज है बता देता हूं ऐसा कोई खास उसमें रॉकेट साइंस नहीं है तो जैसे मान लीजिए l ए ऑफ एक का जैसे मैंने अभी आपको बोला तो एलन एक का होता है 1 बा एक तो ऐसे ही अगर l ए एक की जगह l ए में x की जगह अगर हो जाए मान लो ln6 तो आपको क्या करना है ln1 बा सा x लिखो गई भाई ln1 बा x तो ln1 / सा x इंटू चेन के हिसाब से इसका डेरिवेटिव भी मल्टीप्लाई हो जाएगा sinx-cosx ln1 सा ऑफ x क ठीक है तो डेरिवेटिव ऑफ ln3 होता है ना भाई l ए t का होता है 1 / t और सा का हो गया c x क बट अभी तक हम x तक पहुंचे नहीं है cosx-sinx डेरिवेटिव ऑफ मान लो मान लो आपको बोल देते हैं डेरिवेटिव ऑफ साइन ऑफ ए एक् ठीक है तो पहले साइन का करना है साइन का कॉस हो गया कॉस ऑफ ए एक् बट अभी एकस तक तो पहुंचे नहीं साइन से ए प ए का डेरिवेटिव 1 बा एक्स भी मल्टीप्लाई हो जाएगा इस प्रकार से इस प्रकार से हो जाएगा जैसे मान लीजिए एक और एग्जांपल लिख देता हूं डेरिवेटिव ऑफ e की पावर साइन x स् तो e की पावर t का तो e की पावर t होता है ठीक है अभी x तक तो पहुंचे नहीं है सा x स् का हो गया क x स् अभी भी x तक नहीं पहुंचे इंटू x स् का डेरिवेटिव 2x हो गया अब हम पहुंच चुके हैं x स् के अंदर पहुंच गए ना तो 2x को भी मल्टी तो चेन में जितने मर्जी डेरिवेटिव आ जाए आप करते जाइए मान लीजिए कोई आपको दे दे डेरिवेटिव ऑफ सा ऑफ क ऑफ क ऑफ t x इंटू क का डेरिवेटिव - सा t x * t x का डेरिवेटिव से स् x x तक पहुंच गए हैं तो चेन खत्म हो गई है इस तरह से बेटा चेन रूल वर्क करता है ठीक है तो अभी खूब सारे सवाल आएंगे चेन रूल में डोंट वरी अगर आपने पहली बार पढ़ा है तो अभी इस तरह की चीजें बहुत आएंगी सर ऐसा क्यों होता है वो सब बेटा पैरामेट्रिक डिफरेंशिएबल काम नहीं है इनके प्रूफ का ठीक है बिल्कुल बेसिक प्रिंसिपल्स है चलो तो देखते हैं इस सवाल को के अंदर इसे कैसे हम यूज करेंगे तो l क x इधर आ गया था l c x का डेरिवेटिव लिखना था हमें है ना तो 1 बा कोसेक x 1 बा कोसेक x l ए का हो गया इनटू कोसेक x का डेरिवेटिव माइनस कोसेक x कट x राइट सही लिखा है ना देख लो चेन रूल और आगे बेटा माइनस के बाद l क कोक x इस बार कांस्टेंट l कोक x कांस्टेंट डेरिवेटिव ऑफ l क x तो 1 बा क x इन माइ सा x इस प्रकार से हो जाएगा कोसेक से कोसेक कट गया देखो यह कोक से कोसेक कट गया तो l ln2 तो बाहर है ही ln2 तो बाहर है ही l c एक है ना और माइनस कट x भी था तो - cot-1 प्लस देखो ब्रैकेट का केयरफुली इस्तेमाल करना है l n cc4 भी डालना है ठीक है भाई x को पा बा 4 डालने से देखो कट पा / 4 व हो गया t पा बा 4 भी वन हो गया और यहां पर हम वैल्यूज डाल लेते हैं तो फाइनली अब हमारे पास बन गया ln2 इज आउटसाइड माइन ए एव बा √2 है ना कस 45 की प्स ए ए √2 होल अपॉन ए ए 1 बाय √2 का होल स्क्वायर चेक कर लीजिए सही लिखा है मैंने क्या मैंने सही लिखा है बेटा बस वैल्यूज डाली और कुछ भी नहीं किया मैंने ठीक है 1 बा √2 क 45 क 4 को 45 की √2 और अब माइन ln1 बा √2 को भी l √2 लिख सकते हो सो ln2 इनटू यह भी ए √2 ये भी ए √2 सो 2ln √2 होल अपॉन इसको लिख लो माइनस ए √2 का होल स्क्वायर माइनस का स्क्वायर तो वन ही हो गया सो l ए √2 का होल स्क्वायर हो गया बेटा ये क्या हो जाएगा l √2 का होल स्क्वायर हो जाएगा करेक्ट एक एन रट तो काट दो सीधे-सीधे तो हमारे पास आ गया ln2 इन 2ln √2 अच्छा ए रट तो कट गया है तो ln2 इन 2 है ना ये ए रट एक कट गया नीचे ए रट हो गया l रट को लिख लो टू की पावर हाफ हाफ आ गया बेटा आगे तो ln2 इन 2 अपॉन हाफ एल ए2 ln2 से ए2 गया हाफ ऊपर गया तो फोर आ रहा है भाई मेरा तो आंसर लेट्स सी क्या आंसर फोर सही है डी ऑप्शन बिल्कुल सही आ गया है कैलकुलेटिव क्वेश्चन है और कुछ नहीं है इसमें सिर्फ आपको केयरफुली कैलकुलेशंस करनी है जल्दबाजी नहीं मचानी बेटा आराम से आपके आंसर आएंगे कोई इसमें देखो सीधा सीधा डिवीजन रूल का क्वेश्चन जेई ने पूछ लिया है ठीक है चलो एक और देखते हैं जेई का क्वेश्चन भी करेंगे बट उससे पहले एक थोड़ा सा ट्रिग्नोमेट्री बेस्ड सवाल भी देख लेते हैं डायरेक्ट डेरिवेटिव पे देखो डिफरेंशिएबल इसमें बाकी चैप्टर बड़े प्यार से मिक्स किए जा सकते हैं अगर जेई का मन होगा एक ट्रिग्नोमेट्री का क्वेश्चन देना है तो उसमें बड़ी ब्यूटीफुली डेरिवेटिव को मिक्स कर सकता है जैसे कि यह सवाल डेरिवेटिव ऑफ दिस दिस दिस थिंग पूछा गया है ठीक है अब तुम कहोगे सर इतना लंबा प्रोडक्ट रूल डिविजन रूल लगाए क्या नहीं थोड़ी ट्रिग्नोमेट्री लगाओ बेटा थोड़ा सा ट्रिग्नोमेट्री लगाते हैं तो ट्रिग्नोमेट्री के लिए देखो क्या दिमाग में आ रहा है इसमें a स्क - b स् लगाते हैं डेरिवेटिव तो बाद में लिया जाएगा पहले सिंपलीफाई करना चाहिए तो न 2x + tan6 * tan2x - tan6 राइट और नीचे भी बेटा आप क्या कर सकते हो वन को भी 1 स् लिख लो है ना a स् - b स् इसमें भी लग जाएगा तुम्हें दिखाई दे रहा है नीचे क्या लिख सकते हो 1 स् - tan2x tan6 करके उसको भी होल स्क्वायर बना लो ऐसे लिख लो है ना और अब a स् - b स् इसमें भी लगा दो तो अब मैं डायरेक्ट लिख रहा हूं कौन अगले स्टेप में पूरा करेगा एक cot3x भी है यहां मल्टीप्लाई तो इसी को मैं यहीं पे a स्क - b स् करने के लिए a + बी a - बी कर देता हूं यह हो गया a - बी ठीक है जी इसी को a + b भी कर देता हूं आई होप आपको समझ आ गया बेटा क्या किया गया है यहां पे और अब देखो कुछ अच्छा सा बन गया क्या क्या कुछ अच्छा सा बन गया ट्रिग्नोमेट्री का एक फार्मूला मुझे दिखाई दे सर हमें नहीं दिख रहा तो बेटा ट्रिगो वक है इसका मतलब आपको ट्रिगो देखो करनी पड़ेगी अच्छी तरह t प् t बी अप 1 माइ t t बी दिख गया है है ना तो यहां पे इतनी चीज में एक फार्मूला दिख गया t प् t बी अप 1 - t t बी सिमिलरली इतनी चीज में एक दूसरा फार्मूला दिख गया है देखो t - t बी अपन 1 प् t t बी है ना क्लियर ली आपको सीधे-सीधे फॉर्मूले दिख गए हैं दिस वन इज इतना जो है वो है न ऑफ ए प् बी सो न 2 एक्स प् एकसन 3x हो गया है इतना वाला जो है न ए माइनस न बी अपव प्सन एन बीन a माइ बीन 2x माइ एकन एक हो गया है और साथ में कट 3x था कोट 3x को लिख लो 1 बाटेन 3x न न बेटा कट गया है न न कट गया है तो हमारे पास सिर्फ न एक बना है तो d बा d एक ऑफ t x बच गया सिर्फ देख रहे हो ना कहां से सवाल शुरू हुआ था और पूरी ट्रिग्नोमेट्री लग के डेरिवेटिव ऑफ t x यानी कि से स् x सी ऑप्शन हमारा बन जाएगा सी ऑप्शन बन जाएगा राइट इजी क्वेश्चन हो गया मेन काम ट्रिग्नोमेट्री का था इसमें मेन काम यहां पे ट्रिग्नोमेट्री का था तो ऐसे भी सवाल आते हैं ये मत सोचना सर आप दे रहे हो ऐसे जेई में आते हैं क्या अभी दिखा दूंगा तुम्हें जेई में आते हैं पहले एक और क्वेश्चन कर लो ये जेई में आया नहीं है बट बिल्कुल आ सकता है बेटा ये समझ लो 2024 में ऐसा आया भी हुआ है ऐसे आए भी हुए हैं जहां पे डबल डेरिवेटिव में मिक्स करे हुए थे ट्रिग्नोमेट्री के साथ मिक्स करके ठीक है अभी सिंगल डेरिवेटिव हम पढ़ रहे हैं डबल डेरिवेटिव में वो क्वेश्चन दिखाऊंगा तुम्हें चलिए तो अब इसको भी y इतना घटिया सा दिया हुआ है दिस अपॉन दिस dydekop.org कि न्यूमरेशन को अगर मैं थोड़ा सा देखूं न्यूमरेशन में थोड़ा सिंपलीफाई करते हैं देखो डिनॉमिनेटर में तो कुछ खास समझ आ नहीं रहा बट न्यूमरेशन में लग रहा है देखो यहां छह है छह में से एक टर्म इसके साथ कर देता हूं तो माइंड में क्या चल रहा है मैं अभी बता रहा हूं छह में से एक टर्म इसके साथ क c + क d बन जाएगा पांच बचेंगे और यहां से भी पांच निकाल लूंगा 15 में से पांच कॉमन लूंगा ठीक है पांच कॉमन पांच इसके गए और 10 बचा 10 उसके साथ क्लब हो गया उस वाले 10 में से 10 कॉमन आ गया समझे मैंने क्या बोला तो क्या बोला इधर देख लो लिख के बता देता हूं क 6x और सिक्स वाले में से एक क 4x इसके साथ लिखा 5 क 4x अलग से कर दिया ताकि 5 + 1 6 हो गया और 15 को भी ऐसे ही पांच इसके साथ करा 10 क 2x अलग किया ताकि लास्ट वाले 10 के साथ ये कॉमन आ जाए सर ऐसा नहीं होता तो तो सवाल ही नहीं बनता भाई सवाल बना है कुछ ना कुछ होगा फार्मूले लगेंगे बाकी डिनॉमिनेटर में एज इट इज ये लिख देते हैं अभी उसमें कोई मैनिपुलेशन नहीं करते हैं देखो कोशिश यह करनी है कि डिनॉमिनेटर कट जाए सिंपलीफाई सा कुछ हो जाए तो अब न्यूमरेशन समझ गए ना मैंने क्या किया अब मैं यहां पे ट्रिग्नोमेट्री के फॉर्मूले लगाने को रेडी हूं क c + क d होता है 2cc + d / 2 6 4 10 5x क c - dy2 देखो डायरेक्ट लिखना है ट्रिग्नोमेट्री इतनी स्ट्रंग होनी चाहिए कि आप ये डायरेक्ट लिख पाए नहीं है तो भैया ट्रिग्नोमेट्री में फिर आपको वर्क करना ही पड़ेगा क c + क d इसमें भी 2cc + d बा 2 4 2 6 आधा ती * क c - d / 2 क x और यह तो 1 प् क2 थीटा तो 2 कॉस स्क x होता ही है है ना 1 प् क2 थीटा लगा दिया मैंने डिनॉमिनेटर में एज इट इज तुम्हारा सेम टर्म लिख देता हूं और अब आप नोटिस अगर कर पा रहे हैं न्यूमरेशन में समथिंग इज कमिंग कॉमन क्या कॉमन आ रहा है बेटा 2 क x कॉमन आ रहा है देखो 2 क x सब जगह से आ रहा है तो 2 क x इज कॉमन क 5x प्लस 5 कॉ 3x प् 10 कॉ x बच गया है अंदर और अगर आप ध्यान से देख पा रहे हैं डिनॉमिनेटर में भी एग्जैक्ट सेम चीज लिखी हुई है एग्जैक्ट सेम चीज बेटा लिखी हुई है देख लो तो एज इट इज यह पूरा का पूरा कैंसिल आउट हो गया सो सिर्फ और सिर्फ 2 क x बच जाएगा y y की वैल्यू क्या हो गई 2 क x तो बस मतलब मतलब क्वेश्चन तो डिफरेंस का दिखावा है क्वेश्चन तो ट्रिग्नोमेट्री का है भाई वा बाडी एक तो अब कोई भी निकाल लेगा वा बाडी एक हो जाएगा ट कांस्टेंट है तो कॉमन क x का डेरिवेटिव माइनस साइ एक और आपको डालना है x को पाई बा सि माइनस कॉस कॉस पा बा सि होता है हाफ तो माइनस व हो गया आंसर आंसर हो गया बेटा माइव बी ऑप्शन बी ऑप्शन हो गया मानव समझ रहे हो ना तो ऐसे क्वेश्चंस ट्रिग्नोमेट्री के बिल्कुल डिफरेंस के साथ आ चुके हैं दिखा देता हूं तुम्हें एक क्वेश्चन ये देखिए पूरा ट्रिग्नोमेट्री है बिल्कुल ही सिमिलर सा क्वेश्चन है थोड़ी मैनिपुलेशन आसान की तरफ है यह वाली थोड़ी ज्यादा मुश्किल थी मैनिपुलेशन यह वाला करते हैं देखिएगा यह वाला क्वेश्चन ट्राई करेंगे सब लोग पॉज करके एक बार ट्राई करें तो वा एज अ फंक्शन ऑफ अल्फा वा अल्फा का मतलब वा एक अल्फा का फंक्शन है और d वा बाडी अल्फा ही निकालना है dydekop.org अच्छा तो यहां से मुझे एक बात दिखाई दे रही है कि जो रूट के अंदर है ट न अल्फा नीचे तो 1 प्स न स्क्वा तो से स्क्वायर होता है और इसको भी साइन अल्फा बाय कॉस अल्फा लिख लो प्लस कॉस अल्फा बाय साइन अल्फा लिख लो करेक्ट इतना हो गया येट के साथ यह था और हमारे पास प्लस न बाय सा स्क्वा यानी कोसेक स्क्वायर अल्फा हमारे पास बाहर पड़ा हुआ है बेटा ऐसे हमारे पास बाहर पड़ा हुआ है ठीक है चलिए अब देखते हैं क्या हो रहा है तो एलसीएम बाजी की जाए तो ये हो जाएगा सा स्क्वा प् क स्क्वा ऊपर वन हो गया सा अल्फा कस अल्फा इं से स्क्वा अल्फा प्लस कोसेक स्क्वायर अल्फा बन जाएगा ऐसा कुछ बन रहा है तो एक क अल्फा इस से अल्फा से कटा ठीक है से अल्फा ऊपर गया तो 2 कॉस अल्फा अपॉन साइन अल्फा प्लस कोसेक स्क्वायर अल्फा हो जाएगा बेटा ठीक है जी और यह हो गया 2 कट अल्फा और कोसेक स्क्वायर को लिख लो 1 प्स कट स्क्वायर तो कोई बढ़िया सा परफेक्ट स्क्वायर मुझे दिखाई दे गया है बेटा मुझे बढ़िया सा परफेक्ट स्क्वायर दिखाई दे गया है क्या आपको परफेक्ट स्क्वायर दिखाई दे गया है रूट रूट सब हट जाएगा 1 प् ए स्क प् बी स् प् 2ab 1 प्स कट अल्फा का 1 प्स कॉट अल्फा का होल स्क्वायर 1 प्स कट अल्फा का होल स्क्वायर और रूट भी है रूट और स्क्वायर जब भी हटता है ये बात तुमने बेसिक मैथ से पढ़ रहे हो रूट और x स्क्वा रूट और एक्स रूट और स्क्वायर जब भी हटता है तो मड x होता है वो x नहीं होता है सीधे-सीधे नहीं कटता है क्योंकि स्क्वायर रूट पॉजिटिव होता है तो मड लगाना जरूरी है बहुत-बहुत इंपॉर्टेंट है जब भी रूट और स्क्वायर काटो मड जरूर लगाओ मैथ्स में तो मोड 1 प्स कट अल्फा आया है वा को सिंपलीफाई करके वा एज फंक्शन ऑफ अल्फा ये आ गया मोड मोड तो हटाना पड़ेगा डिफरेंस करने से पहले बिकॉज हमें बाडी अल्फा निकालना है तो पहले भैया मोड खुलेगा मोड खोलने के लिए कुछ दिया है डटा अल्फा की रेंज दी है देखो अल्फा की रेंज दी हुई है ठीक है तो कोट अल्फा अल्फा की रेंज 3 पाई बा फ से पाई है तो कोट अल्फा सोचो क्या होगा देखो अगर अल्फा तुम्हारा 3 पाई बा फ से है और दोनों तरफ कट लोगे तो कट तो डिक्रीजिंग फंक्शन है तो कट जब लेंगे तो साइन ऑफ इक्वलिटी पलट जाएगी साइन ऑफ इनिक्वालिटी पलट जाएगी दोनों तरफ मैंने कट ले लिया ताकि मैं कोट अल्फा की रेंज निकालना चाहता हूं आप ग्राफ से भी देख सकते हो ठीक है तो कोट 3 पाई बा फ होता है माइव और यह होता है कोट पा तो माइनस इनफिनिटी होता है आई थिंक है ना कट पा तो माइनस इनफिनिटी की तरफ जाता है यानी कट अल्फा तुम्हारा लेस देन -1 हो गया यानी कट अल्फा + 1 नेगेटिव हो गया बेटा कोट अल्फा + 1 क्या है इस रीजन में नेगेटिव है और कट अल्फा + 1 में मोड लगा है तो अगर ये चीज नेगेटिव है तो मोड किससे खुलेगा नेगेटिव साइन से खुलेगा तो y में क्या हो जाएगा माइनस ऑफ यही मेन स्टेप था बस यहां यही मेन स्टेप था मॉड्यूस को मिक्स किया हुआ है ट्रिग्नोमेट्री के के साथ और डिफरेंशिएबल नहीं था इसमें लास्ट स्टेप में d वा बाडी अल्फा माइनस बाहर वन का तो हो गया जीरो कोट अल्फा का हो गया माइनस कोसेक स्क्वा अल्फा माइनस माइनस प्लस हो गया सो कोसेक स्क्वायर अल्फा बन गया हमारे पास अल्फा को 5 पा बा 6 डालना है तो 2 का होल स्क्वायर कोक 5 पा / 6 2 होता है है ना सान का रेसिप कल तो यह हमारे पास फोर आ गया है आंसर फोर आ गया है बेटा आंसर ए ऑप्शन बिल्कुल सही आया है ए ऑप्शन बिल्कुल सही आ गया ठीक है अच्छा क्वेश्चन था जिसमें सिर्फ डिफरेंशिएबल तो क्या ही लगा है यहां लगा है मेन काम तो ट्रिग्नोमेट्री मॉड्यूस यही है क्वेश्चन इस कुछ कुछ लोग क्या कहते हैं ट्रिग्नोमेट्री से ज्यादा डायरेक्ट सवाल नहीं आते अब भाई नहीं आते डायरेक्ट ठीक है मान लिया देखने में डिफरेंस लग रहा है बट है तो ट्रिग्नोमेट्री ना यार पूरा सवाल ट्रिग्नोमेट्री पे बेस्ड है पूरा सवाल बेसिक मैथ प बेस्ड है मॉडल प तो ऐसे क्वेश्चंस बिल्कुल मिल सकते हैं आपको फिर से चलिए थोड़ी बहुत बातचीत और की जाए और क्वेश्चन किए जाए 2019 का एक सवाल लेते हैं वा की वैल्यू दी है कट इवर्स ऑफ समथिंग कोट इवर्स √3 क x प् सा x अच्छा मुझे यहां पर दिखाई दे रहा है यार कि अगर मैं इसको थोड़ा सा दिमाग लगाऊ है ना मुझे दिख रहा है यार ये कोट इवर्स ऑफ कट बना लूंगा कुछ चीज का या कोटन बना ले कैसे अगर मैं इसको क एक से ऊपर नीचे डिवाइड करता हूं इस पूरे का भी होल स्क्वायर है ठीक है मैंने क्या किया अंदर वाले टर्म को कस से डिवाइड किया ताकि ये रथ को न 60 लिख लूंगा स न ए प् न बी अप 1 माइ t t ब जैसा कुछ बन गया है यही तो मैनिपुलेशन है देखो ट्रिग्नोमेट्री के ट्रिगोनोमेट्रिक मैनिपुलेशन बन गया है तो कट इवर्स न प् न बी तो t x प् पा बा 3 बन जाएगा सोच के देख लो t x प् पा बा 3 बन जाएगा बेटा ये करेक्ट खोल के देख लो t x + t पा / 3 अप 1 - t x t पा / 3 सर यहां तो कट इवर्स था कोई बात नहीं कट इवर्स को आईटीएफ में तुम पढ़ के आए हो कि कट इवर्स t को पा बा 2 - tan1 t लिख सकते हैं है ना तो कट इवर्स को हटा के पा बा 2 माइ न इवर्स कर देता हूं या इस न को हटा के कट लिख लो बात एक ही है यार एक ही बात है कोई दिक्कत नहीं है इसको हमने लिखा पा बा 2 माइ न इवर्स t x + 5/3 होल स्क्वायर करेक्ट अब न इवर्स और न तो हट जाते हैं हमें पता है तो यहां पे रह जाएगा 2y = 5/2 - x + पा बा 3 जिसको अगर हम पा / 2 पा / 3 को सबै कर दें तो हमारे पास ऐसा कुछ आ जाएगा 2y इक्टू पा बा 2 और पा / 3 90 में से 60 गया पा बा 6 बचा - x स् ऐसा कुछ हमारे पास बच जाएगा ऐसा कुछ बच जाएगा राइट सर हमने ये नहीं सोचा तो आप tan0 - थीटा लिख लो सेम आएगा t को कोट 90 - थीटा लिख लो कट इवर्स कट हट जाएंगे उसमें बात सेम है लास्ट में जाके यही आएगा चलिए d बा dx2 dydekop.org आएगा चेन रूल लगेगा राइट तो पा / 2 6 का 0 उसका -1 हो गया तो हमारे पास क्या आ गया बेटा टू से टू काटो सो dydekop.org मिलने वाले थे वहां माइनस मिलेगा देखो बोर्ड्स और जेई में ना यही फर्क है बोर्ड्स में अगर तुम यहां पे छोटी मोटी माइनस माइनस की गलती कर दोगे भूल जाओगे माइनस तो बेचारा दया करके तुम्हें चार के नंबर के क्वेश्चन में तीन दे देगा ढाई दे देगा ज्यादा से ज्यादा क्या करेगा ढाई तो दे ही देगा दो नंबर काट लेगा चलो दो दे देगा चार के क्वेश्चन में बट जेई में बड़ा ही बहुत ज्यादा ही बेटा बहुत ज्यादा बुरा हाल होता है क्योंकि माइव मिल जाएगा तुम्हें क्योंकि अगर तुमने यहां चेन रूल नहीं लगाया होता तो तुम्हारा आंसर सी आ जाता तो ये है बेटा जेई का असली रूप प्रॉब्लम सारी यहां है हम क्या करते हैं बोर्ड्स में हमारे साथ स्कूल एग्जाम में अगर 60 पर 70 पर आ रहे हैं तो हमें लगता है 70 पर तो आ ही रहे हैं जेई में भी तो ले ही आएंगे 70 नहीं तो 50 तो ले ही आएंगे ऐसा नहीं होता बोर्ड्स में आपको अलग स्किल्स चाहिए जेई के पेपर में आपको एक्यूरेसी सबसे बड़ी स्किल है क्योंकि अगर आपकी एक्यूरेसी नहीं है आप छोटी-छोटी मिस्टेक करते हो आपको आता सब है छोटी-छोटी मिस्टेक्स करते हो तो आपको बड़ी दिक्कत आएगी इससे बेटर यह है आपको कम चीजें आए दो चार चैप्टर मत पढ़ के जा कोई दिक्कत नहीं है बट जो पढ़ के जा रहे हो उसमें एक्यूरेसी प्रॉपर होनी चाहिए जैसे कि यह चैप्टर है ठीक है केरलेससवीडियो का भी करा दूंगा हां फिर हम आगे बढ़ेंगे मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल है तो डिफरेंशिएबल लगेगा है ना एक्स को कांस्टेंट ए ए एक् का डेरिवेटिव हो गया / ए एक इस वाले एन का और फिर चें रूल से एक 1 बा एक्स भी आएगा माइनस ए ए एक् कांस्टेंट एक्स का डेरिवेटिव हो गया वन एक्स का डेरिवेटिव हो गया न करेक्ट और एकस स्क्वा का हो गया -2 एक्वा स्क्वा का हो गया 2 वाडी वा बाडी एक क्योंकि बेटा हम किस रिस्पेक्ट में कर रहे थे एकस के रिस्पेक्ट में है ना तो एक के रिस्पेक्ट में एक् स् का तो 2 एक होता है ब y स्क्वा का 2y बाडी एक होगा चेन रूल की वजह से और फोर का तो भैया जीरो है कांस्टेंट टर्म है अच्छा इस x को और इस x को काटो आई थ हो गया हमारे को तोवा बा इ निकालना है तो 1 बा ए एक माइन ए ए एक -2x प् 2y d वा बा d एक इक्वल टू 0 तो एक्स को e डाल देते हैं सवाल यह है अगर एक्स को e डालूंगा ठीक है यहां डाल दूंगा यहां डाल दूंगा यहां वा की जगह क्या डालूंगा वा भी तो चाहिए नावा बाडी एक निकालना है तो तो एट एक्स इवा क्या होगा वह आपको सवाल बताएगा फंक्शन बताएगा यह वाला इसमें जरा एक काम करते हैं पुट x इक्व e तो एल ए एल माइनस स्क्वा प्स y स्क्वा बराबर 4 तो ये हो जाएगा e एल ए होता है व एल एव होता है जीरो तो ये तो गया तो y स्क हो गया 4 प् e स्क तो y हो गया प्लस माइनस आना चाहिए बटवा पॉजिटिव दिया है तो सिर्फ प्लस ऑफ 4 प् e स् हो गया सो जब x e है बेटा तो y की वैल्यू भी मिल गई फंक्शन की वैल्यू यहां पे पुट कर देते हैं बस अब तो एक को ही डाल केवा को ही डाल के सो वन बाय न बाय एल ए तो वन ही होता है य ए ए एल तो जीरो हो गया - 2e 2 √4 प् e स्क्वा बाडी एक करेक्ट बस अब चेक कर लो क्या हो गया तो यह -2 इधर गया न उधर गया तो 2 रूट 4 प् e स्क d वा बाडी एक इक्व टू 2e - 1 हो गया है 2e -1 हो गया है यह चीज नीचे ले आओ सो 2e - 1 / 2 √4 + e स् बी ऑप्शन आना चाहिए भाई हमारे हिसाब से तो बी आंसर बिल्कुल सही हो गया ठीक है ऐसे करने कैलकुलेशंस हैन इस चैप्टर में कांसेप्ट तो अभी तक क्या ही करें जो 11वीं क्लास के फिजिक्स में भी आपको बता दिए जाते हैं वही सब चीजें इस्तेमाल करी है अभी तक मैंने और थोड़ी सी उसम मैथ्स का तड़का लग गया है ट्रिग्नोमेट्री वगैरह के कांसेप्ट एलएन वगैरह के कांसेप्ट लग रहे हैं चलो एक यह सवाल आया था 2024 में भी इसको भी देख लेते हैं अच्छा क्वेश्चन है इस प्रकार का देखिएगा जरा फिर से वही है y को हमें थोड़ा सिंपलीफाई करना है और उसके बाद ही कुछ कर पाएंगे वाई हमें ऐसा कुछ दिया है ठीक है यह खतरनाक सी चीज यह वाली लग रही है ये है खतरनाक सी चीज क्योंकि इसका तो डिफरेंशिएबल ले जाके बहुत प्यार से हो जाएगा बट ये वाला मेन इस बार ट्रिग्नोमेट्री नहीं अलजेब्रिक एक्सप्रेशन को सिंपलीफाई करना है अभी तक ट्रिग्नोमेट्री प मैनिपुलेशन थी नाउ दिस इज अ मैनिपुलेशन ऑन अलजेब्रिक एक्सप्रेशन तो क्लियर मुझे दिख रहा है यार इस चीज को अगर मैं सिंपलीफाई कर पाया तो यह सवाल मुझसे हो जाएगा नहीं तो हम इसमें छोड़ देंगे एग्जाम में ऐसे सोचना है आपको पहले तो यह समझना है कि क्वेश्चन पकड़ना कहां से स्टार्ट कहां से करना है क्वेश्चन है टू बी स्टार्टेड फ्रॉम यर अगर वो स्टार्ट आप कर पा रहे हैं तो आगे बढ़ नहीं तो उसको रिव्यू फॉर लेटर कर दीजिए जैसे अभी आपको दिख रहा है उसमें रट एक् प्व इसमें से भी एक रट एक कॉमन आ रहा है x की पावर 3/2 -1 हो जाएगा वो और नीचे बेटा इनमें से भी रट एक कॉमन आ रहा है तो रट एक रट एक तो गया तो रट एक प् 1 अच्छा इसको लिख लो बेटा रट एक की पावर 3 x की पावर 3/2 को क्या लिख सकते हो रट एक की पावर 3 और व की पावर 3 ए कू माइन बी कू बेसिकली अब मैं लगाना चाहता हूं a कू - बी कू लगाना चाहता हूं सो र एक + 1 a - बी a स् प् बी स्क माइनस प् ए सॉरी प् ए होता है ना a कू माइ बी क में a - बी इन a स् प् ब स् प् ए होता है और नीचे भी हमारे पास था अब तुम समझ गए भाई यह देखो जरा दिस एंड दिस गेट्स एंटा कैंसल्ड और हमारे पास फंक्शन क्या बच गया दिस a + b * a- b √ x+ 1 * र x-1 हो गया x - 1 x-1 बन गया है बेटा करेक्ट तो इतनी पूरी चीज सिंपलीफाई होके x-1 बन रही है इसको तो ब्रैकेट खोल लो 3/1 तो 1/5 कॉस क्यूब कॉस स्क्वायर हो गया कॉस की पावर 5 5/1 हो गया 1/3 कस क x राइट ऐसा कुछ हो जाएगा ऐसा कुछ हो जाएगा और अब डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल है सो y का y ड हो जाएगा न इसका तो जीरो 5 कॉस की पावर 4x इन - सा x चेन रूल - 1/3 3 क स् x * - sinx-cosx [संगीत] रथ बायट होल स्क्वायर हाफ वी विल हैव 9 बा 16 इन 1 बाटू तो 9 बा 32 हो गया य और यह हो गया बेटा 3 बा 8 32 को ले लो एलसीएम 32 को ले लो एलसीएम बस यही करना है अब अपने को तो 32 हो गया एलसीएम 32 - 9 + 12 तो 35 बा 32 आ गया है बेटा वाड बट 96 वाड निकालना है तुम्हें क्या निकालना है 96 * 35 बा 32 ट्रिपल होता है 35 * 3 105 आ रहा है भाई मेरा तो 105 आंसर बिल्कुल बढ़िया हो गया ठीक है ऐसे करना है बेटा पिन पॉइंट एक्यूरेसी के साथ तुम्हें और ये एक्यूरेसी सर हमारी तो है नहीं हम गलतियां करते हैं क्योंकि तुम्हारा मेन चीज है कि तुम नीट एंड क्लीन काम नहीं करते तुम ब्रैकेट्स का इस्तेमाल नहीं करते हो सकता है अगर ये गलतियां आप कर रहे हैं तो आप मत करें बेटा ठीक है प्लस से माइनस को भूल गए सर माइनस माइनस काटना भूल गए वो ब्रैकेट लगाना भूल गए यही सब बस काम गड़बड़ कर देते हैं बहुत बच्चों को मैंने देखा है कि ब्रैकेट नहीं लगाया ओ सर उसको मैंने माइनस कर दिया फिर मल्टीप्लाई होना था मैंने माइनस कर दिया यही होता है छोटी-छोटी चीजों का ध्यान रखोगे ऐसे क्वेश्चंस डेफिनेटली सही हो जाएंगे चलो भाई तो यह हो गए हैं कुछ बेसिक्स अब हम आ जाते हैं मेथड्स ऑफ डिफरेंशिएबल हमारा डिफरेंस अब शुरू हो रहा है अभी तक तो यार मतलब यह समझ लो क्या ही चल रहा था मतलब बेसिक फंडे रिवाइज हो रहे थे उन बच्चों के लिए था जो बिल्कुल ही उन्हें डिफरेंस नहीं आता था ए बी सीडी भी नहीं आती थी उनको मैंने डिफरेंस के बेसिक्स सिखाए हैं और क्वेश्चन उन पर कराए हैं हां बट क्वेश्चन बेसिक नहीं थे यह मत सोचना सर ये बेसिक थे क्या अरे क्वेश्चन बेसिक नहीं थे ना कांसेप्ट तो बेसिक ही थे ना क्वेश्चन तो आईआईटी लेवल के ही करने हैं अपने को बिल्कुल ही बेसिक तुम्हें करना है कि नहीं सर हमें तो ए बी सीडी ही करनी है डिफरेंशिएबल गेंगे उनमें भी एनसीआरटी के क्वेश्चंस में चलो तो चार मेजर हमें मेथड पढ़ने हैं लोगरिथमिक डिफरेंशिएबल दमिक डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल लॉग लेंगे कई बार हमें डिफरेंशिएबल लेना होता है बहुत तरीके के क्वेश्चंस होते हैं जिनमें हम दोनों तरफ लॉग लेते हैं बट मोस्ट कॉमन टाइप होता है वेरिएबल की पावर वेरिएबल कभी भी अगर हमारे पास वेरिएबल की पावर वेरिएबल आ जाए जैसे मान लो सा x की पावर क x इसका कोई डायरेक्ट फार्मूला नहीं है x की पावर n नहीं लग पाएगा क्योंकि याद करो जो हमने बेसिक फॉर्मूले पढ़े थे उसमें हमने या तो हमने कांस्टेंट की पावर वेरिएबल की पावर कांस्टेंट किया था वेरिएबल की पावर कांस्टेंट किया था या कांस्टेंट की पावर वेरिएबल किया था 50 की पावर x हमने ये नहीं किया कि x की पावर 2x x की पावर 3x उसमें आप इन दोनों में से कोई भी फार्मूला नहीं लगा सकते ये था वेरिएबल की पावर कांस्टेंट ये था कांस्टेंट की पावर वेरिएबल व्हाट इफ वी हैव वेरिएबल टू द पावर वेरिएबल तो उसके दो मेथड्स होते हैं बेटा और उसमें से वन ऑफ द मेथड्स इज लगदम डिफरेंशिएबल लेके डिफरेंशिएबल लेट्स सी कैसे एक एग्जांपल ले लेते हैं बहुत इंपॉर्टेंट है जेई के पेपर में बहुत क्वेश्चन आते हैं उसपे वेरिएबल की पावर वेरिएबल पे तो जैसे बहुत ही कॉमन मोस्ट कॉमन इन फैक्ट एग्जांपल एक्स की पावर एक्स एक्स की पावर एक्स तो मेथड वन इज बाय लोगरिथमिक डिफरेंशिएबल ए लेते हैं ए एवा ए एक्स की पावर एक् x आगे आ जाएगा है ना और अब डिफरेंशिएबल वि रिस्पेक्ट टू एक्स करेंगे डिफरेंशिएबल लगेगा ना भाई हम तो एकस के रिस्पेक्ट में कर रहे हैं एवा का क्या हो जाएगा व बावा तो होगाया साथ में वा बाडी एक भी होगा इधर लगेगा प्रोडक्ट रूल एक ए एक् में एक्स एक फंक्शन है ए एक् एक फंक्शन है तो एक्स कांस्टेंट ए एक का डेरिवेटिव 1 बा एक्स प्स l एक कांस्टेंट एकस का डेरिवेटिव वन हो जाएगा राइट x और एक्स कट गया तो वी हैव 1 बावा d वा बाडी एक इ इक्व टू 1 प् ए एक तो 1 बावा उधर ले जाओ तोवा बाडी एक हो जाएगा y इन 1 प् ए एक और अगर आपवा भी हटाना चाहते हैं तोवा की वैल्यू तो ओरिजिनल x की पावर x थी ऐसा कुछ हो जाएगा y की वैल्यू हटा दी x की पावर x तो डेरिवेटिव आ गया x की पा x1 + ln1 लर्न नहीं करना है मेथड समझो क्योंकि अभी मैंने x की पावर x दिया है हो सकता है आपको x की पावर c x x की पा sinx-cosx फर्स्ट इज हम उसमें लॉग ले लेंगे दोनों तरफ कभी भी वेरिएबल के कोई भी वेरिएबल की प वेरिएबल दिखे हट से लॉग लो और आंसर आएगा बट ये अप्रोच भी बहुत इंपॉर्टेंट है कौन सी अप्रोच मतलब काइंड ऑफ सिमिलर ही है बस ये समझ लो बिना लॉग लिए हम लॉग ले लेते हैं लॉग का इस्तेमाल करते हैं कैसे जैसे तुम्हें एक बात पता होगी x की पावर y को हम क्या लिख सकते हैं e की पावर y ए एक लिख सकते हैं ये हमारी प्रॉपर्टी होती है बेटा लोगरिथम की है ना लॉग में आपने पढ़ा होगा यह वाली चीज पढ़ी होगी कि आपने e की पावर ए एक को x लिखा होगा ठीक है तो ई की पावर एल ए एक्स की पावर वा को एक्स की पावर वा लिख सकते हो और ए हट जाता है बेसिकली है ना और वा को आगे ले आओ तो e की पावर वा ए एक्स एक्स की पावर वा हो जाता है दिस इज द प्रॉपर्टी ऑफ लॉग च आई एम ट्राइट अप्लाई बेसिक मैथ में आपने पढ़ा होगा लॉग कीय प्रॉपर्टी ठीक है तो इसको मैं इस्तेमाल करूंगा एक्स की पावर वा में करा तो एक्स की पावर एक्स में भी कर सकता हूं तो एक्स की पावर एक्स को बेसिकली की पावर में चेंज कर दो हम कर क्या रहे हैं वेरिएबल की पावर वेरिएबल को कांस्टेंट की पावर वेरिएबल बना ले रहे हैं यार e की पावर क्या हो जाएगा x ए एक् हो जाएगा तो हमने e की पावर एक्स ए एक् लिख लिया एक्स की पावर एक्स को ठीक है जी यह हमारा वा थावा हो गया e की पावर एक्स ए एक कांस्टेंट की पावर वेरिएबल बन गया अब डायरेक्ट डिफरेंस मैं कर सकता हूं डायरेक्ट डिफरेंस कर सकता हूं बेटा e की पावर का तो e की पावर ही रहता है और चेन रूल की वजह से एक्स ए एक्स का डेरिवेटिव भी आएगा इनटू डेरिवेटिव ऑफ लिख देता हूं एक्स एल एक बिकॉज चेन रूल राइट न रूल हमारे पास लगेगा इसमें प्रोडक्ट रूल लगा दो या एक्स एक् में तो प्रोडक्ट रूल लग जाएगा तोवा बाडी एक् बन गया e की पावर एक्स ए और इसमें x कांस्टेंट एल एकस काव बा एक् प्लस एलन एक् कांस्टेंट x काव तो हमारे पास बन गया d वा बाडी एक e की पावर x ए ए एक 1 प् ए ए एक और e की पावर x ए एक को वापस से हम वापस से हम वापस x की पावर x लिख देते हैं हमारा काम हो गया इसको लिखने का और वापस से देखिए सेम ही डेरिवेटिव आ गया देख लो सेम बिल्कुल सेम आना ही है वो तो यार तो दोनों अप्रोच काइंड ऑफ सिमिलर है एक में हमने लॉग लिया लास्ट में लग हटाया उसमें हमने कहा भैया लग लेना हटाना ही है तो e की पावर में लिख लो कांस्टेंट की पावर वेरिएबल बना के लिख लो यूजिंग दिस कांसेप्ट यह है बहुत बहुत इंपॉर्टेंट बात एक्स की पावर वा को लिख सकते हैं e की पावर वा एल एक्स लॉग की प्रॉपर्टीज का इस्तेमाल करते हुए ठीक है चलिए आगे बढ़ेंगे आगे बढ़ेंगे बेटा अब लॉग में जरूरी नहीं है कि एक ही एप्लीकेशन हो मैंने आपको बताया लगदम डिफरेंशिएबल है कि वेरिएबल की पावर वेरिएबल का निकाल सकते हैं वन ऑफ द एप्लीकेशन और भी हो सकते हैं और भी हो सकते हैं जैसे कि बहुत बड़ा प्रोडक्ट दिया हो जब देखो चार चार फंक्शंस का जब प्रोडक्ट दिया है तो वन ऑफ द वेज वन ऑफ द वेज कुड बी कि हम उसमें क्या करें हम लॉग ले ले बेटा वन ऑफ द वेज कुड बी कि हम उसका लॉग ले लें क्योंकि होगा क्या देखो बहुत सारे मल्टीप्ला है तीन-तीन चार-चार बार प्रोडक्ट रूल लगाना पड़ जाएगा उससे बेटर है कि हम l n fx1 + x + ln1 + x स् + ln1 + x4 तो जब बहुत सारे प्रोडक्ट हो रहे हो एक बार आप यह चीज ट्राई कर सकते हो क्योंकि मल्टीप्लाई चेंजेज टू प्लस इन लॉग राइट और फिर डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल n 1 / ln1 + x का 1 / 1 + x न रूल लगेगा इंटू डेरिवेटिव ऑफ़ x तो वन ही हो जाएगा ठीक है और इसमें होगा 1 / 1 + x स् इनटू डेरिवेटिव ऑफ दिस थिंग न का जीरो इसका हो गया 2 एक 1 अपव प् x4 इनटू डेरिवेटिव ऑ व तो 0 4 एक् क्य एंड सो ऑन लास्ट अच्छा सोन क्या लास्ट टर्म बची है 1 अपव प् एक्स की पावर 8 इन 8 एक्स की पावर 7 करेक्ट कुछ इस प्रकार का हो [संगीत] गया इस प्रकार का बेटा हो जाएगा ठीक है x को वन डालना है लास्ट में f-1 निकालना है तो पूरी इक्वेशन में पुट x इ 1 f-1 / f1 ये हो गया 1/2 ये हो गया 2/5 ये हो गया 4 बाय सॉरी फ कैसे x को वन ही डालना है ना तो नीचे तो कोई दिक्कत ही नहीं है 2/2 ही रहेगा और यह 4/2 होगा और यह 8 बायट हो जाएगा बिकॉज x को तो हमें वन ही डालना था एकस को हमें वन ही डालना था अच्छा एव निकालना है एव तो पता नहीं सर कोई नहीं डाल लो एव तो निकल ही जाएगा एव कैसे निकलेगा जब हम एक कोव इस फंक्शन में डाल लेंगे भाई तो एव की वैल्यू क्या हो जाएगी 1 प्व 2 1 प्व 2 2 2 2 चार बार मल्टीप्लाई 16 हो जाएगा बेटा तो यहां पे 16 डाल दो 16 डाल दो बेटा आंसर आ गया देखो क्या आ गया तो f-1 f-1 / 16 8 4 12 13 14 15 15/2 15/2 हो गया राइट 2 को काट दीजिए तो f-1 हो गया 15 * 8 120 120 बन गया आंसर इस क्वेश्चन का राइट 120 बन गया आंसर इजी है यार क्या है इसमें बस लॉग लेना था सर हमने बिना लॉग लिए कर दे कर दो यार चार बार प्रोडक्ट रूल लगाना पड़ेगा फिर ठीक है तो यह वाला अप्रोच मत लो इसका एक अप्रोच और होता है जो इस क्वेश्चन में तो नहीं बट किसी और क्वेश्चन में हम कई बार इस्तेमाल करेंगे क्योंकि 1 प् एक् स्क्वा उसका भी स्क्वायर उसका भी स्क्वायर बन रहा है तो हम एक अप्रोच अभी देखना जेई के क्वेश्चन में कुछ मैं लगाऊंगा यह वाला एक अप्रोच है लॉग लेना और दूसरा अप्रोच है देखो बता देता हूं चलो क्या है और वोह इसमें क्यों नहीं लगा रहा हूं मैं यह भी मैं आपको समझा देता हूं अप्रोच है मैंने क्या बोला मैंने नहीं बोला मेथड है मैंने बोला अप्रोच है हमें अप्रोच के पीछे जाना है मेथड के पीछे नहीं भागना है मेथड क्या रट के थोड़ी जाओगे एग्जाम में बट हां कब क्या सोचना है दैट इज कॉल्ड अप्रोच तो जब ऐसा कुछ लंबा प्रोडक्ट आता है मैं दो चीजें सोचता हूं पहला तो कि सर लॉग ले लेंगे दूसरा अप्रोच अब सुन लो लॉग के अलावा एक इस टाइप के क्वेश्चन में उस मेथड को मैं बोलता हूं आग लगाना आग लगाना सर आग कैसे लगाएंगे अभी देखो कैसे आग लगती है भाई अगर मैं इस पूरे फंक्शन को मल्टीप्लाई कर दूं एंड डिवाइड कर दूं 1 - x से 1 - x से मल्टीप्लाई करा तो डिवाइड भी करना पड़ेगा 1 - x से मल्टीप्लाई एंड डिवाइड कर दिया तो भाई साहब आग लग जाएगी कैसे आग लग जाएगी सर देखो जरा अगर आप इनको देखेंगे तो ये दोनों मिलाकर एक फार्मूला बन रहे हैं a प् a - b 1 - x स् हो जाएगा वो 1 - x स् इस 1+ x स् से क्लब हो जाएगा 1 - x4 बन जाएगा वो 1 - x4 इस 1+ x4 से क्लब हो जाएगा 1 - x8 बन जाएगा वो 1 - x8 इससे क्लब होके 1 - x की पावर 16 बन जाएगा राइट तो fxxx.pro राइट डिवीजन रूल लगा द तो एड आ जाएगा बट मैंने ये मेथड नहीं लगाया इस बार क्यों नहीं लगाया इस बार नहीं लगाया एड 0 पूछा होता तो मैं लगाता क्योंकि मुझे दिख रहा है यार अब मैं अगर इसको डिफरेंशिएबल तो मेरा डिनो मिनेट में कवाड़ा मचने वाला है कवाड़ा मचने वाला है ठीक है क्योंकि मुझे x को जैसे ही वन डालूंगा 1 -1 0 हो जाएगा तो f-1 की जगह कुछ भी और पूछा होता f -0 f-2 f-3 f -1 तो मैं ये वाला मेथड बिंदास लगाता क्योंकि अब आई होप आप समझ समझ रहे हैं जब मैं इसे डिफरेंशिएबल जाएगा बट जब वन डालूंगा तो दिक्कत आएगी नीचे रो का स्क्वायर आ जाएगा व्हिच विल मेक इट नॉट डिफाइंड ठीक है तो इस पर्टिकुलर क्वेश्चन के लिए ये अप्रोच मैंने नहीं लगाई बट इस टाइप के फंक्शन में ये अप्रोच भी वर्क करती है तो दो अप्रोचेबल ले लिया बेटा बेसिक एनसीआरटी का तरीका और एक हो गया यह आग लगाने वाला a + b a - b बार-बार लगता गया और हमारा फंक्शन सिंपलीफाई हो गया देखना अभी लगाऊंगा किसी क्वेश्चन में लगाऊंगा ज f-1 की जगह कुछ और पूछा गया होगा ऐसा आ जाएगा ऐसा क्वेश्चन देखते रहिएगा ठीक है तो इसलिए हम स्टक हो गए यहां पे इस अप्रोच में स्टक हो गए चलिए आगे बढ़ेंगे भाई एक और करते हैं लोगरिथमिक डिफरेंशिएबल लगाएंगे क्या है सवाल देखिए फॉर x ग्रेटर दव 2 एक की पावर 2y वेरिएबल की पावर वेरिएबल दिख गई है है ना दिमाग में लॉग आ रहा है e की पावर भी चल रहा है 4e की पावर ये तो ठीक है e की पावर ये तो डिफरेंशिएबल ए 2x भी बनाया हुआ है तो मुझे लग रहा है या l ही ले लेता हूं क्योंकि ln2 एक वैसे ही बनाना है मुझे तो बोथ साइड्स में लॉग मैं लगदम डिफरेंशिएबल को स्टार्ट कर रहा हूं तो इस पूरे में एन बोथ साइड्स ले लेते हैं चलिए लेते हैं तो आगे आ जाएगा ln2 एक् इ इक्वल टू ln4 प्लस एल की पावर 2 एक् माइन 2 वा ठीक है भाई ठीक है तो 2y ए ए2 एक इज एल ए4 यह पावर आगे 2 एक् माइवा एल तो वन ही हो गया एल तो वन ही हो गया ठीक है ठीक है अच्छा ये 2y भी इधर ही कर लेता हूं तो उससे मुझे दो फायदे नजर आ रहे हैं 2y अगर ये 2y के साथ क्लब किया और कॉमन ले लिया तो l ए 2x + 1 हो गया जो यह वाली टर्म क्रिएट हो गई है बेटा तो ln4 + 2x हमारे पास आ गया है हमारे पास आ गया है वो टर्म बनाने की कोशिश की है देखो मैंने यह वाली ठीक है यह टर्म बनाने की कोशिश मैंने की है अब वैसे तो मैं इसको नीचे भी ले जा सकता हूं देखो नीचे भी ले जा सकता हूं क्योंकि मुझे दिख रहा है अगर मैं नीचे ले जाके फिर डिफरेंशिएबल कीप्ड होगा उधर जाके थोड़ा आगे का सोचना पड़ता है जेई के क्वेश्चंस में समझ रहे हो मैंने क्या बोला देखो मैंने क्या बोला वैसे तो मैं डायरेक्ट डिफरेंशिएबल और इसको मैंने नीचे ले जाके ऐसे लिख दिया तो मुझे पता है अब जब डिफरेंशिएबल तो समथिंग इनटू v स् * dy2 तो काट ही देता हूं देखो यहां भी टू है यहां भी टू ये भी कट गया तो y हो गया ln2 + x अपन ln2 एक + 1 और अब सीधे डिवीजन रूल लगा के डिफरेंशिएबल बेटा चल रहा है चलिए तो आगे लगाते हैं इसको d बा d एक हो जाएगा v स्क्वा ln2 एक प्व होल स्क्वा ठीक है तो ln2 एक प् 1 इधर आ जाएगा कांस्टेंट इनटू डेरिवेटिव ऑफ ln2 प् x ln2 का तो जीरो होता है x का वन होता है माइनस ln2 प्व कांस्टेंट डेरिवेटिव ऑफ ln2 एक 1/2 एक इनटू बाय चेन रूल है ना एट एक् काव बाटू एक् और 2 एक् का डेरिवेटिव जो ू है वो भी मल्टीप्लाई व का तो जीरो ही हो गया यह टू से टू काट डालो तो हमारे पास आ गया इसको इधर ले जाओ जो चीज निकालनी है उसकी वैल्यू आ गई ln2 एक् प्सव माइनस एलटू प्व बाय एक्स ऐसा कुछ आ रहा है भाई थोड़ा एलसीएम बाजी भी करी हुई है शायद कर लेते हैं हम भी x ln2 x + x - ln2 + 1 बा x देख लीजिएगा जरा देख लीजिएगा कोई आया ऑप्शन हम x ln2 ओ + 1 नहीं था वो + x था ना न्यूमरेशन में + 1 नहीं + x था सही टाइम पे पकड़ लिया भाई हमने + x था यहां पे ln2 + x है ना न्यूमरेशन कांस्टेंट डेरिवेटिव ऑफ डिनॉमिनेटर तो ln2 प् x था ये ln2 प् x थाय अब देखिए x से x कट गया तो x ln2 एक - ln2 बा x ऐसा कुछ बन रहा है x ln2 x - ln2 बा x ए ऑप्शन हमारा आ गया है बेटा मैनिपुलेशंस है यार बस और कुछ नहीं है इसमें मैनिपुलेशन तो इतनी तो करनी पड़ेगी जोही क्लियर करना है तो यह नहीं हो सकता कि बे सीधा-सीधा दे दे सर थोड़ा भी ना घुमाए ऐसा नहीं होगा देख लीजिए कोई दिक्कत कोई परेशानी इजी है इजी चलो नहीं तो मीडियम तक तो कह ही सकते हो डिफिकल्ट तो डेफिनेटली नहीं है चलो भाई अब एक थोड़ा सा डिफिकल्ट क्वेश्चन भी इसमें करा देता हूं 2023 का आपको वेरिएबल की पावर वेरिएबल में ही करवा रहा हूं देखो अभी तक जब वेरिएबल की पावर वेरिएबल आ रहा था एक्स की पावर वावा की पावर x हम लॉग ले रहे थे है ना एक तरीका था लॉग ले रहे थे बीच में प्लस या आ जाए तो लग सोच भी मत लेना क्योंकि लग अगर मैं लूंगा तो एल ए ऑफ ए प् बी की कोई प्रॉपर्टी थोड़ी ना होती है एल लेके कर क्या लोगे इस बार क्योंकि बीच में प्लस आ रहा है तो यहां तो ठीक है ए 20 बन जाएगा इधर ए प् बी को तुम कुछ लिख ही नहीं सकते देर इ नो प्रॉपर्टी ऑफ ए प् बी सोच के देख लो लग में तुमने बेसिक मैथ में जितनी भी प्रॉपर्टी पढ़ी है कोई भी नहीं है उसम यार लग ए प् बी की कोई प्रॉपर्टी नहीं है लग ए प्लग बी की है ए प् ए बी की है एल ए बी बट एल ए एल प् बी की कोई प्रॉपर्टी नहीं है तो अगर बीच में प्लस या माइनस आ जाए तो तुम्हे मेथड टू पर ही जाना पड़ेगा जो आज मैंने मेथड टू बताया था कि भाई e की पावर में चेंज करो हर चीज का कोई कारण होता है ना तो इसलिए कारण था यह था कि आप इन दोनों को अब लग तो ले नहीं पाएंगे e की पावर में चेंज करेंगे सो 2e की पावर वा ए एक ठीक है प्लस 3 की पावर एक्स एलवा इक्वल टू 20 ऐसे लिख लेंगे और अब डायरेक्ट डिफरेंस करेंगे डायरेक्ट डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल कर लोगे ना आई थिंक अब तो आप कर लेंगे इसे एक्स और वा दोनों को टू डालना है ट एक्सट पवा भी ू हो रहा होगा चलो डिफरेंट कर देता हूं वैल्यू तुम डाल लेना तो 2e की पावर वा ए एक इनवा y एक प् l ए एक d वा बा d एक प्रोडक्ट रूल लग गया इसके अंदर प्लस 3 की पावर एक्स ए एवा इनटू x बावा d वा बा d एक प्लस ए एवा कांस्टेंट x का हो गया वन ठीक है ऐसा कुछ हो गया तो कर लेना 20 का तो जीरो ही होता है डेरिवेटिव तो अब आपको कुछ भी नहीं करना एकस और y दोनों को 22 डालना है एक और y दोनों को 22 डालना है और फिरवा बाडी एक कैलकुलेट कर लेना है अब आप इसको होमवर्क में कंप्लीट कर लेना काफी सारे मैंने करा दिए इस तरह के आज आपको बस यह तुम्हे मैं दिखा रहा हूं जब बीच में प्लस या माइनस आ जाए तो एल ए वगैरह मत लेना गड़बड़ हो जाएगी लग वगैरह मत लेना यार ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो फर्स्ट मेथड ऑफ डिफरेंस इज डन च इज लोगरिथमिक डिफरेंस लोगरिथमिक डिफरेंस हमारा हो गया है अब हम आ रहे हैं पैरामेट्रिक डिफरेंशिएबल डिफाइंड है मतलब डायरेक्ट रिलेशन नहीं है जैसे मान लो थोड़ा बहुत अगर आपको पैराबोला वगैरह याद हो x होता था ए स् y इ 28 पैराबोला के ऊपर पैरामेट्रिक कोऑर्डिनेट्स होते थे y स् = 4ax पे नहीं भी याद है तो छोड़ दो कोई बात नहीं पैरामेट्रिक कर्व हो गया x t के टर्म्स में है y भी t के टर्म्स में है तो एक इनडायरेक्ट रिलेशन हो गया y और x में बोथ द फंक्शंस आर इन टर्म्स ऑफ अ पैरामीटर t ठीक है तो अगर आपको अब dydekop.org क्या करना है dx1 निकाल लो यहां से इसका वेरिएबल t है ना तो t के रिस्पेक्ट में [संगीत] डिफरेंशिएबल ऐसे तुम सोच सकते हो ने के लिए कि भाई dy1 dx1 / dt8 इसका है 2a 2a गया तो 1 / t आ गया dydekop.org x थीटा के टर्म में है देखो y भी थीटा के टर्म में है y इज अ फंक्शन ऑफ थीटा x इज आल्सो फंक्शन ऑफ थीटा सो dydekop.org इनडायरेक्ट रिलेशन होगा किसी पैरामीटर के टर्म्स में तो वो होगा पैरामेट्रिक कर्व और उसका डिफरेंशिएबल से समझा देता हूं बहुत प्यार से समझ आ जाएगा ठीक है ये देखिए x दिया हुआ है इन टर्म्स ऑफ थीटा y भी दिया हुआ है इन टर्म्स ऑफ थीटा लिखना चाहिए a कांस्टेंट है a कांस्टेंट है यू हैव टू थीटा इज द पैरामीटर ये लिखना चाहिए थीटा इज पैरामीटर इज कांस्टेंट तभी तो आप थीटा के टर्म में ही डिफरेंशियल लो d एक् बायडी थीटा क्या हो जाएगा ए तो कांस्टेंट है थीटा का वन साइन थीटा का कॉस थीटा वा बाडी थीटा का निकाल लेते हैं ए कांस्टेंट वन का जीरो माइनस कॉस थीटा का साइन थीटा और अकॉर्डिंग टू पैरामेट्रिक डिफरेंशिएबल थ अपन d एक बायडी थीटा यही तो था पैरामेट्रिक डिफरेंस यही तो है और क्या है तो ब डिवाइड कर दो इन दोनों कोवा बाडी थीटा की वैल्यू यह थी ए साइन थीटा इसकी है बेटा एव प्स कॉस थीटा य तो कट गया ऐसा ऑप्शन नहीं है बट हाफ एंगल में ले जाते हैं साइन थीटा को लिख लेते हैं 2 साइन थीटा बाटू कॉस थीटा बाटू देखो इस चैप्टर में ट्रिग्नोमेट्री बहुत लगेगी देखि अभी तक मेथड्स ऑफ डिफरेंस में ट्रिग्नोमेट्री बहुत लग रही है 2 क स्क्वा थीटा बाटू इनफैक्ट पूरे कैलकुलस में ही बहुत लगती है ट से टू गया कॉस थीटा बाटू भी गया एक साइन बाय कॉस न थीटा बाटू बच जाएगा तो आंसर हो गया हमारा न थीटा बाटू सी ऑप्शन सी ऑप्शन हो गया बेटा ठीक है सी हो गया आंसर यह है पैरामेट्रिक डिफरेंस ऐसे क्वेश्चन भी जेई में बहुत आते हैं बहुत का मतलब खूब आते हैं जरा देखते हैं एक देखते [संगीत] हैं हा ज के आएंगे अभी डबल डेरिवेटिव में एक्चुअली ज्यादा आते हैं वो हम डबल डेरिवेटिव में आपको पैरामेट्रिक दिखाऊंगा जब न वी विल स्टार्ट डबल डेरिवेटिव डिफरेंस चलो पहले इसका एक सिंगल डेरिवेटिव काही निकाल लेते हैं d एक बाडी थीटा वा बाडी थीटा निकालिए और लिखा ही नहीं है फाइंड क्या करना है फाइंड करना है भाई d वा बाडी एक फाइंड d वा बा d एक ठीक है चलिए निकालते हैं निकालते हैं बिल्कुल सेम d एक बाडी थीटा हो गया कांस्टेंट जल्दी जल्दी करते हैं कॉस थीटा का माइनस साइन थीटा थीटा कॉस थीटा प्लस साइन थीटा साइन थीटा साइन थीटा कट गया वा बाडी थीटा का हो गया इधर ए कांस्टेंट साइन का हो गया कॉस माइनस थीटा प्लस साइन थीटा और माइनस कॉस थीटा हो गया कॉस थीटा कॉस थीटा कट गया तो d एक बायडी थीटा आ गया ए थीटा कॉस थीटा वा बाडी थीटा आ गया ए थीटा साइन थीटा तो इफ वी जस्ट डिवाइड बोवा बायडी एक्स हो जाएगा दिस अपॉन दिस तो ए थीटा साइन थीटा अपॉन ए थीटा कॉस थीटा बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है भ न थीटा हमारे पास बन गया क्योंकि ऐसा क्वेश्चन में आ चुका है कभी सिंगल डेरिवेटिव कभी डबल डेरिवेटिव में मिक्स करके दे देते हैं तोवा बाडी एक फरस क बिकम न थीटा इसी से इंपलीसिट डिफरेंस है रिलेटेड इंपलीसिट डिफरेंस क्या होता होती है मतलब देखो इंपलीसिट का मतलब होता है एक मिक्स्ड फंक्शन है जैसे अगर तुम्हारे पास सा x प्वा स् = y है मैं तुमसे बोलता हूं कि यार जरा dy1 का हो जाएगा 2y dydekop.org तोवा बाडी एक की दोनों टर्म उधर कर लो 1 माइवा तोवा बायडी एक्स हो गया कस एक अपॉन 1 माइवा तो यह होती है इंपलीसिट डिफरेंस मतलब आपने एक्स और वा मिक्सड फंक्शन में भी डिफरेंस कर दिया है ना जैसे मान लो एक और दे देता हूं मान लो कोई तुम्हे दे दे कॉस ऑफ एक इक्व x क प्वा स्क कोई फर्क नहीं पड़ता आप डायरेक्ट डिफरेंस मार सकते हो इसमें भी डायरेक्ट डिफरेंशिया माइन सा एक्सवा ये इलिसिट फंक्शन है बिकॉज एक्स और वा मिक्सड है आपस में मिक्सड है एक्सप्लिसिट फंक्शन वो होता है जब वा फंक्शन पोरली इन टर्म्स ऑफ एकस होता है इंपलीसिट व होता है जब वा के अंदर वा भी मिक्स होता है राइट साइड में भी ठीक है तो सा एक्सवा और चेन रूल की वजह से एक्स कांस्टेंट वा बायडी एक प्लस वा कांस्टेंट एक्स का तो वन ही हो गया और एकस क्यूब का हो गया 3 एक स्क्वा स्क का हो गया 2 वावा बाडी एकवा बाडी एक की टर्म इकट्ठी कर लेना और वा बाडी एक की वैल्यू आ जाएगी दिस इ कॉल्ड इंपलीसिट डिफरेंस अब इसका जो एक बहुत मेजर काम है इसका काम बेटा बहुत आता है जे के क्वेश्चन में अभी हमने इनफैक्ट किया भी था तो मैं अगर याद नहीं है तो हमने इंपलीसिट डिफरेंस ऑलरेडी यूज किया है यह देखो यह भी तो इ था एक्सवा दोनों तरफ फसे हुए हैं इधर भी इधर भी दिस इज नथिंग बट इंप्ली डिफरेंस ओनली और भी किया है दिखाऊ कहां है और और किस क्वेश्चन में किया है इसी में किया है वैसे इससे पहले वालों में तो एक्सप्लिसिट ही चल रहा है y इन टर्म्स ऑफ एक्स ही था पोरली यहां पे किया है यहां ये देखो य लेफ्ट में ही y था उधर कुछ नहीं था बट लेफ्ट में ही हमने डायरेक्ट डिफरेंशिया था तो दिस इज कॉल्ड इंपलीसिट डिफरेंशिएबल जो वन मेजर एप्लीकेशन है वह है इवर्स फंक्शंस के डिफरेंशिएबल 1 माइ एक स् ठीक है जी वनर्स का माइनस ऑफ दिस होता है बिल्कुल सेम इसके जो प्रूफ होता है प्रूफ जो होता है उसमें इंपलीसिट डिफरेंस लगता है बहुत इजी प्रूफ है एक करके दिखा देता हूं आपको है ना तो लेट्स से वा इज साइन इवर्स एक्स ठीक है वी हैव टू फाइंड वा बायडी एक्स इवा साइन इवर्स एक्स अकॉर्डिंग टू द कांसेप्ट ऑफ इवर्स इधर ले ग तो सावा इ x हो जाएगा सावा इ x हो जाएगा और अब हम इसको डिफरेंशिया का हो गया बेटा कसवा d वा बाडी एक और एक्स का हो गया वन सोवा बायडी एक बिकम व बाय कसवा न बाय कसवा हो जाएगा और अब सावा तुम्हारा एक्स है तो ट्रायंगल बना सकते हो सावा अगर एक x और व हो गया नीचे वन है तो यह हो गया √1 माइ एक स् तो कसवा तुम्हारा क्या हो गया बेस अपॉन हाइपोटेन्यूज इसको उठा के यहां डाल दो तोवा बाडी एक बन गया प्रूव्ड d वा बाडी एक प्रूव हो गया 1 अप √1 - एक स् तो साइन इवर्स x का डेरिवेटिव यह होता है सा एक्स का डेरिवेटिव बेटा याद रखना है बिल्कुल रव अपन रव माइन एक्स स्क कॉस इवर्स का बिल्कुल सेम विद माइनस साइन ऐसे कैसे देखो इवर्स की प्रॉपर्टी लगा दो तुम्ह पता है साइन कॉस इवर्स एक्स को क्या लिख सकते हो पाई बाटू माइनस कॉस इवर्स एक्स का अगर डेरिवेटिव निकालना है इसको आप लिख सकते हो पाई बाटू माइनस सा इवर्स एक्स इसको डेरिवेटिव ब्रेक कर दो पा बाटू का तो जीरो हो गया माइनस डेरिवेटिव ऑफ सान इवर्स x जो अभी हमने निकाला है माइनस के साथ आ गया तो कस इवर्स में बस एक माइनस लग जाता है जो साइन इवर्स का आया ऐसे बिल्कुल ऐसे ही बेटा बाकी सबके भी लर्न करने हैं तो देखो साइन इवर्स और कॉस इवर्स में ये हो गया माइनस लग गया न इवर्स कट इवर्स में भी एक माइनस लग जाता है देखो यह रहा न इवर्स यह रहा कट इवर्स से इवर्स कोसेक इवर्स में भी ऐसे ही होता है एक माइनस लग जाता है बस तो आपको बस तीन लर्न करने हैं तो ऑटोमेटिक बचे हुए तीन हो जाएंगे कौन-कौन से लर्न करने है साइन इवर्स का कॉस इवर्स लर्न हो गया न इवर्स का और से इवर्स का डेरिवेटिव लर्न करना है तीनों का प्रूफ सेम है न इवर्स x का होता है 1 अपव प् एक स् से इवर्स x का होता है 1 अप x रट एक स् माव एक ले लो मोड x ले लो एक ही बात है ठीक है ये होता है से इवर्स x का सबके डेरिवेटिव लर्न करने है अपने को प्रूफ साइन इवर्स का तो करा दिया बिल्कुल ही ऐसे ही तुम चाहो तो tan1 का कर लो चाहो तो से इवर्स का कर लो कुछ काम नहीं आना बस जस्ट फॉर नॉलेज है चलो एक करके और दिखा देता हूं से इवर्स जिसका भी कर लो t इवर्स का ही कर लेते हैं ज्यादा काम यही आता है तो t इवर x = y मान लिया तो dydekop.org डिफरेंस लगा देता हूं विद रिस्पेक्ट टू x कर देते हैं डिफरेंशिएबल बनाना है बना लो ट्रायंगल बना लो वा का ट्रायंगल बना लिया परपेंडिकुलर बेस √1 + x स् हो गया तो कवा क्या हो जाएगा बेस अपॉन हाइपोटेन्यूज यह हो गया बेटा आंसर ये हो गया हमारा आंसर राइट सही है चेक कर लीजिए प्रूव हो गया है हमारा न इवर्स बिल्कुल सेम कोट इवर्स में माइनस आ जाएगा से इवर्स एंड कोसेक में भी माइनस का फर्क होता है तो याद रख लीजिए इन सबको आप बिल्कुल अच्छी तरह बोर्ड में भी है जेई के सिलेबस में भी है काफी ज्यादा काम आने वाली चीजें हैं डेरिवेटिव ऑफ इवर्स फंक्शंस चलिए देखते हैं देखते हैं एक सवाल तो x दिया हुआ है a की पावर सा इवर्स t रूट a की पावर कस इवर्स t का रूट dy1 बा x आ जाएगा तो इंपलीसिट डिफरेंशिएबल लग रहा है है ना कि भाई इसको विद रिस्पेक्ट टू t करूंगा इसको विद रिस्पेक्ट टू t आंसर आ जाना चाहिए बिल्कुल आ जाना चाहिए एक तरीका तो व है ही बट मुझे थोड़ा सा दिमाग में खुरा पात चल रही है कि मैं सोच रहा हूं इंपलीसिट लगाने में बड़ा लेंथी हो जाएगा मैं अगर एक्स और वा को मल्टीप्लाई कर दूं देखो सर आपके दिमाग में कैसे आया अभी समझ आ जाएगा तुहे कैसे आया एक्स और वा को मल्टीप्लाई कर दूं तो रूट ए की पावर साइन इवर्स t इनटू ए की पावर कॉस इवर्स रट एक ही बना लिया और पावर अब बेटा ऐड हो जाएंगी सा इवर्स t + कट इवर्स t सा इवर्स t + क इवर्स t पा / 2 हो जाएगा और a की पावर पा / 2 तो कांस्टेंट वैल्यू हो गई और उसका रूट भी है तो ओवरऑल फंक्शन xy2 लाइन में आंसर आने वाला है तो डिफरेंशिएबल वा कांस्टेंट उसका वन हो गया कांस्टेंट का तो जीरो हो गया सोवा बा d एक इन x हो गया y उधर ले जाओ माइवा हो गया तो हमारे पास आ गया d वा बाडी एक नवा बा एक् माइवा बा एक्स हो गया आंसर निकल कर आ गया है राइट तो यह भी अच्छा मेथड है इंप्ली को हमने एक्सप्लीसिटली ही डिफरेंशिएबल की और क्वेश्चंस करेंगे क्योंकि पहले मेथड्स हो जाए सारे फिर हम उसको मिक्स कर पाएंगे डिफरेंशिएबल यूजिंग सब्सीट्यूशन कई बार हम डायरेक्टली डिफरेंशिएबल कर देते हैं क्वेश्चन में दिस इज आल्सो वेरी इंपोर्टेंट फॉर बोर्ड्स एज वेल एज जेई ठीक है एक बार ये चारों हो जाए हमारे फिर हम उनको मिक्स कर कर के चीजें करेंगे तो सम टाइम्स अभी देखो यही लिखा हुआ है डिफरेंशिएबल कई बार हम डिफरेंशिएबल करते हैं वो सब्सीट्यूशन कैसे माइंड में आते हैं देखो कुछ टर्म्स देख के हमें डिसाइड कर करना होता है जैसे √ a स् - x स् अगर आपको दिख रही है ऐसी टर्म तो x को a सा थीटा या a कस थीटा बहुत ज्यादा काम करेगा क्योंकि खुद सोच के देखो अगर x √ a स् - x स् है क्वेश्चन में है ना और x को a सा थीटा डालो इंटीग्रेशन में भी ऐसा होगा बहुत तो a सा थीटा डाला x को तो होगा क्या a स् में से a बाहर आ गया 1 - सा स् का रूट क मतलब मोड आएगा वो सब ठीक है एक कस थीटा हमारा बन जाएगा तो यह टर्म जो रूट वाली टर्म थी वो बहुत सिंपलीफाई हो जाएगी बेटा है ना इस सब्सीट्यूशन की मदद से आप सिमिलरली अगर a कस डालते तो इधर सा आ जाता ठीक है ना सिमिलरली अगर रट एक स् प् स् है अगर रट एक स् प् स् आ रहा है तो एक को एन या ए कट में से कोई भी काम करेगा हमन ले लेते हैं एक लर्न कर लो कोई भी x को एन जरा डालते हैं देखो तो a स्न स्क्वा थीटा प् ए स्क्वा फिर से a बाहर आ गया 1 प् न स्क्वा होता है से स्क्वायर का रूट से मोड वड मैं नहीं लगा रहा हूं अभी बेसिकली बस मैं तुम्हें बता रहा हूं स्क्वायर रूट हट जाएगा इन सब चीजों में सिमिलरली अगर र x स् माइ a स् होता ठीक है यह तीन मेजर याद रखने हैं अगर रट a स्क माइ x स् है तो साइन या क काम करता है x स् प् a स् है न या कट न एक लन कर लो x स् - x a स् में a से काम करेगा तो a स् से स्क्वा थीटा - a स् a बाहर से स्क्वा थीटा - 1 तो tan3 हो जाएगा से स्क्वा थीटा - 1 फिर से रूट हट गया अल्टीमेट ऑब्जेक्टिव इज कि रूट हट जाए रूट हटेगा तो फंक्शन सिंपलीफाई हो जाएगा इसीलिए बस हम सब्सीट्यूशन लगा रहे हैं जैसे एक और फोर्थ लर्न कर लो √ a + x / √ a - x ये टर्म दिखे देखो ये डिफरेंशिएबल काम आ ही रहे हैं ये सब्सीट्यूशन तुम्हें इंटीग्रेशन में भी देखोगे बहुत काम आएंगे तो जब ऐसा कुछ होता है √ a + x अपन a - x तो x को डालते हैं a कस थीटा या a cos2 थीटा डबल एंगल डाल लो सिंगल एंगल कोई फर्क नहीं पड़ता तो a + क a cos2 थीटा अपन a - a cos2 थीटा a ए तो कट गया तो 1 + cos2 थीटा अपॉन 1 माइनस कॉस टू थीटा का रूट और 1 प्स कॉस टू थीटा क्या होता है 2 कॉस स्क्वायर थीटा होता है और यह 2 साइन स्क्वायर थीटा होता है और रूट करोगे तो कट थीटा ही बच जाएगा कोट थीटा ही हमारे पास बच जाएगा बेटा ठीक है इस तरह से फायदा होता है हमारा पैरामेट्रिक सॉरी सब्सीट्यूशन करके हमारा फंक्शन सिंपलीफाई बहुत हो जाएगा अभी क्वेश्चन में देखेंगे तो और अच्छी तरह अंदाजा लग जाएगा कि मैं क्या कहना चाहता हूं यह चार मैंने आपको समझा दिए कि कैसे-कैसे यह वर्क करते हैं हर एक में ट्रिग्नोमेट्री सब्सीट्यूशन डाल के स्क्वायर रूट का साइन रिमूव हो जाता है स्क्वायर रूट का साइन रिमूव हो जाता है ठीक है चलो देखते हैं जैसे ये एनसीआरटी का ही क्वेश्चन है अब इनका एप्लीकेशन क्या है देखो देखने में काफी खतरनाक क्वेश्चन है वाई एक फंक्शन दिया हुआ है इतना खतरनाक सा इसको डि डिफरेंशिएबल हो जाएगा न इवर्स में पहले फिर चेन रूल इतने बड़े फंक्शन में समझ रहे हो न इवर्स x का होता है 1 अप 1 प् x स् बट न इवर्स x नहीं है इतनी बड़ी चीज है 1 अपव प्स दिस स्क्वायर फिर इसका डेरिवेटिव सो इट्स गोइंग टू बी वेरी वेरी लेंथी इफ वी डायरेक्टली डिफरेंशिएबल में फिर से हमें रूट दिख रहा है देखो तो यहां थोड़ी सी उम्मीद की किरण जागी कि भाई हम अगर x को न थीटा डाल दे न क्यों आया अब दिमाग में क्योंकि 1 प् न स्क्वा फार्मूला बन जाएगा वही प् न स्क्वा हमारा बन जाएगा सोवा हो जाएगा पहले हम सब्सीट्यूशन कर रहे हैं डिफरेंशियल लेना है तुम्हे ही के क्वेश्चन में बस ये कॉल लेना है पहले सिंपलीफाई करना है फिर डिफरेंशियली सिंपलीफाई कर रहा हूं 1 प् न स्क्वा को सेक स्क्वा से थीटा लिख लिया अब सर हमने मोड क्यों नहीं लगाया वो तुम प्रिंसिपल रेंज में मान लो माइन पा बाट से पा बाटू तो वो पॉजिटिव से ही खुलेगा 1 बाय कॉस सो 1 माइनस कॉस अपॉन साइन थीटा साइन कॉस में चेंज कर दिया तो यह हो जाएगा बेटा 2 साइन स्क्वायर थीटा बाटू 2 साइन थीटा बाटू कॉस थीटा बाटू राइट 2 से टू गया एक सा थीटा बाटू भी गया तो न इवर्स न थ बाटू बन जाएगा न इवर्स न हट गया प्रिंसिपल रेंज की क्योंकि बात चल रही है आप यह भी बोल सकते हो थीटा माइनस पा बाटू से पाई बाटू हमने लिया है ऐसे बोललो न इवर्स एक् को थीटा माना एक ही बात है तोवा जो है थ बाटू बन गया है थ को वापस हटा लो थ तो न इवर्स एक्स था सोवा तुम्हारा न इवर्स एक्स होल बायट बन गया है बेटा न इवर्स एकस बाटू बन गया है राइट कितना सिंपलीफाई हो गया अब देखो हम इसको डिफरेंशिएबल था 1 अपव प् एक् स्क यह हो गया हमारा आंसर यह हमारा आंसर हो जाएगा ठीक है तो ऐसे करना है पहले आपको ट्रिग्नोमेट्री सब्सीट्यूशन की मदद से सिंपलीफाई करना है ऐसे क्वेश्चन जेई में भी बहुत आते हैं भाई अभी देखेंगे अभी देखेंगे चलिए एक और सवाल लगाएंगे इसी का ऊपर यह भी बोर्ड टाइप का क्वेश्चन है फ जे के आएंगे ऑब्जेक्टिव भी आएंगे इसमें इधर देखिएगा तो पहले काम तो रशन कर देता हूं इसको क्योंकि मुझे दिख रहा है ऊपर ए माइनस बी नीचे ए प्स बी तो रशन इजेशन से स्टार्ट कर लेना चाहिए इसका होल स्क्वायर बन गया नीचे ए प्लस बी माइनस बी ए स्क माइनस बी स्क्वा तो ऊपर ए माइनस बील स्क्वा लगाता हूं ए स्क्वा प्स बी स्क्वा माइनस 2ab और नीचे से आप देखिए वनव कटा 2 एक आ गया यह एक्स और एक्स कटा तो न इवर्स 2 माइ रव माइन एक्स स्क अपॉन 2 एकट सेट काट दो न इवर्स 1 - √1 - x स् / x और अब हम सब्सीट्यूशन के लिए बिल्कुल रेडी है बेटा क्योंकि अब √1 - x स् की टर्म बन गई x को सा थीटा मान लेते हैं या क थीटा जो भी मानना है x को सा थीटा से स्टार्ट कर देते हैं x को साइन थीटा सो लेट सा इवर्स x = थीटा या x को सान थीटा ठीक है तो हमारे पास आ जाएगा न इवर्स न माइनस न माइनस साइन स्क्वा कॉस थीटा अपॉन साइन थीटा ठीक है एक्स थीटा की प्रिंसिपल रेंज माइनस पाई बाटू से पाई बाटू है और उसमें कॉस पॉजिटिव होता है पॉजिटिव से मोड खोले हैं तो न इवर्स 2 साइन स्क्वायर थीटा बाटू 2 साइन थीटा बाटू कॉस थीटा बाटू 2 साइन थीटा बाटू कट गए सो इवर्स न थीटा बाटू बन गया फिर से न इवर्स न हट गया थीटा बाटू आ गया बट इस बार थीटा साइन इवर्स एक्स है तो साइन इवर्स एक्स होल बाटू और अब वा बाडी एक्स निकालना है हाफ तो बाहर साइन इवर्स का डेरिवेटिव मतलब ऑब्जेक्टिव सवाल बनाया जा सकता हैट एक् इ हाफ पूछ ले x इ 0 कुछ भी पूछ सकते हैं आगे क्वेश्चन ऑब्जेक्टिव बनाया जा सकता है तो यह दोनों सवालों में सब्सीट्यूशन की मद हमें लेनी पड़ गई वेरी वेरी इंपॉर्टेंट वेरी वेरी इंपॉर्टेंट क्वेश्चंस ठीक है तो अभी इसमें देखेंगे क्वेश्चंस भी जेई के भी एक और पहले सब्जेक्टिव सवाल करते हैं चलिए तो ये वाला क्वेश्चन देखेंगे भाई अब इसके क्वेश्चन में क्या है देखिए एक इंप्ली इक्वेशन जैसी दी हुई है x और y में आप देख पा रहे हैं मिक्स्ड इक्वेशन है है ना एक फंक्शन दिया हुआ है इंपलीसिटली डिफाइंड इंपलीसिट मतलब x और y देखो दोनों तरफ फंसे हुए हैं यहां भी x y की टर्म यहां भी x y कुछ है y इज नॉट प्योर इन टर्म्स ऑफ x ठीक है तो अब ऐसे फंक्शन में हमें डायरेक्ट डिफरेंशिएबल के लिए भी बहुत इंपॉर्टेंट प्रॉब्लम है ये ठीक है तो एक तरीका तो है कि भाई हम डायरेक्टली इसको इंप्ली सिट डिफरेंशिएबल पड़ जाएगा बट एक्चुअली हो जाता है उससे भी सॉल्व मैंने देखा हुआ है किताबों में जनरली बहुत सारी बुक्स में इस तरीके से भी इस क्वेश्चन को किया हुआ है बट इसका एक बेटर तरीका मैं आपको बता रहा हूं जो टॉपिक अभी हम लोग पढ़ रहे थे देखो रूट की टर्म देखते मेरे माइंड में आता है क्या सब्सीट्यूशन कुछ अच्छी तरह वर्क कर सकता है ट्रिग्नोमेट्री सब्सीट्यूशन है ना क्योंकि यहां पे √1 - x स् है तो लग रहा है भाई x को सा थीटा वर्क कर सकता है क्योंकि सा थीटा डालूंगा तो 1 माइ सा स्क्वा अच्छा सा बन जाएगा क स्क्वा थीटा का रूट हट जाएगा है ना तो इस प्रकार से अब लगता है फिर यार y को भी कुछ कर लेते हैं तो डबल सब्सीट्यूशन का क्वेश्चन है अभी तक तो हम एक ही वेरिएबल को कुछ मानते थे जैसे पिछले क्वेश्चन में आपने देखा कि हमने क्या किया बेटा x को कुछ मान लिया था यहां पे है ना x की टर्म थी प्योर एक्सप्लिसिट फंक्शन था यहां पे तो x को हमने क्या माना था सा थीटा माना था और सॉल्व हो गया था ठीक है बट यहां पे अब दो वेरिएबल है x और y और दोनों में स्क्वायर रूट लगा है तो मैं डबल सब्सीट्यूशन भी अप्लाई कर सकता हूं अब सवाल ये उठता है सर x को सा थीटा मान रहे हो तो y को सर क थीटा मान दे क्या पहला थॉट प्रोसेस यही आता है कि सर x को ठीक है सा थीटा मान लिया है इसको क थीटा मान लो क्योंकि ये भी हट जाएगा रूट दोनों का ही रूट हट जाएगा बट ये करना ऐसा करना बेटा गलत हो जाएगा क्यों गलत हो जाएगा सोच के देखो क्या दिक्कत हो रही है क्योंकि बेटा देखो आप अगर दोनों x और y को थीटा के ही टर्म्स में मान लो ग तो कहीं ना कहीं आपने एक उनके बीच में रिलेशन ऑलरेडी अज्यू कर लिया है सोच के देखिए अगर मैंने इसको सा थीटा से क थीटा माना है हमें पता है सा स्क प् क स्क्व होता है तो आपने तो ये अजूम कर लिया कि x स् + y स्व है वेर ऐसा कुछ दिया नहीं है x और y में यह कोई रिलेशन ऐसा दिया नहीं है राइट तो जब भी डबल सब्सीट्यूशन करो हमेशा ध्यान रखो कि भाई आपको दो अलग-अलग वेरिएबल लेने हैं थीटा ले लिया है तो यहां पे क फ या सा फ मान लो फिर जब मान ही रहे हो तो सा फ ही मान लो लेते हैं cos3 की जगह कोई नया वेरिएबल फ लेकर आ गया हूं ठीक है इतनी बात सही है सा थीटा और सा फ जरा इस इक्वेशन में डालते हैं तो लेफ्ट साइड हो जाएगी √1 - सा स् हो गया क फ मड वड का कुछ नहीं कर रहे क्योंकि कोई रेंज वेंज का काम नहीं है √1 - y स् हो गया क सॉरी ये क हो गया थीटा और ये हो गया क फ और राइट साइड में हो गया a टाइम्स सा थीटा - सा फ करेक्ट ऐसा कुछ हो गया अब तुम समझ गए होगे मैंने दोनों को साइन क्यों माना ताकि सा सी माइ साडी यहां लग जाए और यहां क स प् कडी ट्रिग्नोमेट्री की आइडेंटिटी लगा रहा हूं बेटा ठीक है चलिए सिंपलीफाई करते हैं और उसके बाद डिफरेंशिएबल इनटू सान थीटा - 5/2 करेक्ट कुछ कट गया 2 कॉस थीटा प् 5/2 तो कट ही गया है यह तो कैं कैंसिल आउट हो गया है कैंसिल आउट हो गया राइट यह वाली टर्म कैंसिल आउट हो गई है 2 कॉस वाली और हमारे पास बचा है उसको जीरो लेके भी कर सकते हो सेम ही चीज बनेगी कोई दिक्कत नहीं है कस थीटा माइ 5/2 इ a टाइम्स सा थीटा - 5 बा 2 ठीक है यानी थोड़ा सा और देखें तो tan3 - 5/2 tan3 - 5/2 आ गया 1 / a और थोड़ा इसको tan0 है ना 1 बा a सो थ - 5/2 हो जाएगा tan1 1 / a 2 को भी उधर ले जाइए सो थ - फ एक तरह से क्या आ गया कांस्टेंट आ गया बेटा सो थ - 5 एक कांस्टेंट आ गया है जो भी कांस्टेंट आया है वो खराब सा आया है 2 टाइम्स न इवर्स 1 बा बट वो है कांस्टेंट क्योंकि मुझे पता है मैं डिफरेंशिएबल आउट होने ही वाला है जीरो होने वाला है डिफरेंशिएबल है देखो पुराने वेरिएबल थे एक्स एंडवा बट मैंने क्वेश्चन को थ फ में चेंज करके नए वेरिएबल थीटा और फई लेकर आ गया इंपोर्टेंट क्वेश्चन है स्पेशली बोर्ड्स के लिए और इसी प्रकार का यूज हो चुका है जेई के अंदर भी क्वेश्चन में डबल सब्सीट्यूशन का तो थीटा विद रिस्पेक्ट टू फ कर दिया तो ये हो जाएगा d थीटा / d फ -1 और कांस्टेंट का हो गया रो सो d थीटा / d फ हमारे पास आ गया है बेटा वन बट हमें तो कुछ और ही प्रूफ करना था हमें तो dydekop.org अगर मेरे पास x था सा थीटा तो पार्शियली डिफरेंशिएबल लो dx3 हो गया कॉस थीटा है ना और सिमिलरली y था सा फ y क्या था सा फ तोवा बाडी फ हो गया d वा बाडी फ हो गया कॉस फ ठीक है जी और हम लोग जानते हैं बाय यू नो पैरामेट्रिक डिफरेंस या चेन रूल कह लीजिए d को मैं लिख सकता हूं वा बायडी एक्स को क्या लिख सकता हूं बेटा इन दोनों का डिवाइड करके बेसिकली वा बाडी एक मेरा क्रिएट हो जाएगा तो दोनों को डिवाइड कर रहा हूं वा बाडी फवा बायडी फ अपॉन मेंडी एक्स बायडी थीटा कॉस फ अपॉन कॉस थीटा हो जाएगा करेक्ट तो यहां पर हो जाएगा यहां पर हो जाएगा वा बाडी एकस आ गया इन d थीटा / d फ d थीटा / d फ लिख लिया ऐसे d थीटा / d फ क फ / क थीटा अच्छा यह चीज तो वन है देखो यह चीज तो बेटा वन है d थीटा / d फ की वैल्यू तो वन है है ना स dy5 अप क थीटा और क को हटा देते हैं यहां से √1 - y स् √1 - x स् सो dydekop.org की जगह लिख लिया अंड √1 - y स् और सा फ की सॉरी क थीटा की जगह लिख लिया √1 - x स् तो हमारे पास जो है प्रॉब्लम सॉल्व हो गया है और हमारा प्रूफ भी हो गया है यही वाली टर्म प्रूव हो गई है देख रहे हो ना तो फास्ट हो गया अगर मैंने सब्सीट्यूशन की मदद ली अगर यही आप डायरेक्ट डिफरेंशिएबल आ जाता उससे भी बिल्कुल आ जाता दो-तीन पेज भर जाते यह वाला मेथड शॉर्ट है तो हमने क्या किया डबल सब्सीट्यूशन का फायदा उठाया यहां पे इस क्वेश्चन में डबल सब्सीट्यूशन किया x को भी y को भी ताकि दोनों के स्क्वायर रूट हट जाए और दो वेरिएबल लेकर आए अभी तक हम करते थे कि x को हटा के कोई थीटा ले आए यहां हमने x को हटा के थीटा लाए y को हटा के फ लाए वैसे ही कर दिया बिल्कुल जैसे हमने सिंगल वेरिएबल में किया था ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं तो इस तरह का सब्सीट्यूशन बहुत काम आता है जैसे कि यह सवाल एक ज का नहीं है बट इस प्रकार का भी बन सकता है थोड़ा सा इवर्स ट्रिग्नोमेट्री भी लग सकती है याद करो आप आपने आईटीएफ अभी रिसेंटली पढ़ा है मैंने आपको थोड़े दिन पहले करवाया था जिन बच्चों ने नहीं देखा लाइव में मैंने करवाया था देख लीजिएगा sin-1 3x - 4x क का वहां पे मैंने आपको फार्मूला बताया था राइट sin-1 3x - 4x क का ट्रिपल एंगल्स वाला बिल्कुल लास्ट ले लेक्चर के बिल्कुल एंड में बताया था इवर्स ट्रिग्नोमेट्री के कि इसकी भाई कुछ फॉर्मूले होते हैं स्पेशली x > 1/2 के लिए आपको एक ब्रांच बताई थी कौन सी होती है पा - 3 sin-1 x होती है तो अगर आप को याद है तो बहुत अच्छी बात है पा - 3 sin-1 x डायरेक्टली मैंने इसको इस्तेमाल कर लिया क्योंकि मुझे इवर्स ट्रिग्नोमेट्री में लर्न करना था मैंने आपको बोला था लर्न करिए करा नहीं आपने है ना तो यहां पे देखो काम आ गया y = पा - 3s -1 x डायरेक्ट हो गया फॉर x ग्र द 1/2 यही होती है ये वाली ब्रांच x > 1/2 के लिए ये होती है बस dydekop.org √1 - x स् होता है बेटा तो -3 / अ √1 - x स् राइट सो -3 / √1 - x स् ये हो गया आंसर बी ऑप्शन अब तुम बोलोगे सर हमें याद ही नहीं है तो हम कैसे ट्रिग्नोमेट्री से कर सकते हैं बिल्कुल कर सकते हो ट्रिगोनोमेट्रिक सब्सीट्यूशन से ही तो प्रूफ किया था य मैंने याद करो मैंने जो है यह वाली ब्रांचेस जब इस तरफ के डबल एंगल ट्रिपल एंगल के आपको प्रूफ कराए थे तो वहां ट्रिग्नोमेट्री की मदद से ही मैंने प्रूफ किया था तो ठीक है तो यहां पर हम क्या कहते हैं x को सा थीटा या फिर आप यह बोल लीजिए थीटा को सा इवर्स x मैंने मान लिया है x को सा थीटा क्यों 3 सा थीटा - 4 सा क थीटा हो जाएगा तो मेथड टू मैं अप्रूव से जा रहा हूं अगर जिन्हें ये फॉर्मूले लर्न नहीं है वो ये भी मेथड लगा सकते हैं तो y हो जाएगा हमारा सा इवर्स ट्रिग्नोमेट्री सब्सीट्यूशन से गया 3s थीटा - 4 सा क्यू थीटा हो गया sin3 थीटा अब देखो जल्दबाजी के काम यह होते हैं कि सा इवर्स और सा हटा दिया साइन इवर्स और साइन हटा दिया 3 थीटा रह गया मैंने तुम्हें बताया था ऐसा बेटा बेसिक एनसीआरटी के सवालों में हो जाता है बट जेई के क्वेश्चन में यह जो आपको रेंज दी हुई है इसकी मदद से हमें पता लगाना होता है कौन सी ब्रांच आएगी ठीक है तो यह डिटेल में कराया हुआ है प्रूफ इवर्स ट्रिग्नोमेट्री में वहां पर आप देख सकते हैं क्या लॉजिस थे बट अभी जल्दी से बता देता हूं क्या किस तरह से हम कर सकते हैं तो डायरेक्ट साइन इवर्स साइन नहीं हटाएंगे क्यों क्योंकि न x इज ग्रेटर दन हाफ यानी कि थीटा इज ग्रेटर पा बाय 6 है ना क्योंकि साइन इवर्स हाफ दोनों तरफ अगर साइन इवर्स लगा दोगे तो साइन इवर्स x इ ग्रेटर दन साइन इवर्स हाफ हो गया सान इवर्स x तो तुमने थीटा माना है और यह होता है पाई बा सि तो थ ग्रेटर दन पा बा सि यानी 3 थीटा ग्रेटर दन पाई बाटू आ गया तो अगर 3 थीटा पाई बाटू से बड़ा है तो भाई वो तो प्रिंसिपल रेंज में ही नहीं है ना साइन इवर्स की प्रिंसिपल रेंज में ही नहीं है तो आपको पहले क्या लिखना होता है इसको प्रिंसिपल रेंज में लाना होता है सा इवर्स सा पा - 3 थीटा हो जाता है इसको पाई - 3 थीटा लिखते हैं ताकि अब ये पा - 3 थीटा प्रिंसिपल रेंज में आ जाएगा तो अब आप सान इवर्स और साइन हटाते हो ये सब चीजें इवर्स ट्रिग्नोमेट्री में डिटेल में करी हुई है बेटा तो पा - 3 थीटा हो गया और थीटा की जगह वापस आपने सा इवर x डाल दिया तो वही चीज बन गई जो हमने याद करी हुई थी डायरेक्टली वो लिखी थी मैंने यहां पे मैंने एक तरह से उसको प्रूफ कर दिया प्रिंसिपल रेंज में लाने के लिए पा - 3 थीटा का इस्तेमाल अगेन जिसने ये बात पहली बार सीखी है आप लोगों को इतनी जल्दी समझ नहीं आएगा ये इसमें मैंने प्रॉपर टाइम लेके अ जो है इवर्स ट्रिग्नोमेट्री के लेक्चर में सिखाया है कैसे ये चीजें प्रूव होती हैं है ना तो वहां से आप करिए आपको आराम से चीजें बहुत डिटेल में क्लियर हो जाएंगी ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं एक थोड़ा जेई का क्वेश्चन भी करा दें भाई इसी तरीके का ट्रिग्नोमेट्री इवर्स ट्रिग्नोमेट्री से रिलेटेड कहीं आपको ये ना लग रहा हो कि सर बस अपने आप करवाए जा रहे हैं जेई में नहीं आते ऐसे बिल्कुल आते हैं बेटा इवर्स ट्रिग्नोमेट्री में डिफरेंस य देखिए 2021 का सवाल है 2021 का सवाल है f एक दिया साइन कॉस इवर्स अच्छा साइन कॉस इवर्स दिया हुआ है और अंदर भी जो है न माइनस स्क अपव प् t स्क्र फॉर्म का है तो फिर से यहां पर डबल एंगल वाला कुछ याद आ रहा है भाई कुछ याद आ रहा है आपको कि कॉस इवर्स कॉस इवर्स 1 माइनस स्क अपव प्टी स्क्वा होता है टेन इवर्स t जब t पॉजिटिव होता है यहां पे मान लो t दिमाग में क्या माना हुआ है 2 की पावर x को t माना हुआ है 2 की पावर x को मैंने एक तरह से t लेट किया है ताकि फंक्शन जो है बन जाए सा कस इवर्स 1 - t स् / 1+ t स् राइट और ऐसा क्यों बनाया है क्योंकि ये वाला फार्मूला मैं लगाना चाहता हूं t पॉजिटिव ही है क्योंकि 2 की पावर x तो पॉजिटिव ही होता है तो ये वाली ब्रांच इसकी लग जाएगी इसमें दो ही ब्रांचेस होती थी इवर्स ट्रिगो में मैंने पढ़ाया था आपको तो 2tan इवर्स t वाली ब्रांच लग जाएगी तो साइन ऑफ 2tan इवर्स t हो गया साट न इवर्स t हो गया है सा 2 t इवर्स t हो गया है राइट और अब हम क्या कर सकते हैं इसको sin2 थीटा का फार्मूला लगा देते हैं देखो sin2 थीटा का फार्मूला क्योंकि अगर न इवर्स t को मैं थीटा मान लू न इवर्स t को अगर मेरे दिमाग में चल रहा है थीटा मानना तो साट थीटा सा बन गया है ये साट थीटा होता है 2tan थीटा अ 1 + tan2 थीटा t थीटा की वैल्यू देखो यहां से t आ जाएगी t थीटा तुम्हारा यहां से t आ जाएगा राइट सो 2t अप 1+ t स् बन गया है और फाइनली t को भी वापस डाल देते हैं बेसिकली हमने क्या किया क इवर्स हटाया फिर सा भी हटाया तो अल्टीमेटली जो फंक्शन y है बहुत ही बढ़िया सा आ गया 2t 2 2 की पावर x अप 1+ t स् सो 1 प् 2 की पावर 2x यानी 4 की पावर x आप लिख सकते हो ये हमारा y फंक्शन बन गया है अब इसको बेटा डिफरेंशिएबल है एट x = 1 तो बस अब आपको कुछ भी नहीं करना इस फंक्शन को उठा के डिफरेंशिएबल करो आप लोगों का आंसर आएगा आपको कॉन्फिडेंस आएगा मैं भी कर रहा हूं तो y हो जाएगा y हो जाएगा बेटा हमारे पास हमारे पास जो है y हो जाएगा एक मिनट चलिए तो देखते हैं देखते हैं हमारे पास वा क्या हो जाएगा सोवा हो जाएगा हमारे पास 2 इनटू की पावर एकस अपॉन 1 प् 4 की पावर एक् और इसको d वा बायडी एक् अगर निकालना है वा बाडी एक निकालना है इसका होल स्क्वायर किया है ना u बावी रूल लगा रहा हूं ये टू तो कांस्टेंट है उसे नीचे रख लो टू को एक टू को इनटू डेरिवेटिव ऑफ 2 की पावर x हो गया 2 की पावर x ln2 माइनस माइनस 2 की पावर x कांस्टेंट इसका डेरिवेटिव हो गया 4 की पावर x ln4 करेक्ट ऐसा कुछ हो गया डिवीजन रूल मैंने लगा दिया है और अब आपको क्या करना है बेटा अब आपको इसमें कुछ भी नहीं करना x को उठा के वन डा ल देना है क्योंकि डेरिवेटिव कहां निकालना था x इव पर निकालना था चलिए तो x को न डालेंगे वा बाडी एक हो जाएगा हमारे पासवा बाडी एक हो जाएगा एकस को वन डालेंगे ट तो बाहर है यह हो गया 5 इन 2 इन ln2 माइनस है ना यह कितना हो गया एक् को वन डाला 2 इन 4 ln4 को लिख लिया 2 ए2 है ना 2 स्क्वायर करके ट आगे ले आए अपॉन में नीचे जाएगा बेटा 1 प् 4 यानी 5 का स्क्वायर तो वी विल हैव 2 इन 10 ए एट - 16 एल ए2 अपॉन में 25 तो -6 - 12 एल ए2 अपन 25 ऐसा कुछ हो गया है कंपेयर करेंगे माइनस बी बा एट है तो बी की वैल्यू हमारे पास 12 आ गई ए की वैल्यू बेटा 25 आ गई निकालना क्या था निकालना था ए स्क्वा माइनस बी स्क्वा का मोड तो अब आप बड़ी आसानी से निकाल सकते हो है ना तो मोड ए स्क्वा माइन बी स्क्वा हो जाएगा 25 स्क्वा माइनस 12 स्क्वा निकाल लो यार 625 में से 144 गया ठीक है भाई 481 481 बन रहा है चेक कर लेते हैं आंसर या आंसर हमारा सही है 481 बिलकुल सही आ गया है राइट ऐसे करना है बिल्कुल पेशेंस के साथ करो देखो क्वेश्चंस में यह नहीं कि जल्दबाजी मचा रहे हो हड़ तब में उल्टा सीधा काम कर रहे हैं वह नहीं करना है बेटा अपने को राइट जेई के पेपर में बस यही इंपॉर्टेंट है कांसेप्ट सबको आते हैं बस उसको अप्लाई करना है टाइम के अंदर और वह कर लोगे अगर रिवीजन वगैरह अच्छी तरह करोगे ख खूब प्रैक्टिस करोगे तो तुमसे भी बेटा इस तरह से क्वेश्चन सॉल्व हो जाएंगे हो जाएंगे राइट चलिए आगे बढ़ेंगे आगे बढ़ेंगे अब हम आ रहे हैं डेरिवेटिव ऑफ f विद रिस्पेक्ट टू डेरिवेटिव ऑफ फर्स्ट फंक्शन विद रिस्पेक्ट टू सेकंड फंक्शन इज इक्वल टू डेरिवेटिव ऑफ फर्स्ट अपॉन डेरिवेटिव ऑफ सेकंड बस देखो य लिखा है कि डेरिवेटिव ऑफ फर्स्ट फंक्शन विद रिस्पेक्ट टू सेकंड फंक्शन इ इक्वल टू डेरिवेटिव ऑफ फर्स्ट फंक्शन डिवाइडेड बाय द डेरिवेटिव ऑफ सेकंड फंक्शन जो जैसे कि मैंने अभी बोला कि डेरिवेटिव ऑफ मान लो साइ एक विद रिस्पेक्ट टू क x निकालना है तो आप क्या करेंगे सा x का डेरिवेटिव लेंगे और डिवाइड कर देंगे c x के डेरिवेटिव से च इज - सा x तो - cot2x और l x का डिवाइड कर देंगे 1 बा x तो x से स्क x बन जाएगा बेटा इसका डेरिवेटिव ये आ जाएगा डेरिवेटिव इस तरह का बन जाएगा ठीक है इजी तरीका है लर्न करने का ऐसा कैसे हो गया सर देखो हमें क्या करना है u u फंक्शन मान लेते हैं f को ठीक है डेरिवेटिव ऑफ fxxx.pro तो / d एक क्या हो जाएगा f एक हो जाएगा सिमिलरली अगर v g एक है तो d बाडी एक क्या हो जाएगा ड एक हो जाएगा इन दोनों को कर दो डिवाइड इन दोनों को कर दो डिवाइड ताकि य बाडी क्रिएट हो जाए सो डिवाइड करने से य बाडी आ जाएगा d एक d एक तो एक तरह से कट ही गए f एक अप g एक हो गया f एक अप g एक हो गया बेटा राइट तो प्रूव हो गया हमारा कि / dv3 साल में आया नहीं है इस पे पिछले पहले बहुत आता था जेई में फर्स्ट फंक्शन का डेरिवेटिव विद रिस्पेक्ट टू सेकंड फंक्शन इसको आप अच्छी तरह से करेंगे चांस है इस बार इस पे क्वेश्चन आने का ठीक है चलिए तो देखते हैं डेरिवेटिव ऑफ सेक इवर्स दिस विद रिस्पेक्ट टू दिस एट x = 1/2 ठीक है तो अब फर्स्ट फंक्शन का डेरिवेटिव निकालना है सेकंड के रिस्पेक्ट में और लास्ट में x को हाफ भी डाल देना है अब तुम देख ही रहे हो कि यार यह तो बड़ा खतरनाक हो जाएगा भाई ये तो बड़ा खतरनाक हो जाएगा क्योंकि अगर मैं डायरेक्ट डिफरेंशिएबल गया कि मुझे डायरेक्ट डिफरेंशिएबल कर लेना चाहिए क्योंकि सब्सीट्यूट करके x को सा थीटा या क थीटा डाल के ये तो अच्छा हो ही जाएगा और ये भी अगर मैं x को क थीटा डालूं सोचो तो ये 2 कॉस स्क्वा थीटा माइव बनेगा 2 कॉस स्क्वा थीटा माइव क्या होता है कटू थीटा ऊपर जाएगा सेट थीटा और यानी कि तुम्हारा से इवर्स से भी हट जाएगा करेक्ट करेक्ट तो हम क्या करेंगे x को कॉस थीटा हम सब्सीट्यूट करेंगे और इस फंक्शन को य मान लेते हैं या f एक बोल दो जो भी बोलना है f एक बोल दो उसको g एक बोल दो ठीक है जी तो f एक हमारा हो जाएगा से इवर्स 1 बाय 2 कॉस स्क्वायर थीटा माइव यानी कि सेक इवर्स से थीटा हो जाएगा से इवर्स सेट थीटा हो जाएगा करेक्ट से इवर्स सेट थीटा हो जाएगा बेटा से इवर्स सेट थीटा हो जाएगा अब क्या करेंगे अब क्या करेंगे भाई इसको भी निकालते हैं चलो पहले यह हमने फंक्शन g एक माना था g एक माना था √1 माइन x स् एक को इसमें भी बेटा कस थीटा डाल दो तो 1 माइन स्क्वा थीटा का रूट सा स् थीटा सा थीटा ही हो जाएगा मोड नहीं लगा रहा हूं क्योंकि यार x को हाफ डालना है हाफ पे थीटा वगैरह क थीटा वगैरह सब पॉजिटिव ही चल रहा है बिकॉज़ वी हैव टू बी कंसर्न विद x = 1/2 पे डेरिवेटिव निकालना है तो x 1/2 जब डालूंगा थीटा मुझे दिख रहा है पा / 3 के आसपास घूम रहा है मतलब पा / 3 ही है एक्चुअल में तो पा / 3 पे तो क थीटा पॉजिटिव वगैरह सा थीटा सब पॉजिटिव पॉजिटिव होता है मोड भी पॉजिटिव से खुल जाएगा बेटा पॉजिटिव से खुल जाएगा अच्छा अगर थीटा पा / 3 है तो 2 थीटा कितना है 2 पा / 3 तो क्या से इवर्स से डायरेक्ट हटा सकता हूं से इवर्स से तो हटा सकते हैं 0 से पाई तक तो हट ही जाता है प्रिंसिपल रेंज क्या होती है इसकी पाई तक होती है सर तो डायरेक्टली इसको मैं 2 थीटा लिख सकता हूं यही तो देखना है जल्दबाजी नहीं करनी है इन्हें हटाने की से इवर्स से हटा दिया नहीं कई बार क्योंकि जो रेंज एंगल दिया होता है याद करो x ग्रेटर द 1 हाफ वाला वो क्वेश्चन याद है कि नहीं इसमें हमें पा - 3 थीटा लिखना पड़ गया था प्रिंसिपल रेंज के अंदर ही आंसर देना है ये ऑलरेडी प्रिंसिपल रेंज तो f एक हो जाएगा हमारा 2 थीटा ू कॉस इवर्स एक्स 2 कॉस इवर्स एकस करेक्ट और जी एक् हो जाएगा साइन थीटा एक् हो जाएगा साइन थीटा तो अब आप यह भी कर सकते हो कि दोनों को थीटा के रिस्पेक्ट में भी लिखा रहने दे सकते थे दोनों को एक्स में ले आओ वापस जैसे करना है कर लीजिए कोई दिक्कत नहीं है तो मैं यह बोल रहा हूं कि भाई f एक् को आप एफ थीटा बना लो अब ठीक है एफ थीटा बना लो और उर जी थीटा बना लो कॉस थीटा ठीक है सॉरी साइन थीटा था साइन थीटा आया है और अब हमें क्या करना था इसका डेरिवेटिव विद रिस्पेक्ट टू इसका निकालना है एट x इक्वल टू हाफ ठीक है तो x इक्व हाफ मतलब थीटा पाई बा 3 डालना है एट एक्स इव हाफ एट एक्स इक्व हाफ थीटा इज पाई बाय 3 यहां से करेक्ट तो एफ ड थीटा क्या हो जाएगा हो जाएगा और जीड थीटा हो जाएगा कॉस थीटा तो डेरिवेटिव ऑफ दिस विद रिस्पेक्ट टू दिस आंसर में हो जाएगा हमारा एफ ड थीटा अपॉन जीड थीटा एफ ड थीटा हैट जीड थीटा है कॉस थीटा और थीटा को हम पाई बा 3 डालेंगे तो 2 अपन हाफ यानी कि आंसर फोर हो जाएगा बेटा आंसर क्या हो जाएगा फोर हो जाएगा ठीक है तो अब ये मैंने थीटा के फंक्शन बना लिया आपको लग रहा है नहीं सर हम इतना नहीं सोच पाएंगे हम वापस x का बना लेते हैं बना लो अगर आप x का बनाना चाहते हैं कोई दिक्कत नहीं है x का भी बना के कर देते हैं देखो fx9 था 2 थी थीटा को वापस डाला cos-1 x राइट तो दूसरा मेथड कर रहा हूं मैं अब fx2 cos-1 x एंड gx3 आया था sin-x को तो फिर ऐसे ही लिखा रहने दो √1 - x स् ही बन जाएगा फिर वो रव माइन x स् सान थीटा निकालो तो ऐसे ही तो आएगा करेक्ट तो अब हम डिफरेंशिएबल 1 माइनस बेसिकली इसको क्या लिख लिया मैंने 1 माइनस एक् स्क्वा की पावर हाफ लिख लिया एक्स की पावर ए वाला लगा रहा हूं तो यह हो जाएगा हमारे पास ट से टू कटा - एक अपॉन अंडर रूट ऑफव माइ एक स्क जीड एक्स हो गया हमें क्या करना था f एक् अप जीड एक् करना है इसको और इसको डिवाइड करना है बेटा तो एड एक्स अपन जीड एक्स क्या होता है -2 अपन रव माइन एक स् होल अपॉन माइनस एक अपन काफी कुछ कट गया ये कट गया इससे माइनस से माइनस कट गया तो 2 बा x बच गया 2 बा x बच गया बेटा x को हाफ डालना था तो आंसर वही फोर आया है जो मेरा यहां पे आया था बात सेम है यार बात सेम है कोई फर्क नहीं है बस आपको बस ये देखना है कि भाई इसमें मैंने थोड़ा सा ये है थीटा टा के टर्म में कर दिया ट्रिग्नोमेट्री लगा के कर दिया उसमें थीटा जब डाला सिंपलीफाई किया उसके बाद भी मैंने सब्सीट्यूशन के बाद वापस x के रिस्पेक्ट में कर दिया कोई फर्क नहीं है सब आंसर सेम आएंगे बिल्कुल अगर पेशेंटली करोगे और बिना गलती के करोगे केयरफुली तो आपके आंसर सही आएंगे तो यह हो गया डेरिवेटिव ऑफ वन विद रिस्पेक्ट टू सेकंड और उसमें भी सब्सीट्यूशन का इस्तेमाल हो गया चलिए एक और देखते हैं डेरिवेटिव ऑफ दिस न इवर्स के अंदर ये है विद रिस्पेक्ट टू x / 2 तो एक तो तरीका सीधा ही है भाई इसको डायरेक्ट कर दो x / 2 का तो हाफ होता है और दोनों को डिवाइड कर दो निकल आएगा डेरिवेटिव ठीक है बट अगेन थोड़ा सा तिकड़म बाजी लगाते हैं अगर मैं इस फंक्शन को रहा हूं t इवर्स sinx-cosx + क x यहां x मिस हो गया है ठीक है जी यह हो गया fxxx.pro डिवाइड कर दे इसे तो न इवर्स न एक माइव अपन न एक् प्व बन जाएगा य करेक्ट सही है ना कॉस से ऊपर नीचे डिवाइड कर दिया और यह लिखा हुआ है न ऑफ x माइनस पा बा फ न ऑफ एक्स माइन पा बा 4 लिखा है कि नहीं है अब ये देखो जिन्ह ट्रिग्नोमेट्री के फार्मूले लर्न नहीं है उन्हें दिक्कत आएगी अब यहां क्योंकि उन्हे पताही नहीं लगेगा सर ये कैसे लिख दे रहे हैं क्योंकि ये ट्रिगो के फार्मूला होता है बेटा स्टैंडर्ड t एक t माइ t बीव अपन 1 प् न एन बी जैसा बन जाएगा ठीक है अब क्या न इवर्स न डायरेक्ट हटा दूं उसके लिए प्रिंसिपल रेंज देखनी पड़ेगी जो x अगर 0 से पाई बाट है बेटा तो रफ में देख लेते हैं अगर x 0 से पाई बाट है तो x - पा बा 4 की देखनी है ना हमें तो रेंज हमें x - पा बा 4 की देखनी है तो इधर आ जाएगा पा बा 4 इधर आ जाएगा - पा बा 4 सो - पा बा 4 से पा बा फ रहेगी हमारी प्रिंसिपल रेंज इसकी प्रिंसिपल रेंज इसकी यहां रहेगी और वो तो इसी के अंदर होता है न इवर्स की प्रिंसिपल रेंज होती है - 5/2 से 5/2 उसी के अंदर है उसी के अंदर है तो बिंदास हम इसको हटा सकते हैं न इवर्स t हटा देंगे x - पा बा 4 बच जाएगा fxxx.pro नहीं सब्सीट्यूशन की मदद से हमने देखा कितना बढ़िया हो गया सब्सीट्यूशन भी नहीं मतलब ट्रिग्नोमेट्री की मदद से एड एक् आ गया जीड एक्स आ गया एड एक्स अपन जीड एक्स हमें निकालना है तो न अपन हाफ आंसर बेटा टू हो जाएगा इसका डी ऑप्शन होना चाहिए लेट्स चेक डी ऑप्शन हमारा आंसर हो गया ठीक है अच्छा था ना यह भी क्वेश्चन जे का क्वेश्चन है य भी जे का क्वेश्चन है ये भी वन फंक्शन का डेरिवेटिव विद रिस्पेक्ट टू सेकंड में कुछ नहीं करना है इंडिविजुअली डिफरेंट करिए और दोनों को डिवाइड कर दीजिए आपका डेरिवेटिव क्रिएट हो जाएगा चलो एक और देखते हैं जेई का 2020 का देखते हैं बिल्कुल ऐसे ही है सारे देखो इवर्स ट्रिग्नोमेट्री रूट वूट तो समझ आ गया कि इसमें सर एक तो सब्सीट्यूशन लगेगा थोड़ी सी ट्रिग्नोमेट्री लगेगी और इसका डेरिवेटिव अपॉन इसका डेरिवेटिव लगने वाला है x इ हाफ पर करिए एक बार पॉज करके मजा आएगा आपको स f एक फंक्शन जो है वो मुझे दिख रहा है न इवर्स √1 प् एक स् माइन अप एक पॉज करके सब लोग ट्राई करेंगे नहीं भी होगा कोई बात नहीं ट्राई तो करो ना एफर्ट तो मारो बेटा दो तीन मिनट तो दो आप अपने आप को टाइम दीजिए एकस को अगर मैं न थीटा डाल सकता हूं यहां पर लेट x इक्वल ट न थीटा क्योंकि न थीटा दिख रहा है वर्क करेगा सब्सीट्यूशन रूट हट जाएगा 1 प्स टेन स्क्वा थीटा सेक थीटा माइव अपन न थीटा साइन कॉस में चेंज न बाय कॉस तोव माइनस अपॉन साइन हो जाएगा बहुत बार ऐसी चीजें बनती है तो हम क्या करते हैं हाफ एंगल्स में चेंज करते हैं 2 साइन स्क्वा थीटा बाटू 2 साइन थीटा बाटू कॉस थीटा बाटू ठीक है भाई ऐसा कुछ हो गया 2 साइन थीटा बाटू पर नीचे से कट गया सो न इवर्स न थीटा बाटू बन जाएगा न इवर्स न थीटा बाटू बन जाएगा और जिसको मैं क्योंकि मैंने तो भा थीटा तो मेरा था है ना न इवर्स x को थीटा माना था मैंने न इवर्स x को थीटा माना था थीटा की प्रिंसिपल रेंज थी माइन पा बाट से पा बाट होती है भैया न इवर्स की रेंज तो थ बाटू की तो प्रिंसिपल रेंज में ही रहेगा भाई अगर थ प्रिंसिपल रेंज में है तो थ बाट तो प्रिंसिपल रेंज में रहेगा ही आधा है ना उसका और छोटा है तो यानी न इवर्स न हट जाएगा तो f एक हो गया थ बायट थीटा की जगह हम वापस न इवर्स x डाल लेंगे तो f एक हो गया न इवर्स x बाटू य हरा f एक फंक्शन जो है सिंपलीफाई होकर हमें मिल गया है करेक्ट सब्सीट्यूशन की मदद से f सिंपलीफाई कर लिया है अब हम आ जाते हैं इस पर जी एक प जी एक में भी हमें हम थोड़ी मेहनत करनी होगी दो क्वेश्चन मिक्स करके दे दिए हैं भाई जी एक जो है न इवर्स 2x अंडर रव माइ एक स् अपन 1-2 एक स्वार जल्दी से सोच के बताइए क्या सब्सीट्यूशन इसमें काम करेगा देखो रूट देख के समझ आ रहा है सर तो सा थीटा से जाओगे क थीटा तो यूज हो गया है चलो सा फ या क फ किसी भी एक चीज से चले जाओ सा फ से चले जाते हैं क्योंकि नीचे भी 1 - 2s स् पा एक अच्छा फार्मूला होता है sin2 फ का हो जाएगा डबल एंगल का ओ सॉरी cos2 फ का हो जाएगा है ना 1 - 2 सा स्क्वा थीटा होता है cos2 थीटा का ठीक है तो x को मैं सा फ डाल रहा हूं सा थीटा नहीं थीटा यूज कर लिया इसलिए तो g एक हो जाएगा न इवर्स 2 साइन फ कॉस फ अपॉन नीचे 1 माइनस ू साइन स्क्वा फ जो कि है हमारे पास साइनट फ अपॉन कॉस 2 फ न इवर्स नट फ g एक न इवर्स और न हट जाएगा क्योंकि सोच के देखो क्योंकि सोच के देखो हमने x इक्ट वैसे तो हाफ चल रहा है देखो हाफ चल रहा है और हाफ एक्यूट एंगल है एक्यूट एंगल है हाफ पा बा 3 है ना पाई बा 3 तो पा बा 6 सॉरी तो उसका डबल पा बा 3 ही होगा अभी भी प्रिंसिपल रेंज में ही है तो मैं उसको हटा सकता हूं बेटा न इवर्स न हट जाएगा 2 फ रह जाएगा तो 2 फ हो गया और फ की जगह यह हो गया 2 फ फ की जगह हम डाल देंगे सा इव x तो यहां से आ गया 2 सा इव x करेक्ट तो देख रहे हो f एक और g एक सिंपलीफाई करने में ही अपने आप में काफी सारी ट्रिग्नोमेट्री सब्सीट्यूशन लग गई अब हम इनको डिफरेंशिएबल है तो f ' एक fx1 + x स् इन 2 है ना ये वाला ू करेक्ट इसका भी निकाल लो जीड एक क्या हो जाएगा ड एक हो जाएगा 2 अपर √1 - x स् एक्स को हाफ भी डाल लो यार एक्स को हाफ डाल लेते हैं तो यह हो जाएगा 4 बा फ इनटू 2 बा फ हो गया 2 बा फ हो गया करेक्ट 2 बा फ हो गया इधर भी डाल लीजिए एक्स को हाफ तो 2 अपॉन तो 2 अपॉन 3 बा फ है ना तो रथ इन सो 4 बा √3 वहां से आ गया 4 बा √3 और f एक अप जीड एक करना है तो फाइनल आंसर क्या हो जाएगा इसका डिवीजन उसके साथ सो 2/5 अपॉन 4 बा √3 तो √3 बा 10 हो गया √3 बा 10 हो जाना चाहिए कोई ऑप्शन है बिल्कुल है सी तो है भाई चलो भाई ऊपर वाले का नाम लेके ऑप्शन देखें सी ऑप्शन बिल्कुल सही आ गया है वेरी गुड आ गया भाई करेक्ट तो ऐसे करना है आपको बेटा कोशिश ये रखनी है देखो हो सकता है आप जब कर रहे हो तो एरर्स आ रहे हो कुछ मिस्टेक कर रहे हो फार्मूला याद नहीं है इसीलिए तो प्रैक्टिस कर रहे हैं कर लीजिए जितनी आपको गलतियां भी करनी है करिए एग्जाम तक ताकि फ्लुएंसी आपकी आ जाए करेक्ट अच्छा क्वेश्चन था पूरा सराइज हो गया इसमें सब्सीट्यूशन वाला मेथड जो हमने आज पढ़ा है अभी मेथड ऑफ डिफरेंशिएबल यूजिंग सब्सीट्यूशन वाला टॉपिक हमने पूरा इसमें समरा कर लिया है एक क्वेश्चन में दोदो सब्सीट्यूशन लगा लिए चलिए आगे बढ़ेंगे आगे बढ़ेंगे अब हम आ रहे हैं भाई हायर ऑर्डर डेरिवेटिव्स पर इस पर आएंगे अब हायर ऑर्डर डेरिवेटिव्स ठीक है तो जैसे सिंगल डेरिवेटिव्स अभी हमने फर्स्ट डेरिवेटिव के ही करे हैं जितने भी क्वेश्चंस करे अभी फर्स्ट डेरिवेटिव के बट कई बार क्या होता है बेटा डबल डेरिवेटिव के क्वेश्चंस भी बहुत सारे जेई में पूछे जाते हैं डबल डेरिवेटिव का मतलब तुम समझते ही हो जैसे यार y अगर मान लो कोई फंक्शन है तो dy2 वा बा d एक स् का क्या मतलब हो जाता है फिर इसको कहते हैं हम f डड x देखो इसको हम y ड भी बोल देते हैं जैसे y होता है फंक्शन के लिए यूज y ' हो जाता है फर्स्ट डेरिवेटिव या y1 भी बोल देते हैं मतलब ये सब नोटेशंस है भाई चारों का मतलब सेम है कैपिटल d ऑफ y भी बोल देते हैं फर्स्ट डेरिवेटिव के लिए ये पांचों चीजें यूज हो सकती हैं d y dydekop.org डेरिवेटिव को आप लिख सकते हो d2 y / dx2 f डड x y डबल ड या y2 ऐसे लिख सकते हो सिमिलरली अगर y3 कर दूंगा तो d3 y / dx1 मतलब एक बार और डिफरेंशिएबल डेरिवेटिव तक y ट्रिपल ड या y3 भी हम उसे एंड सो ऑन यह कहानी चलती जाएगी ऐसा नहीं है कि कहां तक करेंगे वो तो क्वेश्चन पे डिपेंड करता है किसी क्वेश्चन में डबल तक पूछेंगे ट्रिपल तक पूछेंगे तो हम अकॉर्डिंग वो वाला कांसेप्ट लगा देंगे बेटा करेक्ट चलिए तो देखते हैं देखते हैं क्वेश्चन से ही करते हैं इसमें क्योंकि इसमें तो अब तुम्हें मैं एस सच क्या थ्योरी बताऊं थ्योरी बताने के लिए कुछ है ही नहीं इसमें इसमें तो सीधे बेटा आपको क्या करना है बस दो बार डिफरेंशिएबल सिट फंक्शन है और उसका डबल डेरिवेटिव निकालना है एट x = 0 डबल डेरिवेटिव निकालना है x इ 0 तो सीधा-सीधा क्वेश्चन है डबल डेरिवेटिव का तो क्या करेंगे बेटा हम जैसे करते आए हैं बिल्कुल वैसे ही करेंगे बस दो बार कर देंगे तो डिफरेंशिएबल लगा दिया राइट इनवा बाडी एक आएगा वा का डेरिवेटिव उसको वाव लिख दिया प्लस वा कांस्टेंट एक्स का तो वन ही हो गया क्या यह सही है चेक कर लीजिएगा क्या इतना सही है सही लग रहा है भाई अभी तक तो अभी तक तो सही लग रहा है चलिए तो अब इस एक्स प्वा को उधर ले जाता हूं ताकि क्योंकि एक बार और डिफरेंट करना ऐसे डिवीजन में तो बहुत ही खराब हो जाएगा तो 1 प् वाव इ 4 एक्स वाव प्वा इन एक्स प्वा यह मैंने इस तरह से लिख लिया और अब एक और डिफरेंस करता हूं बेटा एक बार और डिफरेंस करता हूं तो डिफरेंशिया जीरो y1 का हो गया y2 फोर कांस्टेंट अच्छा इसमें और इसमें फिर प्रोडक्ट रूल लगेगा भाई ये एक फंक्शन है यह एक फंक्शन है तो आप इसमें क्या करेंगे फिर से प्रोडक्ट रूल लगाएंगे तो एक वाव प्वा कांस्टेंट एक्स का डेरिवेटिव वन और वा का डेरिवेटिव dy1 कह देता हूं प्लस ये फोर तो बाहर ही कर लेता हूं और अब x + y को कांस्टेंट x + y को कांस्टेंट x y1 + y का फिर से इसमें अब डिफरेंशिएबल करना है ब्रैकेट्स का इस्तेमाल भी और क्वेश्चन भी मिस्टेक हो जाएगी छोटी सी भी तो पूरा क्वेश्चन गलत हो जाएगा यहां पे ध्यान रखिएगा चलिए तो अब हो गया आई थिंक अब तो क्वेश्चन ऑलमोस्ट सॉल्वड है y2 की टर्म क्रिएट हो गई है बट दिक्कत ये है कि अब हमें y2 निकालना था एट x = 0 तो ठीक है सर x को तो रो डाल देंगे जहां-जहां x दिख रहा है x को तो जैसे यहां रो डाल दूंगा यहां जीरो डाल दूंगा यहां भी जीरो डल जाएगा x तो एक तरह से थोड़ा सिंपल हो गया y2 हो गया फोर टाइम्स y1 * 1+ y1 प्लस ये तो y हो गया इन y1 प् y1 2 y1 हो गया तो प्रॉब्लम का विषय यह है कि ठीक है x तो जीरो डाल दिया y और y1 का क्या करें सर y और y1 से कहां से लाए ला सकते हो सोच के देखो सोच के देखो ला सकते हो भाई देखो y तो आ ही जाएगा x को जीरो डाले तो यहां से y तो मिल ही जाएगा सो पुट x इ 0 इन द गिवन इंपलीसिट इक्वेशन तो हमारे पास आ जाएगा ln0 प्वा इ 4 * 0 हो गया यानी एवा इ जीरो यानी y की वैल्यू तो वन हो गई तो जब x 0 है तो y क्या है बेटा y व है जब x 0 है तो y वन है ठीक है सर y भी वन डाल दंगे आपकी बात मान ली बट अभी y1 भी तो बचा हुआ है y1 का क्या करोगे सोचो थोड़ा दिमाग लगाओ हम y1 वाले रिलेशन में भी तो डाल सकते हैं यहां पर भी तो है ना हमारे पास इस रिलेशन का भी इस्तेमाल कर सकते हैं इसमें x को 0 y को वन डाल सकता हूं क्योंकि जब x 0 था तो y व था तो उस पॉइंट पे फर्स्ट डेरिवेटिव हमें मिल मिल जाएगा यहां पर क्या करेंगे पुट x0 एंड y = 1 तो 1 प् y1 = 4 x को तो रो डालना है 0 + 1 * 0 + 1 तो 1 प् y1 हो गया 4 यानी y1 उस जगह पर थ आ गया है यानी y1 को बेटा 3 डाल दो y को तुम वन डाल दो तो यहां पर बस अब आपको करना है सो y2 की वैल्यू बन जाए तो y2 के लिए बेटा यहां पर जब वैल्यूज डालेंगे एक छोटी सी यहां पर गलती मैंने करी हुई है देखो यह y था मैंने य y1 लिख दिया है तो दिस हैज टू बी y ओनली बिकॉज ये तो कट गया था जीरो हो गया था यहां सिर्फ y बचा था इन 1 प् y1 करेक्ट तो अब मैं क्या कह रहा हूं यहां पर बस आपको क्या करना है बेटा y की वैल्यू वन डालनी है और y1 की 3 तो डाल दीजिए बस 4 इन यहां पर न और यहां 3 प्व 4 तो 1 * 4 प् 1 * 2 * 3 1 * 2 न 3 तो 6 और च 10 हो गया 4 * 10 40 हो गया भाई आंसर जो है 40 होना चाहिए आंसर हमारा 40 बिल्कुल सही आ गया है ठीक है तो यह ऐसे करने आपको डबल डेरिवेटिव के क्वेश्चन बहुत पेशेंस के साथ करने जल्दबाजी नहीं मचानी है चलिए और देखते हैं अभी काफी सारे देखेंगे डबल डेरिवेटिव के तो इसलिए धीरे-धीरे आपको समझ आ जाएगा कैसे करने होते हैं चलो एक 2024 का भी देख लेते हैं 2024 के भी क्वेश्चन कर लेते हैं भाई वाई ए फंक्शन ऑफ थीटा दिया हुआ है हमें इस प्रकार का y एज अ फंक्शन ऑफ थीटा दिया हुआ है अच्छा ठीक है समझ गए y एज अ फंक्शन ऑफ थीटा दिया हुआ है और हमें क्या करना है ट थ = पा / 2 y डड + y ' + y की वैल्यू निकालनी है ठीक है ये तो ज्यादा मुश्किल नहीं लग रहा है बस एक ही बात है कि भाई इसको पहले सिंपलीफाई करना पड़ेगा क्योंकि ऐसे डिफरेंशिएबल तो चलो फिर भी हाथ पैर मार के कर लूंगा डिवीजन रूल लगा के बट उसको दोबारा करना पड़ेगा y डल ड के लिए सो क्लियर इंडिकेशन है कि प्रॉब्लम के अंदर भाई हमें ऐसे तो नहीं जाना वरना तो बहुत बुरा हाल हो जाएगा हमें इसको सिंपलीफाई पहले करना ही चाहिए करना ही चाहिए भाई सिंपलीफाई ठीक है तो अब एक दो बातें चल रही है दिमाग में पहली बात तो यह चल रही है कि डिनॉमिनेटर में देखो ट्रिपल एंगल भी है डबल भी है सिंगल भी है तो पहला तो ये लग रहा है यार सबको सिंगल एंगल में लेके जाता हूं शायद कुछ फैक्टर वेक्टर बन जाए और कट जाए कुछ ना कुछ राइट सो लेट्स ट्राई टू डू दैट cos3 थीटा जो डिनॉमिनेटर है उसे जरा रफ में अलग से कर लो कॉस 3 थीटा प्लस 4 कॉस टू थीटा 5 कॉस थीटा प् 2 जो लिखा हुआ है इसको जरा फैक्टराइज करते हैं कैसे कॉस 3 थीटा को लिख लेते हैं 4 कॉस क्यूब थीटा माइनस 3 कॉस थीटा करेक्ट ठीक है भाई और यह हो गया तुम्हारा यह हो गया तुम्हारा 4 कॉस टू थीटा को भी लिख लो कुछ 2 कॉस स्क्वा थीटा माइव है ना और हमारे पास क्या हो जाएगा हमारे पास मैं देख रहा हूं डायरेक्ट तो नहीं कट रहा ना नहीं हमारे पास क्या हो जाएगा 5 कॉस थीटा प्लसटू 5 कॉस थीटा इसमें से गया तो हमारे पास बन गया बेटा 4 कॉस क्यूब थीटा प्लस 4 इनटू कॉस स्क्वायर थीटा माइनस 1 और 3 कॉस थीटा उसमें से गया तो 2 कॉस थीटा बच गया और प्लस जो था प्लसटू जो था यह भी इस माइनस फ से कटेगा तो 4 कॉस क्यूब थीटा प्लस 8 कॉस स्क्वायर थीटा प्लसटू कॉस थीटा माइनस ू बेटा ऐसा कुछ बन जाएगा करेक्ट ऐसा कुछ तो बन रहा है भाई क्या अब यह फैक्टर हो पा रहा है कुछ क्या यह फैक्टराइज हो पा रहा है चेक कर लेते हैं क्या यह फैक्टराइज हो पा रहा है उसका जवाब हमें कैसे मिलेगा कॉस थीटा की कुछ वैल्यू कस थीटा को अगर मैं -1 डालूं तो कस थीटा -1 का मतलब -4 -6 -8 + 8 बिल्कुल क थीटा = -1 इसका फैक्टर है मैं बेसिकली क्यूबिक को फैक्टराइज कर रहा हूं तो क थीटा + 1 क थीटा + 1 तीन बार लिख लेता हूं ये क्यूबिक को शॉर्टकट होता है बेटा फैक्टराइज करने का है ना पता होना चाहिए आपको सो 4 क स्क्वा थीटा क्वाड्रेटिक क्यूबिक में बेसिक मैथ में आपको सिखाया जाता है आपको जैसे आता है वो भी कर सकते हैं मैं शॉर्टकट लगा रहा हूं 4 कॉस क प् 4 कॉस स्क्वा प्लस 4 कॉस यहां पर लिखूंगा ताकि 4 कॉस स्क्वा और 4 कॉस स्क्वा मिला के 8 कॉस स्क्वा हो गया 4 कॉस थीटा माइट लिखूंगा और अब यह पूरा बन गया कॉस थीटा प्व कॉस थीटा प्व कॉमन तो 4 कॉस स्क्वा थीटा प्स 4 कॉस थीटा -2 जो है बन गया है हमारे पास ऐसा कुछ बन गया है करेक्ट ऐसा कुछ ब बन गया है ू भी कॉमन वैसे तो आ रहा है 2 भी कॉमन आ रहा है तो 2c स् थीटा + 2c थीटा - 1 2 क स् थीटा -1 होता है cos2 थीटा इन दोनों को मिला के क्या लिख लो cos2 थीटा क्योंकि मुझे न्यूमरेशन में वैसा ही दिख रहा है cos2 थीटा + 2c थीटा बन चुका है बेटा न्यूमरेशन की टर्म बिल्कुल बढ़िया से क्रिएट हो गई है देख लो तो y एज अ फंक्शन ऑफ थीटा को मैं क्या लिख सकता हूं जो न्यूमरेशन है और जो डिनॉमिनेटर को मैंने फैक्टराइज किया 2 * 1 + क थीटा * cos2 थीटा + 2c थीटा देख रहे हो ना ट्रिग्नोमेट्री का क्वेश्चन है एक्चुअली पूरा का पूरा कैंसिल आउट हो गया ये वाला टर्म पूरा का पूरा कैंसिल आउट हो गया है बेटा है ना तो y देखो कितना इजी हो गया y हमारा आ गया y जज अ फंक्शन ऑफ थीटा 1 / 2 1 प् कॉस थीटा को और 2 कॉ स्क्वा थीटा बा 2 लिख लो मतलब करना चाहो कर लो नहीं तो कोई दिक्कत वाली बात तो है सच है नहीं आप चाहो तो वैसे भी छोड़ दो ऐसे ही छोड़ दो 1/2 1/2 * 1 प् क थीटा की पावर -1 ऐसे लिख लिया डिफरेंशिएबल फाई हो चुका है देख लीजिए अब हम इसमें क्या करेंगे बस अब तो डिफरेंशिया भाई पहले तोवा निकालना है थीटा को पाई बाटू डाल देता हूं तोवा तो निकल गया थीटा को पाई बाटू कॉस पा बाटू 0 1/2 थ और अब हम वा ड निकालते हैं वा ड मतलब डिफरेंशिएबल से थीटा को पाई बाटू डालेंगे कॉस थीटा पाई बाटू मैंने इसीलिए हाफ में चेंज नहीं किया था क्योंकि मुझे दिख रहा था यार क थीटा जीरो होता जाएगा थीटा को जैसे ही मैंने देखा पाई बाटू है इसलिए मैंने हाफ एंगल में नहीं ले गया था तो यहां पे जो है हमने डिफरेंशिएबल भी लगेगा क्योंकि 1 + क थीटा का डेरिवेटिव - सा थीटा भी बेटा आएगा राइट सो y ' थीटा हमारे पास हो गया है माइनस और हाफ माइनस कट गया 1/2 * 1 + क थीटा की पावर -2 इंटू में सा थीटा हो जाएगा अब थीटा को डाल दो 90 अब थीटा को बेटा 90 डाल दो थीटा 90 डाला तो ये वन हो गया ये रो हो गया तो आई थिंक हाफ आ गया है सो y ' की वैल्यू तो हाफ आ गई है तुम्हारी वा ड की वैल्यू बेटा हाफ आ गई है करेक्ट वाड हमारे पास हाफ आ गया है चेक कर लीजिएगा अब हमें वा डबल ड भी निकालना है इसमें दोबारा डिफरेंस पूरा करना पड़ेगा तो वा डबल ड हाफ तो बाहर कर लिया इस बार यह वाला कांस्टेंट यह वाला कांस्टेंट इनटू कॉस थीटा प्लस है ना हाफ तो बाहर है हाफ तो बाहरी है और साइन थीटा कांस्टेंट इसके डेरिवेटिव में आ जाएगा -2 -2 * 1 प् कॉस थीटा की पावर -3 इंटू में - सा थीटा और आ जाएगा तो सा स्क्वा थीटा हो जाएगा राइट चेन रूल का क्योंकि माइनस सा थीटा फिर से आएगा इतना देख लीजिएगा आई थिंक सही लग रहा है यहां तक तो अब हमें फिर से क्या करना है कस थीटा को जीरो डालना है सा थीटा को वन डालना है सो y डबल ड हमारे पास हो जाएगा देखिए y डबल ड क्या हो गया ऊपर लिख देता हूं y डबल ड बस एक ही लाइन बची है अब 1/2 इन ये वन ये भी वन सो 1/2 * 1 प् सा स्क्वा 1 ये 2 तो 2 ये हो गया बेटा यह क्या हो गया हमारे पास ये हमारे पास आ गया है हाफ तो बाहर था एक बार चेक कर लेते हैं भाई दोबारा से हाफ यहां पर था इसकी पावर -2 सा थीटा का डेरिवेटिव कस थीटा और प्लस इसकी पावर माइनस -2 बाहर आया था -2 बाहर आया था है ना और -2 बाहर आया था उसकी पावर -3 इनटू सा थीटा और साइन थीटा साइन स्क्वा थीटा हो गया है ठीक लग रहा है भाई अभी तक तो यहां तक तो सही लग रहा है यहां तक तो हमारा सही लग रहा है अब हमें क्या करना है अब हमें अच्छा एक छोटी सी चीज मैंने यहां पर गड़बड़ कर दी है इसको कॉस थीटा तो जीरो है ना तो यह वाली टर्म तो एक्चुअली जीरो हो जाएगी जीरो हो जाएगी राइट वही मुझे लग रहा था आंसर कोई मैच नहीं कर रहा फाइनल आंसर सो जीरो हो गई और 1/2 * 2 ये व वन हो गया बेटा तो y डबल ड तुम्हारा वन हो गया y डबल ड वन हो गया y ड तुम्हारा हो गया हाफ ये हो गया हाफ और यह भी तुम्हारा हाफ हो गया तो हाफ प्लस 1/2 1 + 1 2 हो गया है सी ऑप्शन आ रहा है बेटा वो पहले मुझे रिलाइज हुआ ऑप्शन मैच ही नहीं हो रहा है करेक्ट तो फाइनल आंसर आ गया कैलकुलेशन में थोड़ा बस आपको ध्यान रखना है और तो इसमें कुछ भी खास नहीं है ट्रिग्नोमेट्री प्लस कैलकुलेशंस चलिए आगे बढ़ेंगे डबल डेरिवेटिव का क्वेश्चन हमने कर लिया है अब देखो डबल डेरिवेटिव में ना पैरामेट्रिक बड़ा इंपॉर्टेंट है तुम्हें याद होगा अभी सिंगल डेरिवेटिव में तो पैरामेट्रिक कराया था मैंने जब फंक्शन पैरामेट्रिकली डिफाइंड होता है जैसे यहां x और y t के टर्म्स में डिफाइंड है जैसे याद करो एक बहुत एक दो तीन क्वेश्चन तुम्हें कराए थे इस प्रकार के पैरामेट्रिक डिफरेंशिएबल था सो dy1 dx1 / d / dx1 d फर्स्ट डेरिवेटिव में तो यह रूल लग जाता है अब कुछ लोग क्या करते हैं सेकंड डेरिवेटिव में भी यही रूल लगा देते हैं कि भाई पैरामेट्रिकली डिफाइंड है और सेकंड डेरिवेटिव निकालना है तो पहले ही याद रख लेना यह गलती आप कभी नहीं करेंगे कि d2 y / dx2 को भी सर d2 y / d थ स् / d2x / d स् कर देंगे बिल्कुल गलत है भाई चेन रूल जो होता है सिर्फ फर्स्ट डेरिवेटिव्स के लिए होता है सेकंड डेरिवेटिव में ऐसे नहीं लगता है यह बिल्कुल बिल्कुल गलत है यह बिल्कुल गलत है कभी भी ऐसा नहीं करना है आपको ध्यान रखना है तो क्या करना है सर देखते हैं तो करना वही है आपको फर्स्ट डेरिवेटिव से ही स्टार्ट करना है मतलब dx1 तो निकालो 3 से स्क t है ना 3 t t का हो गया 3 से स्क t और कर लीजिए dydekop.org हमेशा फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव ही निकालो ग बेटा ठीक है मिस्टेक यह मत करना कभी भी यह अलाउड नहीं होता डबल डेरिवेटिव में तो क्या करना है वी हैव टू गो बैक टू द बेसिक्स कि भाई डबल डेरिवेटिव का मतलब क्या है देखो सिंगल डेरिवेटिव को एक बार और डिफरेंशिएबल क्या होता है d2 y / dx2 का मतलब होता है कि आपने dydekop.org 2x एक बार उसे और डिफरेंशिएबल रहा है यही मेन स्टेप है क्योंकि बेटा विद रिस्पेक्ट टू x चल रहा है यहां पे c t तो आया है साथ में / क्योंकि हमें किसके रिस्पेक्ट में करना है विद रिस्पेक्ट टू x तभी तो d 2y / dx1 बा dx1 बा dx2 बा dx1 है इसका रेसिप कल कर दो सो हमारे पास आ गया d2 d2 वा बा d एक स् इधर लिख रहा हूं तो d2 वा बा d एक स् हो गया क t न 3 से स्क्वा t लिख लो नीचे लिख लिया 3 से स्क t राइट इसका रेसिप प्रोकल नीचे लिख दिया मैंने नीचे अब इसको तो ऊपर ले जाओ सो क क्यूब t बाय 3 हो गया सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव हमारे पास निकल कर आ गया कोई फॉर्मूला नहीं है फर्स्ट ऑर्डर को दोबारा डिफरेंशिएबल है सो t को पा बा 4 डाल दीजिए तो क पा बा 4 1 बा √2 का क्यूब अपन 3 तो 1/6 √2 हो जाना चाहिए ऐसा कोई ऑप्शन है 1/6 √2 डी ऑप्शन हमारे पास आ गया है ठीक है तो ऐसे क्वेश्चंस जेई में आते हैं बहुत बार यह देखिए जेई का क्वेश्चन है 2019 का कि पैरामेट्रिकली जब आ रहा है ठीक है तो आपको डबल डिफरेंशिएबल रहना है हमेशा ध्यान रखना है कि बताया गया था भाई कि हम फर्स्ट से ही जाएंगे डबल डेरिवेटिव डायरेक्ट नहीं बनाएंगे पहले फर्स्ट बनाएंगे और उसको फिर से डिफरेंशिएबल आ चुका है इस प्रकार का भी जे में बहुत सिमिलर डाटा के साथ x दिया हुआ है t के रिस्पेक्ट में y दिया हुआ है t के रिस्पेक्ट में d 2y / dx2 निकालना है t = पा / 2 जल्दी से ट्राई करिए आप लोग भी ट्राई करिए मैं भी कर रहा हूं ऐसा कुछ हो जाएगा करेक्ट ऐसे ही y के रिस्पेक्ट में भी डिफरेंशिएबल रहा हूं सो 2 कटी माइनस 2 कॉस 2t तो टू कॉमन क t माइ कॉ 2t हो जाएगा करेक्ट ऐसा कुछ हो जाएगा और फाइनली अब इन दोनों को डिवाइड कर देता हूं तो ताकि d वा बा d एक हो जाएगा दिस अपॉन दिस तो टू कट गया कटी माइनस कॉस 2t अपॉन साइन 2t माइनस साटी ऐसा कुछ हो गया और अब डिवाइड क सी माइनस कडी लगा दो क सी माइन कॉडी लगा दो स 2 साइन सी प् d बाटू साइडी माइन सी बाटू है ना और नीचे सान सी माइन साइडी होता है 2 कॉस प् बा 2 सा सी - d बाट देखो अगर ट्रिगो के फॉर्मूले लर्न ही नहीं है फिर कोई फायदा नहीं है बेटा कैलकुलस करने का अपने बेसिक चैप्टर तो आप लोगों से हो गए होंगे वेक्टर 3d और वो सारे 12थ के जो मैंने मैट्रिस डिटरमिनेट बिना ट्रिगो के बट कैलकुलस में मान के चलो आपसे दिक्कतें बहुत आएंगी अगर आपने ट्रिग्नोमेट्री अच्छी तरह नहीं पढ़ा है तो 11थ के पोर्शन में ट्रिग्नोमेट्री कराया गया होगा वह आप कर लीजिए वहां से आप अच्छी तरह से कर लीजिए d वा बा d एक हमारे पास आ गया सा 3t बाट क 3t बा मतलब t 3t बा 2 t 3t बा 2 बेटा आ गया है और अब दोबारा डिफरेंशिएबल डेरिवेटिव निकालने के लिए इसको विद रिस्पेक्ट टू x कर देंगे डिफरेंशिएबल से और इन ये टर्म अगर भूल गए तो दिक्कत हो जाएगी क्योंकि विद रिस्पेक्ट टू x है dt1 dx2 से स् 3t / 2 और dt2 t - सा t करेक्ट सही है चेक कर लीजिएगा सही है आई थिंक अब तो बस क्वेश्चन हो गया है t को हमें 5/2 डालना है तो 3 2 इन से स्क्वा 3 पाई बा 4 और नीचे आ जाएगा साइन 2t का मतलब हो गया साइन पाई माइनस साइन पाई बाटू एक टू भी था इसके बाहर एक टू भी था राइट यह वाला चलिए वैल्यू डालते हैं यह तो सान पा तो जीरो होता है ये वन होता है से 3 पा बा 4 √2 होता है मतलब माइनस रट का स्क्वायर र ही हो गया सो 3 बा 2 2 * -1 * 2 हो जाएगा इन 2 हो जाएगा बेटा वो और एक 2 2 कट गया सो - 3/2 - 3/2 बन गया आंसर आंसर बन गया बेटा - 3/2 राइट ऐसे करना है डबल डेरिवेटिव पैरामेट्रिक आ जाए यही आपको फॉलो करना है मेथड चलो एक लास्ट इनफैक्ट यही सेम सिमिलर सा ही सवाल है देखो 2020 में भी आ गया है मैंने आपको बोला था आया था सेम क्वेश्चन देखो बस यहां 2 क 2 सा था उधर पहले 2 सा साइ उधर 2 क हो गए अब आप ये वाला बिल्कुल खुद से कर लीजिएगा लास्ट में बस थीटा को पाई डालना है जैसे मैंने अभी थीटा को पा बा 2 डाला था इस वाले में जेई के इस क्वेश्चन में अब थीटा को अपने को पाई डालना है तो दिस इज गोइंग टू बी योर होमवर्क बिल्कुल ही सेम है अब इसमें बार-बार क्या कर रहा हूं सेम क्वेश्चंस इसलिए आपको मैं होमवर्क में दे रहा हूं कर लेना भाई अभी कर लो पॉज करके बेस्ट तो यही है 3 मिनट का टाइमर लगाओ 4 मिनट मैक्सिमम और आंसर निकालने की कोशिश करो चलो आगे बढ़ते हैं भाई डबल डेरिवेटिव में अब हम दूसरी चीज एक और करेंगे डबल डेरिवेटिव्स में अब एक और चीज करेंगे जो है सब्जेक्टिव क्वेश्चन इस तरह के प्रूफंग के अब तुम बोलोगे सर प्रूफंग के बोर्ड्स में तो ठीक है आ जाएंगे बट जेई में कैसे आएंगे बताऊंगा अभी जेई में भी किस तरह से ये कांसेप्ट यूज होता है तो पहले हम यहां पे देखते हैं एक क्वेश्चन ये है वेरी वेरी फेमस क्वेश्चन ऑफ एनसीआरटी और बहुत इंपॉर्टेंट है क्योंकि इसका ट्रिक अगर आपको नहीं पता हुआ खुद से सोच पाना एग्जाम में बैठ के थोड़ा मुश्किल हो जाता है राइट तो क्वेश्चन क्या है अच्छा तो फर्स्ट डेरिवेटिव का ये खैर सेकंड डेरिवेटिव भी नहीं है फर्स्ट डेरिवेटिव ही है dydekop.org करना है कोई नहीं तो इसमें ट्रिक क्या है बेटा देखो वैसे तो हम ऐसे क्वेश्चंस में क्या करते हैं जनरली हम इंपलीसिट डिफरेंशिएबल है डिफरेंशिएबल यह है कि जो टर्म लानी है वो नहीं आएगी अगर आप ऐसे ही डिफरेंशिएबल ऐसे लिख दूं बराबर x ठीक है x एज अ फंक्शन ऑफ y बना लिया है मैंने और अब मैं अगर डिफरेंशियली टर्म कुछ बनने के चांस है दैट इज द ओनली ट्रिक यहां पे क्या करना है जनरली हम d बाडी एक निकालते हैं बट यहां dx1 और इस पूरे में डिवीजन रूल लगा देंगे क स् a + y क a प्वा हो गया इंटू में कवा का डेरिवेटिव - सावा माइनस माइनस कसवा कांस्टेंट और क a प्वा का हो गया - सा a + y ठीक है जी डिवीजन रूल लग गया और अब थोड़ा सा सिंपलीफाई देखिए न्यूरे में क्या लिखा है न्यूमरेशन को अगर आप ध्यान से देखें सा थीटा क फ - क थीटा सा फ जैसा लिखा है न्यूमरेशन में फार्मूला बन गया बेटा सान इसको थीटा मान लिया इसको फ तो सा थीटा कस फ माइनस कस थीटा सा फ तो सा ऑफ a प्वा - y सा थीटा - फ बन गया है y से y कट गया सो dx1 हमारे पास निकल कर आ गया है d एक बा d आ गया है सा a अपन सा a अप क स्क a प्वा बस अब तो d बा d एक के लिए रेसिप कल कर दो सो dydekop.org क्वेश्चन बन सकता है ना यहां पे ट्रिक प बना के आगे अब आप सीधे इसको डबल डिफरेंशिएबल भी अभी देखो सोचना मुश्किल है ना ये वाला खुद से खुद से सोचना मुश्किल है क्योंकि ट्रिक अगर नहीं पता हुई तो आप नहीं कर पाएंगे कि हम जनरली विद रिस्पेक्ट टू x करते हैं यहां हमने x का फंक्शन एक्सप्लिसिट बनाया y के टर्म्स में और dx-data-grid समझ आ गया कि भाई डिवाइड करें डिवीजन रूल लगाएंगे तो v स्क्वा बनेगा और रेसिप कल ले लेंगे तो वो ऊपर भी चले जाएगा चलो भाई यह भी हो गया हमारा अब हम इसी तर तरह के एक सवाल और प आते हैं ठीक है अब इसमें कैसे ऑब्जेक्टिव में भी ऐसे सवाल बन सकते हैं देखिए हायर डेरिवेटिव्स प देखते हैं अ तो y एक फंक्शन दिया है एक्सप्लिसिट है y इन टर्म्स ऑफ x ही है हमें इस चीज की वैल्यू निकालनी है इंटी जर टाइप क्वेश्चन है x x स् y3 ् 3x y2 अप y3 y2 y1 मतलब समझ गए होगे थर्ड ऑर्डर डेरिवेटिव तक जाना है अब देखो जनरली जो इसकी अप्रोच पहली थॉट माइंड में आती है वो ये सर y3 निकालू y1 y2 निकाल के यहां वैल्यू डालूंगा नहीं उतना लेंथी नहीं ऐसे नहीं करने होते ये क्वेश्चन डायरेक्ट ये रिलेशन देखना हम क्रिएट करेंगे y1 y2 y3 में कैसे अगर मैं इसको डिफरेंशिएबल य तो कांस्टेंट है तो - ए सा ए x और l एक का डेरिवेटिव / x भी आएगा चेन रूल से और b साइन का हो जाएगा प् बी क ए x इन 1 बा एक भी हो जाएगा x को बेटा क्रॉस मल्टीप्लाई कर दीजिए डायरेक्ट क्योंकि अब दोबारा डिफरेंशिएबल से तो यह जो x आया है उसे उधर लेके चले जाओ बस यही ट्रिक है x वाव इज माइ a सा ए ए x प् b क ए ए x ठीक है जी और अब दोबारा डिफरेंशिएबल सो xy2 हो जाएगा इधर प्रोडक्ट रूल लगा रहा हूं + y1 कांस्टेंट x का व हो गया और - a क ए ए x अपॉन x हो जाएगा और माइनस बी सा ए एक अपॉन में x हो जाएगा x को बेटा क्रॉस मल्टीप्लाई फिर से कर दो और माइनस कॉमन ले लीजिए a कॉस ए ए एक तो देखो इसमें क्या ट्रिक है बेसिकली कि अब हमने जब दो बार डिफरेंशिएबल जो ओरिजिनल फंक्शन से हमने स्टार्ट किया था बेटा यह देखिए a कॉस ए एक प् बी सा ए तो बन गया तो एक्चुअली यह चीज वापस से हमारी क्या बन गई है y बन गई है बेटा यह चीज वापस से वा बन गई है देख लो तो x एक्वाट प्वा 1 इक्वल टू माइनस ऑफ वा बन गया है बेटा माइनस ऑफ वा बन गया है करेक्ट ये था ट्रिक कि हमने क्या किया डेरिवेटिव्स और में वापस एक रिलेशन निकाल लिया तो अब इसको x स् खोल भी दो x स्वाट प् एक्वा 1 प्वा इ 0 हो गया और एक बार अब और डिफरेंशियली एक स् y3 प् 2x y2 प्रोडक्ट रूल लगा इनमें इनमें भी प्रोडक्ट रूल लगेगा xy2 प्स y1 और y का फिर से y1 हो जाएगा बेटा तो x स्वा 3 प्स 2 एकस और एकस 3 एक्वाट प् 2 वाव बराबर 0 देखिए कुछ बना क्या कुछ बना क्या हमारा x स्वा 3 प् 3 एक्वाट एक स् y3 प् 3 एकवा 2 देखिए हमारे पास जो है बन चुका है आई थिंक हमारे पास बन गया है बन गया है भाई एक मिनट सही है तो हमारे पास क्या बन गया एक स्वा 3 प्स 3 एक्वाट इ -2 वाव बन गया वाव से डिवाइड कर दो तो वाव से डिवाइड कर देंगे तो इस चीज की वैल्यू -2 आ गई है बेटा नट आ गई है चेक कर लीजिएगा जरा -2 आ गई है राइट इजी था कोई ज्यादा मुश्किल तो इसमें है नहीं कैलकुलेशन बस चेक कर लेना आंसर क्योंकि मेरे पास है नहीं इसका आई थिंक यहां पर सही करा होगा चेक कर लीजिएगा एक बार चलिए तो यह हमारा डायरेक्ट आंसर -2 आ गया तो ऐसे क्वेश्चन ना जेई में आ चुके हैं बहुत इंपॉर्टेंट है डेरिवेटिव्स के बीच में रिलेशन जैसे यहां पे देखिए y की पावर 1 बावा की पावर 1 बा ये एक इक्वेशन दी हुई है और यहां पे बेटा एक रिलेशन क्रिएट करने को बोला है y2 और y1 में एक रिलेशन क्रिएट करने को बोला गया है करेक्ट बिल्कुल वैसा सही क्वेश्चन है बस पिछले वाले में क्या था बहुत डायरेक्ट हो गया था क्योंकि सीधे डिफरेंशिएबल फंक्शन बन गया था दो बार डिफरेंशिएबल नहीं होगा जैसे कि इस क्वेश्चन में एक छोटा सा ट्रिक है कि पहले हमें क्या करना पड़ेगा बेटा देखो y की पावर 1 बा m प् y की पावर -1 बा m = 2x है तो एक तरह से क्वाड्रेटिक जैसी दिख रही है अगर मैं y की पावर 1 बा m को कुछ माइंड में मान लूं k है ना या अल्फा कुछ भी मान लो तो ये 1 बा अल्फा लिखा हुआ है सो लेट y की पावर 1 बा m = अल्फा तो अल्फ + 1 बा अफ = 2x ये आप एक तरह से क्वाड्रेटिक सॉल्व कर सकते हो तो अल्फ स् + 1 = 2x अफ सब कुछ लेफ्ट में ले जाओ अल्फ स् - 2 अ x - 2x अल्फा + 1 = 0 और यहां से बेटा ये क्वाड्रेटिक सॉल्व कर लो जरा अल्फा के लिए - b + - √ b स् - 4ac / 2a ठीक है 4 में से बाहर आएगा 2 तो 2x + - 2 √ x स् - 1 / 2 2 2 2 कट गया है बेटा सो अल्फा आ गया x + - √ x स् - 1 है ना भाई और अल्फा को y की पावर 1 बा m वापस डाल देता हूं अल्फा तो ये माना था तो y टू द पावर 1 बा m हो जाएगा x + √ x स् - 1 और x - √ x स् - 1 देख लीजिए कोई सा भी ले सकते हो दोनों में से तो मैंने क्या किया एक तरह से y को सॉल्व ही कर लिया ना y को मैंने क्या किया सॉल्व ही कर लिया पावर 1 बा m चाहे उधर लेके पावर m कर दो कोई फर्क नहीं पड़ता उससे उससे कोई फर्क हमें नहीं पड़ता है तो कोई सा भी एक ले लेता हूं सपोज ये या फिर ये हम इसको ले रहे हैं सोवा इक्वल टू एक् प्स अंडररूट एक् स्क्वा माइव की पावर ए हो जाएगी आप दूसरा भी ले सकते हो कोई दिक्कत परेशानी वाली बात नहीं है चलिए तो अब मैं इसको लेकर डिफरेंशिएबल की पावर कांस्टेंट है तो m बाहर x + √ x स् - 1 की पावर m - 1 हो जाएगी और चेन रूल की वजह से इस पूरे का डेरिवेटिव भी तो x का हो गया व उसका हो गया 1/2 √ x स् -1 * 2x है ना जी और एलसीएम ले लेता हूं उधर तो m इधर आएगा तो √ x स् + 1 -1 + x / √ x स् - 1 हो जाएगा अब अगर आप न्यूमरेशन देखेंगे बेटा तो देखिए ये वाली पावर सॉरी m -1 थी और ये पावर उसी चीज की वन है देखो नीचे बेस तो सेम बन गया ना बेस तो बेटा सेम बन गया है यानी कि हमारी टोटल पावर फिर से m हो जाएगी ये देखो टोटल पावर m -1 और व ऐड होके m हो जाएगी तो y1 बन जाएगा m इसकी पावर m अपॉन र एक स् - 1 करेक्ट और इतनी चीज जो बनी है टोटल पावर m जो बन गई है इसको उठा के आप वापस क्या रख सकते हो y रख सकते हो बेटा ये चीज ही तो y थी ये देखो यही चीज y थी माइनस वाला ले लेते तो भी सेम हो जाता बिल्कुल सेम हो जाता अल्टीमेटली हमारी इक्वेशन बन जाएगी y1 = m अप र एक स् - 1 राइट y1 और y में फिर से रिलेशन आ गया वापस से y क्रिएट किया हमने इस क्वेश्चन में भी वही हुआ है देखो डिफरेंट करने के बाद वापस वा आ गया इसमें दो बार डिफरेंशिया था ट इज द होल ट्रिक हेयर ठीक है अभी आंसर नहीं आया है प्रूफ जो करना है उसमें टू तक जाना है और देखो टू के साथ यह मल्टीप्ला है x स् माइव तो क्लियर इंडिकेशन है स्क्वेयर बोथ साइड करके क्रॉस मल्टीप्लाई करता हूं क्योंकि रूट नहीं चाहिए कहीं पर भी रूट नहीं है देखो तो स्क्वायरिंग बोथ साइड्स करता हूं तो y1 स्क्वा इन x स् - 1 क्रॉस मल्टीप्लाई भी कर दिया स्क्वेयर करके क्रॉस मल्टीप्लाई कर दिया m स्क्वा स्क और अब एक बार और डिफरेंशिएबल से भाई y1 स्क्वा का डेरिवेटिव क्या होगा 21 इनटू डेरिवेटिव ऑफ y1 इज y2 चेन रूल और राइट साइड में m स्क तो कांस्टेंट है y स्क का हो जाएगा 2y इन dy1 क्या ये सही है चेन रूल लगाया क्योंकि विद रिस्पेक्ट टू बेटा x करना है चलिए अब क्या होगा देख लीजिए तो ट तो कट गया ू तो कट गया y1 भी कट गया अगर आप ध्यान से देखो एक y1 भी कट गया तो x y1 प् x स् - 1 इन y2 इ m स्वा हो जाएगा प्रूव हो गया आई थिंक x वाव प् x स् - 1 इन y2 = m स्वा बेटा प्रूव हो गया है राइट अच्छे क्वेश्चन है ये सब बोर्ड में भी इंपॉर्टेंट है और जे में भी इंपोर्टेंट है ऑप्शन बना के दे सकते हैं इक्वल टू के के टाइम्स y तो के की वैल्यू बताओ ऐसे कुछ करके तो के की वैल्यू m स् हो जाएगी ऐसे कुछ करके बनाया जा सकता है क्वेश्चन ठीक है भाई इंपॉर्टेंट क्वेश्चन वेरी इंपॉर्टेंट क्वेश्चन क्वाड्रेटिक बना के हमने सॉल्व किया चलिए एक और देखते हैं अब जे का ही देख लेते हैं ऐसा ऐसा क्वेश्चन जे का देख लेते हैं देखो l एवा = 3 सा इव x और ये ये ये निकालना है x इ 1/2 देखो फिर से एक डबल डेरिवेटिव वगैरह में एक रिलेशन बनाया हुआ है डबल डेरिवेटिव वगैरह में एक रिलेशन सा बनाया हुआ है ठीक है हां ये देखना पड़ेगा ये सिंगल डेरिवेटिव है डबल डेरिवेटिव वी विल सी चलिए इधर देखते हैं इधर देखते हैं भाई क्वेश्चन क्या है एवा इक्टू 3 साइन इवर्स x अच्छा समझ गए समझ गए तो पहली बात तो माइंड में य आ रही है कि हम डिफरेंट कर देते हैं डायरेक्ट एवा का हो गया व बावा वाव 3 साइन इवर्स एक्स का हो गया 3 अपन अंडर रव माइन एक स् है ना ये हो गया क्रॉस मल्टीप्लाई भी कर लेता हूं वाव इनटू दिस इज 3 वा और स्क्वायरिंग बोथ साइड भी कर लेता हूं क्योंकि य स्क्वेयर नहीं है बिल्कुल सेम लॉजिक अब हम डिफरेंशिएबल ड मतलब टू तक पहुंचना है तो डिफरेंशिया -2 एक प्लस - x स्क्वा कांस्टेंट y1 स्क्वा का हो गया 2 y1 * y2 और 9वा स् का हो गया 18y * y1 सही है सही है क्या चेक कर लीजिएगा 2 से 2 गया और इधर से भी नाइ बचेगा नाइन बचेगा y1 भी बेटा एक पूरा जाएगा ये y1 गया ये y1 गया एक इधर से y1 जाएगा सो वी विल हैव क्या बचा देखो ध्यान से देखना एक - x y1 - एक्सवा 1 प्व माइ एक स् इन y2 ठीक है जी इक्वल्स टू इक्वल्स टू 9वा बच गया देखो 9वा बच गया करेक्ट क्योंकि 18 में से टू तो गया था ू तो काट दिया और y1 कट गया तो 9वा हमारे पास बच गया है ना तो एट x इ हाफ इसकी वैल्यू डालनी है तो एक्चुअली देखो यही चीज बन गई 1 माइ एक स्वाट - एक्वा य एक्स वाव है आई थिंक है ना एक्स वाव बन गया एट एक्स इ हाफ तो नावा हो गया एक् इ हा पवा निकाल लो तो एट एक् इक्व हाफ इस इक्वेशन में डालेंगे सो ए एवा हो जाएगा 3 साइन इवर्स हाफ तो ए एवा हो गया 3 पाई बाय स तोवा हो गया e की पावर पाई बाटू तोवा की पावर पाई बाटू होगा हमें इसमें डालना था तो यानी नावा यानी आंसर में हमें 9e की पावर पाई बाटू मिलना चाहिए 9e की पावर पाई बाटू मिलना चाहिए बी ऑप्शन हमारा सही है ठीक है भाई तो यह यहां पे एक्स्ट्रा डैश आ गया था य डैश नहीं है सिर्फ सिंगल डैश है वहां पे उससे हमारा आंसर आ गया है ठीक है अच्छा क्वेश्चन था बिल्कुल सेम लाइंस में जो मैंने तुम्हें अभी सब्जेक्टिव क्वेश्चन कराया प्रू विंग वाला बिल्कुल वैसा ही क्वेश्चन दे दिया है ऑब्जेक्टिव सवाल बना के बिल्कुल ही सेम अप्रोच लग रही है देखो यहां पे बना स्क्वायर क् डिफेंट किया बिल्कुल सेम चीज इस सवाल में हमने करी थी बस उसमें यह था थोड़ा मुश्किल ज्यादा था क्योंकि यह सब क्वाड्रेटिक क्वाड्रेटिक का भी चक्कर था वहां पर उन्होंने बहुत सिंपल सा फंक्शन दे दिया जो एक बार में डिफरेंशिया चलो आगे बढ़ते हैं भाई एक और इसी प्रकार का देखें 2022 में भी देखो आया हुआ है करते हैं एक बार कॉस इवर्स y बाटू इज एल ए एक् बा 5 की पावर 5 अच्छा समझ रहे हैं समझ रहे हैं ठीक है तो एक बात तो मुझे दिखाई दे रही है देखो अगर मैं कस इवर्स में ही ऐसे ही रखूं तो कस इवर्स के डेरिवेटिव में 1 अपन अंडर रूट वाली टर्म आएगी वैसी टर्म कोई है नहीं भाई वैसी कोई भी टर्म नहीं है कि 1 माइवा स् की टर्म कोई दिख रही हो ऐसी कोई टर्म नहीं है तो मेरे माइंड में चल रहा है एक तो फव पहले आगे ले आता हूं है ना वही क्वेश्चन बस एक ही होता है कि पहले सिंपलीफाई करें या डायरेक्ट डिफरेंशिएबल और इधर भी फ को आगे ही ले जाओ फालतू में कंफ्यूजन होगी एन एक बा 5 और अब मैं कॉस इवर्स को हटा के उधर कॉस कर देता हूं बेटा सोवा बाट इक्वल टू कॉस ऑफ 5 ए ए एक बा 5 हो जाएगा अब तुम बोलोगे सर हम कैसे सोचेंगे देखो दो तरीके से मैंने सोचा यह बात पहला तो यह कि कस इवर्स के जो डेरिवेटिव में आता है वो मुझे कहीं दिख नहीं रहा है पिछली बार मुझे वो दिख रहा था भा इवर्स के डेरिवेटिव में ये आता है तो स्क्वायर करके ये वाली टर्म मुझे दिख रही थी राइट दिख रही थी 1 - x स् इसलिए मैंने सा इवर्स इसमें से नहीं हटाया था हटाने को आप हटा भी सकते थे उससे भी सॉल्व हो जाता क्वेश्चन करेक्ट बट अप्रोच मैंने वो क्यों ली इसलिए ली बट मुझे यहां पे वैसी कोई टर्म दिख नहीं रही है ऑप्शन में तो मैंने कहा यार हटा लेता हूं पहला रीजन तो ये दूसरा रीजन ये कि मेरे को पता है अभी इसको दो बार जब डिफरेंशिएबल का पूरा पूरा चांस है है ना भाई सो y = 2 उधर ले जाओ 2c 5l n x / 5 यह जो फंक्शन है मुझे दिख रहा है दो बार डिफरेंशिएबल निकालना इजी रहेगा मेरे लिए चलिए करते हैं तो y1 डिफरेंशिएबल ए ए का डेरिवेटिव होता है 1 अप x बा 5 और एक 1/5 और आएगा क्योंकि चेन रूल x बा 5 का भी डेरिवेटिव लगेगा देख लीजिएगा देख लीजिएगा भाई सही लग रहा है मुझे तो सही लग रहा है है ना तो अब इस x को भी इधर ले जाओ सो एकस वाव हो गया माइन 5 * 2 10 सा 5 ए ए एक बा 5 देख लीजिए है ना अब एक बार और डिफरेंशिएबल रूल लगेगा फाइव टाइम्स ln5 और इं 1/5 बिल्कुल सेम लॉजिक से वापस से वही टर्म क्रिएट हो गई है है ना और 10 में से पाच अलग करो 5 प 25 और टू टाइम्स कॉस वापस से तुम्हारा फंक्शन बेटा y बन गया य देखो टू टाइम्स कॉस क्या था वापस से फंक्शन था तो मेरी इक्वेशन बन गई एक्वाट प्वा 1 ठीक है जी माइनस 5 5 25 और ू कॉस वाली टर्म बन गई वा और जो नीचे एक था वो क्रॉस मल्टीप्लाई होकर इधर आ गया है वो इधर बेटा आ गया है इधर बेटा वो आ गया है करेक्ट चलिए अब दोबारा दोबारा डिफरेंशिएबल डेरिवेटिव तक ही जाना था ट्रिपल तक तो जाना ही नहीं है डबल तक ही जाना है तो लेट्स सी x स् y2 प् एकवा 1 प् 25 वा बराबर 0 x स्वाट प् x वाव x स् y2 + x y1 + 2y सारे प्लस में आ रहे हैं डी ऑप्शन मेरा तो आ रहा है लेट्स चेक डी आंसर हमारा बिल्कुल सही है ठीक है देख रहे हो ना कैसे कर रहा हूं मैं तुम्हारे सामने ही है कि क्या थॉट प्रोसेस लगा रहा हूं क्यों मैंने इसमें क इवर्स पहले हटाया ताकि वो टर्म मुझे दिख नहीं रही या फिर दो बार डिफरेंशिएबल सकते थे तुम्हें लग रहा है सर यहां नहीं हटाया आपने हटा ले भाई थ्र नीचे ले आ साइन ले आओ कोई दिक्कत नहीं है कोई प्रॉब्लम नहीं है बट वहां पे y ऑलरेडी मिला हुआ है ना इसलिए ज्यादा इजी था मेरे लिए वो करना और यह टर्म भी मुझे दिख रही थी बनेगी जो साइन इवर्स के डेरिवेटिव में आती है इसलिए मैंने वह सब नहीं किया चलो आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं भाई एक देखिए यह वाला क्वेश्चन 2022 का फिर से सिमिलर पैटर्न में देखो चार ऑप्शन डबल डेरिवेटिव सिंगल डेरिवेटिव में रिलेशन निकालना है हमको रिलेशन क्रिएट करना है चलो करते हैं करते हैं भाई अच्छा प्रॉब्लम है ये भी तो से एक क माइ 10x कू एक्स क्यूब एंगल है बेसिकली और एकस क्यूब इसके बीच में है ठीक है तो एक काम करते हैं थोड़ा सिंपलीफाई तो करना ही पड़ेगा डायरेक्ट कौन डिफरेंशिएबल लगाता हूं कौन सा फार्मूला 1 माइनस साइन थीटा का देखो फार्मूला होता है एक कस थीटा बाटू माइन साइ थीटा बाटू होल स्क्वा ट्रिग्नोमेट्री का यह वाला फ फूला इस्तेमाल कर रहा हूं बेटा 1 माइ सा थीटा का फार्मूला ठीक है तो करते हैं कॉस थीटा बाट मतलब क x क बा 2 - सा x क बा 2 का होल स्क्वायर नीचे भी कस स्क्वायर थीटा माइनस साइन स्क्वायर थीटा हो जाएगा कटू थीटा का फार्मूला क स्क्वा माइन साइन स्क्वा हो गया बेटा चलिए अब क्या करेंगे कुछ कटा भाई क थीटा माइ सा थीटा इसमें इसमें a स् - b स् लगाओगे एक क थीटा माइ सा थीटा कट जाएगा क x क बा 2 ऐसा बहुत होता है मैथ्स में सान थीटा और नीचे कॉस थीटा प्लस सान थीटा बन जाएगा ठीक है जी क से डिवाइड भी कर लेता हूं ताकि 1 - t अप 1 प् t बन जाए तो t इवर्स 1 माइनस न एक्स क्यूब बाटू अपॉन 1 प्स न एक्स क्यूब बायट हो जाएगा ठीक है जी स न 45 माइनस थीटा का फार्मूला बन गया 1 माइनस न थीटा अपव प्स न थीटा क्या होता है न पाई बाय फो माइनस एक्स क्यूब बायट न इवर्सन हटा सकता हूं फिर से वही बात सर प्रिंसिपल रेंज में है तो हटा लेना सर एक क की तो दी है तो x क / 2 की निकालता हूं देखो इसकी रेंज निकालनी पड़ेगी मुझे x क की रेंज दी है 5/2 से लेके 3 पा / 2 तो x क / 2 की हो जाएगी पा / 4 से लेके 3 पा / 4 माइनस भी लगाना है इसमें तो - x क / 2 की हो जाएगी साइन ऑफ इनिक्वालिटी चेंज पूरे को माइनस से मल्टीप्लाई कर रहा हूं 5/4 उधर ले गया और इसमें मुझे अब 5/4 ऐड करना है पूरी इन क्वालिटी में पाई बाय फ ऐड करना है ताकि यह बन जाए तो पाई बा फ माइ 3 पाई बा फ पाई बाय फ माइनस एक्स क्य बाटू सीधे नहीं हटाना है भाई तो यह बन गया माइनस पाई बाटू और यह हमारा बीच का एंगल जो भी इस एंगल को तुम अल्फा बोलना चाहते हो और यह बन गया जीरो तो अल्फा की रेंज माइनस पाई बायट से जीरो आ रही है जो कि प्रिंसिपल रेंज के अंदर न इवर्स की प्रिंसिपल रेंज क्या होती है माइन पा बाट से पा बाट तो क्लियर प्रिंसिपल रेंज में यानी ये मैं सीधे-सीधे एज इट इज हटा सकता हूं बेटा तो न इवर्स न हट जाएंगे हमारे पास जो फंक्शन बचेगा यह बन जाएगा हमारा फंक्शन वावा की वैल्यू सिंपलीफाई हुई है भाई अभी तो अभी तो इसमें ट्रिग्नोमेट्री लग केवा सिंपलीफाई हुआ है अब हमें डिफरेंशिएबल क्यूब बाटू है अब तो आई थिंक हो जाएगा तो y1 हो जाएगा इसका जीरो - 3/2 एक् स्क्वा डबल डेरिवेटिव हो जाएगा -3x ट्रिपल तक तो नहीं जाना नहीं डबल तक ही जाना है और अब देखो डायरेक्ट रिलेशन कैसे निकालो आप डायरेक्ट तो आएगा नहीं भाई ये सिंपल आ ही गए y1 वाटू पहले क्या होता था डायरेक्ट रिलेशन कब आता था जब भाई दो बार डिफरेंशिया वापस से बन गया यहां पर कैसे बनेगा वो क्यूबिक सेट स्क्वायर स्क्वायर से लीनियर बन चु चुका है तो अब हम वैल्यू डालने के सिवा कोई और ऑप्शन हमारे को दिखाई नहीं दे रहा है जैसे a ऑप्शन में डालें अगर x y डड + 2y ड x y डल ड + 2y ' x * y डबल ड का मतलब हो गया -3x + 2 * है ना जी 2 से 2 गया -3x स् और -3x स् यह तो ज़ीरो बना ही नहीं ये तो जीरो नहीं बना ए ऑप्शन तो गलत हो गया ए ऑप्शन तो गलत हो गया ठीक है सर ऐसे कब तक डालूंगा डाल लो यार अब क्या करें और तो कुछ और चारा है ही नहीं हमारे पास x स्क्वा डबल ड यह वाला तो नहीं आ रहा एक्सवा डबल ड इ 4y ड एक्सवा डबल ड की वैल्यू आई थी ये 4 वा ड की वैल्यू 6 आई थी नहीं वो भी नहीं आ रहा तोडी तो नहीं आ रहा है बी और सी बचे हैं बस 3 पा और 3 पा बा 2 का फर्क है तो इस वैल्यू बस निकाल लेता हूं देखो और अपने आप समझ आ जाएगा सो एक्स स्वा डबल ड एक्स स्क्वा डबल ड माइनस 6वा की वैल्यू निकाल लेता हूं तो एक्स स्क्वा डबल ड का मतलब माइनस 3 एक्स 6 पा बा फ माइनस एक्स क्य बाटू तो माइन 3 एक्स कब माइन 6 पाई बाय फ प्लस 3x क यह दोनों कट गए तो -3 पा / 2 बना इसे काटने के लिए + 3 पा / 2 मौजूद होना चाहिए था जो कि बी ऑप्शन में मौजूद है इसलिए हमारा ऑप्शन बेटा बी हो जाएगा हमारा आंसर क्या हो जाएगा बी होना चाहिए भाई देख लो बी आ गया है उतना भी लेंथी नहीं है कहीं तुम सोचो अरे सर चारों में डालेंगे क्या जरूरत ही नहीं पड़ी थोड़ा दिमाग लगाया तो पहला रिजेक्ट हुआ सेकंड डी भी हो गया और बी और सी में सिमिलर सी टर्म है उसके हिसाब से मैंने कर दिया बेटा उसके हिसाब से मैंने कर दिया चलिए तो ये अच्छा क्वेश्चन हो गया बढ़िया क्वेश्चन है सारे सारे क्वेश्चन में आप देख रहे हो वही सब्जेक्टिव वाली डबल डेरिवेटिव की अप्रोच लग रही है इन सब ऑब्जेक्टिव सवालों में चलिए आगे बढ़ते हैं एक अब मैं तुम्हें ऐसा ही होमवर्क दे रहा हूं देख लीजिए डबल डेरिवेटिव ही है 2020 का है y स्क ए ए कॉ स्क्वा और यहां वाड 0 वा डबल ड 0 में एक रिलेशन निकालना है मतलब डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल डालना है दोनों में ताकि y ड 0 और y डबल ड 0 तुम्हें मिल जाए तो कर लोगे आप बहुत सारे करा दिए एक जैसे इसलिए अब आप ये वाला होमवर्क में कर लेना चलो आगे बढ़ते हैं भाई आगे बढ़ते हैं एक यह भी होमवर्क में दे रहा हूं इस प्रकार का यह तो खैर हां ये भी डबल डेरिवेटिव में है देखो सीधा-सीधा ही क्वेश्चन है ये तो f एक 0 है फॉर x0 और f एक ये है फॉर नॉन जीरो डबल डेरिवेटिव जीरो पे डबल डेरिवेटिव सब निकालना है तो आई थिंक तुम कर लोगे थोड़ा सा इसमें डिफरेंशिएबल भी लग ी डबल डेरिवेटिव इस फंक्शन को डबल डिफरेंशिएबल है कांस्टेंट दी हुई है 41 ठीक है समझ गए और एव दिया है 40 एफ डव दिया है ू एफ डबल डव दिया है 4 तो साफ समझ आ रहा है तीन इक्वेशन बनानी है सर हमें तो एव का मतलब हो गया एकस को व डालेंगे एव का मतलब हो गया ए प् बी प् सी प् 41 यह दिया है मुझे 40 एव क्या दिया था 40 तो ए प् बी प् सी हो गया माइव हो गया -1 हो गया ए प् बी प् सी करेक्ट अब जरा f ' एक निकालता हूं डिफरेंशिएबल c यह वाला हमारा हो जाएगा ठीक है f एक अब हमें इसमें भी वन डालना है क्योंकि f-1 का मतलब होता है डिफरेंशिएबल मैंने कुछ महान लोगों को देखा है एड का म मतलब सर f1 को डिफरेंशिएबल ेंट करके एक्स को वन डालोगे तो f एक को डिफरेंट कर लिया है अब एक्स को वन डाल दो बेटा तो एव हो जाएगा 3a प् 2 बी प्लस सी इसकी वैल्यू टू दी गई है इसकी वैल्यू टू दी गई है राइट और लास्ट इक्वेशन बनाने के लिए ए डबल डव दिया है मतलब एक बार और डिफरेंशिया और अब एक्स को वन डालो तो एफ डबल डव हो जाएगा 6a प् 2 बी जिसकी वैल्यू बेटा फर दी गई है उड़ा दो सब में से सो 3a प् बी इ 2 आ गया यह हो गई थर्ड इक्वेशन एक दो तीन तीन इक्वेशन तीन अननोन ए बी सी जो है बेटा सॉल्व हो जाएगा बस अब तो बस यह क्वेश्चन बन गया है जल्दी से पॉज करो भैया अभी तक नहीं किया है तो अब इसको करिए जल्दी कंप्लीट कैसे करें सर देखो एक प्स ् c को -1 यहां पुट कर दो ना तो 2a प् बी इसमें से एक अलग करा एक भी अलग किया तो 2a प् बी प् ए + b+ c या सबकट कर दो एक ही बात है दोनों इक्वेशन को फर्क नहीं पड़ता तो इतनी चीज की वैल्यू मैं -1 डाल रहा हूं 2a + बी -1 = 2 2a + बी = 3 ठीक है मैं कह रहा था सबकट भी कर देते तो यही मिलता तुम्हें 2 - 1 कर देते सेम मिल जाता c हटा रहा हूं बेसिकली अब यह तो यहां यूज़ कर लो इन दोनों को सबट कर लो है ना भाई क्योंकि इन दोनों को सबट करते ही b कट जाएगा तो 3 - 4 3a - 2a a b - b गया 3 - 2 1 तो a तो व आ गया a तो हमारा बेटा वन आ गया a को जैसे ही यहां डालूंगा तो b भी वन आ गया a को डाला तो b भी वन आ गया भाई एक सेकंड a को वन डाला तो बी तुम्हारा एक मिनट यार सॉरी मैंने कुछ गड़बड़ कर दिया यहां पे 3 - 4 किया है ना तो 3 - 4 किया तो 3a माइ ब भी गया और 2 - 3 -1 आया भाई a a क्या आया है -1 आया है -1 डालेंगे तो बी 5 आ जाएगा -1 और 5 अब देख लीजिए आई थिंक अब सही है ठीक है पकड़ में आ गई कैलकुलेशन मिस्टेक वही और लास्ट में अब सी भी निकल जाएगा माइनस प् 5 प् सी इ माइव तो सी की वैल्यू माइनस पा हो गई ए स्क प् बी स्क्र प् सी स्क्वा निकालना है ए स्क्वा हो गया न बी स्क्वा हो गया 25 स्क्वा भी हो गया 25 तो आंसर जो है 51 आ रहा है मेरा तो 51 आ गया बिल्कुल सही आ गया आंसर हमारा 51 आ गया करेक्ट चलिए तो यह एक अच्छा क्वेश्चन हो गया देख लीजिए आप आराम से कैलकुलेशन ही थी मतलब इसमें ज्यादा कुछ दिमाग लगाने का था ही नहीं अब इसी प्रकार का एक बहुत इंटरेस्टिंग क्वेश्चन आता है जेई में जो थोड़ा सिमिलर सा है नॉट एगजैक्टली सेम बट हर साल आ रहा है बेटा इस टाइप का क्वेश्चन जो मैं अब आपको करवाने जा रहा हूं 2023 का करवा रहा हूं 2024 में भी आया है 2022 में भी आया है आपके पेपर में भी फिर से दिखेगा यह तो ध्यान से सुनिए किस टाइप का क्वेश्चन है तो इस क्वेश्चन में क्या है कि f एक के अंदर -1 जीड -2 यह सब दिया हुआ है और जी एक के अंदर f1 f ड एक f डब ड एक् ये सब दिया हुआ है तो तुम्हें एक बात समझनी है कभी भी मैं f ड f1 कह दूं जैसे f1 f1 इज अ कांस्टेंट जैसे यहां भी हुआ था f1 वाज अ कांस्टेंट f-1 इज आल्सो अ कांस्टेंट क्योंकि आपने क्या किया डिफरेंशिएबल डव f ड डट ये सब क्या वैल्यूज है ये सब कांस्टेंट वैल्यूज है बेटा ठीक है तो जब भी आपके पास ऐसा क्वेश्चन आ जाए कि अंदर ये सब फंसा हुआ है तो आप इनको एक कुछ कांस्टेंट ए मान लीजिए हमेशा कांस्टेंट मान के ही शुरू करें a और b जैसे बता रहा हूं प्लीज वैसे ही करें इजस्ट अप्रोच है वो तो fx2 + ax2 क्या हो गया x स् + a + b क्वाड्रेटिक फंक्शन सा दिख गया ठीक है जी अच्छा अच्छा अब मैं क्या करूंगा f ' x मुझे वहां चाहिए अभी तो इसको डिफरेंशिएबल ड भी चाहिए तो एफ डबल ड एक्स हो गया 2 और अब इनको यहां पर बेटा पुट कर लूंगा ए डबल ड एक्स को डाल दूंगा ू इस एड एक्स को डाल दूंगा 2 एक् प् ए करेक्ट और एव को क्या डाल दूंगा ए1 को तो मैं डाल दूंगा यहां से एव यहां से निकल जाएगा एव तुम्हारा यहां से क्या निकल जाएगा 1 प् ए प् बी इसको भी उठा के य डाल देना करेक्ट इसको भी उठा के यहां डाल देना तो सेकंड फंक्शन में भी सिर्फ दो ही अननोन्स रह गए a और बी g एक हमारा g एक हो जाएगा 1 + a + b एक स् प् x * 2x + a + 2 करेक्ट इस प्रकार का हमारा फंक्शन बन गया सेकंड वाला तो अब सवाल यह है सर a और b कहां से लाए क्योंकि जब तक a और b नहीं मिलेगा f4 - g4 कैसे मिलेगा है ना तो अल्टीमेटली क्वेश्चन इ कि तुम्हें ए और बी सॉल्व करने हैं जो तुमने माने हैं कांस्टेंट्स ये दोनों इनको तुम्हें सॉल्व करना है ये था a ए क्या था जी डव बी क्या है जी डबल डट ठीक है तो ए क्या है लिख लेते हैं यहां पे डव और बी है बेटा जी डबल डट तो यहां से निकल जाएगा वो तो इसको डिफरेंशिएबल x स् का 2x हो गया ये 2x स् है 2 एक स् का फिर से 4x हो गया और यह a एक् है a एक् का तो ए हो गया और ू का तो जीरो ही हो गया डिफरेंशियल हो गया 2 * 1 प् ए प् बी 4 एक का हो गया 4 का हो गया जीरो करेक्ट तो यह आ गया हमारे पास 2a + 2b ् 4 और दो 6 और यह चीज हमें कितनी दी गई है बेटा b दी गई है तो इस चीज को तो b कर देता हूं एक इक्वेशन बन गई देखो तो 2a + b = एक ब कट गया -6 एक रिलेशन ऊपर वाले से भी मिल जाएगा भाई यहां पे x को वन डाल देता हूं क्योंकि मुझे ' 1 चाहिए देखो यहां प टू चाहिए था बट य तो कांस्टेंट ही आया ना उसम क्या हीट डालूंगा कांस्टेंट में x तो है ही नहीं ना बट यहां x है तो एक को वन डाल देते हैं डव हो जाएगा 2 नव प् ए प् बी प् 4 प्स ए राइट एक्स को मैंने वन डाल दिया क्योंकि जीड व बनाना था तो सिंपलीफाई करके क्या हो गया भाई सिंपलीफाई करके यह बन जाएगा चार और दो 6 2a + a 3a + 2b और ये बराबर हमें क्या दिया हुआ था a के बराबर दिया हुआ था -1 एक एक आ दो तो 6 + 2a + 2b इक्टू 0 तो a + b बराबर -3 हो जाएगा a + b = -3 दो इक्वेशंस बन गई बस अब हर बार आपको ऐसे ही करना है जो अननोन्स लेने हैं उनकी इक्वेशन बनानी है और सॉल्व करनी है ए प् बी -3 यहां रख देता हूं या सबकट कर दो एक ही बात है 2 माइव कर दिया तो ए इक्व -6 प् 3 ए इ -3 बी इ 0 आ गया ए माइन 3 बी 0 आ गया है यानी हमारे फंक्शन बेटा बन चुके हैं ए को माइनस 3 बी को जीरो डाल के f एक मिल जाएगा तो f एक बन गया को डालना है -3 एकस स्क माइन 3x एक स् माइन 3 एक् बन गया और जी एक् भी तुम्हारे पास बन जाएगा बेटा यह देखिए यहां से जी एक् बन जाएगा ए प्स बी तो तुमरा माइन 3 तो 1 माइन 3 इसका मतलब हो गया -2 एक्स स्क्वा -2 एक्स स्क्वा और यहां से आया था प् 2 एक् स् प् एक प् 2 प् 2x स् प् a एक् a की वैल्यू आई थी -3 -3x प् 2 ये दोनों तो कट गए सो g एक तो एक लीनियर फंक्शन ही आ गया 2 - 3x चेक कर लीजिएगा भाई f एकज एक आ गए हैं लास्ट में हमें f4 - g4 निकालना है इसको फ डाल देंगे ठीक है x को 4 डाल देंगे बेटा तो f4 का मतलब हो गया x को 4 डालेंगे 16 - 12 चार हो गया और g4 का मतलब हो गया 2 - 3 * 4 - 10 हो गया बेटा तो फाइनल आंसर हो गया 4 - - 10 14 हो गया भाई 14 हो गया आंसर 14 हो जाना चाहिए ठीक है सबकट करना है ना 4 और माइनस ऑफ -10 4 प् 10 14 तो अच्छा प्रॉब्लम है बहुत इंपॉर्टेंट हैय जब भी कांस्टेंट्स आ जाए f-1 जी -1 तो तुम्हें क्या करना है उनको कुछ ए बी सी मान के शुरू कर देना है क्वेश्चन को जितने कम अननोन्स लाओगे उतना बढ़िया है जैसे मैं सिर्फ इनम लाया ए और बी और उन्हीं ए बी को यहां यूज कर लिया वरना फिर सीडी वहां ले आओगे तो बहुत लंबा हो जाएगा फिर तो इतने सारी इक्वेशन ही बनाते रह जाओगे राइट सो मिनिमम पॉसिबल अननोन इंट्रोड्यूस करके क्वेश्चन को सॉल्व करिए चलिए एक और ऐसा दिखा देता हूं आपको एक और करा देता हूं बिल्कुल ऐसा ही क्वेश्चन ठीक है देखिए बिल्कुल सिमिलर प्रॉब्लम है थोड़ा सा लेस लेंथी है पिछले वाले से पिछला वाला एक जनरल था क्योंकि दो दो फंक्शन आ गए इसमें एक ही फंक्शन में दे दिया देखो f एक एक क्यूबिक फंक्शन दिया है जिसमें अंदर एक एफ डव दिख रहा है एफ डबल डट दिख रहा है एफ ट्रिपल ड 3 दिख रहा है तो इन तीनों को मैं ए बी सी मान के स्टार्ट कर देता हूं लेट्स से इसको ए मान लेते हैं इसको बी इसको c मान लेते हैं सो fx1 x क - ax2 + bx3 हो जाएगा बेटा ठीक है क्यूबिक फंक्शन है इस बार हमारे पास तो वही करते हैं f ' x 3x स् - 2ax + b f डड x 6x - 2a f ट्र x 6 हो गया है ना और अब एकएक करके वैल्यू डालेंगे f डव चाहिए था तो इसमें वन डालेंगे तो f-1 हो जाएगा 3 - 2a + बी और इसकी वैल्यू है बेटा a इसकी वैल्यू है a करेक्ट एक इक्वेशन आ गई थोड़ा सा सिंपलीफाई भी कर लो तो 3+ b = 3a फर्स्ट इक्वेशन करिए भाई जल्दी पॉज करके और यह वाली में ए डबल डट निकालना है तो x को ू डालेंगे तो 12 माइ 2a हो गया ब 12 माइ 2a हो गया बी यह बन गई सेकंड इक्वेशन और लास्ट इक्वेशन ये तो सि ही आ गया तो सी सि हो गया सी तो सीधे-सीधे सिक्स हमारे पास आ ही गया है स सीधे-सीधे सिक्स आ गया बेटा सही है ना देख लो कोई बहुत मुश्किल चीजें नहीं है यार यह सब इजी चीजें हैं आप देख रहे हैं एओडी चैप्टर जो है कोई बहुत डिफिकल्ट चैप्टर नहीं है सिर्फ इसमें थो ट्रिग्नोमेट्री और थोड़ा कैलकुलेशन यह दो चीजों में अगर आप चैंपियन बन गए तो मेथड्स ऑफ डिफरेंस का एक सवाल इजली आप कैक कर सकते हैं जेई में चलो भाई अब क्या करें फर्स्ट और सेकंड में से बी सॉल्व बी एलिमिनेट कर देते हैं देखो यहां 12 माइ 2a है बी की वैल्यू उधर से है 3a माइन 3 तो 15 = 5a ए आ गया तुम्हारा 3 ए को 3 वापस डाल दो तो 3 प् बी = 9 तो बी हो गया 6 ती 6 6 आ गया हमारे पास ए बी सी की वैल्यूज मिल गई ए बी सी मिल गया तो फंक्शन ही मिल गया यार f एक ही आ गया तो f एक हो गया x क - 3x स् प् 6x - 6 ऐसा कुछ फंक्शन हमारे पास बन गया है करेक्ट ठीक है हां तो अब हम क्या करेंगे f1 f0 f2 f3 ये सब निकालने देखो f0 तो भाई -6 हो ही गया f0 तो तुम्हारे पास -6 हो ही गया चलो अगले पेज पर कर देता हूं तो f एक हो गया x क माइ 3 एक स् प् 6x - 6 तो f0 तो हमारे पास आ गया है -6 f1 x को वन डाल लो यह तो कटे 1 माइ 3 यानी कि -2 आ गया है एक्स कोटू डालेंगे 8 माइनस 12 प् 12 माइनस स यह दोनों गए 8 और 6 तो f2 की वैल्यू ू आ गई है f3 कहां तक निकालने भाई हमें f03 निकालने बस है ना यही सब है तो लास्ट ए3 निकाल लेता हूं 27 माइनस 27 प्लस 18 माइनस तो f3 की वैल्यू आ गई 12 करेक्ट सारे आ गए हैं अब बस वैल्यू कौन सा रिलेशन सेटिस्फाई कर रहा है य देख लेना है 3 f1 प् f2 3 f1 प् f2 ए ऑप्शन चेक कर रहा हूं 3 f1 3 माइ स प्लट तो माइनस च आ रहा है तो माइनस च आ रहा है और यह तो बराबर है के बिल्कुल भी कहीं से कहीं तक नहीं आया भाई तो ए ऑप्शन गलत है बी ऑप्शन में वैल्यू डालो f3 माइन f2 f3 12 था माइट 10 आएगा व तो इनका डिफरेंस तो आया नहीं यह भी गलत है यह भी गलत है 0 माइन एव प् ए3 2 ए0 माइनस एव प् ए3 ए0 था भाई -6 तो -1 प्लट प् 12 यह दोनों गए टू आ गया और यह बराबर किसके दिया है f2 के f2 तुम्हारा टू था क्या हां f2 तो टू ही था भाई मजा आ गया तो यानी कि हमारा सी ऑप्शन बेटा सेटिस्फाई कर रहा है डी तुम देख लेना शायद नहीं कर रहा होगा सी ऑप्शन तो कर ही गया ठीक है पेशेंस जल्दबाजी नहीं करनी आराम आराम से करना है क्वेश्चन आपके सामने मैं भी कर रहा हूं यार देखो तुम्हारा ऐसा नहीं है को मैंने पहले से कर रखे हैं अभी आपके सामने ही क्वेश्चंस मैं भी ट्राई कर रहा हूं बस मुझे बस मेथड पता है ये है पहले से बिकॉज मैं बहुत बार कर चुका हूं इस तरह के क्वेश्चंस अब आप भी मेथड सीख गए हैं कि जब भी ऐसे आए कांस्टेंट वैल्यू ए बी सी कुछ मान के स्टार्ट कर दो चलो तो यह वाला टाइप भी हो गया है आगे बढ़ते हैं भाई आगे बढ़ते हैं एक लास्ट कर लेते हैं चलो डबल डेरिवेटिव पे और फिर हम स्टार्ट करेंगे इसमें नेक्स्ट मतलब डबल डेरिवेटिव से ही रिलेटेड है नेक्स्ट टॉपिक वो हम स्टार्ट करेंगे चलिए डबल डेरिवेटिव का लास्ट सवाल करेंगे काफी सारे हमने प्रैक्टिस कर लिए एक घंटे से ज्यादा हो गया आई थिंक डबल डेरिवेटिव ही हम कर रहे हैं स्टार्टिंग में देखो मैंने तुम्हें बेसिक ब्रश अप करवाया फर्स्ट डेरिवेटिव ऐसा नहीं है कि सर फर्स्ट डेरिवेटिव तो हमने बहुत कम किया अरे सेकंड में भी तो फर्स्ट ही लग रहा है पहले तो कंप्लीट कांसेप्ट लग जाता है सेकंड डेरिवेटिव में इसलिए इसके क्वेश्चन ज्यादा आते हैं जेई में क्योंकि इसमें फर्स्ट भी लग जाएगा सेकंड भी लग जाएगा ज्यादा ट्रिकी क्वेश्चन बन जाते हैं ना इसमें चलिए इसको देखते हैं ln1 - x स् अप 1 प x स् -1 सेव एट x = 1/2 इसकी वैल्यू निकालनी है अच्छा समझ तो रहा हूं मैं तो यार इसमें तो यही बात लग रही है कि एक तो लग रहा है कि डायरेक्ट डिफरेंशिएबल के कर दूं तो थोड़ा सा बेटर हो जाएगा समझ रहे हो क्या कह रहा हूं भाई y को लिख लो ln1 माइ x स् - ए एव प् x स् राइट ऐसे तो लिख ही सकता हूं ए ए बा बी को ए ए माइ ए ए बी और अब डिफरेंशिएबल रहा है वाड या y1 हो जाएगा -2x तो कॉमन ही आ गया एलसीएम ले लेते हैं नीचे तो 1 माइनस एक्स की पावर 4 हो जाएगा यह तो भैया एड या y1 हमारे पास आ गया है y1 हमारे पास बेटा क्रिएट हो गया है करेक्ट थोड़ा सा अजीबो गरीब तो आया है बट कोई नहीं और एक् को हाफ भी डाल लेंगे तो y1 तो हमारे पास आ गया y डबल ड भी चाहिए वा डबल ड भी चाहिए सर तो कोई नहीं अब हम इसको क्या करेंगे एक बार और डिफरेंशियल ड बन जाए ऐसा तो कहीं से कहीं तक लग नहीं रहा भाई लग नहीं रहा चलो तो अब इसको डिफरेंशिएबल तो इधर हो जाएगा u बावी रूल लगा रहा हूं फोर को तो बाहर ही कर लो कांस्टेंट वैल्यू है फोर अलग कर लिया इसे यह फोर को अलग कर लिया य एकस और वो मान लिया एक्स का डेरिवेटिव हो गया वन माइनस एक्स कांस्टेंट उसका डेरिवेटिव हो गया 4x क राइट तो हमारे पास आ गया बेटा y2 हो गया 4 बाहर है x4 माइव माइ 4 एक्स 4 अपॉन एक्स की पावर 4 माइव का होल स्क्वायर आई थिंक अब आप इसको कर लेंगे डबल डेरिवेटिव भी मैंने निकाल दिया आपको कुछ नहीं करना एक्स को इसमें डालना है हाफ और एक्स को इसमें भी हाफ डालना है दोनों को सबकट करके 225 से मल्टीप्लाई करना ऑप्शन मैच हो जाएगा ठीक है कर लोगे इसको सेम सेम क्वेश्चन है इसलिए मैंने इसको कंप्लीट नहीं कर रहा हूं बहुत सारे दि तो इसको आप बेटा होमवर्क में कंप्लीट कर लेना चलिए आगे बढ़ते हैं अब हम एक डबल डेरिवेटिव में ना बहुत प्यारा सा रिलेशन होता है डबल देखो मैंने तुम्हें बताया था फर्स्ट डेरिवेटिव में तो हम सीधे-सीधे कर देते हैं कि भैया dy5 है तो dx1 - 1/5 सॉरी d बा dx5 आ रहा है तो dx1 5 हो जाएगा रेसिप प्रोकल हो जाता है सीधे-सीधे बट डबल डेरिवेटिव ऐसा नहीं होता कि डबल डेरिवेटिव कहीं पे आ रहा है अगर अगर d2 y / dx2 आ रहा है हमारा सपोज सा थीटा को x कुछ भी तो d2x / dy2 d2x / dy1 सर रेसिप प्रोकल हो जाएगा 1 बा सा बिल्कुल भी नहीं डबल डेरिवेटिव में ऐसा नहीं होता है क्योंकि चेन रूल मैंने तुम्हें बताया था फर्स्ट डेरिवेटिव में होता है डबल डेरिवेटिव वाले जो क्वेश्चन करे थे पैरामेट्रिक के उसमें क्या हुआ था उसमें तो सर हमें फर्स्ट डे टिव से ही जाना पड़ा था तो डबल डेरिवेटिव में क्या रिलेशन है इन दोनों में क्या रिलेशन है यह अब हम पढ़ रहे हैं और इसको याद भी रखेंगे डबल डेरिवेटिव में डायरेक्ट रेसिप कल नहीं होते बट रिलेशन फिर भी है रिलेशन क्या है बेटा ये रिलेशन है d2x बा dy1 इज माइनस ऑफ दिस एज इट इज ये क्वेश्चन भी आ चुका है यही सीधे रिलेशन ही पूछ लिया है बट हम इसे क्वेश्चंस में यूज भी करेंगे इसलिए आप इसे लर्न कर लीजिए ठीक है तो क्या है देखिए रिलेशन है कि d2x / dy1 इज माइ ऑफ d2 d स् इन dy365 भाई d2x बा dy2 d2x बा dy1 क्या है y के रिस्पेक्ट में डेरिवेटिव चल रहा है ना तो d बा d ऑफ d एक बा dy2 एक बा dy1 है ना नीचे y है तो y के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिया है d 2y / dx2 एक बा d स्क्वायर यानी यह टर्म अगर बनानी है तो इस चीज को डिफरेंशिएबल रिस्पेक्ट टू y होगा dx1 dy2 x / dy2 बनेगा ठीक है तो इस चीज को लेफ्ट साइड को जब मैं विद रिस्पेक्ट टू y करूंगा तो d2x / dy2 बन जाएगा बेटा इस प्रकार से बन जाएगा d2x / dy2 ठीक है इतनी बात सही है अच्छा अब यहां पर फिर माइनस एक्स की पावर ए वाला लग जाएगा माइव आगेवा बाडी एक् की पावर माइट बहुत इंपॉर्टेंट प्रूफ है यह और बहुत इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी भी है लर्न भी करना इंपॉर्टेंट है और प्रूफ भी बहुत इंपॉर्टेंट है -2 और इनटू चेन रूल की वजह से विद रिस्पेक्ट टू वा होगा क्योंकि विद रिस्पेक्ट टू वा चल रहा था ना किसका अंदर वाली चीज का ऐसे ही तो चेन रूल लगता है भाई अगर आप सा थीटा की पावर -1 करते हो करेक्ट तो सा थीटा -1 सा थीटा की पावर -2 इंटू डेरिवेटिव ऑफ सा थीटा करते हो करेक्ट तो वही करा है मैंने dydekop.org तो यह तो बहुत प्यारी चीज है d / dx1 बा dx2 y / dx2 भाई 22y / dx1 बन जाती है क्योंकि dydekop.org जुगाड़ बाजी में कर सकते हैं वैसे तो d / dx2 अपने आप में कुछ नहीं है बट कर सकते हैं हम ऐसा और अब इन दोनों को हम एक तरह से इंटरचेंज देखो मैं फिर से बोलूं मैथमेटिकली ये करना सही नहीं होता बट ये याद रखने के लिए चल जाता है इस तरह से डेरिवेटिव में कि आप फर्स्ट ऑर्डर में ये सब कर सकते हो d / dx9 कर सकते हो तो - dydekop.org वा 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क्वेश्चन में कैसे यूज होगा अभी दिखाता हूं तुम्हें अगर डबल डेरिवेटिव निकालना है विद रिस्पेक्ट टू यह वाली टर्म अगर बनानी है देखो d2x बा dy1 देखिए क्वेश्चन में y दिया है x की पावर x की पावर x y इज अ फंक्शन ऑफ x और d2x बा dy1 + 20 बनाने को बोला गया है तो इस बार क्या निकालना है d2x / dy1 निकालना है अब एक तरीका तो यही है कि तुम्हें फर्मूला फर्मूला नहीं पता अगर ये भाई फॉर्मूला गैर नहीं पता अगर तो इसको विद रिस्पेक्ट टू y डिफरेंशिएबल विद रिस्पेक्ट टू y करोगे वो तो कर ही सकते हो बेसिकली वो तो आपका क्या हो गया एक तरह से गोइंग बैक टू द बेसिक्स हो गया ये आपने फर्स्ट डेरिवेटिव निकाला विद रिस्पेक्ट टू y सेकंड निकाल लिया विद रिस्पेक्ट टू y दैट कैन बी डन बट क्योंकि हमें रिलेशन पता है हमारा हमें ना देखो कंफर्टेबल ज्यादा होता है विद रिस्पेक्ट टू x डिफरेंशिएबल कैसा है x की पावर x की पावर x तो x की पावर x स् ही हो गया वैसे तो x की पावर x स् हो गया तो मैं विद रिस्पेक्ट टू x ही करूंगा वेरिएबल की पावर वेरिएबल है याद आ रहा है आज फर्स्ट हाफ ऑफ द लेक्चर में किया था वेरिएबल की पावर वेरिएबल के दो तरीके होते हैं लोगरिथमिक डिफरेंशिएबल की पावर वेरिएबल देखो x की पावर x लिया था ना हमने या तो ln5 बना के भी कर लेते हैं दोनों में से जो अच्छा लगे वह करेंगे तो जो अच्छा लगे कर लो भाई जो अच्छा लगे सर ठीक है कर लेते हैं फिर लॉग ही ले लेते हैं l n = x स् ln1 1 बावा * y1 x स् बा * 1 बा x + 2x l ए x तो y1 / y इज x + 2x l x ठीक है जी y1 की टर्म तो क्रिएट हो गई मुझे क्या चाहिए मुझे भाई देखो अगर यह निकालना है तो मुझे दो चीजें चाहिए एक तो यह चाहिए y1 जो मैंने निकाल लिया है और एक y2 भी मुझे चाहिए ठीक है भाई दोनों निका लूंगा और फॉर्मूले में डाल दूंगा दैट इज माय थॉट प्रोसेस पहले अब इसको इधर मल्टीप्लाई कर लेता हूं तभी तो दोबारा डिफरेंशिएबल l एक इनवा और फिर से डिफरेंशिएबल वा कांस्टेंट एक्स का डेरिवेटिव व 2x नव बा एक् प्लस प्लस है ना इसमें प्रोडक्ट रूल लगा रहा हूं 2x * 1 बा x प् 2ln एक देख लीजिएगा एक बार सही लिखा है क्या मैंने यह दोनों तो कट गए यह दोनों तो कट गए तो y2 अब हमारे पास निकल जाएगा और लास्ट में x को वन भी डालना है x को तो वन ही डालना है अच्छा x को वन डालने से एक बहुत प्यारी सी चीज हो गई क्योंकि ln1 जीरो होता है यह गया यह भी गया बहुत बढ़िया मजा ही आ गया और यहां भी x को वनव डालेंगे सो y2 बन गया बेटा y2 बन गया है 1 प्लस अच्छा ये तो जीरो ही हो गया था 1 नवाव प्वा इन 1 प् 23 यह हमारा ट का वैल्यू बन गया है वाव और वा भी चाहिए कोई बात नहीं अगर हम एकस को वन डाले तोवा भी वन आ जाएगा एक्सव डालेंगे तो न की पावर वव ही हो जाएगा वा और वाव यहां से आ जाएगा एक्स को वन डाल के एक्स एंडवा दोनों वन डालेंगे तो ये गया 1 नव वाव भीव आ गया ही आ गया भाई सभी कुछ वन हो गया अब यहां पर वन और वन डाल दे तो y2 हो गया 1 प् 3 यानी कि 4 हो गया y2 क्या हो गया फर हो गया मतलब d2 बा d एक स् 4 हो गया और d वा बा d एक हमारा व हो गया अब हमें निकालना है d2x बा dy1 तो d2x बावा स्क का भी फार्मूला बताया था - dy365 1 की पावर -3 इनटू इंटू इसकी वैल्यू तो 4 है तो यह -4 हो गया -4 + 20 16 होना चाहिए आंसर 16 हो गया भाई आंसर देख रहे हो कैसे प्यार से आंसर निकल के आया है अब यही तुम अगर विद रिस्पेक्ट टू y में उलझ जाते इसमें विद रिस्पेक्ट टू y दो बार डिफरेंशिएबल होगा बट गलती होने के चांस है तो अगर d2x / dy2 बनवाए तो आप बेटा इस रिजल्ट के पीछे जाए और इन दोनों को यूज करके निकाल दें ठीक है भाई चलिए आगे बढ़ते हैं अब हमें तो कांसेप्ट पॉइंट ऑफ व्यू से हमने कर लिया है ऑलमोस्ट सभी कुछ कर लिया है थोड़ा सा एक ये लास्ट टॉपिक बचा है जो कई बार डिफरेंस जो है इवर्स ऑफ अ फंक्शन के साथ बेटा मिक्स होके आ जाता है डिफरेंस को किसके साथ मिक्स कर देते हैं इवर्स ऑफ अ फंक्शन के साथ कैसे कर देते हैं सर अभी देखते हैं देखो ए इवर्स याद है ना इवर्स ऑफ फंक्शन f इवर्स उससे करके कुछ डिफरेंस के क्वेश्चन बना देते हैं जो जेई में बेटा पूछे जा रहे हैं बहुत टाइम से अभी भी आ रहे हैं तो समझ लीजिए क्या है इस टाइप के क्वेश्चन मतलब इसमें कुई थोरी नहीं है बस कांसेप्ट है वो क्वेश्चन को अप्लाई करने का कांसेप्ट आपको पता होना चाहिए डिफरेंस होगा और ए इनवैलिड एक् दिया है और जीड एक क्रिएट करना है ठीक है इवर्स है g इवर्स आ गया और डेरिवेटिव आ गया g का डेरिवेटिव बनाना है ठीक है तो इवर्स का डेरिवेटिव अगर बनाना है तो आप डायरेक्ट मत जाइए उसमें एक ट्रिक लगेगी मैं आपको बता देता हूं व क्या ट्रिक है कोई भी ऐसे नहीं सोचेगा इसको इंटीग्रेट कर लूंगा f आ जाएगा और f आने के बाद उसका इवर्स निकाल लूंगा g आ जाएगा फिर उसे डिफरेंशिएबल नहीं है इसको सोचना बट सोचने को जब कन्वर्ट करोगे थॉट को जब राइटिंग में एग्जीक्यूशन में तो बहुत बुरा हाल हो जाएगा क्योंकि इसे इंटीग्रेट ही नहीं कर पाओगे और साफ दिख रहा है कि यार पहले इंटीग्रेट कर रहा हूं फिर इवर्स निकाल रहा हूं इस अपने खयाली मेथड में और फिर उसे डिफरेंशिएबल और डिफरेंशिएबल होती है एक दूसरे की तो करने की आवश्यकता नहीं है वो दोनों स्टेप में हम बच सकते हैं और बहुत ही शॉर्ट मेथड हमारे पास एक आ जाएगा समझ गए मैंने क्या बोला देखो लॉन्ग मेथड लॉन्ग थॉट प्रोसेस ये कहती है कि हम इसे इंटीग्रेट करें फिर f आया उसका इवर्स निकाला वो इवर्स के तीन स्टेप्स होते थे x इन टर्म्स ऑफ y फंक्शन में सिखाया था फिर हम इवर्स निकाल के मतलब जी आ गया फिर जी को डिफरेंशिएबल रहा है बट करने में उतना ही बुरा है तो हम इसको क्या करेंगे हम कंसीडर करेंगे हमेशा ऐसे क्वेश्चंस में कंसीडर करेंगे बेटा f ऑफ g एक = x याद करो इवर्स की एक प्रॉपर्टी होती थी f ऑफ f इवर्स x भी x होता था f f भी x होता था f इवर्स की जगह जी है यहां कोई नहीं f g एक को मैंने x ले लिया है एफज एक को बेटा मैंने क्या किया है x ले लिया है या फिर आप उल्टा भी कर सकते थे सर हम तो ऑफ f को लेना चाह रहे थे ले लो भाई दोनों से आंसर आएगा मैं एक क्वेश्चन दोनों से करके दिखा देता हूं दोनों में कोई भी दिक्कत नहीं है दोनों से आएगा तुम किसी भी एक से शुरू कर दो या तो f g यानी f f इवर x या f इवर्स ऑफ f f इवर्स मत लिखा करो छोटी सी स टिप दे रहा हूं f -1 की जगह g लिख लिया करो नहीं तो व पावर में हम कंफ्यूजन हो जाती है डेरिवेटिव्स में क्योंकि f -1 में ऐसा लगता है ना यह पावर है तो जब भी इवर्स दें उसको g फंक्शन लिख लिया करो ऐसे में चलिए तो अब हम क्या करेंगे इसको डायरेक्ट डिफरेंशिएबल की वजह से * g x भी आएगा और इक्वल टू 1 हो जाएगा बेटा ठीक है इतनी बात सही है तो ' x बन जाएगा 1 / f ' gx-1 की वैल्यू तो पता है तो f ' gx-1 + g x की पावर 2024 इसको यहां डाल दो हो गया बस - x आ गया जीड एक्स आ गया न अपॉन न अपन 1 अपव अपन दिस तो ये वन वन हट जाएंगे बेसिकली ये चीज ऊपर ही चली जाएगी करेक्ट सो जीड एक्स प्रूव हो गया देखो चार लाइन लग गई कुल और प्रूव हो गया जीड एक् इव प्ज एक् की पावर 2024 जो लाना था आ गया है है ना कितना बढ़िया मेथड प्रॉपर्टी से आप शुरू करेंगे इवर्स ऑफ फंक्शन की प्रॉपर्टी से चलिए यह हो गया है यह हो गया है भाई हमारा ठीक है सर तो अब इसमें जीड एक ड एक् तो प्रूव हो गया इस मेथड से अब हम इस मेथड से भी कर लेते हैं भाई तुम्हे ऐसा नहीं लगना चाहिए कि सर इससे नहीं आएगा क्या उससे ही आएगा एक ही से कैसे मुझे पता लगेगा दोनों से आएगा कोई दिक्कत नहीं है लेट्स ट्राई विद दिस डिफरेंशिएबल डाल देता हूं स जीड f एक f ड एक है 1 अप 1+ x की पावर 2024 तो जीड fx1 प् x की पावर 2024 हो गया है बेटा ड f एक हमारे पास ऐसा हो गया है करेक्ट सर बट हमें तो ' एक चाहिए था यह क्या हो गया कोई नहीं अभ आ जाएगा ' एक हमारा ' f आया है तो देखो अगर मैं इस पूरी इक्वेशन में x को g एक से रिप्लेस कर दूं बेटा तो क्या होगा f ऑफ g एक बन जाएगा भाई x को क्या डाल रहे हैं g एक तो f ऑफ g एक बनेगा f ऑफ g एक तो x ही होता है तो जीड ऑफ f ऑफ g एक जो x ही होता है और यहां पर भी x की जगह g एक डालना है हो गया प्रूफ हो गया प्रूफ भाई सेम है एक आध लाइन का फर्क पड़ेगा बस आप कोई सा भी करिए कंसीडर दोनों से हो जाएगा ठीक है तो यह प्रॉब्लम मैंने आपको एक्सप्लेन कर दिया है जे का क्वेश्चन है 2013 में या 12 में आया था शायद 12 1 लिखा था या मैंने 24 कर दिया उसको दैट्ची तरह तुम्हें समझ आ जाएगा बहुत सारे करेंगे इस पे अभी हम और लास्ट में फिर आपको जेई के भी करवाऊंगी ठीक है देखिए f एक इ x की पावर x g इ इवर्स ऑफ f देन प्रूव दैट ' x इ इक्वल टू दिस फिर से बिल्कुल वही बात fxxx.pro f ड तो निकालना ही है क्योंकि याद करो वेरिएबल की पावर वेरिएबल को हमने लिखा था e की पावर एक् ए एक या तो लग ले लो या ऐसे लिख लो तो एड एक्स आ गया था e की पावर एक्स ए एक इनटू चेन रूल जिसकी वजह से हो गया यह तो वापस x की पावर x हो गया इन 1 प् ए एक हो गया यही आया था पहले भी हमने निकाला था एक्स की पावर एक्स का यही डेरिवेटिव आता है ठीक है भाई एड आ गया हमें क्या निकालना है सर तो कंसीडर वही कहानी वही कहानी कंसीडर कंसीडर एफज एक् इक्वल टू एकस बिल्कुल सेम आगे के तीन स्टेप तो सेम है कंसीडर य और यह रिलेशन तो तुम्हारे पास आ ही जाएगा जीड एक्स हो जाएगा न अपन एडज एक्स ठीक है एडज एक् के लिए क्या करेंगे एड एक्स तो यह रहा एड एक्स तो यह रहा तो एफडज एक के लिए हम क्या करेंगे यह निकालना है क्योंकि जीड एक् चाहिए हमें तो हमें तो जीड एक् चाहिए उसके लिए यह चाहिए तो यहां पर एड एक् निकालना पड़ेगा एक को जी एक् से रिप्लेस किया तो जी एक् की पावर जी एक 1 प्स एल एज एक हो गया यहां पर पुट कर दो भाई इस से यहां पर इस पूरी कहानी को पुट कर दो 1 अपन g एक की पावर g एक 1 + l ए एक ' एक की वैल्यू ये आ गई बट सर बहुत दुख हुआ ये तो आया ही नहीं हमारा आंसर ये तो आ गया दिस टर्म इज क्रिएटेडॉक्युमेंट्सफ्रैगमेंट इस चीज के अंदर x को g एक से रिप्लेस कर दूं तो मुझे g एक की पावर g एक क्रिएट होती हुई बेटा दिख गई है तुम्हें दिख रही है कि अगर गिवन फंक्शन में मैं कुछ भी डाल सकता हूं ना यार फंक्शन है x को g एक डालूंगा सो f ऑफ g एक बन जाएगा g एक की पावर g एक g एक की पावर g एक बन जाएगा और f ऑफ g एक तो क्या होता है क्योंकि इवर्स है फग भी x होता है गॉफ भी x होता है तो ये चीज x हो गई तो जी एक्स की पावर जी एक् एक्स की पावर जी एक्स क्या बन गई है बेटा एक्स तो इस पूरी चीज की जगह एक्स डाल सकते हो प्रूव हो गया आई थिंक अब आई थिंक हमारा प्रूव हो गया है सर प्रू विंग के हैं ऑब्जेक्टिव में कैसे आएंगे अभी देखेंगे बेटा अभी ऑब्जेक्टिव में भी आएंगे अगर आपके माइंड में क्वेश्चन आ रहा है कि सर यह तो प्रू के आप करा रहे हो कैसे ऑब्जेक्टिव में आएंगे अभी देखते हैं पहले अब माइंड में एक और चीज भी आ रही होगी कुछ लोगों के सर मैंने तो सर फॉग से नहीं ने तो गफ से किया सर आपने तो फॉग से कर दिया पहले वाले से मैं सर इससे कर रहा था और फस गया इससे करके दिखा दो अभी दिखा देते हैं इससे भी करके दिखा देते हैं भाई इससे भी करके दिखा देते हैं चलिए तो फॉग एक से शुरू किया था गफ एक से शुरू कर देते हैं तो मेथड टू एक क्वेश्चन और करके दिखा रहा हूं अब मैं इसके बाद वाला किसी भी एक से कर दूंगा तो जी ऑफ f एक इ एक्स तो जीड f एक इन एक्स इक्वल टूव करेक्ट तो जीड अड एक् तो था ही हमारे पास एड एक्स तो अभी हमने निकाला ही है एक्स की पावर एक्स नव प् ए एक एक्स की पावर एक्स इन 1 प् ए एक तो जीड f एक हो गया 1 अपन एक्स की पावर एक्स नव प् ए एक् बट हमें तो जी एक चाहिए था सर हमें तो ' f एक नहीं चाहिए इसमें क्या होता है ना ड मैं इसलिए ये वाला नहीं लेता क्योंकि इसमें ड एक नहीं बनता पहले वाले में g ड एक् बन जाता है एटलीस्ट एलएचएस तो बनती है एलएचएस तो बनती है राइट साइड की टेंशन है बस बट इसमें एलएचएस भी नहीं बनता तो हम क्या करते हैं लास्ट में x को g एक से रिप्लेस कर देते हैं ताकि f ऑफ g एक f ऑफ g एक बेटा x बन जाए और फिर से g एक की पावर g एक आएगी जो मैंने ऑलरेडी निकाली थी g एक की पावर g एक तो मेरी x ही आई थी तो एक्सव प्स एल ए एक्स की जगह जी एक् प्रूव्ड वही आएगा दोनों से ही आएगा कैसे भी कर लो तुम दोनों से आना है ठीक है चलिए तो यह हो गए हैं दो सब सवाल इस तरह के अब हम इसी पर जरा ऑब्जेक्टिव सवाल भी देख लेते हैं कैसे बन सकता है देखिएगा कैसा ऑब्जेक्टिव क्वेश्चन दे रहा हूं आप लोगों को सामने देखेंगे सब लोग बस अब ऑलमोस्ट खत्म ही होने वाला है इसमें बस चार पांच ऑब्जेक्टिव कराऊंगा आपको ये खत्म इजी छोटा सा चैप्टर है कोई इसमें ज्यादा है नहीं आई थिंक आपका लगभग वही मैंने बोला था 35 च घंटे का लेक्चर होगा वही ऑलमोस्ट उसी में निपट जाएगा आपका फंक्शन fxxx.pro तो भाई सबसे पहले सर ने ये भी बताया है हमें कि f इवर्स मत लिखा करो उसे g लिख लिया करो तो हमें क्या निकालना है ' x निकालना है ' एक निकालना है एट x = fn2 है ना भाई fn2 x की एट द पॉइंट मतलब जब x की वैल्यू fn2 हो रही है यानी जीड f ए ए2 हमें निकालना है ड fn2 हमें निकालना है तो ओबवियसली इस बार बेटा मैं g ऑफ f एक लेकर शुरू करूंगा समझ रहे हो ना क्योंकि ऑफ f में डायरेक्ट बनने वाला है g ऑफ f = x से स्टार्ट करूंगा फॉग से नहीं करूंगा मुझे दिख गया है कि ड f यहां बन जाएगा डायरेक्ट तो जीड f एक इन एड एक इक्व टूव हो गया तो जीड f एक की वैल्यू 1 बा एड एक हो गई और हमें जीड ए चाहिए था तो यहां एक्स की जगह fn2 सॉरी एकस की जगह ln2 डाल देंगे अगर तो जीड ए ए ए2 बन जाएगा 1 बाय एड एल ए2 ठीक है जी तो मुझे अब क्या करना है एड ln2 निकालना है ए तो मुझे दिया ही हुआ है एड तो कोई भी निकाल लेगा यहां से इस फंक्शन से तो f एक मुझे दिया हुआ है e की पावर x प् x एफ ड निकालेंगे और एफ ड में एलटू डालेंगे सो एड एल एट e की पावर एल एट प्सव और ए हट जाते हैं 2 प्व हो गया य 3 हो गया बेटा और इसकी जगह थ डालेंगे तो आंसर / 3 बन जाएगा 1 बाथ होना चाहिए आंसर बी ऑप्शन ठीक है अच्छा क्वेश्चन है ही का नहीं है क्वेश्चन ब इससे बहुत सिमिलर दिखाऊंगा अभी 2024 में आया है बहुत सिमिलर आया है ठीक है भाई चलो दिखाई देते हैं फिर इतना क्या सस्पेंस बनाना बहुत ही सिमिलर आया है यह देख चलो पहले एक काम करते हैं एक नॉन जेई का क्वेश्चन और करते हैं फिर हम जेई के दो लगातार करके को समाप्त करेंगे चलिए देखते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पर आइए नेक्स्ट क्वेश्चन पर आएंगे इ फंक्शन एफ एक इ दिस एंड जी एक् इ दिस ओके एफ एक य दिया है जी एक् ए इवर्स दिया है ड इ 7 बा 6 निकालना मतलब फिर से इवर्स के डेरिवेटिव की बात करने को बोला जा रहा है वेरी नाइस क्वेश्चन ध्यान से देखेंगे फिर से सर हम फिर से क्या करेंगे एफजी एक् इक्वल टू एक्स से स्टार्ट करते हैं ताकि एफडज एक्स इन जीड एक्स बराबर व हो जाए तो जीड एक्स हो जाएगा व अपन एडज एक ठीक है जी कोई कहानी उतनी तो मैंने सेम ही लिख दी और जीड माइ 7/6 निकालना है तो जीड माइ 7/6 हो जाएगा 1 अपन एडज 7/6 माइ 7/6 वट एवर अब सवाल यह है ठीक है एड तो निकाल लूंगा डिफरेंशिएबल रहा हूं भाई जरा जरा वन डालो इस फंक्शन में तो f1 निकाल रहा हूं सर क्यों अभी समझ आ जाएगा x को वन निकालेंगे तो -4 e की पावर 0 हो गया वो प्व प्व प् हाफ प् 1/3 तो माइनस प् 2 और -4 में से -2 बचा प् हाफ प् 1/3 बचा जिसको सिंपलीफाई करेंगे 6 एलसीएम लेंगे तो - 7/6 आ रहा है मतलब f की वैल्यू बेटा - 7/6 आ रही है f1 की वैल्यू आ रही है - 7/6 ये क्या हो गया सर मतलब अगर मैं थोड़ा सा इवर्स लगाऊं कि अगर फंक्शन है तो एक वन की इमेज - 7/6 है इस फंक्शन f में तो अब तुम्हें पता है जो g होता है वो तो बिल्कुल एग्जैक्ट उल्टा होता है कि भाई अगर वन की इमेज - 7/6 है f में तो g में -7 7/6 की इमेज सो g ऑफ - 7/6 क्या हो जाएगा वन हो जाएगा बेटा तो इसीलिए उन्होंने - 7/6 दिया हुआ है ताकि आप g ऑफ - 7/6 को वन लिख पाए सर यहां कुछ और होता तो - 7/6 तो आ गया तुक्के से तो भिया क्वेश्चन ही नहीं बनता ना वो वैसा ही बनाया गया है ताकि आपका अच्छा सा वैल्यू क्रिएट हो आप अपनी मर्जी से नहीं क्वेश्चन को क्रिएट कर सकते हैं सॉल्व करिए क्वेश्चन मत बनाइए तो बस अब तो f-1 निकालना है मतलब इसको डिफरेंशिएबल - 4e की पावर 1 माइ x बा 2 प् 1 प् x प् x स् बा 2 प् एक क बा 3 और एड एक हो जाएगा डिफरेंशिएबल की वजह से एक माइनस हाफ इस पूरे का डेरिवेटिव वन का 0 एक्स का व उसका x उसका x स्क्वा करेक्ट और लास्ट में x को मुझे क्या डालना है वन डालना है बेटा देखो f-1 बनाना है तो f-1 हो गया - 4e की पावर 0 * - 1/2 प्लस 1 + 1 + 1 तो तीन ये हुआ और दो ये हुआ आई थिंक माइनस माइनस कट के दो हो गया फाइव आ गया यहां फाइव डालूंगा तो 1/5 मेरा आंसर हो जाएगा बेटा 1/5 ए ऑप्शन आंसर होना चाहिए अ था ना क्वेश्चन तो ऐसे भी बन सकते हैं थोड़े से टफनेस बढ़ जाएगी इस तरह के क्वेश्चन में बस आपको देखना है f0 f1 इस तरह की बेसिक वैल्यूज सेटिस्फाई करके देखिए कुछ ना कुछ से बन जाएगा चलो एक और करते हैं ऐसा ही यही का देख लेते हैं चलो f आट आ भी डिफाइंड एज एक क्यूबिक फंक्शन दिया है एक क्यूबिक फंक्शन दिया है भाई और g इज फंक्शन सच दैट फॉग x एक दिया है मतलब ठीक है इवर्स मान सकते हैं ड 63 निकालना है तो बिल्कुल वही बिल्कुल वही तो अब बारबार नहीं लिख रहा या जीड x आता है 1 अप f ड एक तो अगर जीड 63 निकालना है तो 1 अप एड g63 हो जाएगा वो अब g63 कहां से लाए देखो कुछ ना कुछ डाल के 63 64 के पास होता है है ना तो 4 का क्यूब होता है यानी f4 निकालने की कोशिश करता हूं 4 का क्यूब 64 प् 4 -5 63 ही आ गया तो क्योंकि f4 63 आ गया है यानी g6 क्या होगा फ होगा सर जी 63 बेटा 4 रख दीजिए ठीक है सही हो गया बस एड फ निकालना है तो ए को डिफरेंट करेंगे एड एक्स हो गया 3 एक्स स्क्वा प्सव तो एड फो हो जाएगा एड फो हो जाएगा बेटा 3 इन 4 स्क्वा प्व ठीक है तो 16 3 48 प्व 49 तो 1 बा 49 हो रहा है ए ऑप्शन ए ऑप्शन हमारा इसका भी आ रहा है ए आ गया बेटा ठीक है अच्छा प्रॉब्लम था कांसेप्ट पकड़ो कांसेप्ट यह है कि आपको कंपोजिट सॉरी हा कंपोजिट बना के डिफरेंशियल के निकालनी है चलो 2024 का भी एक क्वेश्चन करते हैं और इससे हम करेंगे आज का सेशन अपना समाप्त आई थिंक है ना एक तो मैं इसका होमवर्क में दे दूंगा दो ऐसे क्वेश्चंस चलिए हां एक छोटा सा चलो यह तो खैर लर्न करने का ही है य आप डायरेक्ट लर्न कर लेंगे वो भी बता दूंगा हां तो देखेंगे यह वाला क्वेश्चन fx5 प्स दिस fxxx.pro गफ x x दे दिया बात वही है तो g-2 निकालना है मतलब फिर से fxxx.pro f ऑफ 0 देखो क्या हो रहा है x को 0 डाल रहा हूं तो 2 बन रहा है तो g2 तुम्हारा रो हो गया बस ऐसे ही तुम्हें हर बार करना है g2 की जगह 0 डाल दिया तो f ' 0 चाहिए सो fx5 + 2e की पावर x बा 4 तो आप डिफरेंशिएबल प्लस 1/2 e की पावर x बा 4 ये आ गया एड एक् और हमें चाहिए एड 0 तो x को जीरो डालेंगे यह जीरो हो गया हाफ हो गया हाफ यहां डालेंगे तो डट की वैल्यू 1 अप हाफ यानी 2 आ जाएगी 8 * 2 16 हो जाएगा आंसर 16 हो जाना चाहिए भाई आंसर डी ऑप्शन देख लो है ना इस तरह से आपको कर लेना है इजी क्वेश्चन है अब इसी में क्या है डबल डेरिवेटिव तक पहुंचा देंगे तो वो मैं तुम्हे एक दो में होमवर्क में दे रहा हूं मतलब दो बार इस रिलेशन को डिफरेंशिया है तुम उसको दो बार भी कर सकते हो यह वाला आप ट्राई करना एक बार करा था तो h डबल ड एक्स पूछ लिया अब हमें क्या पूछ लिया h इज इवर्स ऑफ जी ठीक है जी ड दिया है ए डबल ड हमें पूछा गया है अब आप फर्स्ट डेरिवेटिव जो आया उसको दोबारा डिफरेंशिएबल डैश तक पहुंच जाएगा मेंस में जनरली नहीं आते डबल डेरिवेटिव वाले एडवांस में आ सकते हैं इसी कांसेप्ट प डबल डेरिवेटिव तक पचा दे ये अच्छा एडवांस लेवल का क्वेश्चन ब्रेन टीजर तो भी आप होमवर्क में ट्राई करेंगे डबल डेरिवेटिव है देखो f दिया है एक् दिया है इवर्स है और डबल डेरिवेटिव इवर्स का डबल डेरिवेटिव पूछा हुआ है जी डबल ड ऑफ दिस पूछा है करिएगा इसको भी होमवर्क में आप निकाल सकते हैं अच्छा प्रॉब्लम है ट्राई कर लेना क्या दिक्कत है एडवांस से पहले करा देंगे किसी समरी या रिवीजन वगैरह में ये वाला क्वेश्चन चलो भाई तो इसके साथ समाप्त हुआ हमारा एक छोटा सा कांसेप्ट याद रखने के लिए रख क्योंकि कई बार ऑब्जेक्टिव में डायरेक्ट ये ट्रिक काम आ जाती है देखो क्या लिखा हुआ है व्हेन एवर गिवन होमोजीनस कर् होमोजीनस इक्वेशन इन एक्स एंडवा एक कर्व है जो इस तरह का है होमोजीनस मतलब सेम डिग्री है देखो ए प् बी डिग्री है इधर एलएचएस की तो आरएचएस में भी टोटल एकस और वा की मिला के ए प् बी ही हो रही है देखो तो फॉर एग्जांपल मान लो एक प्वा की पावर 100 इक्वल टू मान लो x की पावर 20 इनवा की पावर 80 ऐसा कोई फंक्शन आपको दे दिया ये कुछ भी हो सकती है 100 दे दी मैंने कुछ भी हो सकती है ए की वैल्यू बस टोटल डिग्री सेम होनी चाहिए इधर x + y की जो पावर है इधर x और y की मिला के सेम होनी चाहिए तो ऐसी सिचुएशन में dy2 y / dx2 हमेशा रो आता है डबल ऑर्डर डिफरेंशियल हमेशा इसका जीरो आता है डबल ऑर्डर डेरिवेटिव हमेशा जीरो आता है प्रूफ करके देखना हो जाएगा बहुत आराम से चाहे लॉग लेके कर लो डायरेक्ट डिफरेंशिएबल होमोजीनस डिग्री कर्व लिखा है इस टाइप का कोई भी डिग्री हो 100 लिखा है मैंने मान लो x + y की पावर 20 है इधर x की पावर 5 y की पावर 15 है तब भी टोटल डिग्री सेम है तब भी dydekop.org में आप लोग ऑब् वियस बेटा पी वाई क्यूज कर लीजिए छोटा सा चैप्टर है बट मैं कहूंगा कि अगर क्लास में ऑल दो मैंने बहुत करा दिए हैं तुम्हें बट 2023 और 24 के तो बेयर मिनिमम है कि अगर आप पीवा कूज कर लेंगे तो आपका ये चैप्टर बढ़िया हो जाएगा और देखो डिफरेंशियली जन है क्योंकि एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव में बहुत काम आएगा ये तो वहां पे काम आना ही है इसलिए आप इसको प्रैक्टिस करिए और 2022 के भी कर लो तो और अच्छी बात है 3 साल के कर लोगे तो बहुत ही बढ़िया हो जाएगा बट एटलीस्ट 2 साल के तो आपको करने ही है ठीक है सारे मेन के एडवांस में इसमें डायरेक्ट क्वेश्चन सिर्फ इस चैप्टर पे नहीं आता और चीजें भी मिक्स्ड होके आती हैं जनरली एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव से आता है एडवांस में तो इसलिए आज आपने देखा होगा एडवांस का कोई क्वेश्चन मैंने नहीं लिया है तो रिकॉर्डेड सेशन इसीलिए था क्योंकि छोटा सा चैप्टर है उम्मीद है बच्चों आप लोगों को मजा आया इसके अंदर मंजिल सीरीज में भाई देखो जोश बना के रखना है ये नहीं कि सर हमने स्टार्ट तो किया था जोश बहुत था अब हम लोग ढीले पड़ गए हैं ऐसा मत करो यार तुम्हारा फ्यूचर का सवाल है अपना दो चार महीने बचे हैं इसको 100% दे दो अपना अभी भी सिलेक्शन बेटा पॉसिबल है आप सब लोगों के अंदर के कैपेबिलिटी है बस मेहनत की कमी रह जाती है यार तो आज अब वो समय आ चुका है जब आपको 12 12 141 घंटे लगाने हैं पर डे और सक्सेस बेटा पाना ही है कोई और ऑप्शन नहीं है हमारे पास ठीक है चलिए सो ऑन दैट नोट थैंक यू सो मच बच्चों मुलाकात होगी अगले सेशन में जहां पर हम लाइव में मिलेंगे और एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव या जो भी हमारे कैलकुलस के चैप्टर्स बचे हैं पहले एलसीडी होगा वो हम कंटिन्यू रखेंगे लाइव डिस्कशन में तो बाय बाय एवरीवन टेक केयर सी यू i