Appunti sulla definizione di maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore

Definizioni fondamentali

• Maggiorante: un numero reale S è un maggiorante di un insieme A se S è maggiore o uguale a ogni elemento di A.
• Minorante: un numero reale S è un minorante di A se S è minore o uguale a ogni elemento di A.

Esempi

Intervallo (0, 1)

• Maggiorante: qualsiasi S maggiore o uguale a 1 è un maggiorante di A.
• Minorante: S < 1 non è un maggiorante di A.
• Osservazione: 1 è il più piccolo dei maggioranti.

Intervallo (-1, 5)

• Minorante: -1 è un minorante dell'insieme.
• Maggiorante: S > -1 non è un minorante.
• Osservazione: -1 è il più grande dei minoranti dell'insieme.

Estremo superiore e inferiore

1. Estremo superiore (sup): un numero S è l'estremo superiore di A se è il più piccolo dei maggioranti di A. In simboli:

   • S è un maggiorante di A.
   • ∀ε > 0, S - ε non è un maggiorante.

2. Estremo inferiore (inf): un numero S è l'estremo inferiore di A se è il più grande dei minoranti di A. In simboli:

   • S è un minorante di A.
   • ∀ε > 0, S + ε non è un minorante.

Esempi di estremi

Intervallo (0, 1)

• Estremo superiore: 1
• Estremo inferiore: 0

Intervallo (0, 2)

• Estremo superiore: 2 (appartiene ad A)
• Estremo inferiore: 0 (appartiene ad A)

Massimo e minimo

• Se S (sup di A) appartiene ad A, allora S è il massimo di A.
• Se s (inf di A) appartiene ad A, allora S è il minimo di A.
• Se il sup o l'inf non appartiene all'insieme, il massimo o il minimo non esistono.

Proprietà di completezza di R

• Ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore.
• Ogni insieme limitato inferiormente ha un estremo inferiore.
• R è completo: il campo dei numeri reali include tutti i limiti.

Esempi di completezza

• Esempio 1: Insieme {x ∈ R | x² < 2} ha sup = √2, inf = -√2 (radice di 2 è irrazionale).
• Esempio 2: Insieme {x ∈ Q | x² < 2} non ha sup in Q.

Fattoriale e coefficiente binomiale

• Fattoriale: n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1.
• Coefficiente binomiale: C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), rappresenta il numero di modi di scegliere k oggetti da n.

Interpretazione del coefficiente binomiale

• C(n, k) rappresenta il numero di sottinsiemi di k elementi da n oggetti dati.

Esempi di coefficienti binomiali

• Esempio: C(3, 2) = 3, C(5, 2) = 10.

Considerazioni finali

• L'estremo superiore e inferiore sono sempre definiti per insiemi limitati, ma non sempre massimo e minimo.
• La completezza dei numeri reali è un concetto fondamentale nell'analisi matematica.